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2凑微分法

第二讲

Ⅰ 授课题目（不定积分）：

§5.2 凑微分法

Ⅱ 教学目的与要求：

熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原

则。

Ⅲ 教学重点与难点：

重点：凑微分法，变量代换法。

难点：凑微分法, 变量代换法。

Ⅳ 讲授内容：

一、凑微分法

利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。

例1 求dx x ?2cos

这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。

解因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 2

(='，所以c x xdx +=

2sin 2

12cos 。例2 求dx x ?)4sin(3 解 )4sin(3))4cos(4

3()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-?='-?-='

按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(43)4sin(3

例3 求dt t ?+12

这样想：)(

12+='t ，联想到 )(u =' ，再想到 u u u u u u ='?=='=')3

2(2323)()(32323

3 如果12+=t u

12))12(3

1(122)12(12))12(32(33+='+?+='+?+='+t t t t t t

最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到

c t dt t ++=+?

3)12(3

112。在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ）

例4 求dx x x ?

+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作??'=+dx x g x g f dx x x )())((122

如果F 是f 的反导数，根据链法则

)())(())((x g x g f x g F dx

d '= 所以，将u 看作是 21x +，由于

c u du u du u f +==??23

32)( 就可以得到 c x dx x x ++=+?3222)1(3

212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。

把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则

或者 ??=+=du u f c u F dx dx du u f )()()

(，

例5 求?+dx x x

32 dx

du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

解 c

x c u du u u x xdx x dx x x ++=+==++=+???32223221323132

注意运算中的一个细节：)(22x d xdx =,知道这一点非常重要。在凑微分的过程中，下面这些微分等式至关重要。

0),(1≠+=

a b ax d a dx ；））（（221x a d xdx +=; ））（（323

1x a d dx x +=； )2(1a x d dx x

+=； )(ln 1x d dx x =； )(sin cos x d xdx =； )(x x e d dx e =； )(arctan 112x d dx x =+； )(arcsin 112x d dx x =-；它们就像建筑中的模块，在凑微分过程中起到重要作用。可以总结一些常见的凑微分公式如下（表5.2）。

表5.2

被积分表达式中含有凑微分法 )0(),(1≠+=

a b ax d a dx )0(),()(1)(≠++=+??a b ax d b ax f a

dx b ax f ）（221x d xdx = 222)(2

1)(dx x f xdx x f ??= ）（3231x d dx x = 3323)(31)(dx x f dx x x f ??= ……

)0)((1

1≠=-ααααx d dx x )0()(1

)(1≠=??-ααααααdx x f dx x x f

)(ln 1x d dx x = )(ln )(ln 1)(ln x d x f dx x

x f ??= )(sin cos x d xdx = )(sin )(sin cos )(sin x d x f xdx x f ??= )(cos sin x d xdx -= )(cos )(cos sin )(cos x d x f xdx x f ??-= )(tan sec 2x d xdx = )(tan )(tan sec )(tan 2x d x f xdx x f ??= )(arctan 112x d dx x =+ x d x f dx x

x f arctan )(arctan 11)(arctan 2??=+ )(arcsin 112x d dx x =- x d x f dx x

x f arcsin )(arcsin 11)(arcsin 2??=- 例6 求dx x ?

2sin 解因为2)2cos(1sin 2x xdx -=

微分积分公式全集

x 高中大学数学微分与积分公式（全集）（高中大学数学）二 _ 、重要公式（1） sin x lim 1 1 (2) lim 1 x 匸 e (3) lim : a(a o) 1 x 0 x x 0 n (4) lim n n 1 (5) limarctan x — (6) lim arc tan x — n x 2 x 2 (7) limarccot x x 0 (8) lim arccot x x (9) lim e x 0 x (10) lim e x x (11) lim x x 1 x 0 三、下列常用等价无穷小关系 (x 0) 四、导数的四则运算法则五、基本导数公式 ⑴c 0 ⑵x ⑷ cosx sinx （5） tan x (7) secx secx tan x ⑻ cscx cscx cotx 1 x (3) sin x cosx 2 sec x ⑹ cot x 2 csc x ⑼e x ⑽ a x a x lna 1 (11) In x n n 1 j a o x a 1x a n i m - m 1 b o x b ^x 1 b m a 。 b o （系数不为0的情况） lim x 0 n m

1 1 (12) loga x (13) arcsinx (14) arccosx xln a 1 (15) arcta nx 2 1 x arccot x (17) 1 (18) 1 2 「 x 六、高阶导数的运算法则 (1) u x V x (2) cu cu n (3) u ax b ax (4) k c n u (k) 七、基本初等函数的 n 阶导数公式 (1) (2) ax e ax e x n ln a sin ax n . a sin ax cos ax n a cos ax ax b n i n a n! n 1 ax b In ax n ax b 八、微分公式与微分运算法则 x 1dx (3) d sin x cosxdx cosx sin xdx ⑸ d tanx sec xdx (6) d cot x csc 2 xdx

凑微分法解不定积分(个人用讲义)

凑微分法一，凑微分法原理回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：例题一：d(2x+1)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x) 例题二：d(e^x)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。我再举一个凑微分法的事例: 例题三： 1 2 dx x = - ? 解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。具体的实例就不举了，多操作。下面我要重点说说，讨厌，这个问题二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。根据已知的不定积分公式我们可以知道： 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。

§8.5复合函数微分法

§8.5多元复合函数微分法复习：一元复合函数的求导法则设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?，从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续，即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(，而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000，即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。

常用微分公式

(1)dx dx =nx n -1 ，n ∈N 。 (2)d x dx n x n N n n =∈-11 1,。 (3)dc dx =0，其中c 为常数。(4)(sin x )/=cos x (5)(cos x )/=-sin x 另一种表示：① (x n )/=nx n -1 ② /)(n x =1n 1 1-x ③ (c )/=0 证明： (2)设a 为f (x )=n x 定义域中的任意点，则f /(a )=a x →lim f (x )-f (a ) x -a =a x →lim a x a x n n --=a x →lim ] )(....)())[((121---++?+--n n n n n n n n n n n a a x x a x a x =1) (1-n n a n =1n (n a -1)=1n (1 1-a ) (4)设a 为任意实数，f (x )=sin x f (x )-f (a )x -a = sin x -sin a x -a = a x a x a x -+-2cos 2sin 2 计算f /(a )= a x →lim f (x )-f (a )x -a =a x →lim ( a x a x a x -+-2cos 2sin 2)=cos a 。 (1)(3)(5)自证 (1)f (x )与g (x )为可微分的函数。?f (x )+g (x )为可微分的函数。且d dx (f (x )+g (x ))= d dx (f (x ))+ d dx (g (x ))成立。另一种表示：(f (x )+g (x ))/=f /(x )+g /(x ) 证明：令h (x )=f (x )+g (x )，设a 为h (x )定义域中的任一点 h /(a )=a x →lim h (x )-h (a )x -a =a x →lim a x a g a f x g x f ---+) ()()()( =a x →lim (f (x )-f (a )x -a + g (x )-g (a )x -a )=a x →lim (f (x )-f (a )x -a )+a x →lim (g (x )-g (a )x -a ) =f /(a )+g /(a ) 例：求=+)(35x x dx d ？推论：dx d (f 1(x )+f 2(x )+...+f n (x )) = dx x df dx x df dx x df n )() ()(21+???++

2凑微分法

第二讲 Ⅰ 授课题目（不定积分）： §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容：一、凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。解因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 21 (='，所以c x xdx +=?2sin 2 12cos 。例2 求dx x ?)4sin(3 解 ) 4sin(3))4cos(4 3() 4sin())4cos(4 1()4sin(4])4[cos(x x x x x x =- ?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(4 3)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想：) (12+=' t ，联想到 )(u = ' ，再想到 u u u u u u = '?= = '=')3 2( 2 32 3)()(3 23 23 3 如果12+=t u

1 2))12(3 1( 1 22)12(12))12(3 2( 3 3 += '+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到 c t dt t ++= +? 3 )12(3 112。在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ）例4 求dx x x ?+212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2 x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作? ?'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数，根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以，将u 看作是 2 1x +，由于 c u du u du u f += =?? 23 3 2)( 就可以得到 c x dx x x ++= +?32 2 2 )1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则或者 ?? = +=du u f c u F dx dx du u f )()()(，例5 求? +dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

常用微积分公式大全

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常用微积分公式基本积分公式均直接由基本导数公式表得到，因此，导数运算的基础好坏直接影响积分的能力，应熟记一些常用的积分公式. 因为求不定积分是求导数的逆运算,所以由基本导数公式对应可以得到基本积分公式.。 (1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11)

对这些公式应正确熟记.可根据它们的特点分类来记. 公式（1）为常量函数0的积分，等于积分常数. 公式（2）、（3）为幂函数的积分，应分为与. 当时，，积分后的函数仍是幂函数，而且幂次升高一次. 特别当时，有. 当时，公式（4）、（5）为指数函数的积分，积分后仍是指数函数，因为，故（，）式右边的是在分母，不在分子，应记清. 当时，有. 是一个较特殊的函数，其导数与积分均不变. 应注意区分幂函数与指数函数的形式，幂函数是底为变量，幂为常数；指数函数是底为常数，幂为变量.要加以区别，不要混淆.它们的不定积分所采用的公式不同. 公式（6）、（7）、（8）、（9）为关于三角函数的积分，通过后面的学习还会增加其他三角函数公式.

公式（10）是一个关于无理函数的积分公式（11）是一个关于有理函数的积分下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

不定积分的例题分析及解法[1]

不定积分的例题分析及解法这一章的基本概念是原函数、不定积分、主要的积分法是利用基本积分公式，换元积分法和分部积分法。对于第一换元积分法，要求熟练掌握凑微分法和设中间变量)(x u ?=，而第二换元积分法重点要求掌握三角函数代换，分部积分法是通过“部分地”凑微分将?υud 转化成?du υ，这种转化应是朝有利于求积分的方向转化。对于不同的被积函数类型应该有针对性地、灵活地采用有效的积分方法，例如)(x f 为有理函数时，通过多项式除法分解成最简分式来积分，)(x f 为无理函数时，常可用换元积分法。应该指出的是：积分运算比起微分运算来，不仅技巧性更强，而且业已证明，有许多初等函数是“积不出来”的，就是说这些函数的原函数不能用初等函数来表示，例如 dx x x ? sin ；dx e x ?-2 ；dx x ? ln 1；? -x k dx 2 2 sin 1（其中10<

2凑微分法

第二讲 Ⅰ 授课题目（不定积分）： §5.2 凑微分法 Ⅱ 教学目的与要求：熟练掌握基本的不定积分公式，熟悉“凑微分法”与“变量代换法” 的一般原则。 Ⅲ 教学重点与难点：重点：凑微分法，变量代换法。难点：凑微分法, 变量代换法。 Ⅳ 讲授内容：一、凑微分法利用基本性质和基本积分公式，可以解决一些较为简单的函数的积分问题。但是，很多函数是经过复合而成的，无法直接利用公式。来看下面几个例子。例1 求dx x ?2cos 这个不定积分不直接在表.5.1中，因为x 2cos 不是x 2sin 的导数。解因为x x 2cos 2)2(sin =' 而x x 2cos )2sin 2 1 (='，所以c x xdx += ? 2sin 2 12cos 。例2 求dx x ?)4sin(3 解 )4sin(3))4cos(4 3()4sin())4cos(41()4sin(4])4[cos(x x x x x x =-?='-?-=' 按照等价命题 c x dx x +-=?)4cos(43)4sin(3 例3 求dt t ?+12 这样想：)( 12+='t ，联想到 )(u =' ，再想到 u u u u u u ='?=='=')3 2(2323)()(32323 3 如果12+=t u

12))12(3 1(122)12(12))12(32(33+='+?+='+?+='+t t t t t t 最后一个等式正是我们想要的。利用等价命题，就可以得到 c t dt t ++=+? 3)12(3 112。在以上的例子中，基本想法是找F 使F f '=具体做法是利用链法则，按f 的具体情况凑出了F 。这种计算不定积分的方法叫做凑微分法，或叫换元法（integration by substitution ）例4 求dx x x ? +212 如果我们能想到)1(22'+=x x 和),1()(,)(2x x g u u u f +=== 那么这个不定积分就可以看作??'=+dx x g x g f dx x x )())((122 如果F 是f 的反导数，根据链法则 )())(())((x g x g f x g F dx d '= 所以，将u 看作是 21x +，由于 c u du u du u f +==??23 32)( 就可以得到 c x dx x x ++=+?3222)1(3 212 还可以通过求导数来验证结果是正确的。把上面的思路理清楚：如果F 是f 的反导数，而)(x g u =是某个可导函数，那么根据链法则或者 ??=+=du u f c u F dx dx du u f )()() (，例5 求?+dx x x 2 32 dx du u f dx du u F u F dx d )()()(='=

凑微分法解不定积分

一，凑微分法原理回忆一下，我们导函数的几种表示方法：f′(x) dy/dx df(x)/dx 等等，那么我们对于同一个函数是否就有如下等式：f′(x)= df(x)/dx 再加以变形可得f′(x) dx=df(x)我们把这个式子称之为凑微分法的原理公式。（我自己定义的，别和别人说哦，教科书上没定义）为了说明这个式子，我们来看几个例子：例题一：d(2x+1)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为2x+1的导函数，既2，所以d(2x+1)= 2 d(x)例题二：d(e^x)= dx 解析：由凑微分法原理公式可知，所填处为e^x的到函数，既e^x，所以d(e^x)= e^x dx 因为做题目的时候，往往是告诉你们e^x dx要你们求d(e^x)。我再举一个凑微分法的事例: 例题三： 1 2 dx x = - ? 解析：我们会求解的，其实都是最原始的积分公式有的，如果这题是要我们求1/x我想你们都会吧，但是这里是x-2所以就很麻烦了，那你们就牢记一点，谁可恨，我们就把谁弄到d 后面去。所以我就想到用d(x-2),根据凑微分法原理公式可知d(x-2)=1*d(x),所以我们可以将这题变为 d(x-2),如果你们还看不出来，那你们用t来代替x-2，是不是就是你们会解的题目了，最后再把t还原为x-2就好了。具体的实例就不举了，多操作。下面我要重点说说，讨厌，这个问题二，什么函数可以凑微分，什么函数讨厌什么函数最讨厌，什么函数一看就是要凑微分我们知道，凑微分其实是把被积函数的一个部分与dx看作一个整体，运用凑积分法原理公式进行替换。所以被积函数可以表示为两个有求导关系的函数时，一般采用凑微分法。根据已知的不定积分公式我们可以知道： 1三角函数求导仍为三角函数 2反三角函数求导为有理函数 3幂函数求导认为幂函数 4对数函数求导为指数幂为-1的幂函数 5幂函数求导仍为幂函数所以，当我们发现一个大的函数是由上述关系中的一种构成的，那么我们就会把求导为的那个函数拿去d一下，然后与原来的式子进行比较，缺什么，补什么，有的时候，甚至要进行多次的凑微分，但是不要怕，一步步往下做一定可以。最后给你们一个提醒：最容易被扔到d后面的函数有e为底的指数函数，1/根号x。而最不能扔的，就是把对数函数，反三角函数想方法扔到d后面去，因为你们想想，什么函数求导会等于对数函数和反三角函数啊对吧。

(完整word版)证明微积分基本公式

定义（定积分）设函数f (x )是定义在闭区间[a ，b ]上的连续函数，用n + 1个分点 a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n – 1 < x n = b 把闭区间[a ，b ]划分成n 个小区间 [x 0，x 1]，[x 1，x 2]，…，[x i – 1，x i ]，…，[x n – 1，x n ] 记各小区间[x i – 1，x i ]（i = 1，2，…，n ）的长度为Δx i = x i - x i – 1，在各小区间[x i – 1，x i ]内任取一点ξi ，取函数值f (ξi )与小区间长度Δx i 的乘积f (ξi )Δx i ，作和式 n n i i n i i i x f x f x f x f x f Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(Δ)(22111ξξξξξ+++++=∑= 称为函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分和。记各小区间的最大长度为d = max{Δx i }，如果对于区间 [a ，b ]任意的划分和点ξi 在[x i – 1，x i ]上的任意取法，当d → 0时，积分和的极限存在，则称此极限为函数f (x )在区间[a ，b ]上的定积分，简称积分，记为 ∑?=→=n i i i d b a x x f x x f 10Δ)(lim d )( 其中?为积分号，[a ， b ]称为积分区间，f (x )称为被积函数，x 称为积分变量，a 称为积分下限，b 称为积分上限。如果函数f (x )在区间[a ，b ]上的积分存在，则称f (x )在[a ，b ]上可积。上述定义中的积分限要求a < b ，实际上这个限制可以解除，补充两条规定：（1）当a = b 时，规定0d )(=?a a x x f ；（2）当a > b 时，规定??-=a b b a x x f x x f d )(d )(。可以看出，这两条规定是合理的，其中第一条规定也可以根据第二条推出。定理1（可积的必要条件）如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的可积，则f (x )在[a ，b ]上有界。定理2（可积的充分条件） 1．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的连续，则f (x )在[a ，b ]上可积。 2．如果函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的单调，则f (x )在[a ，b ]上可积。 3．如果在闭区间[a ，b ]内除去有限个不连续点外，函数f (x )有界，则f (x )在[a ，b ]上可积。引理（微分中值定理）设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，在开区间(a ，b )内可导，则至少存在一点ξ∈(a ，b )，成立等式 f (b ) ? f (a ) = f'(ξ)(b ? a ) 以上结论称为微分中值定理，等式称为微分中值公式。设函数f (x )在闭区间[a ，b ]内连续，则可以证明f (x )在[a ，b ]上可积，于是存在新的函数F (x )，成立微分关系F'(x ) = f (x )或d F (x ) = f (x )d x ，则称F (x )为f (x )的一个原函数。试利用微分中值定理和定积分的定义证明微积分基本公式 )()()(d )(a F b F x F x x f b a b a -==? 这个公式又称为牛顿-莱布尼茨公式。证明：

不定积分解题方法及技巧总结

不定积分解题方法及技巧总结 1、利用基本公式。（这就不多说了~） 2、第一类换元法。（凑微分）设f(μ)具有原函数F(μ)。则其中可微。用凑微分法求解不定积分时，首先要认真观察被积函数，寻找导数项内容，同时为下一步积分做准备。当实在看不清楚被积函数特点时，不妨从被积函数中拿出部分算式求导、尝试，或许从中可以得到某种启迪。如例 1、例2：例1：【解】例2：【解】 3、第二类换元法：设是单调、可导的函数，并且具有原函数，则有换元公式第二类换元法主要是针对多种形式的无理根式。常见的变换形式需要熟记会用。主要有以下几种：（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号，（7）当根号内出现单项式或多项式时一般用代去根号。但当根号内出现高次幂时可能保留根号， 4、分部积分法、公式：分部积分法采用迂回的技巧，规避难点，挑容易积分的部分先做，最终完成不定积分。具体选取

时，通常基于以下两点考虑：（1）降低多项式部分的系数（2）简化被积函数的类型举两个例子吧~！例3：【解】观察被积函数，选取变换,则例4：【解】上面的例3，降低了多项式系数；例4，简化了被积函数的类型。有时，分部积分会产生循环，最终也可求得不定积分。在中，的选取有下面简单的规律：将以上规律化成一个图就是：（a^xarcsinx）（lnxPm(x)sinx)νμ但是，当时，是无法求解的。对于（3）情况，有两个通用公式：（分部积分法用处多多~在本册杂志的《涉及lnx的不定积分》中，常可以看到分部积分）5 不定积分中三角函数的处理 1、分子分母上下同时加、减、乘、除某三角函数。被积函数上下同乘变形为令，则为 2、只有三角函数时尽量寻找三角函数之间的关系，注意的使用。三角函数之间都存在着转换关系。被积函数的形式越简单可能题目会越难，适当的使用三角函数之间的转换可以使解题的思路变得清晰。 3、函数的降次①形如积分（m，n为非负整数）当m为奇数时，可令，于是，转化为多项式的积分当n为奇数时，可令，于是，同样转化为多项式的积分。

导数基本常用公式及微分法则

基本初等函数求导公式 (1) 0)(='C (2) 1 )(-='μμμx x (3) x x cos )(sin =' (4) x x sin )(cos -=' (5) x x 2 sec )(tan =' (6) x x 2csc )(cot -=' (7) x x x tan sec )(sec =' (8) x x x cot csc )(csc -=' (9) a a a x x ln )(=' (10) x x e e =')( (11) a x x a ln 1 )(log = ' (12) x x 1)(ln = '， (13) 211)(arcsin x x -= ' (14) 211)(arccos x x -- =' (15) 21(arctan )1x x '= + (16) 21(arccot )1x x '=- + 函数的和、差、积、商的求导法则设 )(x u u =，)(x v v =都可导，则（1） v u v u '±'='±)( （2） u C Cu '=')(（C 是常数）（3） v u v u uv '+'=')( （4） 2v v u v u v u '-'=' ??? ?? （反函数）若函数 )(y x ?=在某区间y I 内可导、单调且0)(≠'y ?，则它的反函数 )(x f y =在对应区间x I 内也可导，且)(1)(y x f ?'= ' 或 dy dx dx dy 1 = （复合函数）设 )(u f y =，而)(x u ?=且)(u f 及)(x ?都可导，则复合函数 )]([x f y ?=的导数dx du du dy dx dy ? =或)()(x u f y ?'?'='。

一元函数微分公式

【大小】【打印】【关闭】启航考研数学系列精讲之二一元函数积分的计算（一）一元函数积分包括不定积分与定积分，以及作为定积分推广的广义积分．对于不定积分需要掌握的，除了原函数与不定积分的概念与基本性质外，就是基本积分公式与两种基本积分方法。这是因为任何积分过程最终都要化为基本积分公式中已有的形式，否则就需要再进一步简化，而两种基本的积分方法，变量替换法(换元积分法)与分部积分法是简化积分的主要方法。除此之外，一些特殊的积分方法，如：有理函数积分法、三角函数有理式的积分法、某些简单无理式的积分法等，则是在特定情况下的特殊方法。由于不定积分的计算是最基本的，它渗透于一切积分之中，所以这里将不单独予以讲述，而是将其融合于定积分的计算之中。为了帮助读者查找，在分类讲述例题之前将列出基本积分公式。借助于牛顿—莱布尼兹(Newton—Leibniz)公式，定积分可化为被积函数的任一原函数在积分上限与下限两点函数值的差。这样，只要能求出原函数就解决了定积分的计算问题，而求原函数则是不定积分所解决的问题。然而，定积分的计算过程并不是分为求原函数与求原函数在上、下限函数值的差两个步骤，而是把两者结合起来。这样，如同不定积分一样，定积分也有两个基本方法，那就是变量替换法与分部积分法。牛顿—莱布尼兹公式的基础是关于变限积分求导数的定理，同时在如何求极限的部分也涉及到，这里就不再重复了。一、定积分的变量替换法定理设f(x)在区间[a,b]上连续，代换x＝Ф(t)满足条件：

(1)Ф’(t)在[α,β]上连续； (2)Ф(α)=a,Ф(β)=b，并且当α≤t≤β时，a≤Ф(t)≤b，则（1）注 (1)在定理的叙述中，，，定义于区间[α,β]，说明呈上升趋势．实际上，呈下降趋势也是一样的，亦即定理中的区间[α,β]，刖改为[β,α]。 (2)在定积分作变量替换时，一定要同时更换积分限，而且积分限的更换可以采用表格形式表示。 (3)不定积分的变量替换有第一与第二换元法之分。相应于第二换元积分法就是公式(1)中左端的x换成右端的t；相应于第一换元积分法(凑微分法)就是把右端的t换成左端的x。几种常用的凑微分形式：（1）（2）（3）（4）（5）

不定积分第一类换元法

不定积分第一类换元法（凑微分法）
一、方法简介
设 f (x) 具有原函数 F(u) ，即 F'(u) f (u) ， f (u)du F(u) C ，如果U 是
中间变量， u (x) ，且设(x) 可微，那么根据复合函数微分法，有
dF[(x)] f [(x)]'(x)dx 从而根据不定积分的定义得
则有定理：
f [(x)]'(x)dx F[(x)] C [ f (u)du]u(x) .
设 f (u) 具有原函数， u (x) 可导，则有换元公式
f [(x)]'(x)dx [ f (u)du]u(x)
由此定理可见，虽然
f
[ ( x)] ' ( x)dx
是一个整体的记号，但如用导数记号
dy dx
中的 dx 及 dy 可看作微分，被积表达式中的 dx 也可当做变量 x 的微分来对待，从
而微分等式'(x)dx du 可以方便地应用到被积表达式中。几大类常见的凑微分形式：
○1
f
(ax
b)dx
1 a
f
(ax
b)d (ax
b)
(a 0) ；
○2 f (sin x) cosxdx f (sin x)d sin x ， f (cosx)sin xdx f (cosx)d cosx ，
f
(tan x)
dx cos2
x
f
(tan x)d
tan
x，
f
(c ot x)
dx sin 2
x
f
(c ot x)d
cot x ；
○3
f
(ln
x)
1 x
dx
f
(ln
x)d
ln
x，
f
(ex )exdx
f
(ex )dex
；
○ 4
f (xn )xn1dx 1 f (xn )dxn (n 0) ， n
f
(1) x
dx x2
f (1)d(1) xx
，
f(
x)
dx x
2
f
(
x )d (
x)；
○5 f (arcsin x)
dx 1 x2
f (arcsin x)d arcsin x ；

常用微积分公式大全

下面结合恒等变化及不定积分线性运算性质，举例说明如何利用基本积分公式求不定积分. 例1 求不定积分. 分析：该不定积分应利用幂函数的积分公式. 解：（为任意常数）例2 求不定积分. 分析：先利用恒等变换“加一减一”，将被积函数化为可利用基本积分公式求积分的形式. 解：由于，所以（为任意常数）例3 求不定积分.

分析：将按三次方公式展开，再利用幂函数求积公式. 解： (为任意常数) 例4 求不定积分. 分析：用三角函数半角公式将二次三角函数降为一次. 解：（为任意常数）例5 求不定积分. 分析：基本积分公式表中只有但我们知道有三角恒等式：解：

多元复合函数的微分法习题

多元复合函数的微分法习题 1. 书上习题8 24（6），（8）； 2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。 3. 设),(v u f 是二元可微函数，),(y x x y f z = ，求 y z y x z x ??+??。 4. 设)(),(x y g y x xy f z +=，f ,g 均为可微函数，求x z ??。 5. 设),()sin(y x x xy z ?+=，其中?有二阶连续偏导数，求y x z ???2。 6. 设),(v u f 具有二阶连续偏导数，且满足12222=??+??v f u f ，又))(21,(),(22y x xy f y x g -=，求 2222y g x g ??+??。

解答 1. 24（6） ),(22xy e y x f z -=，求x z ??，y z ??。 xy ye f x f x z ?'+?'=??212， xy xe f y f x z ?'+-?'=??21)2(。 24（8） ),(xy y x f z -=，求y x z ???2。 21f y f x z '+'=??， 2221212112f xy f y f f x f y x z ''+''+'+''+''=???。

2. 设)(22y x f y z -=，求f 为可微函数，证明： 211y z y z y x z x =??+??。令 2 2y x u -=，)(u f y z =， )() (2)()(22u f u f xy x u u f u f y x z '-=??'?-=??， ) ()(2)()()()(1222u f u f y u f y u u f u f y u f y z '+=??'?-=??， ∴ 211y z y z y x z x =??+??

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