必修1 2.2对数函数
课时9 与对数函数有关的抽象函数及数形结合、恒成立等综合应用
班级: 姓名： 学号： _使用时间___________总编号______
课内探究学案
探究一：与对数函数有关的抽象函数问题：
例1、
探究二：数行结合问题
例2、若不等式0log 2<-x a x ，在??
? ??∈21,0x 时恒成立，求实数a 的取值范围.
探究三：与不等式有关的恒成立问题
例3、已知函数()()1,0log ≠>=a a x x f a ，如果对于任意[)+∞∈,3x 都有()1≥x f 成立，试求a 的取值范围.
课时9 与对数函数有关的抽象函数及数形结合、恒成立等综合应用测试题
____班 姓名_______
一，选择题：(每题5分，共30分)
1、（辽宁理）已知集合{}1log 04<<=x x A ，{}
2≤=x x B ，则=B A ( D ) A.()1,0 B.(]2,0 C.()2,1 D.(]2,1
2、已知0lg lg =+b a ，函数()x a x f =与函数()x x g b log -=的图象可能是（B ）
3、当()2,1∈x 时，不等式()x x a log 12
<-恒成立，则a 的取值范围是（C ）
A.()1,0
B.()2,1
C.(]2,1
D.??
? ??
21,0
4. （05辽宁卷）若011log 2
2<++a
a a
，则a 的取值范围是 （ C ）
A ．),2
1
(+∞
B ．),1(+∞
C ．)1,21(
D ．)2
1
,0(
5、（2013.天津高考改编）方程01log 25.0=-x x 的根的个数为（ B ）
A.1
B.2
C.3
D.4
6、已知函数()x x f lg =，若b a ≠且()()b f a f =，则b a +的取值范围是（C ）
A.()+∞,1
B.[)+∞,1
C.()+∞,2
D.[)+∞,2 二、填空题：（每题5分，共10分）
7、函数()()13lg 132++-=x x x x f 的定义域是_??
? ??-1,31_
8、已知函数()ax y a -=2log 在[]2,1上是减函数，则实数a 的取值范围是_()1,0_ 三、解答题：（每题个20分，共60分）
9、
10、
11、
数学教案－指数函数与对数函数的性质 及其应用 教案 课题：指数函数与对数函数的性质及其应用 课型：综合课 教学目标：在复习指数函数与对数函数的特性之后，通过图像对比使学生较快的学会不求值比较指数函数与对数函数值的大小及提高对复合型函数的定义域与值域的解题技巧。 重点：指数函数与对数函数的特性。 难点：指导学生如何根据上述特性解决复合型函数的定义域与值域的问题。 教学方法：多媒体授课。 学法指导：借助列表与图像法。 教具：多媒体教学设备。 教学过程： 一、复习提问。通过找学生分别叙述指数函数与对数函数的公式及特性，加深学生的记忆。 二、展示指数函数与对数函数的一览表。并和学生们共同复习这些性质。
指数函数与对数函数关系一览表函数 性质 指数函数 y=ax （a＞0且a≠1） 对数函数 y=logax（a＞0且a≠1） 定义域 实数集r 正实数集（0，﹢∞） 值域 正实数集（0，﹢∞） 实数集r 共同的点 （0，1） （1，0） 单调性 a＞1 增函数 a＞1 增函数 0＜a＜1 减函数 0＜a＜1 减函数
函数特性 a＞1 当x＞0,y＞1 当x＞1,y＞0 当x＜0,0＜y＜1 当0＜x＜1, y＜0 0＜a＜1 当x＞0, 0＜y＜1 当x＞1, y＜0 当x＜0,y＞1 当0＜x＜1, y＞0 反函数 y=logax（a＞0且a≠1）y=ax （a＞0且a≠1） 图像 y y=(1/2)x y=2x (0,1)
x y y=log2x (1,0) x y=log1/2x 三、同一坐标系中将指数函数与对数函数进行合成，观察其特点，并得出y＝log2x与y＝2x、 y＝log1/2x与y＝（1/2）x 的图像关 于直线y＝x对称，互为反函数关系。所以y＝logax与y＝ax互为反 函数关系，且y＝logax的定义域与y＝ax的值域相同，y＝logax的 值域与y＝ax的定义域相同。 y y＝(1/2)x y＝2x y＝x （0，1） y＝log2x （1，0） x y＝log1/2x
2.2指数函数与对数函数的应用 目标认知：学习目标： 能够熟练运用指数函数与对数函数的性质，解决指数函数与对数函数的综合问题． 学习重点： 运用函数有关理论，解决综合问题． 学习难点： 指数函数与对数函数综合应用． 典型例题：例1．设，函数在区间上的最大值与最小值之差为，则( ) A．B．2C．D．4 【解读】设，函数在区间上的最大值与最小值分别为 ，，它们的差为，∴，，选D．例2．函数的反函数的定义域为( ) A．B．(1，9]C．(0，1)D． 【解读】函数的反函数的定义域为原函数的值域，原函数的值域为(1，9]， ∴选B． 例3．若，则下列结论正确的是( ) A．B．C． D． 【解读】D；由指数函数与对数函数的单调性知D正确． 例4．函数的值域为 A．B．C．D．
答案：A 例5．若函数是函数的反函数，且，则 ( ) A．B．C．D． 答案：A 【解读】函数的反函数是，又，即 ， 所以，a=2，故，选A． 例6．设，，，则 A．B．C．D． 答案：A 【解读】∵，∴ ∴，∴． 例7．设则________ 答案：． 【解读】本题考察了分段函数的表达式、指对数的运算． 例8．已知函数．若，a＜b且，则的取值范围是 A．B．C．D． 答案：C 【解读1】因为，所以，所以a=b(舍去)，或，所以
又0＜a＜b，所以0＜a＜1＜b，令， 由“对勾”函数的性质知函数在上为减函数， 所以，即a+b的取值范围是． 【解读2】由0＜a＜b，且得：，利用线性规划得：，化为求的取值范围问题， ，过点(1，1)时z最小为2， ∴C 例9．若函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25，则可以是 A．B．C． D． 答案：A 【解读】的零点为，的零点为， 的零点为，的零点为． 现在我们来估算的零点，因为，， 所以的零点， 又函数的零点与的零点之差的绝对值不超过0.25， 只有的零点适合，故选A．
3.2.2 对数函数 【学习要求】 1.理解对数函数的概念; 2.掌握对数函数的性质; 3.了解对数函数在生产实际中的简单应用. 【学法指导】 通过画函数y ＝log 2x 和y ＝log x 的图象,观察其图象特征及由图象归纳函数的性质,进一步培养由特殊到一般、由具体到抽象的思维方法,以及数形结合的数学思想,养成善于观察、归纳的学习习惯. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.对数函数的概念: 函数 y ＝log a x (a>0,a ≠1,x>0) 叫做对数函数. 2.a : (1)对数函数的定义域是 正实数集 ,即 (0,＋∞) ,值域是实数集R; (2)在定义域内,当 a>1 时是增函数, 当 0
与指数函数、对数函数相关的应用题较多，如人口的增长（1981年、1996年高考题）、环保等社会热点问题，国民生产总值的增长、成本的增长或降低、平均增长率等经济生活问题，放射性物质的蜕变、温度等物理学科问题等. 一、人口问题 例1、某城市现有人口总数为100万人，如果年自然增长率为1.2%，试解答下面的问题： ⑴写出该城市人口数y（万人）与年份x（年）的函数关系式； ⑵计算10年以后该城市人口总数（精确到0.1万人）； ⑶计算大约多少年以后该城市人口将达到120万人（精确到1年）. 二、增长率问题 例2、按复利计算利息的一种储蓄，本金为a元，每期利率为r，设本利和为y，存期为x，写出本利和y 随存期x 变化的函数关系式.如果存入本金1000元，每期利率为2.25%，试计算5期后本利和是多少？（注：“复利”，即把前一期的利息和本金加在一起算作本金，再计算下一期利息.） 例3、某乡镇现在人均一年占有粮食360千克，如果乡镇人口平均每年增长1.2%，粮食总产量平均每年增长4%，那么x年后若人均一年占有y千克粮食，求出函数y关于x的解析式.
三、环保问题 例4、一片森林面积为a ，计划每年砍伐一批木材，每年砍伐的百分比相等，则砍伐到面积一半时，所用时间是T 年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的 14，已知到今 年为止，森林剩余面积为原来的2 . ⑴到今年为止，该森林已砍伐了多少年？ ⑵今后最多还能砍伐多少年？ 四、物理问题 例5、牛顿冷却定律描述一个物体在常温环境下的温度变化：如果物体的初始温度是T 0，则 经过一定时间h 后的温度T 将满足T －T a ＝ 2 1（T 0－T a ），其中T a 是环境温度，使上式成立所需要的时间h 称为半衰期．在这样的情况下，t 时间后的温度T 将满足T －T a ＝h t )21(（T 0－T a ）． 现有一杯ο195F 用热水冲的速溶咖啡，放置在ο75F 的房间中，如果咖啡降温到ο 105F 需20分钟，问欲降到ο95F 需多少时间？ 例6、设在海拔x m 处的大气压强是y Pa ，y 与x 之间的函数关系式是kx ce y =，其中c,k 为常量.已知某地某天在海平面的大气压为 1.01×105Pa ，1000m 高空的大气压为0.90×105Pa ，求600m 高空的大气压强（结果保留3个有效数字）.
一、对数 1、对数的定义： 如果a b =N （a ＞0，a ≠1），那么b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a N =b . 易得:log a N a N =——对数恒等式，自然对数：以e 为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg 。 实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式． 2、指数式与对数式的关系： a b =N ?log a N =b （a ＞0，a ≠1，N ＞0）. 要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。 3、对数运算性质: ①log a （MN ）=log a M +log a N . ②log a N M =log a M －log a N . ③log a M n =n log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ④log m n a M = n m log a M .（M ＞0，N ＞0，a ＞0，a ≠1） ⑤换底公式：log b N =b N a a log log （0 高中数学例题：对数函数性质的综合应用 例．（1）已知函数2lg(2)y x x a =++的定义域为R ，求实数a 的取值范围； （2）已知函数2lg(2)y x x a =++的值域为R ，求实数a 的取值范围； （3）22()log (log )a a f x x x =-+的定义域为1(0,)2 ，求实数a 的取值范围． 【思路点拨】与求函数定义域、值域的常规问题相比，本题属非常规问题，关键在于转化成常规问题.()f x 的定义域为R ，即关于x 的不等式220x x a ++>的解集为R ，这是不等式中的常规问题. ()f x 的值域为R 与22x x a ++恒为正值是不等价的，因为这里要求()f x 取遍一切实数， 即要求22u x x a =++取遍一切正数，考察此函数的图象的各种情况，如图，我们会发现，使u 能取遍一切正数的条件是0?≥. 【答案】（1）1a >；（2）1a ≤；（3） 132 ． 【解析】 （1）2lg(2)y x x a =++的定义域为R ， ∴220x x a ++>恒成立，∴440a ?=-<，∴1a >． （2）2lg(2)y x x a =++的值域为R ， ∴22x x a ++取遍一切正数，∴440a ?=-≥，∴1a ≤． （3）由题意，问题可等价转化为不等式22log 0a x x -<的解集为10,2?? ??? ，记2122:,:log ,a C y x C y x ==作图形12C C 与，如图所示，只 需2C 过点1124?? ???，，∴021a <<，即满足102a <<，且2211 log ()22a =即可，解得132 a =． 【总结升华】如果函数()f x 的定义域为某个区间D ，则函数()f x 在这个区间D 的任何子集内部都有意义；如果函数()f x 在区间E 上有意义，而()f x 的定义域为D ，则必有E D ?． 举一反三： 【变式1】 已知函数2()lg(21)f x ax x =++. (1)若函数()f x 的定义域为R ，求实数a 的取值范围；(2)若函数()f x 的值域为R ，求实数a 的取值范围. 【答案】（1）a>1；（2）0≤a ≤1． 【解析】(1) ()f x 的定义域为R ，即：关于x 的不等式2210ax x ++>的解集为R ， 当a=0时，此不等式变为2x+1>0，其解集不是R ； 当a ≠0时，有???<-=?>0 440a a ? a>1.∴ a 的取值范围为a>1. (2)f(x)的值域为R ，即u=ax 2+2x+1能取遍一切正数? a=0或? ??≥-=?>0440a a ?0≤a ≤1， ∴ a 的取值范围为0≤a ≤1. 2.2.2 对数函数及其性质(二) 学习目标 1.掌握对数型复合函数单调区间的求法及单调性的判定方法. 2.掌握对数型复合函数奇偶性的判定方法. 3.会解简单的对数不等式. 4.了解反函数的概念及它们的图象特点. 学习过程 一、自主学习 1.一般地，形如函数f (x )＝log a g (x )的单调区间的求法：①先求g (x )＞0的解集(也就是函数的定义域)；②当底数a 大于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调增区间是f (x )的单调增区间，g (x )＞0限制之下g (x )的单调减区间是f (x )的单调减区间；③当底数a 大于0且小于1时，g (x )＞0限制之下g (x )的单调区间与f (x )的单调区间正好相反. 2.一般地，对数不等式的常见类型： 当a ＞1时， log a f (x )＞log a g (x )?????? f x ＞0可省略，g x ＞0，f x ＞g x ； 当0＜a ＜1时， log a f (x )＞log a g (x )?????? f x ＞0，g x ＞0可省略，f x ＜g x . 3.一般地，对于底数a >1的对数函数，在(1，＋∞)区间内，底数越大越靠近x 轴；对于底数0 《对数函数的应用》导学案 教学目标：①掌握对数函数的性质。②应用对数函数的性质可以解决：对数的大小比较，求复合函数的定义域、值域及单调性。 ③ 注重函数思想、等价转化、分类讨论等思想的渗透,提高解题能力。 教学重点与难点：对数函数的性质的应用。 教学过程设计： ⒈复习提问：对数函数的概念及性质。 ⒉开始正课 1 比较数的大小 例 1 比较下列各组数的大小。 ⑴loga5.1 ,loga5.9 (a>0,a≠1) ⑵log0.50.6 ,logл0.5 ,lnл 师：请同学们观察一下⑴中这两个对数有何特征？ 生：这两个对数底相等。 师：那么对于两个底相等的对数如何比大小？ 生：可构造一个以a为底的对数函数，用对数函数的单调性比大小。 师：对，请叙述一下这道题的解题过程。 生：对数函数的单调性取决于底的大小：当0 y=logax单 调递减，所以loga5.1>loga5.9 ；当a>1时，函数 y=logax单调递 增，所以loga5.1 对数与对数函数 【高考要求】 1.理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数，了解对数在简化运算中的作用. 2.理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性与函数图象通过的特殊点，知道指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 互为反函数(a>0，a ≠1)，体会对数函数是一类重要的函数模型． 【知识梳理】 1.对数的概念 (1)对数的定义 如果a x ＝N (a >0且a ≠1)，那么数x 叫做以a 为底N 的对数，记作___ x ＝log a N ___，其中__ a __叫做对数的底数，__ N __叫做真数.真数N 为正数（负数和零无对数）． 说明：①实质上，上述对数表达式，不过是指数函数x a y =的另一种表达形式，例如：8134=与 81log 43= 这两个式子表达是同一关系，因此，有关系式.log N x N a a x =?= ②“log ”同“+”“×” “ ”等符号一样，表示一种运算，即已知一个数和它的幂求指数的运算，这 种运算叫对数运算，不过对数运算的符号写在数的前面。 ③对数的底数和真数 从对数的实质看：如果a b ＝N (a >0且a ≠1)，那么b 叫做以a 为底N 的对数，即b ＝log a N .它是知道底数和幂求指数的过程.底数a 从定义中已知其大于0且不等于1；N 在对数式中叫真数，在指数式中，它就是幂，所以它自然应该是大于0的. (2)几种常见对数 2．对数的性质与运算法则 （1）．对数基本性质：log 10a =，log 1a a =，log a N a N =---对数恒等式 （2）．对数运算性质：若0,1,0,0a a M N >≠>>且，则： ①log ()log log a a a MN M N =+ ②log log log a a a M M N N =- ③log log ()n a a M n M n R =∈ （3）．换底公式：log log (0,1;0,1;0)log c a c b b a a c c b a = >≠>≠> 推论：①log log (,,0)m n a a n M M m n R m m = ∈≠ ②1log log a b b a = 点评：（1）要熟练掌握公式的运用和逆用。 （2）在使用公式的过程中，要注意公式成立的条件。 例如：真数为两负数的积，).5(log ).3(log 22--不能写成).5(log ).3(log 22--=).5(log )3(log 22-+- 对数与对数函数 对数运算 1．(教材习题改编)计算： (1)log 35－log 315＝______； (2)log 23·log 32＝______. 2．(易错题)设a ，b ，c 均为不等于1的正实数，则下列等式中恒成立的是( ) A ．log a b ·log c b ＝log c a B ．log a b ·log c a ＝log c b C ．log a (bc )＝log a b ·log a c D ．log a (b ＋c )＝log a b ＋log a c 3．计算：(1)42log 3＝________. (2)log 225·log 34·log 59＝________. 4．计算? ?? ?? lg 14－lg 25÷100-1 2＝______. 5.12lg 3249－4 3lg 8＋lg 245＝________. 6．(2015·安徽高考)lg 52＋2lg 2－? ????12－1 ＝________. 7．计算：lg 0.001＋ln e ＋221log 3－＋＝________. 1．函数f (x )＝log a (x ＋2)－2(a >0，且a ≠1)的图象必过定点________． 定义域 1．函数y ＝log 0.54x －3的定义域为______． 2．函数f (x )＝ 1log 2x 2 －1 的定义域为( ) A.? ????0，12 B ．(2，＋∞) C.? ????0，12∪(2，＋∞) D.? ? ???0，12∪[2，＋∞) 3．(2015·湖北高考)函数f (x )＝4－|x |＋lg x 2－5x ＋6 x －3的定义域为( ) A ．(2,3) B ．(2,4] C ．(2,3)∪(3,4] D ．(－1,3)∪(3,6] 反函数 1．若函数y ＝f (x )是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)的反函数，且f (2)＝1，则f (x )＝( ) A ．log 2x B.1 2x C ．log 12 x D ．2x －2 对数函数的图象变换及在实际中的应用 对数函数图象是对数函数的一种表达形式， 形象显示了函数的性质。为研究它的数量关 系提供了“形”的直观性，它是探求解题途径、获得问题结果的重要途径。 一. 利用对数函数图象的变换研究复杂函数图象的性质 (一) 图象的平移变换 y log 2(x 2)的图象 主：图象的平移变换： 1.水平平移：函数y f (x b) , (a 0)的图像，可由y f (x)的 2.竖直平移：函数y f (x) b , (b 0)的图像，可由y f (x)的图像向上(+)或向下 平移b 个单位而得到. (二) 图像的对称变换 例2.画出函数y log 2 x 2的图像，并根据图像指出它的单调区间 ? 解：当 x 0 时，函数 y log 2 x 2 满足 f ( x) log 2( x)2 log 2 x 2 f (x)，所以 2 2 y log 2 x 是偶函数，它的图象关于 y 轴对称。当x 0时，y log 2 x 2 log 2 x 。因 此先画出y 2 log 2 x ,( x 0)的图象为s ，再作出&关于 y 轴对称C 2, c i 与C 2构成函数y 由图象可以知道函数 y log 2 x 2 调增区间是(0,) 例1. 画出 函数 y log 2 (x 2) 与 y log 2(x 2)的图像，并指出两个图像 之间的关系? 解：函数y log 2 x 的图象如果向右平移 到y Iog 2(x 2)的图像；如果向左平移 /pl y i. J - ■- .— w ■■ *-------- 1 ------ ~ / - 1 ] ''5 / 3 = / ' 到y log 2(x 2)的图像，所以把y log 2(x 2) 图像向左(+)或向右 平移a 个单位而得到 2个单位就得 2个单位就得 的图象向右平移4个单位得到 教材：对数函数性质的应用 目的：加深对对数函数性质的理解与把握，并能够运用解决具体问题。 过程： 一、复习：对数函数的定义、图象、性质 二、例一 求下列反函数的定义域、值域： 1．4 12 1 2 - = --x y 11≤≤-x 1- 2．=y 解：∵2x R 从而3．=y 51< 由①：01<<-x 由②：当1>a 时 必须 12≥--x x φ∈x 当10<= 02 .0log 11.0log 1 .02 .0>= ∵2.0log 3.0log 1.01.0< ∴1.0log 1.0log 2.03.0> 例三 已知3log 1)(x x f += ，2log 2)(x x g = 试比较)()(x g x f 和的大小。 解：4 3log )()(x x g x f x =- 1? 当341431>??????>>x x x 或 ?? ? ??< 2? 当 3 414 3= =x x 即时 )()(x g x f = 3? 0?>x ?< 第13讲：对数函数 一、课程标准 1、通过具体实例，直观了解对数函数模型所刻画的数量关系，理解对数函数的概念。 2、体会对数函数是一类重要的函数模型；能借助计算器或计算机画出具体对数函数的图象。 3、探索并了解对数函数的单调性与特殊点。 4、知道指数函数y＝a x与对数函数y＝log a x互为反函数(a＞0，a≠1)。 二、基础知识回顾 1、对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)的图象与性质 2、反函数 指数函数y＝a x(a>0，且a≠1)与对数函数y＝log a x(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线y＝x对称．对数函数的图象与底数大小的比较 3、如图，作直线y＝1，则该直线与四个函数图象交点的横坐标为相应的底数． 故0＜c＜d＜1＜a＜b. 由此我们可得到以下规律：在第一象限内从左到右底数逐渐增大． 三、自主热身、归纳总结 1、函数f(x)＝log 2(－x 2＋22)的值域为(B ) A . ????－∞，32 B . ?? ??－∞，32 C . ????32，＋∞ D . ????32，＋∞ 2、若log a 2＜log b 2＜0，则下列结论正确的是(B ) A . 0＜a ＜b ＜1 B . 0＜b ＜a ＜1 C . a ＞b ＞1 D . b ＞a ＞1 3、函数2 2()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞- B ．3(,)2 -∞- C ．3(,)2 +∞ D ．(4,)+∞ 4、（2019秋?菏泽期末）已知函数()log (1)a f x x =+，()log (1)(0a g x x a =->，1)a ≠，则( ) A ．函数()()f x g x +的定义域为(1,1)- B ．函数()()f x g x +的图象关于y 轴对称 C ．函数()()f x g x +在定义域上有最小值0 D ．函数()()f x g x -在区间(0,1)上是减函数 5、(2018苏州期末）已知4a ＝2，log a x ＝2a ，则正实数x 的值为________． 6、(2018盐城三模）．函数()ln(1f x =的定义域为 ▲ ． 四、例题选讲 考点一对数函数的性质及其应用 例1、（1）函数的定义域为（ ） A ． B ． 1 / 1 习题课 一、基础过关 1．函数f(x)＝3x 1－x ＋lg(2x －1)的定义域为 ( ) A ．(－∞，1) B ．(0,1] C ．(0,1) D ．(0，＋∞) 2．设2a ＝5b ＝m ，且1a ＋1 b ＝2，则m 的值为 ( ) A.10 B ．10 C ．20 D ．100 3．设a ＝log 32，b ＝ln 2，c ＝5－1 2，则 ( ) A ．a ＜b ＜c B ．b ＜c ＜a C ．c ＜a ＜b D ．c ＜b ＜a 4．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是 ( ) A ．y ＝2|x| B ．y ＝lg(x ＋x 2＋1) C ．y ＝2x ＋2－ x D ．y ＝lg 1x ＋1 5．已知函数f(x)＝log a x(a>0且a≠1)满足f(9)＝2，则a ＝________. 6．已知函数f(x)＝? ???? log 2x ， x>0，2x ， x≤0若f(a)＝1 2，则a ＝________. 7．已知f(x)＝log a x (a ＞0，a≠1)，当0＜x 1＜x 2时，试比较f(x 1＋x 22)与1 2[f(x 1)＋f(x 2)]的大小． 8．已知f(x)＝log a (3－ax)在x ∈[0,2]上单调递减，求a 的取值范围． 二、能力提升 9．函数f(x)＝log a |x|(a>0且a≠1)且f(8)＝3，则有 ( ) A ．f(2)>f(－2) B ．f(1)>f(2) C ．f(－3)>f(－2) D ．f(－3)>f(－4) 10．当a ＞1时，函数y ＝log a x 和y ＝(1－a)x 的图象只可能是 ( ) 11．已知函数f(x)＝lg ax ＋a －2 x 在区间[1,2]上是增函数，则实数a 的取值范围是________． 12．已知函数f(x)＝log a (x ＋1)－log a (1－x)，a>0且a≠1. (1)求f(x)的定义域； (2)判断f(x)的奇偶性并予以证明； (3)若a>1，求使f(x)>0的x 的解集． 三、探究与拓展 13．已知函数f(x)＝lg(a x －b x )(a>1>b>0)． (1)求y ＝f(x)的定义域； (2)在函数y ＝f(x)的图象上是否存在不同的两点，使得过这两点的直线平行于x 轴； (3)当a ，b 满足什么条件时， f(x) 在(1，＋∞)上恒取正值． 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 1、指数函数、对数函数的图像和性质： a 1 0 a 1 图 象 （ 1）定义域： 性 （ 2）值域： 质 （ 3）过定点： （ 4）在 ______上是 ________函数． （ 4）在 ______上是 ________函数． 2、指数函数与对数函数的互化： y a x x l o g a y ( a 0,a 1 ) 【基础练习】 、若 9 x 1 ，则 x= ( ) 1 3 A. 1 B. 1 C.2 D.1 2 2 2 2、若函数 h( x) lg( x x 2 1) ， h( 1) 1.62 ，则 h( 1) （ ） x 2 A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3 若 log ( x a) log a 2 log x 有解，则 a 的取值范围是 （ ） A. 0 a 1或 a 1 B. a 1 C. a 1 或 1 a D. a 1 4、某工厂某设备价值 50 万元，且每年的综合损耗是 3%，若一直销售不下去，经过多少年其价值降低为 36 万元。（精确到 1 年） 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术， 则该工厂的用水量是 5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减 少 10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为 2.5%，按复利计算，若本金为 30000 元，设存入 x 期后的本金和利息为 y 元． （ 1）写出 y 随 x 变化的函数； （ 2）若使本利和为存入时的 1.5 倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在 0 摄氏度的冰箱中，保鲜时间是 192 小时，而在 22 摄氏度的厨房中则是 42 小时． （1）写出保鲜时间 y 关于储藏温度 x 的函数关系式； （2）利用（ 1）中的结论，指出温度在 30 摄氏度到 16 摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值 a 万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低 b %，则 n 年后这批设备的价值为（） C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n A、 na (1-b%) B、a (1- nb %) 2、方程 2 x x2 2 的实数解的个数是（） A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10% 的变化，设该放射性物质原来的质量为 a 克．（1）写出它的剩余量 y 随时间 x 变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 1 / 1 3.2.3 指数函数与对数函数的关系 一、基础过关 1．函数y ＝3x (－1≤x<0)的反函数是 ( ) A ．y ＝log 13x(x>0) B ．y ＝log 3x(x>0) C ．y ＝log 3x(13≤x<1) D ．y ＝log 13x(13 ≤x<1) 2．已知函数y ＝e x 的图象与函数y ＝f(x)的图象关于直线y ＝x 对称，则 ( ) A ．f(2x)＝e 2x (x ∈R ) B ．f(2x)＝ln 2·ln x (x>0) C ．f(2x)＝2e x (x ∈R ) D ．f(2x)＝ln 2＋ln x(x>0) 3．已知函数y ＝log a x 与其反函数的图象有交点，设交点的横坐标为x 0，则有 ( ) A ．a>1且x 0>1 B ．0 指数函数与对数函数的实际应用 【复习目标】 1、明确题意中指数函数还是对数函数的模型，会根据数量关系建构、解决函数 模型； 2、掌握互化的方法，在指数型函数求幂问题与对数型函数求对数值问题中的运 用； 3、通过实际问题的解决，渗透数学建模的思想，提高学生的数学学习兴趣． 【课前知识整理】 2、指数函数与对数函数的互化： x y a =?y x a l o g =(1,0≠>a a ) 【基础练习】 1、若3 19=-x ，则x= ( ) A.21 B.2 1- C.2 D.1 2、若函数)1lg(2)(22+++=x x x x h ，62.1)1(=-h ，则=-)1(h （ ） A.0.38 B.1.62 C.2.38 D.2.62 3若x a a x πππlog log )(log 2+=+有解，则a 的取值范围是 （ ） A.110-<<a C.011<<->a a 或 D. 1 【考点探析】 活动一涉及指数函数模型的应用问题． 例1、一项技术用于节约资源，使谁的使用量逐月减少，若一工厂用这一技术，则该工厂的用水量是5000 m3，计划从二月份，每个月的用水量比上一个月都减少10%，预计今年六月份的用水量约是多少？（精确到1m3） 活动二指数函数与对数函数模型的互化． 例2、某种储蓄利率为2.5%，按复利计算，若本金为30000元，设存入x期后的本金和利息为y元． （1）写出y随x变化的函数； （2）若使本利和为存入时的1.5倍，应该存入多少期？ 【能力提升】 牛奶保鲜时间因储藏温度的不同而不同，假定保鲜时间与储藏温度间的关系为指数函数，若牛奶放在0摄氏度的冰箱中，保鲜时间是192小时，而在22摄氏度的厨房中则是42小时． （1）写出保鲜时间y关于储藏温度x的函数关系式； （2）利用（1）中的结论，指出温度在30摄氏度到16摄氏度的保鲜时间． 【课后检测】 1、一批设备价值a万元，由于使用磨损，每年比上一年价值降低b %，则n年后这批设备的价值为（） A、na (1-b%) B、a (1- nb %) C、a [1-(b%) n] D、a(1-b%)n 2、方程2 -+=） 2x x A.0 B.1 C.2 D.3 3、某放射性物质，每年有10%的变化，设该放射性物质原来的质量为a克．（1）写出它的剩余量y随时间x变化的函数关系； （2）经过多少年它的原物质是原来的一半． 2021届一轮复习人教A版对数函数及其性质教案 教学目标设置 课标要求： 通过具体实例，了解对数函数的概念，能用描点法或借助计算工具画出具体对数函数的图象，探索并了解对数函数的单调性与特殊点. 教学目标： 1.通过问题情境，抽象出对数函数的概念，培养学生数学建模、数学抽象的核心素养. 2.类比指数函数及其性质的研究方法，分组做出图象，归纳出对数函数的性质，渗透数形结合、从特殊到一般的学习方法，培养学生自主探究的能力. 3.会求和对数函数有关的函数的定义域，会利用对数函数的单调性比较大小. 一、学生学情分析 1.刚升入高中的学生在前面已经学习了“函数的概念及其性质”“指数函数”以及“对数的概念与运算性质”，学生的抽象概括能力、探究能力、逻辑思维能力得到了一定的锻炼，对如何研究一个具体函数方法有了初步的了解.授课学生属于本校第二层次的班级，基础知识比较扎实，具备一定的类比能力. 2.虽然有“指数函数”的学习作为参照，但是学生在自主探究的过程中分析问题的能力仍然不足，如何从对数函数的图象归纳出对数函数的性质对学生来说仍有一定的难度，尤其是底数a对函数值变化的影响，教学时，教师要适当引导. 二、教学策略分析 在本节课的教学中，主要以问题引导全程，启发学生反复思考，通过小组合作学习，展示学生的学习成果，让学生充分发表自己的观点，在此过程中学生不断将知识、方法内化成为自己的认知结构.这样做可使学生经历新概念产生的过程，认识新旧知识的联系，在过程中感受学习新概念、研究新函数的方法． 三、教学重、难点 重点：对数函数的概念、图象和性质. 难点：引导学生采用数形结合地方法从具体到一般地探索、概括对数函数的性质. 四、教学基本流程 五、教学情境设计 （一)创设情境，引入新课 ※问题1：你知道考古学家是如何推测出土文物或古遗址年代的吗？ 设计意图：创设问题情境，从实际生活中的例子入手，激发学生的求知欲，并体会变量P 与t 之间的函数关系. 生：利用科学计算器完成表格. 师：从函数的观点引导学生认识P t 2 1 5730 log =（将该函数板书于副板，为提 炼对数函数模型做准备）. （二)探索新知 1.对数函数的定义 ※问题2：观察上述函数有什么特点？ 设计意图：引导学生提炼对数函数模型)10(log ≠>=a a x y a 且. 师：引导学生观察函数的特征：含有对数符号，底数是常数，真数是变量（用 x 表示函数的自变量，用y 表示函数值，并将底数抽象为字母a ，将解析式概括 为x y a log =的形式）. ※问题3：根据前面对对数的学习，你认为a 的取值范围是什么？自变量x 的取值范围呢？ 目录 对数函数 (2) 模块一：对数与对数运算 (2) 考点1：对数运算 (3) 模块二：对数函数图像与性质的应用 (3) 考点2：对数比较大小 (4) 模块二：对数型复合函数 (4) 考点3：对数函数相关的复合函数 (5) 课后作业： (6) 对数函数 模块一：对数与对数运算 1.对数的概念： 一般地，如果b a N =(0a >，且1)a ≠，那么我们把b 叫做以a 为底N 的对数，记作log a b N =，其中a 叫做对数的底数，N 叫做真数． 2.常用对数与自然对数 对数log a N （0a >且1a ≠），当底数 （1）10a =时，叫做常用对数，记做lg N ； （2）e a =时，叫做自然对数，记做ln N （e 为无理数，e 2.71828≈）． 3.对数的运算性质： 如果，且，那么： （1）；（积的对数等于对数的和） 推广 （2） ；（商的对数等于对数的差） （3） ．（幂的对数等于底数的对数乘以幂指数） 4.换底公式：（）． 5.换底公式的几个基本使用： ①； ②； ③； ④. 0a >100a M N ≠>>， ，log ()log log a a a M N M N ?=+1212log ()log log log a k a a a k N N N N N N ???=+++log log log a a a M M N N =-log log ()a a M M α αα=∈R log log log a b a N N b = 010a b a b N >≠>，，，，log log 1a b b a ?=log log log a b a b c c ?=1 log log n a a b b n =log log n m a a m b b n =高中数学例题：对数函数性质的综合应用
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