13．已知函数f(x)=|x 2+3x|,x ∈R.若方程f(x)-a|x-1|=0恰有4个互异的实数根,则实数a 的取值范围为____ ____. 【答案】(0,1)∪(9,+∞) 14．使得函数
的值域为
的实数对
有 对.
【答案】2
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．求下列函数的值域．
（1）求函数y =x +12+x 的值域．
【解】 y =x +12+x =
21[2x +1+212+x +1]-1=21(12+x +1)-1≥21-1=-2
1. 当x =-21时，y 取最小值-21，所以函数值域是[-2
1
，+∞）．
（2） 求函数y =4
34
322+++-x x x x 的值域．
【解】由函数解析式得(y -1)x 2+3(y +1)x +4y -4=0. ①当y ≠1时，①式是关于x 的方程有实根．
所以△=9(y +1)2-16(y -1)2≥0，解得7
1
≤y ≤1.又当y =1时，存在x =0使解析式成立，
所以函数值域为[7
1
，7]．
（3）求函数y =(x +1+x -1+2)(21x -+1)，x ∈[0，1]的值域．
【解】令x +1+x -1=u ，因为x ∈[0，1]，所以2≤u 2=2+221x -≤4，所以2≤u≤2，
所以2
22+≤22
+u ≤2，1≤22u ≤2，所以y =22+u ，u 2∈[2+2，8]．
所以该函数值域为[2+2，8]．
16．设A 、B 是两个非空集合，定义A 与B 的差集A －B ＝{x |x ∈A ，且x ?B }． (1)试举出两个数集，使它们的差集为单元素集合； (2)差集A －B 与B －A 是否一定相等？请说明理由；
(3)已知A ＝{x |x ＞4}，B ＝{x ||x |＜6}，求A －(A －B )及B －(B －A )，由此你可以得到什么更一般的结论？(不必证明) 16．【解】(1)如A ＝{1,2,3}，B ＝{2,3,4}，则A －B ＝{1}．
(2)不一定相等．由(1)，B －A ＝{4}，而A －B ＝{1}，B －A ≠A －B ，只有当A ＝B 时，A －B ＝B －A ，∴A －B 与B －A 不一定相等．
(3)A －B ＝{x |x ≥6}，B －A ＝{x |－6＜x ≤4}，A －(A －B )＝{x |4＜x ＜6}， B －(B －A )＝{x |4＜x ＜6}．由此猜测一般的对于两个集合A ，B ： 有A －(A －B )＝B －(B －A )成立．
17．对定义域分别为D f 、D g 的函数y ＝f (x )、y ＝g (x )，规定： 函数h (x )＝????
?
f x ·
g x 当x ∈D f 且x ∈D g f x 当x ∈D f 且x ?D g
g x 当x ?D f 且x ∈D g
(1)若函数f (x )＝1
x －1
，g (x )＝x 2，写出函数h (x )的解析式；
(2)求问题(1)中函数h (x )的值域． 17．【解】(1)∵f (x )的定义域D f ＝(－∞，1)∪(1，＋∞)， g (x )的定义域D g ＝(－∞，＋∞)，所以h (x )＝ ???
??
x 2x －1，x ∈ －∞，1 ∪ 1
，＋∞ 1， x ＝1
. (2)当x ≠1时，h (x )＝x 2x －1＝x 2－1＋1x －1＝x －1＋1
x －1
＋2.
若x >1，则x －1>0，∴h (x )≥2 x －1 ·1
x －1
＋2＝4.
当且仅当x ＝2时，等号成立．若x <1，则x －1<0，
∴h (x )＝－[－(x －1)－1
x －1
]＋2≤－2＋2＝0，
当且仅当x ＝0时取等号．当x ＝1时，h (x )＝1，综上知h (x )的值域为{y |y ≤0或y ＝1或y ≥4}．
18．已知f (x )是定义在区间[－1,1]上的奇函数，且f (1)＝1，若m 、n ∈[－1,1]，m ＋n ≠0时，有f m ＋f n m ＋n >0.(1)解不等式f ????x ＋1
2解：(1)任取x 1、x 2∈[－1,1]，且x 2>x 1，则f (x 2)－f (x 1)＝f (x 2)＋f (－x 1)＝f x 2 ＋f －x 1
x 2＋ －x 1
·(x 2
－x 1
)>0，∴f (x 2
)>f (x 1
)，∴f (x )是增函数．f ????x ＋12－1≤x ＋1
2
≤1，
－1≤1－x ≤1，
x ＋12<1－x
?0≤x <1
4
，即
不等式f ????x ＋12∴f (x )≤t 2－2at ＋1对a ∈[－1,1]、x ∈[－1,1]恒成立?t 2－2at ＋1≥1对任意a ∈[－1,1]恒成立?t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立．把y ＝t 2－2at 看作a 的函数，由a ∈[－1,1]知其图象是一条线段，∴t 2－2at ≥0对任意a ∈[－1,1]恒成立
??
????
t 2
－2×
－1 ×t ≥0，t 2
－2×1×t ≥0??
????
t 2
＋2t ≥0，
t 2
－2t ≥0??
??
??
t ≤－2或t ≥0
t ≤0或t ≥2，?t ≤－2，或t ＝0，或t ≥2
19．若函数f (x )对定义域中任意x 均满足f (x )＋f (2a －x )＝2b ，则称函数y ＝f (x )的图象关于点
(a ，b )对称．
(1)已知函数f (x )＝x 2＋mx ＋m
x
的图象关于点(0,1)对称，求实数m 的值；
(2)已知函数g (x )在(－∞，0)∪(0，＋∞)上的图象关于点(0,1)对称，且当x ∈(0，＋∞)时，g (x )＝x 2＋ax ＋1，求函数g (x )在(－∞，0)上的解析式；
(3)在(1)(2)的条件下，当t >0时，若对任意实数x ∈(－∞，0)，恒有g (x )＋mx ＋m x ＋x 2－mx ＋m －x
＝2，解得m ＝1.
(2)当x <0时，－x >0且g (x )＋g (－x )＝2， ∴g (x )＝2－g (－x )＝－x 2＋ax ＋1.
(3)由(1)得f (t )＝t ＋1
t
＋1(t >0)，
其最小值为f (1)＝3.
g (x )＝－x 2
＋ax ＋1＝－(x －a 2)2＋1＋a 24
，
①当a 2<0，即a <0时，g (x )max ＝1＋a
2
4<3，
得a ∈(－22，0)；
②当a
2
≥0，即a ≥0时，g (x )max <1<3，
得a ∈[0，＋∞)；
由①②得a ∈(－22，＋∞)．
21．设二次函数f(x)=ax 2+bx+c (a,b,c ∈R,a≠0)满足条件： ① 当x ∈R 时，f(x-4)=f(2-x)，且f(x)≥x ； ②
当x ∈(0,2)时，f(x)≤2
)2
1(
+x ③ f(x)在R 上的最小值为0。
求最大值m(m>1)，使得存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x 解：∵f(x-4)=f(2-x) ∴函数的图象关于x= -1对称 ∴ 12-=-
a
b
b=2a 由③知当x= 1时,y=0，即a b+c=0由①得 f(1)≥1，由②得 f(1)≤1 ∴f(1)=1，即工+了+以=1，又a b+c=0∴a=41 b=21 c=4
1
∴f(x)=
4
1
21412++x x 假设存在t ∈R ，只要x ∈[1,m]，就有f(x+t)≤x
取x=1时，有f(t+1)≤1?
41(t+1)2+21(t+1)+4
1
≤1? 4≤t≤0 对固定的t ∈[-4,0]，取x=m ，有f(t m)≤m ?41(t+m)2+21(t+m)+4
1
≤m
?m 2 (1 t)m+(t 2+2t+1)≤0?t t 41---≤m≤t t 41-+-
∴m≤t t 41--
≤)4(4)4(1-?-+--=9
当t= -4时，对任意的x ∈[1,9]，恒有f(x 4) x=4
1(x 2 10x+9)=4
1(x 1)(x 9)≤0 ∴m 的最大值为9。
