由三视图还原成实物图
【学习目标】
1.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型；
2.经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。【学习重点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
【学习难点】
根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型
【课前预习案】
预习问题设置
1.（1）正方体的三视图都是。
（2）圆柱的三视图中有两个是，另一个是。
（3）圆锥的三视图中有两个是，另一个是和。
（4）四棱锥的三视图中有两个是，另一个是。
（5)球体的三视图都是。
2.根据下面的三视图说出立体图形的名称.
分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。
（1）由主视图可知，物体正面是；由俯视图可知，由上向下看
物体是；由左视图知,物体的侧面是。综合视图可知，
物体是.
（2）由主视图可知，物体正面是；由俯视图可知，由上向下看
物体是；由左视图知,物体的侧面是。综合各视图可知，
物体是.
3.根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状.
分析：由主视图可知，物体正面是；由俯视图可知，由上向下
看物体是，且有一条棱(中间的实线)可见到，两条棱(虚线)
被遮挡；由左视图知,物体的侧面是，且有一条棱〔中间的实
线)可见到。综合各视图可知，物体是 .
【课堂探究案】
1.说出下列图中两个三视图分别表示的几何体.
2.下图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状.
3.某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（）
【课后检测案】
1．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，这样些相同的小
正方形的个数是( )
2.如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标
号正确的是（ ）
甲 乙 丙
①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱
3．请写出三种视图都相同的两种几何体是 .
4.根据下列物体的三视图，填出几何体的名称：
（1）如图7所示的几何体是______.
（2）如图8所示的几何体是______.
主视图 左视图 俯视图
Ａ． Ｂ． ＣＤ．
图
7
图
8
《由三视图还原成实物图》教学设计 一.教学理念设计 新课程下教学的基本理念是倡导合作探究性学习,培养学生的创新精神和实践能力，更加贴近素质教育，更加人性化、信息化、多元化。根据这一理念，本节是以实际问题的出现通过自主探究的方式掌握数学知识,以交流合作的模式发展数学能力,以理论是为实践服务的宗旨解决实际问题,最后升华为培养数学精神为理念。“学起于思，思源于疑”。学生有了疑问才会去进一步思考问题，才会有所发展，有所创造， 二.教材分析 本节是北师大版必修2第1章第3节的教学容.在学完组合体的三视图后,教材从逆向思维的角度给出了本节容.这两节容的有机结合,使学生认图,识图的空间想象能力有了一定的提高, 为后面立体几何的学习做了一个很好的铺垫.同时它也是许多知识的载体，如计算几何体的体积或面积等。从我们的教学经验可知:该节容在整个立体几何中起到了承上启下的巨大作用, 三.学情分析 三视图是教材新增容，在高考中一般总与几何体的体积(或面积)相结合来命题.但由于学生目前还没有学几何体的体积(或面积)容，因此本节的教学只局限于如何由三视图还原成实物图. 但由于高一学生刚刚接触到立体几何,而立体几何则要求学生要有较强的空间想象能力,因此初学起来具有一定的难度,为了突破这个“瓶颈”，本节课特采用多媒体辅助教学,这既能充分发挥学生主观能动性，又能达到预期的教学目的. 四.教学目标 １. 知识目标 ①了解由实物图到三视图与由三视图还原成实物图之间的关系 ②掌握由三视图还原成实物图的方 2. 教学重、难点 教学重点：由三视图如何还原成实物图及其方法 教学难点：复杂的组合体如何由三视图还原成实物图. 3．能力目标 ①提高学生的空间想象能力和对所学知识的整合能力. ②培养学生的动手动脑的习惯，培养学生的团队合作精神 五.情感、态度与价值观 通过师生共同探究，体会数学知识的形成过程，培养学生的空间想象能力，培养学生的团队合作精神,自觉养成动手、动脑及勤学严谨的良好学习习惯. 六.教学方法
三视图还原解读 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学(包括一些空间想象能力挺强的同学)造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道5分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．本文就三视图还原总结为“三线交汇得顶点”现从这道高考题入手． 2014年高考全国I 卷理科第12题：如图，网格纸上小正方形 的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各 条棱中，最长的棱的长度是（） A．B．6 C．D．4 正确答案是B． 解：由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为4，所以我们可用一个正 方体作为载体对三视图进行还原．先画出一个正方体，如图（1）： 第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在 的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必定是由图 中红线上的点投影而成的． 第二步，侧视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段， 用蓝线表示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段， 用绿线表示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不 行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至 此，易知哪条棱是最长棱，求出即可 大家是不是体会到了用这种方法还原三视图的妙处呢？这种方法的核心其实就是七个字：“三线交汇得顶点”．这样是不是比我们以前那种天马行空的遐想接地气一些呢？由此，我们在三视图还原上就可以七字真言扫天下了． 此方法更适用于解决三棱锥的问题，画直观图后需要验证一下是否符合。 由三视图画直观图的方法 由立体图形的三视图想象直观图一向是诸多考试的必考项目，而这也 恰好是很多空间想象能力不足的同学的噩梦．其实利用三视图的原理可以 很有效的帮助直观图的建立，下面结合一例说明这一方法， 三视图选自2015年北京市东城区高三一模理科数学选择第7小题．
《由三视图还原成实物图》 ◆教材分析 三视图是新课标新增内容之一，在整个高中课程和高考中都占有重要地位。中学生在初中阶段对三视图有了初步了解，高中阶段则在初中的基础之上，进一步掌握简单空间图形（柱体，锥体，球体和台体以及它们的简单组合或者切割）三视图的画法，并能够识别三视图表示的立体模型。本节第一课时已经学习了根据立体图形画出三视图和三视图的画法规则，学生们对简单几何体的三视图有了一些了解。此外，《由三视图还原成实物图》的知识与我们日常生活、生产、科学研究等领域有着密切的联系，因此学习这部分内容有着广泛的现实意义。而且，由三视图还原成实物图是培养学生空间想象能力的重要载体，对整个立体几何的学习有深刻影响，要引起足够重视。 ◆教学目标 【知识与能力目标】 能根据三视图想象出几何体的大致形状并画出几何体的直观草图，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。
【过程与方法目标】 培养和发展学生分析问题的能力和作图能力，着重培养其空间想象能力；通过直观感知，操作确认，培养学生的应用意识。 【情感态度价值观目标】 感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 根据三视图想象对应基本几何体形状。 【教学难点】 根据三视图想象几何体的组合情况或者切割情况。 电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入部分 提问：上节课我们学习了通过实物图画三视图，那么三视图画法步骤有哪些? 引导学生积极思考思考并回答，课件展示画法步骤。 提问：三视图画法规则“九字诀”是什么？ 答：长对正、宽相等、高平齐 二、探究新知： 问题提出: 在实际生产中, 工人是怎样根据三视图加工零件的?
核心内容： 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤： （1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状；（2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短； （3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 （1）将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤： ①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图； ②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；如图
③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示： 经典题型： 例题1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3。 解答：（24） 例题2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（）
答案：21+3 计算过程： 步骤如下： 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN 如图； 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E 、F 、M 、N 处不可能有垂直拉升的线条，而在点A 、B 、C 、D 处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点''''',,,,,F E D B G G 地位置如图； 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G 与点E 、F 分别连接，将'G 与点'E 、'F 分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。
三视图还原 ——七字真言闯天下 一、首先要掌握简单几何体的三视图。 正方体、长方体、三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥、圆柱、圆锥、圆台和球的三视图分别是什么要熟悉掌握。 二、掌握简单组合体的组合形式。 简单组合体主要有拼接和挖去两种形式。 三、三视图之间的关系。 几何体的长：正视图、俯视图的长； 几何体的宽：俯视图的高、侧视图的长； 几何体的高：正视图、侧视图的高。 （口诀：主俯定长，俯左定宽，主左定高）（下面） 左视左侧（后面）正视左侧 （左面）正视右侧 （右面）左视右侧（前面） （下面） 四、清楚三视图各个线段说表示几何体位置，如上图所表示。 五、由三视图画出直观图的步骤和思考方法。 1、组合类题型，往往很简单，基本可以通过简单想象直接还原； 2、有两个视角为三角形，为椎体特征。选择底面还原（求体积可不用还原）； 3、凡是想不出来的，可用七字真言还原。（不到万不得已，不用此法） 前面 俯视左侧 （左面）
【类型一】：（三线交汇得顶点，四顶相连无悬念）
例2： 练习1练习2 类型二】： （三线交汇得顶点，各顶必在其中选、多顶可能用不完，个中取舍是关键。）例3：
连接这五个点的四棱锥，不满足俯视图。 而顶点又必须在这五点交点中， 所以当点数超过4个，可能不需要全部连接， 则这些点有所取舍。 第一取舍法：俯视图看到的面不可以为上面四个点构成的整个四边形，而是中间有一条折痕，故只能说左半边三角形乡下折。即舍弃前面左上方的点。 故得， 第二取舍法：正视图看，已标记下面的点必不可少； 从俯视图看，上面有3个点必不可少； 又不能全部连接，故只能舍弃前面左上方的点。 第三取舍法：口诀：实线两端的点保留，虚线两端的点待定。 从俯视图一看，便知道答案了。 第四取舍法：见下文。 【类型三】：（八点齐飞，直观图不唯一） 例4 此题八点齐飞，通过类型二中的第三取舍法，我们很容易就能还原出来。 答案见下一页，先试试再翻页吧
高考数学三视图还原方法归纳 方法一:还原三步曲 核心容： 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤： （1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状； （2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短； （3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 （1）将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤： ①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图；
②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；如图 ③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示： 经典题型： 例题1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3。 解答：（24）
例题2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） 答案：21+3计算过程： 步骤如下： 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN如图； 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E、F、M、N处不可能有垂直拉升的线条，而在点A、B、C、D处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点
' ' ', ' ' D B G地位置如图； E G ,F , , , 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G与点E、F分别连接，将'G与点'E、'F分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。 例题3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（） 答案：（6） 还原图形方法一： 若由主视图引发，具体步骤如下： （1）依据主视图，在长方体后侧面初绘ABCM如图：
每日一题[280] 三视图还原——七字真言闯天下2015年10月26日 大雨瓢泼 数海拾贝 解决三视图问题，尤其是一些比较复杂的三视图还原问题，需要极强的空间想象能力．这给好多同学（包括一些空间想象能力挺强的同学）造成了一定的压力，如果在高考中碰到一个稍有些不常规的三视图，绝对会给在高考中以数学成绩为倚傍的同学设置了一道拦路虎，要是稍微一心慌，那我们与这一道分题就失之交臂了，也会给后面的答题造成心理影响．比如2014年全国1卷第12题，当时就将相当大一部分同学斩于马下．今天小编就带领大家为曾经在类似这样的三视图还原问题上折戟沉沙的同学报仇雪恨．我们的口号是“七字真言扫天下，不破胡虏誓不归．”就从这道高考题入手吧． 2014年高考全国 I 卷理科第12题（选择压轴题）： 如图，网格纸上小正方形的边长为，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ） A ． B ． C ． D ．正确答案是 B． 5162 √6 42 √4
解 由三视图可知，原几何体的长、宽、高均为，所以我们可用一个正方体作为载体对三视图进行还原． 先画出一个正方体，如图（1）： 第一步，根据正视图，在正方体中画出正视图上的四个顶点的原象所在的线段，这里我们用红线表示．如图（2），即正视图的四个顶点必 定是由图中红线上的点投影而成的． 第二步，左视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用蓝线表 示，如图（3）． 第三步，俯视图有三个顶点，画出它们的原象所在的线段，用绿线表 示，如图（4）． 最后一步，三种颜色线的公共点（只有两种颜色线的交点不行）即为原几何体的顶点，连接各顶点即为原几何体，如图（5）．至此，易知哪条棱是最长棱，求出即可． 4
由三视图还原成实物图 【学习目标】 1.学会根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型； 2.经历探索简单的几何体的三视图的还原，进一步发展空间想象能力。【学习重点】 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 【学习难点】 根据物体的三视图描述出几何体的基本形状或实物原型 【课前预习案】 预习问题设置 1.（1）正方体的三视图都是。 （2）圆柱的三视图中有两个是，另一个是。 （3）圆锥的三视图中有两个是，另一个是和。 （4）四棱锥的三视图中有两个是，另一个是。 （5)球体的三视图都是。 2.根据下面的三视图说出立体图形的名称. 分析:由三视图想象立体图形时，要先分别根据主视图、俯视图和左视图想象立体图形的前面、上面和左侧面，然后再综合起来考虑整体图形。 （1）由主视图可知，物体正面是；由俯视图可知，由上向下看 物体是；由左视图知,物体的侧面是。综合视图可知， 物体是. （2）由主视图可知，物体正面是；由俯视图可知，由上向下看 物体是；由左视图知,物体的侧面是。综合各视图可知，
物体是. 3.根据物体的三视图(如下图)描述物体的形状. 分析：由主视图可知，物体正面是；由俯视图可知，由上向下 看物体是，且有一条棱(中间的实线)可见到，两条棱(虚线) 被遮挡；由左视图知,物体的侧面是，且有一条棱〔中间的实 线)可见到。综合各视图可知，物体是 . 【课堂探究案】 1.说出下列图中两个三视图分别表示的几何体. 2.下图是一几何体的三视图，想象该几何体的几何结构特征，画出该几何体的形状. 3.某几何体的三视图如下所示，则该几何体可以是（）
【课后检测案】 1．下图是由一些相同的小正方形构成的几何体的三视图，这样些相同的小 正方形的个数是( ) 2.如下图所示，甲、乙、丙是三个立体图形的三视图，甲、乙、丙对应的标 号正确的是（ ） 甲 乙 丙 ①长方体 ②圆锥 ③三棱锥 ④圆柱 3．请写出三种视图都相同的两种几何体是 . 4.根据下列物体的三视图，填出几何体的名称： （1）如图7所示的几何体是______. （2）如图8所示的几何体是______. 主视图 左视图 俯视图 Ａ． Ｂ． ＣＤ． 图 7 图 8
《由三视图还原成实物图》教学设计 三视图是新课标新增内容之一，在整个高中课程和高考中都占有重要地位。中学生在初中阶段对三视图有了初步了解，高中阶段则在初中的基础之上，进一步掌握简单空间图形（柱体，锥体，球体和台体以及它们的简单组合或者切割）三视图的画法，并能够识别三视图表示的立体模型。本节第一课时已经学习了根据立体图形画出三视图和三视图的画法规则，学生们对简单几何体的三视图有了一些了解。此外，《由三视图还原成实物图》的知识与我们日常生活、生产、科学研究等领域有着密切的联系，因此学习这部分内容有着广泛的现实意义。而且，由三视图还原成实物图是培养学生空间想象能力的重要载体，对整个立体几何的学习有深刻影响，要引起足够重视。 【知识与能力目标】 能根据三视图想象出几何体的大致形状并画出几何体的直观草图，从而进一步熟悉简单几何体的结构特征。 【过程与方法目标】 培养和发展学生分析问题的能力和作图能力，着重培养其空间想象能力；通过直观感知，操作确认，培养学生的应用意识。 【情感态度价值观目标】 感受数学就在身边，提高学生的学习立体几何的兴趣，培养学生大胆创新、勇于探索、互相合作的精神。 【教学重点】 根据三视图想象对应基本几何体形状。 【教学难点】 根据三视图想象几何体的组合情况或者切割情况。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。 一、复习导入部分 提问：上节课我们学习了通过实物图画三视图，那么三视图画法步骤有哪些? 引导学生积极思考思考并回答，课件展示画法步骤。 提问：三视图画法规则“九字诀”是什么？ 答：长对正、宽相等、高平齐 二、探究新知： 问题提出: 在实际生产中, 工人是怎样根据三视图加工零件的? 1、由三视图还原成实物图 实例分析，探索新知 根据三视图想象物体原形, 并画出物体的实物草图: （1）三视图a； ◆教学过程
三视图还原直观图“五步走” 石门县第一中学415300陈锦鑫 三视图是高中立体几何中的一个重要知识点，也是今后进一步学习机械制图、建筑制图等的必修课，三视图也是近几年高考必考的知识点。主要题型就是给出几何体的三视图，计算几何体的面积和体积等相关量。学生丢分的主要原因是不能由三视图还原为几何体，画出相应的直观图。本文通过一道例题介绍一种将三视图还原成实物图的方法。 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某多面体的三视图，将该三视图还原成实物图 第一步：根据三视图中三种视图的长与宽，作一个与正视图等长等高，与俯视图等宽的长方体。 例如本例中需要作一个边长为2的正方体ABCD-A’B’C’D’，如图。 第二步:根据三视图中的正视图对长方体切割。 例如本例中由正视图知道，原几何体只能在三棱柱ADD’-BCC’范围内，因此将三棱柱 AA’D’-BB’C’部分截掉，如图。 第三步：根据三视图中的侧视图对剩余几何体切割。 例如本例中由侧视图知道，原几何体只能在四棱锥C’-ABCD范围内，因此将三棱锥D’-ADC’部分截掉，如图。
第四步：根据三视图中的俯视图对剩余几何体切割。 ，同时结合三种视图需要将例如本例中由俯视图知道，原几何体在底面上的投影为BCD 三棱锥C’-ABDC部分截掉，得到三棱锥C’-BCD，如图。 第五步：根据三种视图多边形内部的实线或虚线对剩余几何体切割。 例如本例中正视图、俯视图中均有一条虚线，三视图的虚线表示虚线所在的位置有立体图形的轮廓线,只是在观察者所在的位置看不到。根据正视图、俯视图中知点E为三棱锥C’-BCD 中BC边的中点，连接ED、EC’，ED、EC’是立体图形的轮廓线，因此我们需要将截掉三棱锥C’-ECD,得到三棱锥C’-BDE即为三视图所对应的实物图。