闭区间上二次函数的最值问题教案

闭区间上二次函数的最值问题

一、?教材分析

1、教学背景

二次函数是重要的初等函数之一，很多问题都要化归为二次函数来处理。二次函数又与一元二次方程、一元二次不等式有着密切的联系，因此必须熟练掌握它的性质，并能灵活地运用它的性质去解决实际问题。二次函数在高考中占有重要的地位，而二次函数在闭区间上的最值在各个方面都有重要的应用，主要考察我们分类讨论和数形结合思想。这节课我们主要学会应用二次函数的图像和性质求二次函数在闭区间上的最值。影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴和区间的位置。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。

2、学情分析

从心理特征来说，高三学生逻辑思维从经验型逐步向理论型发展，观察能力，记忆能力和想象能力也随着迅速发展。但同时，作为普通高中美术班的学生，学生层次参次不齐，个体差异比较明显。大部分学生接受能力较慢、注意力容易分散，学习数学的自信心和兴趣不够，所以在教学一方面运用直观生动的形象，引发学生的兴趣，使他们的注意力始终集中在课堂上；另一方面，要创造条件和机会，让学生发表见解，发挥学生学习的主动性，提高学生自信心。

从认知状况来说，学生在此之前已经复习了函数定义域、值域以及单调性，对二次函数的开口、对称轴已经有了初步的认识，这为顺利完成本节课的教学任务打下了基础，但对于闭区间上“动对称轴和动区间”的二次函数最值，由于其抽象程度较高，学生可能会产生一定的困难，所以教学中应予以简单明白，深入浅出的分析。

3、教学重难点

重点：轴定区间定的闭区间上二次函数最值问题，轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题

难点：轴变区间定的闭区间上二次函数最值，轴定区间变的闭区间上二次函数最值问题

二、?教学目标分析

1.会结合图像与函数的知识进行分类讨论，求解一元二次函数的最值问题，提高学

生的综合能力，培养学生良好的思维习惯，加深对数形结合、分类讨论等数学思想的认识。

2.了解图像与函数的关系，进一步感受数形结合的基本思想。

3.经历从“轴动区间定”到“轴定区间动”的类比推理，培养学生类比推理能力；

使学生养成积极思考，独立思考的好习惯，并且同时培养学生的团队合作精神。

三、教学方法：类比推理法，讲授发现法

四、教学过程分析

1. 课前回顾

回顾：一元二次函数f x ax bx c a ()()=++≠20的对称轴为__________，顶点为________。a >0时，f x ax bx c a ()()=++≠20在__________上是增函数；在__________上是减函数.

2. 精析例题

1) 轴定区间定：二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情

况是“定二次函数在定区间上的最值”。

例1. 函数2()23f x x x =-+在下列区间上最值：

（1）x ∈? （2）[]3,2x ∈-- （3）[]2,2x ∈- （4）[]2,4x ∈

【学情预设】

例1是最基本的题型，学生可以自己完成.（1）是学生非常熟悉的二次函数在的最值问题，在初中就已经解决过了；（2）、（3）、（4）依次是对称轴在闭区间右侧、内部、左侧的情形，通过观察图像，运用单调性的相关知识也可以解决.这里难度较大的是如何让学生讨论例出此类题型的最值的规律，故要借助图像引导学生总结出解法及规律.

2) 轴定区间变：二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称

这种情况是“定函数在动区间上的最值”。

例2. （1）如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最小值。

（2）如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最大值。

（3）如果函数f x x ()()=-+112定义在区间[]t t ，+1上，求f x ()的最值。

解：分别设2()22f x x x =-+在[,1]x t t ∈+上的最大、最小值分别为()()M t m t 、，则由对称轴为1x =，分4种情况讨论：

（1）11t +≤，即0t ≤时，22()()-22()(1)1M t f t t t m t f t t ==+=+=+、

（2）1t ≥时，22()(1)1()()-22M t f t t m t f t t t =+=+==+、

（3）011-1-1t t t <<<+，且，即112

t <<时，

（4）011-1-1t t t <<≥+，且，即112t <≤时， 综上，22122()2()11()2t t t M t t t ?-+≤??=??+>??，221(0)()1(01)

22(1)t t m t t t t t ?+? 【学情预设】例2是难度较大的题型涉及到分类讨论以及字母的推理运算，因而通过三小问来分解难度。教师要借助几何画板引导学生观察出变化时相应的区间在变化，二次函数在闭区间[]t t ，+1上的图像也随着变化，从而影响到最值.教师注意和学生互动讨论并且在黑板上演示规范化解题的格式.学生对于是关于参数的函数较难理解，教师要注意用函数概念加以说明，此处也是让学生对函数概念螺旋式上升理解的一个具体例子. 学生讨论归纳例2的解题方法和规律时教师要引导学生注意分类讨论思想的应用.

【设计意图】启发学生类比轴变区间定的情形结合函数的图像和性质进行分类讨论，注意明确：如果两个自变量的值到对称轴的距离相等，则我们的函数值也相等，离对称轴的距离越远，我们的函数值越大的性质来求解函数的最大值的表达式。

3) 轴变区间定：二次函数随着参数的变化而变化，即其图象是运动的，但定义域区

间是固定的，我们称这种情况是“动二次函数在定区间上的最值”。

方法：结合二次函数的图象，讨论对称轴与区间的相对位置关系：

轴在区间右边 ②轴在区间左边 ③轴在区间内

例3. 已知22)(2+-=tx x x f 在]1,0[∈x 上的最小值为)(t g ，求)(t g 的解析式. 解：对称轴x t =，分三种情况讨论

（1）0t ≤时，()(0)0g t f ==

（2）01t <≤时，2()()2g t f t t ==-

（3）1t <时，()(1)32g t f t ==-

综上，22(0)()2(01)32(1)t g t t t t t ≤??=-<≤??->?

【学情预设】例3是与例2有区别的另一类难度较大的题型，根据运动的相对性,学生可以对比例2的解题过程讨论出例3的解题方法和规律来. 如果时间允许，例3将为学生提供一次数学猜想、试验的机会. 例3设置的目的是为学生自主探究学习提供平台，当然，如果课堂上时间允许的话，可借助“多媒体课件”，引导学生

对自己的结论进行验证.

【设计意图】例3通过讲解让学生体会解题过程中注意分哪几类讨论，做到不遗漏不重复，同时怎样结合图像求解函数的最值，并且引导学生注意解题的规范性.

3.归纳整理

1)二次函数在闭区间上的最值的求法:

四看(开口方向、相对位置、单调性、最值点)加一看（看图像）.

2)二次函数在闭区间上的最值的规律:

两大类（对称轴在闭区间内、外）

四小类（对称轴在闭区间左侧、右侧、内部靠近左端点、内部靠近右端点）.

3)本节课用到的数学思想:数形结合思想与分类讨论思想.

本节课涵盖了二次函数在闭区间上的最值中出现的常见问题，不论是正向型还是逆向型，设计中主要体现在它们总体解题思路是：1、确定开口;1、根据对称轴和区间的三种位置关系：（1）轴在区间右边；（2）轴在区间左边；（3）轴在区间内，根据这三种位置关系一一分类讨论并且结合二次函数图像及性质求解。在过程中我们运用了分类讨论、数形结合、转化化规三种重要的数学思想方法。

4.课堂检测

1)已知函数2

=-++-，[0,1]

f x x ax a

()21

x∈上的最值。

2) 已知函数2()21f x ax ax =++在区间[3,2]-上的最大值为4，求实数a 的值。

点评：这是一个逆向最值问题，若从求最值入手，本练习要求学生会求解已知二次函数在某区间上的最值时函数或区间中参数的取值，并可由此总结得到，不管是哪一类问题的关键都是确定开口和对称轴与区间的位置关系。

5. 结束语

数缺形时少直观，形少数时难入微.数形结合百般好，割裂分家万事非！ ——华罗庚

【设计意图】借助名人名言再次强调数形结合思想的重要性.

6. 作业设计

（一）课后习题A 组一一必做题

1) 函数28y x x =-+在下列区间上最值：

（1）[]6,0x ∈- （3）[]2,6x ∈ （4）[]7,10x ∈

2) 函数[]2()23,,2f x x x x t t =--∈+，求函数()f x 的最值。

3) 函数[]2()3,2,2f x x ax x =++∈-，求函数()f x 的最值。

【设计意图】学生应用探究所得知识解决相关问题，进一步巩固和提高二次函数在闭区间上最值的求解方法与规律.本节课是由实例引入的，课后让学生思考完成实例，从而达到学以致用、解决实际问题的目的.

（二）课后习题B 组一一选做题

4) 已知)(x f 2

2a ax x +-=，在区间]1,0[上的最大值为)(a g ，求)(a g 的最小值。

5) 如何求函数[]22()21,1,2f x ax a x x =-+∈-的最值？

【设计意图】让部分学有余力的同学积极去完成，培养学生的探索精神.

五、板书设计

六、教学设计说明

一方面二次函数在闭区间上的最值是高中数学中的重点内容，也是困扰学生的一个难点和教师教学的一个难点，因为在解题过程中渗透着学生不太容易掌握的分类讨论、数形结合等重要的数学思想方法. 另一方面，二次函数在闭区间上的最值属于程序性知识，需要教师运用理性的教学方法，让学生在认知单调性与最值等相关知识的基础上熟练掌握二次函数在闭区间上最值问题的一般解法和规律.哈尔莫斯曾说过 问题是数学的 “心脏”，根据教学实际,我将本节课设计为数学探究课.在探究的过程中，借助于多媒体教学手段,让学生观察几何画板中的动态演示，通过

对二次函数图像的“再认识”，探究二次函数在闭区间上的最值；运用“探究——讨论”模式，使学生运用单调性与最值的知识既巩固了函数的单调性与最大（小）值的知识，又突破了二次函数在闭区间上的最值这一重点.

二次函数在闭区间上的最值(可用)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x ax bx c a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ?? ?b a ac b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a ac b a f x -?? ???=-2442 ，()的最大值是 f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-< b a m 2，由f x ()在[] m n ，上是增函数则f x ()的最小值是f m ()，最大值是f n () 若n b a <-2，由f x ()在[] m n ，上是减函数则f x ()的最大值是f m ()，最小值是f n () 当a <0时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1. 函数y x x =-+-2 42在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数y x x x =-+-=--+2 2 4222()是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是x =2，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为f ()22=，最小值为f ()02=-。 图1

高中数学-二次函数定区间上最值问题

高中数学-二次函数定区间上最值问题 一、二次函数知识点回顾 （一）二次函数的概念： 一般地，形如2y ax bx c =++（a b c ，，是常数，0a ≠）的函数，叫做二次函数。这里需要强调：和一元二次方程类似，二次项系数0a ≠，而b c ，可以为零．二次函数的定义域是全体实数． （二）二次函数2y ax bx c =++的性质 1. 当0a >时，抛物线开口向上，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而减小；当2b x a >-时，y 随x 的增大而增大； 当2b x a =-时，y 有最小值244ac b a -． 2. 当0a <时，抛物线开口向下，对称轴为2b x a =-，顶点坐标为2424b ac b a a ??-- ??? ，． 当2b x a <- 时，y 随x 的增大而增大；当2b x a >-时，y 随x 的增大而减小； 当2b x a =-时，y 有最大值244ac b a -． （三）二次函数基本形式： 1、2y ax =的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2. 2y ax c =+的性质： 上加下减。

3. ()2 y a x h =-的性质： 左加右减。 4. ()2 y a x h k =-+的性质： 二、二次函数闭区间上的最值解题思路分析 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 如设： f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 方法思路分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上 f x ()的最值：

中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定

中考数学 二次函数在闭区间上的最值-轴变区间定 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

二次函数教案设计(全)

课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的X ,只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点?因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置.在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向(与二次项系数的正负有关)，而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键.本节，我 们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点&例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： CaSe l、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数 图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内 (i) 当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得；(ii )当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数y = χ2-2χ+3在闭区间［-1,2】上的最大值是_________ . 例2、函数f(X)= -X2 +4x-2在区间【0,3】上的最大值是_________ 最小值是

例3、已知2χ2≤3x，则函数f(χ)=χ2+χ+1的最大值是 ____________ ,最小值是 CaSe n、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求 二次函数y=aχ2?bx ?c ( a =O)在给定区间［p,q 1上的最值，需对其对称轴与 给定区间的位置关系进行分类讨论.这里我们以a 0的情形进行分析： (i)若一A P ,即对称轴在给定区间∣p,q 1的左侧，贝U函数f(χ)在给定区间 2a l-P,q ］上单调递增，此时［f (X)］max = f(q)，［f (X)］min = f ( P)； (ii) 若^-―

二次函数求最大利润问题的教学设计

二次函数求最大利润问题的教学设计 范亚书 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：由简单的二次函数y＝x2开始，然后是y＝ax2，y ＝ax2+c，最后是y=a(x-h)2，y＝a(x-h)2+k，y＝ax2+bx+c，学生已经掌握了二次函数的三种表示方式和性质。 学生的活动经验基础：在前面对二次函数的研究中，学生研究了二次函数的图象和性质，掌握了研究二次函数常用的方法。 二、教学任务分析 “怎样获得最大利润”似乎是商家才应该考虑的问题，但是这个问题的数学模型正是我们研究的二次函数的范畴。二次函数化为顶点式后，很容易求出最大或最小值。而何时获得最大利润就是当自变量取何值时，函数值取最大值的问题。因此本节课中关键的问题就是如何使学生把实际问题转化为数学问题，从而把数学知识运用于实践。即是否能把实际问题表示为二次函数，是否能利用二次函数的知识解决实际问题，并对结果进行解释。具体地，本节课的教学目标是： (一)知识与技能

1、能根据实际问题建立二次函数关系式，并探求出何时刻，实际问题可取得理想值，增强学生解决实际问题的能力。 2、能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最大(小)值，发展解决问题的能力。(二)过程与方法 经历销售中最大利润问题的探究过程，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用，发展学生运用数学知识解决实际问题的能力。 (三)情感态度与价值观 1、体会数学与人类社会的密切联系，了解数学的价值。增进对数学的理解和学好数学的信心。 2、认识到数学是解决实际问题和进行交流的重要工具，了解数学对促进社会进步和发展人类理性精神的作用。 教学重点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值 教学难点：能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的知识求出实际问题的最值 三、教学过程分析

二次函数在闭区间上的最值(详解)

二次函数在闭区间上的最值 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。 一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设fx a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2 442，、对称轴为x b a =-2 当a >0 时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[]-∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]-?b a m n 2，时 若-

(整理)二次函数在各种区间上的最值.

二次函数在各区间上的最值 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设，求在上的最大值与最小值。 分析：将配方，得顶点为、对称轴为 当时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m，n]上的最值： （1）当时，的最小值是的最大值是中的较大者。 （2）当时 若，由在上是增函数则的最小值是，最大值是 若，由在上是减函数则的最大值是，最小值是 当时，可类比得结论。 二、例题分析归类： （一）、正向型 是指已知二次函数和定义域区间，求其最值。对称轴与定义域区间的相互位置关系的讨论往往成为解决这类问题的关键。此类问题包括以下四种情形：（1）轴定，区间定；（2）轴定，区间变；（3）轴变，区间定；（4）轴变，区间变。 1. 轴定区间定 二次函数是给定的，给出的定义域区间也是固定的，我们称这种情况是“定二次函数在定区间上的最值”。 例1.函数在区间[0，3]上的最大值是_________，最小值是_______。 解：函数是定义在区间[0，3]上的二次函数，其对称轴方程是，顶点坐标为（2，2），且其图象开口向下，显然其顶点横坐标在［0，3］上， 如图1所示。函数的最大值为，最小值为。 图1 练习. 已知，求函数的最值。 解：由已知，可得，即函数是定义在区间上的二次函数。将二次函数配方得，其对称轴方程，顶点坐标，且图象开口向上。显然其顶点横坐标不在区间内，如图2所示。函数的最小值为，最大值为。

图2 2、轴定区间变 二次函数是确定的，但它的定义域区间是随参数而变化的，我们称这种情况是“定函数在动区间上的最值”。 例2. 如果函数定义在区间上，求的最小值。 解：函数，其对称轴方程为，顶点坐标为（1，1），图象开口向上。 如图1所示，若顶点横坐标在区间左侧时，有，此时，当时，函数取得最小值。 图1 如图2所示，若顶点横坐标在区间上时，有，即。当时，函数取得最小值。 图2 如图3所示，若顶点横坐标在区间右侧时，有，即。当时，函数取得最小值 综上讨论，?? ? ??<+≤≤>+-=0110,11 ,1)1()(22min t t t t t x f 图8 例3. 已知 2 ()23f x x x =-+，当[1]()x t t t ∈+∈R ，时，求()f x 的最大值． 解：由已知可求对称轴为1x =．

中考数学-二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变

中考数学 求二次函数在闭区间上的最值-轴定区间变 一、 知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()()=++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =-2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-2442，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[]- ?b a m n 2，时 若-

二次函数在闭区间上的最值例题

二次函数在闭区间上的最值问题的解法 一、知识要点： 一元二次函数的区间最值问题，核心是函数对称轴与给定区间的相对位置关系的讨论。一般分为：对称轴在区间的左边，中间，右边三种情况. 设f x a x b xc a ()() =++≠2 0，求f x ()在x m n ∈[]，上的最大值与最小值。 分析：将f x ()配方，得顶点为--?? ???b a a c b a 2442，、对称轴为x b a =- 2 当a >0时，它的图象是开口向上的抛物线，数形结合可得在[m ，n]上f x ()的最值： （1）当[] -∈b a m n 2，时，f x ()的最小值是f b a a c b a f x -?? ???=-24 42 ，()的最大值是f m f n ()()、中的较大者。 （2）当[] - ?b a m n 2，时 若-

二次函数专题复习教案

初中数学二次函数复习专题 〖知识点〗二次函数、抛物线的顶点、对称轴和开口方向 〖大纲要求〗 1． 理解二次函数的概念； 2． 会把二次函数的一般式化为顶点式，确定图象的顶点坐标、对称轴和开口方向，会 用描点法画二次函数的图象； 3． 会平移二次函数y ＝ax 2(a ≠0)的图象得到二次函数y ＝a(ax ＋m)2 ＋k 的图象，了解特 殊与一般相互联系和转化的思想； 4． 会用待定系数法求二次函数的解析式； 5． 利用二次函数的图象，了解二次函数的增减性，会求二次函数的图象与x 轴的交点 坐标和函数的最大值、最小值，了解二次函数与一元二次方程和不等式之间的联系。 内容 （1）二次函数及其图象 如果y=ax 2 +bx+c(a,b,c 是常数，a ≠0),那么，y 叫做x 的二次函数。 二次函数的图象是抛物线，可用描点法画出二次函数的图象。 （2）抛物线的顶点、对称轴和开口方向 抛物线y=ax 2 +bx+c(a ≠0)的顶点是)44,2(2a b ac a b --，对称轴是a b x 2-=，当a>0时，抛物线开口向上，当a<0时，抛物线开口向下。 抛物线y=a （x+h ）2+k(a ≠0)的顶点是（-h ，k ），对称轴是x=-h. 〖考查重点与常见题型〗 1． 考查二次函数的定义、性质，有关试题常出现在选择题中，如： 已知以x 为自变量的二次函数y ＝(m －2)x 2＋m 2 －m －2额图像经过原点， 则m 的值是 2． 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像，习题的特点是在同一直角 坐标系内考查两个函数的图像，试题类型为选择题，如： 如图，如果函数y ＝kx ＋b 的图像在第一、二、三象限内，那么函数 y ＝kx 2 ＋bx －1的图像大致是（ ） 3． 考查用待定系数法求二次函数的解析式，有关习题出现的频率很高，习题类型有中 档解答题和选拔性的综合题，如： 已知一条抛物线经过(0,3)，(4,6)两点，对称轴为x ＝5 3 ，求这条抛物线的解析式。 4． 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值，有关试题为解答题， 如：

二次函数的区间最值问题知识讲解

二次函数最值问题 二次函数y =ax 2 bx C a = 0）是初中函数的主要内容，也是高中学习的重要基 础?在初中阶段大家已经知道：二次函数在自变量 x 取任意实数时的最值情况（当a ■0时, 本节我们将在这个基础上继续学习当自变量 x 在某个范围内取值时，函数的最值问 题?在高中阶段，求二次函数的最值问题只需要记住“三点一轴”，即题目给出的 x 的取值范 围区间的两个端点， 二次函数的顶点，以及二次函数的对称轴， 注意结合图像学会用数形结 合解题。高中阶段的二次函数最值问题可以分为一下三个方面： 1.定轴定区间。2.动轴定区 间。3.定轴动区间。下面我们来看例题。 【例1】当-2空x 空2时，求函数y =x 2 -2x-3的最大值和最小值. 分析：这个问题十分简单，属于定轴定区间这一类题目， 只需要画出函数图像即可以解 决。 1 5 【例2】当t 兰x 兰t +1时，求函数y = -x 2 -X -一的最小值（其中t 为常数）? 2 2 函数在x 二 b 2a 处取得最小值 4ac -b 2 4a 无最大值；当时 a . 0，函数在x —处取得 2a 最大值 4ac -b 2 4a 无最小值.

分析：这类问题属于定轴动区间的问题，由于 X 所给的范围随着t 的变化而变化，所以 需要比较对称轴与其范围的相对位置. 1 5 解：函数y =-x2—x _-的对称轴是x=1。画出其草图。 2 2 (1) 灯=}12 j_| = —3 ； 1 i 5 1 i A min =尹+1) -(t +1)石=|t -3. 1 2 -t 2 -3,t<0 2 综上所述：y min = -3,0_t_1 】t 2 —t —5,t A 1 I 2 2 【例3】设二次函数f x =-x 2 ? 2ax ? 1-a 在区间0,1 ］上的最大值为2，求实数a 的 值。分析：这类问题属于动轴定区间的问题，由于函数的对称轴随 a 的变化而变化，所 ⑵当对称轴在所给范围左侧.即 1 2 5 t 1时当X"时，畑； (4)当对称轴在所给范围之间?即 t _1 _t 1= 0_t _1 时；当 x = 1 时, ⑹当对称轴在所给范围右侧?即 t 1 ：：：1= t :: 0时，当 x =t ? 1 时,

二次函数最值问题 优秀教学设计(教案)

二次函数最值重难点设计 尊敬的各位评委老师大家好： 本题出自人教版数学九年级上册第二十二章二次函数中的实际问题与二次函数习题第6题，我将从原题再现，数学地位，目标理念，分析指导，拓展延伸，教学反思这几个流程来完成说题。 首先我们来看下原题：..... 数学地位： 函数与几何综合题能有效的考查学生对学习数学知识的掌握和灵活运用的程度。在各地的中考数学试题中，有关函数与几何构成的综合题占据相当的比例，分值也很大；进入高中后，二次函数的应用更加广泛，更加灵活，更加突出了其重要性。这类题型设计优美，新颖独特，活不超纲，充分体现了考查能力和提高素质教育的思想和要求。 目标理念：主要是从考试大纲分析 本题重要考点是相似三角形的应用及二次函数的应用。直角三角形中30°的角所对的边等于斜边的一半及勾股定理是学生熟悉的，相对较易掌握，对于单独求二次函数的最值问题学生大部分也能掌握，有待提高的是知识点之间的联系和从几何问题中整理出二次函数的模型并利用二次函数的知识求最值，以上是学生现有的能力表现。通过这道题目的讲解，让学生能分析出题目要考查的知识点以及知识点之间的联系，掌握建模思想，并能将这种思想运用到新的题目当中，以实现解题目标。 分析指导：（两种方法） 方法一分析： 首先在Rt △ABC 中利用∠A ＝30°、AB ＝12，求得BC ＝6、AC 的长，然后根据四边形CDEF 是矩形得到EF ∥AC 从而得到△BEF ∽△BAC ，设AE ＝x ，则BE ＝12－x ．利用相似三角形成比例表示出EF 、DE ，然后表示出有关x 的二次函数，然后求二次函数的最值即可． 解：在Rt △ABC 中，∠A ＝30°，AB ＝12， ∴BC ＝6，AC ＝AB ?cos30°＝12× 23＝63． ∵四边形CDEF 是矩形， ∴EF ∥AC ． ∴△BEF ∽△BAC ． ∴EF:AC ＝BE:BA ． 设AE ＝x ，则BE ＝12－x ． EF ＝2 3（12-x ） 在Rt △ADE 中，DE ＝21AE ＝2 1x ． 矩形CDEF 的面积S ＝DE ?EF ＝ 21x ?23(12?x)＝?43x 2＋33x （0＜x ＜12）． 当x ＝6时，S 有最大值． ∴点E 应选在AB 的中点处．

二次函数在闭区间上的值域问题

二次函数在闭区间上的值域问题 题型一【定函数定区间】 例1．函数f (x )＝2x 2－6x ＋3在区间[－1，1]上的最小值是－1，最大值是11． f (x )＝2x 2－6x ＋3＝2(x －32)2－32 ，x ∈[－1，1]. 练习：若函数f (x )＝x 2－3x －4的定义域为[0，m ]，值域为[－254 ，－4]，则m 的取值范围是 [32，3]_________ ． 题型二【动函数定区间】 例2．求函数y ＝x 2＋tx ＋1在区间[－1，1]上的最值； 【分类讨论】 解：（1）函数y ＝x 2＋tx ＋1的对称轴为直线x ＝－t 2 ． 1°若－t 2 ≤－1，即t ≥2时，函数在[－1，1]上单调增， 当x ＝－1时，y min ＝2－t ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 2°当－1＜－t 2 ＜0，即0＜t ＜2时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24 ，当x ＝1时，y max ＝2＋t ； 3°当0≤－t 2 ＜1，即－2＜t ≤0时， 当x ＝－t 2时，y min ＝1－t 24 ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ； 4°当－t 2 ≥1，即t ≤－2时，函数在[－1，1]上单调减， 当x ＝1时，y min ＝2＋t ，当x ＝－1时，y max ＝2－t ． 例3．已知函数f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2在区间[0，2]上有最小值3，求a 的值． 解：f (x )＝4x 2－4ax ＋a 2－2a ＋2＝4(x －a 2 )2－2a ＋2，x ∈[0，2]． （1）当a 2 ＜0，即a ＜0时，f (x )min ＝f (0)＝a 2－2a ＋2＝3，解得a ＝1－2或a ＝1＋2（舍）； （2）当0≤a 2≤2，即0≤a ≤4时，f (x )min ＝f (a 2)＝－2a ＋2＝3，解得a ＝－12 （舍）； （3）当a 2 ＞2，即a ＞4时，f (x )min ＝f (2)＝a 2－10a ＋18＝3，解得a ＝5＋10或a ＝5－10（舍）． 综上，a ＝1－2或a ＝5＋10． 题型三【定函数动区间】 例4．函数f (x )＝x 2－4x －4在区间[t ，t ＋1](t ∈R )上的最小值记为g (t )．试写出g (t )的表达式，作出g (t )的图象，并求g (t )的最小值． 【分类讨论】 函数f (x )＝(x －2)2－8．

(整理)二次函数闭区间最值.

二次函数闭区间最值 要点一：含字母讨论型 1、已知函数f(x)=-x 2+2ax(x ∈[-1,3]),求f(x)的最大值 与最小值。 2、已知f (x )=-4x 2+4ax -4a -a 2在区间［0，1］内有最大 值-5，求a 的值。 3、函数f(x)=x 2-2x(x ∈[a,a+1]) 求f(x)的最大值与最 小值。 4、设函数12)(2 ++=ax ax x f 在[]2,3-上有最大值4，求实数a 的值。 要点二：转化二次函数的最值 5、已知x y x 22322=+，求22y x u +=的取值范围. 要点三：恒成立问题 6、已知f （x ）=x 2 +ax +3-a ，若x ∈［-2，2］时，f （x ）≥0恒成立，求a 的取值范围.

7、不等式022224≥--++a a x x 恒成立，求实数a 的取值 范围。 练习： 1、已知二次函数 2()(1)()f x ax b x a b =+-≠、是常数，且a 0满足条件：(2)0,f =且方程()f x x =有两个相等的实数根。 （1）求()f x 的解析式； （2）是否存在实数()m n m n <、，使()f x 的定义域和值域分别是[,][2,2]m n m n 和，如存在，求m n 、的值，如不存在，说明理由。 2、设函数2 1()4f x x x =+-，若定义域为[,1]a a +，值域为11[,]216-，求a 的值.

二次方程根的分布 能利用“数形结合”和“韦达定理”讨论二次方程根的情况。 一元二次方程)0(02 ≠=++a c bx ax 有两个根： 1． 当两个根在同一个区间上时，需从以下几个方面考 虑： （1）),(,21m x x -∞∈ （2）),(,21+∞∈n x x （3）),(,21n m x x ∈ 2． 当两个根分别在两个不同区间上时，需从以下几个 方面考虑： （1）),(),,(21+∞∈-∞∈m x m x （2）t s n m t s x n m x <<<∈∈)(,(),,(21） 1．已知关于x 的二次方程0122=+++m mx x （1）若方程有两根，其中一根在区间（－1，0），另一根在区间（1，2）内，求m 的取值范围。 （2）若方程两根均在区间（0，1）内，求m 的取值范围。

二次函数的最值几何应用教学案

二次函数的最值几何应用教学案 【教学目标】 1．理解二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何问题中的应用，特别是用来求几何图形面积的最大值或最小值． 2．理解二次函数在求解几何问题中的一般方法和步骤． 【重点、难点】 重点：二次函数c bx ax y ++=2的图象和性质在平面几何中的应用. 难点：如何将几何问题转化为二次函数的图象和性质问题. 【知识要点】 1．一次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点，考察该函数的最值； 2．二次函数的最值：在函数的取值范围的两个端点考察该函数的最值； 3．函数的最大值与最小值 最大值： ()()()()()()(). 0max 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y ==≤=记作叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数几何解释： (1) 函数图像的最高点，纵坐标最大的值 在将一条平行于横坐标的直线从y 坐标。 ()()()()()()().0in 0000x f y x f y x f x f x f x f x x f y m ==≥=记作的最小值， 叫做函数都成立，那么不等式处的函数值是在设函数 几何解释： (2) 函数图像的最高点，纵坐标最小的值 (3) 在将一条平行于横坐标的直线从y 轴的负向向正向平移的过程中，与函数的第一个交点的纵坐标。 【经典例题】 例1．求下列函数的最值(自变量范围是R). 132)1(2+-=x x y 32)2(2++-=x x y

例2．已知实数a,b 满足等式5)3(22=+-b a ，求 a b 的最大值和最小值。 例3．已知二次函数2 (1)2y x =-- （1）当23x ≤≤时，求函数的最值。 （2）当03x ≤≤时，求函数的最值。 例4．方程()()22160x m x m +-+-=有一根不大于1，另一根不小于1。 （1）求m 的取值范围 （2）求方程两根平方和的最大值与最小值

二次函数在闭区间上的最值问题

二次函数在闭区间上的最值问题 湖北省荆州中学 鄢先进 二次函数在闭区间上的最值问题是高中数学的重点和热点问题，频繁出现在函数试题中，很受命题者亲睐。影响二次函数在闭区间上最值问题的主要因素是二次函数图像的开口方向与所给区间和对称轴的位置关系。本文介绍有关二次函数在闭区间上最值问题的常见类型及解题策略，供同学们参考。 类型一 定轴定区间 例1．已知函数2()2f x x x =-，求()f x 的最小值. 解：22()2(1)1f x x x x =-=-- 由图像可知，当1x =时，min ()1f x =- 变式1．已知函数2()2f x x x =-，[2,4]x ∈，求()f x 的最小值。 分析：由图像可知，函数)(x f 在[2,4]为增函数， min ()(2)0f x f ∴== 变式2．已知函数2()2f x x x =-，[0,3]x ∈，求()f x 的最大值. 分析：由图像可知函数()f x 在[0,1]上递减，在[1,3]上递增，且3离对称轴的距离大于0离对称轴的距离。 max ()(3)3f x f ∴== 例2．已知二次函数f x ax ax a ()=++-2241在区间[] -41，上的最大值为5，求实数a 的值。 解：将二次函数配方得f x a x a a ()()=++--24122，函数图像对称轴方程为x =-2，顶点坐标为()---2412，a a ，图像开口方向由a 决定。很明显，其顶点横坐标在区间 []-41，内。 x

①若a <0，函数图像开口向下，如下图1所示。当x =-2时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()-=--=24152，解得a =±210 故a a =-=+210210()舍去 图1 图2 ②若a >0，函数图像开口向上，如上图2所示，当x =1时，函数()f x 取得最大值5 即f a a ()15152=+-=，解得a a ==-16或，故a a ==-16()舍去 综上可知：函数f x ()在区间[] -41，上取得最大值5时，a a =-=2101或 点拨：求解有关二次函数在闭区间上的最值问题，应先配方，作出函数图像，然后结合其图像研究，要特别注意开口方向、对称轴和区间的相对位置。在例1中，二次函数图像的开口，对称轴和区间都是固定的，需引起同学们注意的是，当函数的最值的取得在区间两个端点都有可能的时候，要比较端点与对称轴距离的大小。在例2中，二次函数图像的对称轴和区间是固定的，但图像开口方向是随参数a 变化的，要注意讨论。 小结：二次函数2()()f x a x k h =-+(0)a >在区间[,]m n 最值问题。 ①若[,]k m n ∈，则min ()()f x f k h ==，max ()max{()()}f x f m f n =? ②若[,]k m n ?，当k m <时，min ()()f x f m =，max ()()f x f n = 当k n >时，min ()()f x f n =，max ()()f x f m = 当0a <时，仿此讨论 类型二 定轴动区间 例3．已知函数22,[2,]y x x x a =-∈-，求函数的最小值().g a

九年级数学下册 实际问题中二次函数的最值问题教案

第2课时 实际问题中二次函数的最值问题 1．经历数学建模的基本过程，能分析实际问题中变量之间的二次函数关系． 2．会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值． 3．能应用二次函数的性质解决图形最大面积、利润最大问题． 一、情境导入 孙大爷要围成一个矩形花圃．花圃的一边利用足够长的墙，另三边用总长为32米的篱笆恰好围成．围成的花圃是如图所示的矩形ABCD .设AB 边的长为x 米，矩形ABCD 的面积为S 平方米．当x 为何值时，S 有最大值？并求出最大值． 二、合作探究 探究点一：最大面积问题 【类型一】利用二次函数求最大面积 小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S (单位：平方米)随矩形一边长x (单位：米)的变化而变化． (1)求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围； (2)当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解析：利用矩形面积公式就可确定二次函数．(1)矩形一边长为x ，则另一边长为60－2x 2 ，从而表示出面积；(2)利用配方法求出顶点坐标． 解：(1)根据题意，得S ＝60－2x 2 ·x ＝－x 2＋30x .自变量x 的取值范围是0＜x ＜30. (2)S ＝－x 2＋30x ＝－(x －15)2 ＋225，∵a ＝－1＜0，∴S 有最大值，即当x ＝15(米)时，S 最大值＝225平方米． 方法总结：二次函数与日常生活的例子还有很多，体现了二次函数这一数学模型应用的广泛性．解决这类问题关键是在不同背景下学会从所给信息中提取有效信息，建立实际问题中变量间的二次函数关系． 【类型二】最大面积方案设计 施工队要修建一个横断面为抛物线的公路隧道，其高度为6米，宽度OM 为12米．现以O 点为原点，OM 所在直线为x 轴建立直角坐标系(如图所示)． (1)直接写出点M 及抛物线顶点P 的坐标； (2)求出这条抛物线的函数关系式； (3)施工队计划在隧道门口搭建一个矩形“脚手架”CDAB ，使A 、D 点在抛物线上，B 、C 点在地面OM 上．为了筹备材料，需求出“脚手架”三根木杆AB 、AD 、DC 的长度之和的最大值是多少，请你帮施工队计算一下．

二次函数在给定区间上的最值问题

二次函数在给定区间上的最值问题 【学前思考】 二次函数在闭区间上取得最值时的x ，只能是其图像的顶点的横坐标或给定区间的端点. 因此，影响二次函数在闭区间上的最值主要有三个因素：抛物线的开口方向、对称轴以及给定区间的位置. 在这三大因素中，最容易确定的是抛物线的开口方向（与二次项系数的正负有关），而关于对称轴与给定区间的位置关系的讨论是解决二次函数在给定区间上的最值问题的关键. 本节，我们将以若干实例说明解决此类问题的具体方法. 【知识要点＆例题精讲】 二次函数在给定区间上的最值问题，常见的有以下三种类型，分别是： Case Ⅰ、给定区间确定，对称轴位置也确定 说明：此种类型是较为简单的一种，只要找到二次函数的对称轴，画出其函数图像，再将给定区间标出，那么二次函数的最值一目了然. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，其对称轴的位置也确定，则要求二次函数在给定区间上的最值，只需先考察其对称轴的横坐标是否在给定区间内. （i ）当其对称轴的横坐标在给定区间内时，二次函数在给定区间上不具有单调性，此时其一个最值在顶点处取得，另一个最值在离对称轴的横坐标较远的端点处取得； （ii ）当其对称轴的横坐标不在给定区间内时，二次函数在给定区间上具有单调性，此时可利用二次函数的单调性确定其最值. 例1、二次函数223y x x =-+在闭区间[]1,2-上的最大值是_______. 例2、函数2()42f x x x =-+-在区间[]0,3上的最大值是_______，最小值是_______.

例3、已知223x x ≤，则函数2()1f x x x =++的最大值是_______，最小值是______. Case Ⅱ、给定区间确定，对称轴位置变化 说明：此种类型是非常重要的，是考试必考点，主要是讨论二次函数的对称轴与给定区间的位置关系，一般需要分对称轴在给定区间的左侧、内部以及右侧三种情况进行分类讨论，然后根据不同情况求出相应的最值. 解法：若二次函数的给定区间是确定的，而其对称轴的位置是变化的，则要求二次函数2y ax bx c =++（0a ≠）在给定区间[],p q 上的最值，需对其对称轴与给定区间的位置关系进行分类讨论. 这里我们以0a >的情形进行分析： （ⅰ）若2b p a - <，即对称轴在给定区间[],p q 的左侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递增，此时max [()]()f x f q = ，min [()]()f x f p =； （ⅱ）若2b p q a ≤- ≤，即对称轴在给定区间[],p q 的内部，则函数()f x 在[,]2b p a -上单调递减，在[,]2b q a - 上单调递增，此时min [()]()2b f x f a =-，max [()]() f x f p =或()f q ，至于最大值究竟是()f p 还是()f q ，还需通过考察对称轴与给定区间的中点的位置关系作进一步讨论：若22 b p q p a +≤- < ，则max [()]()f x f q =；若22p q b q a +≤-≤，则max [()]()f x f p =； （ⅲ）若2b q a - >，即对称轴在给定区间[],p q 的右侧，则函数()f x 在给定区间[],p q 上单调递减，此时max [()]()f x f p = ，min [()]()f x f q =. 综上可知，当0a >时， max (),22[()](),22b p q f q a f x b p q f p a +? -