数学物理方程第二版答案
第一章． 波动方程
§1 方程的导出。定解条件
4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。
解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为
)()(x l g x T -=ρ
且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为
)(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ
其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角
又 .
sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程
x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x
u
x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ
利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得
])[(2
2x u
x l x g t u ??-??=??。
5. 验证 2
221),,(y x t t y x u --=在锥222y x t -->0中都满足波动
方程
222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y
x t t y x u --=在锥2
22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t
y x t t
u
?---=??-
23
222)(
22
52222
32222
2)
(3)
(t y x t y x t t u ?--+---=??-
-
)2()(2
2223
222y x t y x t ++?--=-
x y x t x
u
?--=??-
23
222)(
(
)()
2252222322
22
23x y x t y x
t x
u ----+--=??
(
)(
)
222
252222y x t y x t -+-
-=-
同理
()()
222252222
22y x t y x t y
u +---=??-
所以
()()
.22
22
2225222222
2t
u y x t y x t y
u x
u ??=++--=??+
??-
即得所证。
§2 达朗贝尔公式、 波的传抪
3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）
???
?
???==??=??=+=-).()(0022
222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0) 所以 F(x)=)2
(x ψ-G(0). G （x ）=)2
(x ?-F(0). 且 F （0）+G(0)=).0()0(ψ?= 所以 u(x,t)=(?)2at x ++)2
(at
x -ψ-).0(? 即为古尔沙问题的解。 8．求解波动方程的初值问题
???
???
?=??==??-??==x t u u x
t x u t u t t sin |,0sin 002222 解：由非齐次方程初值问题解的公式得
τξξτααττd d d t x u t t x t x t
x t x ???-+--+-+=0)
()
(sin 21
sin 21),(
=?----+---+-t
d t x t x t x t x 0
))](cos())([cos(21
)]cos()[cos(21ττττ
=?-+t
d t x t x 0
)sin(sin sin sin τττ
=t t t x t x 0)]sin()cos([sin sin sin τττ-+-+ =x t sin 即 x t t x u sin ),(= 为所求的解。
§3混合问题的分离变量法
1.
用分离变量法求下列问题的解： (1)
???
?
?
?
???==<<-=??=??=??==0),(),0()0()1(,3sin 0
22
222t l u t u l x x x t u l x u x u a t u o
t t π
解：边界条件齐次的且是第一类的，令
)()(),(t T x X t x u =
得固有函数x l
n x X n π
sin
)(=，且 t l
an B t l an A t T n n n π
πsin cos
)(+=，)2,1( =n 于是 ∑∞
=+=1
sin )sin cos
(),(n n n x l
n t l an B t l an A t x u π
ππ 今由始值确定常数n A 及n B ，由始值得
∑∞==1
sin 3sin n n x l n A l x π
π ∑
∞
==-1
sin )(n n x l n B l an x l x π
π 所以 ,13=A ,0=n A 当3≠n
?-=l
n xdx l
n x l x an B 0sin )(2ππ ??? ??+????
??+-=x l n x n l x l n n l x l n x n l l an ππ
ππππ
π
cos sin cos 2
22
22 )}
))1(1(4cos 2sin 2443
333222n l
an l x
l n n l x l n n x l --=--π
π
π
ππ
因此所求解为
∑∞
=--+=1
4
4
3
sin sin )1(143sin 3cos ),(n n x l n t l an n a l x l t l a t x u π
ππππ
(2) ???
?
?????=??==??==??-??0)0,(,)0,(0),(0
),0(02
2222x t
u
x l h x u t l t u
t u x u a t
u 解：边界条件齐次的，令
)()(),(t T x X t x u =
得：??
?='==+''0)(,
0)0(0
l X X X X λ (1)
及 )2(0
2=+''X a T λ。
求问题(1)的非平凡解，分以下三种情形讨论。
1 0<λ时，方程的通解为
x
x
e C e
C x X λλ--
-+=21)(
由0)0(=X 得021=+c c 由0)(='l X 得021=-----
-l
l
e C e
C λλλλ
解以上方程组，得01=C ，02=C ，故0<λ时得不到非零解。
2 0=λ时，方程的通解为x c c x X 21)(+=
由边值0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得02=c ，仍得不到非零解。
30>λ时，方程的通解为
x c x c x X λλsin cos )(21+=
由0)0(=X 得01=c ，再由0)(='l X 得
0cos 2=l c λλ
为了使02≠c ，必须 0cos =l λ，于是
2
212??
?
??+==πλλl n n )2,1,0( =n
且相应地得到x l
n x X n π21
2sin
)(+= )2,1,0( =n 将λ代入方程(2)，解得
t a l
n B t a l n A t T n n n ππ21
2sin 212cos
)(+++= )2,1,0( =n 于是 ∑∞
=++++=0
21
2sin )212sin 212cos
(),(n n n x l
n t a l n B t a l n A t x u πππ 再由始值得
???
????++=+=∑∑∞
=∞
=00
212sin 2120212sin n n n n x
l n B a l n x l n A x l h
πππ
容易验证?
??
???+x l n π212sin
)2,1,0( =n 构成区间],0[l 上的正交函数系： ?????=≠=++?n m l n
m xdx l n x l m l
当当2
0212sin 212sin 0ππ 利用?
??
???+x l n π212sin
正交性，得 xdx l
n x l h l A l
n π212sin 20+=?
l
x l n n l x l n x n l l h 0
2
2212sin )12(2212cos )12(22???????
?
??+???
?
??++++-=ππππ
n
n h )1()12(82
2-+=
π
0=n B
所以 ∑∞
=+++-=02
221
2sin 212cos )
12()1(8),(n n x l n t a l n n h
t x u πππ 2。设弹簧一端固定，一端在外力作用下作周期振动，此时定解问题归结为
???
?
???=??===??=??0)0,()0,(sin ),(,
0),0(22
222x t u x u t A t l u t u x u a t u ω 求解此问题。 解：边值条件是非齐次的，首先将边值条件齐次化，取
t x l
A
t x U ωsin ),(=
，则),(t x U 满足
0),0(=t U ，t A t l U ωsin ),(=
令),(),(),(t x v t x U t x u +=代入原定解问题，则),(t x v 满足
)1()0,(0)0,(0),(,0),0(sin 22
2
222???
????-=??===+??=??x l A x t v x v t l v t v t x l A x v a t
v ωωω
),(t x v 满足第一类齐次边界条件，其相应固有函数为x l
n x X n π
sin )(=，)2,1,0( =n
故设 )2(sin
)(),(1
∑∞
==n n x l
n t T t x v π
将方程中非齐次项t x l A ωωsin 2及初始条件中x l A ω-按?
??
?
??x l n π
sin
展成级数，得
∑∞
==1
2sin )(sin n n x l n t f t x l A π
ωω 其中 ?=l
n xdx l
n t x l A l t f 02sin sin 2)(π
ωω l
x l n n l x l n x n l t l A 0
2
22
22
sin cos sin 2??????+-=
ππππωω x l A t n A n ω
ωπω--=+sin )1(212
x l
n n n π
ψsin
1∑∞
==
其中 n
l
n n A xdx l n x l A l )1(2sin 202-=-=?π
ωπωψ 将(2)代
入问
题(1)，得
)
(t T n 满足
???
???
?-='=-=
??
?
??+''+n
n n n n n
n A T T t n A t T l an t T )1(2)0(,0)0(sin )1(2)()(12
2
π
ω
ωπωπ
解方程，得通解2212)(sin )1(2sin cos )(?π?π?ππ-?-++=+l
an t
n A t l an B t l an A t T n n n n
由始值，得0=n A
222222231)(2)1(}))((2)1(2)1{(1l an al A l an n l A n A an B n n n n ?π??ππ?π?π--=----=+ 所以 ∑∞
=--=12
2sin )
()(2)1({),(n n t l an l an al A t x v π
?π?
x l n t n l an l A n π
?π
?π?sin }sin 1)()(2)1(22221?--++
x l n t n l t l an a l an l A n π
?π?π?π?sin }sin sin {)
()()1(212
22∑∞
=---= 因此所求解为
∑∞
=--+=12
22
)
()()1(2sin ),(n l an l A t x l A t x u ?π??
x l
n t nt l t l an a π
??πsin }sin sin
{-? 3．用分离变量法求下面问题的解
???
?
?
????===??=+??=??====0||0||0002
2
222l x x t t u u t u u bshx x u a t
u 解：边界条件是齐次的，相应的固有函数为
),2,1(sin
)( ==n x l
n x X n π
设 ∑∞
==1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π 将非次项bshx 按}{sin
x l
n π
展开级数，得 ∑∞
==1
sin
)(n n x l
n t f bshx π 其中 shl bn l
n xdx l n shx l b t f n l
n πππ2)1(sin 2)(2221
0+-==+?
将 ∑∞
==1
sin
)(),(n n x l
n t T t x u π
代入原定解问题，得)(t T n 满足 ????
?
='=+-=+''+0
)0(,0)0(2)1()()(
)(22212n n n n n T T shl l n bn t T l an t T πππ 方程的通解为
shl l
n bn an l t l an B t l an A t T n n n n 12222)1(2)(sin cos
)(+-+?++=ππ
πππ
由0)0(=n T ，得：shl l
n bn an l A n n 12222)1(2)(+-+-=ππ
π 由0)0(='n T ，得0=n B 所以 )cos 1()1(2)1()(12222t l
an shl l n bn an t T n n ππππ--+=+ 所求解为
∑∞
=+-+-=12
22122sin )cos 1()
()1(2),(n n x l n t l an l n n shl a bl t x u π
πππ §4 高维波动方程的柯西问题
1． 利用泊松公式求解波动方程
)(2zz yy xx tt u u u a u ++=
的柯西问题 ?????=+===0
0230t t t u z
y x u
解：泊松公式
ds r a ds r a t u Sat M Sat M ????+??
??????????=ψ
πφπ4141 现 z y x 23,0+==φψ
且 ????=Φ=Φ
ππ
?θθ?θ020|sin ),,(at r s d d r r ds r M
at
其中 )cos ,sin sin ,cos sin (),,(θ?θ?θ?θr z r y r x r +++Φ=Φ
)cos ()sin sin ()cos sin (2
3θ?θ?θr z y r x ++++=
?θ?θ?θ3
3
2
2
2
2
2
2
3
cos sin cos sin 3cos sin 3r xr r x z y x ++++=
θ?θ?θcos sin sin sin sin 22
22r y rz yzr +++ θ?θ?θθcos sin sin sin cos sin 22
32r yr ++
计算 ??Φππ
?θθ?θ020
sin ),,(d d r r
)
(4)cos (2)(sin )(23020
2323
z y x r z y x r d d r z y x
+=-?+=+??πθπψθθππ
π
????==?ππ
ππ
??θθ?θθ?θ020
20
2222
0cos sin 3sin cos sin 3d d r x d d r r x
?
???=?πππ
π
??θθ?θθ?θ020
20
2
3
3
2
2
2
cos sin 3sin cos sin 3d d xr
d d r xr π
πφφθθ200
33]2sin 412[]cos cos 31[3+?-=xr ?θθ?θπππ
d d r r xr sin cos sin 433020
3
?=??
3320
4
4
4cos sin xr d d r
π??θ
θπ
π
==?
?
????==?π
π
ππ
??θθ?θθ?θ0
202
2
020
0sin sin
2sin sin sin 2d d yzr d d r yzr
z r z r d d rz d d r z r 32003320
20
3
020
2
2
2
3
4]2sin 412[
]cos cos 31[sin sin sin sin sin π??θθ?
?θθ?θθ?θπππ
π
ππ=-?-==????
?
????==?π
π
ππ
?θθθ?θθθ0
20
2
2020
2
0sin cos sin cos d d r
y d d r r y
???
?
==??π
πππ
??θθθ?θθ?θθ20
23020
20
sin cos sin 2sin sin sin 2d d yr d d r coc yr
???
?
=?=?ππ
ππ
??θθθ?θθθ?θ0
20
234020
2230
sin cos sin sin cos sin sin d d r d d r r
所以
]
3
1
[4]344)(4[22222233
22z t a t xa z y x at z r r z y x r ds r Sat
M
at
r +++=+++=Φ??=ππππ
u(x,y,z)=
??Φ
???Sat
M r
a t π41
z t a x t a z y x z t a t xa z ty tx t 2222232232233]
3
1
[+++=+++??=
即为所求的解。
2． 试用降维法导出振动方程的达朗贝尔公式。 解：三维波动方程的柯西问题
????
?==++===)
,,(),,,()
(002
z y x u z y x u u u u a u t t t zz yy xx tt φ? 当u 不依赖于x,y,即u=u(z),即得弦振动方程的柯西问题：
?????=====)(),(0
02
z u z u u a u t t
t zz tt φ?
利用泊松公式求解
????+??=
Sat
M Sat
M ds r
a ds r a t u ?
π?π41}41{ 因只与z 有关，故
????
?+=
Sat
M
d d at at
at z ds r
ππ
?θθ???
200
2sin )()
cos (
θθθ??π
π
d at at z d sin )cos (20
??+=
令α= atcos +z ,α d = d atsin -
得
???+-=Sat
M at
z at
z d ds r αα?π?
)(2
所以
??+-+-+??=at
z at z at
z at
z d a d a t t z u ααφαα?)(21
)(21),(
?+-
+-++=at
z at z d a at z at z ααφ??)(21
)}()({21 即为达郎贝尔公式。
3.
求解平面波动方程的柯西问题：
()
()
?????=+=+===0
||0202t t t yy
xx tt u y x x u u u a u
解： 由二维波动方程柯西问题的泊松公式得：
()()
()()
????
?
∑----??
=??m
at
d d y x t a t a t y x u ηζηζηζ?π2
2
2
2,21,,
()
()()
??
???∑----+
??
m
at
d d y x t a ηζηζηζψ2
2
22,
()
?
?-++??
=
π
θθθ?π20
2
2
20
sin ,cos 21rdrd r
t a r y r x t
a at
又 ()()()θθθθ?sin cos cos sin ,cos 2r r y x r x r y r x ++++=++
()()()θθ222
cos cos 2r y x r y x x y x x
+++++=
()()θθθθθcos sin cos 2sin cos 2
2
++++xr r x ()θθθsin cos cos 2
3
++r
因为 ???===π
πππθθθθθθ20
220
20
cos ,0sin ,0cos d d d
.0sin cos ,0cos ,0cos sin 20
2
20
3
20
???===π
π
π
θθθθθθθθd d d
所以 ()
??
-++at rdrd r
t a r y r x 020
2
2
2sin ,cos θθθ?π
()
()?
?
-++-+=at
at
r
t a dr r y x r
t a rdr y x x 0
2
2
232
2
22
32ππ
又 ?
=--=-at
at
at r t a r t a rdr 0
02222
22|
?
?-+--=-at
at
at
rdr r t a r t a r
r t a dr r 0
2220
2
222
2
2232|
()
3302
32
223
2|3
2t a r
t a a =
--= 于是 ()()()??
?
??+++??=
y x a y x ax t a t y x u 332221,,332
πππ ()()y x t a y x x
+++=3222
即为所求的解。
4. 求二维波动方程的轴对称解（即二维波动方程的形如
()t r u u ,=的解，
)22y x r +=.
解： 解法一：利用二维波动方程柯西问题的积分表达式
()()()()()()()()()]`
,,[21,,2
2
22
2
2????∑
----+
∑
----??=
m
att
m
att
y x at d d y x at d d t
a t y x u ηζη
ζηζψηζη
ζηζ?π
由于u 是轴对称的(),,t r u u =故其始值?,ψ只是r 的函数，
()r u t ?===0|，,
()()().,|222
2
0t a y x r u m
at t t ≤-+-=∑=ηζψ为圆又记圆上任一点()ηζ,p 的矢径
为ρ
22ηζρ+=圆心),(y x M 其矢径为22y x r +=记()()22y x s -+-=
ηζ则
由余弦定理知，θρcos 2222rs s r -+=，其中θ为oM 与Mp 的夹角。选极坐标),(θs 。
()()(
)θ?ρ?ηζ?cos 222rs s r -+==，
()()()θψρψηζψcos 2,2
2
rs s r
-+==
于是以上公式可写成
()(
)()???
?--+??=
?
?θθ
?ππ
sdsd s at rs s r t
a t y x u at 20
2
2220
cos 221,,
()()??
?--++?
?
θ
θ
ψ
π
sdsd s at rs s r
at
20
2
222
cos 2 由上式右端容易看出，积分结果和),(t r 有关，因此所得的解为轴对称解，即
??-++??=
at sdsd s
at rs s r t a t r u 0202222)(cos 2[21),(πθθ?π +])(cos 2(020
2
2
22θθ
ψπ
sdsd s
at r s r at ??
--+
解法二：作变换θcos r x =,θsin r y =.波动方程化为
)1(2
2
222r u r r
u a t u ??-+??=?? 用分离变量法，令u(r,t)=R(r)T(t).代入方程得
?????=++=+0
2'"22"R r rR R r t a T λλ
解得：
?????=+=)
()(sin cos )(0r J r R t
a B t a A t T λλλλλ
令μλ=叠加得
du J t B t A t r u )()sin )(cos )((),(00
μγαμμαμμ?
∞
+=
5.求解下列柯西问题
??
?
??=??=++===),(),
,()(0022y x r v
y c v v c v v a v t t yy xx tt ψ? [提示：在三维波动方程中，令),,(),,(t y x v e z y x u a
cz =] 解：令 ),,
(),,,(t y x v e t z y x u a cz
=
则 yy a cz yy
xx a cz xx
tt a cz
tt v
e u v
e u v
e u =
=
=
,,
v e a
c u a cz
zz
22=
代入原问题，得 ???
??==++===)
,(),,()(002y x e u y x e u
u u u a u a cz
t t a cz t zz yy xx tt ψ? ds a ds a t t z y x u M
at
a c M at
a c S r e S r e ????+??=)
,(41}41{),,,(),(ηξψζ
ζ
ππηξ? 22222)()()(:t a z y x S M
at =-+-+-ζηξ
记+M at S 为上半球，-M at S 为下半球，∑M at 为M at S 在ηξo 平面上
的投影。
ηξηξd d y x t a at
ds 2
2
2
2)
()(----=
,则
??
??
??+-
+=
M at
M at
M at
S
S S a c a c a c ds e r ds e r ds r
e ),(1
),(1)
,(ηξ?ηξ?ηξ?ξ
ξζ
??
∑----=
----+M
at
d d y x t a e
y x t a z a
c
ηξηξ?ηξηξ),()()(2
2
2
2))()((2222
ηξηξ?ηξηξd d y x t a e
M
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初一数学有理数练习题 及答案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
初一数学——有理数练习题及答案 一、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分） 1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。 2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。 3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。 4、七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿，程佳＋8分，表示＿＿＿＿＿＿。 5、有理数中，最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。 6、数轴上表示正数的点在原点的＿＿＿，原点左边的数表示＿＿＿，＿＿＿＿点表示零。 7、数轴上示－5的点离开原点的距离是＿＿＿个单位长度，数轴上离开原点6个单位长度的点有＿＿＿＿个，它们表示的数是＿＿＿＿ 8、数轴上表示2 1 的点到原点的距离是＿＿＿＿＿ 9、在1.5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿ 10、已知下列各数：－23、－3.14、10388.21.016 5 3241.、＋、 、 、 、－、、－，其 中正整数有__________，整数有______，负分数有______，分数有_________。 二、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共30分） 1、把向东运动记作“+”，向西运动记作“_”，下列说法正确的是( ) A 、-3米表示向东运动了3米 B 、+3米表示向西运动了3米
第9章 习题9-1 1． 判定下列级数的收敛性： (1) 11 5n n a ∞ =?∑（a ＞0）； (2) ∑∞ =-+1 )1(n n n ; (3) ∑∞ =+13 1 n n ; (4) ∑∞ =-+12)1(2n n n ; (5) ∑∞ =+11ln n n n ; (6) ∑∞ =-12)1(n n ; (7) ∑∞ =+11 n n n ; (8) 0(1)21n n n n ∞ =-?+∑． 解：（1）该级数为等比级数，公比为 1a ,且0a >,故当1 ||1a <,即1a >时，级数收敛，当1 | |1a ≥即01a <≤时，级数发散. （2） Q n S =+++L 1= lim n n S →∞ =∞ ∴ 1 n ∞ =∑发散. （3）113 n n ∞ =+∑是调和级数11n n ∞=∑去掉前3项得到的级数，而调和级数11 n n ∞ =∑发散，故原 级数 11 3 n n ∞ =+∑发散. （4）Q 1112(1)1(1)22 2n n n n n n n ∞ ∞-==?? +--=+ ???∑∑ 而11 12n n ∞ -=∑,1(1)2m n n ∞ =-∑是公比分别为1 2的收敛的等比级数，所以由数项级数的基本性质
知111(1)2 2n n n n ∞ -=??-+ ???∑收敛，即原级数收敛. （5）Q ln ln ln(1)1 n n n n =-++ 于是(ln1ln 2)(ln 2ln 3)[ln ln(1)]n S n n =-+-+-+L ln1ln(1)ln(1)n n =-+=-+ 故lim n n S →∞ =-∞,所以级数 1 ln 1 n n n ∞ =+∑发散. （6）Q 2210,2n n S S +==- ∴ lim n n S →∞ 不存在，从而级数 1 (1) 2n n ∞ =-∑发散. （7）Q 1 lim lim 10n n n n U n →∞ →∞+==≠ ∴ 级数 1 1 n n n ∞ =+∑发散. （8）Q (1)(1)1 , lim 21212 n n n n n n U n n →∞--==++ ∴ lim 0n x U →∞≠，故级数1 (1)21n n n n ∞ =-+∑发散. 2． 判别下列级数的收敛性，若收敛则求其和： (1) ∑∞ =??? ??+13121n n n ； (2) ※ ∑∞ =++1)2)(1(1n n n n ; (3) ∑∞ =?1 2sin n n n π ; (4) 0πcos 2n n ∞ =∑． 解：Q （1）1111, 23n n n n ∞ ∞==∑∑都收敛，且其和分别为1和12，则1112 3n n n ∞ =?? + ???∑收敛，且其 和为1+ 12=3 2 . （2）Q 11121(1)(2)212n n n n n n ?? =-+ ?++++??
初一数学——有理数练习题及答案 一、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分） 1、若太平洋最深处低于海平面11034米，记作－11034米，则珠穆朗玛峰高出海平面8848米，记作＿＿＿＿＿＿。 2、＋10千米表示王玲同学向南走了10千米，那么－9千米表示_______；0千米表示＿＿＿＿＿。 3、在月球表面上，白天阳光垂直照射的地方温度高达127℃，夜晚温度可降到－183℃，那么－183℃表示的意义为＿＿＿＿＿＿＿。 4、七（8）班数学兴趣小组在一次数学智力大比拼的竞赛中的平均分数为90分，张红得了85分，记作－5分，则小明同学行92分，可记为＿＿＿＿，李聪得90分可记为＿＿＿＿，程佳＋8分，表示＿＿＿＿＿＿。 5、有理数中，最小的正整数是＿＿＿＿，最大的负整数是＿＿＿＿。 6、数轴上表示正数的点在原点的＿＿＿，原点左边的数表示＿＿＿，＿＿＿＿点表示零。 7、数轴上示－5的点离开原点的距离是＿＿＿个单位长度，数轴上离开原点6个单位长度的点有＿＿＿＿个，它们表示的数是＿＿＿＿ 8、数轴上表示2 1 的点到原点的距离是＿＿＿＿＿ 9、在1.5－7.5之间的整数有＿＿＿＿＿，在－7.5与－1.5之间的整数有＿＿＿＿＿ 10388.21.0 .、＋、 、 、 ，其中正整_________。 ( ) 3米 3米，也可记作向西运动-3米。 ( ) +4℃ 5.8米 5％ 5元。 D 、零不是整数 、不存在 D 、0 是有理数 6、正整数集合与负整数集合合并在一起构成的集合是( ) A 、整数集合 B 、有理数集合 C 、自然数集合 D 、以上说法都不对 7、下列说法中正确的有( ) ① 0是取小的自然数；②0是最小的正数；③0是最小的非负数；④0既不是奇数，也不是 偶数；⑤0表示没有温度。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个8、若字母a 表示任意一个数，则它表
热传导方程及MATLAB 在其的应用 摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。 关键字：数学物理方程 热传导方程 数学物理方程是指在物理学、力学、程 2 2 2 2 2 22 2 2 ( ) u u u u t x y z a ????= + + ????、热传导方程 u t ?= ?斯方程 2 2 2 2 2 2 0u u u x y z ???+ + =???是最为典型的三个方程。 在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。 物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1] 一、热传导方程的导出 物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定
解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。 （一）热传导方程泛定方程的推导 在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。 构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即： 2 1 Q Q Q Q -= +入 内 其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。 二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数 ( u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意 沿法向n 方向，物体在无穷小时段d t 内，流过 d t 、热量通过的面积ds 及温度沿 (,,)u dQ k x y z dsdt n ?=-? 其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值； u n ?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n 的方向的变化率；等式中 的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n ? 是由低温
雷亚教育 有理数·易错题整理 1．填空： (1)当a________时，a与－a必有一个是负数； (2)在数轴上，与原点0相距5个单位长度的点所表示的数是________； (3)在数轴上，A点表示＋1，与A点距离3个单位长度的点所表示的数是________； (4)在数轴的原点左侧且到原点的距离等于6个单位长度的点所表示的数的绝对值是________． 解 (1)a为任何有理数；(2)＋5；(3)＋3；(4)－6． 2．用“有”、“没有”填空： 在有理数集合里，________最大的负数，________最小的正数，________绝对值最小的有理数． 解有，有，没有． 3．用“都是”、“都不是”、“不都是”填空： (1)所有的整数________负整数； (2)小学里学过的数________正数； (3)带有“＋”号的数________正数； (4)有理数的绝对值________正数； (5)若|a|＋|b|=0，则a，b________零； (6)比负数大的数________正数． 解 (1)都不是；(2)都是；(3)都是；(4)都是；(5)不都是；(6)都是． 4．用“一定”、“不一定”、“一定不”填空：
雷亚教育 (1)－a________是负数； (2)当a＞b时，________有|a|＞|b|； (3)在数轴上的任意两点，距原点较近的点所表示的数________大于距原点较远的点所表示的数； (4)|x|＋|y|________是正数； (5)一个数________大于它的相反数； (6)一个数________小于或等于它的绝对值； 解 (1)一定；(2)一定；(3)一定不；(4)一定；(5)一定；(6)不一定．5．把下列各数从小到大，用“＜”号连接： 并用“＞”连接起来． 8．填空： (1)如果－x=－(－11)，那么x=________； (2)绝对值不大于4的负整数是________；
第七章 数学物理定解问题 1．研究均匀杆的纵振动。已知0=x 端是自由的，则该端的边界条件为 __。 2．研究细杆的热传导，若细杆的0=x 端保持绝热，则该端的边界条件为 。 3．弹性杆原长为l ，一端固定，另一端被拉离平衡位置b 而静止，放手任其振动，将其平衡位置选在x 轴上，则其边界条件为 00,0x x l u u ==== 。 4．一根长为l 的均匀弦，两端0x =和x l =固定，弦中张力为0T 。在x h =点，以横向力0F 拉弦，达到稳定后放手任其振动，该定解问题的边界条件为___ f (0)=0,f (l )=0; _____。 5、下列方程是波动方程的是 D 。 A 2tt xx u a u f =+； B 2 t xx u a u f =+； C 2t xx u a u =； D 2tt x u a u =。 6、泛定方程20tt xx u a u -=要构成定解问题，则应有的初始条件个数为 B 。 A 1个； B 2个； C 3个； D 4个。 7．“一根长为l 两端固定的弦，用手把它的中 点朝横向拨开距离h ，（如图〈1〉所示）然后放 手任其振动。”该物理问题的初始条件为( D )。 A ．?????∈-∈==] ,2[),(2]2,0[,2l l x x l l h l x x l h u o t B ．???? ?====00 t t t u h u C ．h u t ==0 D ．???????=?????∈-∈===0 ] ,2[),(2]2,0[,200t t t u l l x x l l h l x x l h u 8．“线密度为ρ，长为l 的均匀弦，两端固定，开始时静止，后由于在点)0(00l x x <<受谐变力t F ωsin 0的作用而振动。”则该定解问题为( B )。 A ．?????===<<-=-===0 ,0,0)0(,)(sin 0000 2 t l x x xx tt u u u l x x x t F u a u ρ δω u x h 2 /l 0 u 图〈1〉
2019 七年级数学暑假作业：有理数初一数学测试有理数综合 一、选择题（本题共有10 个小题，每小题都有A、B、C、D 四个选项，请你把你认为适当的选项前的代号填入题后的括号中，每题3 分，共30 分） 1、下列说法正确的是（）A 整数就是正整数和负整数B 负整数的相反数就是非负整数C 有理数中不是负数就是正数D 零是自然数，但不是正整数 2、下列各对数中，数值相等的是（）A—27与（—2）7B - 32 与（—3）2C —3X23 与—32X2D—（—3）2 与一（一2）3 3、在—5，—101，—3.5 ，—0.01 ，—2，—212 各数中，最大的数是（）A—12B—101C—0.01D —5 4、若其中至少有一个正数的 5 个有理数的积是负数，那么 这五个因数中，正数的个数是（）A1B2或4C5D1和35、绝对值大于或等于1，而小于4 的所有的正整数的和是（） A8B7C6D 6、计算：（—2）100+（—2）101 的是（）A2100B— 1C—2D—2100 7、比—7.1 大，而比1 小的整数的个数是（）A6B7C8D9 8、如果一个数的平方与这个数的差等于0，那么这个数只能
是（）AOA 1C1D0 或1 9、我国最长的河流长江全长约为6300 千米，用科学记数法表示为（）A63X 102 千米B6.3X 102 千米C6.3X 104 千米 D6.3X 103 千米 10、已知8.62 = 73.96，若x2 = 0.7396，贝U x 的值等于（）A6.8B±0.68C±0.86D±86 二、填空题（本题共有8 个小题，每小题3 分，共27 分） 11、一幢大楼地面上有12 层，还有地下室2 层，如果把地面上的第一层作为基准，记为0，规定向上为正，那么习惯上将 2 楼记为；地下第一层记作；数－2 的实际意义为，数＋9 的实际意义为。 12、互为相反数的两数（非零）的和是，商是；互为倒数的两数的积是。 13、某数的绝对值是5,那么这个数是。134756?（保留四个有效数字） 14、（）2 = 16, （-32）3 =。 15、数轴上和原点的距离等于321 的点表示的有理数是。 16、计算：一0.85 X 178+ 14X 72-（14 X 73- 179X 0.85）=。 17、使用计算器进行计算时，按键程序为—8X 5+4=，则结果为。 18、＋5.7 的相反数与- 7.1 的绝对值的和是。
高等数学一第6章课后习题详解 课后习题全解 习题6-2 ★ 1．求由曲线 x y =与直线 x y =所围图形的面积。 知识点：平面图形的面积 思路：由于所围图形无论表达为X-型还是Y-型，解法都较简单，所以选其一做即可 解： 见图6-2-1 ∵所围区域D 表达为X-型：?? ?<<< ∵所围区域D 表达为X-型：?????<<< <1 sin 2 0y x x π， （或D 表达为Y-型：???<<< ∴所围区域D 表达为Y-型：?? ?-<<<<-2 2 422y x y y ， ∴23 16 )32 4()4(2 2 32 222= -=--=- - ? y y dy y y S D （由于图形关于X 轴对称，所以也可以解为： 2316 )324(2)4(22 32 22=-=--=? y y dy y y S D ） ★★4．求由曲线 2x y =、24x y =、及直线1=y 所围图形的面积 知识点：平面图形面积 思路：所围图形关于Y 轴对称，而且在第一象限内的图形表达为Y-型时，解法较简单 解：见图6-2-4 ∵第一象限所围区域1D 表达为Y-型：? ??<<< 《有理数的加法》习题 一、选择题 1.下列说法正确的是( ) . (A)两个有理数的和是正数，那么这两个数都是正数 (B)两数相加，其和一定比加数大 (C)两数相加，等于它们的绝对值相加 (D)两个正数相加，和为正数；两个负数相加，和为负数 2.某天股票A的开盘价为18元，上午11:30时跌了1.5元，下午收盘时又涨了0.3元，则股票A这天的收盘价是( ) . (A)0.3元 (B)16.2元 (C)16.8元 (D)18元 3.如果a<0，b<0，且|a|>|b|，那么a+(-b)的值一定是( ). (A)正数 (B)负数 (C)0 (D)不确定、 4、如果三个有理数a+b+c=0，则( ) A.三个数不可能同号 B.三个数应都是零 C.一定有两个数互为相反数 D.一定有一个数等于其余两个数之和 二、填空题 1.某天最低气温是-5℃，最高气温比最低气温高8℃，则这天的最高气温是______℃. 2.若a与2互为相反数，则|a+2|=______. 3.绝对值大于等于2且小于4的所有整数之和是_____. 2、计算. (1)[8+(－5)]+(－4) (2)8+[(－5)+(－4)] (3)[(－7)+(－10)]+(－11) (4)(－7)+[(－10)+(－11)] 3、一升降机，第一次上升5米，第二次又上升6米，第三次下将4米，第四次又下降9米.这时升降机在原始位置的上方还是下方，相距多少米？ 4、有一个农民家库存了10袋玉米，以每袋100千克数为标注，称重如下： +4，-3，+5，+1，+3，0，+3，+2，+1，-7 问这10袋小麦的总重量是多少？ 5、出租车司机小李某天下午营运全是在东西走向的人民大道上进行的，如果是规定向东为正，向西为负，它这天下午的行车里程如下(单位：千米)： +15，-3，+14，-11，+10，-12，+4，-15，+16，-18 (1)将最后一名乘客送到目的地时，小李距下午出发地点的距离是多少千米？ (2)若汽车耗油量为a，这天下午共耗汽油多少公升？ 283 高等数学上（修订版）（复旦出版社） 习题六 无穷数级 答案详解 1．写出下列级数的一般项： (1)111135 7 ++++ ； (2)2 2242462468x x x x x ++++?????? ； (3)3579 3579 a a a a -+-+ ； 解：(1)1 21 n U n =-； (2)()2 !! 2n n x U n = ； (3)() 21 1 121 n n n a U n ++=-+； 2．求下列级数的和： (1)()()() 11 11n x n x n x n ∞ =+-+++∑ ； (2) ( )1 221n n n n ∞ =+-++∑； (3)23 111 5 55+ ++ ； 解：(1)()()() ()()()()1 11111211n u x n x n x n x n x n x n x n = +-+++?? -= ?+-++++?? 284 从而()()()()()()() ()()()()()()()1111 1211212231111111211n S x x x x x x x x x n x n x n x n x x x n x n ?-+-= +++++++?? ++ - ?+-++++? ?? -= ?++++?? 因此() 1lim 21n n S x x →∞ =+，故级数的和为 () 121x x + (2)因为()()211n U n n n n =-+-++- 从而()()()() ()()()()3243322154432112112 1 12 21 n S n n n n n n n n =-+-----+-++---+-++-=+-++-=+-+++ 所以lim 12n n S →∞ =-，即级数的和为12-． (3)因为2111 5551115511511145n n n n S =+ ++????-?? ???? ?=-????=-?? ????? 从而1lim 4 n n S →∞ =，即级数的和为14 ． 3．判定下列级数的敛散性： (1) ( )1 1n n n ∞ =+-∑； (2) ()() 11111661111165451n n +++++???-+ ； (3) ()23133222213333 n n n --+-++- ； 数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??- 23 222)( 22 52222 3 2222 2 ) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - 有理数练习题集团标准化办公室：[VV986T-J682P28-JP266L8-68PNN] 练习 例1 有理数：，其中,5%5238,-1,52,-8,-0.43-,3.10,21,0,2 ： 整数： 分数： 正数： 负数： 正分数： 负分数： 1、_____、______和______统称为整数；_____和_____统称为分数；______、______、______、 ______和______统称为有理数. 2、下列不是正有理数的是（） A 、-3.14 B 、0 C 、3 7D 、3 3、既是分数又是正数的是（） A 、+2 B 、-3 14C 、0D 、2.3 4、下列说法正确的是（） A 、正数、0、负数统称为有理数 B 、分数和整数统称为有理数 C 、正有理数、负有理数统称为有理数 D 、以上都不对 6、下列说法中，错误的有（） ①7 42-是负分数；②1.5不是整数；③非负有理数不包括0；④整数和分数统称为有理数；⑤0是最小的有理数；⑥-1是最小的负整数。 A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 7、把下列各数分别填入相应的大括号内： 2 4,10,213,03.0,1713,0,1415.3,5.3,7---- 自然数集合: 整数集合: 正分数集合: 非正数集合: 8、简答题： （1）-1和0之间还有负数吗？如有，请列举。 （2）-3和-1之间有负整数吗-2和2之间有哪些整数 （3）有比-1大的负整数吗有比1小的正整数吗 （4）写出三个大于-105小于-100的有理数。 4.－206不是（） A ．有理数B.负数C.整数D.自然数 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --== 有理数练习题 、口答: 1、(+ 5) + (+ 3)= 2、(+ 5) + (— 3)= 3、(+ 8) + (— 5) = 4、(一 5) + (— 3) 5、(+ 9) + (— 9)= 6、(+ 5) — (— 1)= 7、(+ 5)+ 0= 8、12— 13= 9、(— 4) + ( — 14)= 10、(— 9) + (— 9)= 11、0—(— 13)= 12、(— 8) — (— 2) = 13、— 4— 15= 14、 (+ 5) + (+ 5) + (+ 5)= 15、(— 9) + (—4) + (— 2) + (+ 9)= 16、(— 5) + (+ 3)= 17、(— 11) + (— 6)= 18、0 —(+ 12)= 19、(— 11) + (+ 6) 20、(+ 14) + (— 4) + (—1) + (— 16) + (— 5) = 、计算：（前5题可以口算） 1 1 1 1 1 1 1 1 21、一— — 22、一小 + c 23、， = 24、 — 21 2 一 3 2 3 4 3 4 —3 26、29 —( 9— 17— 32) + ( 18— 27) 数学练习（一） 〔有理数加减法运算练习〕 加减法法则、运算律的复习。 25、— 12—(— 9+ 8- 20) 27、 / 6 八 (17— 13) 28、 - [3 -(3 + 5 ； ）］ A . △同号两数相加，取 1、（- 3） + （- 9） ,并把 ___________ 2、85+(+ 15) 1 2 3、(- 36 ) + (- 33 ) 2 4、(- 3.5) + ( - 5亠) △绝对值不相等的异号两数相加，取 ______________ .互为 ___________ _____________________ ，并 用 的两个数相加得0。 1、(- 45) + (+ 23) 2、( - 1.35)+ 6.35 1 3、24 +(- 2.25) 4、(- 9)+ 7 1、 △ 一个数同0相加, 仍得 (-9)+ 0= 2、0 + (+ 15)= 加法交换律：a + b = 1、 (-1.76) + (- 19.15) (-8.24) 2、23+( - 17) + (+ 7) + (- 13) 1 34 )+(- 3 54 +(- 4、 —0.5 — 2 2 + 11 +(- 5 ) 1 (—34)+ 2.75 — (+ 72 ) 1 (—3 6 ) C . △减法法则：减去一个数，等于 有理数的减法可以转化为 .来进行，转化的“桥梁”是 2 (+ 29 ) + (- 6 6 ) 有理数及其运算练习 一、选择题： 1. 在有理数中，有（ ） Ａ．绝对值最大的数 Ｂ．绝对值最小的数 Ｃ．最大的数 Ｄ．最小的数 2. 计算1(7)(5)(3)(5)23 --++---+的结果为( ) A ．173 - B ．273- C ．1123 D ．1123- 3. 下列说法错误的是( ) Ａ．绝对值等于本身的数只有1 B ．平方后等于本身的数只有0、1 C ．立方后等于本身的数是1,0,1- D ．倒数等于本身的数是1-和1 4.如果a<0,那么a 和它的相反数的差的绝对值等于（ ） A 、2a B 、a C 、－a D 、－2a 5.据2006年末的统计数据显示，免除农村义务教育阶段学杂费的西部地区和部分中部地区的学生约有52 000 000名，这个学生人数用科学记数法表示并精确到万位，下列正确的是 ( ) A ．5.20×10 5 B ．5.200×10 6 C ．5.200×107 D ．0.52×108 6.下列各数互为相反数的是（ ） A.—32与23 B.32与(—2)3 C.(—3)2与—32 D.—32与—(—3) 2 7.若a=－2×32,b=(－2×3)2,c=－(2×3)2 ,则下列大小关系中正确的是( ) A 、a>b>0 B 、b>c>a C 、b>a>c D 、c>a>b 二、填空题： 8. 若00xy z ><，，那么xyz ______0．（填“>”或“<”） 9. 已知130a b ++-=，则____________a b ==． 10. 如果a b 、互为倒数，那么5ab -=______． 11. 2112(2)_____(3)()3_____33 -?-=?-÷-?=；． 12. 比132-大而比123小的所有整数的和为 ． 13. 若三个有理数的乘积为负数，在这三个有理数中，有__________个负数． 三、解答题： 14.计算 （1）211(10.5)2(3)3????--??--?????? （2） 111212()342 --?-+ 15.如图所示，数轴上有四点A ，B ，C ，D 分别表示有理数a ，b ，c ，d ，?用“<”分别表示a ，b ，c ，d ，│a │，│b │，-│c │，-│d │． 微积分课后题答案习题 详解 IMB standardization office【IMB 5AB- IMBK 08- IMB 2C】 第二章 习题2-1 1. 试利用本节定义5后面的注（3）证明：若lim n →∞ x n =a ,则对任何自然数k ，有lim n →∞ x n +k =a . 证：由lim n n x a →∞ =，知0ε?>，1N ?，当1n N >时，有 取1N N k =-，有0ε?>，N ?，设n N >时（此时1n k N +>）有 由数列极限的定义得 lim n k x x a +→∞ =. 2. 试利用不等式A B A B -≤-说明：若lim n →∞ x n =a ,则lim n →∞ ∣x n ∣=|a|.考察数列x n =(-1)n ，说明 上述结论反之不成立. 证： 而 n n x a x a -≤- 于是0ε?>，,使当时，有N n N ?> n n x a x a ε-≤-< 即 n x a ε-< 由数列极限的定义得 lim n n x a →∞ = 考察数列 (1)n n x =-，知lim n n x →∞不存在，而1n x =，lim 1n n x →∞ =， 所以前面所证结论反之不成立。 3. 利用夹逼定理证明： (1) lim n →∞ 2 22111(1) (2)n n n ??+++ ?+?? =0； (2) lim n →∞2!n n =0. 证：（1）因为 222 222111 112(1)(2)n n n n n n n n n n ++≤+++ ≤≤=+ 而且 21lim 0n n →∞=， 2lim 0n n →∞=， 所以由夹逼定理，得 22211 1lim 0(1)(2)n n n n →∞?? +++ = ?+? ? . （2）因为22222240!123 1n n n n n < =<-，而且4 lim 0n n →∞=， 成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===>< 2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）: 数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -= 其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-?? 有理数测试题A 一、选择题：本大题共6小题，每小题3分，共18分，在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的． 1. 在有理数中，有（ ） Ａ．绝对值最大的数 Ｂ．绝对值最小的数 Ｃ．最大的数 Ｄ．最小的数 2. 计算1 (7)(5)(3)(5)23 --++---+的结果为( ) A ．1 73 - B ．273- C ．1123 D ．1123- 3. 下列说法错误的是( ) Ａ．绝对值等于本身的数只有1 B ．平方后等于本身的数只有0、1 C ．立方后等于本身的数是1,0,1- D ．倒数等于本身的数是1-和1 4. 下列结论正确的是（ ） Ａ．数轴上表示６的点与表示４的点相距10 Ｂ．数轴上表示+6的点与表示－4的点相距10 Ｃ．数轴上表示－4的点与表示4的点相距10 Ｄ．数轴上表示－6的点与表示－4的点相距10 5. 下列说法中不正确的是( ) Ａ．0既不是正数,也不是负数 B ．0不是自然数 C ．0的相反数是零 D ．0的绝对值是0 6. 下列计算中，正确的有( ) (1)(5)(3)8-++=- (2)0(5)5+-=+ (3)(3)(3)0-+-= (4)512()()663 ++-= A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 二、填空题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，把答案填写在题中横线上． 7. 平方得25的数是_____，立方得64-的数是_____． 8. 若00xy z ><，，那么xyz =______0． 9. 某冷库的温度是16-℃，下降了5℃，又下降了4℃，则两次变化后的冷库的温度是______． 10. 已知130a b ++-=，则____________a b ==． 11. 2-的倒数是_____；23- 的倒数是______；2 13 -的倒数是______． 12. 如果a b 、互为倒数，那么5ab -=______． 13. 2 112(2)_____(3)()3_____33 -?-=?-÷-?=；． 14. 用算式表示：温度由4-℃上升7℃，达到的温度是______． 15. 若三个有理数的乘积为负数，在这三个有理数中，有_____个负数． 16. 151653_____50.2_____--=?=；；若m n 、互为相反数，则1m n -+=_____ 三、运算题：本大题共4小题，共20分，解答应写出必要的计算过程、推演步骤或文字说明． 17.(本小题5分) 计算：211(10.5)2(3)3 ????--??--?????? 18.(本小题5分) 确定下列各式和的符号 （１）(1)(2)-+- （２）(101)(100)-++ （３）0(0.1)+- （４）1223 -+ 19.(本小题5分) 计算下列各题 （1）（－７）＋（－４）； （2）３＋（－１２）； （3）（－２）＋２； （4）０＋（－７）； （5）113423? ???-++ ? ????? ． 班级______________________________________ 姓名____________________ 考场号________________ 考号_______________ ----------------------------------------------------密---------------------------------封--------------------------------线------------------------------------------------有理数加法作业
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