热传导方程及MATLAB 在其的应用
摘要：数学物理方程主要是偏微分方程，热传导方程是最为典型的数学物理方程之一。为了对热传导方程有个清晰地理解，论文重新阐述了热传导方程的推导。同时，求解热传导方程的方法也有很多种，但所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，不能直观地表达出其物理意义，为了使这些公式中的物理图像展现出来，论文对MATLAB 在其的应用作了些浅略的探讨。
关键字：数学物理方程 热传导方程
数学物理方程是指在物理学、力学、程
2
2
2
2
2
22
2
2
(
)
u u u u t
x
y
z
a
????=
+
+
????、热传导方程
u t
?=
?斯方程
2
2
2
2
2
2
0u u u x
y
z
???+
+
=???是最为典型的三个方程。
在参考相关文献的基础上，本论文主要对热传导方程及MATLAB 在其的应用做一个简要的介绍。
物体温度分布不均匀，物体内部必然会产生热应力，热应力过于集中，物体就会产生裂变，从而破坏物体原有的形状和结构，工程技术中称此现象为热裂。在建造大坝时，混凝土释放的水化热使大坝的温度分布极不均匀；在浇铸铸件过程中，散热条件不同，会导致铸件各点间温度变化的梯度过大……。此外，还有好多可以产生热裂的现象。为有效防止热裂，就必须清楚物体各点的温度分布情况。[1]
一、热传导方程的导出
物理方程是实际上是寻求不同定解问题的解，而定解问题有定解条件和泛定方程组成。不同的物理问题可能得到同一类方程，但因定
解条件不同，因而就可能得到不同的定界问题。
（一）热传导方程泛定方程的推导
在三维空间中，考虑一均匀、各向同性的物体，物体内部由于温度分布不均匀，热量从温度高的地方向温度低的地方转移，这种现象称为热传导。
构建物体热传导物理模型时，我们必须基于两个方面。一是能量守恒定律：物体内部的热量增加等于通过物体的边界流入的热量与物体内部的热源所产生的热量的总和，即：
2
1
Q
Q Q
Q
-=
+入
内
其中(1,2)i i Q =表示在i t 时刻物体内部的热量，Q 入表示在12t t ????，时刻内通过边界流入物体的热量，Q 内表示在12t t ????，时刻内物体内部热源产生的热量。
二是热传导傅里叶定理：考察某物体G 的热传导问题时，以函数
(
u x (,,,)x y z 处及t 时刻的温度。在物体内任意
沿法向n
方向，物体在无穷小时段d t 内，流过
d t 、热量通过的面积ds 及温度沿
(,,)u
dQ k x y z dsdt
n ?=-?
其中，(,,)k x y z 称为物体在(,,)x y z 处的热传导系数，它应该取正值；
u n
?? 称为温度的法向导数，它表示温度沿法向n
的方向的变化率；等式中
的负号表示热量是由高温向低温流动，而温度梯度gradu n
?
是由低温
区指向高温区，故热流方向总与温度梯度方向相反。
在物体G 内任取一闭曲面Γ，它所包围的区域记为Ω，则在时间段12t t ????
，内通过闭曲面Γ流入的全部热量为： 2
1
{(,,)
}u
t k x y z ds dt t
n
Q
Γ
?=
???? 入
（1）
若G 内有热源，其热源密度为(,,,)F x y z t ，则在时间段12t t ????，内在区域内产生的热量为：
2
1
(,,,)t dt F x y z t dV
t
Q
Ω
=
????内
（2）
对G 内各点由时刻1t 温度1(,,,)u x y z t 变化到时刻2t 温度2(,,,)u x y z t ，共吸收热量：
2
11
2
[(,,,)(,,,)]c u x y z t
u x y z t dV
Q
Q ρΩ
-=
-??? （3）
其中，c 为物体各点的比热，ρ是密度。对各向同性的均匀物体来说c 与ρ都是常数。由能量守恒定律，因此就成立：
2
2
1
12
11
2
[(,,,)(,,,)]{(,,)
}(,,,)c u x y z t
u x y z t dV
u t t k x y z ds dt dt F x y z t dV
t
t n Q
Q Q Q
ρΩ
Γ
Ω
-=
-=+?=
+??????????? 入
内
（4）
今假设函数关于变量x ，y ，z 有二阶连续导数，关于有t 一阶连续导数，则有：
21
21(,,,)(,,,)u
t u x y z t u x y z t dt t
t
?-=
?? （5）
所以：
212
11
2
[(,,,)(,,,)][]c u x y z t
u x y z t dV
u
t c dt dV t t Q
Q ρρΩ
Ω
-=
-?=
???????? （6）
利用奥斯托洛格拉特斯基（奥氏）公式，可以把（1）式化为：
2
1
2
1
{(,,)
}[
()()()]u
t k x y z ds dt t
n u u u t k
k k dV
t
x
x
y y z z Q
Γ
Ω
?=
???????=
+
+
????????????? 入
（7）
将（6）、（7）式代入（4）式，可得：
2
12
2
1
1
1
2
[][
()()()](,,,)u t c dt dV t t u u u t t k
k k dV dt F x y z t dV
t
t
x
x y y z z Q
Q Q Q ρΩ
Ω
Ω
?-=
?=+?
?????=
+
+
+
??????????????????入
内
交换积分次序，可以得到
2
2
1
1
[
()()()(,,,)]u u u u t t c dV dt k
k
k
F x y z t dVdt
t
t
t
x
x
y
y
z
z
ρ
Ω
Ω
???????=
+
+
+???????????????
()()(,,,)u u k
k
F x y z t y
y
z
z
????+
+????
k 、c 、ρ为常数，若记2k c a ρ
=
、
f =
2
2
2
2
2
2
2
(
)u u u u f
t
x
y
z
a
????=
+
+
+???? （8）
称之为非齐次热传导方程，a 表示物体温度变化能力的指标，称导温系数。
若物体内部无热源，即0
F
=，则有：
2
2
2
2
2
2
2
(
)u u u u t
x
y
z
a
????=
+
+
???? （9）
若物体是一个薄片，上下底面不与周围介质进行热交换，则方程（9）变为：
2
2
2
2
2
(
)u u u t x
y
a
???=
+
??? （10）
若物体是细长的杆，侧面不与周围的介质进行热交换，垂直轴线的截面上各点温度分布相同，则方程（9）可化为：
2
2
2
u u t x
a
??=
?? （11）
（9）、（10）、（11）分别称为三维、二维、一维的热传导方程。
（二）定解条件的提出
从方程的导出过程可以看出，热传导方程是热学规律的数学形式。具有相同常数k 、c 、ρ，的物体，不管它的形状如何，所处的外界条件及起始的温度状况如何，它满足相同的方程。但要预测温度变化的状况，求出描绘温度变化的函数(,,,)u x y z t ，不能只依赖于方程，还必须考察物体所处的外界状况及起始时的状况。描绘这些状况的数学条件分别称为边界条件和初始条件。显然，在起始温度相同而外界条件不同，或外界条件相同而起始温度不同时，描绘温度变化的函数
(,,,)u x y z t 都不会是相同的。
1、初始条件
定量地表达初始状态的式子称作为初始条件。物体热传导的初始条件是指0t =在时，物体中温度的分布，即：
(,,,0)(,,)u x y z x y z ?=
其中，(,,)x y z ?为已知函数。
2、边界条件
一块烧红的铁放在冷水了要比放在热水里冷却得快，边界上的状况影响着边界内侧，内侧又影响着临近各点直至整个区域。因此，考察一个物理问题不能不考虑外界对它的影响。定量地描述边界状况的数学式子就是边界条件。
（1）第一种边界条件
已知物体与外界接触表面的温度，这种条件的数学表达式为：
(,,)(,,,)
(,,,)
x y z u x y z t f x y z t ∈Γ
=
其中，Γ表示物体的边界曲面，(,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数。
（2）第二种边界条件
在物体和外界接触表面上知道的不是它的表面温度而是热量在表面各点的流速，也就是说在表面各点的单位面积上单位时间内所流过的热量Q 是已知的。这种外界条件实际上表示温度u 在曲面上的法向导数是已知的。其的数学表达式为：
(,,)(,,,)x y z u
f x y z t n
∈Γ
?=?
其中， (,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数。
（3）第三种边界条件
能测量到的仅是和物体接触处的介质的温度1u ，1u 与物体表面上的温度u 往往并不相同。在已知时研究边界条件还必须利用物理中另一个热传导实验定律（牛顿定律）：物体从一个介质流到另一个介质
的热量和两个介质的温差成正比：
11
()dQ u u dsdt
k
=
-
这里的比例常数1k 称为两介质间的热传导系数，取正值。考察在物体中无限贴近于此表面的曲面1Γ，由于在物体表面热量不能积累，因此在曲面1Γ上的热量流速等于表面Γ的热量流速。流过曲面1Γ的热量由傅里叶定律决定，而流过曲面Γ的热量由牛顿定律决定，因此有关系式
11()u
k
dsdt k u u dsdt n
?-=-?
即：
111u
k u k
k u n
?+=? 由于1k 、k 都是正数，因此这种边界条件还可以写成：
(,,)()(,,,)x y z u
u f x y z t n
σ∈Γ
?+=?
其中， (,,,)f x y z t 是定义在(),,x y z ∈Γ，0t ≤≤T 的已知函数，σ为已知
正数。这种边界条件称为热传导的第三种边界条件。
（4）稳定温度与拉普拉斯方程[2]
当外界环境不随时间而变化时，不管物体的初始温度怎样，当时间t →
∞时，物体的温度总是会趋于某种平衡状态。这时温度u
已与时
间t 无关，因此它满足拉普拉斯方程：
2
2
2
22
2
0u u u x
y
z
???+
+
=???
在温度稳定时，热量仍在继续流动，不过在任一曲面所包围的区域中热量的流进和流出的代数和都等于零，因此温度不变化。对于这
种方程定解条件中不再会有初始条件。和热传导方程对应，它也有三种边界条件。
二、MA TLAB 图形绘制功能简介
数学物理方法课程的内容多而难，题目繁而杂，是一门公认的较难的课程。热传导方程主要是偏微分方程，它的解基本是用公式推导，所得的结果往往是一个复杂的积分或级数，其中还免不了使用特殊函数。热传导方程的解，尽管都有明确的物理意义，可是怎样能从眼花缭乱的数学表达式中看出其中所表达的物理图像，是一个非常棘手的问题。
MA TLAB 具有数据可视化技术[3]，MA TLAB 软件的这一特点就可以解决上面的难题。它的面向图文架构让使用者可执行视觉数据分析，并制作高品质的图形。MA TLAB 给数据以二维、三维、乃至四维的图形表现。Plot 是MA TLAB 最基本的二维绘图命令，mesh 是最基本的三维绘图命令。同时，通过对图形线型、立面、色彩、演染、光线、视觉等品性的处理，可以把复杂繁琐的数学表达式生成容易理解、直观、明晰的图像，使数据的特征表现得淋漓尽致。
三、MA TLAB 解热传导方程应用举例
例1 求解无限长细杆的热传导（一维无界空间中的扩散）[4]，即：
2
00,
(,0)()
t xx t x t u x u a u ?=?-=?-∞+∞≤?=??
解：以分离变量形式的试探解
(,)()()u x t X x T t =
代入泛定方程得
2
XT a X T '''-=
用2a XT 遍除各项得
2
T X a T
X
'''=
两边分别是时间t 和坐标x 的函数，不可能相除，除非两边实际上是同一个常数。我们把这个常数记作2ω-
2
2
T X a T
X
ω
'''=
=-
这可分解为关于T 和X 关于的常微分方程
2
2
200
T a T X X ωω'+=''+=
从这两个方程解得
22
,i x
a t
X Ce
T Ae
ωω-==
所以分离变量形式的解是
2
2
(,;)()a t
i x
u x y A e
e
ωωωω-=
式中ω可取任意的实数值，一般解是线性叠加即积分
22
(,)()a t
i x
u x y A e
e
d ωωωω
+∞--∞
=
?
为了确定()A ω，把上式代入初始条件，得
()()i x
A e
d x ωωω?+∞-∞
=?
左边是傅里叶积分，这提示我们把右边的()x ?也展开为傅里叶积分，然后把两边加以比较，知()A ω正是()x ?的傅里叶变换式，
1()()2i A e
d ωξ
ω?ξξ
π
+∞--∞
=
?
这样所求得的解是
22
()
1(,)()[
]2a t
i x u x t e
e
d d ωωξ?ξωξπ
+∞+∞---∞
-∞
=
?
?
引用定积分公式2
22
2
4a
a
e
e
d e
a
β
ωβω
ω+∞
--∞=
?，可把所求的解表示为：
2
2()4(,)(]x a t
u x t d ξ?ξξ
--+∞-∞
=
?
其中取初始温度分布如下：
1(01)()0
(0,1)
x x x x ??≤≤?
=?
≤≥??
这是在区间0—1之间高度为1的一个矩形脉冲，于是得
2
2
()140
(,)x a t
u x t d ξξ
--
=
?
用MATLAB 软件求解，所用程序如下[5]：
xx=-10:.5:10
tt=0:0.1:3 tau=0:0.01:1 a=2;
[X,T,TAU]=meshgrid(xx,tt,tau);
F=1/2/2./sqrt(pi*T).*exp(-(X-TAU).^2/4/2^2./T); js=trapz(F,3);
waterfall(X(:,:,1),T(:,:,1),js)
图1所示瀑布图表示温度随时间、空间的变化。图1中1010
x -≤
≤，
01
t ≤≤，0100u ≤≤。从图中可以看出，在开始时，温度分布是原点
附近的一个脉冲状的分布，随着时间增加，热量向两边传播，形成一个平缓的波包。不难想象，如果时间足够长，最终杆上温度会为零。
还可以用动画来表示细杆上的温度随时间的变化，只需在上面的程序后加上如下语句（结果如图2）：
figure
h=plot(xx',js(1,:))
set(h,'erasemode','xor');
for j=2:20
set(h,'ydata',js(j,:));
drawnow;
pause(1)
end
-10
图1 一维热传导的积分解
-10-8-6-4-20246810图2 无限长杆上的热传导的动画截图
例2 有限长细杆在第一种边界条件下的热传导的定解问题
200(0,)0,(,)0,
(0)()t xx t u t u l t t u x u a u ?=?-=??
==≤??
=??
其中020x ≤
≤，即20l =，取10a =且
1
(1011)()0
(0,
x x x x ??≤≤?
=?
≤≥??所得的解为：
1
21011(,)cos cos 2020n n n x t e n ππ?π∞
=??
=
-???
?
∑
用MATLAB 求解，所用程序如下[5]：
function jxj
N=50;t=1e-5:0.00001:0.005;x=0:0.21:20; w=rcdf(N,t(1));
h=plot(x,w,'linewidth',5); axis([0,20,0,1.5]); for n=2:length(t) w=rcdf(N,t(n)); set(h,'ydata',w); drawnow;
pause(0.1) end
function u=rcdf(N,t) x=0:0.21:20;u=0;
for k=1:2*N
cht=2/k/pi*(cos(k*pi*10/20)-cos(k*pi*11/20))* ... sin(k*pi*x./20);
u=u+cht*exp(-(k^2*pi^2*10^2/400*t)); %a=10,l=20 end
图3是其中一个画面，图中020x ≤≤，0 1.5u ≤≤。从图画可以看
出，当热量没有传达到边界时，也就是边界的影响没有起作用时，由于初始条件相同，有限长杆的温度与无限长杆的温度分布是一样的。
所以，所谓的无限长杆的热传导实际上是指边界的影响还没有起作用时，有限长杆上的热传导现象的一种近似。
0.5
1
1.5
图3 有限长细杆热传导解析解的动画截图
例3 球体内的热传导问题[4]
半径为0r 的均质球放在温度为0U 的烘烤箱中，初始时刻球体的温度为0u ，求此后球内各点的温度变化情况。
解：用球坐标系，这个问题可以表达为
23
0000
,
(0)t t r r u u u t u U u a ==?-?=??
=≤??=??
因边界条件是非齐次的，应设法将其化为齐次的。为此，令
0u U ω
=+
则ω得定解问题是
2
30000(),
(0)0t t r r U u t a ωωωω==?-?=??
=--≤??=??
边界条件确已化为齐次的。
把这个三维热传导方程分离变量，得指数式衰减的时间因子2
2
a k t
e
-和三维空间中的亥姆霍兹方程。用球坐标系将亥姆霍兹方程分离变量，得到球函数方程和球贝塞尔方程。因此ω的分离变量形式的解是
22cos ()(cos )sin m
a k t l l m j kr P e
m ?θ?-??????
本例球心是对称中心，温度分布与θ和?无关，可见0l =，0m =，于是分离变量形式的解是2
2
0()a k t j kr e -，即：
22
sin a k t
kr e
r
-
边界条件0
r r ω
==，即：
2
2
00
sin 0
a k t
kr e
kr -=
,3)
22
0()01
sin()
a n r t
n
n n r r A
e
n r r πππ∞
-==
∑
为决定系数n A ，把上式代入初始条件，
0001
sin()()
n
n n r r A U u n r r ππ∞
==--∑
把右边00()U u --的按球贝塞尔函数展开，比较两边系数，
002
0000
2
002
2
00
sin()()
(1)2()sin()[
]r n r n r r U u r dr
n r r A U u n r r r dr
n r r ππππ--=
=--?
?
于是，得到答案
222
2
000
1
2()(1)sin
n a n
t
r n r r n U u r e r
n
ππωπ∞
-
=--=
∑
000
01
2()(1)n
n U u r u U e r
n
π∞
=--=+
∑
用MATLAB 解。
在解析解中只有一个空间变量r 箱变量相对应，我们将r 表示成x 、y 二维图像。这时等温线其实就是一些同心圆。
为了作图方便，取0
1r =，2
2a =，00u =，02
U =，在级数求和中
只取前面的10项。MATLAB 程序为[5]：
U0=2; u0=0; a2=2; N=10;
r=eps:0.05:1; theta=linspace(0,2*pi,100); t=0.1:0.001:0.2;
[RR,TT]=meshgrid(r,t); figure(3)
[R,TH]=meshgrid(theta,r); [X,Y]=pol2cart(R,TH); for tt=1:100
un=0;
for k=1:N
unn=2*(U0-u0)*(-1)^k.*sin(k.*pi.*(X.^2+Y.^2).^0.5).*... exp(-k^2*pi^2*a2*t(tt))./(pi*k*((X.^2+Y.^2).^0.5)); un=unn+un; end
mesh(X,Y,un);
axis([-1 1 -1 1 -0.4 0]); pause(0.1) end
也可以用瀑布图来表示解析解的结果。在瀑布图中，以r 、t 作为变量，这就是下面程序中的做法，它表示一条半径上的温度随时间t 的变化。在上面程序后加入下面的语句即可。
figure(5) wn=0;
for k=1:N
wnn=2*(U0-u0)*(-1)^k.*sin(k.*pi.*RR).*... exp(-k^2*pi^2*a2*TT)./(pi*k.*RR); wn=wnn+wn; end
waterfall(RR,TT,wn) xlabel('r') ylabel('t')
图4是解析解动画中的一幅图形，所得的瀑布图形如图5.
-1
1
图4 解析解的动画图形截图
-0.1
-0.2
-0.3
-0.4
-0.5图5 解析解的瀑布图形
参考文献
[1] 赵刚，严尚安等主编，《数学物理方程》，中国科技出版社，2004年版，第8页
[2] 复旦大学数学系主编，《数学物理方程》，上海科学技术出版社，1960年版，第10页
[3] 闻新等编著，《MTLAB科学图形构建基础与应用》，科学出版社，2002年版，第107页
[4] 梁昆淼编，《数学物理方法》，人民教育出版社1978年第二版，第256—257页，第390
—392页
[5] 彭芳麟著，《数学物理方程的MATLAB解法与可视化》，清华大学出版社，2004年版，第
140页，第142页，第150页
复变函数与积分变换 综合试题（一） 一、单项选择题(本大题共10小题，每小题2分，共20分) 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．设cos z i =，则（ ） A ． Im 0z = B ．Re z π= C ．0z = D ．argz π= 2．复数3(cos ,sin )55z i ππ =--的三角表示式为（ ） A ．443(cos ,sin )55i ππ- B ．443(cos ,sin )55i ππ- C ．44 3(cos ,sin )55i ππ D ．44 3(cos ,sin )55 i ππ-- 3．设C 为正向圆周|z|=1，则积分 ?c z dz ||等于（ ） A ．0 B ．2πi C ．2π D ．－2π 4．设函数()0 z f z e d ζζζ= ? ，则()f z 等于（ ） A ．1++z z e ze B ．1-+z z e ze C ．1-+-z z e ze D ．1+-z z e ze 解答： 5．1z =-是函数 4 1) (z z cot +π的（ ） A ． 3阶极点 B ．4阶极点 C ．5阶极点 D ．6阶极点 6．下列映射中，把角形域0arg 4 z π << 保角映射成单位圆内部|w|<1的为（ ） A ．4411z w z +=- B ．44-11z w z =+ C ．44z i w z i -=+ D ．44z i w z i +=- 7. 线性变换[]i i z z i z a e z i z i z a θω---= =-++- ( ） A.将上半平面Im z >0映射为上半平面Im ω>0 B.将上半平面Im z >0映射为单位圆|ω|<1 C.将单位圆|z|<1映射为上半平面Im ω>0 D.将单位圆|z|<1映射为单位圆|ω|<1 8.若()(,)(,)f z u x y iv x y =+在Z 平面上解析，(,)(cos sin )x v x y e y y x y =+，则(,)u x y = （ ） A.(cos sin )y e y y x y -) B.(cos sin )x e x y x y -
《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 是第 （ ）类边界条件，其中为边界. 5.设函数的傅立叶变换式为，则方程的傅立叶变换 为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有= （ ）. 8.计算积分 （ ） . 9.勒让德多项式的微分表达式为（ ） . ?f u n u S =+??)(σS ),(t x u ),(t U ω2 2 222x u a t u ??=??=)(0x J dx d )(3 1)(3202x P x P +=?-dx x P 2 1 12)]([)(1x P
10.二维拉普拉斯方程的基本解是（） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）：1. 2.? ? ? ? ?? ? ? ? < < = ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = = 3 0,0 , 3 ,0 0 ,3 0, 2 3 2 2 2 2 2 ,0 x t u x x t x x u t u t t x u u u ? ? ? ? ?? ? ? ? = = = > < < ? ? = ? ? = = = x t x x u t u u u u t x x 2 ,0 ,0 ,4 0, 4 2 2
3. ???? ? ????<<=??===><<+??=??====20,0,8,00,20,162002022 222x t u t x x u t u t t x x u u u
最新数学物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 数学物理方程期末试卷sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题.(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进 入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2x l x -，试 写出其定解问题.(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???? ???==??=??=+=-).()(002 22 22x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 222200, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有
二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??-2 3 222)( 22 52222 32222 2) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- - )2()(2 2223 222y x t y x t ++?--=- x y x t x u ?--=??- 23 222)( ()() 225222232222 23x y x t y x t x u - ---+--=?? ( )()222 252222y x t y x t -+- -=- 同理 ()()222 25 2222 22y x t y x t y u +---=??- 所以 ()() .22 22 2225222222 2t u y x t y x t y u x u ??=++--=??+ ??- 即得所证。 §2 达朗贝尔公式、 波的传抪 3.利用传播波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） ??? ? ???==??=??=+=-).()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 解：u(x,t)=F(x-at)+G(x+at) 令 x-at=0 得 )(x ?=F （0）+G （2x ） 令 x+at=0 得 )(x ψ=F （2x ）+G(0)
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解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0)1(''2=++T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，t a C t a C T 22211sin 1cos λλ+++= 由边值条件得： 22)( ,0l n C πλ== l x n t a A t a B u n n n πλλcos )1sin 1cos (221+++=∑∞= ?= l n dx l x n x l B 0cos )(2π?，?+=l n dx l x n x a l A 02cos )(12πψλ(15’) 证明：设代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。(15’)
解：设),(ηξp 是第一象限内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点),(ηξ-p 格林函数： 22)()(1ln 21),,,(ηξπηξ-+-= y x y x G 22)()(1ln 21ηξπ++--y x (8’) ] )[(22220ηξπη+-=??-=??=x y G n G y 方程的解：dx x x f u ?+∞∞-+-=22)()(),(ηξπ ηηξ(15’) 五、证明下列初边值问题解的唯一性.(20分) ),,,()(2t z y x f u u u a u zz yy xx tt =++- ),,,(0z y x u t ?== ),,,(0 z y x u t t ψ== ).,,,(t z y x g u =Γ 其中,),,(,0Ω∈>z y x t Γ为Ω的边界. 解:设21,u u 都是方程的解设21u u u -=代入方程得： 0)(2=++-zz yy xx tt u u u a u 00==t u 00 ==t t u .0=Γu 设dxdydz u u u a u t E z y x t ])([21)(22222???Ω +++= =dt t dE )(dxdydz u u u u u u a u u zt z yt y xt x tt t ])([22???Ω +++ dxdydz u u u a u u zz yy xx tt t ])([[2 2??? Ω++-= 0=(10’)
2011-2012 一、选择题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 在下列每小题的4个备选项中，只有一项是最符合题意的，请将代码 （A 、B 、C 、D ）填在题后相应的括号内。 1、偏微分方程与（ ）结合在一起，统称为定解问题. (A)定解条件； (B)初始条件； (C)边界条件； (D)以上均不正确. 2、下列偏微分方程中，属于二阶、线性、齐次的是（ ）. (A) 2260u u u u t x ??++-=??； (B) 2222cos 40?+-?-=?u t t u x x ； (C) 2 90???+-= ???? u xu t t ； (D) 22 60??+?-?=??t u u e xt u x t . 3、以下说法中错误的是（ ）. (A) Bessel 方程222'''()0x y xy x n y ++-=通解为()(),n n y AJ x BJ x -=+其中A, B 为任意常数； (B) n 阶Bessel 函数()x J n 的实零点关于原点是对称分布的； (C) 半奇数阶的第一类Bessel 函数都是初等函数； (D) 当0x =时，n 阶Bessel 函数()x J n 为有限值，而()x Y n 为无穷大. 4、定解问题的适定性是指解的（ ）. (A) 存在性、唯一性、收敛性； (B) 存在性、稳定性、收敛性； (C) 存在性、唯一性、稳定性； (D)唯一性、稳定性、收敛性. 5、设3 R Ω?为有界区域，边界Γ为光滑的封闭曲面，则下面说法错误的是（ ）. (A) 若2 ()()u C C ∈ΩΩ，则狄氏问题20,|u u f Γ??=Ω?=?在内 的解是唯一确定的； (B) 若2 1() ()u C C ∈ΩΩ，则2u u dV dS n Ω Γ??=?????? ； (C) 牛曼内问题20,|1u u n Γ??=Ω? ??=???在内有解且不唯一；
数学物理方程模拟试卷 一、写出定解问题（10分） 设枢轴长为l ，建立枢轴纵振动在下列情形下的运动方程： （a ） 在x=0固定，在x=l 作用力F ，在t=0时刻作用力突然停止 （b ） 在x=l 一端是平衡位置，而从t=0时刻作用力 F(t) 解：（a ）() ()()() ???? ?????≥='=≤≤==><<
,13c x y dx dy +-=→= 令???-=+=y x y x 3ηξ ???===-=======∴0,1,30,1,1yy xy xx y x yy xy xx y x ηηηηηξξξξξ （2） ??? ????++++=+++++=++++=+=+=yy yy y y y y yy xy xy y x x y y x y x xy xx xx x x x xx y y y x x x u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u u ηξηηξξηξηηηξηξξξηξηηξξηξηξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηηξηξξηξηξ22222)(2, （3） 将（2）代入（3），可得 ?????????+-=-+=++=-=+=ηη ξηξξηηξηξξηηξηξξηξηξu u u u u u u u u u u u u u u u u u yy xy xx y 2329632 （4） 把（4）代入（1），可得 0666236364296=-+++-+--++++ηξηξηηξηξξηηξηξξηηξηξξu u u u u u u u u u u u u 0816=+∴ξξηu u 即 02 1=+ξξηu u 这就是我们所求的标准的双曲型方程。 三、（每小题10分，共20分） ①证明：)52()52(),(t x G t x F t x y -++=为方程2222254x y t y ??=??的通解。 ②求满足条件：0),(),0(==t y t y π，x x y 2sin )0,(=，0)0,(=x y t 的特解。 解：①设v t x u t x =-=+52,52，得 )()(v G u F y +=， )5()('5)('-?+?=????+????=??v G u F t v v G t u u F t y )('5)('5v G u F -=， （1）
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 1、长度为 l 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为k 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。(10分) 2、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为0度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是() 2 x l x -，试写出其定解问题。(10分) 3、试用分离变量法求定解问题(10分)： .? ?? ?? ?? ??===><??? ==?????=+= ????? 5、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题）(10分)：
???????==??=??=+=-).()(002 22 2 2x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 6、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 7、用积分变换法求解定解问题（10分）： ???? ???=+=>>=???==,1,10,0,1002y x u y u y x y x u 8、用积分变换法求解定解问题(10分)： ?? ?==>∈=0)0,(,sin )0,(0,,2x u x x u t R x u a u t xx tt 9、用格林函数法求解定解问题(10分)： 22220 0, y 0, () , .y u u x y u f x x =???+=
嘉应学院物理系《数学物理方法》B课程考试题 一、简答题（共70 分） 1、试阐述解析延拓的含义。解析延拓的结果是否唯一（ 6 分） 解析延拓就是通过函数的替换来扩大解析函数的定义域。替换函数在原定义域上与替换前的函数 相等。 无论用何种方法进行解析延拓，所得到的替换函数都完全等同。 2、奇点分为几类如何判别（6分） 在挖去孤立奇点Zo 而形成的环域上的解析函数F（ z）的洛朗级数，或则没有负幂项，或则 只有有限个负幂项，或则有无限个负幂项，我们分别将Zo 称为函数 F（ z）的可去奇点，极点及本性奇点。 判别方法：洛朗级数展开法 A，先找出函数f(z)的奇点； B，把函数在的环域作洛朗展开 1）如果展开式中没有负幂项，则为可去奇点； 2）如果展开式中有无穷多负幂项，则为本性奇点； 3）如果展开式中只有有限项负幂项，则为极点，如果负幂项的最高项为，则为m阶奇点。 3、何谓定解问题的适定性（ 6 分） 1，定解问题有解； 2，其解是唯一的； 3，解是稳定的。满足以上三个条件，则称为定解问题 的适定性。 4、什么是解析函数其特征有哪些（ 6 分） 在某区域上处处可导的复变函数 称为该区域上的解析函数. 1）在区域内处处可导且有任意阶导数 . u x, y C1 2）这两曲线族在区域上正交。 v x, y C2 3）u x, y 和 v x, y 都满足二维拉普拉斯方程。(称为共轭调和函数 ) 4）在边界上达最大值。 4、数学物理泛定方程一般分为哪几类波动方程属于其中的哪种类型（ 6 分）
数学物理泛定方程一般分为三种类型：双曲线方程、抛物线方程、椭圆型偏微分方程。波动方程属于其中的双曲线方程。 5、写出 (x) 挑选性的表达式（ 6 分） f x x x 0 dx f x 0 f x x dx f 0 f (r ) ( r R 0 ) dv f ( R 0 ) 、写出复数 1 i 3 的三角形式和指数形式（ 8 分） 6 2 cos isin 1 3 2 i 2 三角形式： 2 sin 2 cos 2 1 i 3 cos i sin 2 3 3 1 指数形式：由三角形式得： 3 i z e 3 、求函数 z 在奇点的留数（ 8 分） 7 1)( z 2) 2 (z 解： 奇点：一阶奇点 z=1；二阶奇点： z=2 Re sf (1) lim (z 1) z 1 ( z 1)( z 2) 2 z 1
高等数学物理方程 一、课程编码：1800005 课内学时： 64 学分： 4 二、适用学科专业：理论物理、凝聚态物理 三、先修课程：常微分方程、复变函数、数学物理方法 四、教学目标 通过本课程的学习使研究生 1. 了解数学物理方程的物理基础； 2. 了解数学物理方程的基本内容和最新发展概况； 3. 了解数学物理的基本方法和一些必要的技巧； 4. 掌握求解最重要的边值或边值初值问题的关键步骤和方法以及对解的检验。 五、教学方式 课堂讲授。 六、主要内容及学时分配 1. 偏微分方程的分类 10 学时1.1 一般概念 1.2 柯西问题、柯西-柯娃列夫斯卡娅定理 1.3 柯西问题的推广、特征的概念（*） 1.4 含一个未知函数的二阶方程在一点的标准型及其分类 1.5 两个自变量的二阶偏微分方程在一点的邻域内的标准型 2. 双曲型方程 20 学时2.1 （一维）波动方程的导出（物理起源）及定解条件 2.2 其他双曲型方程（*） 2.3 （一维）波动方程的柯西问题及其传播波法 2.4 （一维）波动方程的混合问题及其分离变量法 2.5 高维波动方程的柯西问题 3. 椭圆型方程 21 学时3.1 拉普拉斯方程（包括物理起源、定解条件、曲线坐标系下的拉氏方程等） 3.2 调和函数的一般性质（包括格林公式、极值原理、解的唯一性与稳定性等） 3.3 最简单区域的边界问题的分离变量法 3.4 源函数 3.5 势论与积分方程 3.6 双调和方程（*） 4. 抛物型方程 8 学时4.1 热传导方程的物理起源 4.2 定解问题的提法 4.3 热传导方程的求解 4.4 极值原理、定解问题解的唯一性与稳定性 5. 特殊函数与正交多项式 5 学时5.1 特殊函数的方程及边界问题的提法 5.2 柱函数（*）
数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得：
21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1+=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x
成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===><
2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:
《数学物理方程讲义》课程教学大纲第一部分大纲说明 一、课程的作用与任务 本课程教材采用的是由高等教育出版社出版第二版的《数学物理方程讲义》由姜礼尚、陈亚浙、刘西垣、易法槐编写 《数学物理方程讲义》课程是中央广播电视大学数学与应用数学专业的一门限选课。数学物理方程是工科类及应用理科类有关专业的一门基础课。通过本课程的学习，要求学生了解一些典型方程描述的物理现象，使学生掌握三类典型方程定解问题的解法，重点介绍一些典型的求解方法，如分离变量法、积分变换法、格林函数法等。本课程涉及的内容在流体力学、热力学、电磁学、声学等许多学科中有着广泛的应用。为学习有关后继课程和进一步扩大数学知识面奠定必要的数学基础。该课程所涉内容，不仅为其后续课程所必需，而且也为理论和实际研究工作广为应用。它将直接影响到学生对后续课的学习效果，以及对学生分析问题和解决问题的能力的培养。数学物理方程又是一门公认的难度大的理论课程。 二、课程的目的与教学要求 1 了解下列基本概念: 1) 三类典型方程的建立及其定解问题(初值问题、边值问题和混合问题)的提法，定解条件的物理意义。 2) 偏微分方程的解、阶、维数、线性与非线性、齐次与非齐次的概念，线性问 题的叠加原理。 3) 调和函数的概念及其基本性质(极值原理、边界性质、平均值定理)。 2 掌握下列基本解法
1) 会用分离变量法解有界弦自由振动问题、有限长杆上热传导问题以及矩形域、 圆形域内拉普拉斯方程狄利克雷问题;会用固有函数法解非齐次方程的定值问题，会用辅助函数和叠加原理处理非齐次边值问题; 2) 会用行波法(达郎贝尔法)解无界弦自由振动问题，了解达郎贝尔解的物理 意义;了解齐次化原理及其在解无界弦强迫振动问题中的应用; 3) 会用傅立叶变换法及拉普拉斯变换法解无界域上的热传导问题及弦振动问 题; 4) 了解格林函数的概念及其在求解半空间域和球性域上位势方程狄利克雷问题中的应用; 5)掌握二阶线性偏微分方程的分类 二、课程的教学要求层次 教学要求层次:有关定义、定理、性质等概念的内容按“知道、了解、理解”三个层次要求;有关计算、解法、公式和法则等方法的内容按“会、掌握、熟练掌握” 三个层次要求。 第二部分学时、教材与教学安排一、学时分配 本课程共3学分，讲授54学时(包括习题课)学时分配如下: 项目内容学时电视学时 IP课学时 第一章方程的导出和定解条件 6 第二章波动方程 14 第三章热传导方程 14 第四章位势方程 14 第五章二阶线性偏微分方程的分类 6 合计 54 二、教学安排
2012学年第二学期数学与物理方程期末试卷 出卷人：欧峥 、长度为 的弦左端开始时自由，以后受到强度为sin A t ω的力的作用，右端系在弹性系数为 的弹性支承上面；初始位移为(),x ?初始速度为().x ψ试写出相应的定解问题。 分 、长为l 的均匀杆，侧面绝热，一端温度为 度，另一端有已知的恒定热流进入，设单位时间流入单位截面积的热量为q ，杆的初始温度分布是 ()2 x l x -，试写出其定解问题。 分 、试用分离变量法求定解问题 分 ： ?????????===><
222sin cos ,(0,0)(0,)3,(,)6 4(,0)31,(,0)sin tt xx t u a u x x x l t l l u t u l t x u x u x x l l πππ?=+<<>???==?????=+= ????? 、利用行波法，求解波动方程的特征问题（又称古尔沙问题） 分 ： ???????==??=??=+=-). ()(0022222x u x u x u a t u at x at x ψ? ())0()0(ψ?= 、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（ 分） ?????=??=>+∞<<-∞+??=??==0,2sin 0,,cos 0022222t t t u x u t x x x u a t u 、用积分变换法求解定解问题（ 分）： ???????=+=>>=???==,1, 10 ,0,1002y x u y u y x y x u 、用积分变换法求解定解问题 分 ：
天津工业大学（2009—2010学年第一学期） 《数学物理方法》(A)试卷解答2009.12 理学院) 特别提示：请考生在密封线左侧的指定位置按照要求填写个人信息,若写在其它处视为作弊。本试卷共有四道大题,请认真核对后做答,若有疑问请与监考教师联系。 一 填空题(每题3分,共10小题) 1. 复数 i e +1 的指数式为：i ee ； 三角形式为：)1sin 1(cos i e + . 2. 以复数 0z 为圆心，以任意小正实数ε 为半径作一圆，则圆内所有点的集合称为0z 点的 邻域 . 3. 函数在一点可导与解析是 不等价的 (什么关系？). 4. 给出矢量场旋度的散度值，即=????f ? 0 . ------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线 ---------------------------------------- 密封线--------------------------------------- 学院 专业班 学号 姓名 装订线 装订线 装订线
5. 一般说来，在区域内，只要有一个简单的闭合曲线其内有不属 于该区域的点，这样的区域称为 复通区域 . 6. 若函数)(z f 在某点0z 不可导，而在0z 的任意小邻域内除0z 外处处可导，则称0z 为)(z f 的 孤立奇点 . 7. δ函数的挑选性为 ? ∞ ∞ -=-)()()(00t f d t f ττδτ. 8. 在数学上，定解条件是指 边界条件 和 初始条件 . 9. 常见的三种类型的数学物理方程分别为 波动方程 、 输运方程 和 稳定场方程 . 10. 写出l 阶勒让德方程: 0)1(2)1(222 =Θ++Θ -Θ-l l dx d x dx d x . 二 计算题(每小题7分，共6小题)
科普： 《定性与半定量物理学》赵凯华 《边缘奇迹：相变和临界现象》于渌 《QED: A Strange Theory about Light and Matter》Feynman 《大宇之形》丘成桐 《Gauge Fields, Knots and Gravity》Baez 《趣味力学》别莱利曼 《趣味刚体力学》刘延柱（小书，挺有意思） 考研习题集用超星图书里的那本清华大学编写的普通物理学考研辅导教材(大约这个名字) 数学分析： 书目： 《数学分析教程》常庚哲 《数学分析新讲》张筑生 《数学分析》卓里奇 《数学分析八讲》辛钦 《数学分析讲义》陈天权 《数学分析习题课讲义》谢惠民等 《数学分析习题集》北大版？ 《特殊函数概论》王竹溪 线性代数Linear Algebra 内容：行列式、矩阵代数、线性方程组、线性空间、线性变换、欧几里得空间、n元实二次型等。 书目： 《高等代数简明教程》蓝以中 《Linear Algebra and Its Applications》Gilbert Strang 《Linear Algebra and Its Applications》Peter D. Lax 《Linear Algebra and Its Applications》David C. Lay 力学Mechanics 先修课程：高等数学 内容：质点运动学、质点动力学、动量定理和动量守恒定律、功和能及碰撞问题、角动量、刚体力学、固体的弹性、振动、波动和声、流体力学、相对论简介。 书目： 《力学》赵凯华 《力学》舒幼生 《经典力学》朗道 《An Introduction To Mechanics》Daniel Kleppner、Robert Kolenkow 狭义相对论：《狭义相对论》刘辽 《The Principle of Relativity》Einstein 广义相对论：《Einstein Gravity in a Nutshell》Zee 《Spacetime and Geometry》Carroll
第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --==
《数学物理方程》习题精练5 (椭圆型方程的边值问题) 内容 1.分离变量法 2.调和函数的性质与极值原理 3.Dirichlet 问题的Green 函数法 1. 分离变量法 (1)Poisson 方程边值问题的“特解法” Poisson 方程描述稳恒场的分布情况，对于Poisson 方程的边值问题，虽不像波动方程和热传导方程那样有所谓的Duhamel 原理，但若能找到Poisson 方程的一个特解，常可把它转化成Laplace 方程的边值问题来求解，这便是所谓的“特解法”. 今有边值问题 (*)??????∈=∈=+?D y x y x u D y x y x f u u D yy xx ),( ),,(),( ),,(? 设),(y x w 是Poisson 方程的一个解(特解)，),(y x u 是所给边值问题的解.令 ),(),(),(y x w y x v y x u +=， 则),(y x v 满足如下的边值问题 (**)??????∈-=∈=+??D y x w y x v D y x v v D D yy xx ),( ,),(),( ,0? 亦即),(y x v 是域D 上的调和函数.这样，就把Poisson 方程的边值问题(*)转化成Laplace 方程的边值问题(**).对于特殊的区域D ，我们还可以用分离变量法来求解(**). 例1 求解Poisson 方程的边值问题 ??? ? ?=<+-=+=+.0)( ,2 22222a y x yy xx u a y x xy u u 解 ①先寻求Poisson 方程的一个特解),(y x w . 显然，xy xy y x -=+- ?)](12 1[33 ，于是得到一个特解为 θθρcos sin 12 1 )(121)(121),(42233-=+-=+-=xy y x xy y x y x w . 令 θθθρ2sin 24 1 cos sin 1214-=-=+=v v w v u ， 则新的未知函数v 满足如下的定解问题：
数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=
其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??