利用递推关系求数列通项的九种类型及解法
1.形如)(1
n f a a n n =-+型
（1）若f(n)为常数,即：d a a n n =-+1
,此时数列为等差数列，则n a =d n a )1(1-+.
（2）若f(n)为n 的函数时，用累加法. 方法如下： 由 )(1
n f a a n n =-+得：
2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，
)2(21-=---n f a a n n ，
)2(23f a a =- )1(12f a a =-
所以各式相加得 )1()2()2()1(1f f n f n f a a n
+++-+-=-
即：∑-=+=1
1
1)(n k n
k f a a .
为了书写方便，也可用横式来写：
2≥n 时，)1(1-=--n f a a n n ，
∴112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=
1)1()2()2()1(a f f n f n f ++++-+- .
例 1. （天津文） 已知数列｛a n ｝满足)2(3,1111
≥+==--n a a a n n n ,
证明2
1
3-=n n a
证明：由已知得：故,311--=-n n n
a a
112211)()()(a a a a a a a a n n n n n +-++-+-=---
=.213133
3
2
1
-=++++--n n n ∴2
1
3-=n n a .
例 2.已知数列
{}n a 的首项为1，且*12()n n a a n n N +=+∈写出数列{}n a 的通项公式. 答案：
12+-n n
例3.已知数列}{n a 满足31=a ，)2()
1(1
1≥-+
=-n n n a a n n ，求此数列的通项公式.
答案：n
a n
12-
= 评注：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次函数、二次函数、指数函数、分式函数，求通项n a .
①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ②若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和;
③若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和。 2.形如
)(1
n f a a n
n =+型 （1）当f(n)为常数，即：
q a a n
n =+1（其中q 是不为0的常数）
，此时数列为等比数列，n a =1
1-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,用累乘法. 由
)(1n f a a n n =+得 2≥n 时，)1(1
-=-n f a a
n n ， ∴11
2211a a a
a a a a a n n n n n ????=
--- =f(n)f(n-1)1)1(a f ?? . 例1.设
{}n a 是首项为1的正项数列，且()011221=+-+++n n n n a a na a n （n =1，2， 3，…）
，则它的通项公式是n a =________. 解：已知等式可化为：[]0)1()(11
=-++++n n n n na a n a a
0>n a (*N n ∈)∴(n+1)01=-+n n na a , 即
1
1+=
+n n
a a n n ∴2≥n 时，
n
n a a n n 1
1-=
- ∴11
2211a a a a a a a a n n n n n ????=
--- =121121??--?- n n n n =n 1
.
评注：本题是关于n a 和1+n a 的二次齐次式，可以通过因式分解（一般情况时用求根公式）得到n a 与1+n a 的更为明显的关系式，从而求出n a . 例2.已知1,111->-+=+a n na a n n ,求数列{a n
}的通项公式.
解：因为,11-+=+n na a n n 所以,11n na a n n +=++
故),1(11
+=++n n a n a 又因为11->a ,即011>+a ，
所以由上式可知01>+n
a ,所以
n a a n n =+++1
1
1,故由累乘法得
)1(1
1
111111*********+?++?++??++?++=
+---a a a a a a a a a a n n n n n
=)1()!1()1(12)2()1(11+?-=+????-?-a n a n n
所以=n
a )1()!
1(1+?-a n -1. 评注：本题解题的关键是把原来的递推关系式,11-+=+n na a n n 转化为
),1(11+=++n n a n a 若令1+=n n a b ,则问题进一步转化为n n nb b =+1形式，进而应用累乘法求出数列的通项公式.
3.形如)(1
n f a a n n =++型
（1）若d a a n n =++1
（d 为常数）
，则数列{n a }为“等和数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论; （2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过构造转化为)(1n f a a n n =-+型，通过累加来求出通项;或用逐差法(两式相减)得
)1()(11--=--+n f n f a a n n ，，分奇偶项来分求通项.
例1. 数列{n a }满足01
=a ,n a a n n 21=++,求数列{a n
}的通项公式.
分析 1：构造 转化为)(1n f a a n n =-+型
解法1：令n n n a b )1(-=
则n a a a a b b n n n n n n n n n n 2)1()()1()1()1(111111
?-=+-=---=-++++++.
2≥n 时,????
?
????=-=??-=--?-=--?-=-----01
2)1()2(2)1()1(2)1(11212
1
211a b b b n b b n b b n n n n n n
各式相加:[]
1)1(2)1()2()1()1()1(2231?-+?-++--+--=- n n b n n n
当n 为偶数时，n n n b n
=?????
?
-?-+-=22)1()1(2.
此时n b a n n ==
当n 为奇数时，1)2
1
(2+-=--
=n n b n 此时n n a b -=,所以1-=n a n .
故
??
?-=.
,,
,1为偶数为奇数n n n n a n 解法2： n
a a n n 21
=++
∴2≥n 时，)1(21-=+-n a a n n ，
两式相减得：211
=--+n n a a .
∴,,,,531 a a a 构成以1a ,为首项，以2为公差的等差数列; ,,,,642 a a a 构成以2a ,为首项，以2为公差的等差数列
∴22)1(112-=-+=-k d k a a k k d k a a k 2)1(22=-+=.
∴??
?-=.,,
,1为偶数为奇数n n n n a n
评注：结果要还原成n 的表达式. 4.形如)(1
n f a a n n =?+型
（1）若p a a n n =?+1
(p 为常数)，则数列{n a }为“等积数列”，它是一个周期数列，周期为2，其通项分奇数项和偶数项来讨论;
（2）若f(n)为n 的函数（非常数）时，可通过逐差法得)1(1-=?-n f a a n n ，两式相除后，分奇偶项来分求通项.
例1. 已知数列满足}{n a )(,)2
1
(,3*11N n a a a n n n ∈=?=+,求此数列的通项公式.
注：同上例类似，略. 5．形如0(,1
≠+=+c d ca a n n ,其中a a =1)型
（1）若c=1时，数列{n a }为等差数列; （2）若d=0时，数列{n a }为等比数列; （3）若01≠≠且d c
时，数列{n a }为线性递推数列，其通项可通过待定系数法构造辅助数列来求.
方法如下：设)(1λλ+=++n n a c a ,
得λ)1(1
-+=+c ca a n n ,与题设,1d ca a n n +=+比较系数得
d c =-λ)1(,所以)0(,1≠-=
c c d
λ 所以有：)1
(11-+=-+
-c d
a c c d a n n
因此数列?
??
???-+
1c d a n 构成以11
-+c d a 为首项，以c 为公比的等比数列， 所以 11)1
(1-?-+=-+
n n
c c d
a c d a 即：1
)1(11--?-+=-c d c c d a a n n . 规律：将递推关系d ca a n n +=+1化为)1(11-+=-+
+c d a c c d a n n ,构造成公比为c 的等比数列}1
{-+c d
a n 从而求得通项公式)1
(1111-++-=
-+c d
a c c d a n n 有时我们从递推关系d ca a n n +=+1中把n 换成n-1有d ca a n n +=-1,两式相减有)(11-+-=-n n n n a a c a a 从而化为公比
为c 的等比数列}{1n n a a -+,进而求得通项公式. )(121a a c a a n n n -=-+,再利用类型(1)即可求得通项公式.我们看到此方法比较
复杂.
例1．已知数列}{n a 中，,2
1
21,211+=
=+n n a a a 求通项n a . 分析：两边直接加上
1-c d
,构造新的等比数列。 解：由,21211+=+n n a a 得)1(2
1
11-=-+n n a a ,
所以数列}1{-n a 构成以111=-a 为首项，以2
1
为公比的等比数列
所以1)21(1-=-n n a ,即 1)
2
1(1
+=-n n a . 方法二：由 ,1
d ca a n n +=+
∴2≥n 时，,1d ca a n n +=-
两式相减得 )(11
-+-=-n n n n a a c a a
∴
c a a a a n n n
n =---+1
1,
数列}{1--n n a a 是以12a a -=d
a c +-1)1(为首项，以c 为公比的等比数列.
∴?
?
??
?
?
?
??
-=-?-=-?-=-?-=------12121223312212121)()()(a a a a c
a a a a c a a a a c a a a a n n n n n n ?)1)((2121-+++-=-n n c c a a a a
=(c
c a a n --?
--11)1
12 ∴1
)1(1---+
=-c d c c d a a n n
. 方法三：迭代法
由 递推式,1d ca a n n +=+
直接迭代得)1()(2221++=++=+=---c d a c d d ca c d ca a n n n n
= =+++-)1(233
c c
d a c
n =)1(2211--+++++n n c c c d a c
=1
)1(1---+
-c d c c d a
n . 方法四：归纳、猜想、证明.
先计算出321,,a a a ,再猜想出通项n a ,最后用数学归纳法证明. 注：请用这三种方法来解例题，体会并比较它们的不同. 6.形如)(1n f pa a n n +=+型
.(1)若
b kn n f +=)((其中k,b 是常数，且0≠k )
方法：相减法,化成:递推式,1d cb b n n +=+形式.
例1.
在数列}{n a 中，,23,111
n a a a n n +==+求通项n a .
解： ,231n a a n n +=+ ①
∴2≥n 时，)1(231-+=-n a a n n ，
两式相减得
2)(311+-=--+n n n n a a a a .令n n n a a b -=+1,则231+=-n n b b
利用类型5的方法知2351+?=-n n b
即 13511
-?=--+n n n a a ②
再由累加法可得2
1
3251--?=
-n a n n
. 亦可联立 ① ②解出21
3
251--?=-n a n n . 例2. 在数列{}n a 中，362,2
3
11-=-=-n a a a n n ,求通项n a .
解：原递推式可化为y n x a y xn a n n
++-+=++-)1()(21
比较系数可得：x=-6,y=9,上式即为12-=n n b b
所以
{}n b 是一个等比数列，首项2
99611=+-=n a b ,公比为2
1.
1)21(29-=
∴n n b 即：n n n a )21(996?=+- 故96)2
1(9-+?=n a n
n .
(2)若
n q n f =)((其中q 是常数，且n ≠0,1)
①若p=1时，即：n n n q a a +=+1，累加即可.
②若
1≠p 时，即：n n n q a p a +?=+1，
求通项方法有以下三种方向：i. 两边同除以
1+n p .
即：
n
n
n n n q p p q a p a )(11
1?+
=
++,令n n n p
a b =，则n
n n q
p p b b )(11
?=
-+, 然后类型1，累加求通项. ii.两边同除以1
+n q
. 即：
q
q a q p q a n n n n 11
1+?=
++, 令n
n n
q a b =
,则可化为q
b q p b n n 1
1
+?=
+.然后转化为类型5来解， iii.待定系数法： 设)(1
1n n n n p a p q
a ?+=?+++λλ.通过比较系数，求出λ，转化为等比数列求通项.
例1.（天津理） 设0a 为常数，且)(2311N n a a n n n
∈-=--．
证明对任意n ≥1，012)1(]2)1(3[5
1
a a n n n n n n
?-+?-+=-； 证法1：两边同除以（-2）n
,得
n n n n
n a a )2
3(31)2()2(1
1-?+
-=
--- 令n
n n
a b )2(-=
,则n n n b b )2
3
(311-?=
-- ∴112211)()()(b b b b b b b b n n n n n +-++-+-=---
=
2)23()23()23(311
21-+
??
????-++-+--a n n =)21(21)
2
3(1])23(1[)23(31012a n -------?-
=0]1)2
3[(51a n
+--=
∴==-= n n n b a )2(012)1(]2)1(3[5
1
a n n n n n ?-+?-+-.
证法2：由)(23
1
1
N n a a n n n ∈-=--得
113
32313
--?-=
n n n
n a a .
设n
n n
a b 3=
，则b 31321+-=
-n n b . 即：)5
1(32511--=--n n b b , 所以?
??
???
-51n
b 是以)51(325101a b -=-为首项，32-为公比的等比数列.
则10)32)(51(3251---=-
n n
a b =(n n a )3
2
()1)(5110---, 即：
51)32()1)(51(3
10+--==-n n n n
n
a b a , 故 012)1(]2)1(3[5
1
a a n n n n n n
?-+?-+=-. 评注：本题的关键是两边同除以3n
，进而转化为类型5，构造出新的等比数列，从而将求一般数列的通项问题转化为求等比数列的通项
问题.
证法3：用待定系数法 设)3(2311--?+-=?+n n n n
a a λλ, 即:11352--?--=n n n a a λ,
比较系数得：15=-λ
,所以 =λ5
1
-
所以)351(235111--?--=?-n n n n a a ,
所以数列??
??
??-53n n a 是公比为－2，首项为531-a 的等比数列. ).()2)(5
3
21(5310N n a a n n n ∈---=-∴- 即 012)1(]2)1(3[51a a n n n n n n ?-+?-+=-.
方法4：本题也可用数学归纳法证.
（i ）当n=1时，由已知a 1=1－2a 0，等式成立； ( ii)假设当n=k （k ≥1）等式成立，则,2)1(]2)1(3[5
1
01a a k k k k k ---+=- 那么0111
2)1(]2)1(3[52
323a a a k k k k k k k k k +-+---+-=-=
.2)1(]2)1(3[5
101111
a k k k k k ++++-+-+=
也就是说，当n=k+1时，等式也成立. 根据（i ）和（ii ），可知等式对任何n ∈N ，成立. 规律：)(1n f pa a n n +=
+ 类型共同的规律为：两边同除以1+n p ，累加求和，只是求和的方法不同. 7.形如s
ra q
pa a n n n ++=
+1
型
（1）
0,0,,=≠q s r p 即s
ra pa a n n n +=
--11
取倒数法.
例1. 已知数列
{}n a 中，21=a ，)2(1
211
≥+=
--n a a a n n n ，求通项公式n a 。
解：取倒数：
?+=-2111n n a a 2111
=--n n a a
.3
42
2
322)1(111-=
∴-=?-+=∴
n a n n a a n n
例2.（湖北卷）已知不等式
n n n 其中],[log 2
1
131212>+++ 为大于2的整数，][log 2n 表示不超过n 2log 的最大整数. 设数列}{n a 的各项为正，且满足 ,4,3,2,),0(1
1
1
=+≤
>=--n a n na a b b a n n n
（Ⅰ）证明 ,5,4,3,]
[log 222=+<
n n b b
a n
分析：本题看似是不等式问题，实质就是求通项问题. 证：∵当,1
11,0,211111n
a na a n a a n na a n
n n n n n n n +=+≥∴+≤
<≥-----时
即
,1
111n
a a n n ≥-- 于是有 .111,,3111,211112312n a a a a a a n n ≥-≥-≥--
所有不等式两边相加可得
.13121111n
a a n +++≥- 由已知不等式知，当n ≥3时有，
].[log 2
1
1121n a a n >- ∵.]
[log 22.2][log 2][log 21
11,2221
n b b
a b
n b n b a b a n n +<
+=+>∴
=
评注：本题结合不等式的性质，从两边取倒数入手，再通过裂项求和即可证得. 2.形如),,(1
为定值q p m q
a p
ma a n n n ++=
+型
方法：不动点法: 我
们
设
q
x p mx x f ++=
)(,由方程
x
x f =)(求得二根x,y,由
q
a p ma a n n n ++=
+1有
q a x
a q x p mq q x p mx q a p ma x a n n n n n +-?
+-=++-++=
-+1 同理q a y a q y p mq q y p my q a p ma y a n n n n n +-?+-=++-++=
-+1
,两式相除有y
a x
a q x q y a x a n n y n n --?
++=--++11,从而得
y
a x
a q x q y y a x a n n n --?
++=---++11111)(,再解出n a 即可. 例1. 设数列｛a n ｝满足7
24
5,211
++=
=+n n n a a a a ,求｛a n
｝的通项公式.
分析：此类问题常用参数法化等比数列求解. 解：对等式两端同时加参数t,得：
7
2524
7)52(727)52(72451
++++
+=+++=+++=++n n n n n n n a t t a t a t a t t a a t a ,
令524
7++=
t t t , 解之得t=1,-2 代入7
2)52(1+++=++n n n a t a t t a 得
7213
11+-=-+n n n a a a ,7
22
921++=++n n n a a a ,
相除得
21312111+-?=+-++n n n n a a a a ,即{21+-n n a a }是首项为4
1
2111=+-a a ，
公比为31的等比数列, 21+-n n a a =n -?1341, 解得1
342341
1-?+?=--n n n a . 方法2：,
721
3
11+-=-+n n n a a a ，
两边取倒数得
1
3
32)1(39)1(2)1(3721
11-+
=-+-=-+=
-+n n n n n n a a a a a a ， 令b 1
1
-=
n n a ，则b =n n b 33
2
+,, 转化为类型5来求. 8.形如11-++=n n n qa pa a (其中p,q 为常数)型
（1）当p+q=1时 用转化法 例1.数列{}n a 中，若2,821==a a ,且满足03412=+-++n n n a a a ,求n a .
解：把03412=+-++n n n a a a 变形为)(3112n n n n a a a a -=-+++.
则数列
{}n n a a -+1是以612-=-a a 为首项，3为公比的等比数列，则
1136-+?-=-n n n a a 利用类型6的方法可得 n n a 311-=.
（2）当
042≥+q p 时 用待定系数法.
例2. 已知数列{}n a 满足06512=+-++n n n a a a ，且5,121==a a ,且满足,求n a .
解：令)(112
n n n n xa a y xa a -=-+++,即0)(12=++-++n n n xya a y x a ,与已知
06512=+-++n n n a a a 比较，则有??
?==+65xy y x ,故???==32y x 或???==2
3
y x 下面我们取其中一组??
?==3
2
y x 来运算，即有)2(32112n n n n a a a a -=-+++,
则数列
{}n n a a 21-+是以3212=-a a 为首项，3为公比的等比数列，故
n n n n a a 333211=?=--+,即n n n a a 321+=+,利用类型 的方法，可得
n n n a 23-=.
评注：形如n n n ba aa a +=++12的递推数列,我们通常采用两次类型(5)的方法来求解,但这种方法比较复杂,我们采用特征根的方法:设
方程b x a x =-)(的二根为β
α,,设n n n
q p a βα?+?=,再利用21,a a 的值求得p,q 的值即可.
9. 形如r
n
n pa a =+1
(其中p,r 为常数)型 （1）p>0，0>n a 用对数法.
例1. 设正项数列
{}n a 满足11=a ，2
12-=n n a a （n ≥2）.求数列{}n a 的通项公式. 解：两边取对数得：1
22log 21log -+=n n a a
，)1(log 21log 122+=+-n n a a ，设1log 2+=n a n b ，则12-=n n b b {
}n b 是以2为公比的等比数列，11log 121=+=b 11221--=?=n n n b ，1221log -=+n a n ，12log 12-=-n a n ，∴1
21
2--=n n
a
练习 数列
{}n a 中，11=a ，12-=n n a a （n ≥2）
，求数列{}n a 的通项公式. 答案：n
n a --=22
22
（2）p<0时 用迭代法. 例1.（江西卷）
已知数列:,}{且满足的各项都是正数n a N n a a a a n n n ∈-=
=+),4(2
1
,110，
（1）证明12,;n n a a n N +<<∈ （2）求数列}{n a 的通项公式a n
.
解：（1）略 （2）],4)2([2
1
)4(2121
+--=-=
+n n n n a a a a 所以 2
1)2()2(2--=-+n n a a
n
n n n n n n n n b b b b b a b 2
22121
2222211
2
)2
1()21(21)21(2121,2-+++----==?-=--=-=-= 则令又b n =－1，所以
1212)2
1(22,)21(---=+=-=n
n n n n b a b 即.
方法2：本题用归纳-猜想-证明，也很简捷，请试一试. 解法3：设c n n b -=，则c 2
12
1-=
n n c ,转化为上面类型（1）来解. 10.由S n- S n －1=a n
(陕西卷) 已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足10S n =a n 2+5a n +6且a 1,a 3,a 15成等比数列，求数列{a n }的通项a n . 解析：解: ∵10S n =a n 2+5a n +6， ① ∴10a 1=a 12+5a 1+6，解之得a 1=2或a 1=3． 又10S n －1=a n －12+5a n －1+6(n ≥2)，② 由①－②得 10a n =(a n 2－a n －12)+6(a n －a n －1)，即(a n +a n －1)(a n －a n －1－5)=0
∵a n+a n－1>0 ，∴a n－a n－1=5 (n≥2)．
当a1=3时，a3=13，a15=73．a1，a3，a15不成等比数列∴a1≠3;
当a1=2时，a3=12，a15=72，有a32=a1a15，∴a1=2，∴a n=5n－3．
数列求和的基本方法和技巧 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3)]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x
由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝ 2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝ n n 64341+ +＝ 50 )8(12+- n n 50 1≤ ∴ 当 8 8- n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：1 32)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1 )12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1 -n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=………………………. ② （设制错位） ①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- （错位相减） 再利用等比数列的求和公式得：n n n x n x x x S x )12(1121)1(1 ----? +=-- ∴ 2 1)1() 1()12()12(x x x n x n S n n n -+++--=+ [例4] 求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 解：由题可知，{n n 22}的通项是等差数列{2n}的通项与等比数列{n 2 1 }的通项之积
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且* 1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.
反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n
数列求和的基本方法和技巧（配以相应的练习） 一、总论：数列求和7种方法： 利用等差、等比数列求和公式 错位相减法求和 反序相加法求和 分组相加法求和 裂项消去法求和 分段求和法（合并法求和） 利用数列通项法求和 二、等差数列求和的方法是逆序相加法，等比数列的求和方法是错位相减法， 三、逆序相加法、错位相减法是数列求和的二个基本方法。 数列是高中代数的重要内容，又是学习高等数学的基础. 在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位. 数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧. 下面，就几个历届高考数学和数学竞赛试题来谈谈数列求和的基本方法和技巧. 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+=
2、等比数列求和公式：??? ??≠--=--==) 1(11)1()1(111 q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(611 2 ++==∑=n n n k S n k n 5、 21 3 )]1(21[+== ∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 1 2log log 3log 1log 3323=?-=?-= x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11) 21 1(2 1--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++= n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(2 1 ++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++= n n S n S n f ＝64 342++n n n
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
数列求与得基本方法与技巧 一、总论:数列求与7种方法: 利用等差、等比数列求与公式 错位相减法求与 反序相加法求与 分组相加法求与 裂项消去法求与 分段求与法(合并法求与) 利用数列通项法求与 二、等差数列求与得方法就是逆序相加法,等比数列得求与方法就是错位相减法, 三、逆序相加法、错位相减法就是数列求与得二个基本方法。 数列就是高中代数得重要内容,又就是学习高等数学得基础。在高考与各种数学竞赛中都占有重要得地位、数列求与就是数列得重要内容之一,除了等差数列与等比数列有求与公式外,大部分数列得求与都需 要一定得技巧、下面,就几个历届高考数学与数学竞赛试题来谈谈数列求与得基本方法与技巧、 一、利用常用求与公式求与 利用下列常用求与公式求与就是数列求与得最基本最重要得方法。 1、等差数列求与公式: 2、等比数列求与公式: 3、４、 5、 ［例1］已知,求得前n项与。 解:由 由等比数列求与公式得(利用常用公式) ＝==1- ［例2］设S n＝１+2＋3+…+n,n∈Ｎ*,求得最大值、 解:由等差数列求与公式得, (利用常用公式) ∴＝ =＝ ∴当,即n＝８时, 二、错位相减法求与 这种方法就是在推导等比数列得前ｎ项与公式时所用得方法,这种方法主要用于求数列｛ａn·ｂn｝ 得前n项与,其中｛a n｝、｛bｎ}分别就是等差数列与等比数列。 ［例3］求与:………………………① 解:由题可知,{}得通项就是等差数列｛2ｎ—1｝得通项与等比数列｛}得通项之积 设………………………。②(设制错位)
①－②得 n n n x n x x x x x S x )12(222221)1(1432--+???+++++=-- (错位相减) 再利用等比数列得求与公式得: ∴ [例4］ 求数列前n 项得与、 解:由题可知,{｝得通项就是等差数列{2n}得通项与等比数列｛｝得通项之积 设…………………………………① ………………………………② (设制错位) ①—②得 (错位相减) ∴ 三、反序相加法求与 这就是推导等差数列得前ｎ项与公式时所用得方法,就就是将一个数列倒过来排列(反序),再把它与原数列相加,就可以得到n 个。 [例5］ 求证: 证明: 设…………………………、。 ① 把①式右边倒转过来得 (反序) 又由可得 ………….。……、. ② ①+②得 (反序相加) ∴ [例6］ 求得值 解:设…………、 ① 将①式右边反序得 ………….。② (反序) 又因为 ① ＋②得 (反序相加) )89cos 89(sin )2cos 2(sin )1cos 1(sin 2222222 ++???++++=S ＝89 ∴ S=44、５ 题1 已知函数 (1)证明:; (2)求得值。 解:(1)先利用指数得相关性质对函数化简,后证明左边=右边 (２)利用第(1)小题已经证明得结论可知, 两式相加得: 所以、 练习、求值:
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .
1．直接法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和。 （1）等差数列的求和公式：d n n na a a n S n n 2 ) 1(2)(11-+=+= （2）等比数列的求和公式?????≠--==) 1(1)1()1(11q q q a q na S n n （切记：公比含字母时一定要讨论） 3．错位相减法：比如{}{}.,,2211的和求等比等差n n n n b a b a b a b a +++Λ 4．裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差、正负相消剩下首尾若干项。 常见拆项公式： 111)1(1+-=+n n n n ； 1111()(2)22 n n n n =-++ )1 21 121(21)12)(12(1+--=+-n n n n !)!1(!n n n n -+=? 5．分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和。 6．合并求和法：如求22222212979899100-++-+-Λ的和。 7．倒序相加法： 8．其它求和法：如归纳猜想法，奇偶法等 （二）主要方法： 1．求数列的和注意方法的选取：关键是看数列的通项公式； 2．求和过程中注意分类讨论思想的运用； 3．转化思想的运用； （三）例题分析： 例1．求和：①321ΛΛ个 n n S 111111111++++= ②22222)1 ()1()1(n n n x x x x x x S ++++++ =Λ ③求数列1，3+4，5+6+7，7+8+9+10，…前n 项和n S 思路分析：通过分组，直接用公式求和。 解：①)110(9 110101011112 -= ++++==k k k k a Λ321Λ个 ] )101010[(9 1 )]110()110()110[(9122n S n n n -+++=-++-+-=ΛΛ81 10910]9)110(10[911--=--=+n n n n ②)21()21()21(224422+++++++++ =n n n x x x x x x S Λ
数列求和的基本方法和技巧 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(21 1 +==∑=n n k S n k n 自然数列 4、 )12)(1(611 2++==∑=n n n k S n k n 自然数平方组成的数列 [例1] 已知3log 1log 23-= x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. 解：由2 12log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 n n x x x x S +???+++=32 （利用常用公式） ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(21--n ＝1－n 21 [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：由等差数列求和公式得 )1(21+= n n S n ， )2)(1(21++=n n S n （利用常用公式） ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64 341 ++＝50)8 (12+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8-n ，即n ＝8时，501)(max =n f 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列.错位相减法：如果数列的通项是由一个等差数列的通项与一个等比数列的通项相乘构成，那么常选用错位相减法（这也是等比数列前n 和公式的推导方法）.
数列求和的常用方法 永德二中 王冬梅 数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础。在高考和各种数学竞赛中都占有重要的地位。数列求和是数列的重要内容之一，除了等差数列和等比数列有求和公式外，大部分数列的求和都需要一定的技巧。 下面，简单介绍下数列求和的基本方法和技巧。 第一类：公式法 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法。 1、等差数列的前n 项和公式 2 )1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+= 2、等比数列的前n 项和公式 ?? ???≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、常用几个数列的求和公式 （1）、)1(213211 += +?+++==∑=n n n k S n k n （2）、)12)(1(6132122221 2++= +?+++==∑=n n n n k S n k n （3）、233331 3)]1(21[321+=+?+++==∑=n n n k S n k n 第二类：乘公比错项相减（等差?等比） 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列}{n n b a ?的前n 项和，其中}{n a ，}{n b 分别是等差数列和等比数列。 例1：求数列}{1-n nq (q 为常数)的前n 项和。 解：Ⅰ、若q =0， 则n S =0 Ⅱ、若q =1，则)1(2 1321+= +?+++=n n n S n Ⅲ、若q ≠0且q ≠1， 则12321-+?+++=n n nq q q S ① n n nq q q q qS +?+++=3232 ② ①式—②式：n n n nq q q q q S q -+?++++=--1321)1(
.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……
.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n
求数列前n 项和的8种常用方法 一.公式法（定义法）： 1.等差数列求和公式： 11()(1)22 n n n a a n n S na d ++==+ 特别地，当前n 项的个数为奇数时，211(21)k k S k a ++=+?，即前n 项和为中间项乘以项数。这个公式在很多时候可以简化运算； 2.等比数列求和公式： （1）1q =，1n S na =； （2）1q ≠，( )111n n a q S q -= -，特别要注意对公比的讨论； 3.可转化为等差、等比数列的数列； 4.常用公式: （1）1 n k k ==∑1 2 123(1)n n n ++++=+L ； （2）21n k k ==∑222211 63 1123(1)(21)()(1)2 n n n n n n n ++++=++==++L ； （3）31n k k ==∑33332(1)2 123[ ]n n n +++++=L ； （4）1 (21)n k k =-=∑2135(21)n n ++++-=L . 例1 已知3log 1 log 23-= x ，求23n x x x x ++++ 的前n 项和. 解：由21 2log log 3log 1log 3323=?-=?-=x x x 由等比数列求和公式得 23n n S x x x x =++++L ＝x x x n --1)1(＝2 11)211(2 1--n ＝1－n 2 1 例2 设123n S n =++++ ，*n N ∈,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 解：易知 )1(21+=n n S n ， )2)(1(2 1 1++=+n n S n ∴ 1)32()(++=n n S n S n f ＝64 342++n n n ＝n n 64341++＝50 )8(1 2+-n n 50 1≤ ∴ 当 8 8 -n ，即8n =时，501)(max =n f . 二.倒序相加法:如果一个数列{}n a ，与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法。如：等差数列的前n 项和即是用此法推导的，就是
数列求和的基本方法和技巧 一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2) 1(2) (11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11) 1() 1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6 1 12++==∑=n n n k S n k n 5、 213)]1(2 1[+==∑=n n k S n k n [例1] 已知3 log 1 log 23-=x ，求???++???+++n x x x x 32的前n 项和. [例2] 设S n ＝1+2+3+…+n ，n ∈N *,求1 )32()(++=n n S n S n f 的最大值. 二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{}n a 、{}n b 分别是等差数列和等比数列. [例3] 求和：13 2)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………①
[例4] 求数列 ??????,22,,26,24,2232n n 前n 项的和. 三、倒序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5] 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 四、分组法求和 有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将其合并即可. [例6] 求数列的前n 项和：231,,71,41,1112-+???+++-n a a a n ，… [例7] 求数列{n(n+1)(2n+1)}的前n 项和.
专题六数列 第十七讲递推数列与数列求和 答案部分 S 6 = —i -2 -4 -8 -i6 —32 = —63 . 因为 S n =2a n +i ，所以当 n =i 时，a i =2a i +i ，解得 q =-i , 当 n > 2 时，a n =S n -S n_i =2a n +i —2a n4—i ，所以 a n =2a n_i , 所以数列｛a n ｝是以-1为首项，2为公比的等比数列，所以 a n =-22 所以"卄一 63 . 1. 【解析】??? a n+ = 1 -3a n ，- O n ｝是等比数列 2. 3. 4 又 a ?=—— 3 f f 1门 4|1——- ?- a 1 =4，-? S 10 = - ---- 1 --- =3（1 -3」0 ），故选 C . 1+- D 【解析】由数列通项可知，当 i 剟n 25, n 亡时，a .…0，当26剟n 50, n 忘 N+ 时，a n , 正数；当51剟n 数是100. -63【解析】通解 =2时, a i =3时, a i 0 ,因为 a i + a 26 A 0 , a 2 + a 27 a 0 “? S ], S 2,…，S 50 都是 i00, n w N +同理S 5i ,S 52,…,S i00也都是正数，所以正数的个 因为 S n =2a n +i ，所以当 n =i 时，a i =2a i +i ，解得 a i = —i ； = 2a2 +1，解得 a^ = —2 ； + a s =2a 3 +i ，解得 a^ -4 ； =4时, a i +a 2 + a 3 + a 4 =2a 4 +i ，解得 a^ -8 ； =5时, a i + a 2 + a 3 +a 4 + a^2a 5 +i ，解得 a^ T6 ； =6时, a i 中a 2 “3 乜4 乜5 “6 =2a 6 +i ，解得 a s = -32. 所以 优解
一、利用常用求和公式求和 利用下列常用求和公式求和是数列求和的最基本最重要的方法. 1、 等差数列求和公式：d n n na a a n S n n 2 )1(2)(11-+=+= 2、等比数列求和公式：?????≠--=--==)1(11)1()1(111q q q a a q q a q na S n n n 3、 )1(211+==∑=n n k S n k n 4、)12)(1(6112++==∑=n n n k S n k n [ [∴当8 -n ，即n ＝8时，50)(max =n f 题1.等比数列的前ｎ项和S ｎ＝2ｎ－１，则＝ 题2．若12+22+…+(n -1)2=an 3+bn 2+cn ，则a =,b =,c = . 解：原式=答案：
二、错位相减法求和 这种方法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{a n }、{b n }分别是等差数列和等比数列. [例3]求和：132)12(7531--+???++++=n n x n x x x S ………………………① 解：由题可知，{1)12(--n x n }的通项是等差数列{2n －1}的通项与等比数列{1-n x }的通项之积 设n n x n x x x x xS )12(7531432-+???++++=……………………….②（设制错位） n n 1432-∴[例4]2 练习题1已知，求数列｛答案： 练习题2的前n 项和为____ 答案： 三、反序相加法求和 这是推导等差数列的前n 项和公式时所用的方法，就是将一个数列倒过来排列（反序），再把它与原数列相加，就可以得到n 个)(1n a a +. [例5]求证：n n n n n n n C n C C C 2)1()12(53210+=++???+++
数列求和的七种基本方法 甘志国部分内容(已发表于 数理天地(高中)，2014(11)：14-15) 数列求和是数列问题中的基本题型，但具有复杂多变、综合性强、解法灵活等特点，本文将通过例题(这些例题涵盖了2014年高考卷中的数列求和大题)简单介绍数列求和的七种基本方法. 1 运用公式法 很多数列的前n 项和n S 的求法，就是套等差、等比数列n S 的公式，因此以下常用公式应当熟记： 还要记住一些正整数的幂和公式： 例1 已知数列}{n a 的前n 项和232n n S n -=，求数列}{n a 的前n 项和n T . 解 由232n n S n -=,可得n a n 233-=,160≤?>n a n ，所以： (1)当16≤n 时,n T =232n n S n -=. (2)当17≥n 时， 所以 2 2 32(1,2,,16)32512 (17,) n n n n T n n n n * ?-=?=?-+≥∈??N L 且 例2 求1)2(3)1(21?++-?+-?+?=n n n n S n Λ. 解 设2 )1()1(k n k k n k a k -+=-+=，本题即求数列}{k a 的前n 项和. 高考题1 (2014年高考浙江卷文科第19题(部分))求数列{}21n -的前n 项和n S . 答案：2n S n =. 高考题2 (2014年高考四川卷理科第19题(部分))求数列{}24n -的前n 项和n S . 答案：23n S n n =-. 高考题3 (2014年高考福建卷文科第17题)在等比数列{}n a 中，253,81a a ==. (1)求n a ； (2)设3log n n b a =，求数列{}n b 的前n 项和n S . 答案：(1)1 3 n n a -=；(2)22 n n n S -=. 高考题4 (2014年高考重庆卷文科第16题)已知{}n a 是首项为1，公差为2的等差数列，
求递推数列通项公式和求和的常用方法 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考： 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 【解析】： 1n n S a =-，∴111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴112n n a a += ，又11 2 a =， ∴12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系() 1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】： 11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=???? 猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式. 三 累加法：利用121 1()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例三 已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n n a ?? = ??? ，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项 公式. 【解析】：11b =,112n n n b b +?? -= ??? (1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+???-=1+12+??+