求递推数列通项公式和求和的常用方法
求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考：
一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。
例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*
1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？
【解析】：
1n n S a =-，∴111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴112n n a a +=
，又11
2
a =， ∴12n
n a ??
= ???
.
反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键.
跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系()
1lg
n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列.
二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法.
例二 已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】：
11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=????
猜测21n n a =-*
()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略）
反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式.
三 累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如
1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）.
例三 已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n
n a ??
= ???
，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项
公式.
【解析】：11b =,112n
n n b b +??
-= ???
(1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+???-=1+12+??+
1
12n -??
???
=1
122n -??- ?
??
.
反思:用累加法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a a f n +=+.
跟踪训练3.已知112a =,112n
n n a a +??=+ ???
*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
四累乘法:利用恒等式3
21
121
(0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积).
例四 已知11a =,1()n n n a n a a +=-*
()n N ∈,求数列{}n a 通项公式.
【解析】：
1()n n n a n a a +=-,∴
11n n a n a n ++=,又有321121
(0,2)n n n n a
a a a a a n a a a -=???≠≥= 1×23
n
×××
12n-1
???=n ,当1n =时11a =，满足n a n =，∴n a n =. 反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=.
跟踪训练4.已知数列{}n a 满足11a =,123123(1)(2)n n a a a a n a n -=+++???+-≥.则{}n a 的通项公式是. 五构造新数列: 将递推公式n+1n a qa d =+（,q d 为常数，0q ≠，0d ≠）通过1()()n n a x q a x ++=+与原递推公式恒等变成1()11
n n d d a q a q q ++
=+--的方法叫构造新数列. 例五 已知数列{}n a 中, 11a =,121(2)n n a a n -=+≥,求{}n a 的通项公式. 【解析】:利用1()2()n n a x a x -+=+,求得112(1)n n a a -+=+,∴{}1n a +是首项为
112a +=,公比为2的等比数列,即12n n a +=,21n n a ∴=-
反思:.构造新数列的实质是通过1()()n n a x q a x ++=+来构造一个我们所熟知的等差或等比数列.
跟踪训练5.已知数列中, 11a =,1
n-13n n a a -=+(2)n ≥求数列{}n a 的通项公式.
六 倒数变换：将递推数列1n n n ca a a d +=
+(0,0)c d ≠≠,取倒数变成
1111
n n d a c a c
+=+的形式的方法叫倒数变换. 例六 已知数列{}n a *
()n N ∈中, 11a =,121
n
n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式.
【解析】:将121n n n a a a +=
+取倒数得:
111
2n n
a a +=+,1112n n a a +-=,∴1n a ??????
是以1
1
1a =为首项,公差为2的等差数列. 112(1)n n a =+-,∴121
n a n =-.
反思:倒数变换有两个要点需要注意:一是取倒数.二是一定要注意新数列的首项,公差或公比变化了. 跟踪训练6.已知数列{}n a 中,
,122
n
n n a a a +=
+,求数列{}n a 的通项公式. 小结:求递推数列的通项公式的方法很多,以上只是提供了几种常见的方法,如果我们想在求递推数列中游刃有余,需要在平时的练习中多观察,多思考,还要不断的总结经验甚至教训. 参考答案:
1. 证明：由已知可得：n 101n
S =-，当2n ≥时()
1
1910n n n n a S S --=-=，1n =时，
119a S ==满足上式. ∴{}n a 的通项公式()
1
910n n a -=,2n ≥时
1
10n
n a a -=为常数,所以{}n a 为等比数列. 2. 解:由已知可求11a =,23a =,35a =,猜测21n a n =-.(用数学归纳法证明).
3. 由已知112n n n a a +??
-= ???,∴121321()()()n n n a a a a a a a a -=+-+-+???-=2
1122??+ ???
1
12n -??
+???+ ?
??
1
3122n -??=- ???
.
4.2n ≥时, 123123(1)n n a a a a n a -=+++???+-,11212(1)n n n a a a n a na +-=++???+-+ 作差得: 1n n n a a na +-=,∴
11n n a n a +=+,∴323a a =,434a
a =,???,1
n n a n a -= ∴2345n a n a =??????,21a =,∴!2n n a =(2)n ≥,∴11
!22
n n a n n =??=? ≥??. 5. 312n n a -= 6. 21
n a n =+
数列
一、 求递推数列通项公式
基础类型 n n n n a a d a a q 11=+=++及
类型1
)(1n f a a n n +=+
解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。
例1:已知数列
{}n a 满足211=a ，n
n a a n n ++
=+2
11
，求n a 。 解：由条件知：1
1
1)1(1121
+-=+=+=
-+n n n n n n a a n n
分别令)1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得)1(-n 个等式累加之，即)()()()(1342312
--+??????+-+-+-n n a a a a a a a a
)111()4131()3121()211(n n --+??????+-+-+-= 所以n a a n 111-=-
211=a ，n
n a n 1231121-=-+=∴
类型2
n n a n f a )(1=+
解法：把原递推公式转化为
)(1
n f a a n
n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列
{}n a 满足3
21=a ，n n a n n
a 1
1+=
+，求n a 。 解：由条件知1
1+=+n n
a a n n ，分别令
)
1(,,3,2,1-??????=n n ，代入上式得
)
1(-n 个等式累乘之，即
1342312-??????????n n a a a a a a a a n
n 1
433221-??????????=n a a n 11=? 又321
=
a ，n
a n 32
=∴ 例3:已知31=a ，n n a n n a 2
31
31+-=+)1(≥n ，求n a 。
解：12
31
32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n
+-?+?-??????+---?+---=
343752633134
8531n n n n n --=
????=---。
变式:（2004，全国I,理15．）已知数列{a n }，满足a 1=1，
1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n }的通项
1
___
n a ?=?
?12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32，用此式减去已知式，得
当2≥n 时，n n n na a a =-+1
，即n n a n a )1(1+=+，又112==a a ，
n a a a a a a a a a n n =???====∴-13423121,,4,3,1,
1，将以上n 个式子相乘，得2
!
n a n =)2(≥n 类型3
q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1
t a p t a n n -=-+，其中p
q
t -=
1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例4:已知数列
{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求n a .
解：设递推公式
3
21+=+n n a a 可以转化为
)
(21t a t a n n -=-+即
3
21-=?-=+t t a a n n .故递推公式为
)3(231+=++n n a a ,令3+=n n a b ，则4311=+=a b ,且
23
3
11=++=++n n n n a a b b .所以{}n b 是以41=b 为首项，2为公比的
等比数列，则11224+-=?=n n n
b ,所以321-=+n n a .
变式:（2006，重庆,文,14） 在数列
{}n a 中，若111,23(1)n n a a a n +==+≥，则该数列的通项n a =_______________
（key:321-=+n n a ）
类型4 n n n q pa a +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ）。 （或1n
n n a pa rq +=+,其中p ，q, r 均为常
数） 。
解法：一般地，要先在原递推公式两边同除以1
+n q
，得：
q
q a q p q a n n n n 1
11+?=++引入辅助数列
{}n b （其中n
n
n q
a b =），得：
q
b q p b n n 1
1+=
+再待定系数法解决。 例5:已知数列{}n a 中，6
51=a ,11)2
1(3
1+++=n n n a a ，求n a 。
解：在11
)21(31+++=n n n a a 两边乘以12+n 得：1)2(3
2
211+?=?++n n n n a a 令n n
n a b ?=2，则1321+=+n n b b ,解之得：n n b )3
2(23-=
所以n
n n n n b a )31(2)21(32
-==
类型5 递推公式为n n n qa pa a +=++12
（其中p ，q 均为常数）。
解 (特征根法)：对于由递推公式n n n qa pa a +=++12
，βα==21,a a 给出的数列{}n a ，方程02=--q px x ，叫做数列
{}n a 的特征方程。
若21,x x 是特征方程的两个根， 当21
x x ≠时，数列{}n a 的通项为1
211--+=n n n Bx Ax a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，代入1
211--+=n n n Bx Ax a ，得到关于A 、B 的方程组）；
当21
x x =时，数列{}n a 的通项为11)(-+=n n x Bn A a ，其中A ，B 由βα==21,a a 决定（即把2121,,,x x a a 和2,1=n ，
代入11)(-+=n n
x Bn A a ，得到关于A 、B 的方程组）。
例6: 数列
{}n a ：),0(025312N n n a a a n
n n ∈≥=+-++， b a a a ==21,,求n a
解（特征根法）：的特征方程是：02532
=+-x x
。3
2
,121=
=x x ,
∴1
211--+=n n n Bx Ax a 1)3
2(-?+=n B A 。又由b a a a ==21,，于是
???-=-=???
?
??+=+=)(32332b a B a b A B A b B
A a 故1)32)((323--+-=n n
b a a b a 练习:已知数列
{}n a 中，11=a ,22=a ,n n n a a a 3
13
212+=++，求n a 。
1
731:()443
n n key a -=
--。 变式:（2006，福建,文,22） 已知数列
{}n a 满足*12211,3,32().n n n a a a a a n N ++===-∈求数列{}n a 的通项公式；
（I ）解： 112211()()...()n
n n n n a a a a a a a a ---∴=-+-++-+
类型6 递推公式为n S 与n a 的关系式。(或()n n S f a =)
解法：利用
??
?≥???????-=????????????????=-)
2()1(11n S S n S a n n n 与
)
()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去
n S )
2(≥n 或与
)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。
例7：数列
{}n a 前n 项和2
2
14--
-=n n n a S .（1）求1+n a 与n a 的关系；（2）求通项公式n a .
解：（1）由2
2
14--
-=n n n a S 得：1
112
14-++--=n n n a S
于是)21
21()(12
11--++-
+-=-n n n n n n a a S S 所以111
2
1
-+++
-=n n n n a a a n n n a a 2
1211+=?+.
（2）应用类型4（n n n q pa a +=+1
（其中
p ，q 均为常数，)0)
1)(1((≠--q p pq ）
）的方法，上式两边同乘以1
2+n 得：22211+=++n n n n a a
由
12
1
412
1111=?-
-==-a a S a .于是数列
{}n
n
a 2是以
2为首项，2为公差的等差数列，所以
n n a n n 2)1(222=-+=1
2
-=
?n n n
a
类型7
r
n n pa a =+1)0,0(>>n a p
解法：这种类型一般是等式两边取对数后转化为q pa a n n +=+1，再利用待定系数法求解。
例8：已知数列｛n a ｝中，2
11
1,1n n a a
a a ?=
=+)0(>a ，求数列{}
.的通项公式n a 解：由211n n a a a ?=+两边取对数得a
a a n n 1
lg lg 2lg 1+=+，
令n n a b lg =，则a b b n n 1lg 21+=+，再利用待定系数法解得：1
2)1(-=n n a
a a 。
类型8
)
()()(1n h a n g a n f a n n
n +=
+
解法：这种类型一般是等式两边取倒数后换元转化为q pa a n n +=+1
。
例9：已知数列｛a n ｝满足：1,1
3111
=+?=
--a a a a n n n
，求数列｛a n ｝的通项公式。
解：取倒数：
1
1113131---+=+?=n n n n a a a a
?
?????∴n a 1是等差数列，3)1(111?-+=n a a n 3)1(1?-+=n 231
-=?n a n 变式:（2006，江西,理,22） 已知数列｛a n ｝满足：a 1＝
3
2
，且a n ＝n 1n 13na n 2n N 2a n 1*≥∈－－（，）＋－ 求数列｛a n ｝的通项公式；
解：（1）将条件变为：1－
n n
a ＝
n 11n 113a －－（－），因此｛1－n
n a ｝为一个等比数列，其首项为1－
1
1
a ＝
13，公比1
3
，从而1－
n n a ＝n
1
3
，据此得a n ＝n
n n 331
?－（n ≥1）
类型9周期型
解法：由递推式计算出前几项，寻找周期。
例10：若数列
{}n a 满足???
????
<≤-≤≤=+)
121(,12)210(,21
n n n n n a a a a a ，若761=a ，则20a 的值为___________。
变式:（2005，湖南,文，5）
已知数列}{n a 满足)(1
33,0*11N n a a a a n n n ∈+-=
=+，则20a =
（ ）
A ．0
B ．3-
C ．
3
D ．
2
3
二、数列的求和
：(1)公式法：必须记住几个常见数列前n 项和 2)1(2)(11d n n na a a n S n n -+=+=；??
?
??≠--==1
1)1(1
11q q q a q na S n n ；
10．（辽宁卷）已知等差数列{}n a 的前n 项和为2
2(,),n S pn a q p q R n N =-+∈∈
（Ⅰ）求q 的值；
（Ⅱ）若a 1与a 5的等差中项为18，b n 满足22log n n a b =，求数列的{b n }前n 项和. . (Ⅰ)解法一：当1n =时，112a S p q ==-+,
当2n ≥时,22
12(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pn p =--.
{}n a 是等差数列,
222p q p p ∴-+=--,
0q ∴=·
···········4分 解法二：当1n =时,112a S p q ==-+,
当2n ≥时,22
12(1)2(1)n n n a S S pn n q p n n q -=-=-+--+--22pm p =--.
当3n ≥时,1122[2(1)2]2n a a pn p p n p p --=------=.
22232a p q p p q =-++=-+.
又222232a p p p =?--=-,
所以3232p q p -+=-,得0q =.············4分 (Ⅱ)解：
15
12
a a a +=
, 318a ∴=.
又362a p p =--,
6218p p ∴--=, 86n a n ∴=-············8分
又22log n n a b =得432n n b -=.
12b ∴=,4(1)1414322162
n n n n b b --+-===,即{}n b 是等比数列.
所以数列{}n b 的前n 项和2(116)2
(161)11615
n n n T -=
=-- (2)分组求和：
如：求1+1,41+a ,712+a ,…,2311-+-n a n ,…的前n 项和（注：???
????≠-=+=1
2)13(12
)13(a n n a n
n S n ）
(3)裂项法： 如)
2(1
+=
n n a n 求S n
常用的裂项有
111)1(1+-=+n n n n ；
)211(21)2(1+-=+n n n n ；])
2)(1(1
)1(1[21)2)(1(1++-+=++n n n n n n n （湖北卷）已知二次函数()y f x =的图像经过坐标原点，其导函数为'
()62f x x =-，数列{}n a 的前n 项和为n S ，
点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上。
（Ⅰ）、求数列{}n a 的通项公式；
（Ⅱ）、设11n n n b a a +=
，n T 是数列{}n b 的前n 项和，求使得20
n m
T <对所有n N *∈都成立的最小正整数m ； 解：（Ⅰ）设这二次函数f(x)＝ax 2+bx (a≠0) ,则 f`(x)=2ax+b,由于f`(x)=6x －2,得 a=3 , b=－2, 所以 f(x)＝3x 2－2x.
又因为点(,)()n n S n N *
∈均在函数()y f x =的图像上，所以n S ＝3n 2－2n.
当n≥2时，a n ＝S n －S n －1＝（3n 2－2n ）－[
]
)1(2)132
---n n （
＝6n －5. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3×12－2＝6×1－5，所以，a n ＝6n －5 （n N *
∈）
（Ⅱ）由（Ⅰ）得知13+=
n n n a a b ＝[]5)1(6)56(3---n n ＝)1
61
561(21+--n n ，
故T n ＝
∑=n
i i
b
1
＝
2
1?????
?+--++-+-)161561(...)13171()711(n n ＝21（1－161+n ）. 因此，要使
21（1－161+n ）<20m （n N *∈）成立的m,必须且仅须满足21≤20
m ，即m≥10，所以满足要求的最小正整数m 为10.
(4)错位相减法：其特点是c n =a n b n 其中{a n }是等差，{b n }是等比
如：求和S n =1+3x+5x 2+7x 3+……+(2n －1)x n －
1 注意讨论x ，
(5)倒叙相加法：等差数列的求和公式就是用这种方法推导出来的。 如求证：C n 0+3C n 1+5C n 2+…+(2n—1) C n n =(n+1)2n
数列的通项公式与求和知识点及题型归纳总结 知识点精讲 一、基本概念 （1）若已知数列的第1项（或前项），且从第2项（或某一项）开始的任一项与它的前一项（或前几项）间的关系可以用一个公式来表示，那么该公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式也是给出数列的一种方法. （2）数列的第n 项n a 与项数n 之间的函数关系，可以用一个公式()n a f n =来表示，那么n a 就是数列 的通项公式. 注：①并非所有的数列都有通项公式； ②有的数列可能有不同形式的通项公式； ③数列的通项就是一种特殊的函数关系式； ④注意区别数列的通项公式和递推公式. 题型归纳及思路提示 题型1 数列通项公式的求解 思路提示 常见的求解数列通项公式的方法有观察法、利用递推公式和利用n S 与n a 的关系求解. 观察法 根据所给的一列数、式、图形等，通过观察法归纳出其数列通项. 利用递推公式求通项公式 ①叠加法：形如1()n n a a f n +=+的解析式，可利用递推多式相加法求得n a ②叠乘法：形如1()n n a f n a -= (0)n a ≠*(2,)n n N ≥∈的解析式， 可用递推多式相乘求得n a ③构造辅助数列：通过变换递推公式，将非等差（等比）数列 构造成为等差或等比数列来求其通项公式.常用的技巧有待定系数法、取倒数法、对称变换法和同除以指数法. 利用n S 与n a 的关系求解 形如 1(,)()n n n f S S g a -=的关系，求其通项公式，可依据 1* 1(1)(2,) n n n S n a S S n n N -=? =?-≥∈?，求出n a 观察法 观察法即根据所给的一列数、式、图形等，通过观察分析数列各项的变化规律，求其通项.使用观察法时要注意：①观察数列各项符号的变化，考虑通项公式中是否有(1)n -或者1 (1) n -- 部分.②考虑各项的变化 规律与序号的关系.③应特别注意自然数列、正奇数列、正偶数列、自然数的平方{}2 n 、{}2n 与(1) n -有 关的数列、等差数列、等比数列以及由它们组成的数列. 例6.20写出下列数列的一个通项公式： （1）325374 ,,,,,,;751381911 - --L
求数列通项公式及求和的基本方法 1.公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有 1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且* 1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项 公式 12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 2.累加法：利用1211()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 已知112a =,112n n n a a +??=+ ??? * ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. 3. 累乘法:利用恒等式3 21 121 (0,2)n n n n a a a a a a n a a a -=???≠≥求通项公式的方法称为累乘法,累乘法是求型如: 1()n n a g n a +=的递推数列通项公式的基本方法(数列()g n 可求前n 项积). 已知11a =,1()n n n a n a a +=-* ()n N ∈,求数列{}n a 通项公式. n a n =.
反思: 用累乘法求通项公式的关键是将递推公式变形为1()n n a g n a +=. 4.构造新数列: 类型1 )(1 n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++ =+2 11 ，求n a 1131122n a n n =+-=- 解： 类型2 n n a n f a )(1 =+ 解法：把原递推公式转化为 )(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 11+= +，求n a 。23n a n = 解： 变式:（全国I,）已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则{a n } 的通项1 ___n a ?=? ? 12 n n =≥ 2 ! n a n = )2(≥n
数列的通项公式与求和 的常见方法 Company number：【WTUT-WT88Y-W8BBGB-BWYTT-19998】
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =， 12n n a a +-=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，13n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =， 110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-， 13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++*()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足21 1=a ，n a a n n 21+=+， * ()n N ∈求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈，13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11 ln(1)n n a a n +=++， 求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 3131 +-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，251n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数， )0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可 得数列λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-*()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新 的等差数列。 例：已知数列{}n a 满足11a =， 122 n n n a a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足11a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， *()n N ∈，求数列{} n a 的通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{}n b （0n b ≠*n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b = 求数列{}n c 的通项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ =-++11，即数列?? ????n n p a 为以 p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1155+++=n n n a a ，11=a ，求数列{}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列{}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2 232221n a a a a ++++ . 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 2321 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 21 )12(++=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求 88sin 3sin 2sin 1sin 2 222+???+++ 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式；
【方 a n a S n 数列专题1:根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型 亠、S n 是数列｛a n ｝的前n 项的和 S i (n 1) S n S n 1 (n 2 ) S n 1 ”代入消兀消a n 【注意】漏检验n 的值(如n 1的情况 ［例 U . ( 1)已知正数数列｛a n ｝的前n 项的和为S n , 且对 任意的正整数n 满足2\金 如1 ,求数列｛a n ｝的 通项公式。 (2)数列｛a n ｝中，印1对所有的正整数n 都有 a 1 a 2 a 3 L a n 『， 求数列 ｛a n ｝ 的通项公式 【作业一】 2 n 1 n * 1 — 1 ■数列 a n 满足 a 1 3a 2 3 a 3 L 3 a n - (n N ) , 求数列a n 的通项公式. (二).累加、累乘 a 型如 a a f(n) , am f (n )
型一：a n a n 1 f (n)，用累加法求通项公式(推导等差数列通项公式的方法) 【方法】 a n a n 1 f(n), a n 1 a n 2 f(n 1), a2 a1 f (2) n 2, 从而a n a1 f (n) f(n 1) L f (2),检验n 1 的情况型二：|电f(n)，用累乘法求通项公式(推导等比a n1 数列通项公式的方法) 【方法】n 2，亘也L邑f(n) f(n 1) L f(2) a n 1 a n 2 a i 即色f(n) f(n 1) L f(2)，检验n 1的情a1 况 【小结】一般情况下，“累加法”(“累乘法”)里只有n 1个等式相加(相乘). 1 1 【例2】.(1)已知a1 2，a n a n1 ■n^[(n 2)，求 a n ■ n 2 (2)已知数列a n满足a n1 - 2a n，且a1 n 2 3 求a n .
常见数列通项公式的求法 类型一：公式法1（或定义法） 例1. 已知数列{}n a 满足11a =，12n n a a +-=* ()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 例2.已知数列{}n a 满足12a =，1 3n n a a += *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足12a =，110n n a a +-+=*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足16a =-，13n n a a +=+*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 3. 已知数列{}n a 满足11a =，2 1 2=a ， 11112n n n a a a -++=(2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 满足11a =，13n n a a +=* ()n N ∈，求数 列{}n a 的通项公式。 类型二：（累加法）)(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解 例：已知数列{}n a 满足121n n a a n +=++* ()n N ∈， 11a =，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足2 11=a ，n a a n n 21+=+，* ()n N ∈求 数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 满足11a =，11 (1) n n a a n n -=+-， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 满足1231n n n a a +=+?+， * ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 4.已知数列{}n a 中，12a =，11ln(1)n n a a n +=++，求数列{}n a 的通项公式。 类型三：（叠乘法）n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为 )(1n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解 例：在数列{}n a 中，已知11a =，1(1)n n na n a -=+， (2)n ≥，求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足321= a ，n n a n n a 1 1+=+，*()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列 {}n a 满足125n n n a a +=?* ()n N ∈， 13a =，求数列{}n a 的通项公式。 类型四：递推公式为n S 与n a 的关系式()n n S f a = 解法：这种类型一般利用 与)()(11---=-=n n n n n a f a f S S a 消去n S )2(≥n 或与)(1--=n n n S S f S )2(≥n 消去n a 进行求解。 例. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，12a =且 12n n S a +=(2)n ≥．求数列{}n a 的通项公式。 1. 已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，42n n S a =+， 求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，2 51n S n n =+- 求数列{}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，23n n S =+， 求数列{}n a 的通项公式。 类型五：待定系数法 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：构造新数列{}n b ； p a a n n =+++λ λ 1解出λ，可得数列 λ+=n n a b 为等比数列 例：已知数列{}n a 中，11=a ，121+=+n n a a ，求数列{} n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已知数列{}n a 满足13a =，121n n a a +=- *()n N ∈，求数列{}n a 的通项公式。 2.已知数列{}n a 中，11=a ，6431+=+n n a a ，求数列 {}n a 的通项公式。 3.已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且 232n n S a n =-* ()n N ∈．求数列{}n a 的通项公式。 类型六：交叉项问题 解法：一般采用求倒数或除以交叉项得到一个新的等差数 列。 例：已知数列{}n a 满足11a =，122 n n n a a a += +*()n N ∈， 求数列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1. 已 知 数 列 {} n a 满 足 11 a =， 1(1)n n na n a +=++(1)n n +， * ()n N ∈，求数列{}n a 的 通项公式。 2. 已知首项都为1的两个数列{}n a 、{} n b （0n b ≠* n N ∈），满足 11120n n n n n n a b a b b b +++-+=，令n n n a c b =求数列{}n c 的通 项公式。 类型七：（公式法2） （n n n p pa a ?+=+λ1）p>0; 解法：将其变形为p p a p a n n n n λ=-++11，即数列? ? ????n n p a 为以p λ 为公差的等差数列； 例. 已知数列{}n a 满足1232n n n a a +=+?，12a =，求数 列{}n a 的通项公式。 变式练习： 1.已知数列{}n a 满足1 15 5+++=n n n a a ，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式 2.已知数列{}n a 满足n n n a a 3431?+=+，11=a ，求数列 {}n a 的通项公式。 数列求和的常用方法 类型一：公式法 例 .已知3 log 1log 23=x ，求32x x x ++???++???+n x 的 前n 项和. 变式练习 1.数列}{n a 中，12+=n a n ,求n S . 2.等比数列}{n a 的前n 项和12-=n n S ,求 2232221n a a a a ++++Λ. 类型二：分组求和法 例. 求数列的前n 项和： 232 1 ,,721,421,1112-+???+++-n n ，… 变式练习 1.已知数列}{n a 中，n n n a 32+=，求n S . 2.已知数列}{n a 中，n n n a 2 1 )12(+ +=，求n S . 类型三：倒序相加法 例.求ο ο ο ο 88sin 3sin 2sin 1sin 2 2 2 2+???+++ο 89sin 2 +的值. 1.已知x x f += 11 )(，求)3()2()1(f f f ++ 类型四：错位相减法： 例.数列}{n a 中，12)12(-?-n n n a ，求n S . 变式练习 1.求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 2.数列}{n a 的前n 项和为2 2n S n =，}{n b 为等比数列， 且.)(,112211b a a b b a =-= （1）求数列}{n a 和}{n b 的通项公式； （2）设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T . 类型五：裂项相消法 例.已知数列}{n a 中，) 2(1 += n n a n ，求n S . 1.求数列 1 1 ,,321,211++???++n n 的前n 项和. 2.在数列}{n a 中，1 1211++???++++=n n n n a n ， 又1 2 +?=n n n a a b ，求数列}{n b 的前n 项的和. 3.求和 求数列的通项与求和作业 1.已知数列}{n a 的首项11=a （1）若12n n a a +=+，则n a =__________； （2）若12n n a a +=，则n a =_________ 1 11{}:1,{}.31n n n n n a a a a a a --==?+ 已知数列满足，求数列的通项公式
数列求通项公式及求和 9种方法 -CAL-FENGHAI.-(YICAI)-Company One1
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a 。 【注意】漏检验n的值 (如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a 的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都 有2 123n a a a a n ????=，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈，求数列{}n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
1()n n a a f n --= ，用累加法求通项公式（推导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-+ +，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-?? 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??，检验1n =的情况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知2 11=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列 {}n a 满足1 2 n n n a a n +=+，且32 1=a ，求n a .
数列专题1：根据递推关系求数列的通项公式 根据递推关系求数列的通项公式主要有如下几种类型一、 n S是数列{}n a的前n项的和 1 1 (1) (2) n n n S n a S S n - = ? =? -≥ ? 【方法】：“ 1 n n S S - -”代入消元消n a。 【注意】漏检验n的值(如1 n=的情况 【例1】.（1）已知正数数列{} n a的前n项的和为n S， 且对任意的正整数n满足1 n a =+，求数列{} n a的通项公式。 （2）数列{} n a中，1 1 a=对所有的正整数n都有 2 123n a a a a n ????= L，求数列{}n a的通项公式 【作业一】 1－1.数列{} n a满足 21* 123 333() 3 n n n a a a a n N - ++++=∈ L，求数列 {} n a的通项公式． （二）.累加、累乘型如 1 () n n a a f n - -=, 1 () n n a f n a - =
导等差数列通项公式的方法） 【方法】 1()n n a a f n --=， 12(1)n n a a f n ---=-， ……， 21(2)a a f -=2n ≥， 从而1()(1)(2)n a a f n f n f -=+-++L ，检验1n =的情 况 ()f n =，用累乘法求通项公式（推导等比数列通项公式的方法） 【方法】2n ≥，12 121 ()(1)(2)n n n n a a a f n f n f a a a ---???=?-??L L 即1 ()(1)(2)n a f n f n f a =?-??L ，检验1n =的情 况 【小结】一般情况下，“累加法”（“累乘法”）里只有1n -个等式相加（相乘）. 【例2】. (1) 已知21 1=a ，)2(1 1 21≥-+=-n n a a n n ，求 n a . （2）已知数列{}n a 满足1 2n n n a a n +=+，且3 21=a ，求n a .
数列的通项公式与求和 1 练习1数列佝｝的前n项为S n，且a =1, a ni=-S n(n =1,2,3,) 3 (1) 求a2,a3, a4B值及数列｛a n｝的通项公式. (2) 求a2a4一-玄 n ■ 2 练习2 数列｛a n｝的前n项和记为S n，已知a^1, 3n1 6(n = 1,2,…)?证明: n (1) 数列｛§L｝是等比数列； n (2) S n 1 = 4a n 1 * 练习3 已知数列｛a n｝的前n项为S n，S n = —@n -1)(门，N ) 3 (1)求耳忌 ⑵求证：数列｛a n｝是等比数列.
1 1 已知数列｛a n ｝满足 @ = — ,a n1 =a n ? - ,求a n . 2 n +n 练习5 已知数列 ｛an ｝ 满足?岭…&an,求歸 5 1 1 n * 练习6已知数列?｝中,印 ,a n 1 a n - H),求a n . 6 3 2 练习7已知数列｛a n ｝满足:a n 色^ , a , =1,求数列｛a n ｝的通项公式 3色」+1 ｛ ｝ 2 十2十2+…十2 等比数列 ｛a n ｝ 的前n 项和S n = 2n - 1,则a1 a 2 a 3 a n 5 (10n -1) 练习 9 求和：5, 55, 555, 5555，…，9 练习4 练习
练习10 求和： + +… + 1 4 4 7 (3n - 2) (3n 1) ’ 1 1 1 1 练习11 求和： 1 2 12 3 12 3 n 练习12 设 ｛a n ｝ 是等差数列， ｛b n ｝ 是各项都为正数的等比数列，且 = b^=1 , fa 1 a 5 b 3 =13 (I)求 ｛a n ｝ , ｛ b n ｝ 的通项公式；(H)求数列? 的前门项和S n . Sb = 21
数列的通项及求和公式专题课内导学案11 一、基本公式法：等差数列，等比数列。 例1、（1）若{}n a 是等差数列，公差0d ≠， 236,,a a a 成等比，11a =，则n a =_________。 （2）若{}n a 是等比数列，243,,a a a 成等差， 13a =，则n a =_________。 二、已知n S 求n a ：11 (2) (1)n n n S S n a S n --≥?=? =?。 类型1、（1）已知2 1n S n n =++，求n a 。 （2）已知101n n S =-，求n a 。 类型2、（1）已知32n n S a =-，求n a ； （2）已知3 32 n n S a =-，求n a ； （3）已知22n n S a +=，求n a 。 类型3、（1）2 24n n n a a S +=，0n a >，求n a ； （2）2 1056n n n S a a =++，0n a >，求n a ； （3）2111 424 n n n S a a = ++，0n a >，求n a 。 类型4、（1）11a =，12n n a S +=，求n a ； （2）11a =，12n n S a +=，求n a ； （3）13a =，11n n S a +=+，求n a 。
类型5、（1）122n n a a a ++???+=，则n a =_____ （2）123n a a a a n ?????=，则n a =_____ （3）12323n a a a na n +++???+=，则n a =_____ （4） 3 12123n a a a a n n +++???+=，则n a =_____ （5）231233333n n a a a a n +++???+=，n a =___ 三、形如1()n n a a f n +-=的递推数列求通项公式，使用累加法。 例1、（1）数列{}n a 中满足12a =，1n n a a n +=+，求n a 的通项公式。 （2）已知数列{}n a 中满足13a =， 12n n n a a +=+，求n a 的通项公式。 （3）求数列2,4,9,17,28,42,???的通项公式。 四、形如 1 ()n n a f n a +=的递推数列求通项公式，使用累乘法。 例1、（1）数列{}n a 中满足15a =，12n n n a a +=?， 求n a 的通项公式。 （2）数列{}n a 中满足14a =，11 n n n a a n +=?+，求n a 的通项公式。 （3）112a = ，111 n n n a a n --=+（2n ≥），求n a 的通项公式。 五、构造法 例1、（1）14a = 2=，求n a ； （2）14a =，22 12n n a a +-=，求n a ； （3）14a =， 144 2n n a a +-=，求n a ； （4）12a =，112(1)n n a a +-=-，求n a ； （5）11a =，1(1)3n n n a na ++=，求n a ； （6）11a =，121n n a a n n +-=+，求n a 。
数列通项公式的十种求法 ｛a n ｝的通项公式。 二、累加法 例2已知数列｛a n ｝满足a n 1 a n 2n 1， 3 (n 1)(n 2 n 、公式法 例1已知数列｛a n ｝满足a n 1 2a n 3 2n ， a i 2，求数列｛a n ｝的通项公式。 解：a n 1 2a n 3 2n 两边除以2n 1，得開 a n 3 a n 1 a n 3 2^ 2，人」2门1歹 2， 得鱼 2n 以岂 2 1为首项，以-为公差的等差数列，由等差数列的通项公式, 21 2 2 故数列｛》｝是 1(n 丐， 3 1 所以数列｛a n ｝的通项公式为a n ( n -)2n 。 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n1 2a n 2n 转化为開 是等差数列，再直接利用等差数列的通项公式求出 a n 1)3，进而求出数列 -，说明数列 2 解：由a n 1 a n 2n 1 得 a n 1 a n 2n 1则 a n (a n [2(n 2[(n 2^ a n 1 ) (a n 1) 1) 1)n 2 1 a n 2 ) 1] [2(n 2) (n 2) 1] I 2 1] @3 a 2) L (2 2 1) 1 (a 2 a 1 ) 4 1) (2 1 1) 1 (n (n 1) 所以数列｛a n ｝的通项公式 为 a n 评注：本题解题的关键是把递推关系式 a n 1 a n 2n 1转化为a n 1 a n 2n 1，进而求 出(a n a n 1) (a n 1 a n 2) L (a 3 a 2) (a ?印) a 1，即得数列｛a n ｝的通项公 式。 求数列｛a n ｝的通项公式。 1) 1
.. . 常见递推数列通项公式的求法典型例题及习题 【典型例题】 [例1] b ka a n n +=+1型。 （1）1=k 时，}{1n n n a b a a ?=-+是等差数列，)(1b a n b a n -+?= （2）1≠k 时，设)(1m a k m a n n +=++ ∴ m km ka a n n -+=+1 比较系数：b m km =- ∴ 1-= k b m ∴ }1{-+ k b a n 是等比数列，公比为k ，首项为11-+k b a ∴ 11)1(1-?-+=-+ n n k k b a k b a ∴ 1)1(11--?-+=-k b k k b a a n n [例2] )(1n f ka a n n +=+型。 （1）1=k 时，)(1n f a a n n =-+，若)(n f 可求和，则可用累加消项的方法。 例：已知}{n a 满足11=a ，)1(1 1+= -+n n a a n n 求}{n a 的通项公式。 解： ∵ 11 1)1(11+- =+= -+n n n n a a n n ∴ n n a a n n 1111--= -- 112121---=---n n a a n n 21 3132-- -= ---n n a a n n ……
.. . 312123-= -a a 21112-=-a a 对这（1-n ）个式子求和得： n a a n 111- =- ∴ n a n 1 2- = （2）1≠k 时，当b an n f +=)(则可设)()1(1B An a k B n A a n n ++=++++ ∴ A B k An k ka a n n --+-+=+)1()1(1 ∴ ???=--=-b A B k a A k )1()1( 解得： 1-= k a A ，2)1(1-+-=k a k b B ∴ }{B An a n ++是以B A a ++1为首项，k 为公比的等比数列 ∴ 1 1)(-?++=++n n k B A a B An a ∴ B An k B A a a n n --?++=-1 1)( 将A 、B 代入即可 （3）n q n f =)(（≠q 0，1） 等式两边同时除以1 +n q 得q q a q k q a n n n n 1 11+?=++ 令 n n n q a C = 则q C q k C n n 1 1+ =+ ∴ }{n C 可归为b ka a n n +=+1型 [例3] n n a n f a ?=+)(1型。 （1）若)(n f 是常数时，可归为等比数列。 （2）若)(n f 可求积，可用累积约项的方法化简求通项。 例：已知： 311= a ，1121 2-+-=n n a n n a （2≥n ）求数列}{n a 的通项。 解：123537532521232121212233 2211+= ?--?--?+-=???-----n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n
求递推数列通项公式和求和的常用方法 求递推数列通项公式是数列知识的一个重点，也是一个难点，高考也往往通过考查递推数列来考查学生对知识的探索能力，求递推数列的通项公式一般是将递推公式变形，推得原数列是一种特殊的数列或原数列的项的某种组合是一种特殊数列，把一些较难处理的数列问题化为中学中所研究的等差或等比数列，下面就求递推数列通向公式的常用方法举例一二，供参考： 一 公式法：利用熟知的的公式求通项公式的方法称为公式法，常用的公式有1n n n a S S -=-(2)n ≥，等差数列或等比数列的通项公式。 例一 已知无穷数列{}n a 的前n 项和为n S ，并且*1()n n a S n N +=∈，求{}n a 的通项公式？ 【解析】： 1n n S a =-，∴111n n n n n a S S a a +++=-=-，∴112n n a a += ，又11 2 a =， ∴12n n a ?? = ??? . 反思：利用相关数列{}n a 与{}n S 的关系：11a S =,1n n n a S S -=-(2)n ≥与提设条件，建立递推关系，是本题求解的关键. 跟踪训练1.已知数列{}n a 的前n 项和n S ，满足关系() 1lg n S n +=(1,2)n =???.试证数列{}n a 是等比数列. 二 归纳法：由数列前几项用不完全归纳猜测出数列的通项公式，再利用数学归纳法证明其正确性，这种方法叫归纳法. 例二 已知数列{}n a 中，11a =，121(2)n n a a n -=+≥，求数列{}n a 的通项公式. 【解析】： 11a =，121(2)n n a a n -=+≥，∴2121a a =+3=，3221a a =+7=???? 猜测21n n a =-*()n N ∈，再用数学归纳法证明.（略） 反思：用归纳法求递推数列，首先要熟悉一般数列的通项公式，再就是一定要用数学归纳法证明其正确性. 跟踪训练2.设{}n a 是正数组成的数列，其前n 项和为n S ，并且对于所有自然数n ，n a 与1的等差中项等于n S 与1的等比中项，求数列{}n a 的通项公式. 三 累加法：利用121 1()()n n n a a a a a a -=+-+???-求通项公式的方法称为累加法。累加法是求型如 1()n n a a f n +=+的递推数列通项公式的基本方法（()f n 可求前n 项和）. 例三 已知无穷数列{}n a 的的通项公式是12n n a ?? = ??? ，若数列{}n b 满足11b =，(1)n ≥，求数列{}n b 的通项 公式. 【解析】：11b =,112n n n b b +?? -= ??? (1)n ≥,∴1211()()n n n b b b b b b -=+-+???-=1+12+??+
求数列通项公式的十一种方法（方法全，例子全，归纳细） 总述：一．利用递推关系式求数列通项的11种方法： 累加法、 累乘法、 待定系数法、 阶差法（逐差法）、 迭代法、 对数变换法、 倒数变换法、 换元法（目的是去递推关系式中出现的根号）、 数学归纳法、 不动点法（递推式是一个数列通项的分式表达式）、 特征根法 二。四种基本数列：等差数列、等比数列、等和数列、等积数列及其广义形式。等差数列、 等比数列的求通项公式的方法是：累加和累乘，这二种方法是求数列通项公式的最基本方法。 三 ．求数列通项的方法的基本思路是：把所求数列通过变形，代换转化为等差数列或等比数列。 四．求数列通项的基本方法是：累加法和累乘法。 五．数列的本质是一个函数，其定义域是自然数集的一个函数。 一、累加法 1．适用于：1()n n a a f n +=+ ----------这是广义的等差数列 累加法是最基本的二个方法之一。 2．若1()n n a a f n +-=(2)n ≥， 则 21321(1) (2) () n n a a f a a f a a f n +-=-=-= 两边分别相加得 111 ()n n k a a f n +=-= ∑
例1 已知数列{}n a 满足11211n n a a n a +=++=，，求数列{}n a 的通项公式。 解：由121n n a a n +=++得121n n a a n +-=+则 11232211 2 ()()()()[2(1)1][2(2)1](221)(211)1 2[(1)(2)21](1)1(1)2(1)1 2 (1)(1)1n n n n n a a a a a a a a a a n n n n n n n n n n n ---=-+-++-+-+=-++-+++?++?++=-+-++++-+-=+-+=-++= 所以数列{}n a 的通项公式为2n a n =。 例2 已知数列{}n a 满足112313n n n a a a +=+?+=，，求数列{}n a 的通项公式。 解法一：由1231n n n a a +=+?+得1231n n n a a +-=?+则 11232211 122112211()()()()(231)(231)(231)(231)32(3333)(1)33(13) 2(1)3 13 331331 n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a n n n n --------=-+-++-+-+=?++?+++?++?++=+++++-+-=+-+-=-+-+=+- 所以3 1.n n a n =+- 解法二：13231n n n a a +=+?+两边除以1 3 n +，得 111 21 3333n n n n n a a +++=++， 则 111 21 3333n n n n n a a +++-=+，故 11223211 2232111122122()()()()33333333212121213()()()()3333333332(1)11111()1 333333 n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n n a a a a a a a a a a a a n --------------=-+-+-++-+=+++++++++-=+++++++
数列的几种递推公式 一、 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法(逐差相加法)求解。 例1:已知数列{}n a 满足211=a ，n n a a n n ++=+211，求n a 。 二、 n n a n f a )(1=+ 解法：把原递推公式转化为)(1 n f a a n n =+，利用累乘法(逐商相乘法)求解。 例2:已知数列{}n a 满足321=a ，n n a n n a 1 1+= +，求n a 。
例3:已知31=a ，n n a n n a 2 31 31+-=+ )1(≥n ，求n a 。 解：1231 32231232)2(31)2(32)1(31)1(3a n n n n a n +-?+?-??????+---?+---= 3437 52633134 8531n n n n n --= ????=---。 变式:已知数列{a n }，满足a 1=1，1321)1(32--+???+++=n n a n a a a a (n ≥2)，则 {a n }的通项1 ___n a ?=?? 12n n =≥ 解：由已知，得n n n na a n a a a a +-+???+++=-+13211)1(32， 用此式减去已知式，得 当2≥n 时，n n n na a a =-+1，即n n a n a )1(1+=+， 又112==a a ， n a a a a a a a a a n n =???====∴-1 3423121,,4,3,1, 1， 将以上n 个式子相乘，得2 ! n a n =)2(≥n 三、 q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ）。 解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -=1，再利用换元法转化为等比数列求解。