第二章 力学量的算符
经典力学中物质运动的状态总是用坐标、动量、角动量、自旋、动能、势能、转动能等力学量以决定论的方式描述。量子力学的第一个惊人之举就是引入了波函数ψ这样一个基本概念，以概率的特征全面地描述了微观粒子的运动状态。但ψ并不能作为量子力学中的力学量。于是，又引入了一个重要的基本概念—算符，用它表示量子力学中的力学量。算符和波函数作为量子力学的核心概念相辅相承、贯穿始终。
本讲内容是量子力学的重要基础理论之一，也是大家学习的重点。重点掌握以下内容： 一个基本概念：厄米算符（作用及其基本性质）；
两个假设：力学量用线性厄米算符表示，状态用线性厄米算符的本征态表示； 三个力学量计算值：确定值、可能值、平均值；
四个本征态及本征值：坐标x 或r 、动量x p ∧
或∧p 、角动量∧2
L 及z L ∧、能量（哈密顿量∧H ）。
本部分的难点是任意态),(t x ψ与力学量算符本征态n ?及力学量概率态n C 的区别。
1 厄米算符
1.1 算符：算符∧
F 只是代表对函数施加某种运算的符号，是一种数学语言工具。例如
?、、dx d
等。量子力学中的力学量在与波函数的作用中，往往表现为一种运算形式，例如动量p
与
?- i 相当，自由粒子体系的能量E 与2
22?-μ 相当。于是，用算符表示力学量的假设被人
们初步认识。
1.2 算符和它的本征态：一般来说，算符作用在一个函数上，总会得到另一个构造不同的函数 ?ψ=∧
F （1） 但在特殊情况下，得到
λψψ=∧F （2）
λ为实或复常数。量子力学中把这样的函数称为算符∧
F 的本征函数，对应的常数λ称为算符
∧
F 的本征值，相应的关系式称为本征方程。
1.3 厄米算符：
（1）算符∧
F 中所有复量换成共轭复量，称为共轭算符∧
*
F 。例如?-=∧
i p ，则?=∧
i p *
， 一般来说，∧∧
≠*
p p 。
（2）算符∧
F 的转置算符定义为∧
~F ，即
??∧
∧
=dx F dx F ?ψ?ψ*~* （3）
?ψ,*
一般为任意函数，∧
∧≠F F ，例如算符
x
??
的转置算符为 x x ??
-=??~ （4） 这是因为 ??∞∞∞
∞??
=??＋－＋－dx x
dx x **
~ψ??ψ
?
?∞
∞
∞∞∞∞??
-=??-=＋－＋－＋－dx x dx x ?ψ?ψ?ψ)(|**
*
（3）转置共轭算符（又称厄米共轭）定义为∧
+∧=F F ~*
，即
???∧
∧
∧
+
==dx F dx F dx F ?ψ?ψ?ψ**
**
)( （5）
一般来讲， ∧∧
+
≠F F ，但动量算符却例外，如 x
i p x ??
-=∧
， x x
p x
i p ∧∧+=??
-= （6） （4）厄米算符 满足∧
∧
+
=F F 的算符称为厄米算符，又称自厄算符。因此，只要称其为厄 米算符，虽然没有任何标记，当它都包含转置共轭的性质，如∧
F 为厄米算符，则有 ???∧
∧∧
==dx F dx F dx F ?ψ?ψ?ψ**
*
*)( （7）
此式被认定为厄米算符的定义式，经常应用不可忽视。这种特殊性质的算符，对它的本征值具 有特殊的结果：厄米算符的本征值都是实数。
厄米算符的特殊作用以及它的本征函数、本征值在量子力学中占有极其重要的地位。
2 力学量用厄米算符表示
当我们试图用算符表示力学量时，首先注意到：力学量的测量值都是实数值，而算符只表 示对态函数的某种作用，并不代表数值，只有算符本征态的本征值才是一个确定的数值。进一 步说，只有厄米算符本征态的本征值才是一个确定的实数值。这提示我们，力学量的值只可能 与厄米算符的本征值相联系。于是提出假设：量子力学中每一个力学量F 可以用一个线性厄米 算符∧
F 来表示，简称为力学量算符∧
F ，所谓“线性”，无非是要求∧
F 满足运算 22112211)(ψψψψ∧
∧
∧
+=+F c F c c c F （8）
实中21,c c 为任意常数。“厄米”才是关键所在。而“表示”只是指一种表现形式，这要看算符
所作用的态函数的变量（后面表象理论一讲详细讨论）。本讲基本上都是以坐标r
为变量，所以
只需以?-==∧
∧
i p r r ,为基础，原则上可以得出所有力学量算符
),(),(?-==∧∧∧
∧
i r F p r F F （9）
3 力学量算符的本征态和本征值
微观体系所处的状态，只可能分为两大类：一是体系状态恰好处于力学量算符的本征态；二是处于任意态。
假定体系处于力学量算符∧
F 的本征态?，本征方程为
λ??=∧
F （10） 说明力学量算符对应着确定的实数本征值λ，这时的力学量没有别的选择，只能是 λ=F （11）
即当体系处于力学量算符∧
F 的本征态时，力学量F 具有确定值。这种确定的关系可以表示为
λ?
??=→→→∧
∧
∧
F F F F 的本征态）力学量
( 确定值
量子力学重要的基本任务之一，就是确定力学量算符∧
F 的本征态及本征值。但有两点必须随时注意：一是力学量算符∧
F 的本征态可能不止一个，例如一维无限深势阱中哈密顿算符
2
2
22dx
d H μ -=∧的本征态（能量本征态）x a
n a x n π
ψs i n 2)(= ，势阱宽)~0(a ，本征值 3,2,1,22
2
22===n n a
E E n μπ，力学量算符的本征值被称为力学量谱或本征值谱。 大致可分为三类：（1）连续谱—本征值可取任何实数值。如自由粒子的坐标和动量的本征值谱；（2）带谱—本征值被限定在某些区域， ,,43211x
F x x F x <<<<例如固体中的能带；（3）分立谱—本征值只能取一系列孤立实数，如粒子在束缚态下的能谱。重点讨论连续谱和分立谱。通常连续谱记为λ或λ'，分立谱记为),2,1( =n n λ。对应的本征函数分别记为λλ??',及n ?。二是力学量算符的本征态及本征值可能不是一一对应，而出现若干个（如s 个）本征态对应一个本征值，称这种情况为s 度简并。
四个特例 3.1 球坐标中的角动量 首先看角动量的z 分量 ?
??
-=∧
i L z 的本征函数。设其本征函数为)(?Φ，对应的本征值为z L ，则本征方程为Φ=?Φ?-z L i ?
，将其变为im L i z ==?Φ
?
?ln )( m L z = 可解出??im m Ce =Φ)( ，由波函数单值性要求?π?im im e e =+)2(， 故m 必须是整数，即
,2,1,0±±=m ，可见本征值 m L z =是量子化的分立谱。利用归一化条件
?=?=ΦΦπ
π?20
2
*12C d
取π
21=
C ，因此归一化的波函数为
?π
?im m e 21)(=
Φ ),2,1,0( ±±=m
角动量平方算符 ??
?
?????+??? ??????-=∧2222
2
sin 1sin sin 1?θθθθθ L 其本征方程为 ),()1(),(22
?θ?θY l l Y L +=∧
对应的本征值为 22)1( +=l l L 本征态为 ?θπ?θim m
l lm e P m l m l l Y )(cos )!
(4)!)(12(),(+-+=
,2,1,0=l l m ≤ ,2,1,0±±=m 注意以下三点：
（1）m 取负值时，),()1(),(*?θ?θm l m lm Y Y -=，所以只需注意m 为正值时的lm Y 即可； （2）当l 一定时，角动量平方算符的本征值22)1( +=l l L 一定，但m 可取)12(+l 个值，
所以本征态有m l l lm Y Y Y - ,,0共)12(+l 个，即角动量平方算符的本征值是)12(+l 度简并的；
（3）),(),(?θ?θlm lm z Y m Y L =∧，说明),(?θlm Y 也是z L ∧的本征态。这是因为?
??-=∧
i L z ，所以在z L ∧
的本征态
?
π
im e
21上乘以任何与?无关的数仍为z L ∧
的本征态，本征值仍为
m 。由此可见，当l 给定后，本征值 m 只与一个确定的本征态),(?θlm Y 相对应，说
明z L L ∧
∧
,2
共同消除了简并，确定了一个共同的本征函数),(?θlm Y 。例如，给定3=l ，则2212 =L ，对应7个简并态m Y 3；进一步给定2=m ，则 2=z L ，二者共同确定一个本征态),(32?θY 。
3.2 坐标算符x 的本征态
设坐标算符x 的本征函数为)(x x 'ψ，本征值为x '，则本征方程为 )()(x x x x x x '''=ψψ 即
0)()(='-'x x x x ψ 利用δ函数的性质可得 )()(x x x x '-='δψ
讨论：（1）在以x 为变量的坐标系中，力学量x 的算符就是自身，而本征函数为δ函数； （2）本征值可以取任何实数，组成连续谱，本征函数的归一化写成
??''-'=''-'-=''')()()()()
(*
x x dx x x x x dx x x x x δδδψψ 即归一化为δ函数 3.3 动量算符x
i p x ??
-=∧
的本征方程 )()(x p x x
i x x p x p ψψ=??
-
对应本征值x p 的本征函数
/21)(x ip p x x e x πψ=
为具有确定动量x p 的平面波函数，本征值组成连续谱，只能归一化为δ函数，故取归一化因子为
π21=
C ，对于三维情况
/2
/3)2(1)(r p i p
e
r ?=
πψ 归一化为 ????'=∞'≠='-='p p p p p p d r r p p ,,0)()()(*
*δτψψ
关于动量波函数的箱归一化问题见教本的量子化条件。 3.4 关于∧
H 的本征态（能量本征态）
（1）定态dinger o
Schr 方程ψψn E H =∧
，本征值n E 是粒子能量的可能取值。如一维无限深势阱、线性谐振子等。
（2）电子在库仑场中运动的氢原子问题
),,(),,(?θψ?θψr E r H nlm n nlm =∧
能量本征值
,3,2,1,22
2
4
2=-=n n
e z E s n μ
本征态
),()(),,(?θ?θψlm nl nlm Y r R r =
注意分析结果后回答几个问题：（a ）能级简并度？（b ）),(?θlm Y 是z L L ∧
∧,2
的本征态吗？假若是的话，对应的本征值各是多少？（c ）∧
H 能确定唯一的本征态吗？∧
H 和∧2
L 能共同确定本征态吗？
z L L H ∧
∧
∧
,,2
三者呢？
4 任意状态下力学量的可能值
4.1 厄米算符的三个基本性质：实数性，正交性、完备性。
量子力学中所有表示力学量的算符都是厄米算符，所以明确厄米算符的基本性质是讨论力学量的理论基础。
（1）厄米算符的本征值都是实数，表示为*λλ= 。
（2）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交，分立谱为
?=0)()(*
x x n m
ψψ 连续谱为 ?='0)()(*
x x λλ
ψψ 一般与归一化结合在一起，表示为
?=mn n m
x x δψψ)()(*
)()()(*
λλδψψλλ
'-=?'x x （12） 这里需要说明的是，正交本征态是属于不同本征值n m λλ,的。若属于同一本征值的本征态有s 个，即s 度简并，则这s 个本征态不一定正交，但也不一定不正交！这要看这个力学量∧
F 的本征值简并的态函数是否同时也是其它力学量∧Q 的态函数，如果是，那么对∧
∧Q F ,的本征值是否还简并？如球谐函数),(?θlm Y ，它是角动量平方算符∧
2
L 的本征函数，对应的本征值2)1( +l l 有
)12(+l 度简并，但),(?θlm Y 也是角动量的z 分量 z L ∧的本征函数，对应的本征值 m 。不过
2)1( +l l 和 m 只能对应一个本征函数),(?θlm Y ，简并消除了，正交问题自然解决了（这涉及到共同本征函数问题，见下一讲）。
（3）厄米算符本征态具有完备性，即这些本征态的线性组合足以描述任何态 ∑=+++=n
n n n c c c ????ψ 2211 （13）
4.2 任意状态下力学量的可能值
微观粒子处于力学量算符∧
F 的本征态n ?时，力学量与本征值有确定的对应。如果粒子不是出于∧
F 的本征态n ?而是处于任意态ψ，如何理解任意态ψ？厄米算符本征态的完备性已明确告诉我们，可用厄米算符∧
F 的本征态n ??? ,,21的线性组合描述ψ，即
∑+++==n
n n n x x c x c x c x )()()()()(2211????ψ （14）
这正是态叠加原理的具体表现。在ψ态中对力学量F 进行测量时，得到的可能值是1λ，也可能是2λ，……，而决不会是本征值之外的其它值。将ψ归一化 1)()(2
*==∑?n
n
c dx x x ψψ （15）
将（14）（15）联系起来看，2
n c 表示任意态ψ处于本征态n ?的概率（或者说本征态n ?在任意
态ψ中所占的概率）。若从力学量的角度看，2
n c 是在ψ态中测量力学量F 得到可能值n λ的概率（或说力学量F 的值n λ在ψ态中被测到的概率）。而
dx x x c n
n )()(*
?=ψ? （16） 为体系处于任意态ψ时力学量F 的概率分布函数。
综上所述，当体系处于任意态ψ时，测量力学量F 所得的数值，将会出现各种不同的结果，但必定是算符∧
F 的本征值之一，测得力学量F 的值为n λ的概率为2
n c 。
注意以下两点：
（1）面对任意态)(x ψ，你将)(x ψ用哪一个力学量的本征态展开？这取决于你要讨论的物理量。认定物理量后，就用该力学量的本征态展开任意态)(x ψ；
（2）任意态)(x ψ和力学量算符∧
F 的本征态)(x n ?都是坐标的函数，他们的模平方都描述
各自态中的位置概率分布，只不过在)(x n ?中力学量F 有确定值罢了。而
dx x x c n
n )()(*
?=ψ? 之所以被称为力学量F 的概率分布函数，是因为n c 一般已不是坐标的函数
])()([除外x x x x '-='δ?，而是力学量F 的函数（对分立谱，它是量子数n 的函数；对于连续谱，它是本征值λ的函数）。2
n c 表示在任意态)(x ψ中力学量F 的概率分布。例如，任意态)(x ψ用动量算符的本征态
/21)(x ip p x x e x π?=
展开时，2
)(x ψ表示该态的坐标概率分布，2
x p ?表示本征态的坐标概率分布，但?
-=dx x e p c x ip x x )(21)(/ψπ
，2
)(x p c 描述的是)(x ψ态中动量的概率分布。
5 平均值问题
当讨论微观粒子体系的任意态时，对于某一力学量的研究其结果只能是以一定概率出现的一
系列数值，不过测量结果的平均值总是趋于一个确定值。所以在任意态中对力学量平均值的研究，显得更具有实际意义。不仅如此，微观态力学量的平均值还可以对宏观量给予适当描述。 对于任意的微观态)(x ψ，知道了力学量的全部可能取值n λ及概率2
n c 后，该状态下力学量的平均值由以下公式给出
∑=n
n n c F λ2
（17）
该方法常被称为概率平均法。考虑到厄米算符本征态的完备性∑=n
n n x c x )()(?ψ及正交归一性可
得
2
,,***
*
)()()()(∑?∑?∑==∧
∧
n
n n n
m n
m mn n m n n m
n
m c c c dx x F x c c dx x F x λδλ??ψψ
即 ?∧
=dx x F x F )()(*
ψψ （18）
该方法又被称为状态平均法，只要已知算符∧
F ，不必通过∧
F 的本征态及本征值，可直接在任意态)(x ψ下求出平均值。
引言：黑体辐射等实验的研究以及光谱实验的诞生，促使了人们对微观世界的不断认识。经典力学的局限性也日益显著，所面临的一些棘手的问题也越来越多。因此迫使我们不得不抛弃经典力学，而重新建立一个全新的力学体系——量子力学。该力学体系描绘了微观世界中，微观粒子的运动行为及其力学特性。 题目：量子力学的概率解释 内容摘要：在经典力学中，我们知道物体的运动可由牛顿第二定律描述： 22(((),(),()))d r F m r x t y t z t dt ==r u r r ；方程的解即为物体的动力学方程。由此方程的解： ((),(),())r x t y t z t =r ；在给定的初始条件下我们即可以知道任意时刻物体在空间所处的位 置。而在微观领域中，微观粒子的运动并不适用于上述的方程所描述。实验证明他们在某一 时刻出现在空间的哪一点上是不确定的。应该用方程μH E ψ=ψ来描述。比如电子的衍射现象，海森堡的不确定性关系，还有薛定谔为批评哥本哈根学派对量子论的观点而提出的一 个思维实验（薛定谔猫）。本文利用概率与统计的相关概念对量子力学做出一些相关的阐明，并对一些相关的问题（衍射，薛定谔猫等）进行说明。对单电子体系薛定谔方程作出较为详细的讨论，并加以例题进行进一步说明。 关键词：量子力学、概率与统计、电子衍射现象、薛定谔猫、薛定谔方程 概率统计理论的简单介绍： 随机变量X ：X 是定义在样本空间Ω上的实值函数；对面门一样本点ω，()X ω是一个实数。X 离散取值时，为离散随机变量。X 连续取值时，为连续型随机变量。本文只介绍连续型随机变量。 概率密度函数：当X 为连续型随机变量时，例如一条直线AB 如图：A 0 1 B 假设现在有一个点落到了AB 上，我们是否能问该点恰好落在0.5x =处的概率是多少？显然这是毫无意义的问题，因为该点恰好落在任意一点上的概率均为零。（基本事件的个数为无穷） 我们只能问该店落在某一区间[,]a b 上的概率是多少？例如[,][0,0.5]a b =；此时概率 10.5/12 p == 。 因此设X 是一随机变量，如果存在非负函数()f x 使得对任意满足a b -∞≤≤+∞的,a b 有 ()()b a p a X b f x dx ≤≤=?；就称()f x 是随机变量X 的概率密度函数。 显然()f x 应该具有如下性质： （1） ()1f x dx +∞ -∞ =? ；(量子力学中波函数的归一化性质) （2）()0.p X a ==于是()()()p a X b p a X b p a X b ≤≤==≤p p p ； （3）对于数集,()()A A p X A f x dx ∈= ?；
1、以下说法是否正确： （1）量子力学适用于微观体系，而经典力学适用于宏观体系； （2）量子力学适用于η不能忽略的体系，而经典力学适用于η可以忽略的体系。 解答：（1）量子力学是比经典力学更为普遍的理论体系，它可以包容整个经典力学体系。 （2）对于宏观体系或η可以忽略的体系，并非量子力学不能适用，而是量子力学实际上已 经过渡到经典力学，二者相吻合了。 2、微观粒子的状态用波函数完全描述，这里“完全”的含义是什么？ 解答：按着波函数的统计解释，波函数统计性的描述了体系的量子态。如已知单粒子（不考虑自旋）波函数)(r ? ψ，则不仅可以确定粒子的位置概率分布，而且如粒子的动量、能量等其他力学量的概率分布也均可通过)(r ? ψ而完全确定。由于量子理论和经典理论不同，它一般只能预言测量的统计结果，而只要已知体系的波函数，便可由它获得该体系的一切可能物理信息。从这个意义上说，有关体系的全部信息显然已包含在波函数中，所以说微观粒子的状态用波函数完全描述，并把波函数称为态函数。 3、以微观粒子的双缝干涉实验为例，说明态的叠加原理。 解答：设1ψ和2ψ是分别打开左边和右边狭缝时的波函数，当两个缝同时打开时，实验说明到达屏上粒子的波函数由1ψ和2ψ的线性叠加2211ψψψc c +=来表示，可见态的叠加不是概率相加，而是波函数的叠加，屏上粒子位置的概率分布由222112 ψψψ c c +=确定，2 ψ中 出现有1ψ和2ψ的干涉项]Re[2* 21* 21ψψc c ，1c 和2c 的模对相对相位对概率分布具有重要作用。 4、量子态的叠加原理常被表述为：“如果1ψ和2ψ是体系的可能态，则它们的线性叠加 2211ψψψc c +=也是体系的一个可能态”。 （1）是否可能出现)()()()(),(2211x t c x t c t x ψψψ+=； （2）对其中的1c 与2c 是任意与r ? 无关的复数，但可能是时间t 的函数。这种理解正确吗？ 解答：（1）可能，这时)(1t c 与)(2t c 按薛定谔方程的要求随时间变化。
量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ
称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ
目录 摘要 (1) Abstract (1) 1 引言 (1) 2 对称性 (1) 2.1镜像对称 (2) 2.2 转动对称 (2) 2.3平移对称 (2) 2.4置换对称性 (2) 3 物理定律的对称性 (3) 3.1物理定律的空间平移对称性 (3) 3.2物理定律的转动对称性 (3) 3.3物理定律对时间的平移对称性 (3) 3.4物理定律对于匀速直线运动的对称性 (3) 4 对称性与物理定律的关系 (3) 5 对称性在物理学中的应用 (4) 6结论 (5) 参考文献 (5)
物理学中的对称性 摘要：从自然界中的对称性开始，讲解了物理学中转动对对称性开始称，平移对称，置换对称；还讲解了物理定律中的空间平移对称性，转动对称性，时间平移对称性，匀速直线运动的对称性；进而说明了物理定律与对称性的关系和对称性在物理学中的应用，以及对称性导致物理问题发生和解决。 关键词：对称性；物理定律；守恒 Discuss the Symmetry Secondary Physics Abstract:From the nature of the symmetry of the begining, explain the physics rotation on symmetry started to call, translational symmetry, permutation symmetry; also explained the laws of physics in the spatial translational symmetry, rotational symmetry, time translation symmetry, the symmetry uniform motion in a straight line; then describes the physical laws and symmetry and symmetry in the application of Physics, as well as symmetry leads to physical problems and solutions. Key words:symmetrical; the laws of physicsl; conservation 1引言 对称性是自然界最普遍、最重要的特性[1]。近代科学表明，自然界的所有重要的规律均与某种对称性有关，甚至所有自然界中的相互作用，都具有某种特殊的对称性——所谓“规范对称性”。实际上，对称性的研究日趋深入，已越来越广泛的应用到物理学的各个分支：量子论、高能物理、相对论、原子分子物理、晶体物理、原子核物理，以及化学（分子轨道理论、配位场理论等）、生物和工程技术。 2对称性 什么是对称性？对称性首先来源于生活，对称式自然界中十分普片的现象，从总星系到星系团，从银河系到太阳系，地球，从原生物到各种动植物，都具有不同程度
量子力学的通俗讲座 一、粒子和波动 我们对粒子和波动的概念来自直接的经验。和粒子有关的经验对象：小到石子大到天上的星星等；和波动有关的经验对象：最常见的例子是水波，还有拨动的琴弦等。但这些还不是物理中所说的模型，物理中所谓粒子和波动是理想化的模型，是我们头脑中抽象的对象。 1.1 粒子的图像 在经典物理中，粒子的概念可进一步抽象为：大小可忽略不计的具有质量的对象，即所谓质点。质量在这里是新概念，我们可将其定义为包含物质量的多少，一个西瓜，比西瓜仔的质量大，因为西瓜里包含的物质的量更大。 为叙述的简介，我们现在可把粒子等同于质点。要描述一个质点的运动状态，我们需要知道其位置和质量（x,m ），这是一个抽象的数学表达。 但我们漏掉了时间，时间也是一个直观的概念，这里我们可把时间描述为一个时钟，我们会发现当指针指到不同位置时，质点的位置可能不同，于是指针的位置就定 义了时刻t 。有了时刻 t ，我们对质点的描述就变成了（x,t,m ），由此可定义速度v ，现在我们对质点运动状态的描述是（x,v,t,m ）。 在日常经验中我们还有相互作用或所谓力的概念，我们在地球上拎起不同质量物体时肌肉的紧张程度是不同的，或者说弹簧秤拎起不同质量物体时弹簧的拉伸程度是不同的。 以上我们对质量、时间、力等的定义都是直观的，是可以操作的。按照以上思路进行研究，最终诞生了牛顿的经典力学。这里我们可简单地用两个公式：F=ma （牛顿第二定律） 和 2 GMm F x （万有引力公式） 来代表牛顿力学。前者是质点的运动方程，用数学的语言说是一个关于位置x 的二阶微分方程，所以只需要知道初始时刻t=0时的位置x 和速度v 即可求出以后任意时刻t 质点所处的位置，即x(t)，我们称之为轨迹。 需要强调的是一旦我们知道t=0时x 和v 的精确值（没任何误差），x(t)的取值也是精确的，即我们得到是对质点未来演化的精确预测，并且这个求 解对t<0也精确成立，这意味着我们还可精确地反演质点的历史。这些结论都是由数学理论严格保证的，即轨迹是一根理想的线。 经典的多粒子系统
1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即：
1光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 2光电效应有两个突出的特点：①存在临界频率ν0 ：只有当光的频率大于一定值v 0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。 3爱因斯坦光量子假说：光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= h ν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速 C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子 4康普顿效应：高频率的X 射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律：射光中，除了原来X 光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X 光，且λ' >λ；波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大 5戴维逊-革末实验证明了德布罗意波的存在 6波函数的物理意义：某时刻t 在空间某一点(x,y,z)波函数模的平方与该时刻t 该地点(x,y,z)附近单位体积内发现粒子的几率密度(通常称为几率)dw(x,y,z,t)成正比。按照这种解释，描写粒子的波是几率波 7波函数的归一化条件 1),,,( 2 ?∞=ψτd t z y x 8定态：微观体系处于具有确定的能量值的状态称为定态。定
态波函数：描述定态的波函数称为定态波函定态的性质：⑴由定态波函数给出的几率密度不随时间改变。⑵粒子几率流密度不随时间改变。⑶任何不显含时间变量的力学量的平均值不随时间改变 9算符: 作用在一个函数上得出另一个函数的运算符号，量子力学中的算符是作用在波函数上的运算符号。 10厄密算符的定义：如果算符 F ?满足下列等式() ? ?dx F dx F φψφψ**??=，则称F ?为厄密算符。式中ψ和φ为任意波函数，x 代表所有的变量，积分范围是所有变量变化的整个区域。 推论：量子力学中表示力学量的算符都是厄密算符。 11厄密算符的性质：厄密算符的本征值必是实数。厄密算符的属于不同本征值的两个本征函数相互正交。 12简并：对应于一个本征值有一个以上本征函数的情况。简并度：对应于同一个本征值的本征函数的数目。 13量子力学中力学量运动守恒定律形式是： 01=??????+??=H F i t F dt F d ?,?η 量子力学中的能量守恒定律形式是01=??????=H H i dt H d ?,??η 14 15斯特恩-革拉赫实验证明电子存在自旋理由 16黑体辐射揭示了经典物理学的局限性。 17玻尔的量子化条件：在量子理论中，角动量必须是h 的整数 的近似求解方法。 求出，由求出微扰论：由n n n n E E ψψ)0()0(
量子力学总结 第一部分 量子力学基础（概念） 量子概念 所谓“量子”英文的解释为：a fixed amount (一份份、不连续)，即量子力学是用不连续物理量来描述微观粒子在微观尺度下运动的力学，量子力学的特征简单的说就是不连续性。 描述对象：微观粒子 微观特征量 以原子中电子的特征量为例估算如下： ○1“精细结构常数”（电磁作用常数）， 1371~ 10297.73 2-?==c e α ○ 2原子的电子能级 eV a e me c e mc E 27~~02242 2 2==??? ? ?? 即：数10eV 数量级 ○ 3原子尺寸：玻尔半径： 53.0~2 2 0me a =?，一般原子的半径1?
○4速率：26 ~~ 2.210/137 e c V c m s c ?-? ○5时间：原子中外层电子沿玻尔轨道的“运行”周期 秒 160 0105.1~2~-?v a t π 秒 角频率16 102.4~~?a v c ω， 即每秒绕轨道转1016圈 （电影胶片21张/S ，日光灯频率50次/S ） ○6角动量： =??2 2 20~~e m me mv a J 基本概念： 1、光电效应 2、康普顿效应 3、原子结构的波尔理论 波尔2个假设： 定态轨道 定态跃迁 4、物质波及德布洛意假设（德布洛意关系）
“任何物体的运动伴随着波，而且不可能将物质的运动和波的传播分开”，认为物体若以大小为P 的动量运动时，则伴随有波长为λ的波动。 P h =λ，h 为普朗克常数 同时满足关系ω ==hv E 因为任何物质的运动都伴随这种波动，所以称这种波动为物质波（或德布罗意波）。 称P h h E v ==λ 德布罗意波关系 例题：设一个粒子的质量与人的质量相当，约为50kg ，并以12秒的百米速度作直线运动，求粒子相应的德布罗意波长。说明其物理意义。 答：动量v p μ= 波长m v h p h 3634101.1)1250/(1063.6)/(/--?=??===μλ 晶体的晶格常数约为10－10m ，所以，题中的粒子对应的德布罗意波长<<晶体的晶格常数，因此，无法观测到衍射现象。 5、波粒二象性 （1）电子衍射实验 1926年戴维逊（C ·J ·Davisson ）和革末（L ·H ·Gevmer ）第一个观察到了电子在镍单晶表面的衍射现象，证实了电子的波动性，求出电子的波长λ
序章基本背景知识 1、量子力学得基本要素就是:「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」(简单解说:粒子在任一时刻都具有一个「状态」,粒子具有得某些可测量得性质(位置、动量、角动量、自旋,etc)称为「可观测量」,而测量粒子得这些性质得过程就就是「观测行为」,俗称“做实验”) 2、初等量子力学得任务就是: (1)预测「对一个系统(“态”)进行实验(“观测”)得到得实验结果(观测结果)」 (2)寻找“态”随时间得「演化」规律 3、从旧量子论到现代量子力学: (1)普朗克能量量子化假设(1900年) (2)爱因斯坦光量子假说(1905年) (3)光得波粒二象性(1909年) (4)玻尔模型(1913年) (5)斯特恩-盖拉赫实验(1922年) (6)德布罗意假设:物质波假说,粒子动量(1924年) (7)乌伦贝克-古兹米特自旋假说;泡利不相容原理;海森堡-矩阵力学(1925年) (8)薛定谔-波动力学(1926年) 波函数统计诠释:就是概率密度函数,(1926年) (9)海森堡不确定性原理;玻尔得互补原理:观测影响状态(1927年) (10)态叠加原理;《量子力学原理》(狄拉克,1930年) 4、量子力学与经典力学得比较: 量子力学经典力学 研究对象在t时刻得位置 无法确定 只能确定在得出现概率 可以确定 t时刻得动量与速度 无法确定,速度无意义 只能确定具有得概率 且不可同时确定位置与动量 位置、动量与速度 同时确定 研究对象得状态得描述波函数(复函数) 或态矢量(复矢量) (实矢量函数) 状态得 演化方程 薛定谔方程(复系数方程) 牛顿第二定律(实系数方程)
量子力学诠释问题（一） 作者：孙昌璞( 中国工程物理研究院研究生院北京北京计算科学研究中心) 1 引言：量子力学的二元结构和其发展的二元状态上世纪二十年代创立的量子力学奠定了 人类认识微观世界的科学基础，成功地解释和预言了各种相关物理效应。然而，关于波函数的意义，自爱因斯坦和玻尔旷世之争以来众说纷纭，并无共识。直到今天，量子力学发展还是处在这样一种二元状态。对此有人以玻尔的“互补性”或严肃或诙谐地调侃之，以“shut up and calculate”的工具主义观点处之以举重若轻。这样一个二元状态主要是由于附加在玻恩几率解释之上的“哥本哈根诠释”之独有的部分：外部经典世界存在是诠释量子力学所必需的，是它产生了不服从薛定谔方程幺正演化的波包塌缩，使得量子力学二元化了。今天，虽然波包塌缩概念广被争议，它导致的后选择“技术”却被广泛地应用于量子信息技术的各个方面，如线性光学量子计算和量子离物传态的某些实验演示。早年，薛定谔曾经写信严厉批评了当时的物理学家们，他在给玻恩的信中写到：“我确实需要给你彻底洗脑……你轻率地常常宣称哥本哈根解释实际上已经被普遍接受，毫无保留地这样宣称，甚至是在一群外行人面前——他们完全在你的掌握之中。这已经是道德底线了……你真的如此确信人类很快就
会屈从于你的愚蠢吗？”1979 年，Weinberg在《爱因斯坦的错误》一文中批评了玻尔对测量过程的不当处理：“量子经典诠释的玻尔版本有很大的瑕疵，其原因并非爱因斯坦所想象的。哥本哈根诠释试图描述观测(量子系统)所发生的状况，却经典地处理观察者与测量的过程。这种处理方法肯定不对：观察者与他们的仪器也得遵守同样的量子力学规则，正如宇宙的每一个量子系统都必须遵守量子力学规则。”“哥本哈根诠释可以解释量子系统的量子行为，但它并没有达成解释的任务，那就是应用波函数演化方程于观察者和他们的仪器。”最近温伯格又进一步强调了他对“标准”量子力学的种种不满。在量子信息领域，不少人不加甄别地使用哥本哈根诠释导致的“后选择”方案，其可靠性令人怀疑！其实，在量子力学幺正演化的框架内，多世界诠释不引入任何附加的假设，成功地描述了测量问题。由于隐变量理论在理论体系上超越了量子力学框架，本质上是比量子力学更基本的理论，所以本文对Bell 不等式不作系统讨论。自上世纪八十年代初，人们先后提出了各种形式迥异的量子力学新诠释，如退相干、自洽历史、粗粒化退相干历史和量子达尔文主义，但实际上都是多世界诠释的拓展和推广。2 哥本哈根诠释及其推论哥本哈根诠释的核心内容是“诠释量子世界，外部的经典世界必不可少”。波函数描述微观系统的状态，遵循态叠加原理，即：如果|?1>
第一章 ⒈玻尔的量子化条件，索末菲的量子化条件。 ⒉黑体：能吸收射到其上的全部辐射的物体，这种物体就称为绝对黑体，简称黑体。 ⒎普朗克量子假说： 表述1：对于一定频率ν的辐射，物体只能以hν为能量单位吸收或发射电磁辐射。 表述2：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以量子的方式进行，每个量子的能量为：ε=h ν。 表述3：物体吸收或发射电磁辐射时，只能以能量ε的整数倍来实现，即ε，2ε，3ε，…。 ⒏光电效应：光照射到金属上，有电子从金属上逸出的现象。这种电子称之为光电子。 ⒐光电效应有两个突出的特点： ①存在临界频率ν0：只有当光的频率大于一定值v0 时，才有光电子发射出来。若光频率小于该值时，则不论光强度多大，照射时间多长，都没有光电子产生。 ②光电子的能量只与光的频率有关，与光的强度无关。光的强度只决定光电子数目的多少。⒑爱因斯坦光量子假说： 光(电磁辐射)不仅在发射和吸收时以能量E= hν的微粒形式出现，而且以这种形式在空间以光速C 传播，这种粒子叫做光量子，或光子。爱因斯坦方程 ⒒光电效应机理： 当光射到金属表面上时，能量为E= hν的光子立刻被电子所吸收，电子把这能量的一部分用来克服金属表面对它的吸引，另一部分就是电子离开金属表面后的动能。 ⒓解释光电效应的两个典型特点： ①存在临界频率v0：由上式明显看出，当hν- W0≤0时，即ν≤ν0 = W0 / h时，电子不能脱出金属表面，从而没有光电子产生。 ②光电子动能只决定于光子的频率：上式表明光电子的能量只与光的频率ν有关，而与光的强度无关。 ⒔康普顿效应：高频率的X射线被轻元素如白蜡、石墨中的电子散射后出现的效应。 ⒕康普顿效应的实验规律： ①散射光中，除了原来X光的波长λ外，增加了一个新的波长为λ'的X光，且λ' >λ； ②波长增量Δλ=λ-λ随散射角增大而增大。 ⒖量子现象凡是普朗克常数h在其中起重要作用的现象 ⒗光具有微粒和波动的双重性质，这种性质称为光的波粒二象性
量子力学基础简答题 1、简述波函数的统计解释； 2、对“轨道”和“电子云”的概念，量子力学的解释是什么？ 3、力学量G ?在自身表象中的矩阵表示有何特点？ 4、简述能量的测不准关系； 5、电子在位置和自旋z S ?表象下，波函数??? ? ??=ψ),,(),,(21z y x z y x ψψ如何归一化？解释各项的几率意义。 6、何为束缚态？ 7、当体系处于归一化波函数ψ(,) r t 所描述的状态时，简述在 ψ(,) r t 状态中测量力学量F 的可能值及其几率的方法。 8、设粒子在位置表象中处于态),(t r ψ,采用Dirac 符号时，若将ψ(,) r t 改写为ψ(,) r t 有何 不妥？采用Dirac 符号时，位置表象中的波函数应如何表示？ 9、简述定态微扰理论。 10、Stern —Gerlach 实验证实了什么？ 11、一个物理体系存在束缚态的条件是什么？ 12、两个对易的力学量是否一定同时确定？为什么？ 13、测不准关系是否与表象有关？ 14、在简并定态微扰论中，如 () H 0的某一能级) 0(n E ，对应f 个正交归一本征函数i φ（i =1，2，…， f ），为什么一般地i φ不能直接作为()H H H '+=???0的零级近似波函数？ 15、在自旋态χ1 2 ()s z 中， S x 和 S y 的测不准关系( )( )??S S x y 22?是多少？ 16、在定态问题中，不同能量所对应的态的迭加是否为定态Schrodinger 方程的解？同一能量 对应的各简并态的迭加是否仍为定态Schrodinger 方程的解？ 17、两个不对易的算符所表示的力学量是否一定不能同时确定？举例说明。 18说明厄米矩阵的对角元素是实的，关于对角线对称的元素互相共轭。 19何谓选择定则。 20、能否由Schrodinger 方程直接导出自旋？ 21、叙述量子力学的态迭加原理。 22、厄米算符是如何定义的？ 23、据[a ?，+ a ?]=1，a a N ???+=，n n n N =?，证明：1 ?-=n n n a 。 24、非简并定态微扰论的计算公式是什么？写出其适用条件。
量子力学的隐变量解释1935 年 5 月, 在 Physical Review 上 Einstein 和他的两位同事 B. Podolsky和 N. Rosen 共同发表了一篇名为「Can Quantum-Mechanical Description of Physical Reality Be Considered Complete?」 (量子力学对物理世界的描述是完备的吗?) 三个人异口同声地回答:「不!」.在这篇著名的文章中，作者首先阐述了他们对物理理论的看法：一个严谨的物理理论应该要区别「客观实体」(object reality) 以及这个理论运作的观点．客观实体应独立于理论而存在．在判断一个理论是否成功时，我们会问自己两个问题：(1) 这个理论是否正确? (2) 理论的描述是否完备?只有当这两个问题的答案是肯定时，这样的理论才是令人满意的．理论的正确性当由实验来决定．而关于量子力学的描述是否完备则是这篇文章探讨的主题．在进一步讨论理论的完备性之前，我们必须先定义什么是完备性．作者们提出了一项判别完备性的条件：每一个物理实体的要素必须在理论中有一对应物(every element of the physical reality must have a counterpart in the physical theory)因此我们决定了什么是「物理实体的要素」，那么第二个问题就容易回答了．那么，究竟什么是「物理实体的要素」呢? 作者们以为: 「如果，在不以任何方式干扰系统的情况下，我们能准确地预测(即机率为一)某一物理量的值，那么必定存在一个物理实体的要素与这个物理量对应．」他们认为，只要不把这个准则视为一必要条件，而看成是一充分的条件，那么这个判别准则同样适用于古典物理以及量子力学中对实在的概念．举例来说，在一维系统中，一个以波函数φ(x) = exp(ip0x/2πh) (其中 p0是一常数，i 表纯虚数，h 为Planck常数)描述的粒子．其动量的算符为 h d ,p = ------ ---- ,2(Pi)i dx,因此： pFI(x) = p0FI(x),所以动量有一确定的值 p0. 因此在这种情形下动量是一物理实体．反之，对位 置算符 q 而言，qFI = xFI ≠ aFI ,因此粒子的位置并没有一确定的值．它是不可预测的，仅能以实验测定之．然而任何一实验的测定都将干扰到粒子而改变其状态，被测后的粒子将再也不具动量 p0了．对于此情况，我们说当一粒子的动量确定时，它的位置并非一物理 实体．一般来说在量子力学中，对两个不可对易的可观察量(observable)而言，知道其中一个物理量的准确知识将排除对另外一个的准确知识.任何企图决定后者的实验都将改变系统的状态而破坏了对前者的知识．至此，作者们发现我们面临了如下的两难局面： (1)或者，在量子力学中波函数对物理实在的描述是不完备的． (2)或者，两个对应于不可对易算符的物理量不能同时是实在的(即具有确定的值)．因为，若两个不可对易的物理量同时具有确定的值，根据作者们对完备性的条件，在波函数的描述中应包含这些值．但事实上并非如此，
浅谈多媒体课件制作与中学物理教学 计算机技术的普及和发展，冲击着教育观念的改变和教学手段的提高。也成为新贯彻新课改的有力工具。为教育的现代化改革开拓了一个广阔的前景与空间，给优化课堂教学，构建新型的教学模式，提供了丰富的土壤。多媒体集文字、图形、图象、声音、动画、影视等各种信息传输手段为一体,具有很强的真实感和表现力，可以激发学生学习兴趣，可以动态地、对比地演示一些物理现象，极大地提高教与学的效率，达到最佳的教学效果。 随着计算机技术的迅猛发展及计算机的大量普及，很多中学配备了微机室、专用多媒体教室，建立电教中心，为计算机辅助教学（CAI）打下了硬件基础。CAI在现代教学中有着重要的地位，如何充分发挥CAI在中学教学中的作用，是摆在广大中学教育工作者面前的一个重要课题。笔者就CAI在中学物理教学中的应用以及对中学物理教学中的影响谈几点拙见。 一个优秀的CAI课件应充分地发挥计算机多媒体的特点，在制作过程中应注重视听教学的特征，突出启发教学，还应注重教学过程的科学性和合理性，应做到构图合理、美观，画面清晰、稳定，色彩分明、色调悦目，动画流畅，真实感强，解说清晰动听，功能丰富，演播运行安全可靠。 一．在制作多媒体CAI课件时应具备以下几点： ⒈加强课前研究，建立素材资源库 课前研究是教学的准备，只有课前进行充分的研究，才能取得理想的教学效果。在备课过程中，走素材资源库和制作平台相结合的思路。物理教师应根据教学实际，充分利用现有条件下的网络信息资源素材库和教学软件，以及相关的CD、VCD资源，选取适合教学需要的内容来制作自己的课件，从而适应不同教学情境的需要。同时，教师可在Internet上建立自己的网站，把以网页浏览形式制作的CAI课件、教案、论文等放在该网站中，并把在教学过程中制作的每一个课件链接起来，从而逐步建立一个完整的教学课件体系。 2.选择合适的制作工具 为了创作出一个成功的多媒体CAI课件，工具选择得好可以大大地加快开发进程，节省开发人力和资金，有利于将主要精力投入到脚本和软件的设计中去。选择多媒体制作工具，主要应从以下几个方面综合考虑：编程环境、超级链接能力、媒体集成能力、动画创作能力、易学习性、易使用性、文档是否丰富等 3.应充分发挥交互作用
2、量子力学与热力学中的随机性 戴维斯指出，在宇宙学情况下，初始奇点的随机性（即“分子混沌”）导致宇宙的时间不可逆性，混沌粒子运动是大爆炸过程中光滑宇宙流体的一个特点。如果宇宙重新收缩，终极奇点态是混沌的或随机的而不是高度有序的（块状的），这与安置在一个假想的霍金盒子中的黑洞的情形相反，在那里奇点的随机形成和随即消失带来的是时间的对称性，这种黑洞奇点的随机性是内在随机的。在宇宙学的情况下，终极奇点被赋予由宇宙动力学支配的奇点，所以塌缩到视界内的宇宙不是黑洞。但是，宇宙终极奇点如何不同于黑洞奇点，以及宇宙是否真的象戴维斯所期望的那样振荡不息，这是一个没有澄清的问题。我们认为，只有搞清各种势在决定量子波函数演化过程中如何影响从过去向未来演化的提供波ψ(t)和从未来像过去倒转演化的确认波ψ*(-t)的几率幅；特别是在各种奇点附近，由魏尔曲率决定的引力势如何影响量子波在时间两个方向上的演化几率，才能解决宇宙演化的最后结局。 引力论与量子论相统一的理论还遥遥无期，宇宙论和量子论的时间之矢已然浮现，但远未被澄清。但是，对热力学第二定律的理解却在进一步深化，这特别归功于以普里高津为首的布鲁塞尔学派的工作。普里高津提出的耗散结构论对热力学第二定律提出了新的理解：（1）热力学第二定律并不是在经典动力学基础之上的宏观近似，而是动力学的基本原理，可以从它开始建立动力学的更一般的形式体系；（2）热力学第二定律并不意味着热力学系统的单向退化，它也是进化的原动力，熵最大状态只是演化的终态，而在演化过程中，不可逆性导致自组织的出现。在远离平衡态的非线性体系中，通过耗散机制可以导致类似生命现象的复杂结构出现。走向复杂化的进化过程在一定范围内与热力学不可逆过程一致。 普里高津指出，不可逆理论的构建方式有：（1）存在着不可逆理论，它们出于描述观察到的宏观不可逆性的明显目的而被构建出来，如热力学，扩散理论等等。（2）通过引入隐含不可逆性的几率假定，从可逆的动力学方程中推导出不可逆性的理论。例如，在处理具有大数目的系统时，人们抛弃了动力学观点，而把碰撞事件或一系统状态的改变看作是马尔代夫类型的随机过程，即在某种瞬间发生的事件只依赖于那个瞬间的状态而根本不依赖于过去的历史。于是，粒子碰撞造成的不稳定性动力学关联在微观状态被打破，抹去了粒子过去运动的信息。分子运动论和统计力学就是这样构建出来的。（3）还有一些理论，它们基于时间反演不变的理论，但通过引入初始条件或通过t的拉普拉斯变换，从而成为不可逆理论，宇宙学的时间箭头就是这样引入的。 普里高津认为，几率分布允许我们在动力学描述的框架内把相空间复杂的微观结构包括进去。因此，它包含附加的信息，此种信息在个体轨道的层次上不存在。因为对于具有对初始条件敏感性的不稳定系统，个体轨道变得不可计算，只能给出多种运动形式的几率分布。于是，在分布函数ρ的层次上，我们得到一个新的动力学描述，它允许我们预言包含特征时间尺度的系统的未来演化，这在个体轨道层次上是不可能的。个体层次与统计层次间的等价性被打存了。而对于稳定体系，“个体”层次（对应于单个轨道）和“统计”层次（对应于系统）是等价的。在不可积动力学体系中，个体的某一轨道可以对应于不同的系统分布ρ，而同一系统分布ρ可以对应不同的个体轨道，过去和未来的不对称性在系统层面上涌现出来，它意味着时间反演的初始系统分布是低几率的。普里高津认为宏观的时间方向是一种突现现象，同时又主张寻求微观不可逆过程的理论描述。 概率随机性被引入物理学，第一次是热力学，第二次是量子力学。然而，这两次引入却被认为具有非常不同的含义。在热力学中，随机性被认为是主观引入的，而在量子力学中，随机性被认为是客观的，具有不可还原的终极意义。将热力学第二定律作为一个基本的事实，意味着微观层次的随机性也应该是客观而非主观的，终极的非表面的。普里高津坚决反对熵和
序章基本背景知识 1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年）（2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年）（4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p =（1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 ψ是概率密度函数， 12 =ψ? ∞ ∞ -dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年）
4.量子力学与经典力学的比较： *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态ψ的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节
量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系
目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6)
对称性原理在物理学中的表现形式 在近代科学的开端，哥白尼对日心说的数学结构做了美学说明和论证，他从中看到令人惊异的“对称性”与“和谐联系”——这可以说是科学美学的宣言书.开普勒醉心于宇宙的和谐，他在第谷的庞杂数据中清理出具有美感的行星运动三定律，并由衷地感到难以置信的狂喜和美的愉悦.伽利略对落体定律的揭示，在纷繁的事实多样性中求得统一的定律.牛顿的严整而简单的力学体系把天地间的万物运动统摄在一起，他推崇和倡导节约原理，并认为上帝最感兴趣的事情是欣赏宇宙的美与和谐.这一切，谱写了近代科学的美的协奏曲.以相对论和量子力学为代表的现代科学，更是把科学审美发挥到了极致.撇开这些理论的抽象的理性美和雅致的结构美不谈，令人叫绝的是，数学实在和物理实在之间的（神秘的）一致是由群的关系保证的，科学理论中审美要素的存在是由群的真正本性决定的——对称性或不变性（协变性，invariance）之美跃然纸上！ (1)经典物理学中的对称性原理 在原始的意义上，对称是指组成某一事物或对象的两个部分的对等性.物理是研究客观世界的最基本规律的一美科学，而它们在很多方面存在着对等性，例如：正电荷和负电荷、电荷的负极与正极、光速的可逆性、空间与时间、正功与负功、质子与中子、电子与正电子等均具有对称性.万有引力公式F=GMm/r2与静电力公式F=KQ1Q2/r2，弹性势能公式E=0.5kx2与动能公式E=0.5mv2，凸透镜成象公式1/u+1/v=1/f与并联电阻公式1/R1+1/R2=1/R、弹簧串联公式1/k1+1/k2=1/k，欧姆定律公式I=U/R与压强公式P=F/S、密度公式ρ=m/V 、电场强度E=F/Q、电压U=W/Q与电容C=Q/U，安培力F=BIL与电功W=Uit，重量G=ρgV与热量Q=cm Δt等均具有相似性根据这些相似性.开普勒用行星轨道的椭圆对称性代替了古希腊人所坚持的圆形对称性, 开普勒第一定律：每个行星都沿椭圆轨道运行，太阳就在这些椭圆的一个焦点上. 物理学中有一些规律属于基本定律，它们具有支配全局的性质，掌握它们显然是极端重要的.例如力学中的牛顿定律是质点、质点组机械运动（非相对论）的基本定律，电磁学的麦克斯韦方程组是电磁场分布、变化的基本定律，物理学中还有另外一种基本定律的表述形式，这就是最小作用原理（变分原理），它可表述为系统的各种相邻的经历中，真实经历使作用量取极值.可以看出最小作用原理的表述形式与牛顿定律、麦克斯韦方程组的表述形式极不相同.牛顿定律告诉我们，质点此时此刻的加速度由它此时此刻所受的力和它的质量的比值决定；麦克斯韦方程组告诉我们，此时此刻的电场分布由此时此刻的电荷分布以及此时此刻的磁场的变化决定，此时此刻的磁场分布由此时此刻的电流分布以及此时此刻的电场