)
()(x x V γδ-=束缚态和散射态
量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态
束缚态：在势阱中E 散射态：是能量连续的态，此时能量间隔趋于 0，态函数是自由粒子平面波的叠加。对势垒散射问题和部分势阱问题，一般要考虑散射态的存在 在通常的教材中，束缚态问题和散射问题一般是不同边界条件分别处理的。实际上二者有极其密切的联系。下面将予以讨论 2、δ势阱中的束缚态 对δ势阱，有 )()(x x V γδ-=，)0(>γ 见右图。 在0≠x 处，0)(=x V 。 0>∴E 为游离态（自由态），E 可取任何连续值。 0 取分立值。以下讨论0 情况。 定态Schrodinger 方程为， 0)]([2d d 222=++ψγδψx E m x 积分?-→+ ε ε εx d lim 0 可得出δ势阱跃变条件， )0(2)0(')0('2 ψγ ψψ m - =--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγ ψψ m =--+ 在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为 0)(''2=-ψβψx 其中02>-= mE β，)0( 利用边界条件可以知道以上两结论是一致的。 考虑到)()(x V x V =-，要求束缚定态有确定宇称（不简并，因为是一维）， (a)偶宇称态 ???<>=-0 )(x ce x ce x x x ββψ 或写成||)(x ce x βψ-= c 为归一化因子。现在根据跃变条件求解。 按'ψ的跃变条件， c m c c ?-=--2/2 γββ 2/ γβm =∴ 因此可得出粒子能量的本征值 22 22022 γβm m E E -=-== 由归一化条件?∞ ∞ -==1/||d ||22βψc x ， 可得出L m c /1/2=== γβ， γm L /2 =是势的特征长度。 这样归一化的束缚定态波函数可写为 L x e L x /||1)(-= ψ 这是δ势阱中的唯一束缚态。 属于能量22 02 γm E -=。 在L x ≥||中找到粒子的几率为 1353.0d |)(|222==-∞ ?e x x L ψ (b)奇宇称态 波函数可表为 ???<->=-0 )(x Ae x Ae x x x ββψ 由0=x 点波函数连续性条件可得0=A ，所以不可能存在奇宇称束缚定态。 从物理上考虑，奇宇称态在波函数0=x 点必为0。而δ势阱又恰在点0=x 起作用。 所以δ势阱对奇宇称态没有影响，故而不能形成束缚态（参见P60思考题）。 2、δ势与方势的关系，'ψ跃变的条件 δ势是一种短程相互作用的理想模型，可堪称方位势的一种特殊情况，原则上，它可以从方势的解取极限而得到。 从δ势求解更为方便。'ψ不连续，但粒子流密度x j 连续。 以下仅讨论'ψ的跃变条件。 考虑粒子对方势垒的散射。 ???><=ε ε ||0 ||)(0 x x V x V 在其内部，Schrodinger 方程为 0)(2d d 2 022 =--ψψ E V m x 考虑粒子能量0V E <情况，在势垒内部（ε<||x ），波函数可表为 x x Be Ae x κκψ-+=)( 其中 /)(20E V m -=κ。 显然B A +=)0(ψ，而且)('x x Be Ae κκκψ--=。 现在让∞→0V ，0→ε，而对δ势垒，??--==ε ε ε ε γγδx x x x V d )(d )(（？） 若保持γε=02V （常数），则方势垒将趋于一个δ势垒)(x γδ。 利用)()('κεκεκεψ--=Be Ae ，)()('κεκεκεψBe Ae -=--得， )()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=---- 当+→0ε，∞→0V （保持γε=02V ）时， 0/20→→ mV εκε 但 2202//2 γεεκm mV →→ 且当0→ε时，κεκε±→±1e 代入)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----， 由)()()(')('κεκεκεκεκκεψεψe e B e e A ---=----得 [][])0(2)(2lim )2()2(lim )(')('lim 22 0ψγ εκκεκκεκεψεψεεε m B A B A = +=+=--+ + + →→→ 即)0(2)0(')0('2 ψγ ψψ m = --+ 此恰为前述'ψ的跃变条件。 2、束缚能级与透射振幅极点的关系 束缚能级与散射问题有着密切的关系。下面以一维势阱为例进行分析。 散射问题中我们取0>E ，而在势阱束缚态的0 对0>E 的透射振幅，1 21-?? ? ??+=k im S γ 如把0>E 的透射振幅解析延拓到0 先讨论δ函数势阱， )()(x x V γδ-=，)0(>γ 此时透射振幅由 1 21-??? ??+=k im S γ→1 21-?? ? ??-=k im S γ 其中 /2mE k =，)0(>E 。 （注意已将势垒透射振幅表达式中的γγ-→） 如解析延拓到E <0能阈（k 为虚），由1 21-?? ? ??-=k im S γ，则S 有单 极点（一阶极点2 γ im k = ）。 此时，22 2222 γm m k E -== 由前可知，此恰为δ势阱的唯一束缚能级。 对于方势阱，其解析延拓情况可参阅教材相关内容。 作业：p82 13 §3.5 一维谐振子 经典物理的谐振子模型：分子的振动、晶格的振动、原子核表面振动以及辐射场的振动等 量子物理的谐振子模型：黑体辐射 场量子化 等， 把场中的粒子看作谐振子 一维谐振子的本征值问题是处理量子力学问题的最基本的范例。 一、势函数 选线性谐振子的平衡位置为坐标原点，以坐标原点为零势能 点，则一维线性谐振子的势能为： 2222 1 21)(x m kx x V ω== m 是粒子的质量 k 是谐振子的劲度系数 m k = ω是谐振子的角频率 二、薛定谔方程及解 0)]([222 2=-+ψψx V E m x d d 或0]2 1 [222222=-+ψωψx m E m x d d 理想的谐振子是一个无限深势阱。因为∞→||x 时，∞→)(x V ， 0)(→x ψ为束缚态。 为化简上述方程，便于求解，引进无量纲参数， x αξ=， /ωαm =，ωλ /2E = 上述方程可化为 0)()()(d d 2 22=-+ξψξλξψξ 这是个变系数常微分方程。 （1）先讨论±∞→ξ行为，求渐进解（此时λ可略去） 对方程0)()(d d 222 =-ξψξξψξ 其解显然可以写为22 1~)(ξξψ±e ，因为 )()('ξξψξψ±=，)()()(''2ξψξψξξψ±=)(2ξψξ≈ 根据束缚态边界条件，有22 1~)(ξξψ-e ， （2）求实际解 利用)()(2/2 ξξψξu e -=，有， 2 /2/2/2 22d d )(d d )(d d ξξξξξξξ ξξξψ---????? ?+-=+-=e u u u e u e 2/222 2 22d d )(d d 2)(d d ξξξξξξξξψ-????? ?++--=e u u u u 代入方程（4）得所满足的方程， 0)()1(d d 2d d 22=-+-ξλξ ξξu u u 这就是所谓的Hermite 方程。 0=ξ为方程的常点。可在0=ξ邻域用幂级数展开。 计算表明，一般情况下解为无穷级数。 当∞→||ξ时，2 ~)(ξξψe ，不能满足有界条件。 为得到有界解，幂级数要求中断为一多项式。 可以证明，当12+=n λ时可以得出一多项式解 )()(ξξn n H u = 此时??? ???? -==+=+==-22d d )1()()()2 1()21(ξ ξξξξνωe e H u h n n E E n n n n n n ， n = 0, 1, 2, … 第二项称为n 界厄米多项式，宇称为n (-1)（？） 满足下列递推关系， ??? ? ? =+-=-+-0 )(2)(2)()(2d )(d 111ξξξξξξξn n n n n nH H H nH H )(ξn H 是ξ的n 次多项式。 ??? ????-=== 24)(2)(1 )(2 21 0ξξξξξH H H 归一化波函数为)()(222 1 x H Ae x n x n αψα-=， 是一个实函数 其中2 /1!2?? ? ??=παn A n 。 在求归一化系数A 时，要用到厄米多项式的正交关系， mn n m n n H H e δπξξξξ!2d )()(2 =?∞ ∞ -- 所以归一化波函数为 2 222)(d d )1(!2)(n 2/2 /1x n x n n n e x e n x αααπαψ--?? ? ??= 最常用的几个态， 0=n ，基态，ω 210=E ，2 221 2 /10)(x e x απαψ-?? ? ??=（偶宇称） 1=n ，第一激发态，ω 231=E ，222 1 2 /11)(x xe x ααπαψ-??? ??-=（奇宇称） 2=n ，第二激发态，ω 252=E ，2221 2 22 /12)12(2)(x e x x ααπαψ--?? ? ??=（偶 宇称） 线性谐振子波函数 线性谐振子位置概率密度 线性谐振子 n =11 时的概率密度分布 虚线代表经典结果： 经典谐振子在原点速度最大，停留时间短 粒子出现的概率小； 在两端速度为零，出现的概率最大。 讨论： ①微观一维谐振子能量量子化 ω )2 1 (+=n E n ， ,2,1,0=n 能量特点： (1)量子化，等间距 νh E =? (2)有零点能 2 10ω =E 符合不确定关系 概率分布特点: E < V 区有隧道效应 ②基态的性质 零点能ω 2 10=E 这是束缚态的一个典型特征，是测不准原理的一个直接结果。 基态位置概率分布 2 220|)(|x e x α π αψρ-= = 是个Gauss 分布 量子：在x = 0 处概率最大 2 2π )()(2 00x e x x W α α -= Φ= 在其它范围也能找到粒子。 经典：在0=x 处的粒子速率最大，概率最小。 基态谐振子只允许在1||-≤αx （1||≤ξ）的区域中运动，而1||-≥αx 为经典禁区。 在1||=x α处，势能 ωωωα 2 1 )/(21/2121)(222==== m m k kx x V 为总能量。 1~-αx 为振动转折点，1||->αx 属于经 典禁区。 见右图。 但按照量子力学观点，粒子仍有一定几率出现在这个区域。容易算出此几率为 16.0d /d 0 1 2 2 ≈??∞ -∞ -ξξξξe e 如图所示。 当∞→n 时， 量子概率分布过渡到经典概率分布 符合玻尔对应原理 ③跃迁有选择定则： 1±=?n 跃迁只能逐级进行 各跃迁发出的谱频率相同，只有一条谱线 例题：设粒子处在一维无限深势阱中， ?? ?>∞ <=2 /||2 /||0)(a x a x x V 处于基态1=n ，求粒子的动量分布。 解：分析——由)(x V 对称，解为偶宇称态，很容易求出此对称方势阱当1=n 时的波函数)(1x ψ。这是粒子按照位置的分布。按照动量的分布只要作Fourier 变换即可。 可以求得 ??? ????> < ??? ??=2||02||cos 2)(1a x a x a x a x πψ 而?∞ ∞ --=x e x p px i d )(21 )(1 ψπ? 或?∞ ∞ --= x e x k f kx d )(21 )(1 ψπ ，（k p =） 则动量在p p p d +→间的几率为k k f p p d |)(|d |)(|22=?。 其中 2 /2 /)()(2 /1)() (2 /12 /1)()()(21d 212)2(d 2 2)2(1 )(a a k a ix k a ix k a ix k a ix ikx x a i x a i k a i e k a i e a x e e a x e e e a k f -+---∞ ∞-----∞ ∞ ---??? ?????????+--=?? ????+?=+= ?? ππππππππππ π （注意：这里不能用δ函数来表示上述积分） 2 2 2/1) 22()22()22() 22(2/1)(2cos 2)()(2sin 2)()(2sin 2)(21)()()(21)(ak ka a k a i k a a i k a i k a a i a k a i e e k a i e e a k f ka i ka i ka i ka i -=??? ?????????+++--=??? ?? ???????+----=--+----ππππππππππππ 2 cos ))((4|)(|22 222ka ak a k f -= ∴ ππ 作业：P81-82 6, 8, 11 量子力学中几种表象及其之间的关系 摘要 体系的态可以用以坐标为变量的波函数ψ(x,t)来描写，力学量则以作用在这种波函数上的算符（量子力学中的算符代表对波函数的一种运算）来表示，这是量子力学中态和力学量的一种具体表述方式。态还可以用其他变量的函数作为波函数来描写体系的状态。 微观粒子体系的状态（量子态）和力学量的具体表示形式称为表象。 常用的表象有坐标表象、动量表象和能量表象。 而研究量子力学规律的各种表示形式以及这些不同形式之间的变换的理论，则称为表象理论。 关键词 态的表象 坐标表象 动量表象 Q 表象 算符表象 角动量表象 正文 体系的态既可用以x （表示全部坐标变量）为变量的波函数ψ(x,t)来描写，也可用以动量p 为变量的波函数c(p,t)来描写。ψ(x,t)和c(p,t)之间的变换关系是 式中 是动量的本征函数， dx x t x t p c dp x t p c t x p p )(),(),()(),(),(*ψ?=?=ψψψ /2 /1)2(1)(ipx p e x -=πψ 称ψ(x,t)是在坐标表象中的波函数，而c(p,t)是同一态在动量表象中的波函数。 由ψ(x,t)可知，粒子坐标在x 到x+dx 之间的概率 c 由(p,t ）可知，粒子动量在p 到p+dp 之间的概率 如果ψ(x,t)所描写的状态是具有动量p ’的自由粒子的状态，即ψ(x,t)=ψp ’(x,t),则 在动量表象中，粒子具有确定动量p ’的波函数是以动量p 为变量的δ函数。 那么，态在任意力学量Q 的表象中的描写方式又是什么样呢？ 设力学量Q 具有分立的本征值Q1,Q2,…Qn …，对应的本征函数为u1(x),u2(x),…,un(x),…,并组成正交归一的完全系。将态在坐标表象中的波函数ψ(x,t)按{un(x)}展开成 dx t x dx t x w 2 ),(),(ψ=dp t p c dp t p w 2 ),(),(=dx e x x dx x t x t p c t iEp p p p p /''')()()(),(),(-**?=ψ?=ψψψ /')'(t iEp e p p --=δ) ()(),(x u t a t x n n n ∑=ψ 第六章 散射 1．粒子受到势能为 2 )(r a r U = 的场的散射，求S 分波的微分散射截面。 [解] 为了应用分波法，求微分散射截面，首先必须找出相角位移。注意到第l 个分波的相角位移l δ是表示在辏力场中的矢径波函数l R 和在没有散射势时的矢径波函数l j 在∞→r 时的位相差。因此要找出相角位移，必须从矢径的波动方程出发。 矢径的波动方程是： 0))1()((12 2 22=+--+??? ??l l R r l l r V k dr dR r dr d r 其中l R 是波函数的径向部分，而 E k r U r V 2 2 2 2),(2)( μμ= = 令 r r x R l l )(= ，不难把矢径波动方程化为 02)1(222 2=??? ??-+-+''l l x r r l l k x μα 再作变换 )(r f r x l =，得 0)(221)(1)(22 2 2 =???? ??? ? ?+??? ? ? +- +'+''r f r e k r f r r f μα 这是一个贝塞尔方程，它的解是 ) ()()(kr BN kr AJ r f p p += 其中 2 2 2 221 μα+??? ?? +=l p 注意到 ) (kr N p 在0→r 时发散，因而当0→r 时波函数 ∞ →= r N R p l ，不符合波函数的标准条件。所以必须有0=B 故 ) (1kr J r A R p l = 现在考虑波函数l R 在∞→r 处的渐近行为，以便和l j 在∞→r 时的渐近行为比较，而求 得相角位移l δ，由于： ) 2 sin(1)4 2 sin(1)(l l kr r p kr r r R δππ π+- = + - → ∞→ ????????????? ? ? +-+??? ?? +-=++-=∴ 2122122422 2l d l l p l μππ ππδ 当l δ很小时，即α较小时，把上式展开，略去高次项得到 ??????? ?? ?+ -=2122 l l μα πδ 又因 l i i e l δδ212=- 故 ∑∞ =-+= 2) (c o s )1)(12(21)(l l i P e l ik f l θθδ ∑∞ =?? ???? ??+-+=02) (cos 122)12(21l l P l i l ik θμαπ ∑∞ =- =0 2 ) (cos l l P k θπμα 注意到 ?????? ?≤???? ??≥???? ??=-+=∑∑∞=∞=02 121202 1121212 22112 )(cos 1)(cos 1cos 21 1 l l l l l l r r P r r r r r P r r r r r r r r 当当θθθ 如果取单位半径的球面上的两点来看 则 121==r r ，即有 ∑∞ == = -0 2sin 21)(cos ) cos 1(21l l P θθθ 故 2s i n 21)(2 θ πμα θ k f - = 微分散射截面为 《量子力学》课程教学大纲 一、课程说明 （一）课程名称、所属专业、课程性质、学分； 课程名称：量子力学 所属专业：物理学专业 课程性质：专业基础课 学分：4 （二）课程简介、目标与任务； 课程简介： 量子理论是20世纪物理学取得的两个（相对论和量子理论）最伟大的进展之一，以研究微观物质运动规律为基本出发点建立的量子理论开辟了人 类认识客观世界运动规律的新途径，开创了物理学的新时代。 本课程着重介绍《量子力学》（非相对论）的基本概念、基本原理和基本方法。课程分为两大部分：第一部分主要是讲述量子力学的基本原理（公 设）及表述形式。在此基础上，逐步深入地让学生认识表述原理的数学结构， 如薛定谔波动力学、海森堡矩阵力学以及抽象表述的希尔伯特空间的代数结 构。本部分的主要内容包括：量子状态的描述、力学量的算符、量子力学中 的测量、运动方程和守恒律、量子力学的表述形式、多粒子体系的全同性原 理。第二部分主要是讲述量子力学的基本方法及其应用。在分析清楚各类基 本应用问题的物理内容基础上，掌握量子力学对一些基本问题的处理方法。 本篇主要内容包括：一维定态问题、氢原子问题、微扰方法对外场中的定态 问题和量子跃迁的处理以及弹性散射问题。 课程目标与任务： 1. 掌握微观粒子运动规律、量子力学的基本假设、基本原理和基本方 法。 2．掌握量子力学的基本近似方法及其对相关物理问题的处理。 3．了解量子力学所揭示的互补性认识论及其对人类认识论的贡献。 （三）先修课程要求，与先修课与后续相关课程之间的逻辑关系和内容衔接； 本课程需要学生先修《电磁学》、《光学》、《原子物理》、《数学物理方法》和《线性代数》等课程。《电磁学》和《光学》中的麦克斯韦理论最终统一 了光学和电磁学；揭示了任意温度物体都向外辐射电磁波的机制，它是19 世纪末人们研究黑体辐射的基本出发点，对理解本课程中的黑体辐射实验及 紫外灾难由于一定的帮助。《原子物理》中所学习的关于原子结构的经典与 半经典理论及其解释相关实验的困难是导致量子力学发展的主要动机之一。 《数学物理方法》中所学习的复变函数论和微分方程的解法都在量子力学中 有广泛的应用。《线性代数》中的线性空间结构的概念是量子力学希尔伯特 空间的理论基础，对理解本课程中的矩阵力学和表象变换都很有助益。 （四）教材与主要参考书。 [1] 钱伯初, 《理论力学教程》, 高等教育出版社; （教材） [2] 苏汝铿, 《量子力学》, 高等教育出版社; [3] L. D. Landau and E. M. Lifshitz, Non-relativistic Quantum Mechanics; [4] P. A. M. Dirac, The Principles of Quantum Mechanics, Oxford University Press 1958; 二、课程内容与安排 第一章微观粒子状态的描述 第一节光的波粒二象性 第二节原子结构的玻尔理论 第三节微观粒子的波粒二象性 第四节量子力学的第一公设：波函数 （一）教学方法与学时分配：课堂讲授；6学时 （二）内容及基本要求 主要内容：主要介绍量子力学的实验基础、研究对象和微观粒子的基本特性及其状态描述。 【重点掌握】： 1.量子力学的实验基础：黑体辐射；光电效应；康普顿散射实验；电子晶体衍射 序章基本背景知识 1、量子力学得基本要素就是:「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」(简单解说:粒子在任一时刻都具有一个「状态」,粒子具有得某些可测量得性质(位置、动量、角动量、自旋,etc)称为「可观测量」,而测量粒子得这些性质得过程就就是「观测行为」,俗称“做实验”) 2、初等量子力学得任务就是: (1)预测「对一个系统(“态”)进行实验(“观测”)得到得实验结果(观测结果)」 (2)寻找“态”随时间得「演化」规律 3、从旧量子论到现代量子力学: (1)普朗克能量量子化假设(1900年) (2)爱因斯坦光量子假说(1905年) (3)光得波粒二象性(1909年) (4)玻尔模型(1913年) (5)斯特恩-盖拉赫实验(1922年) (6)德布罗意假设:物质波假说,粒子动量(1924年) (7)乌伦贝克-古兹米特自旋假说;泡利不相容原理;海森堡-矩阵力学(1925年) (8)薛定谔-波动力学(1926年) 波函数统计诠释:就是概率密度函数,(1926年) (9)海森堡不确定性原理;玻尔得互补原理:观测影响状态(1927年) (10)态叠加原理;《量子力学原理》(狄拉克,1930年) 4、量子力学与经典力学得比较: 量子力学经典力学 研究对象在t时刻得位置 无法确定 只能确定在得出现概率 可以确定 t时刻得动量与速度 无法确定,速度无意义 只能确定具有得概率 且不可同时确定位置与动量 位置、动量与速度 同时确定 研究对象得状态得描述波函数(复函数) 或态矢量(复矢量) (实矢量函数) 状态得 演化方程 薛定谔方程(复系数方程) 牛顿第二定律(实系数方程) 近代物理学史论文题目：量子力学发展脉络及代表人物简介 姓名： 学号： 学院： 2016年12月27 量子力学发展脉络 量子力学是研究微观粒子运动的基本理论，它和相对论构成近代物理学的两大支柱。可以毫不犹豫的说没有量子力学和相对论的提出就没有人类的现代物质文明。而在原子尺度上的基本物理问题只有在量子力学的基础上才能有合理地解释。可以说没有哪一门现代物理分支能离开量子力学比如固体物理、原子核粒子物理、量子化学低温物理等。尽管量子力学在当前有着相当广阔的应用前景，甚至对当前科技的进步起着决定性的作用，但是量子力学的建立过程及在其建立过程中起重要作用的人物除了业内人对于普通得人却鲜为人知。本文主要简单介绍下量子力学建立的两条路径及其之间的关系及后续的发展，与此同时还简单介绍了在量子力学建立过程中起到关键作用的人物及其贡献。 通过本文的简单介绍使普通人对量子力学有个简单认识同时缅怀哪些对量子力学建立其关键作用的科学家。 旧量子理论 量子力学是在旧量子论的基础上发展起来的旧量子论包括普朗克量子假说、爱因斯坦光电效应光电子假说和波尔的原子理论。 在19世纪末，物理学家存在一种乐观情绪，他们认为当时建立的力学体系、统计物理、电动力学已经相当完善，而剩下的部分不过是提高重要物理学常数的观测精度。然而在物理的不断发展中有些科学家却发现其中存在的一些难以解释的问题，比如涉及电动力学的以太以及观测到的物体比热总小于能均分给出的值。对黑体辐射研究的过程中，维恩由热力学普遍规律及经验参数给出维恩公式，但随后的研究表明维恩公式只在短波波段和实验符合的很好，而在长波波段和实验有很大的出入。随后瑞利和金森根据经典电动力学给出瑞利金森公式，而该公式只在长波波段和实验符合的很好，而在短波波段会导致紫外光灾。普朗克在解决黑体辐射问题时提出了一个全新的公式普朗克公式，普朗克公式和实验数据符合的很好并且数学形式也非常简单，在此基础上他深入探索这背后的物理本质。他发现如果做出以下假设就可以很好的从理论上推导出他和黑体辐射公式：对于一定频率f的电磁辐射，物体只能以hf为单位吸收 [波谱学讲义-核磁共振]ch2-核磁共振的理论描述(S1量子力学基础) 核磁共振波谱学 第二章核磁共振的理论描述 同Bloch方程不同，density matrix formalism 可以严格描述核自旋体系的动力学过程。 2.1 量子力学基础 一基本假设 第一条基本假设： 微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函数可得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性。 第二条基本假设： 力学量用厄密算符表示。 1 算符：运算符号，作用于函数，结果还是函数 2 如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表达式中将动量p换成算符i ?得出。 L r p L r p i r =?→=?=-?? 3 厄密算符满足：对于任意的两个函数，ψ,φ ψφψφ* * ??= ( )F dx F dx 4 本征值方程： F φλφ= F 在本征态中的观察值为其本征值。本征函数族满足正交性，厄密算符的本征函数族有完备性。 厄密算符的本征值为实数。 第三条假设： 态迭加原理：当φ1、φ2、…φn …是体系的可能状态时，它们的线性迭加ψ也是体系的一个可能的状态；也可以说，当体系处于态ψ时，体系部分地处在φ1、φ2、…φn …中。 将体系的状态波函数ψ用厄密算符 F 的本征函数φn 展开 ( F n n n φλφ=)： ψ=∑c n n n φ 则在态ψ中测量力学量F 得到结果为λn 的几率是c n 2，力学量F 的平均值为 F F d d c n n n ==** ??∑ψψτψψτ λ 2 第四条基本假设： 体系的状态波函数满足薛定谔方程：i t H ?ψ?ψ= H 是体系的哈密顿算符。 1. 你认为Bohr 的量子理论有哪些成功之处？有哪些不成功的地方？试举一例说明。 (简述波尔的原子理论，为什么说玻尔的原子理论是半经典半量子的？) 答：Bohr 理论中核心的思想有两条：一是原子具有能量不连续的定态的概念；二是两个定态之间的量子跃迁的概念及频率条件。首先，Bohr 的量子理论虽然能成功的说明氢原子光谱的规律性，但对于复杂原子光谱，甚至对于氦原子光谱，Bohr 理论就遇到了极大的困难（这里有些困难是人们尚未认识到电子的自旋问题），对于光谱学中的谱线的相对强度这个问题，在Bohr 理论中虽然借助于对应原理得到了一些有价值的结果，但不能提供系统解决它的办法；其次，Bohr 理论只能处理简单的周期运动，而不能处理非束缚态问题，例如：散射；再其次，从理论体系上来看，Bohr 理论提出的原子能量不连续概念和角动量量子化条件等，与经典力学不相容的，多少带有人为的性质，并未从根本上解决不连续性的本质。 2. 什么是光电效应？光电效应有什么规律？爱因斯坦是如何解释光电效应的？ 答：当一定频率的光照射到金属上时，有大量电子从金属表面逸出的现象称为光电效应；光电效应的规律：a.对于一定的金属材料做成的电极，有一个确定的临界频率0υ，当照射光频率0υυ<时，无论光的强度有多大，不会观测到光电子从电极上逸出；b.每个光电子的能量只与照射光的频率有关，而与光强无关；c.当入射光频率0υυ>时，不管光多微弱，只要光一照，几乎立刻910s -≈观测到光电子。爱因斯坦认为：(1)电磁波能量被集中在光子身上，而不是象波那样散布在空间中，所以电子可以集中地、一次性地吸收光子能量，所以对应弛豫时间应很短，是瞬间完 成的。(2)所有同频率光子具有相同能量，光强则对应于光子的数目，光强越大，光子数目越多，所以遏止电压与光强无关，饱和电流与光强成正比。(3)光子能量与其频率成正比，频率越高，对应光子能量越大，所以光电效应也容易发生，光子能量小于逸出功时，则无法激发光电子。 3．简述量子力学中的态叠加原理，它反映了什么？ 答：对于一般情况，如果1ψ和2ψ是体系的可能状态，那么它们的线性叠加：1122c c ψψψ=+（12c c ，是复数）也是这个体系的一个可能状态。这就是量子力学中的态叠加原理。态叠加原理的含义表示当粒子处于态1ψ和2ψ的线性叠加态ψ时，粒子是既处于态1ψ，又处于态2ψ。它反映了微观粒子的波粒二象性矛盾的统一。量子力学中这种态的叠加导致在叠加态下观测结果的不确定性。 4. 什么是定态？定态有什么性质？ 答：体系处于某个波函数()()[]exp r t r iEt ψψ=-，所描写的状态时，能量具有确定值。这种状态称为定态。定态的性质：（1）粒子在空间中的概率密度及概率流密度不随时间变化；（2）任何力学量（不显含时间）的平均值不随时间变化；（3）任何力学量（不显含时间）取各种可能测量值的概率分布也不随时间变化。 5. 简述力学量与力学量算符的关系？ 答：算符是指作用在一个波函数上得出另一个函数的运算符号。量子力学中采用算符来表示微观粒子的力学量。如果量子力学中的力学量F 在经典力学中有相应的力学量，则表示这个力学量的算符?F 由经典表示式F （r,p ）中将p 换为算符?p 而得出的，即： 量子力学习题及解答 第一章 量子理论基础 1．1 由黑体辐射公式导出维恩位移定律：能量密度极大值所对应的波长m λ与温度T 成反比，即 m λ T=b （常量）； 并近似计算b 的数值，准确到二位有效数字。 解 根据普朗克的黑体辐射公式 dv e c hv d kT hv v v 1 1 833 -? =πρ， （1） 以及 c v =λ， （2） λρρd dv v v -=， （3） 有 ,1 18)()(5-?=?=?? ? ??-=-=kT hc v v e hc c d c d d dv λλλ πλλρλλ λρλρ ρ 这里的λρ的物理意义是黑体波长介于λ与λ+d λ之间的辐射能量密度。 本题关注的是λ取何值时，λρ取得极大值，因此，就得要求λρ 对λ的一阶导数为零，由此可求得相应的λ的值，记作m λ。但要注意的是，还需要验证λρ对λ的二阶导数在m λ处的取值是否小于零，如果小于零，那么前面求得的m λ就是要求的，具体如下： 011511 86 ' =???? ? ?? -?+--?= -kT hc kT hc e kT hc e hc λλλλλ πρ ? 0115=-?+ -- kT hc e kT hc λλ ? kT hc e kT hc λλ= -- )1(5 如果令x= kT hc λ ，则上述方程为 x e x =--)1(5 这是一个超越方程。首先，易知此方程有解：x=0，但经过验证，此解是平庸的；另外的一个解可以通过逐步近似法或者数值计算法获得：x=4.97，经过验证，此解正是所要求的，这样则有 xk hc T m =λ 把x 以及三个物理常量代入到上式便知 K m T m ??=-3109.2λ 这便是维恩位移定律。据此，我们知识物体温度升高的话，辐射的能量分布的峰值向较短波长方面移动，这样便会根据热物体（如遥远星体）的发光颜色来判定温度的高低。 1．2 在0K 附近，钠的价电子能量约为3eV ，求其德布罗意波长。 解 根据德布罗意波粒二象性的关系，可知 E=h v ， λ h P = 如果所考虑的粒子是非相对论性的电子（2c E e μ<<动），那么 e p E μ22 = 如果我们考察的是相对性的光子，那么 E=pc 注意到本题所考虑的钠的价电子的动能仅为3eV ，远远小于电子的质量与光速平方的乘积，即eV 61051.0?，因此利用非相对论性的电子的能量——动量关系式，这样，便有 p h = λ 序章基本背景知识 1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年）（2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年）（4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p =（1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 ψ是概率密度函数， 12 =ψ? ∞ ∞ -dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年） 4.量子力学与经典力学的比较： *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态ψ的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节 ) ()(x x V γδ-=束缚态和散射态 量子力学的主要研究对象有两类：束缚态 散射态 束缚态：在势阱中E )0(2)0(')0('2 ψγ ψψ m - =--+ 与δ势垒跃变条件比较：)0(2)0(')0('2ψγ ψψ m =--+ 在0≠x 区域，Schrodinger 方程可以写成为 0)(''2=-ψβψx 其中02>-= mE β，)0( 量子力学基本原理 量子力学的基本原理包括量子态的概念，运动方程、理论概念和观测物理量之间的对应规则和物理原理。 状态函数 物理体系的状态由状态函数表示，状态函数的任意线性叠加仍然代表体系的一种可能状态。状态随时间的变化遵循一个线性微分方程，该方程预言体系的行为，物理量由满足一定条件的、代表某种运算的算符表示；测量处于某一状态的物理体系的某一物理量的操作，对应于代表该量的算符对其状态函数的作用；测量的可能取值由该算符的本征方程决定，测量的期望值由一个包含该算符的积分方程计算。（一般而言，量子力学并不对一次观测确定地预言一个单独的结果。取而代之，它预言一组可能发生的不同结果，并告诉我们每个结果出现的概率。也就是说，如果我们对大量类似的系统作同样地测量，每一个系统以同样的方式起始，我们将会找到测量的结果为A出现一定的次数，为B出现另一不同的次数等等。人们可以预言结果为A或B的出现的次数的近似值，但不能对个别测量的特定结果做出预言。）状态函数的模平方代表作为其变量的物理量出现的几率。根据这些基本原理并附以其他必要的假设，量子力学可以解释原子和亚原子的各种现象。 根据狄拉克符号表示，状态函数，用<Ψ|和|Ψ>表示，状态函数的概率密度用ρ=<Ψ|Ψ>表示，其概率流密度用（?/2mi）（Ψ*▽Ψ－Ψ▽Ψ*）表示，其概率为概率密度的空间积分。 状态函数可以表示为展开在正交空间集里的态矢比如 ，其中|i>为彼此正交的空间基矢， 为狄拉克函数，满足正交归一性质。态函数满足薛定谔波动方程， ,分离变数后就能得到不显含时状态下的演化方程 ，En是能量本征值，H是哈密顿算子。 于是经典物理量的量子化问题就归结为薛定谔波动方程的求解问题。 量子力学基本理论及理解 基本概念 概率波 量子力学最基础的东西就就是概率波了,但我认为对概率波究竟就是什么样一种“波”,却并不就是很容易理解的,这个问题直到理查德,费恩曼(而不就是海森伯或者伯恩)提出了单电子实验,才让我们很清楚的瞧到什么就是概率波？有为什么就是概率波。 什么就是概率波？为什么就是概率波？ 要回答这些问题,其实很简单,我们只需瞧下费恩曼的理想电子双缝干涉实验(刚开始时理想实验,不过后来都已经过证明了)就行了,我相信大家都会明白的。 下面我们再瞧一下费恩曼给出了什么结果: 1.单独开启缝1或者缝2都会得到强度分布或者符合衍射的图样, 缝1与缝2都开启时得到强度符合干涉图样 2.由两个单缝的图样无论如何得不到双缝的图样,即 3.每次让一个电子通过,长时间的叠加后就得到一个与一次让很多电子 通过双缝完全相同的图案 4.每次得到的就是“一个”电子 其实从这些结果中我们很容易得到为什么必须就是概率波,并且我们也很容易去除那些对概率波不对的理解,也就就是所谓的向经典靠拢的理解,从而得到必须就是概率波的事实。 概率波从字面上来理解,也就就是这种波表示的就是一种概率分布,还就是在双缝干涉中我们瞧一下很简单的一些表现,若果就是概率波的话,我们很关心的就就是这个粒子分布的具体形状,粒子位置的期望值等,在这里我们可以瞧出来波函数经过归一化之后,就就是说电子还就是只有那一个电子,但就是它的位置不确定了,这才形成在一定的范围内的一个云状分布,您要计算某一个范围内的电荷就是多少,这样您会得到一个分数的电荷量,但这只能告诉您电子在您研究的范围内分布的概率有多大,并不就是说在这一范围内真正存在多少电子。 量子力学和经典力学在的区别与联系 摘要 量子力学是反映微观粒子结构及其运动规律的科学。它的出现使物理学发生了巨大变革，一方面使人们对物质的运动有了进一步的认识，另一方面使人们认识到物理理论不是绝对的，而是相对的，有一定局限性。经典力学描述宏观物质形态的运动规律，而量子力学则描述微观物质形态的运动规律，他们之间有质的区别，又有密切联系。本文试图通过解释、比较，找出它们之间的不同，进一步深入了解量子力学，更好的理解和掌握量子力学的概念和原理。 经过量子力学与经典力学的对比我们可以发现，量子世界真正的基本特性：如果系统真的从状态A跳跃到B的话，那么我们对着其中的过程一无所知。当我们进行观察的时候，我们所获得的结果是有限的，而当我们没有观察的时候系统正在做什么，我们都不知道。量子理论可以说是一门反映微观运动客观规律的学说。经典物理与量子物理的最根本区别就是：在经典物理中，运动状态描述的特点为状态量都是一些实验可以测量得的，即在理论上这些量是描述运动状态的工具，实际上它们又是实验直接可测量的量，并可以通过测量这些状态量来直接验证理论。在量子力学中，微观粒子的运动状态由波函数描述，一切都是不确定的。但是当微观粒子积累到一定量是，它们又显现出经典力学的规律。 关键字：量子力学及经典力学基本内容及理论量子力学及经典力学的区别与联系 目录 三、目录 摘要 (1) 关键字 (1) 正文 (3) 一、量子力学及经典力学基本内容及理论……………………………………………… 3 经典力学基本内容及理论 (3) 量子力学的基本内容及相关理论 (3) 二、量子力学及经典力学在表述上的区别与联系 (4) 微观粒子和宏观粒子的运动状态的描述 (4) 量子力学中微观粒子的波粒二象性 (5) 三、结论：量子力学与经典力学的一些区别对比 (5) 参考文献 (6) 量子力学中状态叠加原理的表述 发表时间：2017-03-15T15:26:33.883Z 来源：《科技中国》2016年12期作者：宋书玮 [导读] 状态叠加原理属于量子力学中的重要知识点，其中包括两种表述，第一种表述是物理叠加型的状态叠加原理。成都七中万达学校 610037 摘要：状态叠加原理属于量子力学中的重要知识点，其中包括两种表述，第一种表述是物理叠加型的状态叠加原理，第二种表述则是数学叠加型的表述，本文主要针对量子力学中的状态叠加原理的表述进行重点分析。 关键词：量子力学；状态叠加原理；分析 关于量子力学中的叠加状态原理，总的来说有两种表述：以布洛欣采夫为代表的第一种表述和以狄拉克和郎道为代表的第二种表述。第一种表述是物理叠加型的状态叠加原理，而在一些教材中并没有把这种类型的叠加原理作为一条独立的基本原理。第二种表述则是数学叠加型的表述，在许多的教材中，一般将这种表述归于算符的基本原理。这两种状态叠加原理的表述完全不一样，本文将对这两种表述方式进行分析探讨。 1.第一种表述 第一种表述：“如果任何一个系统(粒子或粒子的集合)既能处在由波函数ψ1所表示的态中,又能处在另一个态ψ2中,则它必定也能处在由如下波函数ψ所表示的态中:ψ=c1ψ1+c2ψ2，式中c1和c2一般是任意的复数。” ψ1和ψ2都是粒子能处在其中的状态,才是真实的状态，假如两者是胡乱编的数字，粒子是不会处在其中的，这样的表述也就不是原理。 这个表述也是有错误的，它的意思是随意两个真实的态都可以叠加，然而这是不严谨的，任何一个原理都有其限制条件或者说其环境范围，所以这个表述之前要加上在相同的环境之内。不仅如此，即使加上了这个限制条件，这个表述也是不对的，例如两个定态加在一起不满足定态薛定谔函数也是不会叠加成一个定态的。 由此可见，虽然这个表述的立意是好的，但是错误太多，不能成为一个真正的状态叠加原理的表述。 物理叠加型的状态叠加原理的作用，是向我们展示了粒子的波粒二象性的主要特征，这才是它的重要意义。其代表了粒子之间的波函数可以相互叠加，是可以发生干涉现象的，这是量子力学的核心。作为一个基本原理，突出其物理性质比突出它的数学性质更好一些。 2.第二种表述 这个表述就是数学性质的表述了，没有考虑物理方面，也不考虑其结果是否能够实现。 狄拉克的表述和朗道的表述是一样的，朗道和栗弗席茨的书对状态叠加原理的表述是:“设在波函数为ψ1(q)的态中进行某种测量,可以获得可靠的肯定结果(称为结果1),而在ψ2(q)的态中进行这种测量也可以获得可靠的肯定结果，那么可以假定,在ψ1和ψ2的任一线性组合所给出的态中,即在任一具有c1ψ1+c2ψ2函数形式(其中c1和c2为常数)的态中,进行该种测量所得结果或者是1,或者是2.此外,还可进一步假定只要以上两个态的时间依赖关系是已知的,也就是一个由函数ψ1(q,t)给出,另一个由函数ψ2(q,t)给出,那么,它们的任一线性组合也给出了这个组合态的可能的时间依赖关系.以上这些假定,构成了量子力学的一个首要原理,称为状态叠加原理.” 这讲的是一个物理状态的数学分解。并且狄拉克明确的说明，这是数学的叠加。这跟上面的第一种表述内容完全不同。这是一个新的量子力学的基本原理。所以不能用经典物理体系的概念来解释和判断。 3.分析与结论 叠加原理表明，线性方程式的任意几个解所组成的线性组合，也是这方程式的解。由于薛定谔方程式是线性方程式，所以叠加原理也适用于量子力学，这在量子力学里称为态叠加原理。假设某量子系统的量子态可以是 { f{1} } 或 { f{2} } ，这些量子态都满足描述这量子系统物理行为的薛定谔方程式。则这量子系的量子态也可以是它们的线性组合 {f=c{1}|f{1} +c{2}|f{2} } ，也满足同样的薛定谔方程式；其中，{ c{1}} 、 { c{2}} 是复值系数，为了归一化 { |f } ，必须让 { |c{1}|^{2}+|c{2}|^{2}=1}。 从以上可以看出，很多的学者关于状态叠加原理的认识有许多的不同。量子力学是用一些基本假设建立起来的理论体系，其错误与否是由推测结果和观察到的结果是否一致来判断的。但是这些基本假设是怎么来的，它的基础是什么，这些问题还不清楚。关于态叠加原理方面的很多差异，都依赖于量子力学基本问题的答案，现如今在教材上还没有一个明确的答案，但是随着科学的进步，我相信今天遇到的难题，必将得到完善的解决，所以我认为在这个阶段，对于这些问题的分歧和争议不妨更保守一些。 4.结语 以上是对于量子力学中的状态叠加原理的一些理解，如今的量子力学理论已经非常成熟，但是还是很明显带着经典物理体系的影子。如果有一天不再使用经典物理的概念来解释量子力学，相信当时关于状态叠加原理的差异将不再存在。 参考文献： [1] 朱光平,刘忠良,刘亲壮. 量子力学态叠加原理及教学的几点看法[J]. 吉林师范大学学报(自然科学版). 2010(03) [2] 陈念陔,杨蕾. 关于量子态叠加原理表述方式的讨论与建议[J]. 黑龙江大学自然科学学报. 2008(06) [3] 黄亦斌. 为什么量子力学中力学量要用厄米算符表示[J]. 大学物理. 2008(04) [4] 陈念陔,杨蕾. 量子态叠加原理有关问题的实质分析[J]. 黑龙江大学自然科学学报. 2008(04) 序章 基本背景知识 1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」 （简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、动量、角动量、自旋，etc ）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行为」，俗称“做实验”） 2.初等量子力学的任务是： （1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」 （2）寻找“态”随时间的「演化」规律 3.从旧量子论到现代量子力学： （1）普朗克能量量子化假设（1900年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905年） （3）光的波粒二象性（1909年） （4）玻尔模型（1913年） （5）斯特恩-盖拉赫实验（1922年） （6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量k p （1924年） （7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925年） （8）薛定谔-波动力学（1926年） 波函数统计诠释：2 是概率密度函数， 12 dx （1926年） （9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930年） 4.量子力学与经典力学的比较： 量子力学经典力学 研究对象在t时刻的位置 无法确定 只能确定在dx x x ~的出现概率 可以确定 t时刻的动量和速度 无法确定，速度无意义 只能确定具有dp p p ~的概率 且不可同时确定位置和动量 位置、动量和速度 同时确定 研究对象的状态的描述 波函数（复函数） 或态矢量 （复矢量） t p t r ,（实矢量函数） 状态的 演化方程 薛定谔方程（复系数方程）牛顿第二定律（实系数方程）观测行为 会影响对象 （只有时间测量不影响） 不会影响对象 测量精度 受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定 可达到任意高 可以同时测定所有物理量 预测的 测量结果 某个结果出现的概率确定的值 实际的测量结果 确定的值 或可能取值的统计平均 确定的值 *量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值Q。这是由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意义（一旦某粒子坍缩到了状态A，之后的一切实验结果也都只会是A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章 *不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第7节 量子力学基础 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑 第一章量子力学基础 一、教案目的： 通过本章学习，掌握微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设，并初步学习运用薛定谔方程去分析和计算势箱中粒子运动的有关问题:b5E2RGbCAP 二、教案内容： 1、微观粒子的运动特征 黑体辐射和能量量子化；光电效应和光子学说；实物粒子的波粒二相性；不确定关系； 2、量子力学基本假设 波函数和微观粒子的状态；物理量和算符；本征态、本征值和薛定谔方程；态叠加原理；泡利原理； 3、箱中粒子的薛定谔方程及其解 三、教案重点 微观粒子运动的特征、量子力学的基本假设 四、教案难点： 量子力学的基本假设 五、教案方法及手段 课堂教案 六、课时分配： 微观粒子的运动特征 2学时 量子力学基本假设 4学时 箱中粒子的薛定谔方程及其解 2学时 七、课外作业 课本p20～21 八、自学内容 1-1微观粒子的运动特征 1900年以前，物理学的发展处于经典物理学阶段<由Newton的经典力学，Maxwell的的电磁场理论，Gibbs的热力学和Boltzmann的统计物理学），这些理论构成一个相当完善的体系，对当时常见的物理现象都可以从中得到说明。p1EanqFDPw 在经典物理学取得上述成就的同时，通过实验又发现了一些新现象，它们是经典物理学无法解释的。如黑体辐射、光电效应、电子波性等实验现象，说明微观粒子具有其不同于宏观物体的运动特征。DXDiTa9E3d 电子、原子、分子和光子等微观粒子，它们表现的行为在一些场合显示粒性，在另一些场合又显示波性，即具有波粒二象性的运动特征。人们对这种波粒二象性的认识是和本世纪物理学的发展密切联系的，是二十世纪初期二十多年自然科学发展的集中体现。RTCrpUDGiT 1.1.1黑体辐射和能量量子化——普朗克< planck）的量子假 说：量子说的起源 黑体是一种能全部吸收照射到它上面的各种波长的光，同时也能在同样条件下发射最大量各种波长光的物体。 带有一个微孔的空心金属球，非常接近于黑体，进入金属球小孔的辐射，经过多次吸收、反射，使射入的辐射全部被吸收。当空腔受热时，空腔壁会发出辐射，极小部分通过小孔逸出。5PCzVD7HxA 量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函救可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条条件。 （2）体系的状态波函数满足薛定谔方程： ψ=?ψ?H t i ? （H ?是体系的哈密顿算符） (3)将体系的状态波函数ψ用算符F ?的本征函数n Φ展开: ?∑Φ+Φ=ψλ λλd c c n n n ，（λλλλΦ=ΦΦ=ΦF F n n n ?,?） 则在ψ态中测量力学量得到结果为n λ的几率是2||n c ，得到结果在 λλλd +→范围内的几率是λλd c 2||。 (4) 力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换为算符?- i 得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 量子力学的基本假定 (1)微观体系的状态被一个波函数完全描述，从这个波函救可以得出体系的所有性质。波函数一般应满足连续性、有限性和单值性三个条条件。 （2）体系的状态波函数满足薛定谔方程： ψ=?ψ?H t i ? （H ?是体系的哈密顿算符） (3)将体系的状态波函数ψ用算符F ?的本征函数n Φ展开: ?∑Φ+Φ=ψλ λλd c c n n n ，（λλλλΦ=ΦΦ=ΦF F n n n ?,?） 则在ψ态中测量力学量得到结果为n λ的几率是2||n c ，得到结果在 λλλd +→范围内的几率是λλd c 2||。 (4) 力学量用厄密算符表示。如果在经典力学中有相应的力学量，则在量子力学中表示这个力学量的算符，由经典表示式中将动量p 换为算符?- i 得出。表示力学量的算符组成完全系的本征函数。 (5)在全同粒子所组成的体系中，两全同粒子相互调换不改变体系的状态(全同性原理)。 一、 填空题 1．玻尔-索末菲的量子化条件为： pdq nh =?，（n=1,2,3,....)， 2．德布罗意关系为：h E h p k γωλ === =； 。 3．用来解释光电效应的爱因斯坦公式为： 21 2 mV h A υ=-， 4．波函数的统计解释：() 2 r t ψ ，代表t 时刻，粒子在空间r 处单位体积中出现的概率，又称为 概率密度。这是量子力学的基本原理之一。波函数在某一时刻在空间的强度，即其振幅绝对值的平方与在这一点找到粒子的几率成正比，和粒子联系的波是概率波。 5．波函数的标准条件为：连续性，有限性，单值性 。 6． ， 为单位矩阵，则算符 的本征值为：1± 。 7．力学量算符应满足的两个性质是 实数性和正交完备性 。 8．厄密算符的本征函数具有： 正交性，它们可以组成正交归一性。即 ()m n mn d d λλφφτδ φφτδλλ* * ''==-??或 。 9．设 为归一化的动量表象下的波函数，则 的物理意义为：表示在() r t ψ ，所描写的态中测量粒子动量所得结果在 p p dp →+范围内的几率。 10. i ； ?x i L ； 0。 11．如两力学量算符 有共同本征函数完全系，则 _0__。 12．坐标和动量的测不准关系是： () () 2 2 2 4 x x p ??≥ 。自由粒子体系，_动量_守恒；中心力 场中运动的粒子__角动量__守恒 13．量子力学中的守恒量A 是指:?A 不显含时间而且与?H 对易，守恒量在一切状态中的平均值和概率分布都不随时间改变。 14．隧道效应是指：量子力学中粒子在能量E 小于势垒高度时仍能贯穿势垒的现象称为隧道效应。量子力学中几种表象及其之间的关系
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