第十二章全等三角形
12.1 全等三角形
教学内容
本节课主要介绍全等三角形的概念和性质．
教学目标
1．知识与技能
领会全等三角形对应边和对应角相等的有关概念．
2．过程与方法
经历探索全等三角形性质的过程，能在全等三角形中正确找出对应边、对应角．
3．情感、态度与价值观
培养观察、操作、分析能力，体会全等三角形的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：会确定全等三角形的对应元素．
2．难点：掌握找对应边、对应角的方法．
3．关键：找对应边、对应角有下面两种方法：（1）全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边；（2）对应边所对的角是对应角，?两条对应边所夹的角是对应角．
教具准备
四张大小一样的纸片、直尺、剪刀．
教学方法
采用“直观──感悟”的教学方法，让学生自己举出形状、大小相同的实例，加深认识．教学过程
一、动手操作，导入课题
1．先在其中一张纸上画出任意一个多边形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？
2．重新在一张纸板上画出任意一个三角形，再用剪刀剪下，?思考得到的图形有何特点？
【学生活动】动手操作、用脑思考、与同伴讨论，得出结论．
【教师活动】指导学生用剪刀剪出重叠的两个多边形和三角形．
学生在操作过程中，教师要让学生事先在纸上画出三角形，然后固定重叠的两张纸，注意整个过程要细心．
【互动交流】剪出的多边形和三角形，可以看出：形状、大小相同，能够完全重合．这样的两个图形叫做全等形，用“≌”表示．
概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．
【教师活动】在纸版上任意剪下一个三角形，要求学生手拿一个三角形，做如下运动：平移、翻折、旋转，观察其运动前后的三角形会全等吗？
【学生活动】动手操作，实践感知，得出结论：两个三角形全等．
【教师活动】要求学生用字母表示出每个剪下的三角形，同时互相指出每个三角形的顶点、三个角、三条边、每条边的边角、每个角的对边．
【学生活动】把两个三角形按上述要求标上字母，并任意放置，与同桌交流：（1）何时能完全重在一起？（2）此时它们的顶点、边、角有何特点？
【交流讨论】通过同桌交流，实验得出下面结论：
1．任意放置时，并不一定完全重合，?只有当把相同的角旋转到一起时才能完全重合．2．这时它们的三个顶点、三条边和三个内角分别重合了．
3．完全重合说明三条边对应相等，三个内角对应相等，?对应顶点在相对应的位置．【教师活动】根据学生交流的情况，给予补充和语言上的规范．
1．概念：把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，?重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．
2．证两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上，?如果本图11．1─2△ABC和△DBC全等，点A和点D，点B和点B，点C和点C是对应顶点，?记作△ABC≌△DBC．
【问题提出】课本图11．1─1中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
【学生活动】经过观察得到下面性质：
1．全等三角形对应边相等；
2．全等三角形对应角相等．
二、随堂练习，巩固深化
课本P4练习．
【探研时空】
1．如图1所示，△ACF≌△DBE，∠E=∠F，若AD=20cm，BC=8cm，你能求出线段AB的长吗？与同伴交流．（AB=6）
2．如图2所示，△ABC≌△AEC，∠B=30°，∠ACB=85°，求出△AEC各内角的度数．?（∠AEC=30°，∠EAC=65°，∠ECA=85°）
三、课堂总结，发展潜能
1．什么叫做全等三角形？
2．全等三角形具有哪些性质？
四、布置作业，专题突破
1．课本P4习题11．1第1，2，3，4题．
2．选用课时作业设计．
板书设计
把黑板分成左、中、右三部分，左边板书本节课概念，中间部分板书“思考”中的问题，右边部分板书学生的练习．
疑难解析
由于两个三角形的位置关系不同，在找对应边、对应角时，可以针对两个三角形不同的位置关系，寻找对应边、角的规律：（1）有公共边的，?公共边一定是对应边；（2）有公共角的，公共角一定是对应角；（3）有对顶角的，对顶角一定是对应角；两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或角）．
12.2.1三角形全等的判定（SSS）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SSS），?及利用全等三角形进行证明．
教学目标
1．知识与技能
了解三角形的稳定性，会应用“边边边”判定两个三角形全等．
2．过程与方法
经历探索“边边边”判定全等三角形的过程，解决简单的问题．
3．情感、态度与价值观
培养有条理的思考和表达能力，形成良好的合作意识．
重、难点与关键
1．重点：掌握“边边边”判定两个三角形全等的方法．
2．难点：理解证明的基本过程，学会综合分析法．
3．关键：掌握图形特征，寻找适合条件的两个三角形．
教具准备
一块形状如图1所示的硬纸片，直尺，圆规．
(1) (2)
教学方法
采用“操作──实验”的教学方法，让学生亲自动手，形成直观形象．
教学过程
一、设疑求解，操作感知
【教师活动】（出示教具）
问题提出：一块三角形的玻璃损坏后，只剩下如图2所示的残片，?你对图中的残片作哪些测量，就可以割取符合规格的三角形玻璃，与同伴交流．
【学生活动】观察，思考，回答教师的问题．方法如下：可以将图1?的玻璃碎片放在一块纸板上，然后用直尺和铅笔或水笔画出一块完整的三角形．如图2，?剪下模板就可去割玻璃了．
【理论认知】
如果△ABC≌△A′B′C′，那么它们的对应边相等，对应角相等．?反之，?如果△ABC与△A′B′C′满足三条边对应相等，三个角对应相等，即AB=A′B′，BC=B′C′，CA=C′A′，∠A=∠A′，
∠B=∠B′，∠C=∠C′．
这六个条件，就能保证△ABC≌△A′B′C′，从刚才的实践我们可以发现：?只要两个三角形三条对应边相等，就可以保证这两块三角形全等．
信不信？
【作图验证】（用直尺和圆规）
先任意画出一个△ABC，再画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，B′C′=BC，C′A′=CA．把画出的△A′B′C′剪下来，放在△ABC上，它们能完全重合吗？（即全等吗）
【学生活动】拿出直尺和圆规按上面的要求作图，并验证．（如课本图11．2-2所示）
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB′，A′C′=AC，B′C′=BC：
1．画线段取B′C′=BC；
2．分别以B′、C′为圆心，线段AB、AC为半径画弧，两弧交于点A′；
3．连接线段A′B′、A′C′．
【教师活动】巡视、指导，引入课题：“上述的生活实例和尺规作图的结果反映了什么规律？”
【学生活动】在思考、实践的基础上可以归纳出下面判定两个三角形全等的定理．（1）判定方法：三边对应相等的两个三角形全等（简写成“边边边”或“SSS”）．
（2）判断两个三角形全等的推理过程，叫做证明三角形全等．
【评析】通过学生全过程的画图、观察、比较、交流等，逐步探索出最后的结论──边边边，在这个过程中，学生不仅得到了两个三角形全等的条件，同时增强了数学体验．
二、范例点击，应用所学
【例1】如课本图11．2─3所示，△ABC是一个钢架，AB=AC，AD是连接点A与BC 中点D的支架，求证△ABD≌△ACD．（教师板书）
【教师活动】分析例1，分析：要证明△ABD≌△ACD，可看这两个三角形的三条边是否对应相等．
证明：∵D是BC的中点，
∴BD=CD
在△ABD和△ACD中
,,.AB AC BD CD AD AD =??
=??=?
∴△ABD ≌△ACD （SSS ）．
【评析】符号“∵”表示“因为”，“∴”表示“所以”；从例1可以看出，?证明是由题设（已知）出发，经过一步步的推理，最后推出结论（求证）正确的过程．书写中注意对应顶点要写在同一个位置上，哪个三角形先写，哪个三角形的边就先写． 三、实践应用，合作学习 【问题思考】
已知AC =FE ，BC =DE ，点A 、D 、B 、F 在直线上，AD =FB （如图所示），要用“边边边”证明△ABC ≌△FDE ，除了已知中的AC =FE ，BC =DE 以外，还应该有什么条件？怎样才能得到这个条件？
【教师活动】提出问题，巡视、引导学生，并请学生说说自己的想法．
【学生活动】先独立思考后，再发言：“还应该有AB =FD ，只要AD =FB 两边都加上DB 即可得到AB =FD ．”
【教学形式】先独立思考，再合作交流，师生互动． 四、随堂练习，巩固深化 课本P 8练习． 【探研时空】
如图所示，AB =DF ，AC =DE ，BE =CF ，BC 与EF 相等吗？?你能找到一对全等三角形吗？说明你的理由．（BC =EF ，△ABC ≌△DFE ）
五、课堂总结，发展潜能 1．全等三角形性质是什么？
2．正确地判断出全等三角形的对应边、对应角，?利用全等三角形处理问题的基础，你
是怎样掌握判断对应边、对应角的方法？
3．“边边边”判定法告诉我们什么呢？?（答：只要一个三角形三边长度确定了，则这个三角形的形状大小就完全确定了，这就是三角形的稳定性）
六、布置作业，专题突破
1．课本P15习题11．2第1，2题．
2．选用课时作业设计．
12.2.2 三角形全等判定（SAS）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的条件（SAS），及利用全等三角形证明．
教学目标
1．知识与技能领会“边角边”判定两个三角形的方法．
2．过程与方法经历探究三角形全等的判定方法的过程，学会解决简单的推理问题．3．情感、态度与价值观培养合情推理能力，感悟三角形全等的应用价值．
重、难点及关键
1．重点：会用“边角边”证明两个三角形全等．
2．难点：应用结合法的格式表达问题．
3．关键：在实践、观察中正确选择判定三角形全等的方法．
教具准备投影仪、直尺、圆规．
教学方法采用“操作──实验”的教学方法，让学生有一个直观的感受．
教学过程
一、回顾交流，操作分析
【动手画图】
【投影】作一个角等于已知角．
【学生活动】动手用直尺、圆规画图．
已知：∠AOB．
求作：∠A1O1B1，使∠A1O1B1=∠AOB．
【作法】（1）作射线O1A1；（2）以点O为圆心，以适当长为半径画弧，交OA?于点C，?交OB于点D；（3）以点O1为圆心，以OC长为半径画弧，交O1A1于点C1；（4）以点C1
为圆心，以CD ?长为半径画弧，交前面的弧于点D 1；（5）过点D 1作射线O 1B 1，∠A 1O 1B 1就是所求的角． 【导入课题】
教师叙述：请同学们连接CD 、C 1D 1，回忆作图过程，分析△COD 和△C 1O 1D 1?中相等的条件．
【学生活动】与同伴交流，发现下面的相等量：
OD =O 1D 1，OC =O 1C 1，∠COD =∠C 1O 1D 1，△COD ≌△C 1O 1D 1． 归纳出规律：
两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（简写成“边角边”或“SAS ”）． 【评析】通过让学生回忆基本作图，在作图过程中体会相等的条件，在直观的操作过程中发现问题，获得新知，使学生的知识承上启下，开拓思维，发展探究新知的能力． 【媒体使用】投影显示作法．
【教学形式】操作感知，互动交流，形成共识． 二、范例点击，应用新知
【例2】如课本图11．2-6所示有一池塘，要测池塘两侧A 、B 的距离，可先在平地上取一个可以直接到达A 和B 的点，连接AC 并延长到D ，使CD =CA ，连接BC 并延长到E ，?使CE =CB ，连接DE ，那么量出DE 的长就是A 、B 的距离，为什么？
【教师活动】操作投影仪，显示例2，分析：如果能够证明△ABC ≌△DEC ，就可以得出AB =DE ．在△ABC 和△DEC 中，CA =CD ，CB =CE ，如果能得出∠1=∠2，△ABC 和△DEC ?就全等了．
证明：在△ABC 和△DEC 中
12CA CD
CB CE =??
∠=∠??=?
∴△ABC ≌△DEC （SAS ） ∴AB =DE
想一想：∠1=∠2的依据是什么？（对顶角相等）AB =DE 的依据是什么？（全等三角
形对应边相等）
【学生活动】参与教师的讲例之中，领悟“边角边”证明三角形全等的方法，学会分析推理和规范书写．
【媒体使用】投影显示例2．
【教学形式】教师讲例，学生接受式学习但要积极参与．
【评析】证明分别属于两个三角形的线段相等或角相等的问题，常常通过证明这两个三角形全等来解决．
三、辨析理解，正确掌握
【问题探究】（投影显示）
我们知道，两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，由“两边及其中一边的对角对应相等”的条件能判定两个三角形全等吗？为什么？
【教师活动】拿出教具进行示范，让学生直观地感受到问题的本质．
操作教具：把一长一短两根细木棍的一端用螺钉铰合在一起，?使长木棍的另一端与射线BC的端点B重合，适当调整好长木棍与射线BC所成的角后，固定住长木棍，把短木棍摆起来（课本图11．2-7），出现一个现象：△ABC与△ABD满足两边及其中一边对角相等的条件，但△ABC与△ABD不全等．这说明，?有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等．
【学生活动】观察教师操作教具、发现问题、辨析理解，动手用直尺和圆规实验一次，做法如下：（如图1所示）
（1）画∠ABT；（2）以A为圆心，以适当长为半径，画弧，交BT于C、C′；（3）?连线AC，AC′，△ABC与△ABC′不全等．
【形成共识】“边边角”不能作为判定两个三角形全等的条件．
【教学形式】观察、操作、感知，互动交流．
四、随堂练习，巩固深化
课本P10练习第1、2题．
五、课堂总结，发展潜能
1．请你叙述“边角边”定理．
2．证明两个三角形全等的思路是：首先分析条件，?观察已经具备了什么条件；然后以已具备的条件为基础根据全等三角形的判定方法，来确定还需要证明哪些边或角对应相等，再设法证明这些边和角相等．
六、布置作业，专题突破
1．课本P15习题11．2第3、4题．
2．选用课时作业设计．
板书设计
把黑板分成左、中、右三部分，其中右边部分板书“边角边”判定法，中间部分板书例题，右边部分板书练习题．
12.2.3 三角形全等判定（ASA）
教学内容
本节课主要内容是探索三角形全等的判定（ASA，AAS），?及利用全等三角形的证明．教学目标
1．知识与技能
理解“角边角”、“角角边”判定三角形全等的方法．
2．过程与方法
经历探索“角边角”、“角角边”判定三角形全等的过程，能运用已学三角形判定法解决实际问题．
3．情感、态度与价值观
培养良好的几何推理意识，发展思维，感悟全等三角形的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：应用“角边角”、“角角边”判定三角形全等．
2．难点：学会综合法解决几何推理问题．
3．关键：把握综合分析法的思想，寻找问题的切入点．
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“问题教学法”在情境问题中，激发学生的求知欲．
教学过程
一、回顾交流，巩固学习
【知识回顾】（投影显示）
情境思考：
1．小菁做了一个如图1所示的风筝，其中∠EDH=∠FDH，ED=FD，?将上述条件注在图中，小明不用测量就能知道EH=FH吗？与同伴交流．
(1) (2)
[答案：能，因为根据“SAS”，可以得到△EDH≌△FDH，从而EH=FH]
2．如图2，AB=AD，AC=AE，能添上一个条件证明出△ABC≌△ADE吗？[答案：BC=?DE （SSS）或∠BAC=∠DAE（SAS）]．
3．如果两边及其中一边的对角对应相等，两个三角形一定会全等吗？试举例说明．【教师活动】操作投影仪，提出问题，组织学生思考和提问．
【学生活动】通过情境思考，复习前面学过的知识，学会正确选择三角形全等的判定方法，小组交流，踊跃发言．
【教学形式】用问题牵引，辨析、巩固已学知识，在师生互动交流过程中，激发求知欲．
二、实践操作，导入课题
【动手动脑】（投影显示）
问题探究：先任意画一个△ABC，再画出一个△A′B′C′，使A′B′=AB，∠A′=∠A，∠B′=∠B （即使两角和它们的夹边对应相等），把画出的△A′B′C′剪下，?放到△ABC上，它们全等吗？
【学生活动】动手操作，感知问题的规律，画图如下：
画一个△A′B′C′，使A′B′=AB，
D
C
B
A
E
∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B ： 1． 画A ′B ′=AB ；
2． 在A ′B ′的同旁画∠DA ′B ′=∠A ， ∠EBA ′=∠B ，A ′D ，B ′E 交于点C ′。
探究规律：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（简写成“角边角”或“ASA ”）． 【知识铺垫】课本图11．2─8中，∠A ′=∠A ，∠B ′=∠B ，那么∠C =∠A ′C ′B ′吗？为什么？
【学生回答】根据三角形内角和定理，∠C ′=180°-∠A ′-∠B ′，∠C =180°-∠A -∠B ，由于∠A =∠A ′，∠B =∠B ′，∴∠C =∠C ′．
【教师提问】在△ABC 和△DEF 中，∠A =∠D ，∠B =∠E ，BC =EF （课本图11．2─9），△ABC 与△DEF 全等吗？
【学生活动】运用三角形内角和定理，以及“ASA ”很快证出△ABC ≌△EFD ，并且归纳如下：
? ?归纳规律：?两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（简与成AAS ）． 三、范例点击，应用所学
【例3】如课本图11．2─10，D 在AB 上，E 在AC 上，AB =AC ，∠B =∠C ，求证：AD =AE ．
【教师活动】引导学生，分析例3．?关键是寻找到和已知条件有关的△ACD ?和△ABE ，再证它们全等，从而得出AD =AE ．
证明：在△ACD 与△ABE 中，
()
A A AC AB
C B ∠=∠??
=??∠=∠?
公共角 ∴△ACD ≌△ABE （ASA ） ∴AD =AE
【学生活动】参与教师分析，领会推理方法． 【媒体使用】投影显示例3．
【教学形式】师生互动．
【教师提问】三角对应相等的两个三角形全等吗？
【学生活动】与同伴交流，得到有三角对应相等的两个三角形不一定会全等，拿出三角板进行说明，如图3，下面这块三角形的内外边形成的△ABC和△A′B ′C′中，∠A=∠A′，∠B=∠B′，∠C=∠C′，但是它们不全等．（形状相同，大小不等）．
四、随堂练习，巩固深化
课本P13练习第1，2题．
五、课堂总结，发展潜能
1．证明两个三角形全等有几种方法？如何正确选择和应用这些方法？
2．全等三角形性质可以用来证明哪些问题？举例说明．
3．你在本节课的探究过程中，有什么感想？
六、布置作业，专题突破
1．课本P15习题11．2第5，6，9，10题．
2．选用课时作业设计．
12.2.4 三角形全等的判定（综合探究）
教学内容
本节课主要内容是三角形全等的判定的综合运用．
教学目标
1．知识与技能
理解三角形全等的判定，并会运用它们解决实际问题．
2．过程与方法
经历探索三角形全等的四种判定方法的过程，能进行合情推理．
3．情感、态度与价值观
培养良好的几何思维，体会几何学的应用价值．
重、难点与关键
1．重点：运用四个判定三角形全等的方法．
2．难点：正确选择判定三角形全等的方法，充分应用“综合法”进行表达．
3．关键：把握问题的因果关系，从中寻找思路．
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“讲．练”结合的教学法，让学生充分体会到几何的分析思想．
教学过程
一、分层练习，回顾反思
【课堂演练】
1．已知△ABC≌△A′B′C′，且∠A=48°，∠B=33°，A′B′=5cm，求∠C ′的度数与AB的长．
【教师活动】操作投影仪，组织学生练习，请一位学生上台演示．
【学生活动】先独立完成演练1，然后再与同伴交流，踊跃上台演示．
解：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=180°
∴∠C=180°-（∠A+∠B）=99°
∵△ABC≌△A′B′C′，∠C=∠C′，
∴∠C′=99°，
∴AB=A′B′=5cm．
【评析】表示两个全等三角形时，要把对应顶点的字母写在对应位置上，这时解题就很方便．
2．已知：如图1，在AB、AC上各取一点E、D，使AE=AD，连接BD、CE相交于点O，连接AO，∠1=∠2．
求证：∠B=∠C．
【思路点拨】要证两个角相等，我们通常用的办法有：（1）两直线平行，同位角或内错角相等；（2）全等三角形对应角相等；（3）等腰三角形两底角相等（待学）．根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条件，可知AD=AE，∠1=?∠2，AO是公共边，叫△ADO≌△AEO，则可得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，?而要证∠B=∠C可以进一步考查△OBE≌△OCD，而由上可知OE=OD，∠BOE=∠COD（对顶角），∠BEO=∠CDO（等角的补角相等），则可证得△OBF≌△OCD，事实上，得到
∠AEO=∠AOD?之后，又有∠BOE=∠COD，由外角的关系，可得出∠B=∠C，这样更进一步简化了思路．
【教师活动】操作投影仪，巡视、启发引导，关注“学困生”，请学生上台演示，然后评点．
【学生活动】小组合作交流，共同探讨，然后解答．
【媒体使用】投影显示演练题2．
【教学形式】分组合作，互相交流．
【教师点评】在分析一道题目的条件时，尽量把条件分析透，如上题当证明△ADO≌△AEO之后，可以得到OD=OE，∠AEO=∠ADO，∠EOA=∠DOA，?这些结论虽然在进一步证明中并不一定都用到，但在分析时对图形中的等量及大小关系有了正确认识，有利于进一步思考．
证明在△AEO与△ADO中，
AE=AD，∠2=∠1，AO=AO，
∴△AEO≌△ADO（SAS），∴∠AEO=∠ADO．
又∵∠AEO=∠EOB+∠B，∠AOD=∠DOC+∠C．
又∵∠EOB=∠DOC（对应角），∴∠B=∠C．
3．如图2，已知∠BAC=∠DAE，∠ABD=∠ACE，BD=CE．求证：AD=AE．
【思路点拨】欲证相等的两条线段AD、AE分别在△ABD和△ACE中，由于BD=CE，?∠ABD=∠ACE，因此要证明△ABD≌△ACE，?则需证明∠BAD=?∠CAE，?这由已知条件∠BAC=∠DAE容易得到．
【教师活动】操作投影仪：引导学生思考问题．
【学生活动】分析、寻找证题思路，独立完成演练题3．
证明：∵∠BAC=∠DAE
∴∠BAC-∠DAC=∠DAE-∠DAC即∠BAD=∠CAE图2 在△ABD和△ACE中，
∵BD=CE，∠ABD=∠ACE，∠BAD=∠CAE，
∴△ABD≌△ACE（AAS），
∴AD=AE．
【媒体使用】投影显示演练题3．
【教学形式】讲练结合．
二、随堂练习，继续巩固
1．如图3，点E 在AB 上，AC =AD ，∠CAB =∠DAB ，△ACE 与△ADE 全等吗？△ACB ?与△ADB 呢？请说明理由．
[答案：△ACE ≌△ADE ，△ACB ≌△ADB ，根据“SAS ”．]
2．如图4，仪器ABCD 可以用来平分一个角，其中AB =AD ，BC =DC ，将仪器上的点A 与∠PRQ 的顶点R 重合，调整AB 和AD ，使它们落在角的两边上，沿AC 画一条射线AE ，AE 就是∠PRQ 的平分线，你能说明其中道理吗？ 小明的思考过程如下：
AB AD BC DC AC AC =??
=??=?
→△ABC ≌△ADC →∠QRE =∠PRE
你能说出每一步的理由吗？ 图4
3．如图5，斜拉桥的拉杆AB ，BC 的两端分别是A ，C ，它们到O 的距离相等，?将条件标注在图中，你能说明两条拉杆的长度相等吗？
答案：相等，因为△ABO ≌△CBO （SAS ），从而AB =CB ． 三、布置作业，专题突破
1．课本P 16习题11．2第11，12题．
2．选用课时作业设计．
12.2.5 直角三角形全等判定（HL ）
教学内容
本节课主要内容是探究直角三角形的判定方法． 教学目标 1．知识与技能
在操作、比较中理解直角三角形全等的过程，并能用于解决实际问题． 2．过程与方法
经历探索直角三角形全等判定的过程，掌握数学方法，提高合情推理的能力．
3．情感、态度与价值观
培养几何推理意识，激发学生求知欲，感悟几何思维的内涵．
重、难点与关键
1．重点：理解利用“斜边、直角边”来判定直角三角形全等的方法．
2．难点：培养有条理的思考能力，正确使用“综合法”表达．
3．关键：判定两个三角形全等时，?要注意这两个三角形中已经具有一对角相等的条件，只需找到另外两个条件即可．
教具准备
投影仪、幻灯片、直尺、圆规．
教学方法
采用“问题探究”的教学方法，让学生在互动交流中领会知识．
教学过程
一、回顾交流，迁移拓展
【问题探究】
图1是两个直角三角形，除了直角相等的条件，还要满足几个条件，?这两个直角三角形才能全等？
【教师活动】操作投影仪，提出“问题探究”，组织学生讨论．
【学生活动】小组讨论，发表意见：“由三角形全等条件可知，对于两个直角三角形，满足一边一锐角对应相等，或两直角边对应相等，这两个直角三角形就全等了．”
【媒体使用】投影显示“问题探究”．
【教学形式】分四人小组，合作、讨论．
【情境导入】如图2所示．
舞台背景的形状是两个直角三角形，工作人员想知道这两个直角三角形是否全等，但每
个三角形都有一条直角边被花盆遮住无法测量．
（1）你能帮他想个办法吗？
（2）如果他只带了一个卷尺，能完成这个任务吗？
工作人员测量了每个三角形没有被遮住的直角边和斜边，发现它们分别对应相等，于是他就肯定“两个直角三角形是全等的”，你相信他的结论吗？
【思路点拨】（1）学生可以回答去量斜边和一个锐角，或直角边和一个锐角，?但对问题（2）学生难以回答．此时，?教师可以引导学生对工作人员提出的办法及结论进行思考，并验证它们的方法，从而展开对直角三角形特殊条件的探索．
【教师活动】操作投影仪，提出问题，引导学生思考、验证．
【学生活动】思考问题，探究原理．
做一做如课本图11．2─11：任意画出一个Rt△ABC，使∠C=90°，再画一个Rt?△A′B′C′，使B′C′=BC，A′B′=AB，把画好的Rt△A′B′C′剪下，放到Rt△ABC上，?它们全等吗？
【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：
规律：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（简写成“斜边、直角边”或“HL”）．
画一个Rt△A′B′C′，使B′C′=BC,AB=AB;
1．画∠MC′N=90°。
2．在射线C′M上取B′C′BC。
3．以B′为圆心，AB为半径画弧，交射线C′N于点A′。
4．连接A′B′。
二、范例点击，应用所学
【例4】如课本图11．2─12，AC⊥BC，BD⊥AD，AC=BD，求证BC=AD．
【思路点拨】欲证BC=?AD，?首先应寻找和这两条线段有关的三角形，?这里有△ABD
和△BAC ，△ADO 和△BCO ，O 为DB 、AC 的交点，经过条件的分析，△ABD 和△BAC ?具备全等的条件．
【教师活动】引导学生共同参与分析例4． 证明：∵AC ⊥BC ，BD ⊥BD ， ∴∠C 与∠D 都是直角．
在Rt △ABC 和Rt △BAD 中，
,
,
AB BA AC BD =??
=? ∴Rt △ABC ≌Rt △BAD （HL ）． ∴BC =AD ．
【学生活动】参与教师分析，提出自己的见解．
【评析】在证明两个直角三角形全等时，要防止学生使用“SSA ”来证明． 【媒体使用】投影显示例4． 三、随堂练习，巩固深化 课本P 14第练习1、2题． 【探研时空】
如图3，有两个长度相同的滑梯，左边滑梯的高度AC ?与右边滑梯水平方面的长度DF 相等，两个滑梯的倾斜角∠ABC 和∠DEF 的大小有什么关系？
下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？（如图4所示） ,90BC EF AC DF
CAB FDE ==??
∠=∠=?
?→△ABC ≌△DEF →∠ABC →∠DEF →∠ABC +∠DEF =90°．
有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC 与△DEF 全等．这样∠ABC =∠DEF ，也就是∠ABC +∠DEF =90°．
在Rt △ABC 和Rt △DEF 中，BC =EF ，AC =DF ，因此这两个三角形是全等的，这样∠ABC =∠DEF ，所以∠ABC 与∠DEF 是互余的．
【教学形式】这个问题涉及的推理比较复杂，可以通过全班讨论，共同解决这个问题，
但不需要每个学生自己独立说明理由，只要求学生能看懂三位同学的思考过程就可以了．
四、课堂总结，发展潜能
本节课通过动手操作，在合作交流、比较中共同发现问题，培养直观发现问题的能力，在反思中发现新知，体会解决问题的方法．通过今天的学习和对前面三角形全等条件的探求，可知判定直角三角形全等有五种方法．（教师让学生讨论归纳）
五、布置作业，专题突破
1．课本P16习题11．2第7，8题，P18阅读与思考．
2．选用课时作业设计．
板书设计
把黑板分成三份，重复使用，左边部分板书直角三角形判定定理等有关概念，中间部分板书“探究”，右边部分板书例题．
12.3 角的平分线的性质(1)
教学内容
本节课首先介绍作一个角的平分线的方法，然后用三角形全等证明角平分线的性质定理．
教学目标
1．知识与技能
通过作图直观地理解角平分线的两个互逆定理．
2．过程与方法
经历探究角的平分线的性质的过程，领会其应用方法．
3．情感、态度与价值观
激发学生的几何思维，启迪他们的灵感，使学生体会到几何的真正魅力．
重、难点与关键
1．重点：领会角的平分线的两个互逆定理．
2．难点：两个互逆定理的实际应用．
3．?关键：可通过学生折纸活动得到角平分线上的点到角的两边的距离相等的结论．利
等腰三角形 教学目 标知识与技能 进一步理解等腰三角形的判定方法和性质，并能够运用灵活的解决相关问题 过程与方法 了解情况，发现问题，研究讨论，运用知识，解决问 题，提高能力 情感态度与价值观培养学生良好的学习品质. 教学重点等腰三角形的判定和性质 教学难点正确的利用知识解决问题. 教学内容与过程教法学法设计 一. 复习提问，回顾知识，请看下面的问题： 1.有两个角相等的三角形是，三个角都相等的三角形是， 2.如果一个三角形有两边相等，那么这两边所对的角，这是等腰三角形的， 3.等腰三角形的边上的高，线，角的平分线互相重合，可简记为 “三线合一”. 4..等边三角形的三个内角都，并且每个内角都等于°. 5.判定两个三角形全等的方法有： . 6.判定等腰三角形的方法有 . 二. 导入课题，研究知识： 为了更好的理解和掌握等腰三角形的判定方法和性质，灵活的运用知识解答相关的问题本节课我们来复习这一知识. 面向全体学生提出相关的问题。明确要研究，探索的问题是什么，怎样去研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力： 等腰三角形的判定和性质 四.运用知识，分析解题： 问题1已知等腰三角形的顶角等于低角的4倍，求这个等腰三角形各内角的度数. 问题 2.已知等腰三角形的一边长为4㎝，另一边长为9㎝，求它的周长. 问题3如果一个三角形的两个内角分别为70°和40°，那么这个三角形是什么三角形？为什么？ 问题4 如图，已知B D=CE, ∠BDC=∠CEB. 求证:∠ABC=∠ACB. 问题5 如图，在△ABC中，AB=AC, DE∥BC,DE交AB于点D,交AC于点E. 求证：AD=AE. 五.课堂练习：请见教材和练习册 六.课后小结：等腰三角形的知识 七.课后作业：复印给学生. 在复习基础 知识的基础上 运用知识解决 问题. 将知识和实 际问题相结合. 教学反思 E D C B A E D C B A
第十二章全等三角形教案 篇一：人教版第十二章《全等三角形》一一最新版 12. 1全等三角形教学目标1.知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素；2.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等; 3.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边.教学重点全等三角形的性质.教学难点找全等三角形的对应边、对应角.教学过程I .提出问题，创设情境1、问题：你能发现这两个三角形有什么美妙的关系吗？AAlCIl这两个三角形是完全重合的.2.学生自己动手（同桌两名同学配合）取一张纸, 将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样.3.获取概念让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、对应边，以及有关的数学符号.形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形.要是把两个图形放在一起，能够完全重合，？就可以说明这两个图形的形状、大小相同.概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形.请同学们类推得出全等三角形的概念，并理解对应顶点、对应角、对应边的含义?仔细阅读课本中”全等”符号表示的要求.1【.导入新课利用投影片演示将AABC沿直线BC平移得ADEF；将AABC沿BC翻折180° 得到ZiDBC;将Z?ABC 旋转180° 得AAED. ADADEBCBC 甲EF 乙D B丙C议一议：各图中的两个三角形全等吗？不难得出：AABC9Z?DEF, ΔABC^ΔDBC, ΔABC^ΔAED.（注虑强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上）启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，？但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略.观察与思考：寻找中图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？（引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系）得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等.全等三角形的对应角相等.［例1］如图，AOCA^Z?OBD, C和B, A和D是对应顶点，？说出这两个三角形中相等的边和角.CAB问题：AOCABZiOBD,说明这两个三角形可以重合，？思考通过怎样变换可以使两三角形重合？将AOCA翻折可以使Δ0CA与AOBD重合.因为C和B、A和D是对应顶点，？所以C和B重合，A和D 重合.DZC=ZB：ZA=ZD; ZAOC=ZDOB. AC二DB; OA=OD; OC二OB. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合.一般是平移、翻转、旋转的方法.［例
新课标人教版初中八年级上册数学第11章《全等三角形》精品试题 一、填空题（每题2分，共32分） 1．能够____ 的两个图形叫做全等图形． 2．判定两个三角形全等除用定义外，还有几种方法，它们分别可以简写成_______；_______；_______；_______；_________． 3．已知，如图，AD =AC ，BD =BC ，O 为AB 上一点，那么，图中共有 对全等三角形． 4．如图，△ABC ≌△ADE ，则，AB = ，∠E =∠ ．若∠BAE =120°，∠BAD =40°，则∠ BAC = ． 5．△ABC ≌△DEF ，且△ABC 的周长为12，若AB =3，EF =4，则AC = ． 6．如图，AE =BF ，AD ∥BC ，AD =BC ，则有ΔADF ≌ ，且DF = ． 7．如图，在ΔABC 与ΔDEF 中，如果AB =DE ，BE =CF ，只要加上∠ =∠ ， 或 ∥ ，就可证明ΔABC ≌ΔDEF ． 8．△ABC ≌△BAD ，A 和B ，C 和D 是对应顶点，如果AB =8cm ，BD =?6cm ，AD =5cm ，则BC =________cm ． 9．△ABC 中，∠C =90°，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，且CD =4cm ，则点 D 到AB ?的距离是________． 10．如图，已知AC ＝BD ，21∠=∠，那么△ABC ≌ ， 其判定根据是__________． 11．如图，ABC ?中，BC AD ⊥于D ，要使△ABD ≌△ACD ，若根据“HL ”判定，还需加条件___ ＝ ___． 12．如图，已知AC ＝BD ，D A ∠=∠，请你添一个直接条件， ＝ ，使△AFC ≌△DEB ． B A C B A E D 第3题图 第4题图
第十二章全等三角形 12．1全等三角形 1．了解全等形及全等三角形的概念． 2．理解全等三角形的性质． 重点 探究全等三角形的性质． 难点 掌握两个全等三角形的对应边、对应角的寻找规律，能迅速正确地指出两个全等三角形 的对应元素． 一、情境导入 一位哲人曾经说过：“世界上没有完全相同的叶了”，但是在我们的周围却有着好多形状、大小完全相同的图案．你能举出这样的例子吗？ 二、探究新知 1．动手做 (1)和同桌一起将两本数学课本叠放在一起，观察它们能重合吗？ (2)把手中三角板按在纸上，画出三角形，并裁下来，把三角板和纸三角形放在一起，观察它们能够重合吗？ 得出全等形的概念，进而得出全等三角形的概念． 能够完全重合的两个图形叫做全等形，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形． 2．观察 观察△ABC与△A′B′C′ 重合的情况． 总结知识点： 对应顶点、对应角、对应边． 全等的符号：“≌”，读作：“全等于”． 如：△ABC≌△A′B′C′． 3．探究 (1)在全等三角形中，有没有相等的角、相等的边呢？ 通过以上探索得出结论：全等三角形的性质． 全等三角形的对应边相等，对应角相等． (2)把△ABC沿直线BC平移、翻折，绕定点旋转，观察图形的大小形状是否变化．
得出结论：平移、翻折、旋转只能改变图形的位置，而不能改变图形的大小和形状． 把两个全等三角形重合到一起，重合的顶点叫做对应顶点，重合的边叫做对应边，重合的角叫做对应角．如△ABC和△DEF全等，记作△ABC≌△DEF，其中点A和点D，点B 和点E，点C和点F是对应顶点；AB和DE，BC和EF，AC和DF是对应边；∠A和∠D，∠B和∠E，∠C和∠F是对应角． 三、应用举例 例1如图，△ADE≌△BCF，AD＝6 cm，CD＝5 cm，求BD的长． 分析：由全等三角形的性质可知，全等三角形的对应边相等，找出对应边即可． 解：∵△ADE≌△BCF，∴AD＝BC.∵AD＝6 cm， ∴BC＝6 cm.又∵CD＝5 cm， ∴BD＝BC－CD＝6－5＝1(cm)． 四、巩固练习 教材练习第1题． 教材习题12.1第1题． 补充题： 1．全等三角形是() A．三个角对应相等的三角形 B．周长相等的三角形 C．面积相等的两个三角形 D．能够完全重合的三角形 2．下列说法正确的个数是() ①全等三角形的对应边相等； ②全等三角形的对应角相等； ③全等三角形的周长相等； ④全等三角形的面积相等． A．1B．2C．3D．4 3．如图，已知△ABC≌△DEF，∠A＝85°，∠B＝60°，AB＝8，EF＝5，求∠DFE 的度数与DE的长．
11．1 全等三角形 一、学习目标 1、知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素。 2、知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形 全等。 3、能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。 二、重点难点 教学重点：全等三角形的性质。 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角。 三、合作探究 １.观察p 2图案，指出这些图案中中形状与大小相同的图形 2．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板 、 完全一样． 3．获取概念 形状与大小都完全相同的两个图形就是 ．（要是把两个图形放在一起，能够完全重合，就可以说明这两个图形的形状、大小相同．） 即：全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形． 推得出全等三角形的概念： 对应顶点： 、对应角： 、 对应边： 。 “全等”符号： 读作“全等于” 导入新课 D C A B O
将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 得出： ≌△DEF ，△ABC ≌ ，△ABC ≌ ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但 、 都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形 ，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ 全等三角形的性质： ， 。 四、精讲精练 精讲： 例1、如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，? 说出这两个三角形中相等的边和角． 例2、如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADC=∠AEB ， ∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的 B C
全等三角形 教学目标 知识与技能 帮助学生总结一般三角形全等的判定条件，使他们自觉运用各种全等判定法进行说理；通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 过程与方法 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系.习题分析与解答先由学生完成，教师解答疑点。 情感态度与价值 观 通过一般三角形全等判定条件的归纳，帮助学生认识事物间存在着的因果关系和制约的关系. 教学重点 让学生识别三角的哪些元素能用来确定三角形的形状与大小，因而可用来判定三角形全等. 教学难点 灵活应用各种判定法识别全等三角形 教学内容与过程 教法学法设计 一、基础知识复习 1.全等三角形 1、全等三角形的概念及其性质 1）全等三角形的定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形 。 2）.全等三角形性质： 例．如图, ABC ?≌ADE ?，BC 的延长线交DA 于F ，交DE 于G, 105=∠=∠AED ACB , 25,10=∠=∠=∠D B CAD ,求DFB ∠、DGB ∠的度数. 二.导入课题，研究知识： 本节课我们来复习全等三角形的有关知识 面向全体学生提出相关的问题。明确要研 究，探索的问题 是什么，怎样去 研究和讨论。. 留给学生一定的思考和回顾知识的时间。 为学生创设表现才华的平台。
三.归纳知识，培养能力： 2.全等三角形的判定方法 1）、两边和夹角对应相等的两个三角形全等（ SAS ） 2）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( ASA ) 3）、两角和夹边对应相等的两个三角形全等 ( AAS ) 4）、三边对应相等的两个三角形全等 ( SSS ) 5）、一条直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等 ( H L ) 四.运用知识，分析解题： 例：如图，在ABC 中,∠ACB=90?,D 是AC 上一点，AE ⊥BD ，交BD 的延长线于点E ，又 AE=2 1 BD ，求证：BD 是∠ABC 的平分线。 五.课堂练习：请见教材 六.课后小结：《全等三角形》复习 七.课后作业：. 复印给学生. 基础知识复习由学生们以成语接龙的方式完成。教师做最后补充。 教学时应尊重学生已有的经验，鼓励学生探索，适时渗透类比的方法和转化的数学思想。树立辩证唯物主义思想。培养学生刻苦学习的精神。 方法由学生回忆，例题分析由学生完成后，书写解题过程 教学反思 必须手写，是检查备课的重要依据。 D E C B A
八年级数学上册第十一章三角形11.1与三角形有关的线段教案 （新版）新人教版 一、课标要求 (1)理解三角形及三角形有关的线段(边、高、中线、角平分线)的概念，证明三角形两边的和大于第三边，了解三角形的重心的概念，了解三角形的稳定性。 (2)理解三角形的内角、外角的概念，探索并证明三角形内角和定理，探索并掌握直角三角形的两个锐角互余，掌握有两个角互余的三角形是直角三角形，掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 (3)了解多边形的有关概念(边、内角、外角、对角线、正多边形)，探索并掌握多边形的内角和公式与外角和。 二、教材分析 第1节研究与三角形有关的线段。首先结合引言中的实际例子给出三角形的概念，进而研究三角形的分类。对于三角形的边，证明了三角形两边的和大于第三边。然后给出三角形的高、中线与角平分线的概念。结合三角形的中线介绍三角形的重心的概念。最后结合实际例子介绍三角形的稳定性。 第2节研究与三角形有关的角，对于三角形的内角，证明了三角形内角和定理。然后由这个定理推出直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。最后给出三角形的外角的概念，并由三角形内角和定理推出：三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。 第3节介绍多边形的有关概念与多边形的内角和公式、外角和。三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形给出多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可由三角形的有关概念推广而来。三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分为若干个三角形，利用三角形的性质研究多边形。多边形的内角和公式就是利用上述方法得到的。将多边形的有关内容与三角形的有关内容紧接安排，可以加强它们之间的联系，便于学生学习。 三、教学建议 1．把握好教学要求 与三角形有关的一些概念在本章中只要求达到理解的程度就可以了，进一步的要求可通过后续学习达到。如对于三角形的角平分线，在本章中只要知道它的定义，能够从定义得出角相等就可以了，学生在画角平分线时发现三条角平分线交于一点，可直接肯定这个结论，在下一章“全等三角形”中再证明这个结论，同样，三角形的三条中线交于一点的结论也可直接点明。 在本章中，三角形的稳定性是通过实验得出的，待以后学过“三边分别相等的两个三角形全等”，可进一步明白其中的道理，证明三角形的内角和等于180°有一定的难度，只要学生了解得出结论的过程，不要在辅助线上花太多的精力，以免影响对内容本身的理解与掌握，
课题命题 【学习目标】 1．了解命题的概念以及命题的构成，能把命题改为“如果……，那么……”的形式； 2．知道真命题和假命题，会用举例法或画图法等判断一个命题的真假性； 3．在学习的过程中体会数学的逻辑思维能力和有条理的推理能力． 【学习重点】 命题的概念，区分命题的条件和结论． 【学习难点】 区分命题的条件和结论，会把一些简单命题改写成“如果……，那么……”的形式． 行为提示：创景设疑，帮助学生知道本节课学什么． 知识链接：1.平行线的性质定理和判定定理； 2．对顶角的性质和定义； 3．直角的概念和判定． 行为提示：认真阅读课本，独立完成“自学互研”中的题目．在探究练习的指导下，自主的完成有关的练习，并在练习中发现规律，从猜测到探索到理解知识． 学法指导：紧扣“判断一件事情的句子”，有判断语句的是命题，无判断语句的不是命题． 学法指导：每个命题都由条件和结论两部分组成．条件是已知事项，结论是由已知事项推出的事项． 知识链接：1.有一些命题的叙述，其条件和结论并不十分明显，我们可以先把它改写成“如果……，那么……”的形式，再找出它的条件和结论； 2．命题的条件部分有时可用“已知……”或“若……”等形式叙述，结论部分可用“求证……”或 “则……”的形式叙述．情景导入生成问题 相信我能行：判断正误： (1)如果两个角是对顶角，那么这两个角相等； (2)两直线平行，同位角相等； (3)同旁内角相等，两直线平行； (4)相等的角是对顶角； (5)直角都相等． 自学互研生成能力 知识模块一命题的定义 阅读教材P53～P55，完成下面的内容： 定义：表示判断的语句叫做命题． 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题．例如：(1)你喜欢数学吗？(2)作线段AB＝CD.
全等三角形测试题 一．选择题： 1．在△ABC和△A’B’C’中, AB=A’B’, ∠B=∠B’, 补充条件后仍不一定能保证△ABC≌△A’B’C’, 则补充的这个条件是( ) A．BC=B’C’B．∠A=∠A’C．AC=A’C’D．∠C=∠C’ 2．直角三角形两锐角的角平分线所交成的角的度数是（） A．45°B．135°C．45°或135°D．都不对 3．现有两根木棒，它们的长分别是40cm和50cm，若要钉成一个三角形木架，则在下列四根木棒中应选取（） A．10cm的木棒B．40cm的木棒C．90cm的木棒D．100cm的木棒4．根据下列已知条件，能惟一画出三角形ABC的是（） A．A B＝3，BC＝4，AC＝8； B．AB＝4，BC＝3，∠A＝30； C．∠A＝60，∠B＝45，AB＝4； D．∠C＝90，AB＝6 5．如图3，D，E分别是△ABC的边BC，AC上的点，若∠B＝∠C， ∠ADE＝∠AED，则（） A．当∠B为定值时，∠CDE为定值 B．当∠α为定值时，∠CDE为定值 C．当∠β为定值时，∠CDE为定值 D．当∠γ为定值时，∠CDE为定值 二、填空题： 6．三角形ABC中，∠A是∠B的2倍，∠C比∠A＋∠B还大12度，则这个三角形是＿＿三角形． 7．以三条线段3、4、x－5为这组成三角形，则x的取值为＿＿＿＿． 8．杜师傅在做完门框后，为防止门框变形常常需钉两根斜拉的木条，这样做的数学原理是＿＿＿＿． 9．△ABC中，∠A＋∠B＝∠C，∠A的平分线交BC于点D，若CD＝8cm，则点D到AB 的距离为＿＿＿＿cm． 10.AD是△ABC的边BC上的中线，AB＝12，AC＝8，则边BC的取值范围是＿＿＿＿；中线AD的取值范围是＿＿＿＿． 三、解答题： 11．已知：如图13－4，AE=AC，AD=AB，∠EAC=∠DAB， 求证：△EAD≌△CAB． 12．如图13－5，△ACD中，已知AB⊥CD，且BD>CB, △BCE和△ABD都是等腰直角三角形，王刚同学说有下列全等三角形： ①△ABC≌△DBE；②△ACB≌△ABD； ③△CBE≌△BED；④△ACE≌△ADE． A B D C E E A D F C B E D 图13－4 B 图13－3
八年级数学上册第十二章全等三角形12.1全等三角形教案（新 版）新人教版 一、课标要求 (1)理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握并能运用全等三角形的性质。 (2)经历探索三角形全等条件的过程，掌握判定三角形全等的基本事实(“边边边”“边角边”和“角边角”)和定理(“角角边”)，能判定两个三角形全等。 (3)能利用三角形全等证明一些结论。 (4)探索并证明角平分线的性质定理，能运用角平分线的性质。 二、教材分析 中学阶段重点研究的两个平面图形间的关系是全等和相似，本章以三角形为例研究全等。对全等三角形研究的问题和研究方法将为后面相似的学习提供思路，而且全等是一种特殊的相似，全等三角形的内容是学生学习相似三角形的重要基础。本章还借助全等三角形进一步培养学生的推理论证能力，主要包括用分析法分析条件与结论的关系，用综合法书写证明格式以及掌握证明几何命题的一般过程。由于利用全等三角形可以证明线段、角等基本几何元素相等，所以本章的内容也是后面将学习的等腰三角形、四边形、圆等内容的基础。 全等形在几何中处处可见，为了避免学生将全等的概念局限于全等三角形，本章从现实世界中各种各样的全等图形谈起。接着，教科书从“重合”的角度定义了全等形和全等三角形的概念，这种定义方式有利于学生借助生活经验直观地认识所定义的对象，也便于引出全等形的对应部分。 性质与判定是研究全等三角形的两个重要方面。教科书由全等三角形的定义直接导出全等三角形的性质。在研究全等三角形的判定方法时，由图形的性质与判定在命题陈述上的互逆关系出发，引出由三条边分别相等、三个角分别相等判定两个三角形全等的方法。接下来，教科书构建了一个完整的探索三角形全等条件的活动——首先提出探究的问题：由全等三角形的定义可知，满足三条边分别相等、三个角分别相等的两个三角形全等，那么能否减少条件，简捷地判定两个三角形全等呢？然后从“一个条件”开始，逐渐增加条件的数量，分别探究“一个条件”“两个条件”“三个条件”……能否保证两个三角形全等。对于“三个条件”的情形，分为三条边、两条边和一个角、两个角和一条边以及三个角分别相等的情况依次进行了探究。同时，根据对各判定方法学习要求的差别设置了不同的学习方式，有的让学生通过作图实验，猜想结论，再以基本事实的形式给出判定方法，有的让学生通过举反例说明判定方法不成立，有的则由已获得的判定方法证明新的判定方法。最后，探究了判定直角三角形全等的特殊方法。 由于角的平分线的性质可以用全等三角形的知识证明，本章的最后一节安排了角的平分线的
全等三角形复习课 【教学目标】： （1）知识与技能目标：灵活运用三角形全等的判定、性质和角的平分线性质解决问题；体会构建知识框架。 （2）过程与方法目标：让学生建立整章框架的过程，领会分析、总结的方法。 （3）情感与态度目标：在掌握知识的同时，关注学生在观察、思考、探究、交流中主动参与的程度以及交流的意识，从而启迪思维，提高创新能力，培养团队合作精神。 【教学重点】：把全等三角形全章系统化和全等三角形开放性问题。 【教学难点】：全等三角形开放性问题 【教学突破点】：提出问题让学生回忆已学知识，并通过相应练习进行巩固，最后学生用图表小结来构建知识框架。 【教法、学法设计】：合作探究式分层次教学，教师引导归纳，学生以练习巩固为主。 【课前准备】：课件 【教学过程设计】
巩固练习： A 组 1、如图，已知AB=AD ，要使△ABC ≌△ADC ，可增加条件BC=DC ， 理由是 SSS 定理。或∠BAC=∠DAC ，SAS 或∠B= ∠D=90°,HL. 2、如图，△ABC 中，∠C=90o，AD 平分∠CAB 交BC 于点D ，DE ⊥AB ，垂足为E ， 且CD=6cm ，则DE 的长为（ B ） A 、4cm B 、6cm C 、8cm D 、10cm 第1题 A 第2题 A 3、下列说法中正确的是（ D ） A 、两个直角三角形全等 B 、两个等腰三角形全等 C 、两个等边三角形全等 D 、两条直角边对应相等的直角三角形全等 4、三角形内到三条边的距离相等的点是（A ） A 、三角形的三条角平分线的交点 B 、三角形的三条高的交点 C 、三角形的三条中线的交点 D 、三角形的三边的垂直平分线的交点 5、在△ABC 中，∠A=70o，∠B=40o，则△ABC 是（ B ） A 、钝角三角形 B 、等腰三角形 C 、等边三角形 D 、等腰直角三角形 B 组 6、如图，AE=BE ，∠C=∠D ，求证：△ABC ≌△BAD 。 证明△ACE ≌△BDE (AAS )，那么AC=BD ，CE=DE ，因为AE=BE ，所以AE+DE=BE+CE ，即AD=BC ，所以△ABC ≌△BAD (AAS ) （第7题）
第十三章全等三角形 13.1全等三角形 学习导航 目标点击 1．通过一个图形的平移、翻折、旋转，体会全等图形和全等三角形位置变化了，但形状、大小没有变化的特点． 2．理解全等三角形概念及表示方法，知道对应顶点、对应边、对应角及其性质． 知识点拨 （1）能够完全“重合”的两个三角形全等． （2）全等三角形的对应边相等、对应角相等． 例1 填空题： (1)如图13－1－1，①△ACF≌△ABE，AB＝AC，则对应角是____，对应边是____． ②△OFB≌△OEC，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－1 图13－1－2 (2)如图13－1－2，△ABC≌△DEB，AB＝DE，∠E＝∠ABC，则∠C对应角为____，BD边对应边为____． (3)如图13－1－3，△ABC≌△ADE，∠B＝∠ADE，∠C＝∠E，则对应角是____，对应边是____． 图13－1－3 解：(1)①对应角是∠A与∠A，∠ABE与∠ACF，∠AEB与∠AFC，对应边是AB与AC，BE 与CF，AE与AF． ②对应角是∠BOF与∠COE，∠BFO与∠CEO，∠OBF与∠OCE，对应边是OB与OC，OF 与OE，BF与CE． (2)∠C的对应角是∠DBE，BD的对应边是CA． (3)对应角是∠B与∠ADE，∠C与∠E，∠BAC与∠DAE．对应边是AB与AD，AC与AE，BC与DE． 点拨：由于在全等三角形中，相等的边是对应边，相等的角(或公共角)是对应角，结合图形即可判断出． 例2 如图13－1－4，△ABC≌△DEF，∠A＝30°，∠B＝50°，BF＝2． 求∠DFE的度数与EC的长． 图13－1－4
第十二章 12.1全等三角形 知识点1：全等形与全等三角形的概念 定义:能够完全重合的两个图形叫做全等形. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形,重合的顶点叫做对应点,重合的边叫做对应边,重合的角叫做对应角.全等三角形是最简单的全等形. 关键提醒:1. 全等三角形是特殊的全等形,全等三角形关注的是两个三角形的形状和大小是否完全一样,叠合在一起是否重合,与它们的位置没有关系. 2. “全等”用“≌”表示,读作“全等于”,记两个三角形全等时,通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 3. 一个图形经过平移、翻折、旋转后,位置变化了,但形状、大小都没有改变,即平移、翻折、旋转前后的图形全等,所以两个全等的三角形都能通过适当的平移、翻折、旋转等变换后重合. 知识点2：全等三角形的性质 全等三角形的对应边相等、对应角相等.由全等三角形的定义还容易知道全等三角形的周长相等、面积相等、对应边上的中线相等、对应角的平分线相等、对应边上的高相等. 关键提醒:1. 全等三角形的周长相等,面积相等,但周长相等或面积相等的两个三角形不一定是全等三角形. 2. 要正确区分对应边与对边、对应角与对角的概念.一般地,对应边、对应角是就两个三角形而言的,指两条边、两个角的关系,而对边、对角是就同一个三角形的边和角而言的,对边是指角的对边,对角是指边的对角. 考点1：全等三角形的对应边和对应角判定 【例1】如图所示,△ABC绕点B顺时针旋转90°到△DBE,且∠ABC=90°. (1)△ABC和△DB E是否全等?若全等,指出对应边和对应角; (2)直线AC、DE有怎样的位置关系?
解:(1)因为△ABC绕点B顺时针旋转90°后与△DBE重合,所以△ABC≌△DBE. 对应边:AB与DB,BC与BE,AC与DE;对应角:∠A与∠D,∠ABC与∠DBE,∠ACB与∠E. (2)延长AC交DE于点F.如图所示, 由(1)知∠A=∠D,又∠ACB=∠DCF,所以在△ABC和△DFC中,有∠DFC=∠ABC=90°,即直线AC与DE 互相垂直. 点拨:(1)中的△ABC和△DBE形状和大小没有发生变化,只是位置发生改变,所以这两个三角形是全等三角形,根据旋转过程中点的对应关系,从而确定出对应边和对应角;(2)延长AC交DE于点F,可以证明∠CFD=∠ABC=90°,从而可以判断出两条线段是垂直关系. 考点2：利用全等三角形的定义判断三角形的全等 【例2】如图,在△ABC中,AB=AC,D是BC边的中点,连接AD.DE⊥AB,DF⊥AC,垂足分别为E、F,则图中共有多少对全等三角形?请直接用符号“≌”把它们分别表示出来.(不要求证明)
13．4 尺规作图 第1课时尺规作图(1) 1．掌握五种基本作图的方法． 2．会用五种基本作图的方法来解决简单的作图题． 重点 五种基本作图的方法． 难点 作图语言的叙述． 一、自学教材 自学教材第85～88页,体会前三种基本作图的方法．学生自学教材,交流归纳作一条线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作已知角的平分线的方法． 二、探究新知 教师演示作图过程． 1．作一条线段等于已知线段 已知：线段AB.求作：线段A′B′,使A′B′＝AB. 作法：(1)作射线A′C′； (2)以点A′为圆心,以AB的长为半径作弧,交射线A′C′于点B′.A′B′就是所要求作的线段． 2．作一个角等于已知角 如图,已知∠AOB和射线O′B′,用尺规作图法作∠A′O′B′＝∠AOB. ①以点O为圆心,任意长为半径作弧交OA于点C,交OB于点D； ②以点O′为圆心,OC长为半径作弧,交O′B于点C′； ③以点C′为圆心,CD长为半径作弧交前弧于点A′； ④以点O′为顶点作射线O′A′.∠A′O′B′即为所求． 3．作已知角的平分线 已知：∠AOB.求作：∠AOB的平分线．作法： ①以点O为圆心,适当长为半径作弧,交OA于点M,交OB于点N；②分别以点M,N为圆心,
大于12 MN 的长为半径作弧,两弧在∠AOB 的内部交于点C ；③作射线OC.射线OC 即为所求． 教师活动：同排两个同学互相交流尺规作图的注意事项,并实际动手操作． 学生活动：组织积极讨论,小组交流,代表发言． 教师总结：尺规作图注意事项：①尺规作图只能使用圆规和没有刻度的直尺；②几何作图必须保留作图痕迹． 三、练习巩固 1．如图,已知∠AOB.(1)求作∠EDF ,使∠EDF＝∠AOB；(2)求作∠EDF 的平分线DG. 2．如图,已知∠A ,∠B,求作一个角,使其等于∠A－2∠B. 3．如图,已知线段AB,CD,求作一个等腰三角形,使其腰长等于AB,底边长等于CD. 四、小结与作业 小结 1．尺规作图的概念． 2．用尺规作一条线段等于已知线段及线段的和、差的作法． 3．作一个角等于已知角及角的和差的作法． 作业 教材第91页习题13.4第2题． 这节课内容较多,前三个基本作图较简单,主要是学生自学后独立操作,教师演示的目的是规范作图语言,搞清其中的几何道理．后两个作图实际上用到了转化思想,较为复杂,要让学生搞明白作图的原理,是掌握作图步骤的关键． 运用基本作图方法解作图题时,应让学生先分析作图顺序后,再完成．对于作图语言应逐步规范．
13 沪科版八年级上学期数学全等三角形 全等三角形 要点提示 1.全等三角形的有关概念 （1）能够完全重合的两个图形叫做__________. （2）能够完全重合的两个三角形叫做__________. 2.全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边、对应角_________. （2）全等三角形的对应角平分线、对应中线、对应高线_________. （3）全等三角形的周长________、面积_________. 3.“全等”用符号’≌”表示，读作“全等于”.当两个三角形全等时，通常把 表示对应顶点的字母写在对应的位置上. 4.全等三角形主要是指形状、大小相同的两个三角形，与位置无关系，将一个 三角形经过平移、翻折、旋转后，得到的三角形与原三角形全等. 典例分析 1.如右图中△ABC 和△DEF 全等，记作 其中点A 和点 ,点B 和点 点 和点D 是对应点， 边AB 和 ， 和ED ，AC 和 是对应边； 2.如图,矩形ABCD 沿AM 折叠,使D 点落在BC 上的N 点处,如果AD=7cm,DM=5cm, ∠DAM=39°,则AN=___cm,NM=___cm,∠NAB=___. 3.如图，111ABC A BC △≌△且11040A B ∠=∠=° ，°，则1C ∠= ． A B C D E F A D C B N M A B C C 1 A 1 B 1
14 基础强化 1.如图，ACB A C B '''△≌△，BCB ∠'=30°，则 ACA '∠的度数为（ ） A 20° B．30° C ．35° D ．40° 2.下列说法正确的是（ ） A.全等三角形是指形状相同的两个三角形 C.全等三角形的周长和面积分别相等 C.全等三角形是指面积相等的两个三角形 D.所有的等边三角形都是全等三角形 3.已知下图中的两个三角形全等，则∠α度数是（ ） A.72° B.60° C.58° D.50° 4.如下图，OA OB =，OC OD =，50O ∠=，35D ∠=，则AEC ∠等于（ ） A ．60 B ．50 C ．45 D ．30 5.如图1，ΔABD ≌ΔCDB ，且AB 、CD 是对应边；下面四个结论中不正确的是： A.ΔABD 和ΔCDB 的面积相等 B.ΔABD 和ΔCDB 的周长相等 C.∠A+∠ABD =∠C+∠CBD D.AD//BC ，且AD = BC 6.如下图，△ACE ≌△DBF ，若∠E =∠F ，AD = 8，BC = 2，则AB 等于( ) A.6 B.5 C.3 D.不能确定 C A B A ' O E A B D C
第十二章全等三角形单元教学计划单元要点分析 教学内容 本章的主要内容是全等三角形．主要学习全等三角形的性质以及探索判定三角形全等的方法，并学会怎样应用全等三角形进行证明，本章划分为三个小节，第一节学习三角形全等的概念、性质；第二节学习三角形全等的判定方法和直角三角形全等的特殊判定方法；第三节利用三角形全等证明角的平分线的性质，会利用角的平分线的性质进行证明．教材分析 教材力求创设现实、有趣的问题情境，使学生经历从现实活动中抽象出几何模型和运用所学内容解决实际问题的过程．在内容呈现上，把研究三角形全等条件的重点放在第一个条件上，通过“边边边”条件探索什么是三角形的判定，如何判定，怎样进行推理论证，怎样正确地表达证明过程．学生开始学习三角形判定定理时的困难在于定理的证明，而这些推理证明并不要求学生掌握．为了突出判定方法这条主渠道，教材都作为基本事实提出来，在画图、实验中让学生知道它们的正确性就可以了．在“角的平分线的性质”一节中的两个互逆定理，只要求学生了解其条件与结论之间的关系，不必介绍互逆命题、互逆定理等内容，这将在“勾股定理”中介绍． 三维目标 1．知识与技能 在探索全等三角形的性质与判定中，提高认知水平，积累数学活动经验． 2．过程与方法 经历探索三角形全等的判定的，发展空间观念和有条理的表达能力，掌握两个三角形全等的判定并应用于实际之中． 3．情感、态度与价值观 培养良好的观察、操作、想象、推理能力，感悟几何学的内涵． 重、难点与关键 1．重点：使学生理解证明的基本过程，掌握用综合法证明的格式． 2．难点：领会证明的分析思路，学会运用综合法证明的格式． 3．关键：突出三角形全等的判定方法这条主线，淡化对定理的证明．教学建议
课题：第11章全等三角形复习 【学习目标】 1、掌握三角形全等的判定方法，利用三角形全等进行证明，掌握综合法证明的格式. 2、能用尺规进行一些基本作图?能用三角形全等和角平分线的性质进行证明。 3、极度热情、高度责任、自动自发、享受成功。 教学重点：用三角形全等和角平分线的性质进行证明有关问题教学难点：灵活应用所学知识解决问题，精炼准确表达推理过程 【学习过程】 一、本章知识结构梳理 定义 (1)定义: 一冷龙全等三角形(2)性质：三角形| ” < /、軻宀舌、出L般三角形 |(3)判疋万法丿…… ［i直角三角形 血砧〒八”(1)性质： 角的平分线』「，亠 (2)判疋： 二、方法指引 1、证明两个三角形全等的基本思路： 伴第三边( _________ ) (1)已知两边《找夹角( _____________ ) 看是否是直角三角形( __________ ) (找弦边的另一邻角( ______ ) 已知一边与邻角］找这个角的另一邻边〔— ［我这边的对角〔____ ) ⑵己知一边一角 ?找一角(____ 、 已知-边与对角计 且知是直角，找1边(________ ) 找夹边(____________ ) (3)已知两角 找夹边外任意一边( ______________ )
2、三角形全等是证明线段相等、角相等最基本、最常用的方法。 例题 1 如图：AB=AC , ME丄AB , MF丄AC，垂足分别为E、F, ME=MF。 求证：MB=MC 例题2、已知，△ ABC和厶ECD都是等边三角形，且点B, C, D在一条直线上求证：BE=AD 3、当题目中有角平分线时，可通过构造等腰三角形或全等三角形来寻找解题思路，或利用角平分线性质去证线段相等 例题3、已知/ B= / E=90 ° , CE=CB , AB// CD. 求证：△ ADC是等腰三角形 D
13.3等腰三角形（第1课时） 一、内容和内容解析 1.内容 等腰三角形的性质． 2.内容解析 本节课是在学生已经学习了三角形的基本概念、全等三角形和轴对称知识的基础上，进 一步研究特殊的三角形——等腰三角形．等腰三角形的性质为证明两个角相等、两条线段相等、两条直线垂直提供了方法，也是后续学习等边三角形、菱形、正方形、圆等内容的重要基础． 等腰三角形性质的探索是通过轴对称进行的，借助于轴对称发现了等腰三角形的性质，也获得了添加辅助线证明性质的方法．性质的证明是将欲证明相等的两个角（或线段）置于 两个全等三角形之中，这是证明两个角相等或两条线段相等的基本策略之一．等腰三角形性 质的探索与证明体现了转化的思想． 基于以上分析，确定本节课的教学重点：探索并证明等腰三角形性质． 二、目标和目标解析 1.目标 （1）探索并证明等腰三角形的两个性质． （2）能利用性质证明两个角相等或两条线段相等． （3）结合等腰三角形性质的探索与证明过程，体会轴对称在研究几何问题中的作用． 2.目标解析 达成目标（1）的标志是：学生能借助实验发现等腰三角形的两个性质；能正确理解两个性质的含义（会区分命题的条件和结论，能用数学语言准确表述性质的含义，特别是“重合”和“三线合一”的含义，会将性质“三线合一”分解成三个命题）；能利用三角形全等证明两 个性质． 达成目标（2）的标志是：学生能在等腰三角形的情境中利用两个性质证明两个角相等或两条线段相等． 达成目标（3）的标志是：学生知道等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线（顶角平分线、底边上的高）所在直线就是它的对称轴；能借助轴对称发现等腰三角形的性质，并获得添加辅助线证明性质的方法． 三、教学问题诊断分析 学生由于添加辅助线的经验不足，对于何时需要添加辅助线、如何添加辅助线仍没有规 律性了解．表现在“等边对等角”的证明中，为什么要作底边上的中线感到茫然，常常发出“怎 么想到的”的疑问．事实上，添加辅助线本身就是一项探究性数学活动，是获得证明所采取的一种尝试，既可能成功，也可能失败；作底边上的中线是受前面“探究”活动的启发——作
C 1 1C A B A 1 第十二章 §12．1 全等三角形 教学目标 (一)知识技能: 1、了解全等形及全等三角形的概念。 2、理解掌握全等三角形的性质。 3、能够准确辩认全等三角形的对应元素。 (二)过程与方法 ： 1、在图形变换以用操作的过程中发展空间观念，培养几何直觉。 2、在观察发现生活中的全等形和实际操作中获得全等 三角形的体验。 (三) 情感态度与价值观： 在探究和运用全等三角形性质的过程中感受到数学活动的乐趣。 教学重点: 全等三角形的性质． 教学难点：找全等三角形的对应边、对应角． 预习导航:什么是全等三角形？如何找全等三角形的对应边和对应角？ 全等三角形有哪些性质？ 教学过程 (一)提出问题，创设情境 出示投影片 ：1.问题：你能 发现这两个图形有什么美妙 的关系吗？ 这两个图形是完全重合的． 2.那同学们能举出现实生活中能够完全重合的图形的例子吗003F 生：同一张底片洗出的同大小照片是能够完全重合的。 形状与大小都完全相同的两个图形就是全等形． 3．学生自己动手（同桌两名同学配合） 取一张纸，将自己事先准备好的三角板按在纸上，画下图形，照图形裁下来，纸样与三角板形状、大小完全一样． 4．获取概念 让学生用自己的语言叙述：全等形、全等三角形、对应顶点、对应角、 对应边，以及有关的数学符号． 记作：△ABC ≌ △ A ’B ’C ’ 符号“ ≌ ”读作“全等于” 甲 D C A B F E
（注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） （二）．新知探究 利用投影片演示 1.活动：将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180 得到△DBC ； 将△ABC 旋转180°得△AED ． 2. 议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，?但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的 一种策略． 3. 观察与思考： 寻找甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角呢？ （引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 得到全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等． 全等三角形的对应角相等． （三）例题讲解 [例1]如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． 1. 分析：△OCA ≌△OBD ，说明这两个三角形可以重合，?思考通过怎样变换可以使两三角 形重合？ 将△OCA 翻折可以使△OCA 与△OBD 重合．因为C 和B 、A 和D 是对应顶点，?所以C 和B 重合，A 和D 重合． ∠C=∠B ；∠A=∠D ；∠AOC=∠DOB ．AC=DB ；OA=OD ；OC=OB ． 2. 总结：两个全等的三角形经过一定的转换可以重合．一般是平移、翻转、旋转的方法． [例2]如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． 1. 分析：对应边和对应角只能从两个三角形中找，所以需将△ABE 和△ACD 从复杂的图形 中分离出来． 2小结：找对应边和对应角的常用方法有： D C A B O D C A B E 乙 D C A B 丙 D C A B E