上海市十二校2012学年第一学期高三数学（理科）试卷
命题人：蒲红军 学校：三林中学 2012年11月
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． 1．函数12
()log (21)f x x =+的定义域为 ．
2．已知角θ的终边过点(3,4)P -,则sin cos θθ+的值为_______ 3．设集合21
{|2},{1}2
A x x
B x x =-<<=≤，则A B = _________ 4．若2x 3ππ≤≤
，则方程2sin 10x +=的解x = 6
7π 5．已知函数]4,32[,3)3()(2
a a x x
b ax x f --∈+-+=是偶函数,则._____=+b a
6．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1
(,9)3，则1()4
f 的值是_____
7．若等差数列{}n a 满足).(341*∈-=++N n n a a n n 则1a 的值为______
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____吨 9．函数x x x f cos 3sin )(-=([0,])x π∈的值域是_______
10．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若212S =，316S a =-，则lim n n S →∞
=________
11．若存在．．
实数[1,2]x ∈满足2
220x ax -+>，则实数a 的取值范围是 12．在平面直角坐标系xOy 中，函数()()1f x k x =-（1k >）的图像与x 轴交于点A ，它的反函数()1
y f
x -=的图像与y 轴交于点B ，并且这两个函数的图像交于点P ．若四边形OAPB 的面
积是3，则k =___________
13．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是
14．对于定义域和值域均为[0,1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，
1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点称为f 的n 阶周期点．设
12,0,2
()122,1,
2
x x f x x x ?
≤≤??=?
?-<≤?? 则f 的n 阶周期点的个数是 ____ 二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．“3>x ”是“03>-x ”的 ………（ ） A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 16．函数()sin 0,0,2y A x A πω?ω??
?
=+>><
??
?
的图像如图所示，则y 的表达式为( ） A ．102sin 116x y π??=+
??? B ．102sin 116x y π??
=- ???
C ．2sin 26y x π??=+ ???
D ．2sin 26y x π?
?=- ??
?
17．若{}*1112()1n
n n n
a a a a n N a ++==
∈-数列满足，，则该数列的前2012项的乘积 12320112012a a a a a ?????= ( )
A ．3．
B ．6-．
C ．1．
D ．2
18．对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n N ∈，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ， 则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是 （ ）
A ．若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M
B ．若{}n a M ，则2
2
{}n a M C ． 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D ．若{}n a M ，则{21}21n a M ++
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 已知221
{|
0}{|0}2x A x B x x ax b x -=>=++≤+，，且1{|3}2
A B x x =<≤ ，A B R = ，
求（1）A （2）实数b a +的值. 解：
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分 在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且10
10
3cos ,21tan =
=
B A （1）求tan
C 的值; （2）若⊿ABC 最长的边为1，求b 边及⊿ABC 的面积 解：
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 若函数()f x 在定义域D 内某区间I 上是增函数，而()
()f x F x x
=在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”
(1)请分别判断()f x =4x +，2
()42g x x x =++在(1,2)x ∈是否是“弱增函数”，并简要说明理由。 (2)若函数2
1()(sin )2
h x x x b θ=+-+( b θ、是常数)在(0 1]，上是“弱增函数”，请求出θ及正数b 应满足的条件。 解：
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.
已知2()21
x x a
f x -=+（R a ∈）的图像关于坐标原点对称
（1）求a 的值，并求出函数11
24
2)()(-+-
+=x x
x f x F 的零点； （2）若函数()()221
x
x b
h x f x =+-
+在[0,1]内存在零点，求实数b 的取值范围 （3）设4()log 1k x g x x +=-，若不等式1
()()f x g x -≤在12[,]23
x ∈上恒成立, 求满足条件的最小整
数k 的值 解：
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列{}n a ，如果数列{}n b 满足满足*
111,(2,)n n n b a b a a n n N -==+≥∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“生成数列”
（1）若数列{}n a 的通项为n a n =，写出数列{}n a 的“生成数列”{}n b 的通项公式
（2）若数列{}n c 的通项为n c An B =+, (A.、B 是常数)，试问数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是否是等差数列，请说明理由。
（3）已知数列{}n d 的通项为2n
n d n =+，设{}n d 的“生成数列”为{}n p
若数列n {}L 满足n
n n
d n L p n ?=?
?是奇数是偶数
求数列n {}L 的前n 项和n T
解：
上海市十二校2012学年第一学期高三数学（理科）试卷（答案）
命题人：蒲红军 学校：三林中学 2012年11月
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结
果，每个空格填对得4分，否则一律得零分．
1．函数12
()log (21)f x x =+的定义域为 ．1
(,)2-+∞
2．已知角θ的终边过点(3,4)P -,则sin cos θθ+的值为_______1
5
3．设集合21
{|2},{1}2
A x x
B x x =-<<=≤，则A B = _________{12}x x -≤< 4．若2x 3ππ≤≤
，则方程2sin 10x +=的解x = 6
7π 5．已知函数]4,32[,3)3()(2
a a x x
b ax x f --∈+-+=是偶函数,则._____=+b a 2
6．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1
(,9)3，则1()4
f 的值是_____2
7．若等差数列{}n a 满足).(341*∈-=++N n n a a n n 则1a 的值为______.2
1
-
8．某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x =_____吨．20
9．函数x x x f cos 3sin )(-=([0,])x π∈的值域是_______ [2]
10．已知数列{}n a 是等比数列，其前n 项和为n S ，若212S =，316S a =-，则l
i m n n S →∞
=____16____ 11．若存在．．实数[1,2]x ∈满足2
220x ax -+>，则实数a 的取值范围是 。(,5)-∞ 12．在平面直角坐标系xOy 中，函数()()1f x k x =-（1k >）的图像与x 轴交于点A ，它的反函数()1
y f
x -=的图像与y 轴交于点B ，并且这两个函数的图像交于点P ．若四边形OAPB 的面
积是3，则k =___________.
3
2
13．已知数列{}n a 是以3为公差的等差数列，n S 是其前n 项和，若10S 是数列{}n S 中的唯一最小项，则数列{}n a 的首项1a 的取值范围是 ()30,27--
14．对于定义域和值域均为[0,1]的函数f (x )，定义1()()f x f x =，21()(())f x f f x =，…，
1()(())n n f x f f x -=，n =1，2，3，…．满足()n f x x =的点称为f 的n 阶周期点．
设12,0,2
()122,1,2
x x f x x x ?
≤≤??=??-<≤?? 则f 的n 阶周期点的个数是 ____ 2n
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案．考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分． 15．“3>x ”是“03>-x ”的 ………（ ）A A ．充分非必要条件 B ．必要非充分条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．既非充分又非必要条件 16．函数()sin 0,0,2y A x A πω?ω??
?
=+>><
??
?
的图像如图所示，则y 的表达式为( C ） A ．102sin 116x y π??=+
??? B ．102sin 116x y π??
=- ???
C ．2sin 26y x π??=+ ???
D ．2sin 26y x π?
?=- ??
?
17．若{}*1112()1n
n n n
a a a a n N a ++==
∈-数列满足，，则该数列的前2012项的乘积 12320112012a a a a a ?????= ( C )
A ．3．
B ．6-．
C ．1．
D ．2
18．对于数列{}n a ，若存在常数M ，使得对任意*n N ∈，n a 与1n a +中至少有一个不小于M ， 则记作{}n a M ，那么下列命题正确的是 （ D ）
A ．若{}n a M ，则数列{}n a 各项均大于或等于M
B ．若{}n a M ，则2
2
{}n a M C ． 若{}n a M ，{}n b M ，则{}2n n a b M + D ．若{}n a M ，则{21}21n a M ++
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．
19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分4分，第2小题满分8分. 已知221
{|
0}{|0}2x A x B x x ax b x -=>=++≤+，，且1{|3}2
A B x x =<≤ ，A B R = ，
求（1）A （2）实数b a +的值.
解：依题意1( 2)( ) 2
A =-∞-+∞ ，， 4分 由1
{|3}2
A B R A B x x ==<≤ ，
得 ∴{|23}B x x =-≤≤ 7分， 即方程20x ax b ++=的解是1223x x =-=， 9分
于是12()1a x x =-+=-，126b x x ==-， 11分 ∴7a b +=- 12分
20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第（1）小题满分6分，第（2）小题满分8分 在⊿ABC 中，角A 、B 、C 所对的边分别为a 、b 、c,且10
10
3cos ,21tan =
=
B A （1）求tan
C 的值; （2）若⊿ABC 最长的边为1，求b 边及⊿ABC 的面积
解：（1
）cos 0,B =
> ∴B 锐角,
且sin B ==
分 sin 1
tan cos 3
B B B ∴=
=, 3分 []11tan tan 23tan tan ()tan()1111tan tan 123
A B C A B A B A B π+
+∴=-+=-+=-=-
=--?-? 6分 (2)由(1)知C 为钝角, C 是最大角,最大边为1c = 7分
tan 1,135,sin 2
C C C =-∴=?∴=
, 8分 由正弦定理:
sin sin b c
B C
=
得1sin sin c B b C ?
=== 10分
sin A 12分 1sin 2S cb A ==1
10
14分
21．（本题满分14分）本题有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分. 若函数()f x 在定义域D 内某区间I 上是增函数，而()
()f x F x x
=在I 上是减函数，则称()y f x =在I 上是“弱增函数”
(1)请分别判断()f x =4x +，2
()42g x x x =++在(1,2)x ∈是否是“弱增函数”，并简要说明理由。 (2)若函数21
()(sin )2
h x x x b θ=+-+( b θ、是常数)在(0 1]，上是“弱增函数”，请求出θ及正数b 应满足的条件。
解：（1）由于()f x =4x +在(1,2)上是增函数，且()F x =
()4
1f x x x
=+在(1,2)上是减函数， 所以()f x =4x +在(1,2)上是“弱增函数” 3分
2()4g x x x =+在(1,2)上是增函数，但
()
4g x x x
=+在(1,2)上不是减函数， 所以2
()42g x x x =++在(1,2)上不是“弱增函数” 6分 （2）设2
1
()(sin )2
h x x x b θ=+-+( b θ、是常数)在(0 1]，上是“弱增函数” 所以2
1()(sin )2h x x x b θ=+-
+在(0 1]，上是增函数，且()F x =()1
(sin )2
h x b x x x θ=++-在
(0 1]，上是减函数
由21()(sin )2h x x x b θ=+-+在(0 1]，上是增函数得，1
(sin )
202
θ--≤ 7分 1sin 2θ≥ 5[2,2]66k k k Z ππ
θππ∈++∈ 9分
考察函数()F x =()1
(sin )2
h x b x x x θ=++-在(0 1]，
上的单调性
1，即1b ≥时，设1201x x <<≤， 则121212121212
()()
11()()[(sin )][(sin ]22x x x x b b b F x F x x x x x x x θθ---=+
+--++-= ∵1201x x <<≤，∴120x x -<，1201x x b <<≤， ∴12121212
()()
()()0x x x x b F x F x x x ---=
>即()F x 在(0 1]，上单调递减， 11分
()h x 在(0 1]，
上是“弱增函数”； 12分
②当01<<，即01b <<时，1
()(1)1(sin )2
F b F b θ==++-，即()F x 在(0 1]，上不是单调函数，∴()h x 在(0 1]，上不是“弱增函数”. 13分 综上所述，1b ≥且5[2,2]6
6
k k k Z π
πθππ∈+
+
∈时，h()x 在(0 1]，
上是“弱增函数”；
01b <<时R θ∈，()h x 在(0 1]，上不是“弱增函数” 14分
22．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分5分，第2小题满分5分，第3小题满分6分.
已知2()21
x x a f x -=+（R a ∈）的图像关于坐标原点对称
（1）求a 的值，并求出函数11
24
2)()(-+-
+=x
x
x f x F 的零点； （2）若函数()()221
x
x b
h x f x =+-+在[0,1]内存在零点，求实数b 的取值范围 （3）设4()log 1k x g x x +=-，若不等式1
()()f x g x -≤在12[,]23
x ∈上恒成立, 求满足条件的最小整
数k 的值
解：（1）由题意知()f x 是R 上的奇函数，所以(0)0f =得 1a = 2分
21()21x x
f x -=+ F （x ）＝2121x x -+＋42121x
x --+＝2(2)2621
x x x
+-+ 3分 由2(2)26x x +-＝0，可得2x ＝2， 4分 所以，1x =，即F （x ）的零点为1x = 5分
（2）2121(2)21()2212121
x x x x x x x b b
h x +-+--=+-=+++ 6分 有题设知()0h x =在[0,1]内有解，即方程2
1
(2)2
10x x b ++--=在[0,1]内有解-------7分
212(2)21(21)2x x x b +=+-=+-在[0,1]内递增， 27b ≤≤ 9分
所以当27b ≤≤ 时函数()()221
x
x b
h x f x =+-
+在[0,1]内存在零点 10分 （3）由1
()()f x g x -≤得24
1log log 11x k x x x
++≤-- 11分 2(1)1x k x x ++≥-，显然12
[,]23
x ∈时0k x +> 即22+11x x k x +≥- 12分
设12
11
1,[,]
m [,]2332
m x x =-∈∈由于所以
于是222+125442325[4,]13
x x m m m x m m +-+==+-∈- 14分
所以23
k 3
≥
15分 满足条件的最小整数k 的值是8k = 16分
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分.
已知数列{}n a ，如果数列{}n b 满足满足*
111,(2,)n n n b a b a a n n N -==+≥∈，则称数列{}n b 是数列{}n a 的“生成数列”
（1）若数列{}n a 的通项为n a n =，写出数列{}n a 的“生成数列”{}n b 的通项公式
（2）若数列{}n c 的通项为n c An B =+, (A.、B 是常数)，试问数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是否是等差数列，请说明理由。
（3）已知数列{}n d 的通项为2n
n d n =+，设{}n d 的“生成数列”为{}n p
若数列n {}L 满足n
n n
d n L p n ?=?
?是奇数是偶数
求数列n {}L 的前n 项和n T
解：（1）*
1
1
21
2,n n b n n N =?=?
-≥∈? 3分
21n b n =- 4分
（2）*
1222,n A B
n l An B A
n N +=?=?
+-≥∈? 6分
当0B =时n l =2An A - 由于12n n l l A +-=（常数），所以此时数列{}n c 的“生成数列”{}n l 是等差数列。 8分 当0B ≠时由于123,3252l A B l A B
l A B =+=+=+,此时1322l l l +≠ 9分
所以此时数列{}n c 的“生成数列”{}n l 不是等差数列。 10分 （3） 1
31
32
21
1
n n n p n n -=?=?
?+->? 11分
1
23221
n n n n n L n n -?+?=??+-??是奇数是偶数
12分
当n 时偶数时，
35131(2+1)(23)(25)(2(1))(323)(327)(32(21))
n n n T n n --=+++++++-+?++?+++?+- =21
2(1)(21)22342n n n n n ++-++-+=2832(21)34
n n n +-+ 15分 当n 时奇数时
11n n n T T p ++=-=2183(1)2(1)
(21)(32(21))34n n n n n ++++-+-?++
=227231872329
3433412n n n n ?+?+-=+- 17分 综合：22
72329
3412
832(21)3
4n n n n n T n n n ??+-??=?+?-+??是奇数
是偶数
18分