Comparative teaching research and experiment of
numerical integration method
LiuPengfei, XUNainan
Abstract:
Numerical integration is a very important teaching content in the course of calculation method or numerical analysis. The numerical integration method is also an important method to solve practical problems.In this paper, we discuss the basic ideas of numerical integration method and some in the actual teaching comparative research and experiment teaching. Keywords:
Numerical integrationCalculation method
Numerical analysisNumerical experiments
Text:
The invention of calculus is a great achievement in the history of human science. However, in practical problems, there are still many limitations in solving integral. If the product function is often very complex, can not find the corresponding original function, or the product function is not a function expression, but
in the form of a table, its original function is not meaningful.Therefore, it is significant to investigate the numericalintegration method of approximate calculation.
1.Basic ideas of numerical integration method
By the integral mean value theorem, it is known that (x), b] (Qbaf) dx= (B-A) f (N) is set up in [a (x), which is a continuous function f (N). Problem is difficult to accurately calculate the average height of F (n) values, the different algorithms of F (n), you can get different numerical quadrature method, such as left (right) formula of rectangular, trapezoidal, Simpson formula. Generally, [a, b] some node XK at the height of F (XK) weighted average to approximate the average height of F (n), f (XK) linear combination to approximate the definite integral, mechanical quadrature formula:
Qbaf(x)dxUEnk=0Akf(xk)
Directly using the function computed values in the discrete node function integral, avoids the difficulty in seeking the original function, only need to be determined with the product function and
productAkquadrature coefficients are independent between partitions.
In order to ensure the accuracy of the mechanical quadrature formula, it is natural to want accurate simple function as much as possible. Namely, it is required that all the m polynomials are exact, and the m+1 time polynomials are not necessarily accurate. was about coefficient of n + 1 order linear equations. 101n 220011101A A +.....A =b-a A +A x +....+A x =2A X +A X +....+A X =1n n n n n n n n n n b a x b a n -+
??++?-????-?+?
Because the coefficient determinant Vandermonde
determinant, and it is not zero,solutionAk is
unique.2. Teaching analysis of several common
numerical integration method
2.1 The interpolation type quadrature formula
In [a, b], to node n Lagrange interpolation
polynomial (x) as f(x) as the approximation function,
can be obtained by interpolation quadrature formula:
b
b n a a
n b
k k a k=0f x dx L x dx =f x l x dx ≈??∑?（）（）（）（）即
n b
k a k=0
01110111f x dx A f (x)(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )(x x )
k b
k k a b
k k n a k k k k k k k n l dx
dx -+-+≈=-----=-----∑???（）（x ）
A The interpolation type integral formula has the accuracy of N sub algebra, and the formula of Ak>0 is stable.
2.2 Newton - Cotes formulas
The[a b] is divided into N parts, interpolation quadrature formula for:
k 0
2(n)
1(n)(x)dx (x A (b a)(1)(t 1)...(t n)(k!)(n k)!n
b
k a k n k i k i n k b k a f A f X C t C dt n t k
==-≈=----=--∑?∑?）
Called Newton- Cotes formula, the Cotes coefficient is independent of the product function and the integral interval, as long as the interval and other fractions n, can be obtained. Obviously, when n= 1 is a trapezoidal formula; when n= 2 is Simpson formula.
2.3 Complex formula
By the knowledge of definite integral, the definite
integral is only related to the integral interval.
The higher the number of polynomials is, the higher
the degree of smoothness of the function is, and the
Runge phenomenon occurs. Such as n> 7, the Newton-
Cotes formula is not stable. Therefore, people turn
to the integral interval, similar to the piecewise
interpolation, the integral interval is divided into
a number of small areas, the use of the Newton- Cotes
formula between each cell number, and then the
results of each cell is added as a function of the
whole range of the approximation, which is the basic
idea of complex. Commonly used compound formula, complex trapezoid formula:
1
110(x x )(x)((x )(x ))2n b
k k n k k a k I f dx T f f --==-=≈=+∑? Complex Simpson formula:
212121(x)(f ()4(x )(x ))3
m
b
n k k k a k h f dx S f x f f --=≈==+∑? 2.4 Successive bisection technology and Romberg
formula How to determine the appropriate n so that the difference between the approximate value and the true
value of the allowable range, generally speaking, it is more difficult. And successive half technology is in quadrature process according to the requirements of precision and automatically determine n choose whether or not to meet the requirements of precision, the difference of two minutes before and after twice to estimate the error, such not only reduce the step size, and can keep the original calculating results, reduce the amount of computation. For be obtained:
2222221(T T )3
1(S )15
1(C )63
n n n n n n n n n I T I S S I C C ≈+-≈+-≈+- 2224133
16115156416363
n n n n n n n n n S T T C S S R C C =-=-=- Called Romberg formula. The acceleration effect of Romberg formula is very significant, and the
calculation amount is very small under the same precision.
2.5Gauss type quadrature formula
To further improve the algebraic precision of quadrature formula, through the proper selection of interpolation nodes and quadrature coefficients, the algebraic accuracy up to a maximum of (2n + 1). The quadrature nodes and quadrature coefficients as parameters. The equations can be obtained by using the orthogonal polynomials.
You can use orthogonal polynomials with different weighting functions of Gauss type quadrature formulas of different types are
https://www.doczj.com/doc/8b18973628.html,parison of several classes of numerical integration methods in Teaching
Due to practical problems should be taken into account
when the calculation precision and calculation, thus different quadrature formulas have different characteristics:
Trapezoidal quadrature formula and Simpson quadrature formula although the calculation is simple, easy to use, but poor accuracy, but for less smooth integrand function sometimes ratio, high precision method is more effective. The effect of the periodic function is more prominent, especially the trapezoidal formula. Newton-Cotes, the n>7 formula is unstable, while the complex trapezoid formula and Simpson formula in the retention of the advantages of low order formula, and can get higher accuracy, so the most widely used in the actual calculation.
Romberg method using two points method is simple and easy to program. When the node encryption improve integral approximation degree, previous calculation results can be used for the back, very beneficial to reduce the calculation amount, and the estimation error is relatively simple, can get some integral sequence, if in the convergence of the control, and to check the rows and columns, to function in different state can
with the fastest convergence sequence to approximate the integral.
High precision Gauss type quadrature formulas, especially other methods cannot match the calculation of infinite integral and defect integral. But because of the node is irregular, when the node is increased, the function value of the previous calculation can not be used, and the N value of the node value and the coefficient of the different values are also stored in the computer.
4.Numerical integration method in the teaching of numerical experiments
In the teaching process of numerical integration method, the numerical experiments are carried out to improve the students' understanding of the teaching contents and to master the basic method of numerical integration. The Matlab program is written in each method, and the advantages and disadvantages of various numerical integration methods are grasped and understood by comparison.
4.1 Comparison of the accuracy of different algorithms with the same number of nodes
In the course of teaching, the accuracy of various methods can be determined, but it is not conducive to students' understanding. Using the powerful function of the popular software, the students can be used to operate the machine. It can be used to realize the accuracy of different numerical integration methods, and it can also improve the students' experimental ability and practical ability.
For example the precision https://www.doczj.com/doc/8b18973628.html,parison with the exact solutions of the trapezoidal formula, Simpson formula, Gauss formula. Use Matlab to write programs to run after the results show[Precision Trapezoidal Simpson Gauss]
[0.7853981635 0.7849814972 0.7853981535 0.7853981635]
Obviously, the trapezoidal formula with low accuracy, low Simpson formula and the Gauss quadrature formula is better, the highest precision in a given precision and exact solutions of (Precision) agreement. And then describes the method of various quadrature Matlab commands by calling and format, compared with their own
programming, and make the students master the calculation method of numerical integration, in the calculation of actual problems skillfully.
4.2 Comparison of the different points of the same algorithm.
integrate Using trapezoid formula considering the same algorithm sync long more or different integral interval of scores in the comparison of calculation accuracy and computation time, let the students fully understand in numerical calculation of integral interval the importance of correct treatment. Matlab programming operation result shows that:
Interval number:[10 20 40 80]
The calculation results:[0.63050.6228 0.6209 0.6204](精确解为: 0.6203)
Computation time:[0 0 0 0.0100]
Graphical presentation:
In short, along with the rise of the mathematics experiment, it has played a positive role in promoting the whole mathematics curriculum teaching reform, but also put forward a severe test to the reform of teaching methods, methods and contents of mathematics curriculum. In the teaching process of the traditional mathematics course, the theory is strong, the more boring, the full use of modern teaching methods, to cultivate students' ability of practical experiments and application of mathematical theory and computer technology to solve practical problems, to cultivate more adapted to the times and social development needs, has a strong practical ability of high quality
personnel with very important significance.
[References]
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[3] Wang Nengchao. Concise tutorial [M]. Beijing: Higher Education Press, 2004
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[6] Jiang Jianfei. Numerical analysis and Matlab experiment [M]. Beijing: Science Press, 2004
实验报告 插值法 数学实验室 数值逼近 算法设计 级 ____________________________ 号 ____________________________ 名 _____________________________ 实验项目名称 实验室 所属课程名称 实验类型 实验日期
实验概述： 【实验目的及要求】 本次实验的目的是熟练《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，掌握三种插 多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值，并比较三种插值方法的 优劣。 本次试验要求编写牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值的程序编码，并 去实现。 【实验原理】 《数值分析》第二章“插值法”的相关内容，包括：牛顿多项式插值，三次样条插值， 拉格朗日 插值的相应算法和相关性质。 【实验环境】（使用的软硬件） 软件： MATLAB 2012a 硬件： 电脑型号：联想 Lenovo 昭阳E46A 笔记本电脑 操作系统： Win dows 8专业版 处理器：In tel ( R Core ( TM i3 CPU M 350 @2.27GHz 2.27GHz 实验内容： 【实验方案设计】 第一步，将书上关于三种插值方法的内容转化成程序语言，用 MATLA B 现; 第二步，分别用牛顿多项式插值，三次样条插值，拉格朗日插值求解不同的问题。 【实验过程】（实验步骤、记录、数据、分析） 实验的主要步骤是：首先分析问题，根据分析设计 MATLA 程序，利用程序算出 问题答案，分析所得答案结果，再得出最后结论。 实验一： 已知函数在下列各点的值为 试用4次牛顿插值多项式 P 4（ x ）及三次样条函数 S （ x ）（自然边界条件）对数据进行插值。 用图给出{（ X i , y i ）, X i =0.2+0.08i , i=0 , 1, 11, 10 } , P 4 （ x ）及 S （ x ）。 值方法：牛顿 在MATLAB 件中
实验课程：数值计算方法专业：数学与应用数学班级：08070141 学号：37 姓名：汪鹏飞 中北大学理学院
实验1 赛德尔迭代法 【实验目的】 熟悉用塞德尔迭代法解线性方程组 【实验内容】 1.了解MATLAB 语言的用法 2.用塞德尔迭代法解下列线性方程组 1234123412341234 54 1012581034 x x x x x x x x x x x x x x x x ---=-??-+--=?? --+-=??---+=? 【实验所使用的仪器设备与软件平台】 计算机，MATLAB7.0 【实验方法与步骤】 1.先找出系数矩阵A ，将前面没有算过的x j 分别和矩阵的(,)A i j 相乘,然后将累加的和赋值给sum ，即(),j s u m s u m A i j x =+?.算 出()/(,) i i x b sum A i i =-,依次循环,算出所有的i x 。 2.若i x 前后两次之差的绝对值小于所给的误差限ε，则输出i x .否则重复以上过程，直到满足误差条件为止. 【实验结果】 (A 是系数矩阵，b 是右边向量，x 是迭代初值，ep 是误差限) function y=seidel(A,b,x,ep) n=length(b); er=1; k=0; while er>=ep
k=k+1; for i=[1:1:n] q=x(i); sum=0; for j=[1:1:n] if j~=i sum=sum+A(i,j)*x(j); end end x(i)=(b(i)-sum)/A(i,i); er=abs(q-x(i)); end end fprintf('迭代次数k=%d\n',k) disp(x') 【结果分析与讨论】 >> A=[5 -1 -1 -1;-1 10 -1 -1;-1 -1 5 -1;-1 -1 -1 10]; b=[-4 12 8 34]; seidel(A,b,[0 0 0 0],1e-3) 迭代次数k=6 0.99897849430002 1.99958456867649 2.99953139743435 3.99980944604109
实验三 数值积分与数值微分 【实验内容】 选用复合梯形公式，复合Simpson 公式，Romberg 算法高斯算法计算 （1） )5343916.1(sin 44102≈-=? I dx x I （2） )9460831.0,1)0((sin 10≈==?I f dx x x I （3） dx x e I x ?+=1024 ;（4） dx x x I ?++=1021)1ln( 【实验前的预备知识】 1、 深刻认识数值积分法的意义； 2、 明确数值积分精度与步长的关系； 3、 根据定积分的计算方法，可以考虑二重积分的计算问题。 4、 比较各种积分方法复杂度及收敛速度。 【实验方法或步骤】 1、 编制数值积分算法的程序； 2、 分别用两种算法计算同一个积分，并比较其结果； 3、 分别取不同步长n a b h /)(-=，试比较计算结果（如20,10=n 等）； 4、 给定精度要求ε，试用变步长算法，确定最佳步长。 程序： 复合梯形公式求函数f 在区间【a ，b 】上的定积分代码 function [I,step]=CombineTraprl(f,a,b,eps) if(nargin==3) eps=1.0e-4;
end n=1; h=(b-a)/2; I1=0; I2=(subs(sym(f),findsym(sym(sym(f)),a)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b))/h; while abs(I2-I1)>eps n=n+1; h=(b-a)/n; I1=I2; I2=0; for i=0:n-1 x=a+h*i; x1=x+h; I2=I2+(h/2)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),x)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),x1)); end end I=I2;step=n; 用该方法计算)5343916.1(sin 44 102≈-=?I dx x I 的程序为 [q,s]=CombineTraprl('sqrt(4-(sinx)^2)',0,0.25,1.5343916) 得结果为q =0.4986 s =3即结果为0.4986积分区间为3个 辛普森公式求函数f 在区间【a ，b 】上的定积分代码 function [I,step]=IntSimpson(f,a,b,type,eps) %type 分别为1，2，3时分别为辛普森公式，3/8公式，复合辛普森 if(type==3&&nargin==4) eps=1.0e-4; end I=0; switch type case 1, I=((b-a)/6)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 4*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+b)/2)+... subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 2, I=((b-a)/8)*(subs(sym(f),findsym(sym(f)),a)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(2*a+b)/3)+... 3*subs(sym(f),findsym(sym(f)),(a+2*b)/3)+subs(sym(f),findsym(sym(f)),b)); step=1; case 3, n=2; h=(b-a)/2;
实验一误差分析 实验1.1（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 其中ε（1.1）和（1.221,,,a a 的输出b ”和“poly ε。 （1（2 （3）写成展 关于α solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。 实验过程： 程序： a=poly(1:20); rr=roots(a); forn=2:21 n form=1:9 ess=10^(-6-m);
ve=zeros(1,21); ve(n)=ess; r=roots(a+ve); -6-m s=max(abs(r-rr)) end end 利用符号函数：（思考题一）a=poly(1:20); y=poly2sym(a); rr=solve(y) n
很容易的得出对一个多次的代数多项式的其中某一项进行很小的扰动，对其多项式的根会有一定的扰动的，所以对于这类病态问题可以借助于MATLAB来进行问题的分析。 学号：06450210 姓名：万轩 实验二插值法
实验报告格式范文 实验一撰写可行性研究报告 一、实验目的 1、掌握可行性研究步骤； 2、学习编制可行性研究报告。 二、实验要求 硬件：Intel Pentium 120 或以上级别的CPU，大于16MB的内存。 软件：Win dows 95/98/2000 操作系统，Office 97/2000 软件 学时：2学时 写岀此项实验报告 三、实验内容 1、可行性研究(结构化分析)方法； 2、绘制数据流图，使用Word写实验报告。 四、实验步骤 1 ?引言 1.1 编写目的 可行性研究的目的是为了对问题进行研究，以最小的代价在最短的时间内确定问题是否可解。 经过对此项目进行详细调查研究，初拟系统实现报告，对软件开发中将要面临的问题及其解决方案进行初步设计及合理安排。明确开发风险及其所带来的经济效益。本报告经审核后，交软件经理审查。 1 . 2 项目背景 (1 )待开发的软件产品名称：旅行社机票预定系统。 (2)本项目的提岀者：冯剑。开发者：李翀。用户：旅行社 (3)本软件产品将用于旅行社的机票预定和费用的记录。
1 . 3术语说明 DFD (数据流图)：一种描述书记变换的图形工具，是结构化分析方法最普遍采用的表示手段，但数据流图并不是结构化分析模型的全部，数据字典和小说明为数据流图提供了补充，并用以验证图形表示的正确性、一致性和完整性，三者共同构成了被建系统的模型。 1 . 4.系统参考文献 参考文献见附录 2?可行性研究的前提 2.1基本要求 ⑴功能 本软件实现的功能有：为游客提供机票预定服务，提高旅游局的服务质量和服务效率。 对航班数据库的查询和修改，对机票费用记帐数据库的查询和修改，记录旅客信息(姓名、性别、年龄、身份证号、单位、旅行时间、目的地)、航班时间和班次，打印机票和帐单。 (2) 性能 时间：提供的信息必须及时的反映在工作平台上。售票系统的定单必须无差错的存 储在机场的主服务器上。对服务器上的数据必须进行及时正确的刷新。一笔业务在一分钟内完成。空间：运行空间 2M。 (3) 系统的输入和输岀 输入：旅行社定票单。数据完整，详实。 输岀：机票、帐单。简捷，快速，实时。 (4) 处理流程 旅行社将定票信息输入定票系统，系统输岀机票和帐单给旅客。 5 ）安全保密要求
L- 腈化物稳定性试验报告 一、概述 L-腈化物是L- 肉碱生产过程中的第一步中间体（第二步中间体： L-肉碱粗品；第三步中间体：L-肉碱潮品），由于L- 肉碱生产工艺为 间歇操作，即每生产一步中间体，生产完毕并出具合格检测报告后，存 入中间体仓库，以备下一步生产投料所需。根据本公司L- 肉碱产品的 整个生产周期，L- 腈化物入库后可能存放的最长时间为4 周（约28 天）。以此周期为时间依据制定了L- 腈化物稳定性试验方案，用于验 证L-腈化物在再试验期限内的各项质量指标数据的稳定性，并且能否符 合L- 腈化物的质量标准，此次稳定性试验的整个周期为28 天，具体 的稳定性试验方案以ICH 药物稳定性指导原则为基础制定，以确保L- 腈化化物稳定性试验的可操作性。 二、验证日期 2010 年1 月13 日- 2010 年2 月10 日 三、验证方案 1）样品储存和包装： 考虑到L- 腈化物今后的贮藏、使用过程，本次用于稳定性试验的样品 批次与最终规模生产所用的L- 腈化物的包装和放置条件相同。 2）样品批次选择：此次稳定性试验共抽取三批样品，且抽取样品的批次与 最终规模生产时的合成路线和生产工艺相同
3）抽样频率和日期：从2010.1.13 起，每隔7 天取样一次，共取五次，具体日期为：2010.1.13 、2010.1.20 、2010.1.27 、 2010.2.3 、2010.2.10 ，以确保试验次数足以满足L- 腈化物的稳 定性试验的需要。。 4）检测项目：根据L- 腈化物的质量标准的规定，此次稳定性试验的检测项目共五项，分别为外观、氯含量、熔点、比旋度、干燥失重。这 些指标在L- 腈化物的储存过程中可能会发生变化，且有可能影响 其质量和有效性。 5）试样来源和抽样：L- 腈化物由公司102 车间生产，经检测合格后储存于中间体仓库，本次稳定性试验的L- 腈化物均取自于该中间体仓 库，其抽样方法和抽样量均按照L- 腈化物抽样方案进行抽样。抽 样完毕后直接进行检测分析，并对检测结果进行登记，保存，作为稳 定性数据评估的依据。 四、稳定性试验数据变化趋势分析及评估 通过对三批L- 腈化物的稳定性试验，对其物理、化学方面稳定性资料进行评价，旨在建立未来相似情况下，大规模生产出的L- 腈化物是否适用 现有的再试验期（28天）。批号间的变化程度是否会影响未来生产的
数据分析实验报告 文稿归稿存档编号：[KKUY-KKIO69-OTM243-OLUI129-G00I-FDQS58-
第一次试验报告 习题1.3 1建立数据集，定义变量并输入数据并保存。 2数据的描述，包括求均值、方差、中位数等统计量。 分析—描述统计—频率，选择如下： 输出： 统计量 全国居民 农村居民 城镇居民 N 有效 22 22 22 缺失 均值 1116.82 747.86 2336.41 中值 727.50 530.50 1499.50 方差 1031026.918 399673.838 4536136.444 百分位数 25 304.25 239.75 596.25 50 727.50 530.50 1499.50 75 1893.50 1197.00 4136.75 3画直方图，茎叶图，QQ 图。（全国居民） 分析—描述统计—探索，选择如下： 输出： 全国居民 Stem-and-Leaf Plot Frequency Stem & Leaf 5.00 0 . 56788 数据分析实验报告 【最新资料，WORD 文档，可编辑修改】
2.00 1 . 03 1.00 1 . 7 1.00 2 . 3 3.00 2 . 689 1.00 3 . 1 Stem width: 1000 Each leaf: 1 case(s) 分析—描述统计—QQ图，选择如下： 输出： 习题1.1 4数据正态性的检验：K—S检验，W检验数据： 取显着性水平为0.05 分析—描述统计—探索，选择如下：（1）K—S检验
结果：p=0.735 大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。 （2 ）W 检验 结果：在Shapiro-Wilk 检验结果972.00 w ，p=0.174大于0.05 接受原假设，即数据来自正太总体。 习题1.5 5 多维正态数据的统计量 数据：
(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：
数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)
1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #include
专业 序号 姓名 日期 实验1 算法的数值稳定性实验 【实验目的】 1．掌握用MATLAB 语言的编程训练，初步体验算法的软件实现； 2．通过对稳定算法和不稳定算法的结果分析、比较，深入理解算法的数值稳定性及其重要性。 【实验内容】 1．计算积分 ()dx a x x I n ?+=1 0) (n (n=0,1,2......，10) 其中a 为参数，分别对a=0.05及a=15按下列两种方案计算，列出其结果，并对其可靠性，说明原因。 2．方案一 用递推公式 n aI I n 1 1n + -=- (n=1,2,......,10) 递推初值可由积分直接得)1 ( 0a a In I += 3. 方案二 用递推公式 )1 (11-n n I a I n +-= (n=N,N-1,......,1) 根据估计式 ()()()11111+<<++n a I n a n 当1 n a +≥n 或 ()()n 1 111≤<++n I n a 当1 n n a 0+< ≤ 取递推初值为 ()()()() 11212])1(1111[21N +++=++++≈N a a a N a N a I 当1 a +≥ N N 或
()()]1111[21N N a I N +++= 当1 a 0+< ≤N N 计算中取N=13开始 【解】:手工分析怎样求解这题。 【计算机求解】:怎样设计程序？流程图？变量说明？能否将某算法设计成具有形式参数的函数 形式？ 【程序如下】: % myexp1_1.m --- 算法的数值稳定性实验 % 见 P11 实验课题(一) % function try_stable global n a N = 20; % 计算 N 个值 a =0.05;%或者a=15 % %-------------------------------------------- % % [方案I] 用递推公式 %I(k) = - a*I(k-1) + 1/k % I0 =log((a+1)/a); % 初值 I = zeros(N,1); % 创建 N x 1 矩阵(即列向量),元素全为零 I(1) =-a*I0+1; for k = 2:N I(k) =-a*I(k-1)+1/k; end % %--------------------------------------------
数值分析实验报告 实验四数值积分 一、用复合辛普森和龙贝格算法计算： 复合辛普森主函数xps： function xps(a,b,eps) n=0;Sd=0; S=(f(a)+f(b))*(b-a)/2; while abs(Sd-S)>eps Sd=S; n=n+1; h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end S1=f(x(1))+f(x(n+1)); S2=0; S3=0; for i=2:n S2=S2+f(x(i)); end S2=2*S2; for i=1:n S3=S3+f((x(i)+x(i+1))/2); end S3=4*S3; S=(S1+S2+S3)*h/6; end fprintf('%.15f\n',S); 龙贝格主函数romberg2： function romberg2 (a,b,eps) %a,b为区间，eps为精度 Rd=0; R=(b-a)/2*(f(a)+f(b)); N=0; while abs(Rd-R)>eps Rd=R; N=N+1; for k=1:2 if k==1 n=N*2;
else; n=N; end h=(b-a)/n; for i=1:n+1 x(i)=a+(i-1)*h; end C=0; for i=1:n C1=7*f(x(i))+32*f(x(i)+1/4*h)+12*f(x(i)+2/4*h)+32*f(x(i)+3/4*h)+7*f(x(i+1)); C=C+C1*h/90; end if k==1 R=C*64/63; else R=R-C/63; end end end fprintf('结果为：%.15f',R); 1、建立被积函数文件f.m function y=f(x) y=exp(-x^2); 2、调用xps.m、romberg2.m求定积分. >> xps(0,0.5,0.0000001) 0.461281071728228 >>romberg2 (0,0.5,0.0000001) 结果为： 0.461281006413932
实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b)<0，且f(x)在[a,b]内仅有一个实根x*，取区间中点c，若，则c恰为其根，否则根据f(a)f(c)<0是否成立判断根在区间[a,c]和[c,b]中的哪一个，从而得出新区间，仍称为[a,b]。重复运行计算，直至满足精度为止。这就是二分法的计算思想。
Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式 产生逼近解x*的迭代数列{x k}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x); y=-x*x-sin(x); 写成如上形式即可，下面给出主程序。 二分法源程序： clear %%%给定求解区间 b=1.5; a=0;
%%%误差 R=1; k=0;%迭代次数初值 while (R>5e-6) ; c=(a+b)/2; if f12(a)*f12(c)>0; a=c; else b=c; end R=b-a;%求出误差 k=k+1; end x=c%给出解 Newton法及改进的Newton法源程序：clear %%%% 输入函数 f=input('请输入需要求解函数>>','s') %%%求解f(x)的导数 df=diff(f);
附件3 特殊医学用途配方食品稳定性研究要求（试行） 一、基本原则 特殊医学用途配方食品稳定性研究是质量控制研究的重要组成部分，其目的是通过设计试验获得产品质量特性在各种环境因素影响下随时间 稳定性研究用样品应在满足《特殊医学用途配方食品良好生产规范》要求及商业化生产条件下生产，产品配方、生产工艺、质量要求应与注册申请材料一致，包装材料和产品包装规格应与拟上市产品一致。 影响因素试验、开启后使用的稳定性试验等采用一批样品进行；加速试验和长期试验分别采用三批样品进行。 （二）考察时间点和考察时间
稳定性研究目的是考察产品质量在确定的温度、湿度等条件下随时间变化的规律，因此研究中一般需要设置多个时间点考察产品的质量变化。考察时间点应基于对产品性质的认识、稳定性趋势评价的要求而设置。加速试验考察时间为产品保质期的四分之一，且不得少于3个月。长期试验总体考察时间应涵盖所预期的保质期，中间取样点的设置应当考虑产品的稳定性特点和产品形态特点。对某些环境因素敏感的产品，应适当增加考 3.检验方法：稳定性试验考察项目原则上应当采用《食品安全国家标准特殊医学用途配方食品通则》（GB 29922）、《食品安全国家标准特殊医学用途婴儿配方食品通则》（GB 25596）规定的检验方法。国家标准中规定了检验方法而未采用的，或者国家标准中未规定检验方法而由申请人自行提供检验方法的，应当提供检验方法来源和（或）方法学验证资料。检验方法应当具有专属性并符合准确度和精密度等相关要求。
四、试验方法 （一）加速试验 加速试验是在高于长期贮存温度和湿度条件下，考察产品的稳定性，为配方和工艺设计、偏离实际贮存条件产品是否依旧能保持质量稳定提供依据，并初步预测产品在规定的贮存条件下的长期稳定性。加速试验条件由申请人根据产品特性、包装材料等因素确定。 ％。如在6 温度 ％， 25℃±2℃ 长期试验是在拟定贮存条件下考察产品在运输、保存、使用过程中的稳定性，为确认贮存条件及保质期等提供依据。长期试验条件由申请人根据产品特性、包装材料等因素确定。 长期试验考察时间应与产品保质期一致，取样时间点为第一年每3个月末一次，第二年每6个月末一次，第3年每年一次。 如保质期为24个月的产品，则应对0、3、6、9、12、18、24月样品进行
数值分析上机实验报告
《数值分析》上机实验报告 1.用Newton 法求方程 X 7-X 4+14=0 在（0.1，1.9）中的近似根（初始近似值取为区间端点，迭代6次或误差小于0.00001）。 1.1 理论依据： 设函数在有限区间[a ，b]上二阶导数存在，且满足条件 {}α?上的惟一解在区间平方收敛于方程所生的迭代序列 迭代过程由则对任意初始近似值达到的一个中使是其中上不变号 在区间],[0)(3,2,1,0,) (') ()(],,[x |))(),((|,|,)(||)(|.4;0)(.3],[)(.20 )()(.110......b a x f x k x f x f x x x Newton b a b f a f mir b a c x f a b c f x f b a x f b f x f k k k k k k ==- ==∈≤-≠>+ 令 )9.1()9.1(0)8(4233642)(0)16(71127)(0)9.1(,0)1.0(,1428)(3 2 2 5 333647>?''<-=-=''<-=-='<>+-=f f x x x x x f x x x x x f f f x x x f 故以1.9为起点 ?? ?? ? ='- =+9.1)()(01x x f x f x x k k k k 如此一次一次的迭代，逼近x 的真实根。当前后两个的差<=ε时，就认为求出了近似的根。本程序用Newton 法求代数方程(最高次数不大于10)在（a,b ）区间的根。
1.2 C语言程序原代码： #include
实验一、误差分析 一、实验目的 1．通过上机编程，复习巩固以前所学程序设计语言及上机操作指令； 2．通过上机计算，了解误差、绝对误差、误差界、相对误差界的有关概念； 3．通过上机计算，了解舍入误差所引起的数值不稳定性。 二．实验原理 误差问题是数值分析的基础，又是数值分析中一个困难的课题。在实际计算中，如果选用了不同的算法，由于舍入误差的影响，将会得到截然不同的结果。因此，选取算法时注重分析舍入误差的影响，在实际计算中是十分重要的。同时，由于在数值求解过程中用有限的过程代替无限的过程会产生截断误差，因此算法的好坏会影响到数值结果的精度。 三．实验内容 对20,,2,1,0 =n ，计算定积分 ?+=10 5dx x x y n n . 算法1：利用递推公式 151--=n n y n y , 20,,2,1 =n , 取 ?≈-=+=1 00182322.05ln 6ln 51dx x y . 算法2：利用递推公式 n n y n y 51511-= - 1,,19,20 =n . 注意到 ???=≤+≤=10 10202010201051515611261dx x dx x x dx x , 取 008730.0)12611051(20120≈+≈y .: 四.实验程序及运行结果 程序一： t=log(6)-log(5);
n=1; y(1)=t; for k=2:1:20 y(k)=1/k-5*y(k-1); n=n+1; end y y =0.0884 y =0.0581 y =0.0431 y =0.0346 y =0.0271 y =0.0313 y =-0.0134 y =0.1920 y =-0.8487 y =4.3436 y =-21.6268 y =108.2176 y =-541.0110 y =2.7051e+003 y =-1.3526e+004 y =6.7628e+004 y =-3.3814e+005 y =1.6907e+006 y =-8.4535e+006 y =4.2267e+007 程序2： y=zeros(20,1); n=1; y1=(1/105+1/126)/2;y(20)=y1; for k=20:-1:2 y(k-1)=1/(5*k)-(1/5)*y(k); n=n+1; end 运行结果：y = 0.0884 0.0580 0.0431 0.0343 0.0285 0.0212 0.0188 0.0169
计算方法实验报告格式 小组名称: 组长姓名(班号)： 小组成员姓名(班号): 按贡献排序情况: 指导教师评语: 小组所得分数: 一个完整的实验，应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法，最终对实验结果进行分析，以达到对理论知识的感性认识，进一步加深对相关算法的理解，数值实验以实验报告形式完成，实验报告格式如下： 一、实验名称 实验者可根据报告形式需要适当写出． 二、实验目的及要求 首先要求做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出． 三、算法描述（实验原理与基础理论） 数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及到的理论基础，算法原理详尽列出． 四、实验内容 实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法以及可能用到的仪器设备． 五、程序流程图 画出程序实现过程的流程图，以便更好的对程序执行的过程有清楚的认识，在程序调试过程中更容易发现问题． 六、实验结果 实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及实验的最终结果，复杂的结果可以用表格
形式列出，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现． 七、实验结果分析 实验结果分析包括对对算法的理解与分析、改进与建议． 数值实验报告范例 为了更好地做好数值实验并写出规范的数值实验报告，下面给出一简单范例供读者参考． 数值实验报告 小组名称: 小组成员(班号): 按贡献排序情况: 指导教师评语: 小组所得分数: 一、实验名称 误差传播与算法稳定性． 二、实验目的 1．理解数值计算稳定性的概念． 2．了解数值计算方法的必要性． 3．体会数值计算的收敛性与收敛速度． 三、实验内容 计算dx x x I n n ? += 1 10 ，1,2,,10n = ． 四、算法描述 由 dx x x I n n ? += 1 10 ，知 dx x x I n n ?+=--101110，则
实验一 误差分析 实验（病态问题） 实验目的：算法有“优”与“劣”之分，问题也有“好”与“坏”之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。 数值分析的大部分研究课题中，如线性代数方程组、矩阵特征值问题、非线性方程及方程组等都存在病态的问题。病态问题要通过研究和构造特殊的算法来解决，当然一般要付出一些代价（如耗用更多的机器时间、占用更多的存储空间等）。 问题提出：考虑一个高次的代数多项式 )1.1() ()20()2)(1()(20 1∏=-=---=k k x x x x x p 显然该多项式的全部根为1,2,…,20共计20个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动 )2.1(0 )(19=+x x p ε 其中ε是一个非常小的数。这相当于是对（）中19x 的系数作一个小的扰动。我们希望比较（）和（）根的差别，从而分析方程（）的解对扰动的敏感性。 实验内容：为了实现方便，我们先介绍两个Matlab 函数：“roots ”和“poly ”。 roots(a)u = 其中若变量a 存储n+1维的向量，则该函数的输出u 为一个n 维的向量。设a 的元素依次为121,,,+n a a a ，则输出u 的各分量是多项式方程 01121=+++++-n n n n a x a x a x a 的全部根；而函数 poly(v)b =
的输出b 是一个n+1维变量，它是以n 维变量v 的各分量为根的多项式的系数。可见“roots ”和“poly ”是两个互逆的运算函数。 ;000000001.0=ess );21,1(zeros ve = ;)2(ess ve = ))20:1((ve poly roots + 上述简单的Matlab 程序便得到（）的全部根，程序中的“ess ”即是（）中的ε。 实验要求： （1）选择充分小的ess ，反复进行上述实验，记录结果的变化并分析它们。 如果扰动项的系数ε很小，我们自然感觉（）和（）的解应当相差很小。计算中你有什么出乎意料的发现表明有些解关于如此的扰动敏感性如何 （2）将方程（）中的扰动项改成18x ε或其它形式，实验中又有怎样的现象 出现 （3）（选作部分）请从理论上分析产生这一问题的根源。注意我们可以将 方程（）写成展开的形式， ) 3.1(0 ),(1920=+-= x x x p αα 同时将方程的解x 看成是系数α的函数，考察方程的某个解关于α的扰动是否敏感，与研究它关于α的导数的大小有何关系为什么你发现了什么现象，哪些根关于α的变化更敏感 思考题一：（上述实验的改进） 在上述实验中我们会发现用roots 函数求解多项式方程的精度不高，为此你可以考虑用符号函数solve 来提高解的精确度，这需要用到将多项式转换为符号多项式的函数poly2sym,函数的具体使用方法可参考Matlab 的帮助。
序言 数值分析是计算数学的范畴，有时也称它为计算数学、计算方法、数值方法等，其研究对象是各种数学问题的数值方法的设计、分析及其有关的数学理论和具体实现的一门学科，它是一个数学分支。是科学与工程计算（科学计算）的理论支持。许多科学与工程实际问题（核武器的研制、导弹的发射、气象预报）的解决都离不开科学计算。目前，试验、理论、计算已成为人类进行科学活动的三大方法。 数值分析是计算数学的一个主要部分,计算数学是数学科学的一个分支,它研究用计算机求解各种数学问题的数值计算方法及其理论与软件实现。现在面向数值分析问题的计算机软件有：C,C++,MATLAB,Python,Fortran等。 MATLAB是matrix laboratory的英文缩写，它是由美国Mathwork公司于1967年推出的适合用于不同规格计算机和各种操纵系统的数学软件包，现已发展成为一种功能强大的计算机语言，特别适合用于科学和工程计算。目前，MATLAB应用非常广泛，主要用于算法开发、数据可视化、数值计算和数据分析等，除具备卓越的数值计算能力外，它还提供了专业水平的符号计算，文字处理，可视化建模仿真和实时控制等功能。 本实验报告使用了MATLAB软件。对不动点迭代，函数逼近（lagrange插值，三次样条插值，最小二乘拟合），追赶法求解矩阵的解，4RungeKutta方法求解，欧拉法及改进欧拉法等算法做了简单的计算模拟实践。并比较了各种算法的优劣性，得到了对数值分析这们学科良好的理解，对以后的科研数值分析能力有了极大的提高。
目录 序言 (1) 问题一非线性方程数值解法 (3) 1.1 计算题目 (3) 1.2 迭代法分析 (3) 1.3计算结果分析及结论 (4) 问题二追赶法解三对角矩阵 (5) 2.1 问题 (5) 2.2 问题分析（追赶法） (6) 2.3 计算结果 (7) 问题三函数拟合 (7) 3.1 计算题目 (7) 3.2 题目分析 (7) 3.3 结果比较 (12) 问题四欧拉法解微分方程 (14) 4.1 计算题目 (14) 4.2.1 方程的准确解 (14) 4.2.2 Euler方法求解 (14) 4.2.3改进欧拉方法 (16) 问题五四阶龙格-库塔计算常微分方程初值问题 (17) 5.1 计算题目 (17) 5.2 四阶龙格-库塔方法分析 (18) 5.3 程序流程图 (18) 5.4 标准四阶Runge-Kutta法Matlab实现 (19) 5.5 计算结果及比较 (20) 问题六舍入误差观察 (22) 6.1 计算题目 (22) 6.2 计算结果 (22) 6.3 结论 (23) 7 总结 (24) 附录
数值分析实验报告模板 篇一：数值分析实验报告(一)(完整) 数值分析实验报告 1 2 3 4 5 篇二：数值分析实验报告 实验报告一 题目：非线性方程求解 摘要：非线性方程的解析解通常很难给出，因此线性方程的数值解法就尤为重要。本实验采用两种常见的求解方法二分法和Newton法及改进的Newton法。利用二分法求解给定非线性方程的根，在给定的范围内，假设f(x,y)在[a,b]上连续，f(a)xf(b) 直接影响迭代的次数甚至迭代的收敛与发散。即若x0 偏离所求根较远，Newton法可能发散的结论。并且本实验中还利用利用改进的Newton法求解同样的方程，且将结果与Newton法的结果比较分析。 前言：（目的和意义） 掌握二分法与Newton法的基本原理和应用。掌握二分法的原理，验证二分法，在选对有根区间的前提下，必是收
敛，但精度不够。熟悉Matlab语言编程，学习编程要点。体会Newton使用时的优点，和局部收敛性，而在初值选取不当时，会发散。 数学原理： 对于一个非线性方程的数值解法很多。在此介绍两种最常见的方法：二分法和Newton法。 对于二分法，其数学实质就是说对于给定的待求解的方程f(x)，其在[a,b]上连续，f(a)f(b) Newton法通常预先要给出一个猜测初值x0，然后根据其迭代公式xk?1?xk?f(xk) f'(xk) 产生逼近解x*的迭代数列{xk}，这就是Newton法的思想。当x0接近x*时收敛很快，但是当x0选择不好时，可能会发散，因此初值的选取很重要。另外，若将该迭代公式改进为 xk?1?xk?rf(xk) 'f(xk) 其中r为要求的方程的根的重数，这就是改进的Newton 法，当求解已知重数的方程的根时，在同种条件下其收敛速度要比Newton法快的多。 程序设计： 本实验采用Matlab的M文件编写。其中待求解的方程写成function的方式，如下 function y=f(x);
稳定性数据评价 1.介绍 1.1 指南的目的 该指南的目的是为了提供如何使用根据ICH指南Q1A（R）里详述的“新原料药和制剂稳定性试验”原则（以后提到即作为总指导原则）而产生的稳定性数据的介绍来建议再试验期或货架期。该指南描述了何时及如何使用有限外推法来建议关于原料药的再试验期或超出来自长期储存条件的数据的观测范围的原料药货架期。 1.2 背景 总指导原则提供的关于稳定性数据的评价和统计分析的指南是性质上简要和范围上有限制。尽管总指导原则指出回归分析是可接收的方法来分析关于再试验期或货架期评价的定量稳定性数据，并建议用0.25显著性水平操作合并批的统计测试，它很少包括细节。另外，总指导原则不包括当复合因素包含在全面或折合-设计调查的情况。当到该方针的第4步，总指导原则的评价部分将会重复，因此删去。 1.3 指南的范围 该指南，总指导原则的附件，目的是当基于定量和定性测试性质的稳定性数据评价而建议再试验期或货架期和贮存条件时提供预期值的清晰解释。该指南概括了基于单个或复合因素和全面或折合-设计调查得出的稳定性数据以确定再试验期或货架期的介绍。ICH Q6A 和Q6B提供了关于调整和证实认可标准的指南。 2. 指南 2.1 一般原则 正规稳定性调查的设计和实行应符合总指导原则列出的原则。稳
定性调查的目的是，在测试最少三批原料药或制剂基础上，确立适用于将来在相似环境下生产和包装批的再试验期或货架期和标签贮存说明。 在稳定性资料的说明和评价里应采用系统性方法，其中应包括，视情况而，从物理、化学、生物和微生物试验，包括从那些与剂型有关的特定性质（例如，固体口服剂型的溶解速率）的结果。如果合适，应注意回顾质量平衡的合适性。应该考虑能引起质量平衡明显不足的因素，例如，降解机理和稳定性-显示能力和分析方法内在可变性。单批的变化程度作用以后生产批次在其再试验期或货架期间仍保留在其认可标准内的信心。 该指南里关于统计法的介绍不意味着当统计计算被证明是多余时，用统计计算仍可取。但在一些情况下统计分析在再试验期或货架期的外推法里是有用的且在其它情况可能提倡将次用于核实再试验期或货架期。 稳定性数据测定的基本原则同于单个-与多个-因素调查和全面-与折合-设计调查。正规稳定性调查里的数据测定，并视情况而定，使用支持数据来确定可能作用原料药或制剂的质量和性能的关键质量性质。应各自评估每个性质和为了建议再试验期或货架期而由调查结果构成的全面评估。所提议的再试验期或货架期不应超过任何单个性质的预测。 附录A里提供的流程图和附录B里提供的关于如何分析和评价从多因素或折合设计得到的关于适当的定量试验性质的长期稳定性数据。用于数据分析的统计方法应该考虑稳定性调查为估计再试验期或货架期而提供有效统计结论。附录B也应该提供关于如何使用再试验