matlab计算方法实验报告5(数值积分)

计算方法实验报告(5)

学生姓名杨贤邦学号指导教师吴明芬实验时间2014.4.16地点综合实验大楼203

实验题目数值积分方法

实验目的●利用复化梯形、辛普森公式和龙贝格数值积分公式计算定积分的

近似植。

实验内容●梯形、辛普森、柯特斯法及其Matlab实现；

●变步长的梯形、辛普森、柯特斯法及其Matlab实现。

●题目由同学从学习材料中任意选两题

算法分析梯形：function y=jifeng_tixing(a,b,n,fun)

fa=feval(fun,a);

fb=feval(fun,b);

s=0;

h=(b-a)/n;

for k=1:n-1

xk=a+k*h;

s=feval(fun,xk)+s;

end

y=(h/2)*(fa+fb+2*s);

辛普生：function y=jifeng_xingpu(a,b,n,fun) fa=feval(fun,a);

fb=feval(fun,b);

h=(b-a)/n;

s=0;

s2=feval(fun,a+0.5*h);

for k=1:n-1

xk=a+k*h;

s=feval(fun,xk)+s;

s2=feval(fun,xk+(h/2))+s2;

end

与源程序y=(h/6)*(fa+fb+2*s+4*s2);

龙贝格：function r2=jifeng_long(fun,a,b,e) h=b-a;

t1=(h/2)*(feval(fun,a)+feval(fun,b));

k=1;

r1=10;

r2=0;

c2=0;

while abs(r2-r1)>e;

s=0;

x=a+h/2;

while x

s=s+feval(fun,x);x=x+h;

end

t2=t1/2+h*s/2;

s2=t2+(1/3)*(t2-t1);

if k==1

k=k+1;h=h/2;

t1=t2;s1=s2;

elseif k==2

c1=c2;

c2=s2+(1/15)*(s2-s1);

k=k+1;h=h/2;

t1=t2;s1=s2;

elseif k>=3

r1=r2;

c2=s2+(1/15)*(s2-s1);

r2=c2+(1/63)*(c2-c1);

k=k+1;h=h/2;

t1=t2;s1=s2;

c1=c2;

end

end

实验结果与分析函数xe x在区间[1,2]对x进行积分求值，要求误差为0.5*10-7，并与精确值进行比较。（精确值：7.38905609893065）

梯形：>>jifeng_tixing(1,2,7019,fun)

ans=7.38905612723022

辛普生：>>jifeng_xingpu(1,2,24,fun)

ans=7.38905612621471

龙贝格：>>jifeng_long(fun,1,2,10e-7)

ans=7.38905609893079

有上述结果易知，在同样0.5*10-7精度下，梯形复合公式需要7019等分，而辛普生只需要24等分即可达到要求的精度，而龙贝格算法的精度则更高

其它按照书本龙贝格外推公式写龙贝格算法时，发现了一个问题，就是龙贝格外推算法假设无限外推下去，外推出来的结果并不是无限接近真实值的，而是当接近真实值的小数点后17位左右时，将不会再逼近真实值，而总体数值是在此处徘徊。不知道是我写的算法出现了问题，还是龙贝格外推的极限精度就是10-17。

成

绩

考

核

算法分析与源程序(50%),实验结果及分析（30%）,实验报告（20%）

指导老师签名：

《计算方法》课内实验报告

《计算方法》实验报告 姓名： 班级： 学号： 实验日期: 2011年10月26日

一、实验题目： 数值积分 二、实验目的： 1．熟悉matlab 编写及运行数值计算程序的方法。 2．进一步理解数值积分的基础理论。 3．进一步掌握应用不同的数值积分方法求解给定的积分并给出数据结果及误差分析。 三、实验内容： 1．分别用复合梯形求积公式及复合辛普森求积公式计算积分xdx x ln 10 ? , 要求计算精度达到410-,给出计算结果并比较两种方法的计算节点数. 2．用龙贝格求积方法计算积分dx x x ?+3 021,使误差不超过510-. 3．用3=n 的高斯-勒让德公式计算积分?3 1 sin x e x ,给出计算结果. 4．用辛普森公式(取2==M N ) 计算二重积分.5 .00 5 .00 dydx e x y ? ? - 四、实验结果： 1.（1）复合梯形法: 将区间[a,b]划分为n 等份，分点n k n a b h kh a x k ,2,1,0,,=-=+=在每个区间[1,+k k x x ](k=0,1,2,···n-1)上采用梯形公式，则得 )()]()([2)()(1 11 1 f R x f x f h dx x f dx x f I n n k k k b a n k x x k k ++===∑?∑? -=+-=+ 故)]()(2)([21 1 b f x f a f h T n k k n ++=∑-=称为复合梯形公式 计算步长和划分的区间 Eps=1E-4 h1=sqrt(Eps/abs(-(1-0)/12*1/(2+1))) h1 =0.0600 N1=ceil(1/h1) N1 =17 用复合梯形需要计算17个结点。 复合梯形： function T=trap(f,a,b,n) h=(b-a)/n;

数值积分算法与MATLAB实现陈悦5133201讲解

东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 数值积分算法及MATLAB实现 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5133201 姓名陈悦 指导教师姜玉山张建波 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2015年07月14日

1 绪论 数值分析是计算数学的一个主要部分，计算数学是数学科学的一个分支，它研究用计算机求解各种数学问题的数值检索方其理论与软件的实现.而数值分析主要研究数值计算. 现科学技术的发展与进步提出了越来越多的复杂的数值计算问题，这些问题的圆满解决已远人工手算所能胜任，必须依靠电子计算机快速准确的数据处理能力.这种用计算机处理数值问题的方法，成为科学计算.今天，科学计算的应用范围非常广泛，天气预报、工程设计、流体计算、经济规划和预测以及国防尖端的一些科研项目，如核武器的研制、导弹和火箭的发射等，始终是科学计算最为活跃的领域. 1.1 数值积分介绍 数值积分是数值分析的重要环节，实际问题当中常常需要计算积分，有些数值方法，如微分方程和积分方程的求解，也都和积分计算相联系. 求某函数的定积分时，在多数情况下，被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，因此能够借助微积分学的牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的机会是不多的.另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解.由于以上原因，数值积分的理论与方法一直是计算数学研究的基本课题.对微积分学做出杰出贡献的数学大师，如I.牛顿、L.欧拉、C.F.高斯、拉格朗日等人都在数值积分这个领域作出了各自的贡献，并奠定了这个分支的理论基础. 构造数值积分公式最通常的方法是用积分区间上的n 次插值多项式代替被积函数，由此导出的求积公式称为插值型求积公式.特别在节点分布等距的情形称为牛顿-科特斯公式，例如梯形公式(Trapezoidal Approximations)与抛物线公式(Approximations Using Parabolas)就是最基本的近似公式.但它们的精度较差.龙贝格算法是在区间逐次分半过程中，对梯形公式的近似值进行加权平均获得准确程度较高的积分近似值的一种方法，它具有公式简练、计算结果准确、使用方便、稳定性好等优点，因此在等距情形宜采用龙贝格求积公式(Rhomberg Integration).当用不等距节点进行计算时，常用高斯型求积公式计算，它在节点数目相同情况下，准确程度较高，稳定性好，而且还可以计算无穷积分.数值积分还是微分方程数值解法的重要依据.许多重要公式都可以用数值积分方程导出.现探讨数值积分算法以及运用MATLAB软件的具体实现

计算方法上机实验报告

. / 《计算方法》上机实验报告 班级：XXXXXX 小组成员：XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX XXXXXXX 任课教师：XXX 二〇一八年五月二十五日

前言 通过进行多次的上机实验，我们结合课本上的内容以及老师对我们的指导，能够较为熟练地掌握Newton 迭代法、Jacobi 迭代法、Gauss-Seidel 迭代法、Newton 插值法、Lagrange 插值法和Gauss 求积公式等六种算法的原理和使用方法，并参考课本例题进行了MATLAB 程序的编写。 以下为本次上机实验报告，按照实验内容共分为六部分。 实验一： 一、实验名称及题目： Newton 迭代法 例2.7(P38):应用Newton 迭代法求在附近的数 值解，并使其满足. 二、解题思路： 设'x 是0)(=x f 的根,选取0x 作为'x 初始近似值,过点())(,00x f x 做曲线)(x f y =的切线L ,L 的方程为))((')(000x x x f x f y -+=,求出L 与x 轴交

点的横坐标) (') (0001x f x f x x - =,称1x 为'x 的一次近似值,过点))(,(11x f x 做曲线)(x f y =的切线,求该切线与x 轴的横坐标) (') (1112x f x f x x - =称2x 为'x 的二次近似值,重复以上过程,得'x 的近似值序列{}n x ,把) (') (1n n n n x f x f x x - =+称为'x 的1+n 次近似值，这种求解方法就是牛顿迭代法。 三、Matlab 程序代码： function newton_iteration(x0,tol) syms z %定义自变量 format long %定义精度 f=z*z*z-z-1; f1=diff(f);%求导 y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0);%向函数中代值 x1=x0-y/y1; k=1; while abs(x1-x0)>=tol x0=x1; y=subs(f,z,x0); y1=subs(f1,z,x0); x1=x0-y/y1;k=k+1; end x=double(x1) K 四、运行结果：

太原理工大学数值计算方法实验报告

本科实验报告 课程名称：计算机数值方法 实验项目：方程求根、线性方程组的直接解 法、线性方程组的迭代解法、代数插值和最 小二乘拟合多项式 实验地点：行勉楼 专业班级： ******** 学号： ********* 学生姓名： ******** 指导教师：李誌，崔冬华 2016年 4 月 8 日

y = x*x*x + 4 * x*x - 10; return y; } float Calculate(float a,float b) { c = (a + b) / 2; n++; if (GetY(c) == 0 || ((b - a) / 2) < 0.000005) { cout << c <<"为方程的解"<< endl; return 0; } if (GetY(a)*GetY(c) < 0) { return Calculate(a,c); } if (GetY(c)*GetY(b)< 0) { return Calculate(c,b); } } }; int main() { cout << "方程组为：f(x)=x^3+4x^2-10=0" << endl; float a, b; Text text; text.Getab(); a = text.a; b = text.b; text.Calculate(a, b); return 0; } 2.割线法： // 方程求根（割线法）.cpp : 定义控制台应用程序的入口点。// #include "stdafx.h" #include"iostream"

心得体会 使用不同的方法，可以不同程度的求得方程的解，通过二分法计算的程序实现更加了解二分法的特点，二分法过程简单，程序容易实现，但该方法收敛比较慢一般用于求根的初始近似值，不同的方法速度不同。面对一个复杂的问题，要学会简化处理步骤，分步骤一点一点的循序处理，只有这样，才能高效的解决一个复杂问题。

【数学建模学习】Matlab的数值积分

Matlab 的数值积分问题 （１）求和命令sum 调用格式. 如果x 是向量,则sum(x) 给出x 的各个元素的累加和;如果x 是矩阵,则sum(x)是一个元素为x 的每列列和的行向量. 例3.1 调用命令sum 求向量x 的各个元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3,4,5,6,7,8,9,10]; sum(x) 得到 ans=55 例3.2 调用命令sum 求矩阵x 的各列元素的累加和。 解:输入 x=[1,2,3;4,5,6;7,8,9] x= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 sum(x) 得到 ans=12 15 18 2．定积分的概念. 定积分是一个积分和的极限. 例如取x e x f =)(,求定积分?10dx e x 的近似值。 积分区间为[0,1],等距划分为20个子区间, x=linspace(0,1,21); 选取每个子区间的端点,并计算端点处的函数值. y=exp(x); 取区间的左端点处的函数值乘以区间长度全部加起来. y1=y(1:20); s1=sum(y1)/20 s1=1.6757 s1可作为定积分?10dx e x 的近似值。 若选取右端点: y2=y(2:21); s2=sum(y2)/20 s2=1.7616 s2也可以作为定积分?10dx e x 的近似值。 下面我们画出图象. plot(x,y);hold on for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i),y(i),0],'b')

end 如果选取右端点,则可画出图象. for i=1:20 fill([x(i),x(i+1),x(i+1),x(i),x(i)],[0,0,y(i+1),y(i+1),0],'b') hold on end plot(x,y,'r') 在上边的语句中,for … end 是循环语句,执行语句体内的命令20次,fill 命令可以填充多边形,在本例中,用的是兰色(blue)填充. 可试取50个子区间看一看结果怎样.下面按等分区间计算。 syms k n s=symsum(exp(k/n)/n,k,1,n); limit(s,n,inf) 得结果 ans=exp(1)-1 3．计算定积分 例3.6 计算?10dx e x . 解:输入命令: syms x; int(exp(x),0,1) 得结果 ans=exp(1)-1. 这与我们上面的运算结果是一致的. ⒈ 由给定数据进行梯形求积 假设已经建立起向量T N T N y y y y x x x x ],,,[,],,,[2121 ==，则可用以下语句进行梯形求积： sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 MATLAB 提供的trapz()函数也可直接用梯形法求解积分问题，该函数调用格式为 S=trapz(x,y) [例1-6-17] 试用梯形法求出),0(π∈x 区间内，函数sin(x),cos(x),sin(x/2)的定积分值。 [求解] >> x1=[0:pi/30:pi]'; y=[sin(x1) cos(x1) sin(x1/2)]; x=[x1 x1 x1]; S=sum((2*y(1:end-1,:)+diff(y)).*diff(x))/2 >> S1=trapz(x1,y) [例1-6-18] 用定步长方法求解积分?2 /30)15cos(πdx x 。 [求解] 鉴于求解区域内被积函数有很强的振荡，可先用下述语句绘制被积函数的曲线。 >> x=[0:0.01:3*pi/2,3*pi/2]; y=cos(15*x); plot(x,y) 采用不同的步距，可分别得到积分近似结果。 >> syms x, A=int(cos(15*x),0,3*pi/2) % 求理论值 >> h0=[0.1,0.01,0.001,0.0001,0.00001,0.000001]; v=[]

数值计算实验报告

(此文档为word格式，下载后您可任意编辑修改！) 2012级6班###(学号)计算机数值方法 实验报告成绩册 姓名:宋元台 学号： 成绩：

数值计算方法与算法实验报告 学期： 2014 至 2015 第 1 学期 2014年 12月1日课程名称: 数值计算方法与算法专业:信息与计算科学班级 12级5班 实验编号： 1实验项目Neton插值多项式指导教师：孙峪怀 姓名：宋元台学号：实验成绩： 一、实验目的及要求 实验目的： 掌握Newton插值多项式的算法，理解Newton插值多项式构造过程中基函数的继承特点，掌握差商表的计算特点。 实验要求： 1. 给出Newton插值算法 2. 用C语言实现算法 二、实验内容 三、实验步骤(该部分不够填写.请填写附页)

1.算法分析： 下面用伪码描述Newton插值多项式的算法： Step1 输入插值节点数n，插值点序列{x(i),f(i)},i=1,2,……,n,要计算的插值点x. Step2 形成差商表 for i=0 to n for j=n to i f(j)=((f(j)-f(j-1)(x(j)-x(j-1-i)); Step3 置初始值temp=1,newton=f(0) Step4 for i=1 to n temp=(x-x(i-1))*temp*由temp(k)=(x-x(k-1))*temp(k-1)形成 (x-x(0).....(x-x(i-1)* Newton=newton+temp*f(i); Step5 输出f（x）的近似数值newton(x)=newton. 2.用C语言实现算法的程序代码 #includeMAX_N) { printf("the input n is larger than MAX_N,please redefine the MAX_N.\n"); return 1; } if(n<=0) { printf("please input a number between 1 and %d.\n",MAX_N); return 1; } printf("now input the (x_i,y_i)i=0,...%d\n",n); for(i=0;i<=n;i++) { printf("please input x(%d) y(%d)\n",i,i);

c 计算器实验报告

简单计算器 姓名: 周吉祥 实验目的：模仿日常生活中所用的计算器，自行设计一个简单的计算器程序，实现简单的计算功能。 实验内容： (1)体系设计： 程序是一个简单的计算器，能正确输入数据，能实现加、减、乘、除等算术运算，运算结果能正确显示，可以清楚数据等。 (2)设计思路： 1)先在Visual C++ 6.0中建立一个MFC工程文件，名为 calculator. 2)在对话框中添加适当的编辑框、按钮、静态文件、复选框和单 选框 3)设计按钮，并修改其相应的ID与Caption. 4)选择和设置各控件的单击鼠标事件。 5)为编辑框添加double类型的关联变量m_edit1. 6)在calculatorDlg.h中添加math.h头文件，然后添加public成 员。 7)打开calculatorDlg.cpp文件，在构造函数中，进行成员初始 化和完善各控件的响应函数代码。 (3)程序清单：

●添加的public成员： double tempvalue; //存储中间变量 double result; //存储显示结果的值 int sort; //判断后面是何种运算：1.加法2.减法3. 乘法 4.除法 int append; //判断后面是否添加数字 ●成员初始化： CCalculatorDlg::CCalculatorDlg(CWnd* pParent /*=NULL*/) : CDialog(CCalculatorDlg::IDD, pParent) { //{{AFX_DATA_INIT(CCalculatorDlg) m_edit1 = 0.0; //}}AFX_DATA_INIT // Note that LoadIcon does not require a subsequent DestroyIcon in Win32 m_hIcon = AfxGetApp()->LoadIcon(IDR_MAINFRAME); tempvalue=0; result=0; sort=0; append=0; }

数值积分的matlab实现

实验10 数值积分 实验目的： 1．了解数值积分的基本原理； 2．熟练掌握数值积分的MATLAB 实现； 3．会用数值积分方法解决一些实际问题。 实验内容： 积分是数学中的一个基本概念，在实际问题中也有很广泛的应用。同微分一样，在《微积分》中，它也是通过极限定义的，由于实际问题中遇到的函数一般都以列表形式给出，所以常常不能用来直接进行积分。此外有些函数虽然有解析式，但其原函数不是初等函数，所以仍然得不到积分的精确值，如不定积分?1 0 d sin x x x 。这时我们一般考虑用数值方法计算其 近似值，称为数值积分。 10.1 数值微分简介 设函数()y f x =在* x 可导，则其导数为 h x f h x f x f h ) ()(lim )(**0* -+='→ （10.1） 如果函数()y f x =以列表形式给出（见表10-1），则其精确值无法求得，但可由下式求得其近似值 h x f h x f x f ) ()()(*** -+≈' （10.2） 表 10-1 一般的，步长h 越小，所得结果越精确。（10.2）式右端项的分子称为函数()y f x =在 *x 的差分，分母称为自变量在*x 的差分，所以右端项又称为差商。数值微分即用差商近似 代替微商。常用的差商公式为： 000()() ()2f x h f x h f x h +--'≈ （10.3） h y y y x f 243)(2 100-+-≈ ' （10.4）

h y y y x f n n n n 234)(12+-≈ '-- （10.5） 其误差均为2 ()O h ，称为统称三点公式。 10.2 数值微分的MATLAB 实现 MATLAB 提供了一个指令求解一阶向前差分，其使用格式为： dx=diff(x) 其中x 是n 维数组，dx 为1n -维数组[]21321,, ,n x x x x x x ---,这样基于两点的数值导 数可通过指令diff(x)/h 实现。对于三点公式，读者可参考例1的M 函数文件diff3.m 。 例1 用三点公式计算()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值，()f x 的值由下表给 解：建立三点公式的M 函数文件diff3.m 如下： function f=diff3(x,y) n=length(x);h=x(2)-x(1); f(1)=(-3*y(1)+4*y(2)-y(3))/(2*h); for j=2:n-1 f(j)=(y(j+1)-y(j-1))/(2*h); end f(n)=(y(n-2)-4*y(n-1)+3*y(n))/(2*h); 在MATLAB 指令窗中输入指令： x=[1.0,1.1,1.2,1.3,1.4];y=[0.2500,0.2268,0.2066,0.1890,0.1736];diff3(x,y) 运行得各点的导数值为：-0.2470，-0.2170，-0.1890，-0.1650，-0.0014。所以()y f x =在=x 1.0,1.2,1.4处的导数值分别为-0.2470，-0.1890和-0.0014。 对于高阶导数，MATLAB 提供了几个指令借助于样条函数进行求导，详细使用步骤如下： step1：对给定数据点（x,y ），利用指令pp=spline(x,y)，获得三次样条函数数据pp ，供后面ppval 等指令使用。其中，pp 是一个分段多项式所对应的行向量，它包含此多项式的阶数、段数、节点的横坐标值和各段多项式的系数。 step2：对于上面所求的数据向量pp ，利用指令[breaks,coefs,m,n]=unmkpp(pp)进行处理，生成几个有序的分段多项式pp 。 step3：对各个分段多项式pp 的系数，利用函数ppval 生成其相应导数分段多项式的系数，再利用指令mkpp 生成相应的导数分段多项式 step4：将待求点xx 代入此导数多项式，即得样条导数值。 上述过程可建立M 函数文件ppd.m 实现如下： function dy=ppd(pp) [breaks,coefs,m]=unmkpp(pp);

计算方法实验报告

计算方法实验报告（四） 方程和方程组的迭代解法 一、实验问题 利用简单迭代法，两种加速技术，牛顿法，改进牛顿法，弦割法求解习题5-1，5-2，5-3中的一题，并尽可能准确。 选取5-3：求在x=1.5附近的根。 二、问题的分析（描述算法的步骤等） （1）简单迭代法算法： 给定初始近似值,求的解。 Step 1 令i=0； Step 2 令(计算)； Step 3 如果,则迭代终止，否则重复Step 2。 （2）Aitken加速法算法 Step 1 令k=0，利用简单迭代算法得到迭代序列； Step 2 令-(计算得到一个新的序列，其中k=0,1,2…)；Step 3 如果,则迭代终止，否则重复Step 2。 (3)插值加速法算法 Step 1 令k=0，利用简单迭代算法得到迭代序列； Step 2 令+(计算得到一个新的序列，其中k=1,2,3…)； Step 3 如果,则迭代终止，否则重复Step 2。 (4)牛顿法算法

Step 1给定初始近似值； Step 2令,其中k计算得到的序列； Step 3如果,则迭代终止，否则重复Step 2。 （5）改进牛顿法的算法 Step 1给定初始近似值； Step 2令,其中k迭代计算得到的序列； Step 3如果,则迭代终止，否则重复Step 2。 （6）弦割法算法（双点弦割法） Step 1给定初始近似值，； Step 2令其中k计算得到的序列； Step 3如果,则迭代终止，否则重复Step 2。 三、程序设计 (1)简单迭代法 利用迭代公式进行迭代运算。 #include #include #include double fun(double x) { double c=1+x*x; return pow(c,1/3.0); } void main() { double x=1.5; double y=0; double D=1;

计算方法实验报告格式

计算方法实验报告格式 小组名称: 组长姓名(班号)： 小组成员姓名(班号): 按贡献排序情况: 指导教师评语: 小组所得分数: 一个完整的实验，应包括数据准备、理论基础、实验内容及方法，最终对实验结果进行分析，以达到对理论知识的感性认识，进一步加深对相关算法的理解，数值实验以实验报告形式完成，实验报告格式如下： 一、实验名称 实验者可根据报告形式需要适当写出． 二、实验目的及要求 首先要求做实验者明确，为什么要做某个实验，实验目的是什么，做完该实验应达到什么结果，在实验过程中的注意事项，实验方法对结果的影响也可以以实验目的的形式列出． 三、算法描述（实验原理与基础理论） 数值实验本身就是为了加深对基础理论及方法的理解而设置的，所以要求将实验涉及到的理论基础，算法原理详尽列出． 四、实验内容 实验内容主要包括实验的实施方案、步骤、实验数据准备、实验的算法以及可能用到的仪器设备． 五、程序流程图 画出程序实现过程的流程图，以便更好的对程序执行的过程有清楚的认识，在程序调试过程中更容易发现问题． 六、实验结果 实验结果应包括实验的原始数据、中间结果及实验的最终结果，复杂的结果可以用表格

形式列出，较为简单的结果可以与实验结果分析合并出现． 七、实验结果分析 实验结果分析包括对对算法的理解与分析、改进与建议． 数值实验报告范例 为了更好地做好数值实验并写出规范的数值实验报告，下面给出一简单范例供读者参考． 数值实验报告 小组名称: 小组成员(班号): 按贡献排序情况: 指导教师评语: 小组所得分数: 一、实验名称 误差传播与算法稳定性． 二、实验目的 1．理解数值计算稳定性的概念． 2．了解数值计算方法的必要性． 3．体会数值计算的收敛性与收敛速度． 三、实验内容 计算dx x x I n n ? += 1 10 ，1,2,,10n = ． 四、算法描述 由 dx x x I n n ? += 1 10 ，知 dx x x I n n ?+=--101110，则

matlab实现数值分析插值及积分

Matlab实现数值分析插值及积分 摘要： 数值分析(numerical analysis)是研究分析用计算机求解数学计算问题的数值计算方法及其理论的学科，是数学的一个分支，它以数字计算机求解数学问题的理论和方法为研究对象。在实际生产实践中，常常将实际问题转化为数学模型来解决，这个过程就是数学建模。学习数值分析这门课程可以让我们学到很多的数学建模方法。 分别运用matlab数学软件编程来解决插值问题和数值积分问题。题目中的要计算差值和积分，对于问题一，可以分别利用朗格朗日插值公式，牛顿插值公式，埃特金逐次线性插值公式来进行编程求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为：=+。 其中Aitken插值计算的结果图如下： 对于问题二，可以分别利用复化梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式编写程序来进行求解，具体matlab代码见正文。编程求解出来的结果为： 0.6932 其中复化梯形公式计算的结果图如下：

问题重述 问题一：已知列表函数 表格 1 分别用拉格朗日，牛顿，埃特金插值方法计算。 问题二：用复化的梯形公式，复化的辛卜生公式，复化的柯特斯公式计算积分，使精度小于5。 问题解决 问题一：插值方法 对于问题一，用三种差值方法：拉格朗日，牛顿，埃特金差值方法来解决。 一、拉格朗日插值法： 拉格朗日插值多项式如下： 首先构造1+n 个插值节点n x x x ,,,10 上的n 插值基函数，对任一点i x 所对应的插值基函数 )(x l i ，由于在所有),,1,1,,1,0(n i i j x j +-=取零值，因此)(x l i 有因子 )())(()(110n i i x x x x x x x x ----+- 。又因)(x l i 是一个次数不超过n 的多项式，所以只 可能相差一个常数因子，固)(x l i 可表示成： )())(()()(110n i i i x x x x x x x x A x l ----=+- 利用1)(=i i x l 得：

数值积分用matlab实现

数值积分用m a t l a b实 现

东北大学秦皇岛分校 数值计算课程设计报告 数值积分及Matlab实现 学院数学与统计学院 专业信息与计算科学 学号5133117 姓名楚文玉 指导教师张建波姜玉山 成绩 教师评语： 指导教师签字： 2015年07月14日

1 绪论 在科研计算中，经常会碰到一些很难用公式定理直接求出精确解的积分问题，对于这类问题，我们一般转化为数值积分问题，用计算机来实现求解问题． 1.1 课题的背景 对于定积分()b a f x dx ?在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里 茨公式()()()b a I f x dx F b F a ==-?可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数() f x 不易求出或非常复杂．被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如 2 sin (),x x f x e x -= 等；有的函数()f x 的原函数()F x 存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式．因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的．另外，许多实际问题中的被积函数()f x 往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值．因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算．而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值．微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一．随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域．现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义．国内外众多学者在数值积分应用领域也提出了许多新方法．在很多实际应用中，只能知道积分函数在某些特定点的取值，比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等．通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求出特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；并且通过Matlab 软件编程的实现，应用于实际生活中． 1.2 课题的主要内容框架

数学计算方法实验报告

数学计算方法实验报告 习题二 2.估计用二分法求方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间[1,2]内根的近似值，为使方程不超过10时所需的二分次数。f(x k) 程序过程： function two (tolerance) a=1;b=2;counter=0; while (abs(b-a)>tolerance) c=(a+b)/2; fa=a^3+4*a^2-10;

fb=b^3+4*b^2-10; fc=c^3+4*c^2-10; if ((fa==0|fb==0)) disp(counter); elseif (fa*fc<0) b=c;counter=counter+1; elseif (fb*fc<0) a=c;counter=counter+1; elseif (fb==0) disp(counter); end end solution=(a+b)/2; disp(solution); disp(counter); 实验结果： 6.取x0=1.5,用牛顿迭代法求第三中的方程根.f(x)=x3+4x2-10=0的近似值（精确到||x k+1-x k|≦10-5,并将迭代次数与3题比较。 程序过程： function six (g) a=1.5; fa=a^3+4*a^2-10;

ga=3*a^2+8*a; b=a-fa/ga; k=1; while(abs(b-a)>g) a=b; fa=a^3+4*a^2-10; ga=3*a^2+8*a; b=a-fa/ga; k=k+1; end format long; disp(a); disp(k); 实验结果：程序结果计算结果 8.用弦割法求方程f(x)=x3-3x2-x+9=0在区间[-2,-1]内的一个实根近似值x k,|f(x k)|≦10-5. 程序过程： function eight (t) a=-2; b=-1; fa=a^3-3*a^2-a+9; fb=b^3-3*b^2-b+9; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); k=1; while(abs(c-b)>t) a=b; b=c; fa=a^3-3*a^2-a+9; fb=b^3-3*b^2-b+9; c=b-fb*(b-a)/(fb-fa); k=k+1; end

计算方法实验报告 拟合

南京信息工程大学实验（实习）报告 一、实验目的: 用最小二乘法将给定的十个点拟合成三次多项式。 二、实验步骤： 用matlab编制以函数为基的多项式最小二乘拟合程序，并用于对下列数据作三次多项式最小二乘拟合(取权函数wi=1) x -2.5 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 y -2.30 -1 -0.14 -0.25 0.61 1.03 1.75 2.75 4.42 6.94 给定直线方程为：y=1/4*x3+1/2*x2+x+1 三、实验结论： 最小二乘法：通过最小化误差的平方和寻找数据的最佳函数匹配。利用最小二乘法可以简便地求得未知的数据，并使得这些求得的数据与实际数据之间误差的平方和为最小。最小二乘法还可用于曲线拟合。 一般地。当测量数据的散布图无明显的规律时，习惯上取n次代数多项式。 程序运行结果为： a = 0.9731 1.1023 0.4862 0.2238 即拟合的三次方程为：y=0.9731+1.1023x+0.4862*x2+0.2238*x3

-2.5 -2-1.5-1-0.5 00.51 1.52 2.5 -4-20246 81012 x 轴 y 轴 拟合图 离散点 y=a(1)+a(2)*x+a(3)*x.2+a(4)*x.3 结论： 一般情况下，拟合函数使得所有的残差为零是不可能的。由图形可以看出最小二乘解决了残差的正负相互抵消的问题，使得拟合函数更加密合实验数据。 优点：曲线拟合是使拟合函数和一系列的离散点与观测值的偏差平方和达到最小。 缺点：由于计算方法简单，若要保证数据的精确度，需要大量的数据代入计算。

数值积分的算法比较及其MATLAB实现

编号： 审定成绩： 重庆邮电大学 毕业设计（论文） 设计（论文）题目：数值积分算法与MATLAB实现 学院名称：数理学院 学生姓名： 专业：数学与应用数学 班级： 学号： 指导教师： 答辩组负责人： 填表时间：年月 重庆邮电大学教务处制

摘要 在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。 【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件

ABSTRACT When the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods. This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to various quadrature formulas calculation error. 【Key words】Numerical integration Newton-Cotes quadrature formula High-precision quadrature formula Matlab software

计算方法实验报告

实验报告 一、求方程f(x)=x^3-sinx-12x+1的全部根, ε=1e -6 1、 用一般迭代法; 2、 用牛顿迭代法; 并比较两种迭代的收敛速度。 一、首先，由题可求得：12cos 3)(2 ' --=x x x f . 其次，分析得到其根所在的区间。 ① 令()0=x f ，可得到x x x sin 1123 =+-. ② 用一阶导数分析得到1123 +-x x 和x sin 两个函数的增减区间；再用二阶导数分析得到 两个函数的拐点以及凹凸区间. ③ 在直角坐标轴上描摹出01123 =+-x x 和0sin =x 的图，在图上可以看到他们的交点，然后估计交点所在的区间，即是所要求的根的区间。经过估计，得到根所在的区间为 []3,4--，[]1,0和[]4,3. 1、 一般迭代法 （1）算法步骤： 设ε为给定的允许精度，迭代法的计算步骤为： ① 选定初值0x .由()0=x f 确定函数()x g ，得等价形式()x g x =. ② 计算()0x g .由迭代公式得()01x g x =. ③ 如果ε≤-01x x ，则迭代结束，取1x 为解的近似值；否则，用1x 代替0x ，重复步骤②和步骤③. （2）程序代码： ① 在区间[]3,4--内， 代码： clc

x0=-3.5; %初值0x iter_max=100; %迭代的最大次数 ep=1e-6; %允许精度 ε k=0; while k<=iter_max %k 从0开始到iter_max 循环 x1=(sin(x0)+12*x0-1).^(1/3); %代入0x ，算出1x 的值 if abs(x1-x0)

数值积分算法与MATLAB实现

数值积分算法与MATLAB实现 本文从网络收集而来，上传到平台为了帮到更多的人，如果您需要使用本文档，请点击下载按钮下载本文档（有偿下载），另外祝您生活愉快，工作顺利，万事如意！ 摘要：在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。 本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。 【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件

前言 对于定积分，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数不易求出或非常复杂。被积函数的原函数很难用初等函数表达出来，例如等；有的函数的原函数存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式。因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。另外，许多实际问题中的被积函数往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值。因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算。而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值。 微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节。数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一，也是应用数学研究的重点。随着计算机的出现，近几十年来，对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域。现在，数值积分在计算