《推理与证明》复习建议

《推理与证明》复习建议

“推理与证明”是新课标新增内容，主要包括合情推理与演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法三个部分（其中数学归纳法文科数学不作要求），这部分的内容是各知识模块中常用思维方法和论证方法的总结，其思维方法和论证方法是高考考查的重点，每年高考均有大量试题涉及；而且，“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是数学学科能力的核心，它的基本知识与方法是高中数学较为基础的一部分，因此在第一轮复习中贯穿这些思维方式和论证方法是非常重要的。下面通过查阅相关文献资料以及近几年全国各地的高考题，提出以下复习备考的看法，供大家参考。

一．08年考试内容及考试要求

1．合情推理与演绎推理

（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用。

（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。

（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异。

2．直接证明与间接证明

（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。

（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点。

3．数学归纳法（文科不做要求）

了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。

“推理与证明”这部分在08与07年高考数学考试说明中的要求是相同的，且09年是“3+x+综合”的最后一年，估计变化不大。

二．高考试题统计分析

三．高考命题趋势

推理是思维的基本形式之一，中学数学的推理论证能力是根据已知的事实和已获得的正确数学命题，来论证某一数学命题真实性的初步的推理能力。

考纲指出：对数学能力的考查要全面，强调综合性、应用性，并要切合考生实际，对推理论证能力和抽象概括能力的考查贯穿于全卷，是考查的重点，强调其科学性、严谨性、抽象性。

命题趋势：高考的“推理与证明”一般不单独设题，主要和其他知识结合在一起，属于综合题，可以综合在诸如立体几何、解析几何、数列、函数、不等式等内容中，既有计算又有证明，解决此类题目时，一定要建立合理的解题思路，对典型的证明方法一定要掌握。

在“推理与证明”的内容中，“合情推理”是一种重要的归纳，主要从已知条件归纳出一个结论，可以是形式上的归纳，也可以是数学性质的归纳，一般以客观题的形式出现；演绎推理则是逻辑思维能力的一个重要体现，试题中考查该部分内容的比例较大，命题时既可以使用选择题、填空题的形式，又可以在解答

题型中，以证明题的形式进行考查，立体几何是考查“演绎推理”的最好教材。

“直接证明和间接证明”在高考中一般也不会直接命题，仍然是以其他知识为载体，在考查其他知识的同时，考查本部分内容，是每年高考的考查重点，几乎涉及数学的各方面知识，代表着研究性命题的发展趋势，选择题、填空题、解答题都可能涉及。该部分命题的方向主要在函数、三角恒等变换、数列、立体几何、解析几何等方面，主要以考查“直接证明”中的综合法为主。

由于“数学归纳法”仅限于与自然数有关的命题，故单独命题的可能性不大，多数以数列及不等式为载体来综合考查。高考常见的题型有：证明等式问题、证明不等式问题、证明整除问题和解决数列中的探究性问题等，但不排除在客观题中考查数学归纳法的原理和证明步骤。近两年广东高考数学文理分卷，而且文理差异逐年加大，所以对只作理科要求的数学归纳法要多加留意。

四．复习备考和学法建议；

（一）复习备考建议

1．有意识地在各模块复习中渗透数学思维方法

数学是理性思维的学科，高考尤其强调“全卷要贯穿思维能力的考查”，而推理与证明正是这一理性思维的体现，学生只有在思维能力上有所提高才能让数学学习有一个质的飞跃。但思维的培养不是一朝一夕的，因此，在第一轮各模块的复习中应尽量加强学生思维能力方面的培养。

例如常要使用演绎推理和两种证明方法的立体几何，既能培养学生的空间想象力又能培养学生的逻辑思维能力，如果在这部分复习中能够连同演绎推理的原理和两种证明的特征一并讲解，既有助学生理解，又能提高其综合能力，对书写表达也有很大裨益，可谓一举多得。

又如在数列、函数、不等式中，对涉及自然数的命题作一题多解，既拓宽学生的思维空间，也让学生分别在横向和纵向构建数学框架。另外，客观题的训练中，适当地进行合情推理的尝试，也能使学生将各类知识点联系在一起，以达到综合训练的目的。

2．夯实基础的同时加大信息量

夯实双基是提高数学能力的必要条件，只有对数学基础知识和数学规律、性质有一定的了解才谈得上思维能力的开拓，因此必须注重数学基础的学习。

同时，对于有能力的学生，加大信息量，在教材之外，适当的把一些竞赛数学的思想，以及与高中数学相关的部分高等数学内容和思想方法进行适当的渗透，都有助其解决最后的压轴题。例如08年广东理科卷

（二）学法建议

1．运用“合情推理”时应该尝试从多个角度去观察并发现规律。运用“类比推理”时重点在找出两类事物之间的相似性或一致性，用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，从而得出一个明确的命题（猜想）。可以类比方法、类比定理以及类比性质。

2．“综合法”的思维特征是：由因导果。即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论的一种证明方法。

3．“分析法”的思维特征是：执果索因。从结论入手进行反推，看看需要知道什么，最后推出一个已证的命题（定义、公理、定理、公式等）或已知条件，从而得到证明。很多演绎推理的证明题都是采用这种方法进行思考的，有时也将综合法和分析法结合起来使用。

4．“反证法”也是一种十分重要的方法，任何一个问题都有正反两面，当直接证明有困难时，便可以考虑使用反证法。

5．“数学归纳法”是推理逻辑，分为两大步骤，第一步是当n=n0时命题成立，其中n0是命题成立的初始元值，不一定是自然数1，这一步是论证的基本保证，是递推的基础，必须保证其真实性，这一步往往通过验证来落实；第二步是假设n=k时命题成立，可推导出n=k+1命题成立，这是递推步骤，是命题具有后续传递性的保证，故这一步骤更强调是否具备传递性，由k?k+1时必须使用归纳假设，否则不算数学归纳法。同时，这一步骤还要注意由k?k+1命题改变的部分，例如项数，这是学习的难点。另外，数学归纳法虽然仅限于与自然数有关的命题，但并不是所有与自然数有关的命题都能使用数学归纳法。

五．考点例析

考点1：合情推理

合情推理中的“归纳推理”是考查的重点，尤其常用在数列、不等式、函数中与自然数有关的命题，因此复习数列、不等式、函数时加强推理能力的训练。“类比推理”也偶有出现（04年广东）

例1. (2007广东理)如果一个凸多面体是n 棱锥，那么这个凸多面体的所有顶点所确定的直线共有 __ 条.这些直线中共有)(n f 对异面直线，则)4(f ＝ 12 ;

)(n f ＝

2

.（答案用数字或n

的解析式表示）

例2．（2007湖南理）将杨辉三角中的奇数换成1，偶数换成0，得到如图1所示的0－1三角数表．从上往下数，第1次全行的数都为1的是第1行，第2次全行的数都为1的是第3行，…，第n 次全行的数都为1的是第 2n －1 行；第61行中1的个数是 32 ． 第1行 1 1 第2行 1 0 1 第3行 1 1 1 1 第4行 1 0 0 0 1 第5行 1 1 0 0 1 1

…… ………………………………………

例3．（2008北京理）某校数学课外小组在坐标纸上，为学校的一块空地设计植树方案如下：第k 棵树种

植在点()k k k P x y ，处，其中11x =，11y =，当2k ≥时，111215551255k k k k k k x x T T k k y y T T --??--?????=+--? ? ???????????--?????=+- ? ???????

，． ()T a 表示非负实数a 的整数部分，例如(2.6)2T =，(0.2)0T =．

按此方案，第6棵树种植点的坐标应为 (1, 2) ；第2008棵树种植点的坐标应为 (3, 402) ． 例4．(2008江苏)将全体正整数排成一个三角形数阵：

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

． ． ． ． ． ． ．

按照以上排列的规律，第n 行（n ≥3）从左向右的第3 个数为 26

2

n n -+ ．

例5.（2007上海文、理）设)(x f 是定义在正整数集上的函数，且)(x f 满足：“当2()f k k ≥成立时，总可推出(1)f k +≥2

)1(+k 成立”． 那么，下列命题总成立的是（ D ） Ａ．若1)1(

Ｃ．若(3)9f ≥成立，则当1k ≥时，均有2()f k k ≥成立

Ｄ．若(4)25f ≥成立，则当4k ≥时，均有2()f k k ≥成立

例6．(2008安徽理)设数列{}n a 满足3

*

010,1,,n n a a ca c c N c +==+-∈其中为实数

（Ⅰ）证明：[0,1]n a ∈对任意*

n N ∈成立的充分必要条件是[0,1]c ∈；

（Ⅱ）设103c <<

，证明：1*1(3),n n a c n N -≥-∈; （Ⅲ）设103c <<，证明：222

*1221,13n a a a n n N c

++>+-∈-

解 (1) 必要性 ：120,1a a c ==-∵∴ ，

又 2[0,1],011a c ∈≤-≤∵∴ ，即[0,1]c ∈

充分性 ：设 [0,1]c ∈，对*

n N ∈用数学归纳法证明[0,1]n a ∈ 当1n =时，10[0,1]a =∈.假设[0,1](1)k a k ∈≥

则3

1111k k a ca c c c +=+-≤+-=，且3

1110k k a ca c c +=+-≥-=≥

1[0,1]k a +∈∴，由数学归纳法知[0,1]n a ∈对所有*n N ∈成立 (2) 设 1

03

c <<，当1n =时，10a =，结论成立

当2n ≥ 时，

32

11111,1(1)(1)n n n n n n a ca c a c a a a ----=+--=-++∵∴

103

C <<∵,由（1）知1[0,1]n a -∈，所以 2

1113n n a a --++≤ 且 110n a --≥

113(1)n n a c a --≤-∴

2

1

112113(1)(3)(1)(3)(1)(3)n n n n n a c a c a c a c -----≤-≤-≤≤-= ∴

1

*1(3)

()n n a c n N -≥-∈∴

(3) 设 103c <<

，当1n =时，2

120213a c

=>--，结论成立 当2n ≥时，由（2）知1

1(3)0n n a c -≥->

21212(1)1(1(3))12(3)(3)12(3)n n n n n a c c c c ----≥-=-+>-∴ 222222112212[3(3)(3)

]n n n a a a a a n c c c -+++=++>--+++ ∴

2(1(3))2

111313n c n n c c

-=+->+-

--

例7．(2008江苏) 请先阅读：

在等式2cos 22cos 1x x =-（x ∈R ）的两边求导，得：2

(cos 2)(2cos 1) x x ''=-， 由求导法则，得)sin (cos 42)2sin (x x x -?=?-，化简得等式：x x x cos sin 22sin =．

（1）利用上题的想法（或其他方法），结合等式0

1

2

2

(1+x)=C C C C n

n

n

n n n n x x x ++++ （x ∈R ，正整数

2n ≥）

，证明：1

1

2[(1)1]C n

n k k n k n x k x

--=+-=∑． （2）对于正整数3n ≥，求证：

（i ）1(1)C 0n

k

k

n

k k =-=∑； （ii ）2

1

(1)C 0n

k k n

k k =-=∑； （iii ）11121C 11n n

k

n k k n +=-=++∑．

证明：（1）在等式0122(1)=C C C C n n n

n n n n x x x x +++++ 两边对x 求导得

112121

(1)2(1)n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x ----+=+++-+

移项得 1

1

2

[(1)

1]n

n k k n k n x kC x --=+-=∑ （*）

（2）（i ）在（*）式中，令1x =-，整理得 1

1

(1)

0n

k k

n k kC -=-=∑．

所以

1

(1)0n

k k

n k kC =-=∑ （ii ）由（1）知1

12121

(1)

2(1),3n n n n n n n n n n x C C x n C x nC x n ----+=+++-+≥ ．

两边对x 求导，得2

232

(1)(1)

232(1)n n n n n n n n x C C x n n C x ---+=+++- ．

在上式中，令1x =-

2322

0232(1)(1)(1)n n n n C C n n C -=+-++--

，

即

22

(1)(1)0n

k

k n

k k k C

-=--=∑，

亦即

2

2

(1)(

)0n

k

k

n k k k C =--=∑ ①

又由（i ）知 1(1)0

n k

k

n

k kC

=-=∑ ② 由①+②得

2

1

(1)C 0

n

k

k n

k k

=-=∑． （iii ）将等式0

1

2

2

(1)=C C C C n

n

n

n n n n x x x x +++++ 两边在[0,1]上对x 积分，

1

1

01220

(1)(C C C C )n n n

n n n n x dx x x x dx +=++++?

? ，

由微积分基本定理，得1

1

11

001

1(1)()1

1

n

n k k n k x C x n k ++=+=++∑

，

所以 101211

1n n

k n k C k n +=-=++∑．

例8. （2007湖北理）已知m ，n 为正整数.

（Ⅰ）用数学归纳法证明：当x >－1时，(1+x )m ≥1+mx ；

（Ⅱ）对于n ≥6，已知21311

n n m ??

?

??

（Ⅲ）求出满足等式3n +4m +…+(n +2)m =(n +3)n 的所有正整数n .

解法1：（Ⅰ）证：用数学归纳法证明：

（i ）当m =1时，原不等式成立；当m =2时，左边＝1+2x +x 2,右边＝1+2x ,因为x 2≥0, 所以左边≥右边，原不等式成立；

（ii ）假设当m =k 时，不等式成立，即（1+x ）k ≥1+kx ，则当m =k +1时，

kx x x x k

+≥+>+∴->11,01,1）于是在不等式（ 两边同乘以1+x 得

x k kx x k x kx x x k )1(1)1(1)1)(1()1()1(2++≥+++=++≥+?+，

所以1,)1(1)1(1

+=++≥++k m x k x k 即当时，不等式也成立.

考点2：演绎推理

“演绎推理”多以客观题形式出现，考查中往往定义新运算或者性质，因此要加强基础知识和概念的复习，在平时训练中通过小题形式反复训练，从各方面进行分析，达到从本质上掌握。

例9．(2007广东理)设S 是至少含有两个元素的集合，在S 上定义了一个二元运算“*”（即对任意的a ,b ∈S ，对于有序元素对（a ,b ）,在S 中有唯一确定的元素a *b 与之对应），若对任意的a ,b ∈S ,有a *(b *a )=b ,则对任意的a ,b ∈S ,下列等式中不恒成立的是（ A ） A ．（a *b ）*a =a B ．［a *(b *a )］*(a *b )=a C ．b *(b *b )=b D ．(a *b )* ［b *(a *b )］=b

例10．(2008陕西文、理) 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定规则加入相关数据

组成传输信息．设定原信息为012i a a a a ，{01}∈，（012i =，，）

，传输信息为00121h a a a h ，其中001102h a a h h a =⊕=⊕，，⊕运算规则为：000⊕=，011⊕=，101⊕=，110⊕=，例如原信息为

111，则传输信息为01111．传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息一定有误的是（ C ）

A ．11010

B ．01100

C ．10111

D ．00011

例11. ( 2007广东文、理)图3是某汽车维修公司的维修点环形分布图公司在年初分配给A 、 B 、C 、D 四个维修点某种配件各50件．在使用前发现需将A 、B 、C 、D 四个维修点的这批配件分别调整为40、45、54、61件,但调整只能在相邻维修点之间进行．那么要完成上述调整,最少的调动件次(n 件配件从一个维修点调整到相邻维修点的调动件次为n )为（ C ）

A ．18

B ．17

C ．16

D ．15

例12.（2007福建理)中学数学中存在许多关系，比如“相等关系”、“平行关系”等等，如果集合A 中元素之间的一个关系“”满足以下三个条件： （1）自反性：对于任意a A ，都有a a ；

（2）对称性：对于a ，b A ，若a b ，则有b a ；

（3）传递性：对于a ，b ，c A ，若a b ，b c 则有a c

则称“”是集合A 的一个等价关系，例如：“数的相等”是等价关系，而“直线的平行”不是等价关系（自反性不成立），请你再列出三个等价关系：___________。

答案不唯一，如“图形的全等”、“图形的相似”、“非零向量的共线”、“命题的充要条件”等等．

例13.（2007上海文）某工程由A B C D ，，，四道工序组成，完成它们需用时间依次为254x ，，，天．四道工序的先后顺序及相互关系是：A B ，可以同时开工；A 完成后，C 可以开工；B C ， 完成后，D 可以开工．若该工程总时数为9天，则完成工序C 需要的天数x 最大是 3 ．

例14.（2007上海文、理）对于非零实数a b ，，以下四个命题都成立：

① 01

≠+

a

a ； ② 2222)(

b ab a b a ++=+； ③ 若||||b a =，则b a ±=； ④ 若ab a =2

，则b a =．

那么，对于非零复数a b ，，仍然成立的命题的所有序号是 ②④

．

例15．（2008福建理) 设P 是一个数集，且至少含有两个数，若对任意a 、b ∈R ，都有a +b 、a －b ， ab 、

a

b

∈P （除数b ≠0），则称P 是一个数域.例如有理数集Q 是数域；数集{}

,F a b Q =+∈也是数域.有下列命题： ①整数集是数域； ②若有理数集Q M ?，则数集M 必为数域；

③数域必为无限集； ④存在无穷多个数域.

其中正确的命题的序号是 ③④ .（把你认为正确的命题的序号填填上）

例16．（2007北京理)（本小题共13分）已知集合{}12(2)k A a a a k = ，，，≥，其中(12)i a i k ∈=Z ，，，，由A 中的元素构成两个相应的集合：{}

()S a b a A b A a b A

=∈∈+∈，，，，

{}()T a b a A b A a b A =∈∈-∈，，，．其中()a b ，是有序数对，集合S 和T 中的元素个数分别为m 和

n ．若对于任意的a A ∈，总有a A -?，则称集合A 具有性质P ．

（I ）

检验集合{}0123，，，与{}123-，，是否具有性质P 并对其中具有性质P 的集合，写出相应的集合S 和T ；

（II ）对任何具有性质P 的集合A ，证明：(1)

2

k k n -≤；

（III ）判断m 和n 的大小关系，并证明你的结论．

解（I ）：集合{}0123，，，不具有性质P ．集合{}123-，，具有性质P ，其相应的集合S 和T 是{}(13)(31)S =--，，，，{}(21)23T =-()，，，．

（II ）证明：首先，由A 中元素构成的有序数对()i j a a ，共有2

k 个．

因为0A ?，所以()(1

2)i i a a T i k ?= ，，，，； 又因为当a A ∈时，a A -?时，a A -?，所以当()i j a a T ∈，时，()(1

2)j i a a T i j k ?= ，，，，，． 从而，集合T 中元素的个数最多为

21(1)()22k k k k --=

，即(1)2

k k n -≤． （III ）解：m n =，证明如下：

（1）对于()a b S ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A +∈，从而()a b b T +∈，．

如果()a b ，与()c d ，是S 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d +=+与

b d =中也至少有一个不成立．故()a b b +，与()

c

d d +，也是T 的不同元素． 可见，S 中元素的个数不多于T 中元素的个数，即m n ≤， （2）对于()a b T ∈，，根据定义，a A ∈，b A ∈，且a b A -∈，

从而()a b b S -∈，．如果()a b ，与()c d ，是T 的不同元素，那么a c =与b d =中至少有一个不成立，从而a b c d -=-与b d =中也不至少有一个不成立，故()a b b -，与()c d d -，也是S 的不同元素． 可见，T 中元素的个数不多于S 中元素的个数，即n m ≤， 由（1）（2）可知，m n =．

附：历届高考中的“推理与证明”试题汇编大全 一、选择题：

（2006年） 1.（2006广东）、对于任意的两个实数对(,)a b 和(,)c d ，规定：(,)(,)a b c d =， 当且仅当,a c b d ==；运算“?”为：(,)(,)(,)a b c d ac bd bc ad ?=-+； 运算“⊕”为：(,)(,)(,)a b c d a c b d ⊕=++，设,p q R ∈， 若(1,2)(,)(5,0)p q ?=，则(1,2)(,)p q ⊕=（ B ）

A .(4,0)

B . (2,0)

C . (0,2)

D . (0,4)- 2．（2006陕西文）为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→明

文（解密）。已知加密规则为：明文a ,b ,c ,d 对应密文a +2b ,2b +c ,2c +3d ,4d 。例如，明文1，2，3，4对应密文5，7，18，16。当接收方收到密文14，9，23，28时，则解密得到的明文为（ C ） A ．1,6，4,7 B ．4,6，1,7 C ．7,6，1,4 D ．6,4，1,7 3.（2006北京文）下图为某三岔路口交通环岛的简化模型，在某高

峰时段，单位时间进出路口A 、B 、C 的机动车辆数如图所示，图中x 1`x 2`x 3，分别表示该时段单位时间通过路段AB ?

,BC ?

,CA ?

的机动车辆数（假设：单位时间内，在上述路段中，同一路段上驶入与驶出的车辆数相等），则（ C ）

（A ）x 1＞x 2＞x 3 （B ）x 1＞x 3＞x 2 （C ）x 2＞x 3＞x 1 （D ）x 3＞x 2＞x 1

（2005－－2000年）

1.（2005全国卷Ⅲ文科）计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A ～F 共16

（A ）6E （B ）72 （C ）5F （D ）B 0 2．（2005辽宁）在R 上定义运算).1(:y x y x -=??若不等式1)()(<+?-a x a x 对任意实数x 成立， 则（ C ） A ．11<<-a

B ．20<

C ．2321<<-

a D ．21

23<<-a 3．（2005湖南文）已知数列}{n a 满足)(1

33,0*11N n a a a a n n n ∈+-==+，则20a =（ B ）

A ．0

B ．3-

C ．3

D ．

2

3 4.（2005上海文科）用n 个不同的实数n a a a ,,,21 可得到!n 个不同的排列，每个排列为一行写成一个!n 行的数阵对第i 行in i i a a a ,,,21 ，记in n i i i i na a a a b )1(32321-++-+-=，!,,3,2,1n i =例如：用1，2，3可得数阵如图，由于此数阵中每一列各数之和都是12，所以，

2412312212621-=?-?+-=+++b b b ，那么，在用1，2，3，4，5形成的数阵中，12021b b b +++ 等于（ C ） A ．—3600 B ．1800 C ．—1080 D ．—720 5．（2004重庆文科） 如图，棱长为5的正方体无论从哪一个面看，都有两个直通的边长为1的正方形孔，则这个有孔正方体的表面积（含孔内各面）是：（ C ）

A . 258

B . 234

C . 222

D . 210

6．（2002春招上海）

一个封闭的立方体，它的6个表面各标出A 、B 、C 、D 、

E 这6个字母中的1个字母，现放成下面3个不同位置所看见的表面上的字母已标明，则字母A 、B 、C 对面的字母分别是 （ C ）

(A )D 、E 、F (B )F 、D 、E (C )E 、F 、D E 、D 、F

1

231322

132

313

12321??

?

? ?

? ? ?

? ?

7.（2001江西、山西、天津文、理，广东，全国文、理）如图，小圆圈表示网络的结点，结点之间的连线表示它们有网线相联，连线标注的数字表示该段网线单位时间内可以通过的最大信息量. 现从结点A 向结点B 传递信息，信息可以分开沿不同的路线同时传递，则单位时间内传递的最大信息量为（ D ） （A ）26 （B ）24 （C ）20 （D ）19

二、填空题：

（2006－－2000年）

1、（2006广东）在德国不来梅举行的第48届世乒赛期间，某商店橱窗里用同样的乒乓球堆成若干堆“正三棱锥”形的展品，其中第1堆只有1层，就一个球；第2,3,4, 堆最底层（第一层）分别按图4所示方式固定摆放，从第二层开始，每层的小球自然垒放在下一层之上，第n 堆第n 层就放一个乒乓球，以()f n 表示第n 堆

的乒乓球总数，则(3)_____f =；()_____f n =（答案用n 表示）. f (3)=10, (1)(2)

()6

n n n f n ++=

2.（2006上海春招）同学们都知道，在一次考试后，如果按顺序去掉一些高分，那么班级的平均分将降低；反之，如果按顺序去掉一些低分，那么班级的平均分将提高. 这两个事实可以用数学语言描述为：若有限数列n a a a ,,,21 满足n a a a ≤≤≤ 21，则 （结论用数学式子表示）.

n

a a a m a a a n

m +++≤

+++ 2121(1≤m

a a a m n a a a n n m m +++≥

-+++++ 2121(1≤m

3．（2005广东）设平面内有n 条直线（n ≥3），其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.

若用)(n f 表示这n 条直线交点的个数，则)4(f = 5 ；当n >4时， )(n f =

1

(1)(2)2

n n +- .（用n 表示） 4．（2005湖南文科）已知平面βα,和直线，给出条件：①α//m ；②α⊥m ；③α?m ；④βα⊥；⑤βα//. （i ）当满足条件 ③⑤ 时，有β//m ；

（ii ）当满足条件 ②⑤ 时，有β⊥m .（填所选条件的序号）

5. （2005北京理科）已知n 次多项式1

011()n n n n n P x a x a x a x a --=++++ ,

如果在一种算法中，计算0k

x （k ＝2，3，4，…，n ）的值需要k －1次乘法，计算30()P x 的值共需要9

次运算（6次乘法，3次加法），那么计算0()n P x 的值共需要

1

(3)2

n n + 次运算． 下面给出一种减少运算次数的算法：0011(),()()k k k P x a P x xP x a ++==+（k ＝0，

1，2，…，n －1）．利用该算法，计算30()P x 的值共需要6次运算，计算0()n P x 的值共需要 2n 次运算． 6．（2005福建理科、文科）把下面不完整的命题补充完整，并使之成为真命题：

若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于 对称， 则函数)(x g = 。

图4

…

（注：填上你认为可以成为真命题的一件情形即可，不必考虑所有可能的情形）.

解：若函数x x f 2log 3)(+=的图象与)(x g 的图象关于y =x 对称, 则函数)(x g =2x-3. 7.（2005天津理科）在数列{a n }中,a 1=1,a 2=2,且)( )1(12*+∈-+=-N n a a n n n 则100S =___2600 __ 8．（2004全国卷Ⅰ理科）已知数列{a n }，满足a 1=1，a n =a 1+2a 2+3a 3+…+(n －1)a n －1(n ≥2)，则{a n }的通项 1, n =1, a n =

2

!

n ,n ≥2. 9．（2004全国卷Ⅰ文科）已知a 、b 为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a 、b 在α上的射影有可能是 .①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点。

在上面结论中，正确结论的编号是 ①②④ （写出所有正确结论的编号）. 10．（2004北京理科）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。

已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为______3________， 这个数列的前n 项和S n 的计算公式为________当n 为偶数时，S n n =

5

2

；当n 为奇数时，S n n =

-521

2

________ 。 11．（2004北京文科）定义“等和数列”：在一个数列中，如果每一项与它的后一项的和都为同一个常数，那么这个数列叫做等和数列，这个常数叫做该数列的公和。已知数列{}a n 是等和数列，且a 12=，公和为5，那么a 18的值为_______3_______，且这个数列的前21项和S 21的值为_______52_______ 12．（2004广东）由图（1）有面积关系：

PA B PAB S PA PB S PA PB ''??''

?=?，则由图（2）有体积关系：P A B C P ABC

V V '''--＝ PC

PB PA PC PB PA ????'

'' .

13．（2004春招上海）根据下列5个图形及相应点的个数的变化规律，试猜测第n 个图中有_____n 2－n +1______个点.

（1） （2） （3） （4） （5）

14．（2003天津文科）在平面几何里，有勾股定理：“设△ABC 的两边AB ，AC 互相垂直，则AB 2+AC 2=BC 2.”

拓展到空间，类比平面几何的勾股定理，研究三棱锥的侧面面积与底面面积间的关系。可以得出的正确结论是：“设三棱锥A —BCD 的三个侧面ABC 、ACD 、ADB 两两相互垂直，则 S 2△ABC + S 2

△ACD + S 2△ADB = S 2

△BCD ”。

15．（2002上海文、理）若数列}{n a 中，a 1=3，且a n +1=a n 2（n 是正整数），则数列的通项公式a n = .

B

A

P

B ’

图1

B A

P

B ’

A ’

C

C ’ 图2

16.（2002全国理，天津理，广东、江苏、河南卷）已知函数2

2

1)(x

x x f +=，那么 =++++++)4

1

()4()31()3()21()2()1(f f f f f f f _______3.5_______。

17.（2001春招上海）若记号“*”表示求两个实数a 与b 的算术平均数的运算，即2

b

a b a +=

*，则两边均含有运算符号“*”和“+”，且对于任意3个实当选a 、b 、c 都能成立的一个等式可以是_______ ),(*)()*(c a b a c b a ++=+. 等)()(,

)()()()(),

()()*(c b*a c a*b *b c a *a c b *c b a c b a*b*c a*c c b a +=++=+=+=++=+

18.（2001上海文、理）已知两个圆：x 2+y 2=1①与x 2+(y －3)2

=1②，则又①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线的情况下加以推广，即要求得到一个更一般的命题，而已知命题应成为所推广命题的一个特例，推广的命题为 .

19．（2000广东）设{}n a 是首项为1的正项数列，且（n +1）012

2

1=+-++n n n n a a na a

(n =1，2，3，…)，则它的通项公式是=n a

1

n

。 20．（2000上海理科、文科）在等差数列{}n a 中，若010=a ，则有等式

),19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++- 成立，类比上述性质，相应地：在等此数列{}n b 中，

若19=b ，则有等式 121217n n b b b b b b -??=?? 成立。

三.解答题:

1.（2005北京文科）数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1=1，11

3

n n a S +=

，n =1，2，3，……，求 （I ）a 2，a 3，a 4的值及数列{a n }的通项公式；

2.（2005北京理科）设数列{a n }的首项a 1=a ≠41，且11

为偶数

21

为奇数

4

n

n n a n a a n +???=?

?+??,

记211

4

n n b a -=-，n ＝＝l ，2，3，…·．

（I ）求a 2，a 3；

（II ）判断数列{b n }是否为等比数列，并证明你的结论； 3．（2005重庆文科）

数列).1(0521681}{111≥=++-=++n a a a a a a n n n n n 且满足

记).1(2

1

1≥-

=

n a b n n

（Ⅰ）求b 1、b 2、b 3、b 4的值；

（Ⅱ）求数列}{n b 的通项公式及数列}{n n b a 的前n 项和.n S

4．(1996全国文科、理科) 【注意:本题的要求是,参照标号①的写法,在标号②、③、④、⑤的横线上填写

适当步骤,完成(Ⅰ) 证明的全过程;并解答(Ⅱ).】

如图：在正三棱柱ABC －A 1B 1C 1中,AB =AA 1/3=a ,E ,F 分别是BB 1,CC 1上的点,且BE =a ,CF =2a . (Ⅰ)求证:面AEF ⊥面ACF ; (Ⅱ)求三棱锥A 1－AEF 的体积. (Ⅰ)证明:

① ∵BE =a ,CF =2a ,BE ∥CF ,延长FE 与CB 延长线交于D ,连结AD . ∴△DBE ∽△DCF

___________________________________________ ② ∴DB /DC =BE /CF

_________________________________________ ③ ∴DB =AB .

_________________________________________ ④ ∴DA ⊥AC .

_________________________________________ ⑤ ∴F A ⊥AD .

________________________________________

∴面AEF ⊥面ACF .

(Ⅱ)解

5.（2002北京文、理）在研究并行计算的基本算法时，有以下简单模型问题：

用计算机求n 个不同的数n v v v ,,,21 的和

n n

i i

v v v v

+++=∑= 211

，

计算开始前，n 个数存贮在n 台由网络连接的计算机中，每台机器存一个数．计算开始后，在一个单位时间内，每台机器至多到一台其他

机器中读数据，并与自己原有数据相加得到新的数据，各台机器可同时完成上述工作．为了用尽可能少的 （2）当128=n 时，要使所有机器都得到∑=i i

v

1

，至少需要多少个单位时间可完成计算？（结论不要

求证明）

判断推理知识点大全

判断推理 基本题型：图形推理，演绎推理，类比推理，定义判断 观察（特点）——抽象（本质）——推理 第一部分：图形推理（强调必要的技巧） 图形推理形式题型： 规律推理类（一幅图给出性质，多幅图给出规律） 1类比推理类 观察：（组成元素完全相同，一个小方框加一个黑点） 抽象：位置发生变化 推理：平移，翻转 2对比推理类 3坐标推理类（给出一个九宫格） 坐标推理的推理路线 横行（很少），竖列，S型，O型（中间全黑或全白），对角线4空间重构类 平面组成型（肯定平移） 折叠组合型 规律推理类（分值很大） 一幅图给出性质，多幅图给出规律，分为三类

数量类 题目特点：各图组成元素凌乱（位置看不出，没有共同样式） 数量类型：点（交点），线（直线，笔画），角，面，素（元素，包括个数和种类） 点一般有个割线，线一般是直线和笔画，角是有曲直，面（几个面），素（个数和种类） 记住：点，线，角，面，素，线包含笔画，包含一笔画问题 一笔画问题：奇点（点引出奇数线）的个数为0或2的图形可以一笔画。如日，奇点数为2.

数整个点线面素都选完了，就选局部，小圆圈的个数是0，1，2，3 如何分局部？ 1要不分样式（比如上图小圆圈） 2要不分位置（上下左右里外），分位置数元素的个数和种类。 数完数量，就看数量的规律：要么单调，要么对称，要么看规律，要么计算，九宫格的两项不可以构成数列，所以两数递推或三数叠加。下题就是三数叠加： 数量规律推理类总结： 第一步，图形化为数字： 点，线（笔画），角，面，素 整体不行，一笔画问题，分位置，分样式 第二部，数量确定规律 增加，减少，恒定，对称，奇偶，乱序，运算 位置类 题目特点：各图元素组成基本相同，位置上变化明显

高考真题分类汇编——推理与证明 (5)

高考真题分类汇编——推理与证明 合情推理与演绎推理 1．[2014·北京卷] 学生的语文、数学成绩均被评定为三个等级，依次为“优秀”“合格”“不合格”．若学生甲的语文、数学成绩都不低于学生乙，且其中至少有一门成绩高于乙，则称“学生甲比学生乙成绩好”．如果一组学生中没有哪位学生比另一位学生成绩好，并且不存在语文成绩相同、数学成绩也相同的两位学生，那么这组学生最多有() A．2人B．3人C．4人D．5人 答案：B 2．[2014·北京卷] 对于数对序列P：(a1，b1)，(a2，b2)，…，(a n，b n)，记 T1(P)＝a1＋b1，T k(P)＝b k＋max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}(2≤k≤n)， 其中max{T k－1(P)，a1＋a2＋…＋a k}表示T k－1(P)和a1＋a2＋…＋a k两个数中最大的数． (1)对于数对序列P：(2，5)，(4，1)，求T1(P)，T2(P)的值； (2)记m为a，b，c，d四个数中最小的数，对于由两个数对(a，b)，(c，d)组成的数对序列P：(a，b)，(c，d)和P′：(c，d)，(a，b)，试分别对m＝a和m＝d两种情况比较T2(P)和T2(P′)的大小； (3)在由五个数对(11，8)，(5，2)，(16，11)，(11，11)，(4，6)组成的所有数对序列中，写出一个数对序列P使T5(P)最小，并写出T5(P)的值．(只需写出结论) 解：(1)T1(P)＝2＋5＝7， T2(P)＝1＋max{T1(P)，2＋4}＝1＋max{7，6}＝8. (2)T2(P)＝max{a＋b＋d，a＋c＋d}， T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}． 当m＝a时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋d＋b. 因为a＋b＋d≤c＋b＋d，且a＋c＋d≤c＋b＋d，所以T2(P)≤T2(P′)． 当m＝d时，T2(P′)＝max{c＋d＋b，c＋a＋b}＝c＋a＋b. 因为a＋b＋d≤c＋a＋b，且a＋c＋d≤c＋a＋b，所以T2(P)≤T2(P′)． 所以无论m＝a还是m＝d，T2(P)≤T2(P′)都成立． (3)数对序列P：(4，6)，(11，11)，(16，11)，(11，8)，(5，2)的T5(P)值最小， T1(P)＝10，T2(P)＝26，T3(P)＝42，T4(P)＝50，T5(P)＝52. 3.[2014·福建卷] 若集合{a，b，c，d}＝{1，2，3，4}，且下列四个关系： ①a＝1；②b≠1；③c＝2；④d≠4有且只有一个是正确的，则符合条件的有序数组(a，b，c，d)的个数是________． 答案：6 解析：若①正确，则②③④不正确，可得b≠1不正确，即b＝1，与a＝1矛盾，故①不正确； 若②正确，则①③④不正确，由④不正确，得d＝4；由a≠1，b≠1，c≠2，得满足条件的有序数组为a＝3，b＝2，c＝1，d＝4或a＝2，b＝3，c＝1，d＝4. 若③正确，则①②④不正确，由④不正确，得d＝4；由②不正确，得b＝1，则满足条件的有序数组为a＝3，b＝1，c＝2，d＝4； 若④正确，则①②③不正确，由②不正确，得b＝1，由a≠1，c≠2，d≠4，得满足条件的有序数组为a＝2，b＝1，c＝4，d＝3或a＝3，b＝1，c＝4，d＝2或a＝4，b＝1，c＝3，d＝2； 综上所述，满足条件的有序数组的个数为6. 3.[2014·广东卷] 设数列{a n}的前n项和为S n，满足S n＝2na n＋1－3n2－4n，n∈N*，且S3

高考数学压轴专题(易错题)备战高考《推理与证明》知识点总复习

新数学《推理与证明》高考知识点 一、选择题 1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲； ②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙； ③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙； ④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】 本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题. 2．在平面几何中，与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有4个，类似的，在立体几何中，与四面体的四个面所在平面的距离相等的点有（） A．1个B．5个C．7个D．9个 【答案】B 【解析】 【分析】 根据平面图形的结论，通过想象类比得出立体图形对应的结论. 【详解】 根据三角形的内切圆和旁切圆可得 与三角形的三条边所在直线的距离相等的点有且只有4个， 由此类比到四面体中， 四面体的内切球的球心到四个面所在的平面的距离相等， 还有四个旁切球的球心到四个面所在的平面的距离相等，

小学生期中考试前各科的复习方法

小学生期中考试前各科的复习方法数学 1.整理老师发下的复习试卷，记录其中错题，难题，并重新做一遍。这些复习卷很重要，你还可以找来去年或前年的考试卷给做。重复做卷子里的题目，越熟练越好。 2.整理课堂笔记。可以先尝试回忆课堂笔记内容，再来看笔记。 3.整理公式。重新背一遍并理解。 语文 1.整理课堂笔记。可以先尝试回忆课堂笔记内容，再来看笔记。 2.整理老师发下的复习试卷，记录其中错题，难题，并重新做一遍。这些复习卷很重要，你还可以找来去年或前年的考试卷做。重复做卷子里的题目，越熟练越好。 3.熟背课文，在理解的基础上进行记忆。 4.作文方面可以参考历年作文题目，并尝试写一些作文。 英语 1.整理课堂笔记。可以先尝试回忆课堂笔记内容，再来看笔记。 2.单词句子熟背，最好能默。 3.常常拿起课本念句子，要大声念，不怕错。 4.常翻一翻词典，听一听磁带，看一看光盘。 5.整理老师发下的复习试卷，记录其中错题，难题，并重新做一遍。这些复习卷很重要，你还可以找来去年或前年的考试卷给你做。重复做卷子里的题目，越熟练越好。 还有一个重要的方法，三科都适用，就是做模拟卷，要常常做，规定时间和评分标准，可谓“平时以考试心态多做模拟卷，考试时就能以平常心做考试卷”。 子曰：“温故而知新。”意思就是说温习学过的知识,才能得到新的体会与理解。 每天放学回到家，首先就是主动完成作业。写作业的时候不能让父母催促着写,不懂的问题自己去思考,然后再去查资料,最后才去请教父母或老师。写完作业后的时间也不能浪费,自己看看课本，把掌握不好的知识加深印象;其次我们应该上课要认真听讲，要多复习学过的知识.坚持做到多做练习题,多背单词,多看课外书以及参加一些有意义的课外活动。 其次，不要整个晚上都复习同一门功课。除了十分重要的内容以外，课堂上不必记很详细的笔记。如果课堂上忙于记笔记，听课的效率一定不高，况且你也不能保证课后一定会去看笔记。课堂上所做的主要工作应当是把老师的讲课消化吸收，适当做一些简要的笔记即可。 最后，在复习的过程中，我们还应该注意调整我们的身体和注意休息。我们应该合理地安排时间，这样保证大脑的高效率。

选修2-2推理与证明单元测试题(好经典)

《推理与证明》单元测试题 考试时间120分钟 总分150分 一．选择题（共50分） 1.下面几种推理过程是演绎推理的是 ( ) A ．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝12(a n －1＋1 an －1 )(n ≥2)，由此归纳出{a n }的通项公式 B ．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人 C ．由平面三角形的性质，推测空间四面体的性质 D ．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A ，∠B 是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A ＋∠B ＝180° 2.(2012·江西高考)观察下列事实：|x |＋|y |＝1的不同整数解(x ，y )的个数为4，|x |＋|y | ＝2的不同整数解(x ，y )的个数为8，|x |＋|y |＝3的不同整数解(x ，y )的个数为12，…，则|x |＋|y |＝20的不同整数解(x ，y )的个数为( ) A ．76 B ．80 C ．86 D ．92 3. 观察下列各式：72=49，73=343，74=2401，…，则72012的末两位数字为（ ） A ．01 B ．43 C ．07 D ．49 4. 以下不等式（其中．．0a b >>）正确的个数是（ ） 1> ② ③lg 2>A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5.如图，椭圆的中心在坐标原点， F 为左焦点，当AB FB ⊥时，有 ()()() 2 2 2 2 2 c b b a c a +++=+ ，从而得其离心率为 ，此类椭圆称为“黄金椭圆”，类比“黄金椭圆”，可推出“黄金双曲线”的离心率为（ ） A ． 12 B ．12+ C 6.如图，在一次珠宝展览会上,某商家展出一套珠宝首饰,第一件首饰是1颗珠宝, 第二件首饰 是由6颗珠宝构成的正六边形, 第三件首饰是由15颗珠宝构成的正六边形, 第四件首饰是由28颗珠宝构成的正六边形，以后每件首饰都在前一件上,按照这种规律增加一定数量的珠宝,依此推断第8件首饰上应有（ ）颗珠宝。 第2件 第3件 第1件

高二数学推理与证明知识点与习题.doc

推理与证明 一、推理 1.推理：前提、结论 2.合情推理： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： (1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推岀该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理。简言Z,归纳推理是市部分到整体、rh个别到一般的推理 (2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象具有的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理，简言之，类比推理是山特殊到特殊的推理。 3.演绎推理： 从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论的推理叫演绎推理，简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理。 重难点：利用合情推理的原理提出猜想，利用演绎推理的形式进行证明 题型1用归纳推理发现规律 1、观察：77 + ^5 <2A/H； V55 + V165 < 2VH: j3"+J19 + V^v2VH；….对于任意正实数a,b,试写出使丽+v&<2vn成立的一个条件可以是 ___________________________________ . 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故ci + b = 22 2、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的婕筑师，单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形，如图为一组蜂巢的截面 图.其中第一个图有1个蜂巢，第二个图o 有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以/(?)表示 第〃帕图的蜂巢总数.则/(4) = --- ; f (〃) = ? 【解题思路】找出/(〃)—.f(n — 1)的关系式 ［解析］/(1) = 1,/(2) = 14- 6,/(3) = 14- 6 4-12,??? /'(4) = 1 + 6 + 12 + 18 = 37 /. /(n) = 1 + 6 + 12 + 18 + —F 6(/7 -1) = 3n2 - 3〃+1 【名师指引】处理“递推型”问题的方法Z—是寻找相邻两组数据的关系题型2用类比推理猜想新的命题 ［例］已知正三角形内切圆的半径是高的丄，把这个结论推广到空间止四血体，类似的结论是________ ? 3 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析］原问题的解法为等而积法，即5=丄必=3乂丄妙二>厂=丄/7 ,类比问题的解法应为等体积法， 2 2 3 V =-Sh = 4x-Sr=>r = -h即止四血体的内切球的半径是高一 3 3 4 4 【名师指引】(1)不仅要注意形式的类比，还要注意方法的类比 (2)类比推理常见的情形有：平而向空间类比；低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集 的性质类比；圆锥曲线间的类比等 二.直接证明与间接证明 三种证明方法： 综合法、分析法、反证法 反证法：它是一种间接的证明方法?川这种方法证明一个命题的一般步骤: (1)假设命题的结论不成立； (2)根据假设进行推理，直到推理中导出矛盾为止

期中考试总结

期中考试总结 期中考试总结 经过全体任课教师的辛勤努力，我们完成了半学期的教育教学工作，现就期中考试整个过程中的关键点，以及今后优化教学，完善教学管理，查缺补漏，做如下分析； 本次考试试题是由数学教研组统一命题，就整个试题来说，体现了目前考试要求,注重基础,体现能力，难易适中，知识覆盖广，偏难的试题较少，总体反映良好。 从考试反映出教学中存在的问题： 1、学生基础差。各年级都存在部分学生基础太差，同班学生中单科成绩差距太大。 2、学生的思想认识、学习态度问题。各年级都存在着部分学生学习目的不明确,学习方法不对头,没有养成在学习新课之前预习,在学习新知识的同时复习旧知识,在复习旧知识的同时获取新知识的习惯,学习浮于表面,敷衍了事,不能静心去学习,致使一些常见的应该熟知的知识不能正确解答. 3、应试能力及卷面。大部分学生应试能力有待提高，如对答卷的时间分配不够科学合理，做题面面俱到，不会分辨难易，答题不全面，层次不清，字迹潦草，这就要求我们教师在平时教学中严格要求学生，在考试中按答卷的要求约束学生，端正考风考纪，培养学生良好的考试习惯，答题速度也有待于提高，基本运算不准确，努力提高运算准确率。 4、审题能力有待于提高。很多学生不会审题，不明确题目的意思，遇到较难的题，盲人摸象，不知所措，或者答非所问，老师们要在平时的教学中注意培养学生的审题能力。

总之，半学期的努力没有白费，一份耕耘一份收获，成绩面前不骄不躁；经验教训认真吸取，为了更好的成绩，我们要百尺竿头， 更进一步，实现教学质量的大跃进，大跨步！ 2015 期中考试总结[篇2] 一、开好几个会议。即学生首先分析自己考试中出现的不足，制定出下一步奋斗的方向和目标；任课教师开好本科质量分析会；班 主任开好班级质量分析会；教研组长开好各学科质量分析会；教导 主任开好全校质量分析会，做好全校的质量分析。本次考试有得有失，语文试卷从生字词语、各种积累、古诗、句子、短文等内容的 考查。大部分班级学生在掌握生字、词语基础知识方面，还是完成 的比较好的。短文阅读方面，学生们相对还是一个能力的弱项，需 要教师在平时的语文课中，要有针对性的进行指导和训练。经语文 组共同探讨决定今后充分利用学校图书室资源、发动学生共用资源 等方式来提高学生的阅读量以提高阅读及写作能力。加大语文阅读 方面的专项训练，全面 二、召开期中考试家长会。对本次考试中涌现出的学生进行隆重表彰。会上对本学期前一阶段作工作小结，并宣布了期中考试优秀、进步的同学名单，以及在行为习惯各方面表现突出、进步的同学名单，还对全体学生在下半学期的思想、纪律、学习等方面提出了具 体而详细的要求，明确指出了学生努力的方向，并希望全体同学再 接再厉，力争取得更优异的成绩。 相信通过以上一系列措施的实行，我校在已有的成绩上一定会在今后的考试中再次取得更加优异的成绩。 2015—2015学年度第一学期期中考试分析 孟家小学 2015年11月18日 期中考试总结[篇3]

推理与证明综合测试题

一、选择题 1．分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ） Ａ．充分条件 Ｂ．必要条件 Ｃ．充要条件 Ｄ．等价条件 2．结论为：n n x y +能被x y +整除，令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为（ ） Ａ．n *∈N Ｂ．n *∈N 且3n ≥ Ｃ．n 为正奇数 Ｄ．n 为正偶数 3．在ABC △中，sin sin cos cos A C A C >，则ABC △一定是（ ） Ａ．锐角三角形 Ｂ．直角三角形 Ｃ．钝角三角形 Ｄ．不确定 4．在等差数列{}n a 中，若0n a >，公差0d >，则有4637a a a a >··，类经上述性质，在等比数 列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是（ ） Ａ．4857b b b b +>+ Ｂ．5748b b b b +>+ Ｃ．4758b b b b +>+ Ｄ．4578b b b b +>+ 5．（1）已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥， （2）已知a b ∈R ，，1a b +<，求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1．用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥，以下结论正确的是（ ） Ａ．(1)与(2)的假设都错误 Ｂ．(1)与(2)的假设都正确 Ｃ．(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ．(1)的假设错误；(2)的假设正确 6．观察式子：213122+ <，221151233++<，222111712344+++<，L ，则可归纳出式子为（ ） Ａ．22211111(2)2321n n n + +++<-L ≥ Ｂ．22211111(2)2321n n n + +++<+L ≥ Ｃ．222111211(2)23n n n n -+ +++，，∥．若 EF AB ∥，EF 到CD 与AB 的距离之比为:m n ，则可推算出： ma mb EF m m +=+．试用类比的方法，推想出下述问题的结果．在上面的梯形ABCD 中，延长梯形两腰AD BC ，相交于O 点，设OAB △， OCD △的面积分别为12S S ，，EF AB ∥且EF 到CD 与AB 的距离之 比为:m n ，则OEF △的面积0S 与12S S ，的关系是（ ） Ａ．120mS nS S m n +=+ Ｂ．120nS mS S m n +=+

高中数学推理与证明知识点归纳

高中数学推理与证明知识点归纳高中数学推理与证明知识点归纳 数学推理与证明知识点总结: 1.知识方法梳理 一、考纲解读： 本部分内容主要包括：合情推理和演绎推理、直接证明与间接证明、数学归纳法等内容，其中推理中的合情推理、演绎推理几乎涉及数学的方方面面的知识，代表研究性命题的发展趋势。新课标考试大纲将抽象概括作为一种能力提出，进一步强化了合情推理与演绎推理的要求，因此在复习中要重视合情推理与演绎推理。高考对直接证明与间接证明的考查主要以直接证明中的综合法为主，结合不等式进行考查。 二、要点梳理： 1.归纳推理的一般步骤：(1)通过观察个别事物，发现某些相同的性质;(2)从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般性命题。 2.类比推理的一般步骤： (1)找出两类事物之间的相似性或一致性;(2)用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想)。 3.演绎推理 三段论及其一般模式：①大前提——已知的一般原理;②小前提——所研究的特殊情况;③结论——根据一般原理，对特殊情况作出判断。 4.直接证明与间接证明

①综合法：利用某些已经证明过的不等式和不等式的性质推导出所要证明的不等式成立，这种证明方法通常叫做综合法。综合法的 思维特点是：由因导果，即由已知条件出发，利用已知的数学定理、性质和公式，推出结论。 ②分析法：证明不等式时，有时可以从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的条件，把证明不等式转化为判定这些条件是否 具备的问题，如果能够肯定这些条件都已具备，那么就可以断定原 不等式成立，这种方法通常叫做分析法。分析法的思维特点是：执 果索因。 ③反证法：要证明某一结论A是正确的，但不直接证明，而是先去证明A的反面(非A)是错误的，从而断定A是正确的，即为反证法。一般地，结论中出现“至多”“至少”“唯一”等词语，或结 论以否定语句出现，或要讨论的情况复杂时，常考虑使用反证法。 ④数学归纳法： 教学目标： 一、通过观察、猜测等活动，让学生经历简单的推理过程，理解逻辑推理的含义。初步获得一些简单的推理经验。 二、能借助连线、列表等方式整理信息，并按一定的方法进行推理。 三、在简单的推理过程中，培养学生初步的观察、分析、推理和有有条理的进行数学表达的能力。 教学重点： 理解逻辑推理的含义，经历简单的推理过程，初步获得一些简单的推理经验。 教学难点： 初步培养学生有序的，全面的思考问题及数学表达的能力。 教学过程：

期中考试前如何进行复习_初一作文

期中考试前如何进行复习 期中考试转眼就要到了，由于课程多，可利用的时间越来越少,这时候最需要的是镇静剂,回归就是最好的良药！要做到在教师的思维主线引导下回归基础知识、基本方法、基本思想。问一问自己,各章节都有哪些知识,这些知识都记得了吗？这些知识形成了哪些方法？这些方法的特点是什么？这些方法可以用来解决哪些问习题？这些问习题都会以什么样的标题形式出现？面对一个问习题,你能不能立刻联想到相关知识和相应的方法？如果有几种方法处理,哪种方法最好,或者说哪种方法对你最适宜？在使用这些知识和方法时,你是不是经常疏忽了特殊情况从而造成思维上的空白？为此你应该注意些什么？本章知识与其它章节知识之间有没有相通之处？相通在哪些地方？它们会以什么样的方式呈现在你面前？你有没有习题后反思习惯？……只有回归到位，才能做到考试的时候胸有成竹，才不会造成失误，不会让草率有可乘之机。当然考场上的发挥也很重要。很多学生的失分是由于审习题不清造成的，因此，我建议： 第一，仔细审习题，完成转化。 以数学习题为例，在已知条件当中会出现多个条件，那么首要任1 ————来源网络整理，仅供供参考

务就是要区分哪个是第一已知条件，哪个是第二已知条件……并且同时要实现数学的三种语言的转化（文字语言、符号语言、图形语言）。事实上，这也是一个理清思路的过程，要知道，找到精确的思路和正确的方法远比盲目下笔要重要的多！ 第二，要学会放弃。 考试过程中放弃一些你真的无法理解的内容和方法，把主要精力放在你能掌控的内容和方法上，发挥你的优势和特长，把你能驾驭的局部充分发挥出来，你就能考高分。你一定要放弃那种追求完满的想法，处理大习题时学会得步骤分，防止因求全而导致会做没时间做的现象，把你能写出来的步骤合理地表达出来，做到层次清楚。在考场上要告诉自己，其实没有须要得满分，你所能做的就是把会做的做对！ 三.调整心态，轻装上阵。 考试除了考你的知识能力外，还要考你的心理素质。因此，考试自身是一种综合素质的较量。有一句老话是这样说的“我难他难不畏难。我易他易莫大意”，这绝对能起到一种心理调节作用,你不在意你必吃亏，就像你草率，付出的代价就是分数。千万别忘了，备考除了备基础知识、基本方法、基本技能外，还要备你的心理、情绪，备你的信心和勇气。只要保持良好的心态,考个好分数绝对不是问习题。 ————来源网络整理，仅供供参考 2

2020云南红河事业单位招聘考试判断推理知识点：假设法你真的会灵活用吗

2020云南红河事业单位招聘考试判断推理知识点：假设法你真的会灵活用吗 时光荏苒光阴如梭，一转眼2019云南事业单位招聘已经逐渐接近尾声，转而进入了2020云南红河上半年事业单位招聘备考阶段;下面，红河中公教育就和备考的小伙伴来看一下如何利用假设法解决判断推理题，希望大家能够掌握方法，为2020事业单位考试做充分准备! 在题干条件不确定的时候，尤其是遇到真假话问题时，一般我们就会使用假设法。假设法指的是，假设题干中某个条件正确或者某个人说真话或假话，如果推出与题干已知条件矛盾的结论，说明假设不成立，则假设的反面正确。同学们在使用这种方法的时候，首先要注意的就是应该从题干哪个信息开始假设。我们来看下面这一道题： [例题1] 在一场“请问谁在说谎”的游戏中，四位游戏参与者每人从一副没有大小王的扑克牌中抽取一张。 甲说：“我抽中的牌是黑桃。” 乙说：“我抽中的牌是红桃。” 丙说：“我抽中的牌不是红桃。” 丁说：“我抽中的牌是梅花。” 已知4人抽取的扑克牌花色各不相同，且只有一人说谎。 根据上述条件，下列说法正确的是： A.甲、乙、丙、丁四人均有可能说谎 B.可以推知每个人抽取的扑克牌花色

C.丙有可能抽中方块 D.乙抽中的牌一定是红桃 解析：D。已知4人只有一人说谎，说谎的人不能确定，就可以去假设。红桃这个元素出现了两次，故可以从涉及红桃的人入手去假设。假设乙说谎，则乙抽中的不是红桃，甲丙丁都说真话，那么甲抽中黑桃、丙不是红桃、丁抽中梅花，则4人中没有人抽中红桃，与题干4人抽取的扑克牌花色各不相同矛盾。所以假设不成立，则乙说真话，乙抽中的是红桃。故本题选D。 在这道题目中，红桃这个元素出现得最多，那么与红桃相关的信息就比较多。我们在假设的时候就可以从题干中出现次数最多的元素，也就是关联性信息去做假设。其次，我们在假设的时候还要注意把假设的情况、说话的内容以及说话人的身份这些信息要综合起来去运用。 [例题2] 甲乙丙丁四人的车分别为白色、银色、蓝色和红色。在问到他们各自车的颜色时，甲说：“乙的车不是白色。”乙说：“丙的车是红色的。”丙说：“丁的车不是蓝色的。”丁说：“甲、乙、丙三人中有一个人的车是红色的，而且，只有这个人说的是实话。” 如果丁说的是实话，那么以下说法正确的是： A.甲的车是白色的，乙的车是银色的 B.乙的车是蓝色的，丙的车是红色的 C.丙的车是白色的，丁的车是蓝色的 D.丁的车是银色的，甲的车是红色的

高中数学-推理与证明单元测试卷

绝密★启用前 高中数学-推理与证明单元测试卷 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1.【题文】用反证法证明命题:“三角形的内角中至少有一个不大于60度”时，反设正确的是（） A.假设三个内角都不大于60度 B.假设三个内角至多有一个大于60度 C.假设三个内角都大于60度 D.假设三个内角至多有两个大于60度 2．【题文】菱形的对角线相等，正方形是菱形，所以正方形的对角线相等.在以上三段论的推理中（） A ．大前提错误B ．小前提错误 C ．推理形式错误D ．结论错误 3．【题文】由“正三角形的内切圆切于三边的中点”可类比猜想:正四面体的内切球切于四个面( ) A ．各正三角形内一点 B ．各正三角形的某高线上的点 C ．各正三角形的中心 D ．各正三角形外的某点 4．71115>，只需证（） A ．22)511()17(->- B ．22)511()17(+>+ C ．22)111()57(+>+ D ．22)111()57(->-

5．【题文】命题“对于任意角θ，θθθ2cos sin cos 44=-”的证 明:4cos θ-“4sin θ=θθθθθθθ2cos sin cos )sin )(cos sin (cos 222222=-=+-．”该过程应用了（） A ．分析法 B ．综合法 C ．间接证明法 D ．反证法 6．【题文】观察式子:232112<+，353121122<++，47 4131211222<+++，…，可归纳出式子为（） A ．121 1 3121 1222-< + +++ n n B ．121 1 3121 12 22 +< ++++n n C ．n n n 1 21 3121 12 22 -<++++ D ．1221 312 1 12 22 +< ++++n n n 7．【题文】已知圆()x y r r 222+=>0的面积为πS r 2=?，由此推理椭圆 ()x y a b a b 22 22+=1>>0的面积最有可能是（） A ．πa 2?B ．πb 2?C ．πab ? D ．π()ab 2 8．【题文】分析法又称执果索因法，若用分析法证明:“设a ＞b ＞c ，且a ＋b ＋c ＝0<”索的因应是（） A ．a －b ＞0 B ．a －c ＞0 C ．（a －b ）（a －c ）＞0 D ．（a －b ）（a －c ）＜0 9．【题文】对于数25，规定第1次操作为3325133+=，第2次操作为 3313+3355+=，如此反复操作，则第2017次操作后得到的数是（） A.25 B.250 C.55 D.133

新课标高中数学《推理与证明》知识归纳总结

《推理与证明》知识归纳总结 第一部分 合情推理 学习目标: 了解合情推理的含义(易混点） 理解归纳推理和类比推理的含义,并能运用它进行简单的推理(重点、难点） 了解合情推理在数学发展中的作用(难点) 一、知识归纳： 合情推理可分为归纳推理和类比推理两类： 归纳推理: 1．归纳推理:由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理.简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理． 2．归纳推理的一般步骤: 第一步,通过观察个别情况发现某些相同的性质; 第二步,从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题(猜想）. 思考探究： 1．归纳推理的结论一定正确吗? 2.统计学中,从总体中抽取样本，然后用样本估计总体,是否属归纳推理? 题型1 用归纳推理发现规律 1、观察 < < ；….对于任意正实数,a b , ≤成立的一个条件可以是 ____. 点拨：前面所列式子的共同特征特征是被开方数之和为22,故22=+b a

２、蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师,单个蜂 巢可以近似地看作是一个正六边形,如图为一组蜂 巢的截面图． 其中第一个图有1个蜂巢,第二个图 有7个蜂巢，第三个图有１９个蜂巢，按此规律,以 ()f n 表示第n 幅图的蜂巢总数．则(4)f =___＿_;()f n =_＿______＿__． 【解题思路】找出)1()(--n f n f 的关系式 ［解析],1261)3(,61)2(,1)1(++=+==f f f 37181261)4(=+++=∴f 133)1(6181261)(2+-=-+++++=∴n n n n f 总结:处理“递推型”问题的方法之一是寻找相邻两组数据的关系 类比推理 1.类比推理:由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理． 2.类比推理的一般步骤： 第一步:找出两类对象之间可以确切表述的相似特征; 第二步:用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征,从而得出一个猜想． 思考探究: 1．类比推理的结论能作为定理应用吗? 2.(1）圆有切线，切线与圆只交于一点，切点到圆心的距离等于半径.由此结论如何类比到球体? (２)平面内不共线的三点确定一个圆.由此结论如何类比得到空间的结论? 题型2 用类比推理猜想新的命题 [例]已知正三角形内切圆的半径是高的 13,把这个结论推广到空间正四面体，类似的结论是______. 【解题思路】从方法的类比入手 ［解析]原问题的解法为等面积法，即h r ar ah S 3121321=??== ，类比问题的解法应为等体积法， h r Sr Sh V 4131431=??==即正四面体的内切球的半径是高4 1 总结：(１）不仅要注意形式的类比,还要注意方法的类比 (2）类比推理常见的情形有:平面向空间类比;低维向高维类比；等差数列与等比数列类比；实数集的性质向复数集的性质类比；圆锥曲线间的类比等

初一期中考试前英语最佳复习方法

各位读友大家好，此文档由网络收集而来，欢迎您下载，谢谢 摘要:进入中学以来的第一次大型考试马上就要来了，该是开始复习的时候了，那么我们究竟应该如何开始着手复习呢...... 进入中学以来的第一次大型考试马上就要来了，该是开始复习的时候了，那么我们究竟应该如何开始着手复习呢？ 三大主科：知识要点逐个歼灭，知识难点各个击破，细小细节一一掌握 那么今天在这里我就仔细说说在考试前英语的复习方法： 初一上学期的英语相对来说知识点不多，难度也不大，甚至有很多同学还会觉得实在是没有技术含量，太过简单。 但是实际上呢，英语的复习也是很有门道的，虽然东西很简单，甚至是从字母 开始学起的，但是对我们的要求却不是很容易就能达到的：我们初中第一学期在英语方面的要求基本是95分以上甚至满分。 那这样的要求就使得我们同学在做考前复习的时候要复习的格外仔细。 首先，在26个字母的问题上就要着重放在26个字母的字母音标上，我们不光要自己会读，音标也要会标准的写下来，绝对不可以出现字母和音标长的一样的情况，另外26个字母的书写也是很有讲究的，在考试的时候一但出现字母的题对书写的要求是很高的。 其次，在单词上。初一上学期的单词相对来说还没有很多，那么这些词会怎么考呢？有三种题型是专门考察单词的： 1：首字母填空。这种题对单词的要求是知道词义，词性，以及拼写。 2：选词填空。对词汇的要求是知道词的意思和词性。 3：单项选择：要求知道词性和词义

以及相关用法。 所以从上面的单词考察方式可以看出，我们在复习单词的时候最开始的第一遍就要开始掌握单词的拼写词义以及词性,在确保单词的这三大基础没问题的情况下开始掌握单词的用法以及相关词组，甚至可以考虑试着用这些单词造句。造句是可以很快掌握单词并且深度记忆的很好方法。 第三：重点句型：包括where is…?Nice to meet you.等等的简单句型的使用以及应答，要确保绝对的掌握，更要包括课本中所有出现的课文，争取能背下来的就要一字不差的背下来。当然，可能有些同学会说：老师没要求背课文啊，但是在初一课本中出现的课文难度虽然不大但是确实是英语中的基础句型，所以现在即使老师并没有要求背诵，我们也应该自己背诵下来，只有这样才能保证在以后的学习和考试中能肯定的答出相对应的答语。 第四：语法运用：先要复习老师说 过的语法，但是难就难在应用上，所以尽量多的练习才是复习的关键，要多看曾经做过的课后题或者练习册上出现的内容，尤其是那些自己以前做错了的，要重点关注，甚至要能讲出来为什么出错，当时是什么知识点没掌握才导致错误的出现。然后找到自己曾经的缺失在继续在当初缺失的知识点上找一些相关题来巩固，确保再次出现类型题不会出错。绝对不可以避重就轻，存在侥幸心理，觉得错就错吧考试不一定会考。敢于面对和改正错误这一点很重要，在语文和数学的学习中也一样。 最后：关于阅读。要不断的加快自己阅读的速度和准确率是我们在将来的学习中一直要练习的部分。而这个速度和准确率是需要不停的而且有规律的练习才能达到的，所以我们要时刻养成专心认真而快速的阅读的习惯。在做题的时候争取每一题都要能够指出具体的出处，确保最大限度的准确. 上面的五点是在英语学习中尤其是 考试前很重要的五点建议，只有每一次都做到复习的彻底才能保证学习一个环节一个环节的能很好的连接，并且你会发现一个环节一个环节的掌握并不痛苦，可是如果一旦缺失了一个或者几个环节想再连起来就比较吃力，所以我们一定要让自己在学习的路上轻松而快乐的掌握，千万别贪图一时的轻松哈！

国考行测判断推理知识点汇总

国考行测：判断推理知识点汇总 华图教育任莉 判断推理的四个模块图形推理、逻辑判断、定义判断、类比推理都是国考行测中必要的几个内容，上一次已经为大家总结了图形推理的一些知识点以及需要注意的事项，那么接下去我们接着来汇总逻辑判断中的一些相关内容。逻辑判断是判断推理中最难的一个模块，常考主要有以下几个方面的内容：翻译推理、分析推理、真假推理、日常推理、论证类，这里主要为大家总结前三个模块。 （二）逻辑判断 （1）翻译推理 判定：题目中出现逻辑关联词 解题思路：先翻译后推理 四个翻译：1、如果......那么......... 如果就，前推后（前半句话推后半句话） 替代关联词：只要...就，必须，离不开，凡是...都，为了...一定，要想...就 2、只有......才...... 只有才，后推前 替代关联词：除非...否则不，...是...必不可少的/不可或缺的/必要条件，...是... 基础/保障/前提，不...不... 3、...且...（两个或两个以上同时存在） 翻译为A且B，全真才真，一假即假 替代关联词：一边...一边，不但...而且，虽然...但是，同时，又...又 4、...或...（至少一个存在） 翻译为A或B，一真即真，全假才假 替代关联词：也许...也许，和...中至少一个，和...不能同时，和...不都是 其中或关系里面存在一个否一规则：即否定一个，肯定另一个 两个推理：1、逆否等价命题（A→B等价于-B→-A） 肯前必肯后，否后必否前；肯后否前不必然，但有一个可能性结论 2、摩根定律

-（A且B）等价于-A或-B -（A或B）等价于-A且-B 负号进去“且”变“或”，“或”变“且” （2）分析推理 判定：给出一组对象以及若干信息，对象与信息进行匹配。 思路：先判定题干，为题干信息肯定还是题干信息真假不定，然后用方法 方法：1、题干信息确定（题干给出的内容可以直接用，给出的信息全部都是确定的） a、排除法 适用条件：题干信息确定，且选项信息充分（选项给出了题干所有的匹配情况，否则为选项信息不充分） 如何解题：读一句有效信息，排一个选项 b、最大信息优先（出现2次或者2次以上为最大信息），以最大信息最为作为突破口 2、题干信息真假不定（题干给出的内容有真有假，不能全部直接拿来用） a、确定信息优先（通过题干的推理，可知的正确信息） 在用确定信息优先以及最大信息优先的方法过程中，可能会用到的两种方法：列表法以及假设法 列表法：要求将对象写在竖列，减少错误率，横行用来写其他信息 假设法：要求从假设次数最少的情况进行假设，加快解题速度 （3）真假推理 判定：题干给出多个论断，但提问方式一般都是只有一句真话（假）则...... 解题思路：先找矛盾关系，然后看其余，再找反对关系，然后也看其余。 1、矛盾关系（此起彼伏的关系，只存在两种情况） 主体相同，话题一致才能得出矛盾 矛盾关系特性：必然存在一真一假 矛盾的表现形式：a、是与不是 b、所有的是与有的不 c、有的是与所有的不 d、A且B 与－A或－B，A或B 与－A且－B e、A→Ｂ与Ａ且－Ｂ

推理与证明练习题汇编

合情推理与演绎推理 1．下列说法正确的是 （ ） A.类比推理是由特殊到一般的推理 B.演绎推理是特殊到一般的推理 C.归纳推理是个别到一般的推理 D.合情推理可以作为证明的步骤 2．下面使用类比推理结论正确的是 ( ) A ．“若33a b ?=?,则a b =”类推出“若00a b ?=?,则a b =”； B ．“若()a b c ac bc +=+”类推出“()a b c ac bc ?=?”； C ．“若()a b c ac bc +=+” 类推出“a b a b c c c +=+ （c ≠0）”； D ．“n n a a b =n （b ）” 类推出“n n a a b +=+n （b ）” 3、下面几种推理是合情推理的是（ ） （1）由正三角形的性质，推测正四面体的性质； （2）由平行四边形、梯形内角和是360?，归纳出所有四边形的内角和都是360?； （3）某次考试金卫同学成绩是90分，由此推出全班同学成绩都是90分； （4）三角形内角和是180?，四边形内角和是360?，五边形内角和是540?， 由此得凸多边形内角和是()2180n -? A ．（1）（2） B ．（1）（3） C ．（1）（2）（4） D ．（2）（4） 4．为确保信息安全，信息需加密传输，发送方由明文→密文（加密），接收方由密文→ 明文（解密）.已知加密规则为：明文,,,a b c d 对应密文2,2,23,4a b b c c d d +++， 例如，明文1,2,3,4，对应密文5,7,18,16，当接收方收到密文14,9,23,28时，则解密 得到的明文为（ ） A ．4,6,1,7 B ．7,6,1,4 C ．6,4,1,7 D ．1,6,4,7 5.观察以下各式：???=++++++=++++=++=;710987654;576543,3432;112 222， 你得到的一般性结论是______________________________________________________. 6、在十进制中01232004410010010210=?+?+?+?，那么在5进制中数码2004 折合成十进制为 （ ） A.29 B. 254 C. 602 D. 2004 7、黑白两种颜色的正六形地面砖块按 如图的规律拼成若干个图案，则第五 个图案中有白色地面砖（ ）块. A.21 B.22 C.20 D.23

高考数学压轴专题2020-2021备战高考《推理与证明》基础测试题及答案

高中数学《推理与证明》知识点归纳 一、选择题 1．甲乙丙丁四人中，甲说：我年纪最大，乙说：我年纪最大，丙说：乙年纪最大，丁说：我不是年纪最大的，若这四人中只有一个人说的是真话，则年纪最大的是（） A．甲B．乙C．丙D．丁 【答案】C 【解析】 【分析】 分别假设甲乙丙丁说的是真话，结合其他人的说法，看是否只有一个说的是真话，即可求得年纪最大者，即可求得答案. 【详解】 ①假设甲说的是真话，则年纪最大的是甲，那么乙说谎，丙也说谎，而丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故甲说的不是真话，年纪最大的不是甲； ②假设乙说的是真话，则年纪最大的是乙，那么甲说谎，丙说真话，丁也说真话，而已知只有一个人说的是真话，故乙说谎，年纪最大的也不是乙； ③假设丙说的是真话，则年纪最大的是乙，所以乙说真话，甲说谎，丁说的是真话，而已知只有一个人说的是真话，故丙在说谎，年纪最大的也不是乙； ④假设丁说的是真话，则年纪最大的不是丁，而已知只有一个人说的是真话，那么甲也说谎，说明甲也不是年纪最大的，同时乙也说谎，说明乙也不是年纪最大的，年纪最大的只有一人，所以只有丙才是年纪最大的，故假设成立，年纪最大的是丙. 综上所述，年纪最大的是丙 故选：C. 【点睛】 本题考查合情推理，解题时可从一种情形出发，推理出矛盾的结论，说明这种情形不会发生，考查了分析能力和推理能力，属于中档题. 2．我们在求高次方程或超越方程的近似解时常用二分法求解，在实际生活中还有三分法.比如借助天平鉴别假币.有三枚形状大小完全相同的硬币，其中有一假币（质量较轻），把两枚硬币放在天平的两端，若天平平衡，则剩余一枚为假币，若天平不平衡，较轻的一端放的硬币为假币.现有 27 枚这样的硬币，其中有一枚是假币（质量较轻），如果只有一台天平，则一定能找到这枚假币所需要使用天平的最少次数为（） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】B 【解析】 【分析】 根据提示三分法，考虑将硬币分为3组，然后将有问题的一组再分为3组，再将其中有问题的一组分为3，此时每组仅为1枚硬币，即可分析出哪一个是假币. 【详解】 第一步将27枚硬币分为三组，每组9枚，取两组分别放于天平左右两侧测量，若天平平