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常数项级数

所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。

一、常数项级数的概念和性质

① 引例y ǐn l ì

：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷

增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++?????++????????

一般地，如果给定一个数列：

123,,,,n u u u u ,??????????

则由这个数列所构成的和的表达式：

123,n u u u u +++?????+?????

叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为：

1231,n n n u u u u u ∞==+++?????+?????∑

其中第n 项称为级数的一般项。

n u

下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义：

作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++?????+

n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列：

11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++

123n n S u u u u =+++?????+

② 常数项级数的和函数定义：如果级数

1231

,n n n u u u u u ∞

==+++?????+?????∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞

= 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成：

1n n u

∞=∑123n s u u u u =+++?????++????? 如果极限不存在，则称无穷级数

1n n u ∞=∑发散。

(整理)常数项级数的审敛法

§11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数：∑∞ =1n n u 0≥n u (1) 显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21ΛΛ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则定理1 正项级数∑∞ =1n n u 收敛?部分数列{}n s 有界. 例1判别正项级数∑ ∞ =1 2 2sin n n n π 的收敛性解 n n n s 22sin 2 2sin 2 12 2π π +++= Λn 2121212+++<Λ 12 1121121<-??? ??-=n 有上界级数收敛 2.比较审敛法定理2 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数，且.),2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞ =1 n n v 收敛, 则∑∞=1 n n u 收敛；反之，若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散．分析：σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =1 n n u 的部分和 ,),2,1(2121ΛΛΛ=≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ 即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1 n n u 收敛。反之，设∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 必发散.因为若 ∑∞ =1 n n v 收敛,由上面已证结论知∑∞ =1 n n u 也收敛，与假设矛盾.

推论设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数,如果级数∑∞ =1 n n v 收敛，且存在自然数N ，使当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1 n n u 收敛；如果级数∑∞ =1 n n v 发散，且当N n ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞ =1 n n u 发散. 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 例2 讨论p —级数 )2(1 1∑∞ =n p n 的收敛性，其中常数p >0．解设1≤p ，则 ,1 1n n p ≥但调和级数发散，故级数(2)发散．设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,1 1p p x n ≤所以 ?? ? ???---=≤=----??11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ，Λ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞ =--?? ? ???--n p p n n 级数(3)的部分和 ??????+-++??????-+?????? -=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s Λ=.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛. 总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛．注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p —级数（调级数）例3 判别下列级数的敛散性. 211(1).52 n n n n ∞ =+++∑ n n n n n u n 81 252 22=++> ∑∞ =11n n 发散, 原级数发散 1 11(2).sin 11n n n ∞ =++∑ 21n u n < ∑∞=121 n n 收敛, 原级数收敛练习 ()∑∞ =-+13 1sin 212.n n n n ()n n n 3131sin 112≤≥-+

(整理)常数项级数的审敛法

n 1 n 1 § 11-2 常数项级数的审敛法一、正项级数及其审敛法正项级数： U n U n 0 ⑴ n 1 显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2 Sn . s n 1.收敛准则定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界. n 1 n 例1判别正项级数亠的收敛性定理2设 U n 和 V n 都是正项级数，且U n V . (n n 1 n 1 则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散. n 1 n 1 分析: V n n 1 ，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2, ), 即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。反之，设 n 1 U n 发散，则 n 1 V n n 1 必发散.因为若 V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾 n 1 1 解「 sin 2 22 22 1 1 I 2n 1 1 2 2 Sin 2n 1 1 1 2n 2 22 2n 1有上界级数收敛 1,2,).若 V n 收敛, n 1 2.比较审敛法

推论设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使 n 1 n 1 kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n N n 1 n 1 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数) 例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散. n 1 例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0. 1，当n 则書 n 时, 1 丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n 有 1 n p I n 1 n p 2dx x (n n p 1 n 2,3, 考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和 s n 1 2卩 1 1 3p 1 1 =1 1 (n 1)p1 = (n 1)p 1 因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛. 总之：p —级数(2)当 p 1时发散，当p>1时收敛. (1). n n 1 2 1 n 5n 2 U n n 1 2 2^2 n 5n 2n 8n 丄发散，原级数发散 n 1 n (2). 1 . 1 sin — n 〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛

第十一章无穷级数练习题

第十一章无穷级数 §11.1 常数项级数的概念与性质一、判断题 1． ∑∞ =1 n n u 收敛，则3)3(lim 2 =+-∞ →n n n u u （） 2．若0lim ≠∞ →n n u ， ∑∞ =1 n n u 发散。（） 3. ∑∞ =1 n n u 收敛,则 ∑∞ =+1)10(n n u 收敛。（） 4． ∑∞ =1 n n u 发散， ∑∞ =1 n n v 发散，则 )(1 n n n v u -∑∞ =也发散。（） 5．若 ∑∞ =1 n n u 收敛，则 ∑∞ =+1 2 n n u 也收敛。（）二、填空题 1．∑∞ =??-???1)2(642)12(531n n n 该级数的前三项是。 2．级数???-+-+-5 64 53 42 31 2的一般项是。 3．级数???+???+ ??+?+8 6426424 22 2 x x x x x 的一般项为。 4．级数)2 1 )1(1( 1 n n n n -+∑∞ =的和为。三、选择题 1．下列级数中收敛的是（）（A ） ∑∞ =+1 884n n n （B ） ∑∞ =-1848n n n n （C ）∑∞=+1 842n n n n （D ）∑∞=?1842n n n n 2．下列级数中不收敛的是（）（A ）)11(ln 1 n n +∑∞ = （B ）∑∞ =131n n （C ）∑∞=+1)2(1n n n （D ）∑∞=-+1 4)1(3 n n n n 3．如果∑∞ =1 n n u 收敛，则下列级数中（）收敛。（A ） ∑∞ =+1 )001.0(n n u （B ） ∑∞ =+1 1000 n n u （C ） ∑∞ =12 n n u (D) ∑ ∞ =11000n n u 4．设 ∑∞ =1 n n u =2，则下列级数中和不是1的为（）

数项级数的敛散性的练习题及解析

数项级数的敛散性的练习题及解析一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞=则常数项级数1n n U ∞=∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21lim 0n n →∞=，但211n n ∞=∑收敛选D 2．设 1n n U ∞=∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ． 1n n U ∞=∑ B.()12008n n U ∞=∑ C ．()10.001n n U ∞ =+∑ D ．11n u U ∞=∑ 解： ()12008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞=∑ 1 n n U ∞=∑收敛∴由性质()12008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．21014n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞=-∑ C ．101n n n n ∞=?? ?+?? ∑ D +… 解：214n U n =- 0n ≥21n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞=-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞=+∑n （－1） B ．()211n n n ∞=-∑ C ．1n n ∞=- D ．()1312n n n ∞=??- ???∑ 解：（ 1 ）n ∞∞=n=1发散（112p =<）（ 2）1 1n n ∞=-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数() 1 11cos n n k n ∞=??-- ???∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞-=??--=- ???∑∑

常数项级数敛散性判别法总结

常数项级数敛散性判别法总结摘要：本文简要阐述了常数项级数敛散性判别法。由于常数项级数敛散性判别法较多，学生判定级数选择判别法时比较困难，作者结合级数判别法的使用条件及特点对判别法进行分析，使学生更好的掌握级数判别法。关键词：常数项级数；级数敛散性判别法；判别法使用条件及特点无穷级数是微积分学的一个重要组成部分，它是表示函数、研究函数性质以及进行数值计算的一种非常有用的数学工具。无穷级数的中心内容是收敛性理论，因而级数敛散性的判别在级数研究中极其重要。在学习常数项级数敛散性判别法时，学生按照指定的判别法很容易判定级数的敛散性，但是学习多种判别法后，选择判别法时比较困难。主要原因是学生对所学判别法的使用条件及特点不够熟悉，本文针对这种情况对常数项级数敛散性判别法加以归纳总结。 1 级数收敛的概念给定一个数列{un}，称 u1+u2+...+un+ (1) 为常数项无穷级数，简称常数项级数，记为.级数（1）的前n项之和记为Sn，即Sn=u1+u2+…+un，称它为级数（1）的部分和。若部分和数列{Sn}有极限S，即，则称级数（1）收敛。若部分和数列{Sn}没有极限，则称级数（1）发散。注意：研究级数的收敛性就是研究其部分和数列是否存在极限，因此级数的收敛性问题是一种特殊形式的极限问题。极限是微积分学的基础概念，也是学生比较熟系的概念，因此在研究级数收敛性时，联系极限概念，学生易于理解。借助级数的性质与几何级数，调和级数的敛散性可以判别级数的敛散性。例如，由性质（1）和当|q|0时，01，则发散。当级数含有阶乘、n次幂或分子、分母含多个因子连乘除时，选用比值判别法。比值判别法不需要与已知的基本级数进行比较，在实用上更为方便。例2：判别级数的敛散性。解：因为由比值判别法知级数收敛。 2.3 根植判别法

常数项级数

常数项级数所谓无穷级数即表示无穷项相加，他是一种研究函数以及数值计算的工具。一、常数项级数的概念和性质 ① 引例y ǐn l ì ：求圆的周长，可以内接正多边形，当正多边形边数无穷增加时的极限值近似可以得到圆的周长： 123n A a a a a =++?????++???????? 一般地，如果给定一个数列： 123,,,,n u u u u ,?????????? 则由这个数列所构成的和的表达式： 123,n u u u u +++?????+????? 叫做（常数项）无穷级数，简称（常数）级数，记为： 1231,n n n u u u u u ∞==+++?????+?????∑ 其中第n 项称为级数的一般项。 n u 下面从有限项的和出发，观察它的变化趋势，来理解无穷多个数量相加的意义：作（常数项）级数的前n 项的和，记作： 123n n S u u u u =+++?????+ n S 称为级数的部分和，当n 依次取得1，2，3，……时，他们构成了一个新的数列： 11S u =，21S u u 2=+，312S u u u 3=++ 123n n S u u u u =+++?????+

② 常数项级数的和函数定义：如果级数 1231 ,n n n u u u u u ∞ ==+++?????+?????∑的部分和数列 {}n S 有极限s ，即：lim n n S s →∞ = 称无穷级数收敛，这时极限s 叫做这个级数的和，并写成： 1n n u ∞=∑123n s u u u u =+++?????++????? 如果极限不存在，则称无穷级数 1n n u ∞=∑发散。

级数审敛法小结

级数审敛法小结不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢. 首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数 (当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) (注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。) A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞ Un收敛?部分和数列{Sn}有界，针对 n =1 这个东西，用的地方不多后面会有介绍。 B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要

找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性）例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的多项式恒为正）是推导出级数 ∑ ∞ =--++++++1 1 10110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。解：设k k k m m m n b n b n b a n a n a u (1) 101 10+++++= --。取m k n n v -= 1，因为0 0lim b a v u n n n = ∞ →，所以 ∑∑∞ =∞ =1 1 ,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1，所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1. （这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑ ∞ =---+1 3 2 3 5 5 23) ()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n u ，我们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题：（1）);1tan( )3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13 2 2 2112-+??? ? ??-??? ??∑∑∑∞ =∞=∞ =n N n n a n n a n a n

级数练习题

题型：4月1日 1.判断下列级数的敛散性(绝对收敛和条件收敛)【正项级数、交错级数、任意数项级数】 2.求下列幂级数的收敛半径、收敛区间 3.求下列幂级数的和函数 4.将函数f(x)展成x的幂级数或者x-a（a为常数）的幂级数内容：4月1日一．常数项级数 1.级数的概念与性质 2.级数敛散的判别法二．函数项级数与幂级数 1．函数项级数、收敛域、和函数的概念 2．幂级数的收敛半径、收敛区间以及收敛域3．幂级数的性质 4．函数的幂级数展开例题讲解：4月2日~5日题型一判定级数的敛散性题型二求幂级数的收敛半径、收敛区间和收敛域题型三求幂级数的和函数题型四求函数的幂级数的展开式

自测题八：4月5日一．填空题二．选择题三．解答题 4月1日无穷级数练习题一．选择题 1、设常数0λ>，而级数 21 n n a ∞ =∑收敛，则级数2 1 (1)n n n a n λ ∞ =-+∑是（）。（A ）发散（B ）条件收敛（C ）绝对收敛（D ）收敛与λ有关 2、设2n n n a a p +=，2 n n n a a q -=， 1.2n = ，则下列命题中正确的是（）。（A ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。（B ）若 1n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑都收敛。（C ）若 1n n a ∞ =∑条件收敛，则 1n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不一定。（D ）若 1 n n a ∞ =∑绝对收敛，则 1 n n p ∞ =∑与 1n n q ∞ =∑的敛散性都不定。 3、设0,1, 2n a n >= ，若1 n n a ∞ =∑发散，11 (1)n n n a ∞ -=-∑收敛，则下列结论正确的是（）。（A ） 21 1n N a ∞ -=∑收敛， 21 n n a ∞ =∑发散. （B ） 21n n a ∞ =∑收敛， 21 1 n n a ∞ -=∑发散. （C ） 21 21 ()n n n a a ∞ -=+∑收敛. （D ）2121 ()n n n a a ∞ -=-∑收敛. 4、设α为常数，则级数 21 sin()1 ( )n n n n α∞ =-∑是（）（A ）绝对收敛. （B ）条件收敛. （C ）发散. （D ）收敛性与α取值有关.

7.1 常数项级数的概念和性质-习题

1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++L ；【解】分析级数各项的表达规律：分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ，于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++L ；【解法一】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ，于是有12 21 , 2121, 23n n n n k u n k +?=-??=??=??，k J ∈，1,2,3,....n =。也可为122 1(1)11(1)1 22 23n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。【解法二】分析级数各项的表达规律：分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成，若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+331123 =+， ...... 于是得11 23n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+-L 。

【解】分析数列各项的表达规律：各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-，从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =，检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律，从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑；【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()22121n n i i ==--+∑1 111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]221 13113n n =-+-+-+-+L 11 (1)221n =- +，由于lim n n S →∞11 lim (1)221n n →∞=- +12 =，知级数收敛，收敛于12。 ⑵ 1 n ∞ =；【解】级数前n 项和为 1 n n i S == 1n i == 1 n i ==∑ =+++ L 1=，由于lim n n S →∞ 1)n →∞ ==∞，知级数发散。 ⑶ 1 1ln n n n ∞ =+∑；【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++-L ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，

级数习题

一．填空选择题. 1. 级数∑ ∞=+-1)13)(23(1n n n 的部分和n S = ，此级数的和=S . 2. 级数∑∞=+1 )4131(n n n 的和是 . 3. 级数的部分和数列有界是级数收敛的 . A ．充分条件； B ．必要条件； C ．充要条件； D ．既非充分又非必要. 4. 设0lim =∞→n n u ，则常数项级数∑∞ =1n n u . A ．一定收敛且和为0； B ．一定收敛但和不一定为0； C ．一定发散； D ．可能收敛，也可能发散. 5. 下列级数发散的是 . A ．n n n ∑∞=--11)32() 1(； B ．∑∞=1321n n ； C ．∑∞=-11)1(n n n ； D ．∑∞=+11n n n . 6. 下列级数绝对收敛的是 . A ．∑∞=+-112)1(n n n n ； B ．∑∞=---11 12)1(n n n ； C ．∑∞=+-1211)1(n n n ； D ．∑∞ =-122)1(n n n n 7. 已知幂级数∑∞=1 n n n x a 在3=x 处收敛，则该级数在2-=x 处 . A ．条件收敛； B ．绝对收敛； C ．发散； D ．敛散性不确定 8. 幂级数∑∞ =-1 )1(n n n x a 在2-=x 处收敛，则该级数在1=x 处，在2=x 处 . 9. 幂级数∑∞=-1 )1(n n n n x a 在2-=x 处发散，在2=x 处收敛，则收敛半径=R . 10. 函数x e 的麦克劳林级数为，收敛区间为 . 11. 幂级数∑∞ =?13n n n n x 的收敛半径 R = ，收敛域为 . 12. 幂级数∑∞=--12)1()1(n n n n x 的收敛半径 R = ，收敛域为 .

常数项级数判别方法

常数项级数的审敛法定义形如：级数其中即：正、负项相间的级数称为交错级数。列如莱布尼茨判别法莱布尼茨定理：如果交错级数满足条件则级数收敛，其其和其余项的绝对值注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件. 使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小 1 1 1() n n n u ∞ -=-∑n u >0 111,2,3,); n n u u n +≥=L （）（lim 0, n x u →∞ =（2）1, s u ≤n r 1. n n r u +≤0n u ≥（） n u 1n u +n n u u +≥>10.（）1 11111111(1) =1(1)234n n n n n ∞ --=--+-++-+∑L L （）.1 1 12(1) 1234(1) n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L （）.

这是一个交错级数又因为n n u u n n +=>=+1111，且显然收敛速度较慢. 收敛。使用本判别法时，关键是第一个条件的验证是否收敛时, 要考察与大小比较与大小的方法有: 比值法差值法 1 1 1 11111 (1) =1(1) 234 n n n n n ∞ --=--+-++-+∑1 n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1 ||.10n u ≥（） n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +1 1n n u u +<10 n n u u +->1 1n n u u +≥（）lim 0 n x u →∞=(2)则交错级数 1 1 1() n n n u ∞ -=-∑

1常数项级数的概念和性质

§1 常数项级数的概念和性质【目的要求】 1、能区分无穷项相加与有限项相加的区别； 2、了解无穷级数部分和与级数收敛及发散的关系、和的定义； 3、掌握用部分和的极限、收敛级数的必要条件来判别级数的敛散性．【重点难点】数项级数的概念与性质．【教学内容】一、常数项级数的概念定义1.1 给定一个无穷实数列{}n u ： 12,, ,, n u u u 则由这数列构成的表达式 12n u u u ++ ++ 叫做常数项无穷级数, 简称常数项级数, 记为∑∞ =1 n n u , 即 1231 n n n u u u u u ∞ ==+++++ ∑, 其中第n 项n u 叫做级数的一般项(或通项). 级数∑∞ =1n n u 的前n 项和 1231 n n i n i s u u u u u ===+++ +∑ 称为级数∑∞ =1 n n u 的前n 项部分和. 部分和构成的数列 12{}:,,, n n s s s s 称为部分和数列.

定义 1.2 如果级数∑∞ =1 n n u 的部分和数列}{n s 收敛, 即 s s n n =∞ →lim , (s 为一实数) 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 收敛, 并称s 为级数∑∞ =1 n n u 的和, 并写成 1231 n n n s u u u u u ∞ ===+++ ++∑; 如果}{n s 发散, 则称无穷级数∑∞ =1 n n u 发散. 级数的收敛和发散统称为敛散性. 当级数∑∞ =1 n n u 收敛时, 其部分和n s 是级数∑∞ =1 n n u 的和s 的近似值, 它们之间的差 n n r s s =- 称为级数∑∞ =1 n n u 的余项. n s 和s 之间的误差可由||n r 去衡量, 由于s s n n =∞ →lim , 所以lim ||0n n r →∞ = 例1 讨论等比级数(几何级数) 20 n n n aq a aq aq aq ∞ ==+++++ ∑, (0a ≠) 的敛散性. 解如果1q ≠, 则部分和 2 1 111n n n n a aq a aq s a aq aq aq q q q --=+++ +==----. 当||1q <时, 因为q a s n n -=∞→1lim , 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 收敛, 其和为q a -1. 当||1q >时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 所以此时级数n n aq ∑∞ =0 发散. 如果||1q =, 则当1q =时, 因为lim n n s →∞ 不存在, 因此此时级数n n aq ∑∞ =0 发散;

(完整版)级数的概念与性质

第十一章无穷级数教学内容目录： §1—§8 本章主要内容：常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近、x x 、似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。

习题解答)习题9-2常数项级数收敛性的判定

习题 9-2 1.判断下列级数的敛散性. （1）1121n n ∞ =-∑；（2）2111n n ∞=+∑；（3）11 ln(1)n n ∞ =+∑；（4 ）1n ∞ =∑ （5）2111n n n ∞ =++∑；（6）11 1n n p ∞=+∑（0p >）．解：（1）1 1 21n n ∞ =-∑ ；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为 111 1111212 222 n n n n =>=-- ，而调和级数11n n ∞=∑发散，从而1111122n n n n ∞∞ ===∑∑也发散；由正项级数的比较判别法，得级数1 1 21n n ∞ =-∑ 发散。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为1 121lim lim 1212n n n n n n →∞→∞-==-，而调和级数11n n ∞ =∑发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数1 1 21n n ∞ =-∑发散。（2）2 11 1 n n ∞ =+∑ ；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为22111n n <+，而级数21 1 n n ∞ =∑收敛（p -级数的结论）；由正项级数的比较判别法，得级数2 1 1 1n n ∞ =+∑ 收敛。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为22221 1lim lim 111n n n n n n →∞→∞+==+，而级数21 1n n ∞=∑收敛（p -级数的结论），

则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数2 11 1 n n ∞ =+∑收敛。（3）1 1 ln(1)n n ∞ =+∑ ；方法一：（利用正项级数的比较判别法）因为11ln(1)n n >+（1n ≥），且调和级数11 n n ∞ =∑发散；则由正项级数的比较判别法，得级数1 1 ln(1)n n ∞ =+∑ 发散。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）因为1 ln(1) lim lim 1 ln(1)n n n n n n →∞→∞+=+，而 1 lim lim lim (1)1 ln(1)1 x x x x x x x →+∞→+∞→+∞=+=+∞++洛必达法则，所以lim ln(1)n n n →∞=+∞+，即1 ln(1) lim 1n n n →∞+=+∞，又调和级数11n n ∞ =∑发散，则由正项级数的比较判别法的极限形式，得级数11 ln(1) n n ∞ =+∑发散。（4 ）1n ∞ =∑ ；方法一：（利用正项级数的比较判别法） 3 2 1n < =，而级数312 1n n ∞ =∑ 收敛（p -级数的结论），由正项级数的比较判别法，得级数1n ∞ =∑ 收敛。方法二：（利用正项级数的比较判别法的极限形式）

第十七讲数项级数的敛散性的练习题答案

第十七讲：数项级数的敛散性的练习题答案一、单项选择题（每小题4分，共24分） 1．若lim 0n n U →∞ =则常数项级数 1 n n U ∞ =∑（ D ） A ．发散 B.条件收敛 C ．绝对收敛 D .不一定收敛解：1lim 0n n →∞=，但11n n ∞=∑发散；21 lim 0n n →∞=，但211n n ∞ =∑收敛选D 2．设1 n n U ∞ =∑收敛，则下列级数一定收敛的是（ B ） A ．1n n U ∞ =∑ B. ()1 2008n n U ∞ =∑ C ． ()1 0.001n n U ∞=+∑ D ．11 n u U ∞ =∑ 解： ()1 2008n n U ∞=∑＝20081n n U ∞ =∑ 1 n n U ∞ =∑收敛∴由性质()1 2008n n U ∞ =∑收敛 3．下列级数中一定收敛的是…( A ) A ．2101 4 n n ∞ =-∑ B ．10244n n n n ∞ =-∑ C ．101n n n n ∞ =?? ? +?? ∑ D 23n +…… 解：214n U n =- 0n ≥21 n n = lim 1n n n U V →∞=，且2101n n ∞=∑收敛，由比较法21014n n ∞ =-∑收敛 4．下列级数条件收敛的是……（ C ） A ．11n n n ∞ =+∑n （－1） B ．()21 1n n n ∞ =-∑ C ． 1n n n ∞ =- D ．()1 312n n n ∞ =??- ???∑ 解：（1）(1)n n n n ∞ ∞=-n=1发散（1 12p =<）（2）1 1n n n ∞ =-为莱布尼兹级数收敛，选C 5．级数 () 1 11cos n n k n ∞ =? ?-- ?? ?∑ （k>0）…（ B ） A ．发散 B ．绝对收敛 C ．条件收敛 D ．敛散性与K 相关解：11(1)(1cos )1cos n n n k k n n ∞ ∞ -=? ?--=- ?? ?∑∑

考研数学高等数学强化习题-常数项级数

模块十三常数项级数 Ⅰ经典习题一．具体级数收敛性的判别 1、判断下列级数的收敛性（1）21ln n n n ∞ =∑ （2 ）) 1 1n ∞ =∑ （3 ） 1n ∞=∑ （4）221 1 ln 1n n n ∞ =+-∑ （5）()()() 2111...1n n n a a a a ∞ =+++∑ （6）()211212n n n ∞ +=?? +-??∑ （7） 21 n n n e ∞ -=∑ （8） ()10 1 ln 1n n x dx ∞ =+∑? 2、判断下列级数的收敛性（包括绝对收敛与条件收敛）（1）()22ln 1n n n n ∞ =-∑ （2） 1 1n n ∞ =-（3） () 1 1111...2n n n ∞ =-+++∑ （4） () 21 11n n n n a a ∞ =-+∑ ，（1a >） 3、下列级数中不一定收敛的是（）（A ）1 2!n n n n n ∞ =∑ （B ）()1 1 11n n n n n -∞+=+∑ （C ） () 2 1 1 ,0,0n a b an bn c α ∞ =>>++∑ （D ）1 ,01n n np p ∞ =<<∑ 4、下列级数条件收敛的是（）

（A ）()211n n k n n ∞ =+-∑ （B ）1 (2)sin 3n n n π∞ =-∑ （C ） ( ) 1 1n n ∞ =-∑2 1n n a ∞=∑收敛. （D ）121n n n n ∞ =-?? ?+??∑ 5、对于常数0k >，级数12 1 1(1)tan()n n k n n ∞ -=-+ ∑( ) (A)发散 (B)绝对收敛 (C)条件收敛 (D)收敛性与k 的取值有关 6、设a 为常数，则级数 2 1 sin()[ ).n na n ∞ =∑ （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）收敛性与a 的取值有关 7、判别级数111[ln ]n n n n ∞ =+-∑的敛散性，并证明11 12lim 1.ln n n n →∞+++=L 二．抽象级数收敛性的判别 8、 1 3 1 sin (1) 1n n n kx dx x ∞ =-+∑? (k 为常数) （）（A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）敛散性有k 有关 9、设()f x 是微分方程2 (1)x y xy x e '+=+满足初始条件(0)0y =的特解，则无穷级数 1 (1) ()n f n -∑ ( ) （A ）绝对收敛（B ）条件收敛（C ）发散（D ）敛散性不定 10、设函数()f x 在区间(0,1)可导，且导函数()f x '有界：()f x M '≤，证明

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