高等数学教案
§11-2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数：∑∞ =1n n u 0≥n u (1) 显然，部分和数列{}n s 单调增加：.21ΛΛ≤≤≤≤n s s s {}↑n s 1.收敛准则 定理1 正项级数∑∞ =1n n u 收敛?部分数列{}n s 有界. 例1判别正项级数∑ ∞ =1 2 2sin n n n π 的收敛性 解 n n n s 22sin 2 2sin 2 12 2π π +++= Λn 2121212+++<Λ 12 1121121<-??? ??-=n 有上界 级数收敛 2.比较审敛法 定理2 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数，且.),2,1(Λ=≤n v u n n 若∑∞ =1 n n v 收敛, 则∑∞=1 n n u 收敛；反之，若∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 发散． 分析：σ=∑∞=1 n n v ，则∑∞ =1 n n u 的部分和 ,),2,1(2121ΛΛΛ=≤++≤+++=n v v v u u u s n n n σ 即{}n s 有界,由TH1知∑∞=1 n n u 收敛。反之，设∑∞=1 n n u 发散，则∑∞ =1 n n v 必发散.因为若 ∑∞ =1 n n v 收敛,由上面已证结论知∑∞ =1 n n u 也收敛，与假设矛盾.
推论 设∑∞ =1 n n u 和∑∞ =1 n n v 都是正项级数,如果级数∑∞ =1 n n v 收敛，且存在自然数N ，使 当N n ≥时有)0(≥≤k kv u n n 成立,则级数∑∞=1 n n u 收敛；如果级数∑∞ =1 n n v 发散，且当N n ≥时有)0(≥≥k kv u n n 成立, 则级数∑∞ =1 n n u 发散. 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数k ，以及去掉级数前面的有限项不会影响级数的收敛性. 例2 讨论p —级数 )2(1 1∑∞ =n p n 的收敛性，其中常数p >0． 解 设1≤p ，则 ,1 1n n p ≥但调和级数发散，故级数(2)发散． 设1>p ，当n x n ≤≤-1时，有,1 1p p x n ≤所以 ?? ? ???---=≤=----??11111)1(111111p p n n n n p p p n n p dx x dx n n ，Λ,3,2=n 考虑级数)3(,1)1(1111∑∞ =--?? ? ???--n p p n n 级数(3)的部分和 ??????+-++??????-+?????? -=-----11111)1(113121211p p p p p n n n s Λ=.)1(111-+-p n 因 .1=n s 故级数(3)收敛．由推论1知，级数(3)当p >1时收敛. 总之：p —级数(2)当≤p 1时发散，当p >1时收敛． 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数，p —级数（调级数） 例3 判别下列级数的敛散性. 211(1).52 n n n n ∞ =+++∑ n n n n n u n 81 252 22=++> ∑∞ =11n n 发散, 原级数发散 1 11(2).sin 11n n n ∞ =++∑ 21n u n < ∑∞=121 n n 收敛, 原级数收敛 练习 ()∑∞ =-+13 1sin 212.n n n n ()n n n 3131sin 112≤≥-+
n 1 n 1 § 11-2 常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数： U n U n 0 ⑴ n 1 显然，部分和数列s n 单调增加：s 1 s 2 Sn . s n 1.收敛准则 定理1正项级数 U n 收敛部分数列S n 有界. n 1 n 例1判别正项级数 亠的收敛性 定理2设 U n 和 V n 都是正项级数，且U n V . (n n 1 n 1 则 U n 收敛；反之, n 1 若 U n 发散，则 V n 发散. n 1 n 1 分析: V n n 1 ，贝U U n 的部分和 n 1 S n U 1 U 2 U n V 1 V 2 V n (n 1,2, ), 即S n 有界，由TH1知 U n 收敛。反之，设 n 1 U n 发散，则 n 1 V n n 1 必发散.因为若 V n 收敛，由上面已证结论知 U n 也收敛，与假设矛盾 n 1 1 解「 sin 2 22 22 1 1 I 2n 1 1 2 2 Sin 2n 1 1 1 2n 2 22 2n 1有上界 级数收敛 1,2,).若 V n 收敛, n 1 2.比较审敛法
推论 设 U n 和 V n 都是正项级数，如果级数 V n 收敛，且存在自然数 N,使 n 1 n 1 kv n (k 0)成立，则级数 u n 收敛；如果级数 v n 发散，且当n N n 1 n 1 分析：因为级数的每一项同乘不为零的常数 k ，以及去掉级数前面的有限项不会 影响级数的收敛性. 注：比较审敛法的：必须有参考级数。常用：几何级数， p —级数(调级数) 例3判别下列级数的敛散性. 当n N 时有U n 时有 u n kv n (k 0)成立,则级数 U n 发散. n 1 例2讨论p —级数 ⑵的收敛性，其中常数p>0. 1，当n 则書 n 时, 1 丄，但调和级数发散，故级数(2)发散. n 有 1 n p I n 1 n p 2dx x (n n p 1 n 2,3, 考虑级数 (n 1) 级数(3)的部分和 s n 1 2卩 1 1 3p 1 1 =1 1 (n 1)p1 = (n 1)p 1 因S n 1 .故级数(3)收敛. 由推论 1知，级数⑶当p>1时收敛. 总之：p —级数(2)当 p 1时发散，当p>1时收敛. (1). n n 1 2 1 n 5n 2 U n n 1 2 2^2 n 5n 2n 8n 丄发散，原级数发散 n 1 n (2). 1 . 1 sin — n 〔 n 1 n 1 U n 原级数收敛
级数审敛法小结 不好意思，又要打扰大家一下了，针对本学期期中考试而言，大致分为两大部分：级数，常微分方程。其中级数(应该都已经讲完了)占得比重相对少些大概有45%左右，还希望大家能抽空复习一下，毕竟这一章的内容有些难度.下面的内容是从一些资料书中总结的一些小内容,希望大家能抽空看一下,谢谢. 首先:针对常数项级数而言要明白它的分类:正项级数,任意项级数(其中,包含特殊的交错级数).对于不同的级数,他们有不同的审敛法. 第一节:正项级数 (当然我们有时也会遇到一些负项级数,他们的判断敛散性的方法和正项级数相同,只是需要我们在运用前,把他们所有的项全部变成正的就可以了) (注意以下方法要求大家在判断出Un的极限为0的时候用哦，若Un的极限不为0，级数发散。) A.定义法(注意这个方法适用于所有的级数,但不一定解得出.): 首先,了解一个充要条件:∑∞ Un收敛?部分和数列{Sn}有界，针对 n =1 这个东西，用的地方不多后面会有介绍。 B.比较审敛法：（这里首先强调一下这里介绍的方法完全是针对 正项级数而言，不能滥用）。对于比较审敛法，也许不要按书上的用起来会更方便一点。简单一句话：我们的目的就是要
找要判断的级数的等价无穷小，或是证明这个级数是一个已知收敛级数的高阶无穷小也可。（当然这是证明级数收敛时用的，这里就要求我们要有能一眼猜出级数敛散性的能力，下面会教大家如何第一眼就可以看出绝大多数级数的敛散性） 例1：设k ，m 为正整数，.0,000 >>b a （这里主要是保证以下的 多项式恒为正）是推导出级数 ∑ ∞ =--++++++1 1 10110......n k k k m m m b n b n b a n a n a 收敛的充要条件。 解：设k k k m m m n b n b n b a n a n a u (1) 101 10+++++= --。取m k n n v -= 1，因为0 0lim b a v u n n n = ∞ →，所以 ∑∑∞ =∞ =1 1 ,n n n n v u 具有相同的敛散性，由Vn 收敛的充要条件是k-m>1， 所以所求级数的收敛的充要条件是k-m>1. （这是一个简单的例题，可是他说明了两个问题：1，凡是一般项Un 是有理分式的，我们一眼就能看出级数是否收敛例如级数 ∑ ∞ =---+1 3 2 3 5 5 23) ()12()1(n n n n n n 是收敛的，这因为分子的最高次幂是13，分母 的是15,15-13=2>1 ,故收敛。（至于解题时，我们可以模仿本 题构造Vn 去做）2，这个例题的解法具有一般性。设0→n u ，我 们只需要找到Un 的一个同阶无穷小或是等价无穷小Vn ，如果Vn 的敛散性我们已经掌握，问题解决。 大家可以试着用等价无穷小的方法接一下以下几题： （1）);1tan( )3(,,)cos 1(),2(,,sin )1(13 2 2 2112-+??? ? ??-??? ??∑∑∑∞ =∞=∞ =n N n n a n n a n a n
常数项级数的审敛法
§11-2常数项级数的审敛法 一、正项级数及其审敛法 正项级数：?Skip Record If...??Skip Record If...? (1) 显然，部分和数列?Skip Record If...?单调增加：?Skip Record If...??Skip Record If...? 1.收敛准则 定理1正项级数?Skip Record If...?收敛?Skip Record If...?部分数列 ?Skip Record If...?有界. 例1判别正项级数?Skip Record If...?的收敛性 解?Skip Record If...??Skip Record If...? ?Skip Record If...?有上界级数收敛 2.比较审敛法 定理2设?Skip Record If...?和?Skip Record If...?都是正项级数，且 ?Skip Record If...?若?Skip Record If...?收敛, 则?Skip Record If...?收敛；反之，若?Skip Record If...?发散，则?Skip Record If...?发散． 分析：?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的部分和 ?Skip Record If...? 即?Skip Record If...?有界,由TH1知?Skip Record If...?收敛。反之，设 ?Skip Record If...?发散，则?Skip Record If...?必发散.因为若?Skip Record If...?收敛,由上面已证结论知?Skip Record If...?也收敛，与假设矛盾. 推论设?Skip Record If...?和?Skip Record If...?都是正项级数,如果级数?Skip Record If...?收敛，且存在自然数N，使当?Skip Record If...?时有?Skip
第二讲 常数项级数审敛法--正项级数及其审敛法 授课题目（章节）： §11.2 常数项级数审敛法——正项级数及其审敛法 教学目的与要求： 1.了解正项级数收敛的充要条件； 2.会用正项级数的比较审敛法和根值审敛法； 3.掌握正项级数的比值审敛法； 4.掌握p 级数的收敛性。 教学重点与难点： 重点：比值审敛法 难点：比较审敛法 讲授内容： 定义 若0(1,2,......)n u n ≥=则称 1 n n u ∞ =∑为正项级数 性质 （1）正项级数的部分和数列{}n s 单调递增，即1231n n s s s s s +≤≤≤≤≤ （2）正项级数 1 n n u ∞ =∑收敛的充要条件是部分和数列{}n s 有界 证明 （1） 11 0(1,2,),n n n n u n s s u ++≥==+ 1n n s s +∴≥ （2）若 1 n n u ∞ =∑收敛，则{}n s 收敛，故{}n s 有界； 若{}n s 有界，又{}n s 单调递增，故{}n s 收敛，从而1 n n u ∞ =∑收敛。 正项级数审敛法 一、比较法
定理1（比较审敛法） 1 1 ,n n n n u v ∞∞ ==∑∑均为正项级， 且(1,2,)n n u v n ≤= 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑发散。 证明 设级数 1 n n v ∞ =∑收敛于和σ，则级数 1 n n u ∞ =∑的部分和 1212n n n s u u u v v v σ=+++≤+++≤ 即部分和数列{}n s 有界，故级数1 n n u ∞ =∑收敛； 反之，设 1 n n u ∞ =∑发散，若 1 n n v ∞ =∑收敛，由上面已证明的结论将有 1 n n u ∞ =∑收敛，与 假设矛盾，故若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑发散。 推论 1 1 ,n n n n u v ∞∞ ==∑∑均为正项级数，且(,0)n n u kv n N N k ≤>>为自然数， 若 1 n n v ∞ =∑收敛，则 1 n n u ∞ =∑收敛；若 1 n n u ∞ =∑发散，则 1 n n v ∞ =∑发散。 例1 讨论p -级数111 123 p p p n ++++ +的收敛性，其中常数0.p > 解 设1p ≤，则 11 p n n ≥，调和级数发散，故由比较法知，当1p ≤时，p -级数发散； 设1p >，可证部分和11,(2,3,)1 n s n p <+ =- 即数列{}n s 有界，故当1p >时，p -级数收敛。 比较法的步骤：（1）选取参照级数（2）推测收敛性（3）证明结论 例2判定下列级数的收敛性
1．写出下列级数的一般项： ⑴ 1357 2468 ++++ ； 【解】分析级数各项的表达规律： 分子为奇数数列21n -，分母为偶数数列2n ， 于是得级数的一般项为21 2n n u n -= ，1,2,3,....n =。 ⑵ 1111112349827 ++++++ ； 【解法一】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1， 分母的变化中，奇数项为2的乘幂，幂指数为项数+1的一半，即12 2 n +，偶数项为3 的乘幂，幂指数为项数的一半，即2 3n ， 于是有12 22, 21 3, 2n n n n k u n k +?=-?=??=? ，k J ∈，1,2,3,....n =。 也可为1 221(1)1(1)2322 n n n n n u +--+-=?+?，1,2,3,....n =。 【解法二】分析级数各项的表达规律： 分子不变恒为1，但分母的变化按奇数项和偶数项有不同的变化规律，可以视为两个 级数的和，也可以视为级数的一个项由两个分数的和构成， 若将级数的一个项看成由两个分数的和构成，则有 111 23 u = +， 21149u =+221123=+， 311827u =+ 3311 23 =+， ...... 于是得11 23 n n n u = +，1,2,3,....n =。 ⑶3456 22345 -+-+- 。 【解】分析数列各项的表达规律：
各项顺次正负相间，有符号函数，注意到第一项是正的，应为1 (1)n +-， 从第二项起，各项分式都是分子比分母大1，而分母恰为序数n 于是得1 1 (1) n n n u n ++=-，2,3,....n =， 检验当1n =时，11111(1)21 u ++=-=，说明第一项也符合上面一般项的规律， 从而得 11(1)n n n u n ++=-，1,2,3,....n =。 2．根据级数收敛与发散的定义判断下列级数的敛散性： ⑴ 1 1 (21)(21)n n n ∞ =-+∑； 【解】级数前n 项和为 11(21)(21)n n i S i i ==-+∑1111()221 21n n i i ==--+∑1111 ()22121n n i i ==--+∑ 11[(1)()(1152)]22113113n n =-+-+-+-+ 11 (1)221 n =-+， 由于lim n n S →∞11lim (1)221n n →∞=-+12 =，知级数收敛，收敛于1 2。 ⑵ 1 1 1n n n ∞ =++∑ ； 【解】级数前n 项和为 1 1 1n n i S i i ==++∑ 2211(1)()n i i i i i =+-=+-∑1 (1)n i i i ==+-∑ (1)()(123)2n n =-+-+++- 11n =+-， 由于lim n n S →∞ lim(11)n n →∞ =+-=∞，知级数发散。 ⑶ 1 1 ln n n n ∞ =+∑； 【解】级数前n 项和为 11ln n n i i S i =+=∑1 [ln(1)ln ]n i i i ==+-∑ ln 2ln 2ln3ln (ln1)()[ln(1)]n n =-+-+++- ln(1)ln1n =+-ln(1)n =+，
常数项级数的审敛法 定义 形如：级数 其中 即： 正、负项相间的级 数称为交错级数。 列如 莱布尼茨判别法 莱 布 尼 茨 定理：如果交错级数满足条件 则级数收敛，其其和 其余项 的绝对 值 注意：只有当级数是交错级数时，才能用此判别法，否则将导致错误 注意：莱布尼兹判别法只是充分条件，非必要条件. 使用本判别法时，关键是第一个条件的验证 是否收敛时, 要考察 与 大小 1 1 1() n n n u ∞ -=-∑n u >0 111,2,3,); n n u u n +≥=L （）（lim 0, n x u →∞ =（2）1, s u ≤n r 1. n n r u +≤0n u ≥（） n u 1n u +n n u u +≥>10.（）1 11111111(1) =1(1)234n n n n n ∞ --=--+-++-+∑L L （）.1 1 12(1) 1234(1) n n n n n ∞--=-=-+-++-+∑L L （）.
这是一个交错级数 又因为n n u u n n +=>=+1111， 且 显然收敛速度较慢. 收敛。 使用本判别法时，关键是第一个条件的验证 是否收敛时, 要考察 与 大小 比较 与 大小的方法有: 比值法 差值法 1 1 1 11111 (1) =1(1) 234 n n n n n ∞ --=--+-++-+∑1 n u n =1lim lim 0n n n u n →∞→∞==n r n ≤+1 ||.10n u ≥（） n u 1n u +n n u u +≥>10.（）n u 1n u +1 1n n u u +<10 n n u u +->1 1n n u u +≥（）lim 0 n x u →∞=(2)则交错级数 1 1 1() n n n u ∞ -=-∑
第十一章无穷级数 教学内容目录： §1—§8 本章主要内容： 常数项级数：无穷级数及其收敛与发散的定义，无穷级数的基本性质，级数收敛的必要条件，几何级数，调和级数，P级数，正项级数的比较审敛法和比值审敛法，交错级数，莱布尼兹定理，绝对收敛和条件收敛。 幂级数：幂级数概念，阿贝尔（Abel）定理，幂级数的收敛半径与收敛区间，幂级数的四则运算，和的连续性、逐项积分与逐项微分。泰勒级数，函数展开为幂级数的唯一性，函数（、 e x cos sin ln(1+x)、(1+x)m等）的幂级数展开式，幂级数在近 、x x 、 似计算中的应用举例，“欧拉（Euler）公式。 函数项级数：函数项级数的一般概念，收效域及和函数。 教学目的与要求： 1、理解无穷级数收敛、发散以及和的概念，了解无穷级数基本性质及收敛的必要条件。 2、掌握几何级数和P—级数的收敛性。 3、掌握正项级数的比较审敛法，掌握正项级数的比值审敛法。 4、理解交错级数的审敛法（莱布尼兹定理）。 5、了解无穷级数绝对收敛与条件收敛的概念以及绝对收敛与收敛的关系。 6、了解函数项级数的收敛域及和函数的概念。 7、掌握比较简单的幂级数收敛区间的求法（区间端点的收敛性可不作要求）。 8、了解幂级数在其收敛区间内的一些基本性质。 9、了解函数展开为泰勒级数的充分必要条件。 10、掌握应用e x,sinx,cox,en(1+x)和(1+x)u的马克劳林（Maclaurin）展开式将一些简单的的函数间接展开成幂级数的方法。 11、了解函数展开为傅里叶（Fourier）级数的狄利克雷（Dirchet）条件，会将定义在（-π,π）上的函数展开为傅里叶级数，并会将定义在（-π,π）上的函数展开为正弦或余弦级数。