2020年中考全真模拟测试《数学试卷》含答案解析

2020年浙江省中考数学全真模拟试卷一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）计算2﹣2的结果是（）A．B．﹣C．4D．﹣42．（3分）给出四个数：﹣1、0、、，其中为无理数的是（）A．﹣1B．0C．D．3．（3分）下列各图中，不能折叠成一个立方体的是（）A．B．C．D．4．（3分）下列计算正确的是（）A．3a2+a2＝4a4B．（a2）3＝a5C．a•a2＝a3D．（2a）3＝6a3 5．（3分）下列图形中，∠1一定小于∠2的是（）A．B．C．D．6．（3分）某电动车厂2018年第三、四季度各月产量情况如图所示．则下列说法错误的是（）A．7月份产量为300辆B．从10月到11月的月产量增长最快C．从11月到12月的月产量减少了20%D．第四季度比第三季度的产量增加了70%7．（3分）如图，一辆超市购物车放置在水平地面上，其侧面四边形ABCD与地面某条水平线在同一平面内，且AB∥l，若∠A＝93°，∠D＝111°，则直线CD与l所夹锐角的度数为（）A．15°B．18°C．21°D．24°8．（3分）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（﹣1，﹣6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y＝2x﹣4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a﹣4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．①B．②C．③D．④9．（3分）如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA 交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI，∠AOB＝β，则∠OIB等于（）A．B．180°﹣βC．D．90°+β10．（3分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y＝x2沿射线OC平移得到新抛物线y＝（x﹣m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0＜m≤6C．0＜m≤8D．0＜m≤2或6≤m≤8二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于度．12．（4分）掷一枚硬币，反面朝上的概率是．13．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝．14．（4分）方程的解为．15．（4分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为．16．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（1，2），过点A分别作x轴、y轴的平行线交反比例函数的图象于点B，C，延长OA交BC于点D．若△ABD的面积为2，则k的值为．17．（6分）（1）计算：（2）化简：．18．（6分）小红同学想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出登元硬币和伍角硬币的质量，于是，他找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录：记录天平左边天平右边状态记录一5枚壹元硬币，1个1010枚伍角硬币平衡克的砝码平衡记录二15枚壹元硬币20枚伍角硬币，1个10克的砝码请你帮小红同学算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？19．（6分）如图是6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上．请按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图中作出一个以点A，B，C，D为顶点的平行四边形．（2）在图中作出△ABC中AB边上的中线．20．（8分）若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：1＝12﹣02，7＝42﹣32，因此1和7都是“和谐数”．（1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由；（2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由．命题1：数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”，命题2：“和谐数”一定是奇数．21．（8分）某校九年级共有360名学生，为了解该校九年级学生每周运动的时间，从中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，并将获得的数据（每周运动的时间，单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．I．学生每周运动的时间的频数分布直方图如下（数据分成6组：1≤x＜3，3≤x＜5，5≤x＜7，7≤x＜9，9≤x＜11，11≤x≤13）Ⅱ．学生每周运动的时间在7≤x＜9这一组的数据是：7，7.2，7.4，7.5，7.5，7.6，7.8，7.8，8，8.2，8.4，8.5，8.6，8.8根据以上信息，解答下列问题（1）求这次被抽取的学生数．（2）写出被抽取学生每周运动的时间的中位数．（3）根据此次问卷调查结果，估计该校九年级全体学生每周运动的时间超过79小时的学生有多少人？22．（10分）图1是某酒店的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，两扇门的大小相同（即AB＝CD），且AB+CD＝AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°（如图2所示）．（1）点C到直线AD的距离．（2）将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α（如图3所示），问α为多少度时，点B，C之间的距离最短．参考数据：（sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49）23．（10分）已知，抛物线y＝x2+2mx（m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若点A（﹣n+5，0），B（n﹣1，0）在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM 的面积；（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该抛物线上，且p＜q＜r，求m的取值范围．24．（12分）数学拓展课上，老师给出如下定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍，那么称这个三角形为“趣味三角形”．理解：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，试判断△ABC是否为“趣味三角形”，并说明理由．发现：（2）如图2，已知△ABC是“趣味三角形”，AD，BE，CF分别是BC，AC，AB边上的中线，且AD＝BC，试探究BE和CF之间的位置关系．应用：（3）如图3，直线l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，点B，C在直线l1上，点A在直线l2上，AD，BE，CF分别是△ABC的边BC，AC，AB上的中线．若△ABC是“趣味三角形”，BC＝2．求BE2+CF2的值．参考答案与试题解析一、选择题（本题有10个小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分）1．（3分）计算2﹣2的结果是（）A．B．﹣C．4D．﹣4【分析】根据负整数指数幂的运算法则计算即可．【解答】解：2﹣2＝＝．故选：A．2．（3分）给出四个数：﹣1、0、、，其中为无理数的是（）A．﹣1B．0C．D．【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．【解答】解：A、﹣1是整数，是有理数，选项错误；B、0是整数，是有理数，选项错误；C、是无理数，故选项C符合题意；D、是分数，是有理数，选项错误．故选：C．3．（3分）下列各图中，不能折叠成一个立方体的是（）A．B．C．D．【分析】由平面图形的折叠及正方体的展开图解题．【解答】解：A、是正方体的展开图，不符合题意；B、有两个面重合，不是正方体的展开图，符合题意；C、是正方体的展开图，不符合题意；D、是正方体的展开图，不符合题意．故选：B．4．（3分）下列计算正确的是（）A．3a2+a2＝4a4B．（a2）3＝a5C．a•a2＝a3D．（2a）3＝6a3【分析】直接利用同底数幂的乘除运算法则以及幂的乘方运算法则、积的乘方运算法则、合并同类项法则分别化简得出答案．【解答】解：A、3a2+a2＝4a2，故此选项错误；B、（a2）3＝a6，故此选项错误；C、a•a2＝a3，故此选项正确；D、（2a）3＝8a3，故此选项错误；故选：C．5．（3分）下列图形中，∠1一定小于∠2的是（）A．B．C．D．【分析】根据圆周角定理，对顶角相等，平行线的性质，以及三角形外角知识，运用排除法，逐题分析判断．【解答】解：A、若两直线平行，则∠1＝∠2；B、如图，根据同弧对的圆周角相等∠2＝∠3，三角形外角大于不相邻的内角，∠3＞∠1，则∠1一定小于∠2；C、三角形外角大于不相邻的内角，则∠1＞∠2；D、对顶角相等；故选：B．6．（3分）某电动车厂2018年第三、四季度各月产量情况如图所示．则下列说法错误的是（）A．7月份产量为300辆B．从10月到11月的月产量增长最快C．从11月到12月的月产量减少了20%D．第四季度比第三季度的产量增加了70%【分析】根据题目中的折线统计图，可以判断各个选项中的结论是否正确，从而可以解答本题．【解答】解：由图可得，7月份产量为300辆，故选项A正确，从10月到11月的月产量增长最快，故选项B正确，从11月到12月的月产量减少了≈16.7%，故选项C错误，第四季度比第三季度的产量增加了＝70%，故选项D正确，故选：C．7．（3分）如图，一辆超市购物车放置在水平地面上，其侧面四边形ABCD与地面某条水平线在同一平面内，且AB∥l，若∠A＝93°，∠D＝111°，则直线CD与l所夹锐角的度数为（）A．15°B．18°C．21°D．24°【分析】把题意抽象为数学模型解得即可．【解答】解：如图所示，根据题意可知直线CD与l所夹锐角即为∠AED，据题意可得∠ADE＝180°﹣∠ADC＝69°，∠DAE＝180°﹣∠BAD＝87°，∴∠AED＝180°﹣∠ADE﹣∠DAE＝24°．故选：D．8．（3分）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（﹣1，﹣6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y＝2x﹣4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a﹣4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．①B．②C．③D．④【分析】已知一次函数过两个点A（3，2），B（﹣1，﹣6），可以用待定系数法求出关系式；根据关系式可以判定一个点（已知坐标）是否在函数的图象上；根据一次函数的增减性，可以判定函数值随自变量的变化情况，当k＞0，y随x的增大而增大；根据关系式可以求出函数图象与x轴、y轴的交点坐标，进而可以求出直线AB与坐标轴围成的三角形的面积，最后综合做出结论．【解答】解：设一次函数表达式为y＝kx+b，将A（3，2），B（﹣1，﹣6）代入得：解得：k＝2，b＝﹣4，∴关系式为y＝2x﹣4，故结论①是正确的；也可以直接验证A（3，2），B（﹣1，﹣6）的坐标是否满足y＝2x﹣4，从而判定①是否正确．由于k＝2＞0，y随x的增大而增大，故结论②也是正确的；点P（2a，4a﹣4），其坐标满足y＝2x﹣4，因此该点在此函数图象上；故结论③也是正确的；直线AB与xy轴的交点分别（2，0），（0，﹣4），因此与坐标轴围成的三角形的面积为：×2×4＝4≠8，故结论④是不正确的；因此，不正确的结论是④；也可以用排除法，①②③均正确，则④为不正确．故选：D．9．（3分）如图，在扇形OAB中，点C是弧AB上任意一点（不与点A，B重合），CD∥OA 交OB于点D，点I是△OCD的内心，连结OI，BI，∠AOB＝β，则∠OIB等于（）A．B．180°﹣βC．D．90°+β【分析】由点I是△OCD的内心，得：∠COI＝∠BOI，连接IC，由圆的对称性可知：∠OIB＝∠OIC＝90°+∠ODC＝180°﹣β．【解答】解：如图，连接IC，∵CD∥OA∴∠CDB＝∠AOB＝β，∴∠COD+∠OCD＝∠CDB＝β∵点I是△OCD的内心∴OI、CI分别平分∠COD、∠OCD∴∠COI＝∠BOI＝∠COD，∠OCI＝∠OCD∴∠OIC＝180°﹣（∠COI+∠OCI）＝180°﹣（∠COD+∠OCD）＝180°﹣β．在△COI和△BOI中∴△COI≌△BOI（SAS）∴∠OIB＝∠OIC∴∠OIB＝180°﹣β．故选：A．10．（3分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，若将抛物线y＝x2沿射线OC平移得到新抛物线y＝（x﹣m）2+k（m＞0）．则当新抛物线与正方形的边AB有公共点时，m的值一定是（）A．2，6，8B．0＜m≤6C．0＜m≤8D．0＜m≤2或6≤m≤8【分析】抛物线y＝x2沿射线OC平移，则新的抛物线的顶点在OC上，分别求出C（2，﹣2），B（2，2），进而可得OC的直线解析式为y＝﹣x；则新抛物线的顶点为（m，﹣m），即k＝m，将点B（2，2）代入y＝（x﹣m）2+m中，将点A（4，0）代入y＝（x﹣m）2+m中，则可确定0＜m≤2或6≤m≤8；【解答】解：∵抛物线y＝x2沿射线OC平移，∴新的抛物线的顶点在OC上，∵点A（4，0），以OA为对角线作正方形ABOC，∴C（2，﹣2），B（2，2），∴OC的直线解析式为y＝﹣x，则新抛物线的顶点为（m，﹣m），即k＝﹣m，将点B（2，2）代入y＝（x﹣m）2﹣m中，∴m＝0或m＝6；将点A（4，0）代入y＝（x﹣m）2﹣m中，∴m＝2或m＝8；∵新抛物线与正方形的边AB有公共点，∴0＜m≤2或6≤m≤8；故选：D．二、填空题（本题有6个小题，每小题4分，共24分）11．（4分）已知∠α＝60°，则∠α的余角等于30度．【分析】根据两个角的和为90°，则这两个角互余解答．【解答】解：∠α的余角＝90°﹣60°＝30°，故答案为：30．12．（4分）掷一枚硬币，反面朝上的概率是．【分析】因为一枚硬币只有正反两面，所以共有两种情况，再根据概率公式即可解答．【解答】解：∵一枚硬币只有正反两面，∴掷一枚硬币，反面朝上的概率是．故答案为．13．（4分）分解因式：a3﹣4a2+4a＝a（a﹣2）2．【分析】观察原式a3﹣4a2+4a，找到公因式a，提出公因式后发现a2﹣4a+4是完全平方公式，利用完全平方公式继续分解可得．【解答】解：a3﹣4a2+4a，＝a（a2﹣4a+4），＝a（a﹣2）2．故答案为：a（a﹣2）2．14．（4分）方程的解为x＝﹣3．【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．【解答】解：去分母得：﹣2＝x+1，解得：x＝﹣3，经检验x＝﹣3是分式方程的解，故答案为：x＝﹣315．（4分）如图，点C为半圆的中点，AB是直径，点D是半圆上一点，AC，BD交于点E，若AD＝1，BD＝7，则CE的长为．【分析】先由直径所对的圆周角为90°，得∠C＝∠D＝90°，再利用勾股定理求出AB、BC和AC的长，然后利用∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED得△BEC∽△AED，根据相似三角形的性质得比例式，进而得关于DE和CE的方程组，解方程组即可得答案．【解答】解：如图，连接AD，BC∵AB为直径∴∠C＝∠D＝90°∵AD＝1，BD＝7，∴AB＝＝＝5∵点C为半圆的中点，∴AC＝BC∴AC2+BC2＝AB2∴2BC2＝50∴BC＝AC＝5∵∠C＝∠D，∠BEC＝∠AED∴△BEC∽△AED∴＝＝＝∴∴故答案为：．16．（4分）如图，在直角坐标系中，O为坐标原点，点A（1，2），过点A分别作x轴、y 轴的平行线交反比例函数的图象于点B，C，延长OA交BC于点D．若△ABD的面积为2，则k的值为6．【分析】要求k的值，只要求出点C或点B的坐标即可，根据A（1，2），可到点C的纵坐标为2，点B的横坐标为1，设出点C的横坐标，就能表示出点B的纵坐标，从而得到三角形ABC的两条直角边的比为1：2，根据三角形相似，可以得出△ABD与△ACD 高DH与DG的比是2：1，从而得到△ABD与△ACD的面积相等，求出△ABC的面积，确定点C的坐标，求出k的值．【解答】解：过点C、A分别作CE⊥x轴，AF⊥x轴，垂足为E、F，过D作DG⊥AC，DH⊥AB，垂足为G、H，∵A（1，2）∴OF＝1，AF＝2＝CE，则点B的横坐标为1，点C的纵坐标为2，设AC＝a，则C（a+1，2），∵点B、C都在反比例函数的图象上，∴1×y＝2×（a+1），即y＝2a+2＝BF，∴AB＝BF﹣AF＝2a∴，由△AOF∽△DAG得：，即，∴S△ABD＝S△ACD＝2，∴S△ABC＝2+2＝4，∴AC•AB＝4，即×a×2a＝4，∴a＝2，∴C（3，2）代入y＝得：k＝6故答案为：6．三、解答题（本题有8小题，第17-19题每题6分：第20、21题每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共66分）友情提示：做解答题，则忘了写出必要的过程；作图（包括选加辅助线）最后必须用黑色字迹的签字笔或钢笔将线条描黑.17．（6分）（1）计算：（2）化简：．【分析】（1）原式利用特殊角的三角函数值，绝对值的代数意义，以及算术平方根定义计算即可求出值；（2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，约分即可得到结果．【解答】解：（1）原式＝+3﹣2＝1；（2）原式＝•＝a﹣b．18．（6分）小红同学想仅用一架天平和一个10克的砝码测量出登元硬币和伍角硬币的质量，于是，他找来足够多的壹元和伍角硬币（假设同种类每枚硬币的质量相同），经过操作得到如下记录：记录天平左边天平右边状态10枚伍角硬币平衡记录一5枚壹元硬币，1个10克的砝码记录二15枚壹元硬币20枚伍角硬币，1个平衡10克的砝码请你帮小红同学算一算，一枚壹元硬币和一枚伍角硬币的质量分别是多少克？【分析】设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．两个等量关系为：5枚壹元硬币质量+10＝10枚伍角硬币质量；15枚壹元硬币质量＝20枚伍角硬币质量+10．列出方程组，解方程组即可．【解答】解：设一枚壹元硬币x克，一枚伍角硬币y克．依题意得：，②﹣①×2，得5x＝30，解得x＝6，把x＝6代入①，得y＝4．所以原方程的解为：．答：一枚壹元硬币6克，一枚伍角硬币4克．19．（6分）如图是6×6的正方形网格，点A，B，C均在格点上．请按下列要求完成作图：①仅用无刻度直尺，且不能用直尺中的直角；②保留作图痕迹．（1）在图中作出一个以点A，B，C，D为顶点的平行四边形．（2）在图中作出△ABC中AB边上的中线．【分析】（1）根据平行四边形的判定定理画图即可；（2）根据三角形中线的定义画图即可．【解答】解：（1）如图所示，四边形ABCD即为所求；（2）如图所示．线段CE即为所求．20．（8分）若一个正整数能表示为两个连续自然数的平方差，则称这个正整数为“和谐数”．如：1＝12﹣02，7＝42﹣32，因此1和7都是“和谐数”．（1）判断11是否为“和谐数”，并说明理由；（2）下面是某个同学演算后发现的两个命题，请选择其中一个命题，判断真假，并说明理由．命题1：数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”，命题2：“和谐数”一定是奇数．【分析】（1）利用11＝62﹣52即可说明11是“和谐数”；（2）由2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，根据“和谐数”的定义判断命题1即可；设两个连续自然数为n，n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（n+1）2﹣n2，利用平方差公式展开得到（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，然后利用整除性可说明“和谐数”一定是奇数．【解答】解：（1）11是“和谐数”．理由如下：11＝62﹣52；（2）命题1：数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”，是真命题．理由如下：∵2n﹣1＝n2﹣（n﹣1）2，而当n为正整数时，数2n﹣1是正整数，n与n﹣1是两个连续自然数，∴数2n﹣1（n为正整数）是“和谐数”；命题2：“和谐数”一定是奇数，是真命题．理由如下：设两个连续自然数为n，n+1（n为自然数），则“和谐数”＝（n+1）2﹣n2，∵（n+1）2﹣n2＝（n+1+n）（n+1﹣n）＝2n+1，当n为自然数时，2n+1是正整数，且为奇数，∴“和谐数”一定是奇数．21．（8分）某校九年级共有360名学生，为了解该校九年级学生每周运动的时间，从中随机抽取了若干名学生进行问卷调查，并将获得的数据（每周运动的时间，单位：小时）进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．I．学生每周运动的时间的频数分布直方图如下（数据分成6组：1≤x＜3，3≤x＜5，5≤x＜7，7≤x＜9，9≤x＜11，11≤x≤13）Ⅱ．学生每周运动的时间在7≤x＜9这一组的数据是：7，7.2，7.4，7.5，7.5，7.6，7.8，7.8，8，8.2，8.4，8.5，8.6，8.8根据以上信息，解答下列问题（1）求这次被抽取的学生数．（2）写出被抽取学生每周运动的时间的中位数．（3）根据此次问卷调查结果，估计该校九年级全体学生每周运动的时间超过79小时的学生有多少人？【分析】（1）根据频数分布直方图中的数据可以求得本次调查的学生数；（2）根据直方图中的数据和题目中的条件，可以求得这组数据的中位数；（3）根据直方图中的数据可以求得该校九年级全体学生每周运动的时间超过7.9小时的学生有多少人．【解答】解：（1）本次抽取的学生数为：2+6+12+14+18+8＝60，即本次抽取了60名学生；（2）∵2+6+12＝20，2+6+12+14＝34，在7≤x＜9这一组的数据是：7，7.2，7.4，7.5，7.5，7.6，7.8，7.8，8，8.2，8.4，8.5，8.6，8.8，∴被抽取学生每周运动的时间的中位数是：（8.2+8.4）÷2＝8.3，即被抽取学生每周运动的时间的中位数是8.3；（3）360×＝192（人），答：该校九年级全体学生每周运动的时间超过7.9小时的学生有192人．22．（10分）图1是某酒店的推拉门，已知门的宽度AD＝2米，两扇门的大小相同（即AB ＝CD），且AB+CD＝AD，现将右边的门CDD1C1绕门轴DD1向外面旋转67°（如图2所示）．（1）点C到直线AD的距离．（2）将左边的门ABB1A1绕门轴AA1向外面旋转，设旋转角为α（如图3所示），问α为多少度时，点B，C之间的距离最短．参考数据：（sin67°≈0.92，cos67°≈0.39，tan29.6°≈0.57，tan19.6°≈0.36，sin29.6°≈0.49）【分析】（1）如图2，过C作CH⊥AD于H，解直角三角形即可得到结论；（2）当A、B、C三点共线时，B，C之间的距离最短，如图3，过C作CH⊥AD于H，解直角三角形即可得到结论．【解答】解：（1）如图2，过C作CH⊥AD于H，由题意得，∠D＝67°，CD＝AD＝1，∴CH＝CD•sin67°≈0.92米；答：点C到直线AD的距离约为0.92米；（2）当A、B、C三点共线时，B，C之间的距离最短，如图3，过C作CH⊥AD于H，由题意得，∠D＝67°，CD＝AD＝1，∴CH＝CD•sin67°≈0.92米，DH＝CD•cos67°≈0.39，∴AH＝2﹣0.39＝1.61，在Rt△ACH中，tanα＝＝≈0.57，∴α≈29.6°，答：当α为29.6度时，点B，C之间的距离最短．23．（10分）已知，抛物线y＝x2+2mx（m为常数且m≠0）．（1）判断该抛物线与x轴的交点个数，并说明理由；（2）若点A（﹣n+5，0），B（n﹣1，0）在该抛物线上，点M为抛物线的顶点，求△ABM 的面积；（3）若点（2，p），（3，q），（4，r）均在该抛物线上，且p＜q＜r，求m的取值范围．【分析】（1）m为常数且m≠0，则△＝（2m）2＞0，即可求解；（2）x1+x2＝﹣2m＝4，x1x2＝0＝（﹣n+5）（n﹣1），利用则S△ABM＝AB×（﹣y C），即可求解；（3）由题意得：三个点中，只需要对称轴与（2，p）点最为接近即可．【解答】解：（1）m为常数且m≠0，则△＝（2m）2＞0，故抛物线与x轴有两个交点；（2）函数的对称轴为：x＝﹣m，设函数与x轴交点的横坐标分别为x1、x2，则x1+x2＝﹣2m＝4，x1x2＝0＝（﹣n+5）（n﹣1），解得：m＝﹣2，n＝5或1，则AB＝4，当x＝﹣m＝2时，y＝4+4m＝﹣4，则S△ABM＝AB×（﹣y C）＝4×4＝8；（3）由题意得：三个点中，只需要对称轴与（2，p）点最为接近即可，即：﹣，解得：m故：：m且m≠0．24．（12分）数学拓展课上，老师给出如下定义：如果三角形有一边上的中线长恰好等于该边长的1.5倍，那么称这个三角形为“趣味三角形”．理解：（1）如图1，在△ABC中，AB＝AC＝，BC＝2，试判断△ABC是否为“趣味三角形”，并说明理由．发现：（2）如图2，已知△ABC是“趣味三角形”，AD，BE，CF分别是BC，AC，AB边上的中线，且AD＝BC，试探究BE和CF之间的位置关系．应用：（3）如图3，直线l1∥l2，l1与l2之间的距离为2，点B，C在直线l1上，点A在直线l2上，AD，BE，CF分别是△ABC的边BC，AC，AB上的中线．若△ABC是“趣味三角形”，BC＝2．求BE2+CF2的值．【分析】理解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，由勾股定理可求AD＝3，可得AD＝1.5BC，由“趣味三角形”定义可判断△ABC是“趣味三角形”；发现：（2）由三角形中位线定理可得DF∥AC，AC＝2DF，BD＝CD，可得AO＝2DO，由AD＝BC，可得DO＝BD＝CD，可证BE⊥CF；应用：（3）分三种情况讨论，由“趣味三角形”的定义和勾股定理可求解．【解答】解：理解：（1）过点A作AD⊥BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC∴BD＝CD＝BC＝1∴AD＝＝＝3∴AD＝1.5BC∴△ABC为“趣味三角形”；（2）BE⊥CF连接DF，设AD与CF的交点为O，∵点D，点F分别是BC，AB的中点，∴DF∥AC，AC＝2DF，BD＝CD∴∴AO＝2DO，∴AD＝3DO，AD＝BC，∴DO＝BC∴DO＝BD＝CD∴∠BOC＝90°∴BE⊥CF；（3）①若AD＝BC时，如图，由（2）可知，BE⊥CF∴BO2+CO2＝BC2，∵O是重心∴BO＝BE，CO＝CE，∴BE2+CE2＝（2）2，∴BE2+CE2＝18②若BE＝AC时，如图3，过点E作EH⊥BC于点H，过点A作AK⊥BC于点K，∴EH∥AH，AK＝2∴∴KH＝CH，且AE＝CE∴EH＝AK＝1∵BE2＝BH2+EH2，∴BE2＝（2+CH）2+1，∵AC2＝CK2+AK2，∴AC2＝（2CH）2+4，∵BE＝AC∴BE2＝AC2，∴（2+CH）2+1＝（4CH2+4）∴CH＝0或CH＝当CH＝0时，BE2+CF2＝（2）2+1+[（2）2+4]＝12，当CH＝时，BE2+CF2＝（）2+1+[（）2+4]＝15③若CF＝AB时，同②解法，可得BE2+CF2＝12或15，综上所述：BE2+CF2＝18或12或15。

中考数学综合模拟测试卷学校________ 班级________ 姓名________ 成绩________一．选择题（共10小题，满分40分）1．一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ）A ．3B ．﹣3C ．3或﹣3D ．132．下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（ ）A ．B ．C ．D ．3．下列计算中，正确的是（ ） A ．﹣|﹣3|＝3 B ．（a 5）2＝a 7 C ．0.2a 2b ﹣0.2a 2b ＝0D ．√(−4)2=−44．近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程已达到35000公里，继续高居世界第一将35000用科学记数法表示应为（ ） A ．3.5×104B ．35×103C ．3.5×103D ．0.35×1055．如图，OP ∥QR ∥ST ，则下列各式中正确的是（ ）A ．∠1+∠2+∠3＝180°B ．∠1+∠2﹣∠3＝90°C ．∠1﹣∠2+∠3＝90°D ．∠2+∠3﹣∠1＝180°6．据天气预报报道，福建省部分城市某日的最高气温如表所示：城市 福州 厦门 宁德 莆田 泉州 漳州 龙岩 三明 南平 最高气 温（℃）11161113131716119则下列说法正确的是（ ） A ．龙岩的该日最高气温最高B ．这组数据的众数是16C ．这组数据的中位数是11D ．这组数据的平均数是137．如图，⊙O 的半径为1，A 为⊙O 上一点，过点A 的直线l 交⊙O 于点B ，将直线l 绕点A 旋转180°，当AB 的长度由1变为√3时，l 在圆内扫过的面积为（ ）A ．π6B ．π3C ．π3或π2+√3D ．π6或π2+√328．如果直线y ＝kx +b 经过一、二、四象限，则k ，b 的取值分别是（ ） A ．k ＞0，b ＞0B ．k ＞0，b ＜0C ．k ＜0，b ＞0D ．k ＜0，b ＜09．如图，在矩形纸片ABCD 中，已知AD ＝8，折叠纸片，使AB 边与对角线AC 重合，点B 落在点F 处，折痕为AE ，且EF ＝3，则AB 的长为（ ）A ．3B ．4C ．5D ．610．已知二次函数y ＝ax 2+bx +c （a ≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc ＞0；②2a +b ＜0；③4a ﹣2b +c ＜0；④a +b +2c ＞0，其中正确结论的个数为（ ）A ．4个B ．3个C ．2个D ．1个二．填空题（共6小题，满分24分）11．当x ＝ 时，分式x+12x−7无意义．12．不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 ．13．若正n 边形的内角和与其中一个外角的和为1125°，则n ＝ ；14．关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 ．15．如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y =4x 上，第二象限的点B 在反比例函数y =kx 上，且OA ⊥OB ，OB OA=34，则k 的值为 ．16．如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要枚棋子．三．解答题（共8小题，满分86分）17．（9分）先化简，再求值：(x+2−5x−2)÷x−32，其中x满足x2+3x﹣1＝0．18．（10分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是人；（2）图2中α是度，并将图1条形统计图补充完整；（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有人；（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A、B、C、D，其中A为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A的概率．19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，已知BC为⊙O的切线，B为⊙O切点，OC与AD弦互相平行．求证：DC是⊙O的切线．20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．21．（11分）某文具店销售功能完全相同的A、B两种品牌的计算器，若购买2个A品牌和3个B品牌的计算器共需156元；购买3个A品牌和2个B品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A品牌计算器按原价的八折销售，B品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x个A品牌的计算器需要y1元，购买x个B品牌的计算器需要y2元，请分别求出y1、y2关于x的函数关系式；（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？22．（11分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD，小明与同学们在山坡的坡脚A处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB向上走到B处测得广告牌顶部C的仰角为45°，已知山坡AB的坡度1：√3，AB＝10米，AE＝21米，求广告牌CD的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．（1）填空：PC＝，FC＝；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．24．（13分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S最大时，在抛物线y=−49x2+bx+c的对称轴l上，若存在点F，使△DFQ为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F的坐标；若不存在，请说明理由．答案与解析一．选择题（共10小题，满分40分）1．（4分）一个数的绝对值是3，则这个数可以是（ ）A ．3B ．﹣3C ．3或﹣3D ．13【解析】解：∵一个数的绝对值是3，可设这个数位a ， ∴|a |＝3， ∴a ＝±3 故选：C ．2．（4分）下列几何体中，从正面看（主视图）是长方形的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】解：圆锥的主视图是等腰三角形， 圆柱的主视图是长方形， 圆台的主视图是梯形， 球的主视图是圆形， 故选：B ．3．（4分）下列计算中，正确的是（ ） A ．﹣|﹣3|＝3 B ．（a 5）2＝a 7 C ．0.2a 2b ﹣0.2a 2b ＝0D ．√(−4)2=−4【解析】解：A 、错误，∵﹣|﹣3|＝﹣3；B、错误，∵（a5）2＝a10；C、正确，符合合并同类项的法则；D、错误，∵√(−4)2=4．故选：C．4．（4分）近年来，中国高铁发展迅速，高铁技术不断走出国门，成为展示我国实力的新名片．现在中国高速铁路营运里程已达到35000公里，继续高居世界第一将35000用科学记数法表示应为（）A．3.5×104B．35×103C．3.5×103D．0.35×105【解析】解：35000＝3.5×104．故选：A．5．（4分）如图，OP∥QR∥ST，则下列各式中正确的是（）A．∠1+∠2+∠3＝180°B．∠1+∠2﹣∠3＝90°C．∠1﹣∠2+∠3＝90°D．∠2+∠3﹣∠1＝180°【解析】解：延长TS，∵OP∥QR∥ST，∴∠2＝∠4，∵∠3与∠ESR互补，∴∠ESR＝180°﹣∠3，∵∠4是△FSR的外角，∴∠FSR+∠1＝∠4，即180°﹣∠3+∠1＝∠2，∴∠2+∠3﹣∠1＝180°．故选：D．6．（4分）据天气预报报道，福建省部分城市某日的最高气温如表所示：城市福州厦门宁德莆田泉州漳州龙岩三明南平最高气温（℃）11161113131716119则下列说法正确的是（）A．龙岩的该日最高气温最高B．这组数据的众数是16C．这组数据的中位数是11D．这组数据的平均数是13【解析】解：将表中的9个数据按从小到大的顺序排列是：9，11，11，11，13，13，16，16，17．其中最高数据为17，∴漳州的该日最高气温最高，A选项错误；“11”出现次数最多，故这组数据的众数是11，B选项错误；位于中间的数是13，∴这组数据的中位数是13，C选项错误；这组数据的平均数=19（9+11+11+11+13+13+16+16+17）＝13，故D 选项正确．故选：D ．7．（4分）如图，⊙O 的半径为1，A 为⊙O 上一点，过点A 的直线l 交⊙O 于点B ，将直线l 绕点A 旋转180°，当AB 的长度由1变为√3时，l 在圆内扫过的面积为（ ）A ．π6B ．π3C ．π3或π2+√3D ．π6或π2+√32【解析】解：如图所示当点B 运动到点B ′的位置时，过点O 作OC ⊥AB ′，∵AB ＝AO ＝BO ＝1，∴∠AOB ＝60°．由垂径定理可知：AC ＝CB ′=√32，由锐角三角形函数的定义可知：sin ∠AOC =AC AO =√321=√32，∴∠AOC ＝60°．∴点O、C、B在同一条直线上．在Rt△ACB和Rt△B′CO中{AB=OB′AC=CB′，∴Rt△ACB≌Rt△B′CO．∴直线AB扫过的面积＝扇形BOB′的面积=16×π×12=π6．如下图：当点B运动到点B′的位置时，过点O作OC⊥AB′，∵AB＝AO＝BO＝1，∴∠AOB＝60°．∴S2＝扇形AOB的面积﹣△AOB的面积=16π×12−12×1×√32=π6−√34．S1＝扇形AOB′的面积﹣△AOB′的面积=13π×12−12×√3×12=π3−√34．∴直线AB扫过的面积＝圆的面积﹣S1﹣S2=π−(π6−√34)−(π3−√34)=π2+√32．故选：D．8．（4分）如果直线y＝kx+b经过一、二、四象限，则k，b的取值分别是（）A．k＞0，b＞0B．k＞0，b＜0C．k＜0，b＞0D．k＜0，b＜0【解析】解：由一次函数y＝kx+b的图象经过第一、二、四象限，又由k＜0时，直线必经过二、四象限，故知k＜0．再由图象过一、二象限，即直线与y轴正半轴相交，所以b＞0．故选：C．9．（4分）如图，在矩形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为（）A．3B．4C．5D．6【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，AD＝8，∴BC＝8，∵△AEF是△AEB翻折而成，∴BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形，∴CE＝8﹣3＝5，在Rt△CEF中，CF=√CE2−EF2=√52−32=4，设AB＝x，在Rt△ABC中，AC2＝AB2+BC2，即（x+4）2＝x2+82，解得x＝6，故选：D．10．（4分）已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，下列结论：①abc＞0；②2a+b＜0；③4a ﹣2b+c＜0；④a+b+2c＞0，其中正确结论的个数为（）A．4个B．3个C．2个D．1个【解析】解：∵抛物线开口向下，与y轴的交点在x轴上方，∴a＜0，c＞0，∵0＜−b2a＜1，∴b＞0，且b＜﹣2a，∴abc＜0，2a+b＜0，故①不正确，②正确，∵当x＝﹣2时，y＜0，当x＝1时，y＞0，∴4a﹣2b+c＜0，a+b+c＞0，∴a+b+2c＞0，故③④都正确，综上可知正确的有②③④，故选：B．二．填空题（共6小题，满分224分，每小题4分）11．（4分）当x＝72时，分式x+12x−7无意义．【解析】解：∵分式x+12x−7无意义，∴2x﹣7＝0，解得：x=7 2．故答案为：72． 12．（4分）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 37 ．【解析】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37，故答案为：37．13．（4分）若正n 边形的内角和与其中一个外角的和为1125°，则n ＝ 8 ；【解析】解：设这个外角度数为x ，根据题意，得（n ﹣2）×180°+x ＝1125°，解得：x ＝1125°﹣180°n +360°＝1485°﹣180°n ，由于0＜x ＜180°，即0＜1485°﹣180°n ＜180°，解得714＜n ＜814，所以n ＝8．故这是八边形．故答案为：8．14．（4分）关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是 a ＞−14且a ≠0 ．【解析】解：∵关于x 的一元二次方程ax 2+x ﹣1＝0有两个不相等的实数根，∴△＝b 2﹣4ac ＝12﹣4×a ×（﹣1）＝1+4a ＞0，解得：a ＞−14，∵方程ax 2﹣2x +1＝0是一元二次方程，∴a ≠0，∴a 的范围是：a ＞−14且a ≠0．故答案为：a ＞−14且a ≠0．15．（4分）如图，已知第一象限内的点A 在反比例函数y =4x 上，第二象限的点B 在反比例函数y =k x 上，且OA ⊥OB ，OB OA =34，则k 的值为 −94 ．【解析】解：作AC ⊥x 轴于C ，BD ⊥x 轴于D ，如图，∵OA ⊥OB ，∴∠BOD +∠AOC ＝90°，∵∠BOD +∠OBD ＝90°，∴∠AOC ＝∠OBD ，∴Rt △OBD ∽Rt △AOC ，∴S △OBDS △AOC =（OB OA ）2＝（34）2=916，∵S △OBD =12|k |，S △AOC =12×4＝2， ∴12|k|2=916，而k ＜0，∴k =−94．故答案为−94．16．（4分）如图所示，摆第一个“小屋子”要5枚棋子，摆第二个要11枚棋子，摆第三个要17枚棋子，则摆第30个“小屋子”要 179 枚棋子．【解析】解：根据题意分析可得：第1个图案中棋子的个数5个．第2个图案中棋子的个数5+6＝11个．…．每个图形都比前一个图形多用6个．∴第30个图案中棋子的个数为5+29×6＝179个．故答案为：179．三．解答题（共8小题，满分86分）17．（9分）先化简，再求值：(x +2−5x−2)÷x−33x 2−6x ，其中x 满足x 2+3x ﹣1＝0． 【解析】解：(x +2−5x−2)÷x−33x 2−6x=((x+2)(x−2)−5x−2)÷x−33x(x−2)=x 2−9x−2×3x(x−2)x−3=(x+3)(x−3)x−2×3x(x−2)x−3 ＝3x 2+9x ，∵x 2+3x ﹣1＝0，∴x 2+3x ＝1，∴原式＝3x 2+9x ＝3（x 2+3x ）＝3×1＝3．18．（10分）为了贯彻“减负增效”精神，掌握九年级600名学生每天的自主学习情况，某校学生会随机抽查了九年级的部分学生，并调查他们每天自主学习的时间．根据调查结果，制作了两幅不完整的统计图（图1，图2），请根据统计图中的信息回答下列问题：（1）本次调查的学生人数是 40 人；（2）图2中α是 54 度，并将图1条形统计图补充完整；（3）请估算该校九年级学生自主学习时间不少于1.5小时有 330 人；（4）老师想从学习效果较好的4位同学（分别记为A 、B 、C 、D ，其中A 为小亮）随机选择两位进行学习经验交流，用列表法或树状图的方法求出选中小亮A 的概率．【解析】解：（1）∵自主学习的时间是1小时的有12人，占30%，∴12÷30%＝40，故答案为：40；…（2分）（2）640×360°＝54°，故答案为：54；40×35%＝14；补充图形如图：故答案为：54；（3）600×14+840=330；…（2分）故答案为：330；（4）画树状图得：∵共有12种等可能的结果，选中小亮A的有6种，∴P（A）=612=12．…（2分）19．（10分）如图，AB是⊙O的直径，已知BC为⊙O的切线，B为⊙O切点，OC与AD弦互相平行．求证：DC是⊙O的切线．【解析】证明：连接OD，∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB＝OD，∵BC是⊙O的切线，∴∠OBC＝90°，∵OC∥AD，∴∠A＝∠COB，∠ODA＝∠COD，∵OA＝OD，∴∠A＝∠ODA，∴∠COD＝∠COB，在△COD和△COB中，{OC=OC∠COD=∠BOC OD=OB，∴△COD≌△COB（SAS），∴∠ODC＝∠OBC＝90°，∴OD⊥CD，∴DC是⊙O的切线．20．（10分）如图，一次函数y＝kx+b（k≠0）的图象与反比例函数y=mx（m≠0）的图象交于二、四象限内的A、B两点，与x轴交于C点，点A的坐标为（﹣3，4），点B的坐标为（6，n）．（1）求该反比例函数和一次函数的解析式；（2）连接OB，求△AOB的面积；（3）在x轴上是否存在点P，使△APC是直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A （﹣3，4）代入y =m x ，得m ＝﹣3×4＝﹣12 ∴反比例函数的解析式为y =−12x ； 将B （6，n ）代入y =−12x ，得6n ＝﹣12，解得n ＝﹣2，∴B （6，﹣2），将A （﹣3，4）和B （6，﹣2）分别代入y ＝kx +b （k ≠0），得{−3k +b =46k +b =−2， 解得{k =−23b =2， ∴所求的一次函数的解析式为y =−23x +2；（2）当y ＝0时，−23x +2＝0，解得：x ＝3，∴C （3，0），∴S △AOC =12×3×4＝6，S △BOC =12×3×2＝3， ∴S △AOB ＝6+3＝9；（3）存在．过A 点作AP 1⊥x 轴于P 1，AP 2⊥AC 交x 轴于P 2，如图，∴∠AP 1C ＝90°，∵A 点坐标为（﹣3，4），∴P 1点的坐标为（﹣3，0）；∵∠P 2AC ＝90°，∴∠P 2AP 1+∠P 1AC ＝90°，而∠AP 2P 1+∠P 2AP 1＝90°，∴∠AP 2P 1＝∠P 1AC ，∴Rt △AP 2P 1∽Rt △CAP 1，∴AP 1CP 1=P 1P 2AP 1，即46=P 1P 24， ∴P 1P 2=83，∴OP 2＝3+83=173， ∴P 2点的坐标为（−173，0）， ∴满足条件的P 点坐标为（﹣3，0）、（−173，0）． 21．（11分）某文具店销售功能完全相同的A 、B 两种品牌的计算器，若购买2个A 品牌和3个B 品牌的计算器共需156元；购买3个A 品牌和2个B 品牌的计算器共需122元．（1）求这两种品牌计算器的单价；（2）学校开学前夕，该商店对这两种计算器开展了促销活动，具体办法如下：A 品牌计算器按原价的八折销售，B 品牌计算器超出5个的部分按原价的七折销售，设购买x 个A 品牌的计算器需要y 1元，购买x 个B 品牌的计算器需要y 2元，请分别求出y 1、y 2关于x 的函数关系式；（3）当需要购买50个计算器时，买哪种品牌的计算器更合算？【解析】解：（1）设A 、B 两种品牌的计算器的单价分别为a 元、b 元，根据题意得，{2a +3b =1563a +b =122， 解得：{a =30b =32， 答：A 种品牌计算器30元/个，B 种品牌计算器32元/个；（2）A 品牌：y 1＝30x •0.8＝24x ；B 品牌：①当0≤x ≤5时，y 2＝32x ，②当x ＞5时，y 2＝5×32+32×（x ﹣5）×0.7＝22.4x +48，综上所述：y 1＝24x ，y 2={32x ，(0≤x ≤5)22.4x +48，(x ＞5)； （3）当x ＝50时，y 1＝24×50＝1200元；y 2＝22.4×50+48＝1168元，所以，购买超过50个的计算器时，B 品牌的计算器更合算．22．（11分）如图，某大楼的顶部竖有一块广告牌CD ，小明与同学们在山坡的坡脚A 处测得广告牌底部D 的仰角为53°，沿坡面AB 向上走到B 处测得广告牌顶部C 的仰角为45°，已知山坡AB 的坡度1：√3，AB ＝10米，AE ＝21米，求广告牌CD 的高度．（测角器的高度忽略不计，参考数据：tan53°≈43，cos53°≈0.60）【解析】解：过B作BG⊥DE于G，BH⊥AE，Rt△ABH中，i＝tan∠BAH=3=√33，∴∠BAH＝30°，∴BH=12AB＝5米；∴AH＝5√3米，∴BG＝HE＝AH+AE＝（5√3+21）米，Rt△BGC中，∠CBG＝45°，∴CG＝BG＝（5√3+21）米．Rt△ADE中，∠DAE＝53°，AE＝21米，∴DE=43AE＝28米．∴CD＝CG+GE﹣DE＝26+5√3−28＝（5√3−2）m．答：宣传牌CD高为（5√3−2）米．23．（12分）如图，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，将对角线AC绕对角线交点O旋转，分别交边AD、BC于点E、F，点P是边DC上的一个动点，且保持DP＝AE，连接PE、PF，设AE＝x（0＜x＜3）．（1）填空：PC＝3﹣x，FC＝x；（用含x的代数式表示）（2）求△PEF面积的最小值；（3）在运动过程中，PE⊥PF是否成立？若成立，求出x的值；若不成立，请说明理由．【解析】解：（1）∵四边形ABCD是矩形∴AD∥BC，DC＝AB＝3，AO＝CO∴∠DAC＝∠ACB，且AO＝CO，∠AOE＝∠COF∴△AEO≌△CFO（ASA）∴AE＝CF∵AE＝x，且DP＝AE∴DP＝x，CF＝x，DE＝4﹣x，∴PC＝CD﹣DP＝3﹣x故答案为：3﹣x，x（2）∵S△EFP＝S梯形EDCF﹣S△DEP﹣S△CFP，∴S△EFP=(x+4−x)×32−12×x×(4−x)−12×x×（3﹣x）＝x2−72x+6＝（x−74）2+4716∴当x=74时，△PEF面积的最小值为4716（3）不成立理由如下：若PE⊥PF，则∠EPD+∠FPC＝90°又∵∠EPD+∠DEP＝90°∴∠DEP＝∠FPC，且CF＝DP＝AE，∠EDP＝∠PCF＝90°∴△DPE≌△CFP（AAS）∴DE＝CP∴3﹣x＝4﹣x则方程无解，∴不存在x的值使PE⊥PF，即PE⊥PF不成立．24．（13分）如图，在矩形OABC中，点O为原点，点A的坐标为（0，8），点C的坐标为（6，0）．抛物线y=−49x2+bx+c经过点A、C，与AB交于点D．（1）求抛物线的函数解析式；（2）点P为线段BC上一个动点（不与点C重合），点Q为线段AC上一个动点，AQ＝CP，连接PQ，设CP＝m，△CPQ的面积为S．①求S关于m的函数表达式；②当S 最大时，在抛物线y =−49x 2+bx +c 的对称轴l 上，若存在点F ，使△DFQ 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点F 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】解：（1）将A 、C 两点坐标代入抛物线，得{c =8−49×36+6b +c =0， 解得：{b =43c =8， ∴抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8；（2）①∵OA ＝8，OC ＝6，∴AC =√OA 2+OC 2=10，过点Q 作QE ⊥BC 与E 点，则sin ∠ACB =QE QC =AB AC =35，∴QE 10−m=35， ∴QE =35（10﹣m ），∴S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m ；②∵S =12•CP •QE =12m ×35（10﹣m ）=−310m 2+3m =−310（m ﹣5）2+152， ∴当m ＝5时，S 取最大值；在抛物线对称轴l 上存在点F ，使△FDQ 为直角三角形， ∵抛物线的解析式为y =−49x 2+43x +8的对称轴为x =32， D 的坐标为（3，8），Q （3，4），当∠FDQ ＝90°时，F 1（32，8），当∠FQD ＝90°时，则F 2（32，4），当∠DFQ ＝90°时，设F （32，n ），则FD 2+FQ 2＝DQ 2，即94+（8﹣n ）2+94+（n ﹣4）2＝16， 解得：n ＝6±√72， ∴F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72），满足条件的点F 共有四个，坐标分别为F 1（32，8），F 2（32，4），F 3（32，6+√72），F 4（32，6−√72）．。

广东省2020年中考全真模拟试卷数 学(全卷满分：120分 考试时间：90分钟)班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________一、单选题（每小题3分，共30分)1．- 14的绝对值是（ ）A ．-4B ．14C ．4D ．0.42．某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（） A ．62.2110⨯ B ．52.2110⨯ C ．322110⨯ D ．60.22110⨯3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）A ．B ．C ．D ．4．如图所示一个L 形的机器零件，这个零件从上面看到的图形是（ ）A ．B ．C ．D ．5．如果一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，那么这组数据的中位数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．96．化简24的结果是( ) A ．4- B ．4 C ．4± D ．27．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形8．若⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，且d 与R 是方程x ²-4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 9．不等式组次33015x x x ->⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（ ） A ． B ．C ．D ．10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （0，2）、C （4，2）、D （3，0），点P 是AD 边上的一个动点，若点A 关于BP 的对称点为A '，则A 'C 的最小值为（ ）A 5B ． 45C 51D ．1二、填空题（每小题4分，共28分)11．分解因式：3x 2-12=________． 12．若2m -+|n+3|=0，则m+n 的值为________ ．13．有4根细木棒，长度分别为2cm 、3cm 、4cm 、5cm ，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．14．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43︒，则∠2＝_______15．如图，在△ABC 中，AB =AD =DC ，∠BAD =28°，则∠C =______．16．若()11,A x y ，()22,B x y 都在函数2019y x=的图象上，且120x x <<，则1y __________2y ．(填“>”或“<”)17．如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆L 都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B L 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123,,,A C C C L n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////////n n AB A B A B A B y L 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x L 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的纵坐标是_____．三、解答题一（每小题6分，共18分)18．计算：()()20200112|1233π--+-．19．化简求值：22111m m m m --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中31m =-.20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°．（1）请你用尺规作图，作AD 平分∠BAC ，交BC 于点D （要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC 的度数．四、解答题二（每小题8分，共24分)21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？22．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．A 型智能手表B 型智能手表进价 1300元/只 1500元/只售价 今年的售价 2300元/只（1）请问今年A 型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批A 型智能手表和B 型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如上表，若B 型智能手表进货量不超过A 型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？23．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE（1）求证：四边形AOBE 是菱形（2）若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形ADOE 的面积五、解答题三（每小题10分，共20分)24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A 在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为y p的取值范围，若没有，请说明理由．广东中考（数学)全真模拟试卷（解析版)一、单选题（每小题3分，共30分)1．- 14的绝对值是（ ） A ．-4 B ．14 C ．4 D ．0.4【答案】B【解析】直接用绝对值的意义求解.【详解】−14的绝对值是14． 故选B ．【点睛】此题是绝对值题，掌握绝对值的意义是解本题的关键．2．某网店2019年母亲节这天的营业额为221000元，将数221000用科学记数法表示为（ ）A ．62.2110⨯B ．52.2110⨯C ．322110⨯D ．60.22110⨯【答案】B【解析】科学记数法的表示形式为a×10n 的形式，其中1≤|a|<10，n 为整数．确定n 的值时，要看把原数变成a 时，小数点移动了多少位，n 的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值>1时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数．【详解】221000的小数点向左移动5位得到2.21，所以221000用科学记数法表示为2.21×105，故选B．【点睛】本题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据中心对称图形的定义旋转后能够与原图形完全重合即是中心对称图形,以及轴对称图形的定义即可判断出.【详解】解:A此图形旋转后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,不是轴对称图形,故此选项错误;B,此图形旋转后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,也不是轴对称图形,故此选项不正确;C,此图形旋转后不能与原图形重合,此图形不是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项错误; D,此图形旋转后能与原图形重合,此图形是中心对称图形,是轴对称图形,故此选项正确.故选:D.【点睛】此题主要考查了中心对称图形与轴对称的定义,根据定义得出图形形状是解决问题的关键.4．如图所示一个L形的机器零件，这个零件从上面看到的图形是（）A ．B ．C ．D ．【答案】B【解析】根据俯视图的概念即可得出答案【详解】解：根据俯视图的定义可得出这个零件从上面看到的图形是：故选：B ．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，关键是培养学生的思考能力和对几何体三种视图的空间想象能力．5．如果一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，那么这组数据的中位数为（ ）A ．5B ．6C ．7D ．9 【答案】B【解析】直接利用平均数的求法进而得出x 的值，再利用中位数的定义求出答案．【详解】∵一组数据6，7，x ，9，5的平均数是2x ，∴679525x x ++++=⨯，解得：3x =，则从大到小排列为：3，5，6，7，9，故这组数据的中位数为：6．故选B ．【点睛】此题主要考查了中位数以及平均数，正确得出x 的值是解题关键．6．化简24的结果是( ) A ．4-B ．4C ．4±D ．2【答案】B【解析】根据算术平方根的定义进行求解即可. 【详解】24=4，故选B.【点睛】本题考查了算术平方根，熟练掌握算术平方根的定义是解题的关键.7．一个正多边形，它的每一个外角都等于40°，则该正多边形是（ ）A ．正六边形B ．正七边形C ．正八边形D ．正九边形 【答案】D【解析】根据多边形的外角和是360°， 正多边形的每一个外角都等于40°，直接用360÷40即得.【详解】解：360÷40=9.故答案为：D.【点睛】此题考查多边形外角和定理，解题关键在于掌握运算法则8．若⊙O 的半径为R ，点O 到直线l 的距离为d ，且d 与R 是方程x ²-4x+m=0的两根，且直线l 与⊙O 相切，则m 的值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】D【解析】先根据直线与圆的位置关系得出方程有两个相等的根，再根据△=0即可求出m的值．【详解】∵d、R是方程x2-4x+m=0的两个根，且直线L与⊙O相切，∴d=R，∴方程有两个相等的实根，∴△=16-4m=0，解得，m=4，故选D．【点睛】本题考查的是直线与圆的位置关系及一元二次方程根的判别式，熟知以上知识是解答此题的关键．9．不等式组次33015xx x->⎧⎨-≥-⎩的解集在数轴上表示正确的是（）A． B．C． D．【答案】A【解析】先分别解出两个不等式的解集，然后根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”的规律找出不等式组的解集，再利用数轴画出解集即可.【详解】解：33015xx x-⎧⎨-≥-⎩＞①②解①得x＞1，解②得x≥3，∴不等式组的解集x≥3.故答案为：A.【点睛】此题考查不等式组的解集，解题关键在于分别将不等式求出解，再用数轴表示出来10．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （0，2）、C （4，2）、D （3，0），点P 是AD 边上的一个动点，若点A 关于BP 的对称点为A '，则A 'C 的最小值为（ ）A ．5B ． 45-C ．51-D ．1【答案】B 【解析】由轴对称的性质可知BA ＝BA′，在△BA′C 中由三角形三边关系可知A′C≥BC −BA′，则可求得答案．【详解】解：连接BA′，如图：∵平行四边形ABCD 的坐标分别为A （﹣1，0）、B （0，2）、C （4，2）、D （3，0）， 2222125OA OB +=+BC ＝4，∵若点A 关于BP 的对称点为A'，∴BA′＝BA 5在△BA′C中，由三角形三边关系可知：A′C≥BC﹣BA′，A′C的最小值为4故选B．【点睛】本题主要考查平行四边形及轴对称的性质，利用三角形的三边关系得到A′C≥BC−BA′是解题的关键．二、填空题（每小题4分，共28分)11．分解因式：3x2-12=________．【答案】3(x+2)(x-2)【解析】根据因式分解的定义（把一个多项式化为几个整式的积的形式），首先提取公因式3，然后运用平方差公式分解即可.【详解】解：3x2-12=3(x2-4)=3(x+2)(x-2).【点睛】此题考查提公因式法与公式法的综合运用，解题关键在于掌握运算法则12，则m+n的值为________．【答案】-1【解析】根据算术平方根的非负性，绝对值的非负性，可得m-2=0，n+3=0，解出m、n的值即可．【详解】解：由题意可得，m-2=0，n+3=0，解得m=2，n=-3,∴m+n=-1.故答案为-1.【点睛】此题考查算术平方根的非负性，绝对值的非负性，掌握运算法则是解题关键13．有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是__________．【答案】3 4【解析】根据题意，使用列举法可得从有4根细木棒中任取3根的总共情况数目以及能搭成一个三角形的情况数目，根据概率的计算方法，计算可得答案．【详解】根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5，2、4、5，三种，得P=34.故其概率为：34．【点睛】本题考查概率的计算方法，使用列举法解题时，注意按一定顺序，做到不重不漏．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．14．如图，m∥n，AB⊥m，∠1＝43 ，则∠2＝_______【答案】133°【解析】试题解析：过B作直线BD∥n，则BD∥m∥n，∵AB⊥m，∠1=43˚，∴∠ABD=90°，∠DBC=∠1=43°∴∠2=∠ADB+∠1=90°+43°=133°．故填133°．15．如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=28°，则∠C=______．【答案】38°【解析】首先发现此图中有两个等腰三角形，根据等腰三角形的两个底角相等找到角之间的关系．结合三角形的内角和定理进行计算．【详解】∵AB=AD=DC，∠BAD=28°∴∠B=∠ADB=（180°-28°）÷2=76°．∴∠C=∠CAD=76°÷2=38°．故答案为38°．【点睛】此题主要考查等腰三角形的性质及三角形内角和定理；求得∠ADC=76°是正确解答本题的关键．16．若()11,A x y ，()22,B x y 都在函数2019y x =的图象上，且120x x <<，则1y __________2y ．(填“>”或“<”)【答案】<【解析】首先根据反比例函数的解析式判定其位于一、三象限，然后根据自变量的取值范围，即可比较函数值的大小.【详解】由0k ＞，得反比例函数位于一、三象限，∵120x x <<∴12y y ＜故答案为：<.【点睛】此题主要考查反比例函数的性质，熟练掌握，即可解题.17．如图，在平面直角坐标系中，111222333,,,n n n ABC A B C A B C A B C A B C ∆∆∆∆∆L 都是等腰直角三角形，点123,,,n B B B B B L 都在x 轴上，点1B 与原点重合，点123,,,A C C C L n C 都在直线14:33l y x =+上，点C 在y 轴上，1122//////////n n AB A B A B A B y L 轴， 1122n ////////C //n AC AC A C A x L 轴，若点A 的横坐标为﹣1，则点n C 的纵坐标是_____．【答案】1232n n -- 【解析】由题意(11)A -，，可得(01)C ，，设1(,)C m m ，则1433m m =+，解得2m =，求出1C 的坐标，再设2(,2)C n n =-，则14233n n -=+，解得5n =，故求出2C 的坐标，同理可求出3C 、4C 的坐标，根据规律 即可得到n C 的纵坐标.【详解】解：由题意(11)A -，，可得(01)C ，， 设1(,)C m m ，则1433m m =+，解得2m =， ∴1(2,2)C ，设2(,2)C n n =-，则14233n n -=+，解得5n =， ∴2(5,3)C ，设3(,5)C a a -，则14533a a -=+，解得192a =， ∴3199(,)22C ，同法可得46527(,)44C ，…，n C 的纵坐标为1232n n --， 故答案为1232n n --． 【点睛】此题主要考查一次函数图像的应用，解题的关键是根据题意求出1C 、2C 、3C ，再发现规律即可求解.三、解答题一（每小题6分，共18分)18．计算：()()202001|13π--+-． 【答案】1【解析】根据零指数幂、二次根式化简、绝对值、-1的幂等实数的运算法则分别进行计算求得结果即可.【详解】解：原式111=-+1=．【点睛】本题考查了零指数幂、二次根式化简、绝对值、-1的幂等实数的运算，注意零指数幂的底数不能为零，绝对值是非负数，-1的奇数次幂是-1，-1的偶数次幂是+1．19．化简求值：22111m m m m --⎛⎫-÷ ⎪⎝⎭，其中31m =-. 【答案】3 【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，将m 的值代入计算即可求出值．【详解】原式()()2111m m m m m m --=⨯+-()()111m m m m m -=⨯+-11m =+ 当31m =-时，13133113m ===+-+． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解答此题的关键是把分式化到最简，然后代值计算．20．如图，在△ABC 中，∠C ＝90°，∠B ＝40°．（1）请你用尺规作图，作AD 平分∠BAC ，交BC 于点D （要求：保留作图痕迹）；（2）∠ADC 的度数．【答案】（1）答案见解析；（2）65°．【解析】（1）分析题意，根据角平分线的作法作出∠BAC 的平分线AD 即可.(2)根据题意求出∠DAC的值，随之即可解答.【详解】（1）如图，AD为所作；（2）∵∠C＝90°，∠B＝40°，∴∠BAC＝90°﹣40°＝50°．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠BAC＝25°，∴∠ADC＝∠B+∠BAD＝40°+25°＝65°．【点睛】此题主要考查了角平分线的作法和直角三角形的性质，本题就属于尺规作图中的四种基本作图之一：作角平分线，旨在通过画图，培养学生的作图能力及动手能力，明确尺规作图的意义，体会数学作图语言和图形的和谐统一.四、解答题二（每小题8分，共24分)21．近几年购物的支付方式日益增多，某数学兴趣小组就此进行了抽样调查．调查结果显示，支付方式有：A微信、B支付宝、C现金、D其他，该小组对某超市一天内购买者的支付方式进行调查统计，得到如下两幅不完整的统计图．请你根据统计图提供的信息，解答下列问题：（1）本次一共调查了多少名购买者？（2）请补全条形统计图；在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为度．（3）若该超市这一周内有1600名购买者，请你估计使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名？【答案】（1）本次一共调查了200名购买者；（2）补全的条形统计图见解析，A种支付方式所对应的圆心角为108；（3）使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．【解析】分析：（1）根据B的数量和所占的百分比可以求得本次调查的购买者的人数；（2）根据统计图中的数据可以求得选择A和D的人数，从而可以将条形统计图补充完整，求得在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角的度数；（3）根据统计图中的数据可以计算出使用A和B两种支付方式的购买者共有多少名．详解：（1）56÷28%=200，即本次一共调查了200名购买者；（2）D方式支付的有：200×20%=40（人），A方式支付的有：200-56-44-40=60（人），补全的条形统计图如图所示，在扇形统计图中A种支付方式所对应的圆心角为：360°×60200=108°，（3）1600×60+56200=928（名），答：使用A和B两种支付方式的购买者共有928名．点睛：本题考查扇形统计图、条形统计图、用样本估计总体，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．22．某科技公司研发出一款多型号的智能手表，一家代理商出售该公司的A型智能手表，去年销售总额为80000元，今年A型智能手表的售价每只比去年降了600元，若售出的数量与去年相同，销售总额将比去年减少25%．（1）请问今年A型智能手表每只售价多少元？（2）今年这家代理商准备新进一批A型智能手表和B型智能手表共100只，它们的进货价与销售价格如上表，若B型智能手表进货量不超过A型智能手表数量的3倍，所进智能手表可全部售完，请你设计出进货方案，使这批智能手表获利最多，并求出最大利润是多少元？【答案】（1）今年A型智能手表每只售价1800元；（2）进货方案为新进A型手表25只，新进B型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是72500元．【解析】试题分析: 1）设今年A型智能手表每只售价x元，则去年售价每只为（x+600）元，由卖出的数量相同建立方程求出其解即可；（2）设今年新进A型a只，则B型（100﹣a）只，获利y元，由条件表示出W 与a之间的关系式，由a的取值范围就可以求出W的最大值．试题解析:（1）今年A型智能手表每只售价x元，去年售价每只为（x+600）元，根据题意得，72000600x + =72000(125%)x⨯-， 解得：x=1800，经检验，x=1800是原方程的根，答：今年A 型智能手表每只售价1800元；（2）设新进A 型手表a 只，全部售完利润是W 元，则新进B 型手表（100﹣a ）只，根据题意得，W=（1800﹣1300）a+92300﹣1500）（100﹣a ）=﹣300a+80000， ∵100﹣a≤3a，∴a≥5，∵﹣300＜0，W 随a 的增大而减小，∴当a=25时，W 增大=﹣300×25+80000=72500元，此时，进货方案为新进A 型手表25只，新进B 型手表75只，答：进货方案为新进A 型手表25只，新进B 型手表75只，这批智能手表获利最多，并求出最大利润是72500元．23．如图，矩形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，以AD 、OD 为邻边作平行四边形ADOE ，连接BE（1）求证：四边形AOBE 是菱形（2）若180EAO DCO ∠+∠=︒，2DC =，求四边形ADOE 的面积【答案】（1）见解析；（2）S 四边形ADOE =3【解析】(1) 根据矩形的性质有OA=OB=OC=OD，根据四边形ADOE是平行四边形，得到OD∥AE，AE=OD. 等量代换得到AE=OB.即可证明四边形AOBE为平行四边形.根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明.(2)根据菱形的性质有∠EAB=∠BAO.根据矩形的性质有AB∥CD，根据平行线的性质有∠BAC=∠ACD，求出∠DCA=60°，求出AD=根据面积公式SΔADC，即可求解.【详解】（1）证明：∵矩形ABCD，∴OA=OB=OC=OD.∵平行四边形ADOE，∴OD∥AE，AE=OD.∴AE=OB.∴四边形AOBE为平行四边形.∵OA=OB，∴四边形AOBE为菱形.（2）解：∵菱形AOBE，∴∠EAB=∠BAO.∵矩形ABCD，∴AB∥CD.∴∠BAC=∠ACD，∠ADC=90°.∴∠EAB=∠BAO=∠DCA.∵∠EAO+∠DCO=180°，∴∠DCA=60°.∵DC=2，∴AD=23.∴SΔADC=1223232⨯⨯=.∴S四边形ADOE =23.【点睛】考查平行四边形的判定与性质，矩形的性质，菱形的判定与性质，解直角三角形，综合性比较强.五、解答题三（每小题10分，共20分)24．如图，四边形ABCD内接于⊙O，对角线AC为⊙O的直径，过点C作AC的垂线交AD的延长线于点E，点F为CE的中点，连接DB，DC，DF．（1）求∠CDE的度数；（2）求证：DF是⊙O的切线；（3）若AC=25DE，求tan∠ABD的值．【答案】（1）90°；（2）证明见解析；（3）2．【解析】（1）根据圆周角定理即可得∠CDE的度数；（2）连接DO，根据直角三角形的性质和等腰三角形的性质易证∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，即可判定DF是⊙O的切线；（3）根据已知条件易证△CDE∽△A DC，利用相似三角形的性质结合勾股定理表示出AD，DC 的长，再利用圆周角定理得出tan∠ABD的值即可．【详解】解：（1）解：∵对角线AC为⊙O的直径，∴∠ADC=90°，∴∠EDC=90°；（2）证明：连接DO，∵∠EDC=90°，F是EC的中点，∴DF=FC，∴∠FDC=∠FCD，∵OD=OC，∴∠OCD=∠ODC，∵∠OCF=90°，∴∠ODF=∠ODC+∠FDC=∠OCD+∠DCF=90°，∴DF是⊙O的切线；（3）解：如图所示：可得∠ABD=∠ACD，∵∠E+∠DCE=90°，∠DCA+∠DCE=90°，∴∠DCA=∠E，又∵∠ADC=∠CDE=90°，∴△CDE∽△ADC，∴DC DE AD DC，∴DC2=AD•DE，∴设DE=x，则，则AC2﹣AD2=AD•DE，期（25x）2﹣AD2=AD•x，整理得：AD2+AD•x﹣20x2=0，解得：AD=4x或﹣4.5x（负数舍去），则DC=22(25)(4)2x x x-=，故tan∠ABD=tan∠ACD=422AD xDC x==．25．如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、C两点，点A 在点C的右边，与y轴交于点B，点B的坐标为（0，﹣3），且OB=OC，点D为该二次函数图象的顶点．（1）求这个二次函数的解析式及顶点D的坐标；（2）如图，若点P为该二次函数的对称轴上的一点，连接PC、PO，使得∠CPO=90°，请求出所有符合题意的点P的坐标；（3）在对称轴上是否存在一点P，使得∠OPC为钝角，若存在，请直接写出点P的纵坐标为y p的取值范围，若没有，请说明理由．【答案】（1）二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3，D（﹣1，﹣4）；（2）P（﹣12）或（﹣12）；（32＜yP2且y P≠0时，∠OPC是钝角．【解析】（1）先求出点C坐标，最后用待定系数法即可得出结论；（2）先利用同角的余角相等，判断出∠COP=∠CPQ，进而求出PQ，即可得出结论；（3）借助（2）的结论和图形，即可得出结论．【详解】解：（1）∵B（0，﹣3），∴OB=3．∵OB=OC，∴OC=3，∴C（0，﹣3），∴9303b cc-+=⎧⎨=-⎩，∴23bc=⎧⎨=-⎩，∴二次函数的解析式为y=x2+2x﹣3=﹣（x﹣1）2﹣4，∴D（﹣1，﹣4）；（2）如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，设P（﹣1，p）．∵∠COP+∠OPQ=90°，∠CPQ+∠OPQ=90°，∴∠COP=∠CPQ，∴tan∠COP=tan∠CPQ．在Rt△QOP中，tan∠COP=PQOQ．在Rt△CPQ中，tan∠CPQ=CQPQ，∴PQ CQOQ PQ=，∴PQ2=CQ×OQ=2（此处可以用射影定理，也可以判断出△CPQ∽△POQ）．∵PQ＞0，∴PQ2，∴p2p=2P（﹣12）或（﹣12）；（3）存在这样的点P，理由：如图，由（2）知，y P=2±OPC=90°．∵y P=0时，∠OPC2y P2且y P≠0时，∠OPC是钝角．【点睛】本题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，锐角三角函数，同角的余角相等，求出PQ是解答本题的关键。

2020年中考数学全真模拟试卷（广东)（四）（考试时间：90分钟；总分：120分)班级:___________姓名：___________座号：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分)1．12-的值是()A．12-B．12C．2-D．2【答案】B【解析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即可求解【详解】根据负数的绝对值是它的相反数，得11 22 -=．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义和性质是解题的关键．2．某区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×105【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：用科学记数法表示15000是：1.5×104．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握，即可解题.4．如图，几何体的左视图是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：如图所示，其左视图为：．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．5．某班体育课上老师记录了7位女生1分钟仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：28，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（）A．35，38B．38，38C．38，35D．35，35【答案】B【解析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均。

题号中考数学零模试卷一二三四总分得分一、选择题（本大题共10小题，共30.0分）1.-2019的相反数是（）A.2019B.-2019C.2.下列运算正确的是（）D.-A.a2+a3=a5 C.（-a3）2=-a6B.（a2b3）2=a4b5 D.a6÷a2=a43.下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A. B. C. D.4.如图是由5个大小相同的正方体组成的几何体，它的俯视图是（）A. B. C. D.5.要得到抛物线y=2（x+4）2-1，可以将抛物线y=2x2（）A.向左平移4个单位，再向上平移1个单位B.向左平移4个单位，再向下平移1个单位C.向右平移4个单位，再向上平移1个单位D.向右平移4个单位，再向下平移1个单位6.如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东37°方向，距离灯塔50海里的A处，它沿正北方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的正东方向上的B处，这时B处与灯塔P的距离可以表示为（）A.50海里B.50sin37°海里C.50cos37°海里D.50tan37°海里7.如图，AB是⊙O的直径，AC是⊙O的切线，OC交⊙O于点D，若∠ABD=24°，则∠C的度数是（）A.48°B.42°C.34°D.24°∠8.关于反比例函数 y =- ，下列说法中正确的是（ ）A. 它的图象位于一、三象限C. 当 x ＞0 时，y 随 x 的增大而增大 B. 它的图象过点（-1，-3）D. 当 x ＜0 时，y 随 x 的增大而减小9.如图，AB ⊥BD ，CD ⊥BD ，垂足分别为 B 、D ，AC 和 BD 相交于点 E ，EF ⊥BD 垂足为 F ．则下列结论错误 的是（ ）A.B.C.D.10. 二次函数 y =3（x -1）2+2，下列说法正确的是（ ）A. 图象的开口向下B. 图象的顶点坐标是（1，2）C. 当 x ＞1 时，y 随 x 的增大而减小D. 图象与 y 轴的交点坐标为（0，2） 二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分）11. 将数 201900000 用科学记数法表示为______．12. 函数 y =的自变量 x 的取值范围是______．13. 把多项式 a 2b -2ab +b 分解因式的结果是______．14. 计算-6 的结果是______．15. 不等式组的解集是______．16. 已知 x =3 是方程 -=2 的解，那么 k 的值为______17. 一个扇形的圆心角为 120°，弧长为 2π 米，则此扇形的半径是______米．18. 随机掷一枚质地均匀的正方形骰子，骰子的六个面上分别刻有1 到 6 的点数，则这个骰子向上的一面点数是质数的概率是______． 19. △在 ABC 中，AB =AC ，点 D 在边 BC 所在的直线上，过点 D 作 DF ∥AC 交直线 AB于点 F ，DE ∥AB 交直线 AC 于点 E ．若 AC =7，DE =5，则 DF =______． 20. 如图，在四边形 ABCD 中，∠ABC =45°， ADC =90°，AD =CD ，AB =5 ，BC =7，则 BD 的长为______．三、计算题（本大题共 1 小题，共 7.0 分）21. 先化简，再求代数式÷（x -）的值，其中 x =2sin60°+tan45°．四、解答题（本大题共5小题，共43.0分）22.如图，方格纸中每个小正方形的边长均为1，线段AB的两个端点均在小正方形的顶点上．（1）在图中画出以线段AB为一边，面积为20的矩形ABCD，且点C和点D均在小正方形的顶点上；（2）在图中画出以线段AB为一腰，底边长为4的等腰三角形ABE，点E在小正方形的顶点上，连接DE，请直接写出线段DE的长．23.某中学随机抽取了九年级部分学生期末数学调研成绩作为样本进行分析，绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题：（1）本次调研一共抽取了多少名学生？（2）求样本中成绩类别为“中”的学生人数，并将条形统计图补充完整；（3）该校九年级共有1500名学生参加了这次考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩达到优秀．24.已知，在△Rt ABC中，D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF（1）如图1，若AC=BC，求证：四边形DECF为正方形；（2）如图2，过点C作CG∥AB交DE的延长线于点G，连接EF，AG，在不添加任何辅助线的情况下，写出图中所有与△ADG面积相等的平行四边形．25.某书店在图书批发中心选购A、B两种科普书，A种科普书每本进价比B种科普书每本进价多25元，若用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍．（1）求A、B两种科普书每本进价各是多少元；（2）该书店计划A种科普书每本售价为130元，B种科普书每本售价为95元，购进A种科普书的数量比购进B种科普书的数量的还少4本，若A、B两种科普书全部售出，使总获利超过1240元，则至少购进B种科普书多少本？26.已知，P为⊙O的直径AB的延长线上一点，直线PC切⊙O于点C，弦BD与PC平行，连接AC、AD．（1）如图1，求证：∠DAC=∠BAC；（2）如图2，连接BC，把射线CP沿直线BC折叠，设射线CP的对应射线交AB于点F，交⊙O于点E，求证：BD=CE；（3）如图3，在（2）的条件下，连接DE分别交OB、OC于M、N，过点E作EH⊥CB ，交CB的延长线于点H，连接PH，若EH=4，MN=1，求线段PH的长．2 答案和解析1.【答案】A【解析】解：因为 a 的相反数是-a ， 所以-2019 的相反数是 2019． 故选：A ．根据相反数的意义，直接可得结论．本题考查了相反数的意义．理解 a 的相反数是-a ，是解决本题的关键． 2.【答案】D【解析】解：A 、a 2+a 3，无法计算，故此选项错误； B 、（a 2b 3）2=a 4b 6，故此选项错误； C 、（-a 3）2=a 6，故此选项错误； D 、a 6÷a 2=a 4，正确． 故选：D ．直接利用积的乘方运算法则以及合并同类项法则分别化简得出答案．此题主要考查了积的乘方运算以及合并同类项，正确掌握相关运算法则是解题关键． 3.【答案】D【解析】解：A 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； B 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； C 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项错误； D 、是轴对称图形，也是中心对称图形，故此选项正确．故选：D ．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形 两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转 180 度后两部分重合． 4.【答案】C【解析】解：此几何体的俯视图有 3 列，从左往右小正方形的个数分别是 1，1，2， 故选：C ．找到从上面看所得到的图形即可．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握所看的位置． 5.【答案】B【解析】解：∵y =2（x -4）2-1 的顶点坐标为（-4，-1），y =2x 2 的顶点坐标为（0，0）， ∴将抛物线 y =2x 2 向左平移 4 个单位，再向下平移1 个单位，可得到抛物线y =2（x +4） -1 ．故选：B ．找到两个抛物线的顶点，根据抛物线的顶点即可判断是如何平移得到．本题考查了二次函数图象与几何变换，解答时注意抓住点的平移规律和求出关键点顶点 坐标．6.【答案】B【解析】解：∵一艘海轮位于灯塔 P 的南偏东 37°方向， ∴∠BAP =37°，∵AP=50海里，∴BP=AP•sin37°=50sin37°海里；故选：B．根据已知条件得出∠BAP=37°，再根据AP=40海里和正弦定理即可求出BP的长．本题考查解直角三角形，用到的知识点是方位角、直角三角形、锐角三角函数的有关知识，结合航海中的实际问题，将解直角三角形的相关知识有机结合，体现了数学应用于实际生活的思想．7.【答案】B【解析】解：∵∠ABD=24°，∴∠AOC=48°，∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∴∠AOC+∠C=90°，∴∠C=90°-48°=42°，故选：B．根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=42°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．本题考查了切线的性质，圆周角定理，三角形内角和定理，解此题的关键是求出∠AOC 的度数，题目比较好，难度适中．8.【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=-，∴图象位于二、四象限，当x=-1时，y=3，在同一个象限，y随x的增大而增大，∴选项A、B、D错误，故选：C．反比例函数y=（k≠0）的图象k＞0时位于第一、三象限，在每个象限内，y随x的增大而减小；k＜0时位于第二、四象限，在每个象限内，y随x的增大而增大；根据这个性质选择则可．本题考查了反比例函数图象的性质：①、当k＞0时，图象分别位于第一、三象限；当k＜0时，图象分别位于第二、四象限．②、当k＞0时，在同一个象限内，y随x的增大而减小；当k＜0时，在同一个象限，y随x的增大而增大．注意反比例函数的图象应分在同一象限和不在同一象限两种情况分析．9.【答案】A【解析】解：∵AB⊥BD，CD⊥BD，EF⊥BD，∴AB∥CD∥EF，∴，故选项B正确，∵EF∥AB，∴=，=，∴=，故选项C，D正确，故选：A．利用平行线分线段成比例定理等知识一一判断即可．本题考查平行线的性质，平行线分线段成比例定理等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．10.【答案】B【解析】解：A、因为a=3＞0，所以开口向上，错误；B、顶点坐标是（1，2），正确；C、当x＞1时，y随x增大而增大，错误；D、图象与y轴的交点坐标为（0，5），错误；故选：B．由抛物线解析式可求得其开口方向、顶点坐标、最值及增减性，则可判断四个选项，可求得答案．本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的顶点式是解题的关键，即在y=a（x-h）2+k中，对称轴为x=h，顶点坐标为（h，k）．11.【答案】2.019×108【解析】解：201900000=2.019×108．故答案为：2.019×108．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．12.【答案】x≠-5【解析】解：根据题意得x+5≠0，解得x≠-5．故答案为：x≠-5．根据分母不等于0列式计算即可得解．本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0．13.【答案】b（a-1）2【解析】解：a2b-2ab+b=b（a2-2a+1）=b（a-1）2．故答案为：b（a-1）2．直接提取公因式b，再利用完全平方公式分解因式即可．此题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式是解题关键．14.【答案】0【解析】解：原式=2-6×=2-2=0故答案为0．本题涉及二次根式的化简．化简=×=2，=，再进一步计算即可得出结果．本题主要考查二次根式的化简，利用二次根式的性质进行化简是解决本题的关键．l15.【答案】-5＜x≤-1【解析】解：由①得 x ≤-1， 由②得 x ＞-5∴不等式组的解集为-5＜x ≤-1， 故答案为-5＜x ≤-1．分别解出两不等式的解集，再求其公共解．本题考查了解一元一次方程组，求不等式组的解集应遵循以下原则：同大取较大，同小 取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 16.【答案】2【解析】解：当 x =3 时，有 - =2去分母得：9k -4k +2=12 5k =10解得：k =2 故答案为 2．x =3 是方程 -=2 的解，可将 x =3 代入方程，即可求出 k 的值．本题考查的是分式方程的解，方程的解必定要符合方程，所以本题的代入运算是解题的 重点．17.【答案】3【解析】解：∵l =，∴r == =3．故答案为：3．根据弧长公式 l =，可得 r = ，再将数据代入计算即可．本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式： =（弧长为 l ，圆心角度数为 n ，圆的半径为 r ）．18.【答案】【解析】解：数字 1 到 6 中是质数有 2、3 和 5 三个数字，则这个骰子向上的一面点数是质数的概率 = ，故答案为 ．首先从 1 到 6 中找出质数的个数，再直接利用概率公式求出的答案即可．此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 19.【答案】2 或 12【解析】解：如图1中，当点D在线段BC上时，∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AEDF是平行四边形，∴DE=AF=5，∵AB=AC=7，∴BF=7-5=2，∠B=∠C，∵∠FDB=∠C，∴∠B=∠FDB，∴DF=BF=2．如图2中，当点D在BC的延长线上时，同法可证：DE=AF=5，FB=FD，∵AB=AC=7，∴DF=FB=5+7=12，综上所述，DF的值为2或12．故答案为2或12．分两种情形画出图形即可解决问题．本题考查平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．20.【答案】【解析】解：过A作AN⊥BC，过D作DM⊥AB交AB延长线于点M，连结AC，∵∠ABC=45°，∴BN=AN，∵AB=5，∴BN=AN=5，∠BAN=45°，∵BC=7，∴NC=2，在△Rt ACN中，AC=，∵，∠ADC=90°，AD=CD，∴∠DAC=45°，∴∠NAC+∠DAM=90°，∠NAC+∠ACN=90°，∴∠MAD=∠ACN，∴△Rt ADM∽△Rt CAN，∴，∵△Rt ADM中，AC=，∴AD=，∴，∴DM=，AM=，∴BM=6，在△Rt BDM中，BD=．过A作AN⊥BC，过D作DM⊥AB交AB延长线于点M，连结AC，可得△ABN△，ACD是等腰直角三角形，求出AN，AC；再由△Rt ADM∽△Rt CAN，求得AM，MD，最后在直角三角形ABD中求边BD；本题考查直角三角形，等腰直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理；能够构造直角三角形，将边转换到直角三角形中求解是解题的关键．21.【答案】解：原式=÷=•=，当x=2×+1=+1时，原式=．【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．此题考查了分式的化简求值，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握运算法则是解本题的关键．22.【答案】解：（1）如图所示，矩形ABCD即为所求；（2）如图△ABE即为所求，DE=2．【解析】（1）利用数形结合的思想，以及运用勾股定理解决问题即可；（2）利用数形结合的思想，以及运用勾股定理解决问题即可．本题考查作图-应用与设计、等腰三角形的性质、勾股定理、矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用思想结合的思想解决问题，属于中考常考题型．23.【答案】解：（1）22÷44%=50（名），答：在这次调查中，抽取了50名学生；（2）成绩类别为“中”的人数等于50×20%=10（人），如图：（3）1500×（1-20%-44%-16%）=300（名），答：估计该校九年级共有300名学生的数学成绩可以达到优秀．【解析】（1）根据良的人数除以占的百分比即可得到总人数；（2）求出“中”的人数是50-10-22-8=10，再画出即可；（3）先列出算式，再求出即可．∴△SADE =△SDEF=△SEFC=△SDBF=S▱ADFE=S▱DEFB=S▱DFCF∴△SADG =S▱ADFE=S▱DEFB=S▱DFCF=S▱EFCG ，====数据，根据数量的多少画成长短不同的矩形直条，然后按顺序把这些直条排列起来；从条形图可以很容易看出数据的大小，便于比较．24.【答案】证明：（1）∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC，DF∥AC，DE=BC，DF=AC，AC=BC∴四边形DECF是平行四边形，DE=DF∴四边形DECF是菱形，且∠ACB=90°∴四边形DECF为正方形；（2）∵D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，∴DE∥BC，DF∥AC，EF∥AB，DE=BC，DF=AC，EF=AB，AC=BC，AD=BD，AE=CE，BF=CF，∴四边形DEFB，DECF，ADFE是平行四边形，，∵DE∥BC，CG∥AB∥EF∴四边形EGCF是平行四边形∴EG=FC=DE，∴△SA DG=2△SADE，【解析】（1）由正方形的判定可证四边形DECF为正方形；（2）由平行四边形的判定可得四边形DEFB，DECF，ADFE，EGCF是平行四边形，由△S ADE△S DEF△S EFC△S DBF S▱ADFE=S▱DEFB=S▱DFCF=S▱EGCF，即可求解．本题考查了正方形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，三角形中位线定理，熟练运用平行四边形的判定是本题的关键．25.【答案】解：（1）设B种科普书每本的进价为x元，则A种科普书每本的进价为（x+25）元，根据题意得：=2×，解得：x=75，经检验，x=75是所列分式方程的解，∴x+25=100．答：A种科普书每本的进价为100元，B种科普书每本的进价为75元．（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书（m-4）本，根据题意得：（130-100）（m-4）+（95-75）m＞1240，解得：m＞45，∵m为正整数，且m-4为正整数，∴m为3的倍数，∴m的最小值为48．答：至少购进B种科普书48本．【解析】（1）设B种科普书每本的进价为x元，则A种科普书每本的进价为（x+25）元，根据数量=总价÷单价结合用2000元购进A种科普书的数量是用750元购进B种科普书数量的2倍，即可得出关于x的分式方程，解之经检验即可得出结论；（2）设购进B种科普书m本，则购进A种科普书（m-4）本，根据总利润=每本利润×购进数量结合总获利超过1240元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之结合m，m-4均为正整数，即可得出m的最小值，此题得解．本题考查了分式方程的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出分式方程；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．26.【答案】（1）证明：如图1中，连接OC．∵直线PC是切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∵BD∥PC，∴OC⊥BD，∴=，∴∠DAC=∠BAC．（2）证明：如图2中，连接OC．∵直线PC是切⊙O于点C，∴OC⊥PC，∴∠OCP=90°，∴∠OCB+∠PCB=90°，∵OC=OB，∴∠OCB=∠OBC，∵∠PCB=∠ECP，∴∠ECB+∠OBC=90°，∴∠CFB=90°，∵=，∴=，∴BD=EC．（3）解：如图3中，连接CD，BN，BE，作BG⊥ED于G，PQ⊥HC于Q．∵==，∴∠ECH=∠DEC，CD=BC=BE，∴CH∥DE，∵OC⊥DB，设OC交BD于K，∴DK=KB，∴ND=NB，∴∠DNC=∠CNB=∠BCN，∴BC=BN，∴DN=BC=BN=CD，∴四边形DCNB是菱形，设DN=CD=BN=BC=x，则EB=EM=x，EN=x+1，∵BN=BE，GB⊥NE，∴NG=，∵∠BGE=∠GEH=∠EHB=90°，∴四边形EHBG是矩形，∴BG=EH=4，GE=BH=NG，在△Rt BNG中，x2=（）2+42，解得x=5或-（舍弃），∴EG=BH=3，BC=5，易证∠PCQ=∠BPQ=∠MBG，∵tan∠MBG==，∴==，设BQ=a，则PQ=2a，∴=，∴BQ=，PQ=，QH=3-=，∴PH===．【解析】（1）证明OC⊥BD，利用垂径定理即可解决问题．（2）欲证明BD=EC，只要证明=即可．（3）如图3中，连接CD，BN，BE，作BG⊥ED于G，PQ⊥HC于Q．首先证明四边形DCNB是菱形，设菱形的边长为x，想办法构建方程求出x即可解决问题．本题属于圆综合题，考查了垂径定理，圆周角定理，勾股定理，菱形的判定和性质，矩形的判定和性质，锐角三角函数等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考压轴题．∠ 题号 中考数学一模试卷一 二 三 总分得分一、选择题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 1.下列实数中，无理数是（ ）A. -B. πC.2. 下列计算正确的是（ ）D. |-2|A. 2a+3a=6aB. a 2+a 3=a 5C. a 8÷a 2=a 6D. （a 3）4=a 73.下列图形中，是中心对称图形但不是轴对称图形的是（）A.B. C. D.4.若反比例函数 y = 的图象经过点（-2，-5），则该函数图象位于（ ）A. 第一、二象限B. 第二、四象限C. 第一、三象限D. 第三、四象限5.下面的几何体中，主视图为三角形的是（）A.B.C.D.6.如图，AB 是⊙O 的直径，AC 是⊙O 的切线，连接 OC 交 ⊙O 于点 D ，连接 BD ， C =40°．则∠ABD 的度数是（） A. 30° B. 25° C. 20° D. 15°7.如图，在△ABC 中，点 D 、E 分 AB 、AC 边上，DE ∥BC ，若 AD ：AB =3：4，AE =6，则 AC 等于（ ）A. 3B. 4C. 6D. 88.如图，△OAB 绕点 O 逆时针旋转 80°到△OCD 的位置 ，已知∠AOB =45°，则∠AOD 等于（ ）∠ ， ，A. 55°B. 45°C. 40°D. 35°9.某农场 2016 年蔬菜产量为 50 吨，2018 年蔬菜产量为 60.5 吨，该农场蔬菜产量的 年平均增长率相同．设该农场蔬菜产量的年平均增长率为 x ，则根据题意可列方程 为（ ）A. 60.5（1-x ）2=50 C. 50（1+x ）2=60.5B. 50（1-x ）2=60.5 D. 60.5（1+x ）2=5010. 如图，已知点 D 、E 分别在△ABC 的边 AB 、AC 上，DE ∥BC ，点 F 在 CD 延长线上，AF ∥BC ，则下列结论错误的是（ ）A.=B.=C. =D. =二、填空题（本大题共 10 小题，共 30.0 分） 11. 将 2 500 000 用科学记数法表示为______．12. 函数13. 计算：14. 不等式组中，自变量 x 的取值范围是______．=______．的解集为______．15. 因式分解：x 2-4y 2=______．16. 已知扇形半径是 9cm ，弧长为 4πcm ，则扇形的圆心角为______度．17. 布袋中装有 2 个白球，3 个黑球，它们除颜色外完全相同，从袋中任意摸出两个球，摸出的球都是白球的概率是______．18. 如图，正方形 ABCD 的四个顶点分别在⊙O 上，点 P 在 上不同于点 C 的任意一点，则∠DPC 的度数是______度．19. 矩形 ABCD 中，AC 的中垂线交直线 BC 于点 E ，交直线AB 于点 F ，若 AB =4，BE =3，则 BF 的长为______．20. 如图，四边形ABCD 中，CD =AD ，CDA =∠ABD =90° AB =2 BC =2 ，则 BD =______．三、解答题（本大题共 7 小题，共 60.0 分）21.先化简，再求代数式（1-）÷的值，其中x=4sin45°-2cos60°．22.如图，在8×5的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1△，ABC的三个顶点均在小正方形的顶点上．（1）在图1△中画ABD（点D在小正方形的顶点上），使△ABD的周长等于△ABC 的周长，且以A、B、C、D为顶点的四边形是轴对称图形．（2）在图2△中画ABE（点E在小正方形的顶点上），使△ABE的周长等于△ABC 的周长，且以A、B、C、E为顶点的四边形是中心对称图形，并直接写出该四边形的面积．23.哈69中学为了组织一次球类对抗赛，在本校随机抽取了若干名学生，对他们每人最喜欢的一项球类运动进行了统计，将调查结果整理后绘制成如图所示的不完整的统计图．请你根据以上信息回答下列问题：（1）求本次被调查的学生人数；（2）通过计算补全条形统计图；（3）若全校有4500名学生，请你估计该校最喜欢篮球运动的学生人数．24.如图1，已知△ABC中，∠ACB=90°，AC=CB，点D在BC边上，过点C作AD的垂线与过B点垂直BC的直线交于点E．（1）求证：CD=BE；（2）如图2，若点D为线段BC的中点，连接DE交AB于F，请直接写出图中所有的等腰直角三角形．25.哈市69中学图书馆近日购进甲、乙两种图书，每本甲图书的进价比每本乙图书的进价高20元，花780元购进甲图书的数量与花540元购进乙图书的数量相同．（1）求甲、乙两种图书每本的进价分别是多少元；（2）该中学购进甲、乙两种图书共70本，总购书费用不超过3950元，则最多购进甲种图书多少本？26.如图，已知四边形ABCD为⊙O的内接四边形，对角线AC、BD交于E，∠ACB=∠ACD．（1）求证：AB=AD；（2）作∠ABD的角分线BF交⊙O于点F，连接DF，若DE=DF，连接FE、OF，OF与AC交于Q，求证：∠ADF=2∠OFE；（3）在（2）的条件下，连接BC，延长FE交BC于点P，若BC⊥FP，BP=2，求AD的长．27.如图，抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，OB=2OC=4．（1）求抛物线的解析式；（2）点P为第一象限抛物线上一点，连接PA、PC，设点P的横坐标为t△，PAC 的面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，点Q为第四象限抛物线上一点，连接QC，过点P作x轴的垂线交CQ于点D，射线BD交第三象限抛物线于点E，连接QE，若S=，∠QEB=2∠ABE，求点Q的坐标．答案和解析1.【答案】B【解析】解：A、-是有理数，故本选项错误；B、是无理数，故本选项正确；C、=3，是有理数，故本选项错误；D、|-2|=2，是有理数，故本选项错误；故选：B．根据无理数的三种形式：①开方开不尽的数，②无限不循环小数，③含有π的数，结合选项即可得出答案．此题考查了无理数的定义，熟练掌握无理数的三种形式是解答本题的关键．2.【答案】C【解析】解：A、合并同类项系数相加字母部分不变，故A错误；B、不是同底数幂的乘法指数不能相加，故B错误；C、同底数幂的除法底数不变指数相减，故C正确；D、幂的乘方底数不变指数相乘，故D错误；故选：C．根据合并同类项，可判断A，根据同底数幂的乘法，可判断B，根据同底数幂的除法，可判断C，根据幂的乘方，可判断D．本题考查了同底数幂的除法，熟记法则并根据法则计算是解题关键．3.【答案】B【解析】解：A、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；B、不是轴对称图形，是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，也是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选：B．根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．4.【答案】C【解析】解：∵反比例函数y=的图象经过点（-2，-5），∴k=xy=（-2）×（-5）=10＞0，∴该函数图象经过第一、三象限，故选：C．利用待定系数法求得k的值；最后根据k的符号判断该函数所在的象限．本题主要考查反比例函数图象上点的坐标特征．解答该题需要熟记反比例函数图象的性质．5.【答案】C【解析】解：A、主视图是长方形，故A选项错误；B、主视图是长方形，故B选项错误；C、主视图是三角形，故C选项正确；D、主视图是正方形，中间还有一条线，故D选项错误；故选：C．主视图是从几何体的正面看所得到的图形，根据主视图所看的方向，写出每个图形的主视图及可选出答案．此题主要考查了简单几何体的三视图，关键是掌握主视图所看的位置．6.【答案】B【解析】解：∵AC是⊙O的切线，∴∠OAC=90°，∵∠C=40°，∴∠AOC=50°，∵OB=OD，∴∠ABD=∠BDO，∵∠ABD+∠BDO=∠AOC，∴∠ABD=25°，故选：B．根据切线的性质求出∠OAC，结合∠C=40°求出∠AOC，根据等腰三角形性质求出∠B=∠BDO，根据三角形外角性质求出即可．本题考查了切线的性质，三角形外角性质，三角形内角和定理，等腰三角形性质的应用，解此题的关键是求出∠AOC的度数，题目比较好，难度适中．7.【答案】D【解析】解：∵DE∥BC，∴△ADE∽△ABC，∴AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，∴3：4=6：AC，∴AC=8．故选：D．首先由DE∥BC可以得到AD：AB=AE：AC，而AD：AB=3：4，AE=6，由此即可求出AC ．本题主要考查平行线分线段成比例定理，对应线段一定要找准确，有的同学因为没有找准对应关系，从而导致错选其他答案．8.【答案】D【解析】解：根据旋转的性质可知，D和B为对应点，∠DOB为旋转角，即∠DOB=80°，所以∠AOD=∠DOB-∠AOB=80°-45°=35°．故选：D．本题旋转中心为点O，旋转方向为逆时针，观察对应点与旋转中心的连线的夹角∠BOD即为旋转角，利用角的和差关系求解．本题考查旋转两相等的性质：即对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．9.【答案】C【解析】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x，根据2016年蔬菜产量为50吨，则2017年蔬菜产量为50（1+x）吨，2018年蔬菜产量为50（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到60.5吨，即：50（1+x）2=60.5．故选：C．利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从50吨增加到60.5吨”，即可得出方程．此题考查了由实际问题抽象出一元二次方程（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，找到2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程．10.【答案】A【解析】解：∵AF∥BC，DE∥BC，∴AF∥DE，∴=，，∴，故A错误，∵AF∥DE，∴，故B正确，∵DE∥BC，∴，故C正确，∵AF∥DE，∴，∵AF∥BC，∴∴，，故D正确，故选：A．由AF∥BC，DE∥BC，得到AF∥DE，根据平行线分线段成比例定理即可得到结论．本题考查了平行线分线段成比例定理，熟练掌握平行线分线段成比例定理是解题的关键．11.【答案】2.5×106【解析】解：2500000=2.5×106．故答案为：2.5×106．用科学记数法表示较大的数时，一般形式为a×10n，其中1≤|a|＜10，n为整数，据此判断即可．此题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为a×10-n，其中1≤|a|＜10，确定a与n的值是解题的关键．12.【答案】x＞-2【解析】解：根据题意得：被开方数x+2≥0，解得x≥-2，。

2020中考全真模拟卷17数 学（考试时间：90分钟 试卷满分：120分）注意事项：1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。

答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。

2．回答第Ⅰ卷时，选出每小题答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。

如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。

写在本试卷上无效。

3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡上。

写在本试卷上无效。

4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

5．考试范围：广东中考全部内容。

第Ⅰ卷一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的） 1．|3|--的值为( ) A ．3- B ．3C ．13D ．13-【答案】A ．【解析】|3|3--=-，故选A ． 2．下列计算正确的是( ) A ．22x x x =g B ．22()xy xy =C ．224x x x +=D ．236()x x =【答案】D ．【解析】A ．23x x x =g ，故本选项错误；B ．222()xy x y =，故本选项错误；C ．2222x x x +=，故本选项错误；D ．236()x x =，故本选项正确．故选D ．3．下列如图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图是( )A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】人站在几何体的正面，从上往下看，正方形个数从左到右依次为1，1，2，故选C ． 4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( ) A ．等边三角形 B ．平行四边形C ．正五边形D ．菱形【答案】D ．【解析】A 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；B 、不是轴对称图形，是中心对称图形．故错误；C 、是轴对称图形，不是中心对称图形．故错误；D 、是轴对称图形，也是中心对称图形．故正确．故选D ．5．等腰三角形的周长为13cm ，其中一边长为3cm ，则该等腰三角形的底边为( ) A ．7cm B ．3cm C ．7cm 或3cm D ．8cm【答案】B ．【解析】当腰是3cm 时，则另两边是3cm ，7cm ．而337+<，不满足三边关系定理，因而应舍去． 当底边是3cm 时，另两边长是5cm ，5cm ．则该等腰三角形的底边为3cm ．故选B ． 6．不等式组325521x x +>⎧⎨-⎩…的解在数轴上表示为( )A ．B ．C ．D ．【答案】C ．【解析】由不等式①，得352x >-，解得1x >，由不等式②，得215x --…，解得2x „， ∴数轴表示的正确方法为C ．故选C ．7．如图，ABC ∆内接于O e ，AD 是O e 的直径，25ABC ∠=︒，则CAD ∠的度数为( )A ．25︒B ．50︒C ．65︒D ．75︒【答案】C ．【解析】25ABC ∠=︒Q ，25ADC ∴∠=︒，AD Q 是O e 的直径，90ACD ∴∠=︒，902565CAD ∴∠=︒-︒=︒．故选C ．8．为了参加市中学生篮球运动会，一支校篮球队准备购买10双运动鞋，各种尺码统计如下表：尺码（厘米） 25 25.5 26 26.5 27 购买量（双)12322则这10双运动鞋尺码的众数和中位数分别为( ) A ．25.5厘米，26厘米 B ．26厘米，25.5厘米 C ．25.5厘米，25.5厘米 D ．26厘米，26厘米【答案】D ．【解析】数据26出现了3次最多，这组数据的众数是26，共10个数据，从小到大排列此数据处在第5、6位的数都为26，故中位数是26．故选D ． 9．抛物线223y x x =--的顶点坐标为( ) A ．(1,4)-- B ．(1,4)C ．(1,4)-D ．(1,4)-【答案】C ．【解析】1a =Q ，2b =-，3c =-，21221b a -∴-=-=⨯，22441(3)(2)4441ac b a -⨯⨯---==-⨯．故选C ． 10．如图，DE 与ABC ∆的边AB ，AC 分别相交于D ，E 两点，且//DE BC ．若:3:1AD BD =，6DE =，则BC 等于( )A ．8B ．92 C ．53D ．2【答案】A ．【解析】//DE BC Q ，ADE ABC ∴∆∆∽，∴AD DEAB BC=， :3:1AD BD =Q ，6DE =，∴364BC=，解得：8BC =．故选A ． 第Ⅱ卷二、填空题（本大题共7小题，每小题4分，共28分）11．地球上的海洋面积约为2361000000km ，则科学记数法可表示为__________2km ． 【答案】83.6110⨯．【解析】将361 000 000用科学记数法表示为83.6110⨯． 故答案为83.6110⨯． 12．函数12y x =-的自变量x 的取值范围是__________．【答案】2x >．【解析】根据题意得，20x ->，解得2x >．故答案为：2x >． 13．把多项式2212x xy y -++分解因式，结果是__________． 【答案】(1)(1)x y x y +-++．【解析】2212x xy y -++2221x xy y =++-2()1x y =+-(1)(1)x y x y =+-++． 故答案为：(1)(1)x y x y +-++．14．已知：如图，CD 是O e 的直径，点A 在CD 的延长线上，AB 切O e 于点B ，若30A ∠=︒，10OA =，则AB =__________．【答案】53．【解析】连接OB ，则OB OA ⊥，设O e 的半径为R ，30A ∠=︒Q ，2sin30OBOA R ∴==︒， 10OA =Q ，210R ∴=，即5R =，故在Rt OAB ∆中，cot3053AB OB =︒⨯=． 15．已知一次函数35y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象交于点(1,)A m ，则可求得反比例函数解析式为__________． 【答案】2y x=-． 【解析】Q 一次函数35y x =-的图象与反比例函数ky x=的图象交于点(1,)A m ，352m ∴=-=-， 把(1,2)-代入k y x =，得2k =-，∴反比例函数解析式为2y x =-．故答案为2y x=-．16．如图，ABC ∆中，AB AC =，5BC =，15ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，EF 垂直平分AB ，交AC 于点F ，在EF 上确定一点P ，使PB PD +最小，则这个最小值为__________．【答案】6．【解析】AB AC =Q ，5BC =，15ABC S ∆=，AD BC ⊥于点D ，6AD ∴=，EF Q 垂直平分AB ，∴点P 到A ，B 两点的距离相等，AD ∴的长度PB PD =+的最小值，即PB PD +的最小值为6，故答案为：6．17．古希腊人常用小石子在沙滩上摆成各种形状来研究数，下面是他们摆出的四个图形，按这个规律摆下去第10个图形需__________颗石子．【答案】55．【解析】Q 摆第1个图形需1颗石子，摆第2个图形需123+=颗石子， 摆第3个图形需1236++=颗石子，摆第4个图形需123410+++=颗石子，⋯∴摆第n 个图形需1123(1)2n n n +++⋯+=+颗石子， ∴摆第10个图形需110(101)552⨯⨯+=颗石子．故答案为：55．三、解答题（一）（本大题共3小题，每小题6分，共18分）18．计算：101()2tan60(12)122---︒+-+．【答案】1-．【解析】原式223123=--++1=-． 故答案为：1-．19．化简求值：22211(1)2x x x x x -+÷+-，其中31x =-．【答案】21x +，原式233=．【解析】原式21(1)2x x x x++=÷ 212(1)x x x x +=+g21x =+， 当31x =-时，原式2233311==-+． 20．如图，Rt ABC ∆的斜边5AB =，3cos 5A =， （1）用尺规作图作线段AC 的垂直平分线l （保留作图痕迹，不要求写作法、证明）； （2）若直线l 与AB 、AC 分别相交于D 、E 两点，求DE 的长．【答案】（1）作图见解析；（2）2DE =． 【解析】（1）如图，（2）因为直线l 垂直平分线段AC ，所以CE AE =， 又因为BC AC ⊥，所以//DE BC ， 所以12DE BC =． 因为在Rt ABC ∆中，5AB =，3cos 5A =， 所以3cos 535AC AB A ==⨯=，由2222534BC AB AC =-=-= 得2DE =．四、解答题（二）（本大题共3小题，每小题7分，共21分）21．如图，某人在D 处测得山顶C 的仰角为30︒，向前走200米来到山脚A 处，测得山坡AC 的坡度为2:1i =，求山的高度．【答案】800340011+米．【解析】已知山坡AC 的坡度2:1i =，设AB x =，则2CB x =，又某人在D 处测得山顶C 的仰角为30︒，即30CDB ∠=︒，200AD =Q 米，2tan30200x x ∴︒=+，解得：400320011x +=，40032008003400221111BC x ++∴==⨯=（米)； 答：山的高度是800340011+米．22．“校园手机”现象越来越受到社会的关注．为此某媒体记者小李随机调查了某校若干名中学生家长对这种现象的态度（态度分为：A：无所谓；B：反对；:C赞成）并将调査结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）请根据图中提供的信息，解答下列问题：（1）此次抽样调査中．共调査了__________名中学生家长，图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为__________；（2）将图①补充完整；（3）根据抽样调查结果．请你估计我市城区80000名中学生家长中有__________名家长持反对态度；（4）针对随机调查的情况，小李决定从初三一班表示赞成的小华、小亮和小丁的这3位家长中随机选择2位进行深入调查，请你利用树状图或列表的方法，求出小亮和小丁的家长被同时选中的概率．【答案】（1）200，54︒；（2）作图见解析；（3）48000；（4）13．【解析】（1）AQ有人数50名，占25%，∴共调査了中学生家长：5025%200÷=（名)，CQ占：125%60%15%--=，∴图②中表示家长“赞成”的圆心角的度数为：15%36054⨯=︒；故答案为：200，54︒；（2）20015%30⨯=（名)．（3）8000060%48000⨯=（名)．故答案为：48000；（4）画树状图得：Q 共有6种等可能的结果，小亮和小丁的家长被同时选中的有2种情况，∴小亮和小丁的家长被同时选中的概率为：2163=． 23．某县城驻地为治理污水，需要铺一段全长为300m 的污水排放管道．铺设120m 后，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，后来每天的工效比原计划增加20%，结果共用30天完成这一任务．求原计划每天铺设管道的长度． 【答案】9m ．【解析】设原计划每天铺设xm 管道，则后来的工作效率为(120%)x +， 根据题意，得12030012030(120%)x x-+=+，解得：9x =， 经检验：9x =是原分式方程的解． 答：原计划每天铺设管道的长度为9m ．五、解答题（三）（本大题共2小题，每小题10分，共20分）24．如图，点A ，B ，C ，D 是直径为AB 的O e 上四个点，C 是劣弧¶BD的中点，AC 交BD 于点E ，2AE =，1EC =．（1）求证：DEC ADC ∆∆∽； （2）求O e 的直径；（3）延长AB 到H ，使BH OB =．求证：CH 是O e 的切线．【答案】（1）证明见解析；（2）23；（3）证明见解析． 【解析】（1）C Q 是劣弧¶BD的中点，∴¶¶CDBC =，CDB DAC ∴∠=∠， 而DCE ACD ∠=∠，DEC ADC ∴∆∆∽；（2）DEC ADC ∆∆Q ∽，::CD AC CE CD ∴=，即:31:CD CD =，3CD ∴=，BDC BAC ∠=∠Q ，DCA DBA ∠=∠，DEC BEA ∴∆∆∽， ::CD AB CE AE ∴=，即3:1:2AB =，23AB ∴=，即O e 的直径为23； （3）证明：连结OC ，如图，AB Q 为直径，90ACB ∴∠=︒，33sin 223AC ABC AB ∠===Q ，60ABC ∴∠=︒， OBC ∴∆为等边三角形，BC OB ∴=，而BH OB =，BC BH BO ∴==，OCB ∴∆为直角三角形，即90OCH ∠=︒， OC CH ∴⊥，CH ∴是O e 的切线．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线223y x bx c =-++，经过(0,4)A -、它的对称轴为72x =-，它与x 轴相交于B 、C ． （1）求b 、c 的值；（2）在抛物线上求一点D ，使得对任意一点E ，四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形；（3）在抛物线上是否存在一点P ，使得四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形？若存在，求出点P 的坐标，并判断这个菱形是否为正方形？若不存在，请说明理由．【答案】（1）143b =-，4c =-；（2）7(2-，25)6；（3）不存在，理由见解析． 【解析】（1）Q 抛物线223y x bx c =-++经过点(0,4)A -，4c ∴=-． 对称轴7222()3bx =-=-⨯-，解得143b =-； （2）Q 四边形BDCE 是以BC 为对角线的菱形，根据菱形的性质，点D 必在抛物线的对称轴上， 又2221427254()33326y x x x =---=-++Q ∴抛物线的顶点7(2-，25)6即为所求的点D ； （3）当0y =时，22144033x x ---=，解得6x =-或1x =-，即(6,0)B -， Q 四边形BPOH 是以OB 为对角线的菱形，点B 的坐标为(6,0)-，点P 必是直线3x =-与抛物线2214433y x x =---的交点， ∴当3x =-时，2214(3)(3)4433y =-⨯--⨯--=， ∴在抛物线上存在一点(3,4)P -，使得四边形BPOH 为菱形．四边形BPOH 不能成为正方形，Q 如果四边形BPOH 为正方形，点P 的坐标只能是(3,3)-，但这一点不在抛物线上， 四边形BPOH 不能成为正方形．。

2020年中考数学全真模拟试卷（广东)（四）（考试时间：90分钟；总分：120分)班级:___________姓名：___________座号：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分)1．12-的值是()A．12-B．12C．2-D．22．某区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×1053．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．4．如图，几何体的左视图是( )A．B．C．D．5．某班体育课上老师记录了7位女生1分钟仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：28，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（）A ．35，38B ．38，38C ．38，35D ．35，356 ( )A ．5B C ．±5D ．7．正八边形的每一个外角的度数是（） A ．30°B ．45︒C ．60︒D ．135︒8．关于x 的一元二次方程210ax x +-=有实数根，则a 的取值范围是（） A ．14a >-B ．14a ≥-C ．14a ≥-且0a ≠ D ．14a >-且0a ≠ 9．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（）A ．B ．C ．D ．10．如图,在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,P 为边BC 上一动点,PE ⊥AB 于E,PF ⊥AC 于F,则EF 的最小值为( )A ．2B ．2.2C ．2.4D ．2.5二、填空题（每小题4分，共28分)11．分解因式：24xy x -=_________________．12x 应满足的条件是______. 13．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为______个. 14．已知点(1 )A a ，，(2 )B b ，在反比例函数2y x=-的图象上，则a ，b 的大小关系是__________． 15．如图，把一张长方形纸片ABCD 沿EF 折叠后ED 与BC 的交点为G ，D 、C 分别在M 、N 的位置上，若∠EFG =50°，则∠2=_________．16．如图，已知△ABC 中，AB ＝AC ＝12厘米，BC ＝8厘米，点D 为AB 的中点，如果点M 在线段BC 上以2厘米/秒的速度由B 点向C 点运动，同时，点N 在线段CA 上由C 点向A 点运动，若使△BDM 与△CMN 全等，则点N 的运动速度应为_____厘米/秒．17．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1（3，3），P 2，P 3，…均在直线143y x =-+上．设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S n ＝_____．三、解答题一（每小题6分，共18分)18．计算：201()2sin30(20172-︒-．19．先化简，再求值：，其中满足20．如图，在△ABC 中，∠ABC ＝80°，∠BAC ＝40°，AB 的垂直平分线分别与AC 、AB 交于点D 、E ． （1）在图中作出AB 的垂直平分线DE ，并连接BD ． （2）证明：△ABC ∽△BDC ．四、解答题二（每小题8分，共24分)21．西昌市数科科如局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）年抽取的调查人数最少；年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角α的度数；（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少人？22．某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个.（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了20人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN．五、解答题三（每小题10分，共20分)24．平行四边形ABCD的对角线相交于点M，△ABM的外接圆交AD于点E且圆心O恰好落在AD边上，连接ME，若∠BCD＝45°（1）求证：BC为⊙O切线；（2）求∠ADB的度数；（3）若ME＝1，求AC的长．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．2020年中考数学全真模拟试卷（广东)（四）答题卡姓名：______________班级：______________选择题（请用2B 铅笔填涂）非选择题（请在各试题的答题区内作答）20题、23题、24题、2020年中考数学全真模拟试卷（广东)（四）（考试时间：90分钟；总分：120分)班级:___________姓名：___________座号：___________分数：___________ 一、单选题（每小题3分，共30分)1．12-的值是()A．12-B．12C．2-D．2【答案】B【解析】根据绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0即可求解【详解】根据负数的绝对值是它的相反数，得11 22 -=．故选B．【点睛】本题考查了绝对值的性质，熟练掌握绝对值的定义和性质是解题的关键．2．某区公益项目“在线伴读”平台开通以来，累计为学生在线答疑15000次．用科学记数法表示15000是（）A．0.15×106B．1.5×105C．1.5×104D．15×105【答案】C【解析】科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞10时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．【详解】解：用科学记数法表示15000是：1.5×104．故选C．【点睛】此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．3．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．【详解】A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；B、不是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项不符合题意；D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意．故选：D．【点睛】此题主要考查对轴对称图形和中心对称图形的识别，熟练掌握，即可解题.4．如图，几何体的左视图是( )A．B．C．D．【答案】A【解析】根据从左边看得到的图形是左视图，可得答案．【详解】解：如图所示，其左视图为：．故选A．【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，从左边看得到的图形是左视图，注意看不到而且是存在的线是虚线．5．某班体育课上老师记录了7位女生1分钟仰卧起坐的成绩（单位：个）分别为：28，38，38，35，35，38，48，这组数据的中位数和众数分别是（）A．35，38B．38，38C．38，35D．35，35【答案】B【解析】出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数；中位数一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．【详解】把这些数从小到大排列为：28，35，35，38，38，38，48，最中间的数是38，则中位数是38；∵38出现了3次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是38；故选B．【点睛】此题考查众数与中位数的意义，中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（最中间两个数的平均数），叫做这组数据的中位数，如果中位数的概念掌握得不好，不把数据按要求重新排列，就会错误地将这组数据最中间的那个数当作中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数．6( )A．5 B C．±5 D．【答案】A【解析】根据算术平方根的定义即可求解．【详解】故答案选A..【点睛】本题考查的知识点是算术平方根，解题的关键是熟练的掌握算术平方根.7．正八边形的每一个外角的度数是（）A．30°B．45︒C．60︒D．135︒【答案】B【解析】根据多边形的外角和为360度，再用360度除以边数即可得到每一个外角的度数．【详解】∵多边形的外角和为360度，∴每个外角度数为：360°÷8=45°，故选：B．【点睛】考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°，用外角和求正多边形的边数直接让360度除以外角．8．关于x的一元二次方程210ax x+-=有实数根，则a的取值范围是（）A．14a>-B．14a≥-C．14a≥-且0a≠D．14a>-且0a≠【答案】C【解析】从两方面考虑①方程要是一元二次方程，则二次项系数不能为0；②利用根的判别式△≥0列出不等式求解.【详解】解：要使方程210ax x+-=为一元二次方程则a≠0此时∵关于x的方程210ax x+-=有实数根，∴214(1)140a a=-⨯⨯-=+V…解得：14 a-…，故答案为14a≥-且0a≠，选C.【点睛】本题考查根的判别式，解题的关键是明确当一元二次方程有实数根时，△≥0.在本题中切记二次项系数不能为0.9．一元一次不等式组的解集在数轴上表示为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】试题分析：解不等式①得：x＞﹣1，解不等式②得：x≤2，∴不等式组的解集是﹣1＜x≤2，表示在数轴上，如图所示：．故选A．考点：解一元一次不等式组；在数轴上表示不等式的解集．10．如图,在△ABC中,AB=3,AC=4,BC=5,P为边BC上一动点,PE⊥AB于E,PF⊥AC于F,则EF的最小值为( )A．2 B．2.2 C．2.4 D．2.5【答案】C【解析】根据三个角都是直角的四边形是矩形，得四边形AEPF是矩形，根据矩形的对角线相等，得EF=AP，则EF的最小值即为AP的最小值，根据垂线段最短，知：AP的最小值即等于直角三角形ABC斜边上的高．【详解】连接AP，∵在△ABC中，AB=3，AC=4，BC=5，∴AB2+AC2=BC2，即∠BAC=90°，又∵PE⊥AB于E，PF⊥AC于F，∴四边形AEPF是矩形，∴EF=AP，∵AP的最小值即为直角三角形ABC斜边上的高，即2.4，∴EF的最小值为2.4，故选：C．【点睛】本题考查了矩形的性质和判定，勾股定理的逆定理，直角三角形的性质的应用，要能够把要求的线段的最小值转化为便于求的最小值得线段是解此题的关键．二、填空题（每小题4分，共28分)11．分解因式：24xy x -=_________________．【答案】x （y+2）（y-2）【解析】首先提公因式x ，然后利用平方差公式分解即可；【详解】解：224)4(2)((2)x y x y y y x x --+-==故答案为：x （y+2）（y-2）【点睛】本题考查了用提公因式法和公式法进行因式分解，一个多项式有公因式首先提取公因式，然后再用其他方法进行因式分解，同时因式分解要彻底，直到不能分解为止． 12有意义时，x 应满足的条件是______. 【答案】8x >.【解析】直接利用二次根式的定义和分数有意义求出x 的取值范围．【详解】有意义，可得：80x ->，所以8x >， 故答案为：8x >.【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握是解题的关键.13．在一个不透明的盒子中装有12个白球，若干个黄球，这些球除颜色外都相同.若从中随机摸出一个球是白球的概率是13，则黄球的个数为______个.【答案】24【解析】分析：首先设黄球的个数为x 个，根据题意得：1212x +＝13，解此分式方程即可求得答案． 详解：设黄球的个数为x 个， 根据题意得：1212x +＝13， 解得：x ＝24，经检验：x ＝24是原分式方程的解；∴黄球的个数为24．故答案为24点睛：此题考查了概率公式的应用．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．14．已知点(1 )A a ，，(2 )B b ，在反比例函数2y x=-的图象上，则a ，b 的大小关系是__________． 【答案】a b <【解析】由反比例函数y ＝－2x可知函数的图象在第二、第四象限内，可以知道在每个象限内，y 随x 的增大而增大，根据这个判定则可．【详解】∵反比例函数中y ＝－2x中20k =-<， ∴此函数的图象在二、四象限内，在每个象限内，y 随x 的增大而增大，∵0＜1＜2，∴A 、B 两点均在第四象限，∴a ＜b.故答案为：a＜b.【点睛】本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，熟练掌握该特征是本题解题的关键.15．如图，把一张长方形纸片ABCD沿EF折叠后ED与BC的交点为G，D、C分别在M、N的位置上，若∠EFG=50°，则∠2=_________．【答案】100°【解析】试题解析：如图，∵长方形纸片ABCD的边AD∥BC，∴∠3=∠EFG=50°，根据翻折的性质，∠1=180°-2∠3=180°-2×50°=80°，又∵AD∥BC，∴∠2=180°-∠1=180°-80°=100°．16．如图，已知△ABC中，AB＝AC＝12厘米，BC＝8厘米，点D为AB的中点，如果点M在线段BC上以2厘米/秒的速度由B点向C点运动，同时，点N在线段CA上由C点向A点运动，若使△BDM与△CMN全等，则点N的运动速度应为_____厘米/秒．【答案】2或3【解析】分两种情形讨论①当BD=CM=6，BM=CN时，△DBM≌△MCN，②当BD=CN，BM=CM时，△DBM≌△NCM，再根据路程、时间、速度之间的关系求出点N的速度．【详解】解：∵AB=AC，∴∠B=∠C，①当BD=CM=6厘米，BM=CN时，△DBM≌△MCN，∴BM=CN=2厘米，t=2=1，2∴点N运动的速度为2厘米/秒．②当BD=CN，BM=CM时，△DBM≌△NCM，∴BM=CM=4厘米，t=4=2，CN=BD=6厘米，2∴点N的速度为：6=3厘米/秒．2故点N的速度为2或3厘米/秒．故答案为2或3．【点睛】本题考查等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，用分类讨论是正确解题的关键．17．如图，在平面直角坐标系中，△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…都是等腰直角三角形，其直角顶点P 1（3，3），P 2，P 3，…均在直线143y x =-+上．设△P 1OA 1，△P 2A 1A 2，△P 3A 2A 3，…的面积分别为S 1，S 2，S 3，…，依据图形所反映的规律，S n ＝_____．【答案】194n -（或2292n -） 【解析】分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，先根据等腰直角三角形的性质求得前三个等腰直角三角形的底边和底边上的高，继而求得三角形的面积，得出面积的规律即可得出答案．【详解】如图，分别过点P 1、P 2、P 3作x 轴的垂线段，垂足分别为点C 、D 、E ，∵P 1（3，3），且△P 1OA 1是等腰直角三角形，∴OC=CA 1=P 1C=3，设A 1D=a ，则P 2D=a ，∴OD=6+a ，∴点P 2坐标为（6+a ，a ），将点P 2坐标代入y=-13x+4，得：-13（6+a ）+4=a ， 解得：a=32， ∴A 1A 2=2a=3，P 2D=32， 同理求得P 3E=34、A 2A 3=32， ∵12311391339639,3,222422416S S S =⨯⨯==⨯⨯==⨯⨯=、…… ∴S n =194n -（或2292n -）． 故答案为194n -（或2292n -）． 【点睛】本题考查规律型：点的坐标、等腰直角三角形的性质等知识，解题的关键是从特殊到一般，探究规律，利用规律解决问题．三、解答题一（每小题6分，共18分)18．计算：201()2sin30(20172-︒--． 【答案】2【解析】分析：根据负整指数幂的的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零次幂的性质求解即可. 详解：原式=142212-+⨯-=2． 点睛：此题主要考查了实数的混合运算，关键是熟记并灵活运用负整指数幂的的性质，二次根式的性质，特殊角的三角函数值，零次幂的性质计算即可.19．先化简，再求值：，其中满足【答案】原式=x 2−1−x2+2xx(x+1)×(x+1)2x(2x−1)=x+1x2∵∴x2=x+1原式=x+1x+1=1【解析】试题分析：先对小括号部分通分，同时把除化为乘，再根据分式的基本性质约分，最后整体代入求值. 原式＝·原式＝1.考点：分式的化简求值点评：计算题是中考必考题，一般难度不大，学生要特别慎重，尽量不在计算上失分.20．如图，在△ABC中，∠ABC＝80°，∠BAC＝40°，AB的垂直平分线分别与AC、AB交于点D、E．（1）在图中作出AB的垂直平分线DE，并连接BD．（2）证明：△ABC∽△BDC．【答案】（1）见解析（2）证明见解析【解析】（1）分别以A、B为圆心，大于12AB的长为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为AB的垂直平分线；（2）由线段垂直平分线的性质，得DA=DB，则∠ABD=∠BAC=40°，从而求得∠CBD=40°，即可证出△ABC∽△BDC．【详解】（1）如图，DE即为所求；（2）∵DE是AB的垂直平分线，∴BD＝AD，∴∠ABD＝∠A＝40°，∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝80°﹣40°＝40°，∴∠DBC＝∠BAC，∵∠C＝∠C，∴△ABC∽△BDC．【点睛】本题考查了作图——基本作图，相似三角形的判定，线段垂直平分线的性质，熟练掌握相关的性质与判定定理是解题的关键.四、解答题二（每小题8分，共24分)21．西昌市数科科如局从2013年起每年对全市所有中学生进行“我最喜欢的阳光大课间活动”抽样调查（被调查学生每人只能选一项），并将抽样调查的数据绘制成图1、图2两幅统计图，根据统计图提供的信息解答下列问题：（1）年抽取的调查人数最少；年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；（2）求图2中“短跑”在扇形图中所占的圆心角α的度数；（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有多少人？（4）如果2017年全市共有3.4万名中学生，请你估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有多少人？【答案】（1）2013；2016；（2）54°；（3）460人；（4）20400人【解析】（1）由图中的数据进行判断即可；（2）先求得“短跑”在扇形图中所占的百分比为15%，进而得到α＝360°×15%＝54°；（3）依据2017年抽取的学生总数，即可得到喜欢羽毛球和短跑的学生数量；（4）依据喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的百分比，即可估计我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的人数．【详解】解：（1）由图可得，2013年抽取的调查人数最少；2016年抽取的调查人数中男生、女生人数相等；故答案为：2013，2016；（2）1﹣35%﹣10%﹣15%﹣25%＝15%，∴α＝360°×15%＝54°；（3）2017年抽取的学生中，喜欢羽毛球和短跑的学生共有（600+550）×（25%+15%）＝460（人）；（4）我市2017年喜欢乒乓球和羽毛球两项运动的大约有34000×（25%+35%）＝20400（人）．【点睛】本题考查的是折线统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．折线统计图能清楚地表示出每个项目的数据；扇形统计图直接反映部分占总体的百分比大小．22．某校计划组织师生共310人参加一次野外研学活动,如果租用6辆大客车和5辆小客车恰好全部坐满.已知每辆大客车的乘客座位数比小客车多15个.（1）求每辆大客车和每辆小客车的乘客座位数；（2）由于最后参加活动的人数增加了20人,学校决定调整租车方案,在保持租用车辆总数不变的情况下,为将所有参加活动的师生装载完成,求租用小客车数量的最大值.【答案】（1）每辆小客车的乘客座位数是20个,大客车的乘客座位数是35个（2）3【解析】（1）根据“每辆大客车的乘客座位数-小客车乘客座位数=15；6辆大客车乘客+5辆小客车乘客=310”列出二元一次方程组解之即可.（2）根据题意，设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成，利用“大客车乘客+小客车乘客≥310+20”解之即可.【详解】（1）设每辆小客车的乘客座位数是x个,大客车的乘客座位数是y个,根据题意,得15 56310 y xx y-=⎧⎨+=⎩解得2035 xy=⎧⎨=⎩答:每辆小客车的乘客座位数是20个,大客车的乘客座位数是35个. （2）设租用a辆小客车才能将所有参加活动的师生装载完成,则20a+35(11－a)≥310+20,解得a≤32 3 ,符合条件的a的最大整数为3.答:租用小客车数量的最大值为3.【点睛】本题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解决本题的关键是找到题目中蕴含的数量关系. 23．如图1，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D是边AB的中点，点E在边BC上，AE＝BE，点M是AE的中点，联结CM，点G在线段CM上，作∠GDN＝∠AEB交边BC于N．（1）如图2，当点G和点M重合时，求证：四边形DMEN是菱形；（2）如图1，当点G和点M、C不重合时，求证：DG＝DN．【答案】(1)见解析；（2）见解析【解析】本题主要考查菱形及全等三角形的应用（1）先由MD为BE的中位线，可证MD∥EN且MD=12BE，又∠GDN+∠DNE＝180°，可证四边形MDNE为平行四边形，从而可证平行四边形DMEN为菱形（2）取BE中点F，连接DM，DF，利用（1）的结论可证△DMG≌△DFN，即可得出答案【详解】证明：（1）如图2中，∵AM ＝ME ．AD ＝DB ，∴DM ∥BE ，∴∠GDN+∠DNE ＝180°，∵∠GDN ＝∠AEB ，∴∠AEB+∠DNE ＝180°，∴AE ∥DN ，∴四边形DMEN 是平行四边形， ∵11,,22DM BE EM AE AE BE ===，∴DM ＝EM ，∴四边形DMEN 是菱形．（2）如图1中，取BE 的中点F ，连接DM 、DF ．由（1）可知四边形EMDF 是菱形，∴∠AEB ＝∠MDF ，DM ＝DF ，∴∠GDN ＝∠AEB ，∴∠MDF＝∠GDN，∴∠MDG＝∠FDN，∵∠DFN＝∠AEB＝∠MCE+∠CME，∠GMD＝∠EMD+∠CME，、在Rt△ACE中，∵AM＝ME，∴CM＝ME，∴∠MCE＝∠CEM＝∠EMD，∴∠DMG＝∠DFN，∴△DMG≌△DFN，∴DG＝DN．【点睛】本题的关键是掌握菱形的性质及判断以及全等三角形的判定五、解答题三（每小题10分，共20分)24．平行四边形ABCD的对角线相交于点M，△ABM的外接圆交AD于点E且圆心O恰好落在AD边上，连接ME，若∠BCD＝45°（1）求证：BC为⊙O切线；（2）求∠ADB的度数；（3）若ME＝1，求AC的长．【答案】（1）详见解析；（2）∠ADB＝30°；（3）AC＝2AM＝【解析】（1）连接OB，根据平行四边形的性质得到∠BAD＝∠BCD＝45°，根据圆周角定理得到∠BOD＝2∠BAD ＝90°，根据平行线的性质得到OB⊥BC，即可得到结论；（2）连接OM，根据平行四边形的性质得到BM＝DM，根据直角三角形的性质得到OM＝BM，求得∠OBM ＝60°，于是得到∠ADB＝30°；（3）连接EM，过M作MF⊥AE于F，根据等腰三角形的性质得到∠MOF＝∠MDF＝30°，设OM＝OE＝r，解直角三角形即可得到结论．【详解】（1）证明：连接OB，∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠BAD＝∠BCD＝45°，∴∠BOD＝2∠BAD＝90°，∵AD∥BC，∴∠DOB+∠OBC＝180°，∴∠OBC＝90°，∴OB⊥BC，∴BC为⊙O切线；（2）解：连接OM，∵四边形ABCD是平行四边形，∴BM＝DM，∵∠BOD＝90°，∴OM ＝BM ，∵OB ＝OM ，∴OB ＝OM ＝BM ，∴∠OBM ＝60°，∴∠ADB ＝30°；（3）解：连接EM ，过M 作MF ⊥AE 于F ，∵OM ＝DM ，∴∠MOF ＝∠MDF ＝30°，设OM ＝OE ＝r ，1,2FM r OF ∴==EF r ∴= 222EF FM EM +=Q221122r r r ⎛⎫⎛⎫∴-+= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭解得：r∴AE ＝2r ＝∵AE 是⊙O 的直径，∴∠AME ＝90°，∴AM＝，∴AC ＝2AM ＝【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，平行四边形的性质，等腰直径三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线是解题的关键．25．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）与x轴交于A、B两点（点A在点B左侧），经过点A的直线l：y＝kx+b与y轴交于点C，与抛物线的另一个交点为D，且CD＝4AC．（1）直接写出点A的坐标，并用含a的式子表示直线l的函数表达式（其中k、b用含a的式子表示）．（2）点E为直线l下方抛物线上一点，当△ADE的面积的最大值为254时，求抛物线的函数表达式；（3）设点P是抛物线对称轴上的一点，点Q在抛物线上，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能否为矩形？若能，求出点P的坐标；若不能，请说明理由．【答案】（1）A（﹣1，0），y＝ax+a；（2）y＝25x2﹣45x﹣65；（3）以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1）或（1，4）．【解析】（1）由抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＜0）与x轴交于两点A、B，求得A点的坐标，作DF⊥x轴于F，根据平行线分线段成比例定理求得D 的坐标，然后利用待定系数法即可求得直线l 的函数表达式．（2）设点E （m ，ax 2﹣2ax ﹣3a ），知HE ＝（ax +a ）﹣（ax 2﹣2ax ﹣3a ）＝﹣ax 2+3ax +4a ，根据直线和抛物线解析式求得点D 的横坐标，由S △ADE ＝S △AEH +S △DEH 列出函数解析式，根据最值确定a 的值即可； （3）分以AD 为矩形的对角线和以AD 为矩形的边两种情况利用矩形的性质确定点P 的坐标即可．【详解】解：（1）令y ＝0，则ax 2﹣2ax ﹣3a ＝0，解得x 1＝﹣1，x 2＝3∵点A 在点B 的左侧，∴A （﹣1，0），如图1，作DF ⊥x 轴于F ，∴DF ∥OC ， ∴OF CD OA AC=, ∵CD ＝4AC ， ∴4,OF CD OA AC== ∵OA ＝1，∴OF ＝4，∴D 点的横坐标为4，代入y ＝ax 2﹣2ax ﹣3a 得，y ＝5a ，∴D （4，5a ），把A 、D 坐标代入y ＝kx +b 得045,k b k b a -+=⎧⎨+=⎩解得,k a b a =⎧⎨=⎩∴直线l 的函数表达式为y ＝ax +a ．（2）如图2，过点E 作EH ∥y 轴，交直线l 于点H ，设E （x ，ax 2﹣2ax ﹣3a ），则H （x ，ax +a ）．∴HE ＝（ax +a ）﹣（ax 2﹣2ax ﹣3a ）＝﹣ax 2+3ax +4a ，由223y ax a y ax ax a =+⎧⎨=--⎩得x ＝﹣1或x ＝4， 即点D 的横坐标为4，∴S △ADE ＝S △AEH +S △DEH ＝52（﹣ax 2+3ax +4a ）253125228a x a ⎛⎫=--+ ⎪⎝⎭．∴△ADE的面积的最大值为1258a，∴12525,84a=解得：25 a=,∴抛物线的函数表达式为y＝25x2﹣45x﹣65（3）已知A（﹣1，0），D（4，5a）．∵y＝ax2﹣2ax﹣3a，∴抛物线的对称轴为x＝1，设P（1，m），①若AD为矩形的边，且点Q在对称轴左侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，则Q（﹣4，21a），m＝21a+5a＝26a，则P（1，26a），∵四边形ADPQ为矩形，∴∠ADP＝90°，∴AD2+PD2＝AP2，∴52+（5a）2+（1﹣4）2+（26a﹣5a）2＝（﹣1﹣1）2+（26a）2，即a2＝17，∵a＞0，∴a∴P1（1），②若AD为矩形的边，且点Q在对称轴右侧时，则AD∥PQ，且AD＝PQ，则Q（4，5a），此时点Q与点D重合，不符合题意，舍去；③若AD是矩形的一条对角线，则AD与PQ互相平分且相等．∴x D+x A＝x P+x Q，y D+y A＝y P+y Q，∴x Q＝2，∴Q（2，﹣3a）．∴y P＝8a∴P（1，8a）．∵四边形APDQ为矩形，∴∠APD＝90°∴AP2+PD2＝AD2∴（﹣1﹣1）2+（8a）2+（1﹣4）2+（8a﹣5a）2＝52+（5a）2即a2＝14，∵a＞0，∴a＝12∴P2（1，4）综上所述，以点A、D、P、Q为顶点的四边形能成为矩形，点P的坐标为（1）或（1，4）．【点睛】本题是二次函数的综合题，考查了待定系数法求一次函数的解析式，二次函数图象上点的坐标特征，以及矩形的判定，根据平行线分线段成比例定理求得D的坐标是本题的关键．。

2020年中考数学全真模拟卷（三）满分：120分考试时间：120分钟．一．选择题（共12小题，满分33分）1．（3分）|a|＝1，|b|＝4，且ab＜0，则a+b的值为（）A．3B．﹣3C．±3D．±5【解析】解：∵|a|＝1，|b|＝4，∴a＝±1，b＝±4，∵ab＜0，∴a+b＝1﹣4＝﹣3或a+b＝﹣1+4＝3，故选：C．2．（3分）2019年10月1日在北京举行的国庆70周年阅兵活动中，15000名将士接受了党和人民的检阅，将数据15000用科学记数法表示为（）A．0.15×105B．1.5×104C．15×103D．150×102【解析】解：15000＝1.5×104，故选：B．3．（3分）下列运算正确的是（）A．a2+a2＝a4B．（﹣2a3）2＝4a6C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2D．（a﹣b）2＝a2﹣b2【解析】解：A．a2+a2＝2a2，错误；C．（a﹣2）（a+1）＝a2+a﹣2a﹣2＝a2﹣a﹣2，错误D．（a﹣b）2＝a2﹣2ab+b2，错误故选：B．4．（3分）如图是由几个相同的正方体搭成的一个几何体，从正面看到的平面图形是（）A．B．C．D．【解析】解：从正面看第一层是三个小正方形，第二层在中间位置一个小正方形，故D符合题意，故选：D ．5．（3分）平面直角坐标系内一点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．（3，﹣2）B ．（2，3）C ．（﹣2，﹣3）D ．（2，﹣3）【解析】解：点P （﹣2，3）关于原点对称的点的坐标是（2，﹣3）．故选：D ．6．（3分）如图，在圆O 中，弦AB ＝4，点C 在AB 上移动，连接OC ，过点C 做CD ⊥OC 交圆O 于点D ，则CD 的最大值为（ ）A ．2√2B ．2C ．32D ．√52【解析】解：如图，连接OD ，∵CD ⊥OC ，∴∠DCO ＝90°，∴CD =√OD 2−OC 2=√r 2−OC 2，当OC 的值最小时，CD 的值最大，OC ⊥AB 时，OC 最小，此时D 、B 两点重合，∴CD ＝CB =12AB ＝2，即CD 的最大值为2，故选：B ．7．（3分）下列命题中，真命题的个数是（ ）①过一点有且只有一条直线与已知直线平行；②过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；③图形平移的方向一定是水平的；④内错角相等；⑤相等的角是对顶角；⑥垂线段最短A ．3B ．2C ．1D ．0 【解析】解：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，①是假命题；在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，②是假命题；图形平移的方向不一定是水平的，③是假命题；两直线平行，内错角相等，④是假命题；相等的角不一定是对顶角，⑤是假命题；垂线段最短，⑥是真命题，故选：C ．8．（3分）下列图象中，不能表示y 是x 的函数的是（ ）A ．B ．C ．D ．【解析】解：A 、满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故A 不符合题意；B 、不满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故B 符合题意；C 、满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故C 不符合题意；D 、满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对应关系，故D 不符合题意；故选：B ．9．（3分）如图，从一个大正方形中裁去面积为30cm 2和48cm 2的两个小正方形，则余下部分的面积为（）A ．78 cm 2B ．(4√3+√30)2cm 2C ．12√10cm 2D ．24√10cm 2【解析】解：从一个大正方形中裁去面积为30cm 2和48cm 2的两个小正方形，大正方形的边长是√30+√48=√30+4√3，留下部分（即阴影部分）的面积是（√30+4√3）2﹣30﹣48＝8√90=24√10（cm 2）．故选：D ．10．（3分）设x 1、x 2是方程x 2+4x ﹣3＝0的两个根，则1x 1+1x 2的值为（ ） A ．43 B ．−43 C ．3 D ．4【解析】解：因为x 1、x 2是方程x 2+4x ﹣3＝0的两个根，所以x 1+x 2＝﹣4，x 1x 2＝﹣3．1x 1+1x 2=x 1+x 2x 1x 2=−4−3=43， 故选：A ．11．（3分）如图，在矩形ABCD 中，AB ＝4，AD ＝a ，点P 在AD 上，且AP ＝2．点E 是边AB 上的动点，以PE 为边作直角∠EPF ，射线PF 交边BC 于点F ．连接EF ．给出下列结论：①tan ∠PFE =12；②a 的最小值为10．则下列说法正确的是（ ）A ．①，②都对B ．①，②都错C ．①对，②错D ．①错，②对【解析】解：过点F 作FG ⊥AD 于点G∴∠FGP ＝90°∵矩形ABCD 中，AB ＝4，∠A ＝∠B ＝90°∴四边形ABFG 是矩形，∠AEP +∠APE ＝90°∴FG ＝AB ＝4∵∠EPF ＝90°∴∠APE +∠FPG ＝90°∴∠AEP ＝∠FPG∴△AEP ∽△GPF∴PE PF =AP GF =24=12∴Rt △EPF 中，tan ∠PFE =PE PF =12，故①正确．如图2，当A 、E 重合，C 、F 重合，D 、P 重合时，AD 最短，此时a ＝2，故②错误．故选：C ．12．（3分）对于函数y ＝（x +2）2﹣9，下列结论错误的是（ ）A ．图象顶点是（﹣2，﹣9）B ．图象开口向上C ．图象关于直线x ＝﹣2对称D ．函数最大值为﹣9【解析】解：∵函数y ＝（x +2）2﹣9＝x 2+4x ﹣5，∴该函数图象的顶点坐标是（﹣2，﹣9），故选项A 正确；a ＝1＞0，该函数图象开口向上，故选项B 正确；该函数图象关于直线x ＝﹣2对称，故选项C 正确；当x ＝﹣2时，该函数取得最小值y ＝﹣9，故选项D 错误；故选：D ．二．填空题（共4小题，满分12分，每小题3分）13．（3分）不透明袋子中装有7个球，其中有3个红球，4个黄球，这些球除颜色外无其他差别，从袋子中随机取出1个球，则它是红球的概率是 37 ．【解析】解：∵袋子中共有7个球，其中红球有3个，∴从袋子中随机取出1个球，它是红球的概率是37， 故答案为：37． 14．（3分）因式分解：ab 2﹣2ab +a ＝ a （b ﹣1）2 ．【解析】解：原式＝a （b 2﹣2b +1）＝a （b ﹣1）2；故答案为：a （b ﹣1）2．15．（3分）关于x 的分式方程x+k x+1+2x x+1=1的解为非正数，则k 的取值范围是 k ≥1且k ≠3 ．【解析】解：去分母得：x +k +2x ＝x +1，解得：x =1−k 2， 由分式方程的解为非正数，得到1−k 2≤0，且1−k 2≠−1，解得：k ≥1且k ≠3，故答案为：k ≥1且k ≠3 16．（3分）如图，在△ABC 中，AC ＝3，BC ＝4，若AC ，BC 边上的中线BE ，AD 垂直相交于O 点，则AB ＝ √5 ．【解析】解：∵AD 、BE 为AC ，BC 边上的中线，∴BD =12BC ＝2，AE =12AC =32，点O 为△ABC 的重心，∴AO ＝2OD ，OB ＝2OE ，∵BE ⊥AD ，∴BO 2+OD 2＝BD 2＝4，OE 2+AO 2＝AE 2=94，∴BO 2+14AO 2＝4，14BO 2+AO 2=94， ∴54BO 2+54AO 2=254， ∴BO 2+AO 2＝5，∴AB =√BO 2+AO 2=√5．故答案为√5．三．解答题（共3小题，满分18分，每小题6分）17．（6分）计算：4cos30°−√12+20180+|1−√3|【解析】解：原式＝2√3−2√3+1+√3−1=√3．18．（6分）如图，在△ABC 中，∠ACB ＝45°，过点A 作AD ⊥BC 于点D ，点E 为AD 上一点，且ED ＝BD ．（1）求证：△ABD ≌△CED ；（2）若CE 为∠ACD 的角平分线，求∠BAC 的度数．【解析】（1）证明：∵AD ⊥BC ，∠ACB ＝45°，∴∠ADB ＝∠CDE ＝90°，△ADC 是等腰直角三角形，∴AD ＝CD ，∠CAD ＝∠ACD ＝45°，在△ABD 与△CED 中，{AD =CD∠ADB =∠CDE BD =ED，∴△ABD ≌△CED （SAS ）；（2）解：∵CE 为∠ACD 的角平分线，∴∠ECD =12∠ACD ＝22.5°，由（1）得：△ABD ≌△CED ，∴∠BAD ＝∠ECD ＝22.5°，∴∠BAC ＝∠BAD +∠CAD ＝22.5°+45°＝67.5°．19．（6分）化简：x 2+2x+1x −1•(x−1)2x+1−x ． 【解析】解：原式=(x+1)2(x+1)(x−1)•(x−1)2x+1−x ＝x ﹣1﹣x ＝﹣1． 四．解答题（共2小题，满分14分，每小题7分）20．（7分）在开展“学雷锋社会实践”活动中，某校为了解全校1000名学生参加活动的情况，随机调查了50名学生每人参加活动的次数，并根据数据绘成如图的条形统计图：（1）这50个样本数据的中位数是 4 次，众数是 3 次；（2）求这50个样本数据的平均数；（3）根据样本数据，估算该校1000名学生大约有多少人参加了4次实践活动．【解析】解：（1）∵在这组样本数据中，4出现了18次，出现的次数最多，∴这组数据的众数是4次．∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处在中间的两个数都是3，3+32=3次，∴这组数据的中位数是3次；故答案为，4，3．（2）观察条形统计图，可知这组样本数据的平均数=1×3+2×7+3×17+4×18+5×550=3.3次， 则这组样本数据的平均数是3.3次．（3）1000×1850=360（人）∴该校学生共参加4次活动约为360人．21．（7分）随着新能源汽车的发展，某公交公司将用新能源公交车淘汰某一条线路上“冒黑烟”较严重的燃油公交车，计划购买A 型和B 型新能源公交车共10辆，若购买A 型公交车1辆，B 型公交车2辆，共需300万元；若购买A 型公交车2辆，B 型公交车1辆，共需270万元，（1）求购买A 型和B 型公交车每辆各需多少万元？（2）预计在该条线路上A 型和B 型公交车每辆年均载客量分别为80万人次和100万人次．若该公司购买A 型和B 型公交车的总费用不超过1000万元，且确保这10辆公交车在该线路的年均载客量总和不少于900万人次，则该公司有哪几种购车方案？哪种购车方案总费用最少？最少总费用是多少？【解析】解：（1）设购买A 型新能源公交车每辆需x 万元，购买B 型新能源公交车每辆需y 万元，由题意得：{x +2y =3002x +y =270， 解得{x =80y =110， 答：购买A 型新能源公交车每辆需80万元，购买B 型新能源公交车每辆需110万元．（2）设购买A 型公交车a 辆，则B 型公交车（10﹣a ）辆，由题意得{80a +110(10−a)≤100080a +100(10−a)≥900， 解得：103≤a ≤5，因为a 是整数，所以a ＝4，5；则共有两种购买方案：①购买A 型公交车4辆，则B 型公交车6辆：80×4+110×6＝980万元；②购买A 型公交车5辆，则B 型公交车5辆：80×5+110×5＝950万元；购买A 型公交车5辆，则B 型公交车5辆费用最少，最少总费用为950万元．五．解答题（共2小题，满分16分，每小题8分）22．（8分）某段笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60km /h （即503m /s ），交通管理部门在离该公路100m 处设置了一速度检测点A ，在如图所示的坐标系中，A 位于y 轴上，测速路段BC 在x 轴上，点B 在A 的北偏西60°方向上，点C 在点A 的北偏东45°方向上．（1）在图中直接标出表示60°和45°的角；（2）写出点B 、点C 坐标；（3）一辆汽车从点B 匀速行驶到点C 所用时间为15s ．请你通过计算，判断该汽车在这段限速路上是否超速？（本小问中√3取1.7）【解析】解：（1）如图所示，∠OAB ＝60°，∠OAC ＝45°；（2）∵在直角三角形ABO 中，AO ＝100，∠BAO ＝60度，∴OB＝OA•tan60°＝100√3，∴点B的坐标是（﹣100√3，0）；∵△AOC是等腰直角三角形，∴OC＝OA＝100，∴C的坐标是（100，0）；（3）BC＝BO+OC＝100√3+100≈270（m）．270÷15＝18（m/s）．∵18＞50 3，∴该汽车在这段限速路上超速了．23．（8分）将直线y＝3x+1向下平移1个单位长度，得到直线y＝3x+m，若反比例函数y=kx的图象与直线y＝3x+m相交于点A，且点A的纵坐标是3．（1）求m和k的值；（2）结合图象求不等式3x+m＞kx的解集．【解析】解：（1）由平移得：y＝3x+1﹣1＝3x，∴m＝0，当y＝3时，3x＝3，x＝1，∴A（1，3），∴k＝1×3＝3；（2）画出直线y＝3x和反比例函数y=3x的图象：如图所示，由图象得：不等式3x+m＞kx的解集为：﹣1＜x＜0或x＞1．六．解答题（共2小题，满分24分，每小题12分）24．（12分）如图，已知AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点D，过点B作BE⊥PD，交PD的延长线于点C，连接AD并延长，交BE于点E．（1）求证：AB＝BE；（2）连结OC，如果PD＝2√3，∠ABC＝60°，求OC的长．【解析】（1）证明：连接OD，∵PD切⊙O于点D，∴OD⊥PD，∵BE ⊥PC ，∴OD ∥BE ，∴ADO ＝∠E ，∵OA ＝OD ，∴∠OAD ＝∠ADO ，∴∠OAD ＝∠E ，∴AB ＝BE ；（2）解：∵OD ∥BE ，∠ABC ＝60°，∴∠DOP ＝∠ABC ＝60°，∵PD ⊥OD ，∴tan ∠DOP =DP OD ，∴2√3OD =√3，∴OD ＝2，∴OP ＝4，∴PB ＝6，∴sin ∠ABC =PC PB ， ∴√32=PC 6， ∴PC ＝3√3，∴DC =√3，∴DC 2+OD 2＝OC 2，∴（√3）2+22＝OC 2，∴OC =√7．25．（12分）如图1，抛物线y ＝﹣x 2+mx +n 交x 轴于点A （﹣2，0）和点B ，交y 轴于点C （0，2）．（1）求抛物线的函数表达式；（2）若点M 在抛物线上，且S △AOM ＝2S △BOC ，求点M 的坐标；（3）如图2，设点N 是线段AC 上的一动点，作DN ⊥x 轴，交抛物线于点D ，求线段DN 长度的最大值．【解析】解：（1）A （﹣2，0），C （0，2）代入抛物线的解析式y ＝﹣x 2+mx +n ，得{−4−2m +n =0n =2，解得{m =−1n =2， ∴抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2．（2）由（1）知，该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣x +2，则易得B （1，0），设M （m ，n ）然后依据S △AOM ＝2S △BOC 列方程可得：12•AO ×|n |＝2×12×OB ×OC ，∴12×2×|﹣m 2﹣m +2|＝2，∴m 2+m ＝0或m 2+m ﹣4＝0，解得x ＝0或﹣1或−1±√172， ∴符合条件的点M 的坐标为：（0，2）或（﹣1，2）或（−1+√172，﹣2）或（−1−√172，﹣2）．（3）设直线AC 的解析式为y ＝kx +b ，将A （﹣2，0），C （0，2）代入得到{−2k +b =0b =2，解得{k =1b =2， ∴直线AC 的解析式为y ＝x +2，设N （x ，x +2）（﹣2≤x ≤0），则D （x ，﹣x 2﹣x +2），ND ＝（﹣x 2﹣x +2）﹣（x +2）＝﹣x 2﹣2x ＝﹣（x +1）2+1，∵﹣1＜0，∴x ＝﹣1时，ND 有最大值1．∴ND 的最大值为1．。