学科教师辅导讲义
3.2.3 指数函数与对数函数的关系 【学习要求】 1.了解反函数的概念及互为反函数图象间的关系; 2.掌握对数函数与指数函数互为反函数. 【学法指导】 通过探究指数函数与对数函数的关系,归纳出互为反函数的概念,通过指数函数图象与对数函数图象的关系,总结出互为反函数的图象间的关系,体会从特殊到一般的思维过程. 填一填：知识要点、记下疑难点 1.当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的 自变量 ,而把这个函数的自变量 作为新的函数的 因变量. 我们称这两个函数 互为反函数. 即y ＝f(x)的反函数通常用 y ＝f － 1(x) 表示. 2.对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数 ,它们的图象关于 直线y ＝x 对称. 3.互为反函数的图象关于直线 y ＝x 对称;互为反函数的图象同增同减. 4.当a>1时,在区间[1,＋∞)内,指数函数y ＝a x 随着x 的增加,函数值的增长速度 逐渐加快 ,而对数函数y ＝log a x 增长的速度 逐渐变得很缓慢. 研一研：问题探究、课堂更高效 [问题情境] 设a 为大于0且不为1的常数,对于等式a t ＝s,若以t 为自变量可得指数函数y ＝a x ,若以s 为自变量可得对数函数y ＝log a x.那么指数函数与对数函数有怎样的关系呢？这就是本节我们要探究的主要问题. 探究点一指数函数与对数函数的关系 导引为了探究这两个函数之间的关系,我们用列表法画出函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象. 问题1函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的定义域和值域分别是什么,它们的定义域和值域有怎样的关系？ 答：函数y ＝2x 的定义域为R,值域为(0,＋∞);函数y ＝log 2x 的定义域为(0,＋∞),值域为R.函数y ＝2x 的定义域和值域分别是函数y ＝log 2x 的值域和定义域. 问题2在列表画函数y ＝2x 的图象时,当x 分别取－3,－2,－1,0,1,2,3这6个数值时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是: 18, 14, 1 2 , 1, 2, 4, 8. 问题3在列表画函数y ＝log 2x 的图象时,当x 分别取18,14,1 2 ,1,2,4,8时,对应的y 值分别是什么？ 答：y 值分别是:－3,－2,－1,0,1,2,3. 问题4综合问题2、问题3的结果,你有什么感悟？ 答：在列表画y ＝log 2x 的图象时,可以把y ＝2x 的对应值表里的x 和y 的数值对换,就得到y ＝log 2x 的对应值表. 问题5观察画出的函数y ＝2x 及y ＝log 2x 的图象,能发现它们的图象有怎样的对称关系？ 答：函数y ＝2x 与y ＝log 2x 的图象关于直线y ＝x 对称. 问题6我们说函数y ＝2x 与y ＝log 2x 互为反函数,它们的图象关于直线y ＝x 对称,那么对于一般的指数函数y ＝a x 与对数函数y ＝log a x 又如何？ 答：对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数.它们的图象关于直线y ＝x 对称. 探究点二 互为反函数的概念 问题1对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 是一一映射吗？为什么？ 答：是一一映射,因为对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 都是单调函数,所以不同的x 值总有不同的y 值与之对应,不同的y 值也总有不同的x 值与之对应. 问题2对数函数y ＝log a x 与指数函数y ＝a x 互为反函数,更一般地,如何定义互为反函数的概念？ 答：当一个函数是一一映射时,可以把这个函数的因变量作为一个新的函数的自变量,而把这个函数的自变量作为新 的函数的因变量,我们称这两个函数互为反函数.函数y ＝f(x)的反函数通常用y ＝f － 1(x)表示. 问题3 如何求函数y ＝5x (x ∈R)的反函数？ 答：把y 作为自变量,x 作为y 的函数,则x ＝y 5,y ∈R.通常自变量用x 表示,函数用y 表示,则反函数为y ＝x 5 ,x ∈R. 例1 写出下列函数的反函数: (1)y ＝lg x; (2)y ＝log 1 3 x; (3)y ＝????23x . 解：(1)y ＝lg x(x>0)的底数为10,它的反函数为指数函数y ＝10x (x ∈R). (2)y ＝log 13x (x>0)的底数为1 3 ,它的反函数为指数函数y ＝????13x (x ∈R). (3)y ＝????23x (x ∈R)的底数为23,它的反函数为对数函数y ＝log 2 3x (x>0). 小结：求给定解析式的函数的反函数的步骤: (1)求出原函数的值域,这就是反函数的定义域; (2)从y ＝f(x)中解出x; (3)x 、y 互换并注明反函数的定义域. 跟踪训练1 求下列函数的反函数:(1)y ＝3x －1; (2)y ＝x 3＋1 (x ∈R); (3)y ＝x ＋1 (x≥0); (4)y ＝2x ＋3 x －1 (x ∈R,x≠1).
解析外标两点对数方程计算黄芪药材含量 方法：照高效液相色谱法，ODS柱，以乙腈-水（32：68）为流动相，流速1ml/min，经蒸发光检测器检测，用外标两点对数方程计算黄芪药材中黄芪甲苷的含量。 仪器：安捷伦1100型液相色谱仪、蒸发光检测器（ELSD）、ODS 柱（4.6um*5mm*200mm）供试品：黄芪药材（检测成分：黄芪甲苷） 关键词：高效液相法、蒸发光检测器、黄芪甲苷、粉碎、提取物、外标两点对数方程 正文： 前处理：取约20g的黄芪药材放置于小型粉碎机内，粉碎后，盛装在密闭的容器中待用。供试品制备：取黄芪药材粉末两份，Ⅰ.4.0037g；Ⅱ.4.0022g。分别置索氏提取器中，加甲醇40ml，浸泡过夜（大于8小时）。第二天，加甲醇适量，加热回流4小时，提取液浓缩至干，残渣加水10ml，微热使溶解，用水饱和的正丁醇（制法：把水加入正丁醇中至饱和）振摇提取4次，每次40ml，合并正丁醇液；用氨试液充分洗涤2次，每次40ml，弃去氨液，正丁醇液蒸干，残渣加水5ml使溶解，放冷；通过D101型大孔吸附树脂柱(备注：自己装填)，并以水50ml洗脱，弃去水液；再用40%乙醇30ml 洗脱，弃去洗脱液；继用70%乙醇80ml洗脱，收集洗脱液，蒸干；用甲醇溶解并转移至5ml量瓶中，加甲醇至刻度，摇匀，即得供试品溶液。简单讲，即把黄芪药材最后提取物（黄芪甲苷）溶解到5ml
甲醇中。 对照品制备：称取黄芪甲苷对照品（中检所购入）0.0512g至100ml 容量瓶中，用甲醇溶解至刻度，摇匀，即得。测定：系统平衡后，精密吸取对照品溶液10ul进样，得色谱峰面积Ⅰ.259457；进样20ul，得色谱峰面积Ⅱ.523039。供试品溶液进样20ul，两针，色谱峰面积为：Ⅰ.909836，Ⅱ.902925。根据对照品峰面积和进样量，以外标两点对数方程计算供试品含量。 两点对数方程定义：是利用两点的对数值呈线性关系求解二元一次方程y=ax+b。本题是利用对照品溶液两针进样量的对数值和所得峰面积的对数值呈线性的关系，把两组数据带入方程y=ax+b中，求得a 和b，即求解了该方程式。然后带入供试品峰面积的对数值，求得供试品进样量的对数值，对其求反对数得供试品进样量（黄芪甲苷的量）。方程中x、y值均为进样量和峰面积取对数（lg）后的数值。简单讲，就是通过对照品溶液两针的进样量和峰面积（均取对数lg）求解方程式后，把供试品峰面积（取对数lg）带入方程式求得供试品的进样量。 数据处理：根据外标两点对数方程，应先计算得到方程式中的x、y值，才能求解此方程式。即取对照品进样量的对数值为x，取对照品峰面积对数值为y，计算结果如下： 对照品ⅠⅡ 进样量0.0512g×10ul0.0512g×20ul
一．指数函数与对数函数 1．求下列函数的定义域、值域： （1）1218 x y -= （2）y =（3）2x 2x 3y -= 2．设a 是实数，2()()21 x f x a x R =- ∈+， （1）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数； （2）试确定a 的值，使()f x 为奇函数。 3．函数f (x )＝x 21-的定义域是（ ） A ．(－∞，0] B ．[0，＋∞) C ．（－∞，0） D ．（－∞，＋∞） 4．函数y ＝－e x 的图象（ ） （A ）与y ＝e x 的图象关于y 轴对称 (B)与y ＝e x 的图象关于坐标原点对称 （C ）与y ＝e －x 的图象关于y 轴对称 (D)与y ＝e －x 的图象关于坐标原点对称 5．函数x a y =在]1,0[上的最大值与最小值这和为3，则a ＝（ ） （A ） 21 （B ）2 （C ）4 （D ）41 6．方程0224=-+x x 的解是__________． 7．设2()lg()1f x a x =+-是奇函数，则使()0f x <的x 的取值范围是（ ） A ．(1,0)- B ．(0,1) C ．(,0)-∞ D ．(,0)(1,)-∞+∞ 8．下面不等式成立的是( ) A ．322log 2log 3log 5<< B ．3log 5log 2log 223<< C ．5log 2log 3log 232<< D ．2log 5log 3log 322<< 9．函数2log (4)(0)y x x =+>的反函数是（ ） A ．24(2)x y x =+> B ．24(0)x y x =+> C ．24(2)x y x =-> D ．24(0)x y x =-> 10．函数212log (56)y x x =-+的单调增区间为（ ） A ．52??+∞ ???， B ．(3)+∞， C ．52??-∞ ???， D ．(2)-∞，
§1．4指数运算、指数函数 【复习要点】 1．指数、对数的概念、运算法则； 2．指数函数的概念, 性质和图象． 【知识整理】 1．指数的概念；运算法则：n n n mn n m n m n m b a ab a a a a a ===?+)(,)(, )1,,,0(* >∈>=n N n m a a a n m n m )1,,,0(1 1*>∈>= = - n N n m a a a a n m n m n m 2．指数函数的概念, 性质和图象如表： 其中利用函数的图象来比较大小是一般的方法。 4．会求函数y =a f (x)的单调区间。 5．含参数的指数函数问题，是函数中的难点，应初步熟悉简单的分类讨论。 【基础训练】 1］4 3的结果为 （ ） A.5 B.5 C.－5 D.－5 2．将322-化为分数指数幂的形式为 （ ） A ．2 1 2- B ．3 12- C ．2 12 - - D ．6 52-
3．下列等式一定成立的是 （ ） A ．2 33 1 a a ?=a B ．2 12 1a a ?- =0 C ．(a 3)2=a 9 D ．6 13121a a a =÷ 4．下列命题中，正确命题的个数为 （ ） ①n n a =a ②若a ∈R ,则(a 2－a +1)0=1 ③y x y x +=+3 433 4 ④623)5(5-=- A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 5．化简11111321684 21212121212-----??????????+++++ ???????????????????，结果是 （ ） A ．1 1 321122--? ?- ? ?? B ．1 132 12--??- ??? C ．1 3212-- D ．1321122-??- ??? 6 ．4 4 等 于 （ ） A ．16a B ．8a C ．4a D ．2 a 【例题选讲】 1．设3 2212 ,-==x x a y a y ，其中a ＞0,a ≠1，问x 为何值时有 （1）y 1＝y 2 ？ （2）y 1＜y 2？ 2．比较下列各组数的大小，并说明理由 （1）431.1，434.1，3 21.1 （2）4 316.0- ，2 35 .0- ，8 325.6 （3）5 32 )1(+a ，4 32 )1(+a 3．已知函数3234+?-=x x y 的值域为[7，43]，试确定x 的取值范围. 4．设01a <<，解关于x 的不等式2 2 232 223 x x x x a a -++->
二、指数对数方程 定义：在指数里含有未知数的方程叫指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程 指数方程的解法： （1） 定义法：()()log f x a a b f x b =?=形如 （2） 化同底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=形如 （3） 取对数法：()()lg ()lg ()g x f x a b a f x b g x =??=?形如 （4） 换元法：()()0,,0,x x f a t a f t t ===设解方程求再进一步求解 对数方程的解法： （1） 定义法：()()log f x a f x b a b =?=形如 （2） 化同底法：()log ()()()a f x g x f x g x =?=a 形如log （3） 换元法： ()()log 0,log ,0,a a f x t x f t t ===设解方程求再进一步求解 型如A(log a x)2+Blog a x+C=0常用换元法； （4）数形结合法． 注意：解对数方程验根是必不可少的． 指数不等式的解法： ()()1()()f x g x a a a f x g x >>?>若则 ()()01()()f x g x a a a f x g x <<>?<若则 对数不等式的解法 若()()1,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x >?? >>?>??>? 若()()01,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x ?>??>? 练习： 一、解下列方程 1). ()()lg 4lg lg 21x x x +-=+。 2) 248log 2log log 7x x x ++= 3) 252log 253log 1x x -= （4） 1 22log (44)log (23)x x x ++=+- （x=2） 5) 239(log )log 32x x -= 6) lg 2 1000x x += （ 1 101000 x orx == ） 7) 14272 ()()9 83 x x -?= 8)25235500x x -?-= 9)．222 215x x +--= 10).31636281x x x ?+=?， 11). 2 11 53x x +-= （31log 15or -） 12、677 1x x -?-= （7log 5x =）
指数方程与对数方程 一、素质教育目标 (一)知识教学点 1．对数方程的定义． 2．简单对数方程的解法． (二)能力训练点 1．掌握简单对数方程的解法． 2．培养学生应用化归及数形结合等数学思想的意识，提高数学思维能力．二、教学重点、难点和疑点 1．教学重点：对数方程的解法． 2．教学难点：对数方程的增根与失根． 3．教学疑点：造成增根与失根的原因． 三、课时安排 本课题安排1课时． 四、教与学过程设计 (一)复习引入新课 求下列函数的定义域(请两位学生板演)． 1．y=log2(x2-x-2) 2．y=log(x-2)4 (学生板演后教师评讲) 师：如果以上的函数式中，y=2，那么怎样求x呢？ 生：可以得到两个等式：
log2(x2-x-2)=2及log(x-2)4=2． 师：这是方程吗？ 生：是． 师：对，这就是我们今天要学习的对数方程．它是如何定义的？ 师生共同得出：对数的真数或底数中(或对数符号后面)含有未知数的方程叫对数方程． (二)对数方程的解法 师：一些简单的对数方程我们是可以求解的．如方程log(x-2)4=2，但怎么解呢？我们首先需考虑的问题是能否将其转化为已学过的普通方程去解？(这里体现了化归思想．) 生：能，因为对数式与指数式可互相转化，只需将其改为指数式，就可脱去对数符号，转化为普通方程了． 师：很好，由原方程得 (x-2)2=4． 解得x1=4，x2=0． 它们是原方程的解吗？ 生：是． 师：不要急着回答，再好好想一想． 生：x=0不是，当x=0时，原方程中的对数底数x-2小于0了，所以它不是原方程的解． 师：对了，那为什么会出现这种情形呢？实际上当我们将原方程 log(x-2)4=2转化为新方程(x-2)2=4后，未知数x的范围变大了，由{x|x＞2，且x≠3}，扩大为{x|x∈R且x≠2}，这样就容易产生增根，因此当得出新方程的解后，必须将其代入原方程中的真数或底数的式子中加以检验，舍去使对数无意义的值，这个过程叫验根． 小结：形如logg(x)f(x)=a的对数方程的解法是“化指法”，即将其化为指数式f(x)=g(x)a再求解，注意需验根． 例1 解方程lg(x2+11x+8)-lg(x+1)=1．
指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： （1）同底去底法：()()()()f x g x a a f x g x =?=； （2）化成对数式：log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： （1）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=； （2）化成指数式：log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=； （3）取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： （1）同底去底法： 1a >时， ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时， log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式： 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.
指数函数与对数函数之间是反函数 之间的关系 ★ 指数及指数幂的运算 1.根式的概念 a 的n 次方根的定义：一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n>1,n ∈N + 当n 为奇数时，正数的n 次方根为正数，负数的n 次方根是负数，表示为；当n 为偶数时， 正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数可以表示为 . 负数没有偶次方根，0的任何次方根都是0.式子 叫做根式，n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 2.n 次方根的性质： (1)当n 为奇数时，；当n 为偶数时，(2)3.分数指数幂的意义： 注意：0的正分数指数幂等与0，负分数指数幂没有意义. 4.有理数指数幂的运算性质： ★指数函数及其性质1.指数函数概念 一般地，函数叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . n √a n =a n √a n =|a|= a,a ≥0-a,a<0 n √a +n √a n √a (n √a )n =a a n =n √a m m (a>0,m,n ∈N,n>1); (a>0,m,n ∈N,n>1); a n 1 m a n = m (a>0,b>0,r,s ∈Q)(1)a r a s =a r+s (2) (a r )s =a rs (3) (ab)r =a r ·b r y=a x (a>0,且a ≠1)
y=a x 且★ 对数与对数运算 1.对数的定义 (1)若 =N （a>0,a ≠0，N>0），则x 叫做以a 为底N 的对数，记作x=log a N ， 其中a 叫做底数，N 叫做真数.(2)负数和零没有对数. (3)对数式与指数式的互化：x=log a N 等价于a x =N （a>0,a ≠0，N>0） 2.几个重要的对数恒等式 a x a x a x a x a x a x a x y=a x y=a x (a>0,且a ≠1)叫做指数函数
1, 已知f(x)= x 2+x+n 且f(0)=1， 则f(2)= 2, 已知f(x)=???>+<)0(13) 0(32x x x ，则f(1)= 3, 设函数21,(0)()1,(0)x x f x x x ?+≥=?-+0) x f x x +≤?=?-?的图像 9,设)(x f y =为一次函数，且34)]([+=x x f f ，求f (x )的解析式。 10, 下列各函数中，在区间（0,2）上为增函数的是 （ ） A ）x y -=3 B ）12+=x y C ）2x y -= D ）322+-=x x y 11, 若函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间（－∞，4）上是减函数，那么实数a 的取值范围是 （ ） A ）3≥a B ）3-≤a C ）3-≥a D ）5≤a 12, 函数f(x)=2x 2-mx+3在[2，+∞)上递增，在（-∞，2）上递减，则m=______________ 13, 函数y= (1-2a)x +1在(-∞,+∞)上是单调递减函数，求a 的取值范围 14, 函数f(x)= -x 2-x+1在区间[0，1]上是单调 函数（填“增”或“减”）。 15, 函数y =_____________________________ 16, 若3)1()(2++-=mx x m x f 是偶函数,则)(x f 的递增区间是______________________ 17, 下列函数为偶函数是是 （ ） A ）f(x)=x 2+x-1 B ）f(x)=x|x| C ）f(x)=x 2-x 3 D ）()f x =
指数函数和对数函数 重点、难点： 重点：指数函数和对数函数的概念、图象和性质。 难点：指数函数和对数函数的相互关系及性质的应用，以及逻辑划分思想讨论函数y a y x x a ==，l o g 在a >1及01<≠01且叫指数函数。 定义域为R ，底数是常数，指数是自变量。 为什么要求函数y a x =中的a 必须a a >≠01 且。 因为若a <0时，()y x =-4，当x = 1 4 时，函数值不存在。 a =0 ，y x =0，当x ≤0，函数值不存在。 a =1 时，y x =1对一切x 虽有意义，函数值恒为1，但y x =1的反函数不存在， 因为要求函数y a x =中的 a a >≠01且。 1、对三个指数函数y y y x x x ==?? ???=212 10，， 的图象的认识。 图象特征与函数性质： 图象特征 函数性质 （1）图象都位于x 轴上方； （1）x 取任何实数值时，都有a x >0； （2）图象都经过点（0，1）； （2）无论a 取任何正数，x =0时，y =1； （3）y y x x ==210，在第一象限内的纵坐标都大于1，在第二象限内的纵坐标都小于1，y x =?? ? ? ?12的图象正好相反； （3）当a >1时，x a x a x x >><<<>?????0101， 则， 则 （4）y y x x ==210，的图象自左到右逐渐（4）当a >1时，y a x =是增函数，
【课堂例题】 例1.解下列对数方程： (1)22log 4x =; (2)2 lg()lg x x x -=; (3)233(log )log 20x x +-=. 课堂自测： 1.利用同底型log ()log ()a a f x g x =解方程： (1)2 lg(118)lg(1)1x x x ++-+=; (2)222log (14)log (2)3log (6)x x x +++=++; (3)0.011000lg log log 1x x x ++=. 2.解下列对数方程： (1) 2111lg lg 1234 x x =-； (2)5log log 253x x +=. 3.解方程：lg 2 1000x x +=. (选用)例2.利用计算器并结合图像，求方程lg 3x x +=的近似解(精确到0.01)
【知识再现】 下列常见对数方程的等解变形为： log ()a f x b =? ；log ()log ()a a f x g x =? ； 2(log )log 0a a x p x q +?+=? . 【基础训练】 1.解下列方程： (1)3log (2)1x -=; (2)2 2log (3)2x x -=; (3)2lg 4x =; (4)25log (log )1x =. 2.解下列方程： (1)22lg(2)lg(6)x x x x --=--; (2)lg(2)lg(3)lg12x x -+-=; (3)15 5log (1)log (3)1x x +--=； (4)11(lg lg5)lg 2lg(9)22x x -=--. 3.解下列方程： (1)2 22log 3log 20x x ++=; (2)22lg lg 3x x -=； (3)1122 1 1log (95)log (32)2x x ---=--; (4)3log 2log 33x x +=
简单的指数对数方程 通过具体例子，让学生熟练掌握常见的类型与解法 一、知识点归纳： 1、 指数方程：指数里含有未知数的方程叫做指数方程。 几种特殊的指数方程的解法： （1）)()(x g x f a a =型)1,0(≠>a a 转化为)()(x g x f =求解； （2）b a x f =)(型)0,1,0(>≠>b a a 转化为b x f a log )(=求解； （3）02=+?+?C a B a A x x 型)1,0(≠>a a ,可令x a y =（换元），转化为一元二次方程求解； 2、 对数方程：对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。 几种特殊的对数方程的解法： （1）)(log )(log x g x f a a =型)1,0(≠>a a 转化为)()(x g x f =求解； （2）b x f a =)(log 型)1,0(≠>a a 转化为b a x f =)(求解； （3）0log log 2=+?+?C x B x A a a 型)1,0(≠>a a ,可令x y a log =（换元），转化 为一元二次方程求解； 注意：对数方程要检验！ 3、 用图像法求近似解或确定解的个数。 4、 指数不等式：指数里含有未知数的不等式叫做指数不等式。 若 )()(x g x f a a >，则) ()(10)()(1x g x f a x g x f a <<<>>时，当时，当。 5、 对数不等式：对数符号后面含有未知数的不等式叫做对数不等式。 若)(log )(log x g x f a a >，则 )()(0100)()(1x g x f a x g x f a <<<<>>>时，当时，当 二、例题讲解： 例1：解下列方程： （1）x x ??? ??=-214 12 （2）80334=-+x x （3）x x 352=-
指数、对数方程与不等式的解法 注:以下式子中，若无特别说明，均假设0a >且1,0a b ≠>. 一、知识要点： １、指数方程的解法： （1）同底去底法:()()()()f x g x a a f x g x =?=; （２)化成对数式:log () ()()log a b f x f x a a b a a f x b =?=?=; （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b =?=?=. 2、对数方程的解法： (１）同底去底法：log ()log ()()()a a f x g x f x g x =?=; (2)化成指数式:log ()log ()log ()b b a a a f x b f x a f x a =?=?=; （３)取同底指数：log ()log ()()a f x b b a f x b a a f x a =?=?=. 3、指数不等式的解法： (1)同底去底法: 1a >时, ()()()()f x g x a a f x g x ； （2）化成对数式： 1a >时, log ()()()log a b f x f x a a b a a f x b ； （3）取同底对数：()()()()lg lg ()lg ()lg f x g x f x g x a b a b f x a g x b 时， log ()log ()0()()a a f x g x f x g x >； （2）化成指数式: 1a >时， log ()log ()log 0()b b a a a f x b f x a f x a >.
指数方程与指数不等式、对数方程与对数 不等式的解法
指数、对数方程与不等式的解法 注：以下式子中，若无特别说明，均假设 a 0且a 1,b 0. 一、知识要点： 1、指数方程的解法： (1) 同底去底法：a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2)化成对数式：a f(x) b a f (x) log a b a f(x ：)log a b ； (3)取同底对数：a f(x) b g(x) f(x) lg a lg b g(x) f (x)l g a g(x)lg b 2、对数方程的解法： (1)同底去底法：log a f (x) log a g(x) f (x) g(x )； (2)化成指数式：log a f (x) b lo g a f (x) log b a a f(x) a b ； (3)取同底指数:log a f (x) b a log a f(x) b a f(x) b a . 3、 指数不等式的解法： (1) 同底去底法： a 1 时，a f(x) a g(x) f(x) g(x)； 0 a 1 时，a f(x) a g(x) f (x) g(x)； (2) 化成对数式： a 1 时，a f (x) b a f(x) a logab f (x) log a b ； 0 a 1 时，a f (x) b a f (x) a logab f (x) log a b ； (3) 取同底对数：a f (x) b g(x) Ig a f(x) Ig b g(x) f (x)lg a g(x)lg b . 4、 对数不等式的解法： (1)同底去底法： a 1 时，log a f(x) log a g(x) 0 f(x) g(x)；
指数与指数函数 知识讲解 一、指数运算 1.根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根．即若a x n =， 则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n ． ②性质：1）a a n n =)(； 2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0()0(||a a a a a a n n ． 2.幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN*； N 个 2）)0(10≠=a a ； 3）∈=-p a a p p (1Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N* 且)1>n ． ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）． 注：上述性质对r s R ∈、均适用．
二、指数函数 1.定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数， 1）函数的定义域为R ； 2）函数的值域为),0(+∞； 3）当10<a 时函数为增函数． 2.函数图像： f x () = 1 2( = 2x 1）指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限； 2）指数函数都以x 轴为渐近线（当10<a 时，图象向右无限接近x 轴）；指数函数在同一直角坐标系中的图像的相对位置与底数大小的关系是：在y 轴右侧，图像从上到下相应的底数由大变小，在y 轴的左侧，图像从下到上相应的底数由大变小． 3）无奇偶性，是非奇非偶函数，但对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的 图象关于y 轴对称，x x y a y a ==-与的图象关于x 轴对称；log x a y a y x ==与的图象关于直 线y x =对称．
幂函数、指数函数和对数函数 【知识结构】 指数方程和对数方程的解法（一） 【教学目标】 1. 理解指数方程、对数方程的概念，掌握简单的指数方程及对数方程的解法，能应用所学 知识解决简单的实际问题。 2. 通过回顾旧知、自主探究、合作交流，掌握简单的指数方程及对数方程的基本解法， 从中感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等重要的数学思想，逐步形成解决问题的思维模式，提高学习能力，改变学习方式. 3．理解解对数方程时可能会产生增根的原因，掌握解对数方程过程中检验增根的方法. 【教学重点】 指数方程及对数方程的概念、简单的对指数方程及对数方程的解法. 【教学难点】 感悟等价转化、数形结合、观察论证、函数与方程等数学思想与方法，学会研究问题的方法. 【知识整理】 1．简单的指对数方程 指数方程、对数方程的概念：指数里含有未知数的方程叫指数方程；在对数符号后面含有未知数的方程叫做对数方程。 2．常见的四种指数方程的一般解法
（1） 方程() (0,1,0)f x a b a a b =>≠>的解法： b log )x (f a = （2） 方程() ()(0,1,)f x g x a a a a =>≠的解法： )x (g )x (f = （3） 方程() ()(0,1,0,1)f x g x a b a a b b =>≠>≠的解法： b lg )x (g a lg )x (f ?=? （4）方程20(0,1)x x a ba c a a ++=>≠的解法： 换元，令t a x =，注意新变量范围， 将原方程化为关于t 的代数方程，解出t ，解出x 3．常见的三种对数方程的一般解法 （1）方程log ()(0,1,)a f x b a a =>≠的解法：“化指法”，即将其化为指数式b a )x (f =再求解，注意需验根． （2）方程log ()log ()(0,1,)a a f x g x a a =>≠的解法：“同底法”脱去对数符号，得 ()()f x g x =，解出x 后，要满足()0 ()0 f x g x >?? >?. （3）方程)1a ,0a (0C x log B x log A a 2 a ≠>=++的解法：用换元法，令y x log a =， 将原方程化简为Ay 2 +By+C=0，然后解之． 4．方程与函数之间的转化。 【例题解析】 【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，指数方程，解答题，中，运算 【题目】 解方程：9x -4·3x +3=0. 【解答】 解：由(3x )2-4(3x )+3=0? (3x -1)(3x -3)=0?3x =1或3?x =0或1. 【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，选择题，中，运算 【题目】 方程log 2［log 3(log 5x )］=0的根是 ( ) A.1 B.9 C.25 D.125 【解答】 答案：D ．解： log 3(log 5x )=1?log 5x =3.故选D ． 【属性】高三，幂函数、指数函数和对数函数，对数方程，解答题，中，逻辑
指数与对数运算 1．0.90.7 1.1log 0.8,log 0.9, 1.1a b c ===的大小关系是（ ） A ．c a b >> B ．a b c >> C ．b c a >> D ．c b a >> 【答案】A 【解析】因为0.70log 0.81a <=<， 1.1log 0.90b =<，0.91.11c =>，所以c a b >>，故选A ． 2．三个数20.60.6,ln0.6,2a b c ===之间的大小关系是（ ） A ．b c a << B ．c b a << C ．c a b << D ．a c b << 【答案】C 【解析】20.600.61,ln0.60,21c a b <<<>∴>>，故选C ． 3．设0.012 log 3,a b c ===，则（ ） A ．c a b << B ．a b c << C ．a c b << D ．b a c << 【答案】A 【解析】先和0比较，0.0122log log 10,30,ln ln10a b c =>==>=<= 得到c 最小；再与1比较0.01022log log 21,33a b ===>，得到b 最大．故选A ． 4．若4log 3a =，则22a a -+= ． 【答案】 33 4 【解析】3log 213log 24= =a 3log 2=，3343 1322=+=+-a a 5．已知0)](log [log log 237=x ，那么2 1 -x 等于（ ） A ． 31 B ．63 C ．33 D ．4 2 【答案】D 【解析】根据 0)](log [log log 237=x ，可得()32log log 1x =，即2log 3x =，解得328x ==，所以 112 2 8 4x - - == ，故选择D 6．若1,1,a b >>且lg()lg lg ,a b a b +=+则11 a b += ，lg(1)lg(1)a b -+-= ． 【答案】1,0 【解析】lg()lg lg ,a b a b +=+得
指数函数 一、选择题 1. 函数()x f x a =（0a >，且1a ≠）对于任意的实数x ，y 都有（ ） Ａ．()()()f xy f x f y = Ｂ．()()()f xy f x f y =+ Ｃ．()()()f x y f x f y += Ｄ．()()()f x y f x f y +=+ 2.下列各式中，正确的是＿＿＿.(填序号) ①1 2()a =-; ②13 a - = (0)a a =-< ；④3 4())a a b = ≠、b 0. 3.当[]1,1-∈x 时函数23)(-=x x f 的值域是（ ） [] []55A.,1 B.1,1 C.1, D.0,133????--?????? ?? 4.函数x a y =在[]1,0上的最大值与最小值的和为3，则a =( ) A. 2 1 B. 2 C.4 D. 4 1 5.已知,0a b ab >≠，下列不等式（1）2 2 a b >；(2)22a b >；(3) b a 11< ；(4)11 33a b >； (5)1133a b ???? < ? ????? 中恒成立的有（ ） A 、1个 B 、2个 C 、3个 D 、4个 6.函数1 21 x y =-的值域是（ ） A 、(),1-∞ B 、()(),00,-∞+∞ C 、()1,-+∞ D 、()(,1)0,-∞-+∞ 7.函数 （ ）的图象是（ ） 8.函数 与 的图象大致是( ).
9.下列函数式中，满足1(1)()2 f x f x +=的是( ) A 、 1(1)2 x + B 、14 x + C 、2x D 、2x - 10．若 ， ，则函数 的图象一定在（ ） A ．第一、二、三象限 B ．第一、三、四象限 C ．第二、三、四象限 D ．第一、二、四象限 11．已知 且 ， ，则 是（ ） A ．奇函数 B ．偶函数 C ．非奇非偶函数 D ．奇偶性与 有关 二、填空题 1.已知23 4x -=，则x =___________ 2.设0.9 0.48 1.5 12314,8 ,()2 y y y -===，则123,,y y y 的大小关系是________________ 3.当0a >且1a ≠时，函数2 ()3x f x a -=-必过定点 ． 4.函数()f x 的定义域为[1,4],则函数(2)x f -的定义域为______________ 5已知 的定义域为 ,则 的定义域为__________. 6.已知函数()x x f x a a -=+（0a >，1a ≠），且(1)3f =，则(0)(1)(2)f f f ++的值 是 ．