反比例函数复习课
复习目标
1.通过对考点知识的梳理,进一步明确反比例函数的概念及图象与性质；
2.通过题组训练,能够熟练运用这部分知识解决问题,形成解题方法. 思想解决数学问题。 教学重难点
重点：反比例函数的图象和性质；k 的几何意义 难点：反比例函数与一次函数的综合应用方法和技巧 教学方法：学生之间相互讨论与教师点拨以及学生试讲相结合 教学工具：课件、直尺、翻页笔、无尘粉笔 教学过程 一、 知识梳理 1 反比例函数的概念
定义：一般地，形如________(k 为常数， k ≠0) 的函数，叫做反比例函数.
三种等价形式：y ＝k x
或y ＝kx -1
或xy ＝k(k ≠0)．
（设计目的：使学生进一步了解反比例函数的概念及表达式，认清自变量和因变量） 2 画反比例函数图象
（1）画出反比例函数y=6
x
的图象并总结画图过程
（2）对比反比例函数y=-6x 和反比例函数y=6
x 的图象的异同
3 反比例函数的图象与性质
根据以上两个图象总结出反比例函数y=k
x (k ≠0)的图象以及性质
4 反比例函数中“k ”的几何意义
已知:如图点P 是双曲线y ＝k
x （k ≠0）上任意一点, PA ⊥OX 于A, PB ⊥OY 于B.则:矩形PAOB
的面积=
?POD 的面积=
（设计目的：通过研究函数图象上动点P 进一步总结归纳出：图象上的点与两坐标轴所组成的矩形或三角形的面积与反比例函数表达式中k 的绝对值的密切关系） 5 确定反比例函数的解析式
已知点P 在双曲线y ＝k
x （k ≠0）上，点P'(3，5)与点P 关于y 轴对称，则此双曲线的解析
式为 6 反比例函数的实际应用
一司机驾驶汽车从甲地去乙地，他以80千米/小时的平均速度用了4小时到达乙地．当他按照原路返回时，汽车的速度v(千米/小时)与时间t(小时)的函数关系是( ) A ．v ＝320t
B ．V=320t
C ．v ＝20t
D ．V=20
t
（设计目的：中考中对知识点的考查和生活实际有着密切的关系，是对教材的拓展和应用，不可忽视.） 二 对应考点练习 考点一 反比例函数的定义
1. 下列函数中正比例函数有（ ）个，反比例函数有（ ）个 ① y=3x-1 ② y=2x
2
③ y=1x ④ y=2x 3
⑤ y=3x ⑥ y=-1x ⑦ y=2
3x
2. 已知：多项式x 2
-kx+1是一个完全平方式，则反比例函数y ＝k x 的解析式为（ ）
A. y=1x
B. y=1x 或y=3
x
B. y=3x 或 y=- 3x D. y=2x 或y=- 2x
考点二 反比例函数的图象和性质
1. 在平面直角坐标系中，反比例函数y=a 2
-a+2x
图象的两个分支分别在（ ）
A.第一、三象限
B.第二、四象限
C.第一、二象限
D.第三、四象限
2.如图能表示y=k
x
与y=kx+1在同一坐标系中的大致图像的是（ ）
考点三 反比例函数k 的几何意义
1.如图，双曲线y=k
x (k ≠0)上有一点A ，过点A 作AB ⊥x 轴于点B ，△AOB 的面积为2，则
该双曲线的表达式为 ．
2.（2012?黔东南州）如图.点A 是反比例函数y=-6
x (x ＜0)的图象上的一点，过点A 作□
ABCD ，使点B 、C 在x 轴上，点D 在y 轴上，则ABCD 的面积为( )
A ．1
B ．3
C ．6
D ．12 考点四 反比例函数的增减性
函数y=-k 2-2
x (k 为常数)的图象上有三点（-3，y 1），(-1,y 2)， (2,y 3)，则函数值y 1、y 2、y 3
的大小关系是
（设计目的：如何灵活地运用反比例函数的图象和性质，研究比较各点之间对应的函数值的大小关系，对应练习是对知识点的拓展和应用） 考点五 反比例函数与一次函数的综合应用
如图，反比例函数y=k
x 的图象与一次函数y=x+b 的图象交于点A （1,4）B （-4，n ）
（1）求一次函数和反比例函数的解析式 （2）求 ?OAB 的面积
（设计目的：使学生知道反比例函数的应用的考查，常常和其它函数相结合进行综合考查，了解中考出题的方向，以便今后做出针对性的复习） 考点六 反比例函数与不等式的关系
如图，一次函数与反比例函数的图象相交于A 、B 两点，则图中使反比例函数的值小于一次函数的值的x 的取值范围是（ ）． A 、x ＜－1 B 、x ＞2
C 、－1＜x ＜0或x ＞2
D 、x ＜－1或0＜x ＜2
三 体会与分享
请说出你这节课的收获与体验,让大家与你分享
（设计目的：通过本节课的学习，学生学会了什么，该环节也是学生之间相互学习、相互交流的很好平台。）
四 当堂达标检测（满分50分）
1．(2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2
x (k 2≠
0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为（ ）（5分）
A ．(－1，－2)
B ．(－2，－1)
C ．(－1，－1)
D ．(－2，－2)
2．反比例函数y ＝k
x
与一次函数y ＝－kx －k 在同一直角坐标系中的图象可能是( )（5分）
3．(2017·兰州)如图，反比例函数y ＝k
x (x<0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点，
A ，
B 两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x 的不等式k
x
A ．x<－3 B ．－3 C ．－1 D ．x<－3或－1 第3题图 第4题图 4．(2017·枣庄)如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(－3，4)，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x (x<0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( )（5分） A ．－12 B ．－27 C ．－32 D ．－36 5．(2017·烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝k x 的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为 ．（5分） 6．如图，已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点A(4，m)，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.（10 分） (1)求k 和m 的值； (2)若点C(x ，y)也在反比例函数y ＝k x 的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取 值范围． 7．(2016·德州)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： (1)观察表中数据，x ，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（5分） (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？（5分） 拓展题 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC 的 两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是( )（5分） A ．6 2 B ．10 C ．226 D ．229 五 订正答案，交流分享 由学生讲解能力提升题目，并总结做题方法和思想 六 结束寄语 七 板书设计 反比例函数复习课 学情分析是教学设计的重要依据，决定着教学目标、教学方法、教学内容的确定。在教学中要认真研究学生的实际需要、起点水平和认知倾向等实际情况，才能设计有效的教学程序，力求使有效学习发生在每个学生身上，从而优化教学过程。 函数的学习对于初中生来说是一大难点，学习中要求学生进行数形结合的思维运算，进行符号语言和图形语言的灵活转换。但在学生的认知结构中，数与形基本上是割裂的，他们看问题往往是局部的、静止的、割裂的，不善于把抽象的概念与具体事例联系起来，还不能 够完全胜任这种需要用辩证的思想、运动变化的观点才能理解的学习任务。 而反比例函数是函数的重要知识。核心知识是反比例函数的概念、图象、性质与应用。从学生学习情况分析，反比例函数的增减性与一次函数的增减性容易想混，用函数的观点看待方程、不等式以及函数间关系在理解上、思维方式上存在一定的困难，用反比例函数解决实际问题需要建模的思想与策略，需要一定的生活背景知识，对学生有较高的要求。 基于以上分析，从学习函数最本质的思想——数形结合思想为出发点，多设计有关函数图象的题型，在学生疑难问题解决过程中加深对反比例函数以及一次函数的理解。 反比例函数复习课 “反比例函数”是一节典型的函数课，传统的复习过程中呈现的往往是“师授生受”的模式，学生比较被动，一节课下来深感枯燥单一。如何渗透新课标的理念，老教材新上法，突破传统的教学模式，构建师生互动的教学模式，这是我课前设计教学过程时思考的核心。通过实践检验，发现效果还不错。 一、题型的选择贴近生活，拉近数学与生活的距离 新课标指出：学生数学学习的内容应当是现实的、有意义的、富有挑战性的，这些内容更容易激发学生学习的兴趣，有利于学生积极主动地进行观察、推理与交流等活动。本节课在复习题型的选择上我借助生活中的数学问题，如速度与时间等变量之间的关系，充分利用学生已有的生活经验，拉近了学习的内容与学生的距离，使学习的内容生活化，生活的内容数学化。 二、信息呈现多样化，丰富了体验途径 新课标指出：数学学习的内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。本节课我把材料借助多媒体以动态的形式呈现，加深了学生对函数图象的理解。而且学生还可以凭借“个体独立解读、小组交流互评“的渐进过程进行充分深入的自主探究，在“亲历”和“体验”中达成学习目标；多样化的信息材料，丰富了教学内容，更拓宽了学生的体验途径。 三、主体学习探究化，促进了感悟深度 新课标指出：有效的数学学习活动不能单纯的依赖模仿与记忆，动手实践、自主探索与合作交流是学生学习数学的重要方式。本节课中对于反比例的意义的理解感悟充分建立在学生对数学问题的自主探究、交流合作的基础之上，这样的教学过程更多地体现出“自觉、自主、自我”的主体意味。让学生发挥独立探究的潜能。在“表达”中巩固自己的探究成果，在“倾听”中分享别人的学习收获，促进了感悟的深度。 四、练习设计层次化，凸现了方法提炼 有效的课堂练习是巩固新授知识、形成技能技巧、培养良好思维品质、发展学生智力的重要途径。本节课中我在设计练习题时面向全体学生，注重层次化，倡导开放化，凸现探究化。使学生在在巩固旧知的同时获取了一定的学习方法，知识与方法并重，使不同的学生在练习过程中获得不同程度的发展。 五、所选题型贴近中考，拉近了学生与中考的距离 反比例函数复习课 本节课内容属于人教版九年级下册第26章的内容，它在中学数学教学中有着极为重要的地位，是教学的重点，也是教学的难点之一。反比例函数是初中阶段所要学习的三种函数中的一种，是一类比较简单但很重要的函数，也为以后更高层次函数的学习（函数、方程、不等式间的关系）奠定了重要的基础。现实生活中充满的反比例函数的例子，有着极其广泛的应用。应用反比例函数解决实际问题，尤其是跨学科应用反比例函数的图象和性质解决实际问题日益成为考试的热点之一。 通过反比例函数的学习，使学生掌握函数的概念，进一步对函数所蕴含的“变化和对应”思想有了深层的理解。在应用反比例函数解决问题中，增强应用数学知识的意识，体会数形结合、转化、类比、归纳等数学思想方法。因此，本节内容有着举足轻重的地位。由于这节课是初三的中考复习，所以教学时应注意引导学生抓住反比例函数图象的特征，结合各地中考试题让学生进一步认识中考对这一部分的考查思路及方法，并通过练习进一步完善自己平时的解答步骤。 反比例函数达标检测 （满分50分） 1．(2017·广东)如图，在同一平面直角坐标系中，直线y ＝k 1x(k 1≠0)与双曲线y ＝k 2 x (k 2≠ 0)相交于A ，B 两点，已知点A 的坐标为(1，2)，则点B 的坐标为（ ）（5分） A ．(－1，－2) B ．(－2，－1) C ．(－1，－1) D ．(－2，－2) 2．反比例函数y ＝k x 与一次函数y ＝－kx －k 在同一直角坐标系中的图象可能是( )（5分） 3．(2017·兰州)如图，反比例函数y ＝k x (x<0)与一次函数y ＝x ＋4的图象交于A ，B 两点， A ， B 两点的横坐标分别为－3，－1，则关于x 的不等式k x A ．x<－3 B ．－3 C ．－1 D ．x<－3或－1 第3题图 第4题图 4．(2017·枣庄)如图，O 是坐标原点，菱形OABC 的顶点A 的坐标为(－3，4)，顶点C 在x 轴的负半轴上，函数y ＝k x (x<0)的图象经过顶点B ，则k 的值为( )（5分） A ．－12 B ．－27 C ．－32 D ．－36 5．(2017·烟台)如图，直线y ＝x ＋2与反比例函数y ＝k x 的图象在第一象限交于点P ，若OP ＝10，则k 的值为 ．（5分） 6．如图，已知反比例函数y ＝k x 的图象经过点A(4，m)，AB ⊥x 轴，且△AOB 的面积为2.（10 分） (1)求k 和m 的值； (2)若点C(x ，y)也在反比例函数y ＝k x 的图象上，当－3≤x ≤－1时，求函数值y 的取 值范围． 7．(2016·德州)某中学组织学生到商场参加社会实践活动，他们参与了某种品牌运动鞋的销售工作，已知该运动鞋每双的进价为120元，为寻求合适的销售价格进行了4天的试销，试销情况如表所示： (1)观察表中数据，x ，y 满足什么函数关系？请求出这个函数关系式；（5分） (2)若商场计划每天的销售利润为3 000元，则其单价应定为多少元？（5分） 拓展题 1．如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y ＝k x (x>0)的图象与边长是6的正方形OABC 的 两边AB ，BC 分别相交于M ，N 两点，△OMN 的面积为10.若动点P 在x 轴上，则PM ＋PN 的最小值是( )（5分） A ．6 2 B ．10 C ．226 D ．229 反比例函数复习课 反比例函数复习课上完了，总体的感觉有成功的地方，也有不足之处。我认为本堂课成功的做法有以下几方面： 一、定位较准，立足于本校学情。结合学生的实际情况，本节复习是先按知识点复习，目的是让学生在头脑中建立一个清晰的知识框架，然后通过课件展示考点聚焦和考点探究（每个考点都设计了对应的练习），考点预测检验学生的学习情况，通过教学来看目标已达成。 二、习题设计合理，立足于思维训练。本节课每个知识点都设计了针对性的问题，通过练习让学生掌握解题的技巧、方法。 三、注重了数学思想方法的渗透。在反比例函数的性质教学时，紧紧抓住关键词语，突破难点。性质强调“在同一象限内”，而我们学生往往忽略这个问题，无论是怎样的几个点，都直接用性质，结合图象观察，让学生看到理解到：在同一象限内可直接用性质，不在同一象限内，一、二象限的点的纵坐标永远大于三、四象限内点的纵坐标。这样，非常明了的让学生把最容易混淆的知识分清了，突破难点的同时也渗透了数学思想方法：分类讨论和数形结合。 四、大胆尝试信息技术教学。虽然多媒体的功能还没完全了解，使用的也不够熟练，但也能体现出信息技术在数学教学的灵活性、直观性，对数学教学尤其是对即将参加中考的初三学生的教学都起到一定的作用，提高了课堂效率。 不足之处: 一、预见性不够。这主要体现在学生的讲题上，本来学生平时讲课没有问题，可是录课时学生可能有点紧张，结果学生的操作偏离了老师的预想，从而浪费了时间，自己对于突发事件的处理灵活性还不够，掌控课堂的能力有待提高。 二、对学生的情感关注太少。本来想营造一种和谐的课堂气氛，学生因为紧张放不开，从而影响了课堂的气氛，没有焕发出学生的激情。 三、角色转换不彻底。在整个课堂教学过程中，尽管老师注意到有些问题必须加入学生之间讨论才能完成得更加出色，但是留给学生的时间不够充足. 今后还需要改进的地方： 一、在上课过程中，要始终关注学生的情感。因为学生的学习是认知和情感的结合，只有给了他们情感上的极大满足，学生才会获得渴望成功的动力，我们的自主学习活动才能收到应有的效果。 二、不断学习新的教育理论，不断更新教学观念，使数学教育面向全体学生，实现——人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的学生在数学上得到不同的发展。 三、注意评价的多元化，全面了解学生的数学学习历程，对数学学习的评价不仅要关注学生学习的结果，更要关注他们学习的过程，帮助学生认识自我，建立信心。 四、努力学习多媒体软件设计和制作，把它作为教师备课、教学改革的工具，使电脑、网络、光盘、白板等现代媒体成为像黑板、粉笔一样的得心应手的工具，恰如其分地应用于日常课堂教学中，真正为教学服务。 有反思才会有进步，作为身处课程改革第一线的教育工作者，应迅速转变传统的教育观念，勇于创新，积极接受挑战。 反比例函数复习课课标分析 根据新课程标准的要求，结合学生的实际情况，我对课标进行了细化、分解，以使不同的学生在数学上得到不同的发展。 依据一：数学课程标准对反比例函数的具体要求 1、熟练掌握反比例函数的定义及其性质，k的几何意义 2、灵活运用反比例函数与一次函数的综合知识解决问题 依据二：教学参考书的要求 1、会画反比例函数图象，并体会函数的三种表示方法 2、熟练运用函数的性质特征解决相关问题 依据三：中考考试说明 在每年的中考试题中常常出现反比例函数图象和性质的问题，以及反比例函数与一次函数的相结合的问题，所以它是中考考点中的重要知识点。 依据四：教材内容 反比例函数的图象具体展现了反比例函数的整体直观形象，这为学生探索函数类的问题提供了思维活动的空间。 依据五：学生的实际情况 学生在此节课之前，已经对反比例函数有了一定的了解，再加上我校的小组合作教学模式，学生能够通过自主探究、合作交流、教师引导等方式解决问题、探究新知。 最后结合以上种种实际，确定了以下复习目标： 1.通过对考点知识的梳理,进一步明确反比例函数的概念及图象与性质； 2.通过题组训练,能够熟练运用这部分知识解决问题,形成解题方法. 思想解决数学问题。 2.3幂函数教学设计 教材分析： 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学习。 教学目标 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析 情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。 重难点 重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质 难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律 教学方法与手段 借助多媒体，探究+反思+总结 教学基本流程 教学过程设计： （一）实例观察，引入新课 (1) 如果张红购买了每千克1元的蔬菜w 千克，那么她需要支付p ＝w 元，这里 p 是w 的函数； (2) 如果正方形的边长为a ，那么正方形的面积S=a 2，这里S 是a 的函数； (3) 如果立方体的边长为a ，那么立方体的体积V =a 3，这里V 是a 的函数； (4) 如果一个正方形场地的面积为S ，那么这个正方形的边长a=12 S ，这里a 是S 的函数； (5) 如果某人t 秒内骑车行进了1 km ，那么他骑车的平均速度v=t -1，这里v 是t 的函数. 若将它们的自变量全部用x 来表示,函数值用y 来表示,则它们的函数关系式将是: x y = 2x y = 3 x y = 2 1 x y = 1-=x y 【师生互动】： 以上问题中的函数有什么共同特征？ 都是函数; 均是以自变量为底的幂; 指数为常数; 自变量前的系数为1; 幂 前的系数也为1 【设计意图】引导学生从具体的实例中进行总结，从而自然引出幂函数的一般 特征. （二）类比联想，探究新知 1、幂函数的定义 幂函数的概念：一般地，函数y ＝x α叫做幂函数，其中x 是自变量，α是常数。 确定二次函数表达式 一、导入新课 复习回顾：先复习二次函数的概念及二次函数的表达式，再通过一次函数，反比例函数的求法，引入确定二次函数表达式的方法。 二、学习目标 1.经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思 想方法,培养数学应用意识. 2.会利用待定系数法求二次函数的表达式. 3.灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以 便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。 三、教学过程 1、先复习二次函数的概念及二次函数的表达式，再通过一次函数， 反比例函数的求法，引入确定二次函数表达式的方法----待定系数法。 2、指出本节课的教学目标： （1）经历确定二次函数表达式的过程,体会求二次函数表达式的思想方法,培养数学应用意识. （2）会利用待定系数法求二次函数的表达式. （3）灵活应用二次函数的三种形式:一般式，顶点式，交点式，以便在用待定系数法求解二次函数表达式时减少未知数的个数，简化运算过程。 3、精讲例题1，学习具体求解方法。 例1 已知二次函数y=ax2+c 的图象经过点（2，3）和 （－1，－3），求出这个二次函数的表达式. 解：将点（2，3）和（－1，－3）分别代入二次函数y=ax 2+c 中，得 ? ??4a+c=3a+c=－3 解这个方程组，得? ??a=3c=－5 ∴所求二次函数表达式为：y=2x 2－5. 4、让学板演评测题：做一做，并点评，介绍两种解法。说明什么时候设一般式。 做一做：已知二次函数的图象与y 轴交点的纵坐标为1，且经过点（2，5）和（-2，13），求这个二次函数的表达式. 5、继续学习例题2，例3，并讲解不同解法，说明什么时候设顶点式，什么时候设交点式 例题2二次函数y=ax2+bx+c 的图象过点A(0,5),B(5,0)两点，它的对称轴为直线x=3，求这个二次函数的解析式。 例3已知二次函数图象经过点 (1,4),(-1,0)和(3,0)三点，求二次函数的表达式。 《函数》教材分析 1、哪儿发生变化，哪没变？从教材内容，（或添加、删减），内容 没变，但是呈现方式发生改变，体现的理念变化，为什么这么 变？实际上是要学有用的数学，身边的数学，应用数学，学是 为了用，设计思想，体现的理念。做数学，让学生参与。 2、新教材的重点和难点要分析出来，要将知识串起来。 3、变化的内容引起呈现方式的变化，技术所起的作用。技术的使用，引起学习方式的改变，怎么用？明确指出需要用技术的地方，形与数要结合。使用技术到非用不可，举例说明。重点！ “函数是描述客观世界变化规律的重要数学模型。高中阶段用集合与对应的语言刻画函数，函数的思想方法将贯穿高中数学的始终。学生将学习指数函数、对数函数等具体的基本初等函数，结合实际问题，感受运用函数概念建立模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活和社 会中的简单问题。” 二、内容安排： 函数这章教材共分个大节：第一大节是函数的概念及函数的一般性质；第二大节是指数与指数函数；第三大节是对数与对数函数；第四大节是函数的应用举例和实习作业。 1、函数是中学数学中最重要的基本概念之一。中学的函数教学大致为三个阶段，初中初步探讨函数的概念、函数关系的表示法、函数图象，并具体学习正比例、反比例、一次函数、二次函数等，使学生获得感性知识；本章及三角函数的学习是函数教学的第二阶段，是对函数概念的再认识阶段，用集合、映射的思想理解函数的一般定义，通过指数函数、对数函数以及后续的三角函数，使学生获得较为系统的函数知识，并初步培养函数的应用意识。第三阶段在选修部分，极限、导数与微分、积分是函数及其应用的深化与提高。 高中的函数知识是在初中的基础上学习的，主要讲函数的概念、函数关系的表示法、并学习函数的一般性质。从映射的概念看，函数是集合A到集合B的映射（A、B是非空数集），映射是特殊的对应，函数是特殊的映射，反函数也是映射。 2、学生在初中的基础上学习有理指数幂及其运算法则是不困难的。指数函数及其图象和性质是这一节的重点，要通过具体实例了解指数函数模型的实际背景，通过具体函数的图象来观察、归纳函数的性质，反之，函数性质又直观反映在图象上，指导准确作出函数图象。 【教学设计中学数学】 区县雁塔区 学校西安市航天中学 姓名贾红云 联系方式 邮编710100 《指数函数、幂函数、对数函数增长的比较》教学设计 一、设计理念 《普通高中数学课程标准》明确指出：“学生的数学学习活动，不应该只限于接受、记忆、模仿和练习，高中数学课程还应该倡导自主探索、动手实践、合作交流、阅读自学等信息数学的方式；课程内容的呈现，应注意反映数学发展的规律以及学生的认知规律，体现从具体到抽象，特殊到一般的原则；教学应注意创设情境，从具体实例出发，展现数学知识的发生、发展过程，使学生能够从中发现问题、提出问题，经历数学的发现和创造过程，了解知识的来龙去脉等”。本节课是北师大版高中数学必修Ⅰ第三章第6节内容，本节专门研究指数函数、幂函数、对数函数的增长的比较，目的是探讨不同类型的函数模型，在描述实际增长问题时的不同变化趋势，通过本节课的学习，可以引导学生积极地开展观察、思考和探究活动，利用几何画板这种信息技术工具，可以让学生从动态的角度直观观察指数函数、幂函数、对数函数增长情况的差异，使学生有机会接触一些过去难以接触到的数学知识和数学思想，并为学生提供了学数学、用数学的机会，体现了发展数学应用意识、提高实践能力的新课程理念。 二、教学目标 1．结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型的意义，理解它们增长的差异性； 2．能借助信息技术，利用函数图像和表格，对几种常见增长类型的函数增长的情况进行比较，体会它们增长的差异； 3.体验指数函数、幂函数、对数函数与现实世界的密切联系及其在刻画实际问题中的作用，体会数学的价值. 三、教学重难点 教学重点：认识指数函数、幂函数、对数函数增长的差异，体会直线上升、指数爆炸、对数增长的含 义。 教学难点：比较指数函数、幂函数、对数函数增长的差异 四、教学准备 ⒈提醒学生带计算器； ⒉制作教学用幻灯片； ⒊安装软件：几何画板 ，准备多媒体演示设备 五、教学过程 ㈠基本环节 ⒈创设情景，引起悬念 杰米和韦伯的故事 一个叫杰米的百万富翁，一天，碰上一件奇怪的事，一个叫韦伯的人对他说，我想和你定个合同，我将在整整一个月中每天给你 10万元，而你第一天只需给我一分钱，而后每一天给我的钱是前一天的两倍。杰米说：“真的？！你说话算数？” 合同开始生效了，杰米欣喜若狂。第一天杰米支出一分钱，收入10万元；第二天，杰米支出2分钱，收入10万元；第三天，杰米支出4分钱，收入10万元；第四天，杰米支出8分钱，收入10万元…..到了第二十天，杰米共得到200万元，而韦伯才得到1048575分，共10000元多点。杰米想：要是合同定两个月、三个月多好！ 你愿意自己是杰米还是韦伯？ 【设计意图】创设情景，构造问题悬念，激发兴趣，明确学习目标 ⒉复习旧知，提出问题 图1-1 图1-2 图1-3 ⑴ 如图1-1，当a 时，指数函数x y a =是单调 函数，并且对于0x >，当底数a 越大时，其 函数值的增长就越 ； ⑵ 如图1-2当a 时，对数函数log a y x =是单调 函数，并且对1x >时，当底数a 越 时 其函数值的增长就越快； ⑶ 如图1-3当0x >，0n >时，幂函数n y x =是增函数，并且对于1x >，当n 越 时，其函数值 2.4.1《函数的零点》教学设计 一、教材与教学分析 1．函数的零点在教材中的地位 本节课是人教B版必修一2.4.1《函数与方程》第一课时的内容，它是在学习了一次函数和二次函数以及函数的基本性质基础上，对函数知识的进一步延伸和拓展，为了下节学习“求函数零点近似解的一种计算方法——二分法”和后续的“算法学习”做好了铺垫。它在整个高中数学教材体系中起着承上启下的作用，地位至关重要。 2．教学目标分析 ①知识能力方面： （1）.掌握函数零点的概念，会求函数的零点. （2）.掌握二次函数零点的判定方法. （3）.会运用性质做出简单三次函数的大致图像. ②数学核心素养方面： （1）.在探索方程根与函数零点的关系中，构建函数零点的概念，提升学生数学抽象与数学建模素养； (2).在判定二次函数零点的个数及探索零点性质的过程中；培养学生数形结合与直观想 象的核心素养. 3.教学的重点：函数零点的概念与性质；判定二次函数零点的个数；会求函数的零点. 教学的难点：函数零点的应用 值为 四、函数零点的性质 性质1， 问题1．请同学们通过列表研究一次，二次函数零点左右的函数值的符号如何变化的？ 问题2．如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？ 问题3．如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴一定有什么关系？ 性质2， 问题4.通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？ 1.通过列表，学生从数上理解函数零点的性质1 2.通过几何画板的演示，使学生直观地观察到连续i 函数在零点分成的区间上函数值保持同号。 3.培养学生分析问题探究问题的能力，培养学生数形结合思想，直观想象的核心素养。 师：观察函数12-=x y ， 2()6f x x x =--的图像，在零点两侧 附近函数值的符号是如何变化的？ 一生投影展示，大胆给出结论 师：性质1.（板书） 师：如果函数图象通过零点但是不穿过x 轴时，函数值变号吗？ 生：不变号 师：如果零点左右的函数值连续变号，函数图象与x 轴有什么关系？ 生：相交 师：通过几何画板观察一次函数，二次函数在零点分成的区间上，函数值有什么特点？ 师：性质2（板书） 五、性质简单应用 1.运用零点的性质，求函数 22)(23+--=x x x x f 的 零点，画出函数的图像。 2.变式：求函数 f (x )= 通过例题的练习，初步掌握利用三次函数图像的大致 画法。 例2教师板书：规范步骤。 强调：（1）求函数的零点 （2）取值列表 取与x 轴交点，与y 轴交点，以及零点分成区间内部至少一点。遇到对称值，可以再取点。 （3）描点连线，用平滑的曲线连接。 师：明确了作三次函数图像的步骤，变式：求f (x )=12432 3 +--x x x 的零点，并画出它的图象． 第三章《函数》教材分析 本章为函数，共6节，内容如下映射、函数、作函数图像的描点法、函数的性质、反函数、函数的应用举例. 本章共需17课时，具体分配如下： 3.1映射约1课时 3.2 函数约3课时 3.3作函数图像的描点法约2课时 3.4函数的性质约3课时 3.5 反函数约2课时 3.6 函数的应用举例约2课时 小结与复习约4课时 一、内容与要求 函数是数学的重要的基础概念之一进一步学习的数学分析，包括极限理论、微分学、 积分学、微分方程乃至泛函分析等高等学校开设的数学基础课程，无一不是以函数作为基本 概念和研究对象的其他学科如物理学等学科也是以函数的基础知识作为研究问题和解决问题的工具函数的教学内容蕴涵着极其丰富的辩证思想，是对学生进行辩证唯物主义观点教育的好素材函数的思想方法也广泛地诊透到中学数学的全过程和其他学科中 函数是中学数学的主体内容它与中学数学很多内容都密切相关，初中代数中的“函数及其图象”就属于函数的内容，高中数学中的指数函数、对数函数、三角函数是函数内容的主体，通过这些函数的研究，能够认识函数的性质、图象及其初步的应用后续内容的极限、微积分初步知识等都是函数的内容数列可以看作整标函数，等差数列的通项反映的点对(n，an)都分布在直线y＝kx+b的图象上，等差数列的前n项和公式也可以看作关于n(n∈N)的二次函 数关系式，等比数列的内容也都属于指数函数类型的整标函数中学的其他数学内容也都与函数内容有关 函数在中学教材中是分三个阶段安排的第一阶段是在初中代数课本内初步讨论了函数的概念、函数的表示方法以及函数图象的绘制等，并具体地讨论正比例函数、反比例函数、一 次函数、二次函数等最简单的函数，通过计算函数值、研究正比例函数、反比例函数、一次 函数、二次函数的慨念和性质，理解函数的概念，并用描点法可以绘制相应函数图象 及第四章三角函数的内容是中学函数教学的第二阶段，也就是函数概念的再认识阶段，即用 集合、映射的思想理解函数的一般定义，加深对函数概念的理解，在此基础上研究了指数函数、对数函数、三角函数等基本初等函数的概念、图象和性质，从而使学生在第二阶段函数 的学习中获得较为系统的函数知识，并初步培养了学生的函数的应用意识，为今后学习打下 良好的基础第二阶段的主要内容在本章教学中完成 学的限定选修课中安排的，选修Ⅰ的内容有极限与导数，选修Ⅱ的内容有极限、导数、积分，这些内容是函数及其应用研究的深化和提高，也是进一步学习和参加工农业生产需要具备的 基础知识 (一)内容安排 本章的函数是用初中代数中的“对应”来描述的函数概念，这两个函数定义反映了函数概念发展的不同阶段高一学生的数学知识较少，接受能力有限，用原始概念“对应”一词来描述函数定义是合适的而且有利于初中和高中知识的自然过渡和衔接 映射是在学习完集合与函数的基本概念之后学习的它是两个集合的元素与元素的对应关系的一个基本概念学习集合的映射概念的目的主要为了进一步理解函数的定义 的“原象的集合A”“象的集合B”以及“从集合A到集合B的对应法则f”可以更广泛的理解集合A、B不仅仅是数集，还可以是点集、向量的集合等，本章主要是指数的集合随 - 1 - 幂函数教案 教学设计 一、教学过程： （一）教学内容：幂函数概念的引入。 设计意图：从学生熟悉的背景出发，为抽象出幂函数的概念做准备。这样，既可以让学生体会到幂函数来自于生活，又可以通过对这些案例的观察、归纳、概括、总结出幂函数的一般概念，培养学生发现问题、解决问题的能力。 师生活动： 教师：前面我们学习了指数函数与对数函数，这两类描述客观世界变化规律的数学模型。但是同学们知道，不是所有的客观世界变化规律都能用这两种数学模型来描述。今天，我们将学习新的一类描述客观世界变换规律的数学模型，也就是本书二点三节的幂函数。首先我们来看这样几个实际问题。第一个问题，如果老师现在准备购买单价为每千克1元的蔬菜W 千克，老师总共需要花的钱P是多少？ 教师：非常好，老师总共需要花的钱P=W。第二个问题，如果正方形的边长为a，那么正方形的面积S等于多少？ 教师：回答的非常正确。面积S= 2 a. 下面的 问题都很简单，请同学们跟上老师的思路。第三个问题，如果正方体的边长为a，那么他的体积V等于多少了？ 教师：对。正方体的体积V= 3 a。第四个问题， 如果已知一个正方形面积等于S，那么这个正方形边长a等于多 少了？ 教师：非常正确。通过前面对指数幂的学习，根式与分数指数幂是可以相互转换的，所以根号下S就等于S 的二分之一次方。那么我们的边长a=12S。最后一个问题，认真 听，某人s t内骑自行车行进了1KM，那他的平均速度v等于多少？ 教师：回答非常正确。因为我们知道v×t=s 所以v=1 =1t 。好，现在我们一起来观察黑板上这五个具体表达 t 式，我们可以看出第一个表达式中P是W的函数，那第二个表达式了？ 教师：非常好，第三个表达式了？ 教师：第四个表达式了？ 教师：第五个了？ 教师：大家回答得非常正确。如果将上面的函数自变量全用x代替，函数值全用y来代替，那么我们可以得到第一个表达式为。。。。。。 教师：第二个表达式？ 教师：第三个表达式？ 教师：第四个表达式？ 教师: 第五个表达式？ 教师：回答的非常好。那现在请同学们仔细观察老师用x，y写成的这五个函数它们有哪些共同特征。等一下请 9.1 反比例函数 【教学目标】 知识与能力：（1）理解反比例函数的概念，能判断两个变量之间的关系是否是函数关系，进而识别反比例函数； （2）能根据已知条件确定反比例函数的表达式； 过程与方法：经历从实际问题中概括出反比例函数模型的过程，体会反比例函数来源于实际问题。 情感、态度与价值观：（1）经历反比例函数的形成过程，使学生体会到函数是描 述变量间对应关系的重要数学模型。 （2）通过学习反比例函数，培养学生合作交流和探索的能 力。 【教学重难点】 重点：根据已知条件确定反比例函数的表达式. 难点：理解反比例函数的意义. 【教学过程】 一、创设情境，引入新课 同学们，你们还记得在小学里学过的，两个变量满足什么条件时成反比例关系吗？你能写出下列例子中的等式吗？ 1.当路程s 一定时，时间t 与速度v的关系 2.当矩形面积S一定时，长a与宽b的关系 3.当三角形面积S 一定时，三角形的底边y 与高x的关系 学生通过回忆已学知识回答：如果两个量x和y满足xy=k（k为常数, k ≠0）那么x、y就成反比例关系. 现在我们来看生活中的例子。 活动一汽车从南京出发开往上海（全程约300km），全程所用的时间t（h）随着速度v（km/h）的变化而变化。 （1）你能用含v的代数式表示t吗? （2）利用（1）的关系式完成下表： 随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？ （3）时间t是速度v的函数吗？ （4）时间t是速度v的一次函数吗？是正比例函数吗？ 引导学生回忆函数、一次函数、正比例函数有关的概念，引出新知：反比例函数. 二、引导学生探索反比例函数的概念和表达式 活动二用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系: 1.一个面积是64002 m的长方形的长a(m)随宽b(m)的变化而变化，则a与b的关系式为＿＿＿＿＿. 2.京沪线铁路全程为1463 km，某列车平均速度为v（km／h），全程运行时间为t（h），则v与t的关系式为＿＿＿＿＿ 3.已知三角形的面积是8,它的底边长y与底边上的高x之间的关系式为＿＿＿＿＿ 4.实数m与n的积是—200,m与n的关系式为＿＿＿＿＿ 【讨论、交流】 1. 函数关系式 6400 a b =、 1463 v t =、 16 y x =、 200 m n =-具有什么共同特征？ 2它们与正比例函数关系式有什么不同？ 3.你能仿照y=kx的形式表示一下上面函数的一般形式吗? 结论：反比例函数的定义: 一般的,形如 (k为常数,k ≠0)的函数称为反比例函数.其中x是自变量，y是x的函数，k是比例系数。 注：(1)有时反比例函数也写成y=1 kx-或k=xy的形式. (2)反比例函数的自变量x的取值范围是不等于0的一切实数。 浙教版八年级（上）第七章 《一次函数》教材分析 一、内容定位 （一）注重函数建模过程，降低函数抽象图形分析的难度，融合方程、不等式、函数的统一 （二）本章教材设计，体现了“问题情景——建立数学模型——概念、规律应用与拓展”的模式。 通过大量的贴近学生生活的实例，让学生 ①体会了常变量之间关系的普遍性。 ②感受了学习变量关系的必要性。 ③明确了函数的三种表示方式：解析式法、图象法、列表法。 ④研究了具体的、简单的一次函数的性质。 我们希望通过本章学习一次函数，使学生了解一次函数的有关性质，并初步形成利用函数的观点认识现实世界的意识与能力。这样为以后学习有关函数问题提供了研究的方法和起到了示范作用。 二、教学目标： 1、经历常量与变量、函数、一次函数等概念的抽象概括过程，体会函数的模型思想，进一步发展学生的抽象思维能力，经历一次函数的图象及其性质的探索过程，在合作交流活动中发展学生的意识与能力。 2、经历一次函数及其图象解决实际问题的过程，发展学生的数学应用能力；经历函数图象信息的识别与应用过程，发展学生的形象思维能力。 3、初步理解函数的概念；理解一次函数及其图象的有关性质；初步体会方程和函数的关系。 4、能根据所给的信息确定一次函数表达式，会作一次函数的图象，并利用它们解决简单的实际问题。 下面谈谈每一节的教学设计： 第一节：常量与变量 【教学目标】 在具体情境中理解什么是变量、常量，并能举出常量、变量之间关系的例子，获得探索常量、变量之间关系的体验。 重点：认识常量与变量。 难点：理解变量的概念。 【教材分析】 通过长途客车从杭州驶向上海，引出问题：什么量不变，什么量在变，再根据合作学习，探讨了圆的面积公式、钟点工的工资额相关运算问题，在运算的过程中，让学生感觉变与不变，从而深刻理解常量与变量的概念。 第二节：认识函数 【教学目标】 （1）初步了解函数的概念，明确函数中两个变量之间的关系。 （2）了解函数常用的三种表示方法，会列简单实际问题的函数解析式；会求函数值和简单函数的自变量的取值范围。 重点：建立函数观念，掌握求函数解析式。 难点：函数概念的理解，函数解析式的应用 【教材分析】 本节课共两课时， ●第一课时以大学生暑期打工的时间与报酬的关系图，跳远运动员的跳远的距离与 助跑的速度的经验公式呈现了两个生活化的场景，使学生明确“给定其中某一个 变量的值，相应地就确定了另一个变量的值”这一共性，从而归纳出函数的概念， 同时也明确了函数的三种表示方式，对于函数的概念，只要学生能结合具体情境， 体会到函数的概念即可，不必作不必要的拓展和加深,也不要作判断函数关系的抽 象训练．建议把P154骑车时热量消耗W（焦）与身体质量x（千克）之间的函数 关系图象，并设置问题情境，放入合作学习中，作为第三个问题。 ●第二课时是两个求函数解析式及其应用的简单例子，通过几何（等腰三角形）与 代数应用（游泳池换水）问题，使学生初步了解如何求函数关系式、自变量的取 值范围，想一想提出的问题很及时，让学生感受到实际问题的限制条件。探究活 动给了学生一个思维的空间，又一次让学生感受数学中的“数形结合”思想。 第三节：一次函数 【教学目标】 （1）使学生初步理解一次函数与正比例函数的概念，能够说出一次函数与正比例函数之间的关系。 （2）会求正比例函数、一次函数的解析式。 （3）会求一次函数的值，会根据已知一次函数的值求对应的自变量的值。 幂函数教学设计 一．教学设计思路 幂函数作为一类重要的函数模型，是学生在系统地学习了指数函数、对 数函数之后研究的又一类基本的初等函数。幂函数模型在生活中是比较常见的，学习时结合生活中的具体实例来引出常见的幂函数。组织学生画出他们的图象，根据图象观察、总结这几个常见幂函数的性质。对于幂函数只需重点掌握这五个 函数的图象和性质。学习中学生容易将幂函数和指数函数混淆，因此在引出幂函 数的概念之后，可以组织学生对两类不同函数的表达式进行辨析。学生已经有了 学习指数函数和对数函数的学习经历，这为学习幂函数做好了方法上的准备。因 此，学习过程中，引入幂函数的概念之后，尝试放手让学生自己进行合作探究学 习。 二、课程标准： 通过具体实例，结合231,,,y x y y x y y x x =====的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数。 三．教学目标 知识与技能：通过实例，了解幂函数的概念，结合函数的图像，了解他们的 变化情况，掌握研究一般幂函数的方法和思想. 过程与方法：使学生通过观察函数的图像来总结性质，并通过已学的知识对 总结出的性质进行解释，从而达到对任一幂函数性质的分析 情感、态度、价值观：通过引导学生主动参与作图，分析图像的过程，培养 学生的探索精神，在研究函数的变化过程中渗透辩证唯物主义观点。 重难点 重点：从五个具体幂函数中认识并总结幂函数的性质 难点: 画出幂函数的图象并概括其性质，体会变化规律 教学方法与手段 借助多媒体，合作探究+展示+应用+总结 教学基本流程 教学过程设计： （一）创设情境，导入课题： 1 夏津人杰地灵，物阜民丰，夏津的桑椹更是闻名遐尔。请同学们 阅读以下材料并思考问题： (1):如果李阿姨购买了价格为1元的桑椹干包装盒x 个， 那么她支付的钱数 y= (元) ; (2):如果一个正方形的桑椹园边长为x 米，那么桑椹园的 面积y= （平方米）; 一、【课程分析】 指数函数是学生升入高中后，在学习了一般函数的相关知识后，新接触的一 个重要初等函数，是必修一第三章的（一）单元第2节的内容。学习指数函数既是对第二章函数知识的巩固，也为后面学习对数函数奠定良好的基础。“指数函数”这节教材所蕴含的数形结合，分类讨论等数学思想，也是高考的必考内容。 结合新课标及教材内容，我确定本节的的重点是掌握指数函数的图像和性质； 难点是对于底数a>1与0 《2.3幂函数》教学案例 遵义四中 石偲星 1.教学设计 1.1教材的地位和作用 《2.3幂函数》是继指数函数和对数函数后学习的另一个基本函数。幂函数出现在必修一第二章第三节，是基本初等函数之一，是在学生系统学习了函数概念与函数性质之后，进入高中以来遇到的第三种特殊函数，是对函数概念及性质的应用，能培养学生应用性质（定义域，值域，图象，单调性，奇偶性）研究一个函数的意识。本节课从概念到图象，通过探究归纳出幂函数的性质，让学生再次体会利用信息技术来探索函数的图象和性质，从教材整体安排上来看，学习幂函数是为了让学生进一步了解研究函数的方法，学会利用这种方法去研究其他函数。因而本节课更是对学生研究函数方法和能力的一个综合提升。 1.2教学目标 1.2.1基础知识目标 （1）理解幂函数的概念，会画幂函数2 1132,,,,x y x y x y x y x y =====-的图象，结合这几个幂函数的图象，掌握幂函数的图象变化和性质； （2）能应用幂函数性质解决简单问题。 1.2.2能力训练目标 （1）通过观察总结幂函数性质，培养学生抽象概括、逻辑推理和识图能力； （2）使学生进一步体会数形结合思想。 1.3教学重、难点 重点：本节的教学重点是从五个具体幂函数中认识幂函数的一些性质。 难点：画五个幂函数的图象并由图象概括其性质是教学中可能遇到的困难。 突破难点：引导学生观察图象，从图象特点入手，观察单调性奇偶性。 1.4学情分析 学生学过了一次函数，二次函数，正、反比例函数，指数函数和对数函数，知道了他们的图象和性质，用性质解决一些简单问题也有了一定的基础，为学习幂函数做好了准备，但由于幂函数性质较复杂，学生需要一定的综合分析能力，所以在教学中重视学生自己动手操作、观察分析发现的过程。我所教的班级是遵义四中高一（23）班，总体学习程度在中等，根据学生的学情，本节课我重在基础，难度上适当适中。 1.5教学用具 本节课使用三角板，PPT ，学生准备白纸，格尺。 2.教学过程 2.1温故知新，引入新课： 问题1：我们都学习过2,2x y y x ==，请同学们思考这两个函数看有什么区别么？ （学生讨论，很快有学生分析出区别，我于是请了成绩中等的学生回答） 同学1：一个函数是指数函数，一个是二次函数。 同学2：这两个函数自变量位置不同:。 教师：这两位同学总结的非常好，这两个函数的形式一样，自变量的位置不同，而x y 2= 高中数学教材分析 第一章集合与简易逻辑 一、本章教学要求、重点、难点 本章主要讲述集合的初步知识与简易逻辑知识两部分内容，集合的初步 知识包括集合的 有关概念、表示、集合间的相互关系，简单的绝对值不等式和一元二次不等式的解法，以及用集合来表示不等式的解集。简易逻辑主要介绍逻辑联结词“或”、“且”、“非”的意义，四种命题及其相互关系，充要条件的有关知识。本章的重点是有关集合的基本概念，逻辑联结词“或”、“且”、“非”与充要条件。 在高中数学中，集合的初步知识与简易逻辑知识，与其它内容密切联系，它们是学习、掌握和使用数学语言的基础，是高中数学学习的出发点， 二、教学中的几个问题 1、为什么教科书在“集合”与“简易逻辑”之间插入了“含绝对值不等式解法”和“一元二次不等式的解法”这两节属于不等式的内容？ 答：这两小节属于不等式的内容，学生学习不会困难，并且安排在这个位置上至少有以 下两个优点： （1）巩固学生已经学过的有关集合的基本概念； （2）为下一章求某些函数的定义域和值域以及学习函数的单调性作必要 的准备。 因此，在教学中，既要让学生掌握含绝对值不等式和一元二次不等式的解法，另外， 又要控制不等式的难度，对一般学生来说，不要超出教科书的要求。 2、在新教材中为什么要增加“简易逻辑”？ 答：逻辑是研究思维形式及其规律的一门基础学科，任何科学都要使用 逻辑，而以“严 谨性”著称的数学，因需要全面地理解概念，正确地进行表述、判断、推理，就更离不开对逻辑知识的掌握和应用。因此，新教材中新增了“简易逻辑”这部分的内容。 3、怎样理解逻辑联结词“或”的意义？ 答：“或”这个逻辑联结词的用法，一般有两种解释：一是“不可兼有”，即“a或b”是 指a，b中的某一个，但不是两者，日常生活中有时采用这一解释，如“你去或我去”，人们在理解上不会有你我都去这种可能。另一是“可兼有”，即“a 或b”是指a，b中的任何一个或两者，如“”，是指：x可能属于A但不属于B，x也可能属于B但不属于A，x还可能既属于A也属于B。在数学书籍中一般采用后一种解释，即“可兼有”，我们在解题时都要遵循这一点，还要注意“可兼有”并不意味“一定兼有”。4、大纲中没有真值表这一知识点，教科书中讲真值表是否超纲？ 答：不算超纲。大纲要求学生理解“或”、“且”、“非”三个逻辑联结词的意义，但对于“p或q”形式的复合命题，学生理解起来有困难，引进真值表是为了克服这种困难。真值表在这里只是一种数学语言，由于采用了表格形式，比较形象，容易接受。 5、教材中把“集合”与“简易逻辑”放在同一章中，这两者之间有内在联系吗？ 答：简易逻辑与集合有着密切的联系，简易逻辑中的很多问题我们可以转化为集合的观点用集合思想来解决。 （1）．三个逻辑联结词与集合的交、并、补运算的关系。 ①对“或”的理解可联想到集合中“并集”的概念，或 中的“或”，它是指“x∈A”或“x∈B”中至少有一个是成立。 ②对“且”的理解，可联想到集合中“交集”的概念， 且中的“且”是指“x∈A”和“x∈B”这两个条件都要 满足。 ③对“非”的理解，可联想到集合中的“补集”概念，若命题中对应于 集合P，则命题非P就应对应着集合P在全集U中的补集CuP。 (2)．用集合观点来理解“充分条件”、“必要条件”、“充要条件” ①若p q，则p是q的充分条件；若p q，则p是q的必要条件。 设A={x|p} B={x|q}，如果A B，就是x∈A则x∈B，则A是B的充分条件， 即p q。如图： A 正、反比例函数的内容特点及教材分析 第一部分：初中函数内容的知识框架结构 1.函数在初中数学知识体系中的地位和作用 函数是初中数学中的重要内容之一，它是从现实世界中抽象出来的，是从数量关系的角度刻画事物运动变化规律的工具。函数知识渗透在初中数学的许多内容中，它又与物理、化学等学科知识密切相关。同时函数本身也是一种重要的数学思想，运用函数的思想和方法，可以加深对一些代数问题的理解。 2.初中学习函数的意义和要求 初中学习函数的意义是初步感受现实世界中除了确定的一些量——常量外，还有不少的量——变量，初步知道两个变量之间存在的关系，能利用这些关系来研究它们之间的一些基本性质。 初中学习函数的要求是理解函数的意义，理解正比例函数、反比例函数、一次函数和二次函数的概念，能画出它们的图像，并根据图像知道它们的一些基本性质。 3.教材内容安排的方式及要求所体现的思想 函数内容在初中教材中主要分布在八年级和九年级中，八年级第一学期学习函数的概念，研究两个最简单的函数——正比例函数和反比例函数的有关图像和性质；八年级第二学期学习一次函数的有关图像和性质；九年级第一学期学习二次函数的有关图像和性质，九年级第二学期在拓展II中进一步对二次函数进行深入的研究。这样首先出示基本概念，然后由易到难研究一些特殊函数的编排方式符合学生的认知规律，帮助学生充分理解函数的基本思想。 4.高中函数教学的介绍 课程标准中指出：在初中学习函数的基础上，进一步理解函数是变量之间相互依赖关系的反映；学习用集合与对应的语言刻画函数，再从直观到解析、从具体到抽象，研究函数的性质，并能从解析的角度理解有关性质。 函数的基本知识是高中数学的核心内容之一，函数的思想和方法贯穿于高中数学。 第二部分：函数知识内容的教学研究 （一）函数内容的知识体系 初中学习函数主要是让学生对函数有一个初步的认识，知道生活中的变量关系，能用函数的思想处理一些简单的问题，因此初中函数内容的知识体系是，先介绍函数的概念，然后以两个最简单的函数（正比例函数和反比例函数）作为载体，让学生理解函数的图像与一些性质，再介绍函数常用的三种表示方法，最后再分别研究现实生活中经常遇到的另外两个简单而常用的函数（一次函数和二次函数），使学生对函数有一个较完整的理解，并能进行简单的应用。 （二）函数内容的教材分析及教学注意事项 1．函数的相关概念教材分析及教学注意事项 (1)函数相关内容的概念框架与知识结构 函数的定义域 《幂函数》教学设计 克山一中吴雅杰 一、设计构思 1、设计理念 注重发展学生的创新意识。学生的数学学习活动不应只限于接受、记忆、模仿和练习，倡导学生积极主动探索、动手实践与相互合作交流的数学学习方式。这种方式有助于发挥学生学习主动性，使学生的学习过程成为在教师引导下的“再创造”过程。我们应积极创设条件，让学生体验数学发现和创造的历程，发展他们的创新意识。 注重提高学生数学思维能力。课堂教学是促进学生数学思维能力发展的主阵地。问题解决是培养学生思维能力的主要途径。所设计的问题应有利于学生主动地进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等教学活动。内容的呈现应采用不同的表达方式，以满足多样化的学习需求。伴随新的问题发现和问题解决后成功感的满足，由此刺激学生非认知深层系统的良性运行，使其产生“乐学”的余味，学生学习的积极性与主动性在教学中便自发生成。本节主要安排应用类比法进行探讨，加深学生对类比法的体会与应用。 注重学生多层次的发展。在问题解决的探究过程中应体现“以人为本”，充分体现“人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学”，“不同的人在数学上得到不同的发展”的教学理念。有意义的数学学习必须建立在学生的主观愿望和知识经验基础之上，而学生的基础知识和学习能力是多层次的，所以设计的问题也应有层次性，使各层次学生都得到发展。 注重信息技术与数学课程的整合。高中数学课程应尽量使用科学型计算器，各种数学教育技术平台，加强数学教学与信息技术的结合，鼓励学生运用计算机、计算器等进行探索和发现。 另外，在数学教学中，强调数学本质的同时，也让学生通过适度的形式化，较好的理解和使用数学概念、性质。 2、教材分析 幂函数是江苏教育出版社普通高中课程标准实验教科书数学（必修1）第二章第四节的内容。该教学内容在人教版试验修订本（必修）中已被删去。标准将该内容重新提出，正是考虑到幂函数在实际生活的应用。故在教学过程及后继学习过程中，应能够让学生体会其实际应用。《标准》将幂函数限定为五个具体函数，通过研究它们来了解幂函数的性质。其中，学生在初中已经学习了y=x、y=x2、y=x-1等三个简单的幂函数，对它们的图象和性质已经有了一定的感性认识。现在明确提出幂函数的概念，有助于学生形成完整的知识结构。学生已经了解了函数的基本概念、性质和图象，研究了两个特殊函数：指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，教材安排学习幂函数，除内容本身外，掌握研究函数的一般思想方法是另一目的，另外应让学生了解利用信息技术来探索函数图象及性质是一个重要途径。该内容安排一课时。 3、教学目标的确定 鉴于上述对教材的分析和新课程的理念确定如下教学目标： ⑴掌握幂函数的形式特征，掌握具体幂函数的图象和性质。 ⑵能应用幂函数的图象和性质解决有关简单问题。 “反比例函数”集体备课 一、教材分析 本章的主要内容有反比例函数的概念、解析式、性质和图象．本章是在已经学习了图形与坐标和一次函数的基础上，再次进入函数范畴，使学生进一步理解函数的内涵，并感受世界存在的各种函数及应用函数来解决实际问题．反比例函数是最基本的函数之一，是后续学习各类函数的基础． 二、重点难点 反比例函数是继一次函数之后又一重要的基本函数，它为今后学习图象和曲线的关系（如二次函数）提供了研究方法．反比例函数本身在日常生活和生产中也有着许多直接应用，这对学生建模思想、数形结合思想等重要思想方法的形成，也会产生较大的影响，所以反比例函数是本章教学的重点． 反比例函数图象的两个分支，给反比例函数的性质带来复杂性，学生不易理解，是本章教学的难点之一；综合运用反比例函数的解析式、图象和性质解决实际问题时，往往会遇到较复杂的问题情境，需要建模，利用图象以及综合运用方程、不等式及其他数学模型，所以综合运用反比例函数知识解较复杂的实际问题是本章教学又一主要难点． 三、课时安排 1.1 反比例函数 1课时 1.2 反比例函数的图象和性质 2 课时 1.3 反比例函数的应用 1课时 复习、评价2课时，机动使用2课时，合计8课时． 四、教学建议 （1）反比例函数概念和形成过程，应充分利用学生的生活经验和背景知识．生活经验就是学生已经知道两个量成反比例的概念，建立反比例函数离不开反比例关系这个基础；背景知识是八年级上册的“图形与坐标”及“一次函数”．所以在学习本章内容前可先与学生一起回顾一下以上已学内容，对扫清障碍，理解接受新概念很有益处． （2）注重数学思想的渗透，从数学自身发展过程看，正是由于变量与函数概念的引入，标志着初等数学向高等数学迈进，尽管本章讲述的反比例函数仅是一种最基本、最初步的函数，但其中蕴涵的数学思想方法，对学生分析问题解决问题是十分有益的．教学中应让学生充分体会诸如变化与对应思想、数形结合思想，建模思想等． 3.3幂函数 教学设计 一、教学内容分析 幂函数是人教B 版，必修1第3章第3节的内容。是继指数函数和对数函数后研究的又一基本初等函数。幂函数在实际生活中有着广泛的应用。故在教学过程及后继学习过程中，要让学生体会其实际应用。 学生在初中已经了解21,,y x y x y x -===三个简单的幂函数；前面也 学习了指数函数和对数函数，对研究函数已经有了基本思路和方法。因此，通过本节课的学习，学生将建立幂函数这一函数模型并能用系统的眼光看待以前接触的函数，进一步树立利用函数的定义域、值域、奇偶性、单调性研究一个函数的意识，再次体会利用信息技术来探索函数及性质的便利。因而本节课更是一个对学生研究函数的方法和能力的综合提升。 二、学生学习情况分析： 学生学过了一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数，知道了他们的图象和性质；对于用函数图象的性质解决一些数学问题有一定的基础。学生已经具备了从特殊到一般的逻辑推理能力，有了一定的团队合作能力，小组合作使学生积极性和主动性有所提高，学习兴趣浓度高。这为学习幂函数作好了准备，让学生对幂函数的学习感到不会太难。 三、设计思想 本节课的设计以破案为思路，时刻抓住基本函数的思想,由名侦探柯南入新课题。运用类比的数学方法,适当运用多媒体辅助教学 手段，让学生在观察分析、自主探索、合作交流的过程中，掌握幂函数的图象及性质，领会数学的思想方法，养成积极主动、勇于探索、自主学习的学习方式，提高学生的分析问题、解决问题的能力。 四、教学目标 了解幂函数的概念，明确其图象的形状，理解其性质并简单应用. 五、教学重点与难点 学习重点：幂函数的概念,图象,性质. 学习难点：幂函数的图象和性质. 六、教学过程设计 第一阶段：创设情景-探索发现 【学生活动】：学生观察树状图，说出破案思路 【设计意图】由名侦探柯南引出重大案件：基本初等函数，用类比方法引出幂函数的三部曲定义、图像、性质 第二阶段：合作探究-获得新知 【第一关】 幂函数的定义 用三个线索的共同特征引出幂函数的定义 【学生活动】：学生小组讨论，说出幂函数的定义 [定义] 幂函数：一般地，我们把形如_____的函数称为幂函数， 其中_____是常数. 【设计意图】培养学生自学能力，语言表达能力 [过关检测1]判断下列函数是不是幂函数 (1)4y x = (2)21 y x = (3) 2x y = (4)幂函数教学设计
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