空间几何体
一、选择题（共12小题；共60分）
1. 利用斜二测画法画边长为的正方形的直观图，可能是下面的
A. B.
C. D.
2. 正方形绕对角线所在直线旋转一周所得组合体的结构特征是
A. 两个圆台组合成的
B. 两个圆锥组合成的
C. 一个圆锥和一个圆台组合成的
D. 两个棱台组合成的
3. 一个圆台的母线长等于上、下底面半径和的一半，且侧面积是，则母线长为
A. B. C. D.
4. 一个几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是
A. B. C. D.
5. 《算数书》竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数
学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：“置如其周，令相乘也．又以高乘之，三十六成一．”该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式．它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为．那么，近似公式相当于将圆锥体积公式中的近似取为
A. B. C. D.
6. 若一个圆台的正视图如图所示，则其侧面积等于
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第76课时：第九章 直线、平面、简单几何体——空间向量及其运算 课题：空间向量及其运算 一．复习目标：理解空间向量的概念、掌握空间向量的有关运算及其性质． 二．主要知识： 1．,a b 向量共线的充要条件： ； 2．三点共线： ； 3．三向量共面： ； 4．四点共面： ； 5．两向量夹角的范围 ； 三．课前预习： 1．如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若AB a =， AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 等的向量是 （ ） ()A 1122a b c -++ ()B 1122 a b c ++ ()C 1122 a b c - -+ ()D c b a +-21 21 2．有以下命题： ①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线； ②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面； C1
③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。 其中正确的命题是 （ ） ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 3．下列命题正确的是 （ ） ()A 若a 与b 共线，b 与c 共线，则a 与c 共线；()B 向量,,a b c 共面就是它们所在的 直线共面； ()C 零向量没有确定的方向； ()D 若//a b ，则存在唯一的实数λ使得a b λ=； 4．已知A 、B 、C 三点不共线，O 是平面ABC 外的任一点，下列条件中能确定点M 与点A 、B 、C 一定共面的是 （ ） ()A OM ++= ()B OM --=2 ()C OC OB OA OM 3121++= ()D OC OB OA OM 3 1 3131++= 四．例题分析： 例1．已知在正三棱锥ABC P -中，N M ,分别为BC PA ,中点，G 为MN 中点，求证： BC PG ⊥ G N A B C P M
第5讲 简单几何体的面积与体积 一、选择题 1．长方体的三个相邻面的面积分别为2,3,6，这个长方体的顶点都在同一个球面上，则这个球的面积为( ) A.7 2π B ．56π C ．14π D ．64π 解析 设长方体的过同一顶点的三条棱长分别为a ，b ，c ，则??? ab ＝2， bc ＝3， ac ＝6，得??? a ＝2， b ＝1， c ＝3， 令球的半径为R ，则(2R )2＝22＋12＋32＝14，∴R 2＝7 2， ∴S 球＝4πR 2＝14π. 答案 C 2．若等腰直角三角形的直角边长为3，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是( ) A ．9π B ．12π C ．6π D ．3π 解析 由题意知所得几何体为圆锥，且底面圆半径为3，高为3，故V ＝13·(π·32 )·3＝9π. 答案 A 3．一个几何体的三视图如图所示，那么此几何体的侧面积(单位：cm 2)为( )．
A ．48 B ．64 C ．80 D ．120 解析 据三视图知，该几何体是一个正四棱 锥(底面边长为8)，直观图如图，PE 为侧面△PAB 的边AB 上的高，且PE ＝5.∴此几何体的侧面积是S ＝4S △PAB ＝4×1 2×8×5＝ 80(cm 2)． 答案 C 4．已知三棱锥S －ABC 的所有顶点都在球O 的球面上，△ABC 是边长为1的正三角形，SC 为球O 的直径，且SC ＝2，则此棱锥的体积为( )． A.2 6 B.36 C.23 D.22 解析 在直角三角形ASC 中，AC ＝1，∠SAC ＝90°，SC ＝2，∴SA ＝4－1＝3；同理SB ＝ 3.过A 点作SC 的垂线交SC 于D 点，连接DB ，因△SAC ≌△SBC ，故BD ⊥SC ，故SC ⊥平面ABD ，且平面ABD 为等腰三角形，因∠ASC ＝30°，故 AD ＝1 2SA ＝ 32，则△ABD 的面积为1 2 ×1× AD 2－? ?? ?? 122 ＝24，则三棱锥的体积为13×24×2＝26. 答案 A 5．某品牌香水瓶的三视图如下(单位：cm)，则该几何体的表面积为 ( )．
高三数学单元《直线、平面及简单几何》 一、选择题（本题每小题5分，共60分） 1．已知平面α与平面β相交，直线α⊥m ，则 （ ） A ．β内必存在直线与m 平行，且存在直线与m 垂直 B ．β内不一定存在直线与m 平行，不一定存在直线与m 垂直 C ．β内不一定存在直线与m 平行，但必存在直线与m 垂直 D ．β内必存在直线与m 平行，却不一定存在直线与m 垂直 2．已知直线α平面⊥l ，直线β平面?m ，给出下列命题 ①α∥m l ⊥=β； ②l ?⊥βα∥m ③l ∥βα⊥?m ④α?⊥m l ∥β 其中正确命题的序号是 （ ） A ．①②③ B ．②③④ C ．②④ D ．①③ 3．在正方体1111ABCD A B C D -中，M 为1DD 的中点，O 为底面ABCD 的中心，P 为棱11 A B 上任意一点，则直线OP 与直线AM 所成的角是 （ ） A ． 6 π B ． 4 π C ． 3 π D ． 2 π 4．等边三角形ABC 和等边三角形ABD 在两个相互垂直的平面内，则cos ∠CAD=（ ） A ．2 1- B ． 4 1 C ．16 7- D ．0 5．已知l m ,是异面直线，给出下列四个命题：① 必存在平面α，过m 且与l 平行；② 必存 在平面β，过m 且与l 垂直；③ 必存在平面γ，与l m ,都垂直；④ 必存在平面ω，与l m ,的距离相等.其中正确的结论是 （ ） A ．①③ B ．②③ C ．①④ D ．②④ 6．如果平面的一条斜线和它在这个平面上的射影的方向向量分别是a =（1，0，1）， b =（0，1，1），那么这条斜线与平面所成的角是 （ ） A ．90° B ．60° C ．45° D ．30° 7．正多面体的每个面都是正n 边形，顶点数是V ，棱数是E ，面数是F ，每个顶点连的棱数是m ，则它们之间不正确．．．的关系是 （ ） A ．mF=2E B ．mV=2E C ．nF=2E D ．V+F=E+2
高考数学1.简单几何体专题1 2020.03 1,下面的图形可以构成正方体的是（） A B C D 2,正四棱台上，下底面边长为a，b，侧棱长为c，求它的高和斜高． 3,下列命题中正确的是 （） A．由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 B．棱锥的高线可能在几何体之外 C．仅有一组对面平行的六面体是棱台 D．有一个面是多边形，其余各面是三角形的几何体是棱锥 4,圆锥的侧面展开图是直径为a的半圆面，那么此圆锥的轴截面是（） A．等边三角形B．等腰直角三角形 C．顶角为30°的等腰三角形D．其他等腰三角形 5,把一个圆锥截成圆台，已知圆台的上、下底面半径的比是1∶4，母线 长10cm.求：圆锥的母长． 6,长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2，BC=3，AA1=5，则一只小虫从A点沿长方 体的表面爬到C1点的最短距离是． 7,已知集合A={正方体}，B={长方体}，C={正四棱柱}，D={直四棱柱}，
E={棱柱}，F={直平行六面体}，则 （ ） A ．E F D C B A ????? B ．A C B F D E ????? C ．C A B D F E ????? D ．它们之间不都存在包含关系 8,A 、B 为球面上相异两点，则通过A 、B 两点可作球的大圆有 （ ） A ．一个 B ．无穷多个 C ．零个 D ．一个或无穷多个 9,若一个几何体有两个面平行，且其余各面均为梯形，则它一定是棱台，此命题是否正确，说明理由． 10,长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体的表面到 C ′的最短矩离是 （ ） A ．5 B ．7 C ．29 D ．37 11,线段AB 长为5cm ，在水平面上向右平移4cm 后记为CD ，将CD 沿铅垂线方向向下移动3cm 后记为C ′D ′,再将C ′D ′沿水平方向向左移4cm 记为A ′B ′，依次连结构成长方体ABCD-A ′B ′C ′D ′. ①该长方体的高为 ； ②平面A ′B ′C ′D ′与面CD D ′C ′间的距离为 ； ③A 到面BC C ′B ′的距离为 .
第九章（A ） 第五讲 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．α、β是两个平行平面，直线a ?α，直线b ?β，a 与b 之间的距离为d 1，α与β之间的距离为d 2，则 ( ) A ．d 1＝d 2 B ．d 1≥d 2 C ．d 2
高考数学三视图还原方法归纳 方法一:还原三步曲 核心内容： 三视图的长度特征——“长对齐，宽相等，高平齐”，即正视图和左视图一样高，正视图和俯视图一样长，左视图和俯视图一样宽。 还原三步骤： （1）先画正方体或长方体，在正方体或长方体地面上截取出俯视图形状； （2）依据正视图和左视图有无垂直关系和节点，确定并画出刚刚截取出的俯视图中各节点处垂直拉升的线条（剔除其中无需垂直拉升的节点，不能确定的先垂直拉升），由高平齐确定其长短； （3）将垂直拉升线段的端点和正视图、左视图的节点及俯视图各个节点连线，隐去所有的辅助线条便可得到还原的几何体。 方法展示 （1）将如图所示的三视图还原成几何体。 还原步骤： ①依据俯视图，在长方体地面初绘ABCDE如图； ②依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出在节点A、B、C、D处不可能有垂直拉升的线条，而在E处必有垂直拉升的线条ES，由正视图和侧视图中高度，确定点S的位置；如图 ③将点S与点ABCD分别连接，隐去所有的辅助线条，便可得到还原的几何体S-ABCD如图所示：
经典题型： 例题1：若某几何体的三视图，如图所示，则此几何体的体积等于（）cm3。 解答：（24） 例题2：一个多面体的三视图如图所示，则该多面体的表面积为（） 答案：21+3计算过程：
步骤如下： 第一步：在正方体底面初绘制ABCDEFMN 如图； 第二步：依据正视图和左视图中显示的垂直关系，判断出节点E 、F 、M 、N 处不可能有垂直拉升的线条，而在点A 、B 、C 、D 处皆有垂直拉升的线条，由正视图和左视图中高度及节点确定点''''',,,,,F E D B G G 地位置如图； 第三步：由三视图中线条的虚实，将点G 与点E 、F 分别连接，将'G 与点'E 、'F 分别连接，隐去所有的辅助线便可得到还原的几何体，如图所示。 例题3：如图所示，网格纸上小正方形的边长为4，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各条棱中，最长的棱的长度是（ ）
学科：数学 教学内容：简单几何体 【考点梳理】 一、考试内容 1．棱柱（包括平行六面体）。棱锥。多面体。 2．球。 3．体积的概念与体积公理。棱柱、棱锥的体积。球的体积。 二、考试要求 1．理解棱柱、棱锥、球及其有关概念和性质。 掌握直棱柱、正棱锥、球的表面积和体积公式，并能运用这些公式进行计算。 3．了解多面体的概念，能正确画出棱柱、正棱锥的直观图。 对于截面问题，只要求会解决与几种特殊的截面（棱柱、棱锥的对角面，棱柱的直截面，球的截面）以及已给出图形或它的全部顶点的其他截面的有关问题。 三、考点简析 1．棱柱 2．棱锥 正棱锥是底面正多边形的中心 顶点在底面上的射影 棱锥- --- -- 3．棱柱、棱锥的侧面积与体积 S 正棱柱侧=C h ′ S 正棱锥侧= 21C h ′ V 柱体=S h ′ V 锥体=3 1 S h ′ 4．球
S 球=4πR 2 V 球= 3 4 πR 3 四、思想方法 1．割补法。它是通过“割”与“补”等手段，将不规则的几何体转化为规则的几何体，是一种常用的转化方法。 2．正棱锥的计算问题。应抓住四个直角三角形和两个角。四个直角三角形，即正棱锥的高、侧棱及其在底面上的射影、斜高及其在底面上的射影、底面边长的一半组成的四个直角三角形。两个角，即侧棱与底面所成的线面角，侧面与底面所成的二面角。四个直角三角形所围成的几何体称之为“四直角四面体”，它是解决棱锥计算问题的基本依据，必须牢固掌握。 3．正棱锥的侧面积与底面积的关系。 正棱锥：S 底=S 侧cos α 4．多面体中表面上两点的最短距离。 多面体中表面上两点的最短距离，就是其平面展开图中，连结这两点的线段长度，这是立体几何中求最短距离的基本依据（球面上两点间的距离除外）。 5．关于组合体体积的计算问题。 有很多的几何体，都由一些简单几何体所组成，这样的几何体叫做组合体。 构成组合体的方式一般有两种：其一是由几个简单几何体堆积而成，其体积就等于这几个简单几何体体积之和；其二是从一个简单几何体中挖去几个简单几何体而成，其体积就等于这个几何体的体积减去被挖去的几个几何体的体积。 因此，组合体体积的求法，即为“加、减”法，关键是合理的分割，可使计算简化。 6．关于等积变换问题。 等积变换的依据是等底等高的棱锥体积相等。 等积变换求体积或求点到平面的距离，都是在基本几何体——四面体和平行六面体中进行的。这是因为这些几何体变换底面后，计算体积的方法不变，几何体仍为四面体和平行六面体，这样，我们就可以选择适当的面为底面，使计算简单、易行。 若几何体本身不是四面体或平行六面体，则需先将其分成几个四面体或平行六面体之后，再施行等积变换。 用等积变换求点到平面的距离，是用两种不同的体积计算方法，来建立所求距离的方程，使问题得解。 异面直线间的距离，可转化为点到平面的距离，因此也可用等积变换求解。 用等积变换求距离，可绕过距离的作图，从而降低了题目的难度。 【例题解析】 例1 如图8－1，已知斜三棱柱ABC —A 1B 1C 1的底面是直角三角形，AC ⊥CB ，∠ABC=30°，侧面A 1ABB 1是边长为a 的菱形，且垂直于底面，∠A 1AB=60°，E 、F 分别是AB 1、BC 的中点。 （1）求证：EF ∥侧面A 1ACC 1； （2）求四棱锥A ——B 1BCC 1的体积； （3）求EF 与侧面A 1ABB 1所成角的大小。
简单几何体的结构、三视图和直观图 考纲解读 1.以常见的几何体及简单组合体为模型画三视图、辩认三视图；2.辩识三视图所表示的立体模型；3.通过模型转化几何体、三视图、直观图；4.会画某些建筑物的三视图与直观图． [基础梳理] 1．多面体的结构特征 (1)棱柱的侧棱都互相平行，上下底面是全等的多边形． (2)棱锥的底面是任意多边形，侧面是有一个公共顶点的三角形． (3)棱台可由平行于底面的平面截棱锥得到，其上下底面是相似多边形． 2．旋转体的形成 几何体旋转图形旋转轴 圆柱矩形任一边所在的直线 圆锥直角三角形任一直角边所在的直线 圆台直角梯形垂直于底边的腰所在的直线 球半圆直径所在的直线 3. (1)三视图的形成与名称： ①形成：空间几何体的三视图是用平行投影得到的，在这种投影之下，与投影面平行的平面图形留下的影子，与平面图形的形状和大小是完全相同的； ②名称：三视图包括正视图、侧视图、俯视图． (2)三视图的画法： ①在画三视图时，重叠的线只画一条，挡住的线要画成虚线． ②三视图的正视图、侧视图、俯视图分别是从几何体的正前方、正左方、正上方观察到的几何体的正投影图． 4．空间几何体的直观图 空间几何体的直观图常用斜二测画法来画，其规则是：(1)原图形中x轴、y轴、z轴两两垂直，直观图中，x′轴，y′轴的夹角为45°或135°，z′轴与x′轴和y′轴所在平面垂直． (2)原图形中平行于坐标轴的线段，直观图中仍平行于坐标轴；平行于x轴和z轴的线段在直观图中保持原长度不变；平行于y轴的线段在直观图中长度为原来的一半． [三基自测] 1．如图，长方体ABCD A′B′C′D′被截去一部分，其中EH∥A′D′.剩下的几何体是()
2019高考数学总练习练习-8-5简单几何体的面积与体积 【一】选择题 1、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，那么球的表面积为( ) A 、82π B 、8π C 、42π D 、4π [答案] B [解析] 球的半径R ＝12＋12 ＝2， ∴S ＝4πR 2 ＝8π应选B. 2、(2017·陕西理，5)某几何体的三视图如下图所示，那么它的体积是( ) A 、8－2π3 B 、8－π3 C 、8－2π D. 2π3 [答案] A [解析] 本小题考查几何体的三视图与体积计算，此几何体为正方体内有一倒置圆锥、 ∴V ＝2×2×2－13×π×2＝8－2π 3. 3、(文)将一个边长为a 的正方体切成27个全等的小正方体，那么表面积增加了( ) A 、6a 2 B 、12a 2 C 、18a 2 D 、24a 2 [答案] B
[解析] 依题意，小正方体的棱长为a 3，所以27个小正方体的表面积总 和为27×6×? ?? ?? a 32 ＝18a 2，增加了18a 2－6a 2＝12a 2. (理)假设一个圆锥的轴截面是等边三角形，其面积为3，那么这个圆锥的全面积为( ) A 、3π B 、33π C 、6π D 、9π [答案] A [解析] 正三角形的面积求其边长，然后利用圆锥的母线，底面半径与轴截面以及三角形之间的关系，由圆锥的全面积公式可求，如图，设圆锥轴 截面三角形的边长为a ，那么34a 2＝3，∴a 2 ＝4，∴a ＝2， ∴圆锥的全面积S ＝π? ????a 22 ＋π·a 2·a ＝3π. 4、设矩形的边长分别为a ，b (a ＞b )，将其按两种方式卷成高为a 和b 的圆柱筒，以其为侧面的圆柱的体积分别为V a 和V b ，那么( ) A 、V a ＞V b B 、V a ＜V b C 、V a ＝V b D 、V a 和V b 的大小不确定 [答案] B [解析] 由题意，V b ＝π(a 2π)2b ＝14πa 2b ，V a ＝π(b 2π)2a ＝14πb 2 a ，因为a ＞ b ，所以V a ＜V b . 5、(2017·新课标文)设长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点都在一个球面上，那么该球的表面积为( ) A 、3πa 2 B 、6πa 2 C 、12πa 2 D 、24πa 2 [答案] B [解析] 此题考查了长方体的外接球的表面积的算法，此题是简单题，在解决问题时首先考虑借助长方体和球的关系求得球的半径、 由题可知，长方体的长、宽、高分别为2a ，a ，a ，其顶点在同一个球
第九章(B) 第九讲 时间：60分钟 满分：100分 一、选择题(8×5＝40分) 1．(2009·河北唐山一模)球的一个截面是半径为3的圆，球心到这个截面的距离是4，则该球的表面积是 ( ) A ．100π B ．50π C.5003π D.1003π 答案：A 解析：由已知得球的半径为5，所以S ＝4πR 2＝100π，故选A. 2．(2009·黄冈一模)过半径为2的球O 表面上一点A 作球O 的截面，若OA 与该截面所成的角是60°，则该截面的面积是 ( ) A ．π B ．2π C ．3π D ．23π 答案：A 解析：如图，截面圆的半径r ＝1，S 截面＝πr 2＝π，故选A. 3．(2009·吉林长春一模)已知各顶点都在同一个球面上的正四锥 棱高为3，体积为6，则这个球的表面积是 ( ) A ．16π B ．17π C ．21π D ．25π 答案：A 解析：如图，设底面正方形的边长为a ，球半径为x ，则V ＝13a 2×3 ＝6?a ＝6，在△OCO ′中，(3－x )2＋(3)2＝x 2?x ＝2. 所以S 球＝4πR 2＝4πx 2＝16π，故选A. 4．正方体的内切球与外接球的半径之比为 ( ) A.2、：2 B.3：2 C.3：3 D.6：3 答案：C 解析：设内切球和外接球的半径分别为r 和R ；正方体的棱长为 a ，则r ＝a 2，R ＝32a ，∴r R ＝3 3.故选C.
5．设地球的半径为R ，若甲地位于北纬35°东经110°，乙地位于南纬85°东经110°，则甲、乙两地的球面距离为 ( ) A.2π3R B.π6R C.5π 6R D.3πR 答案：A 解析：如图易得甲、乙两地所对的球心角为2π3，故球面距离为2π3 R . 6．(2009·南昌市三年级调研试卷)一个球与一个正三棱柱的三个 侧面和两个底面都相切，已知这个球的体积为36π，那么这个正三棱柱的体积是 ( ) A ．27 3 B ．36 3 C ．54 3 D ．162 3 答案：D 解析：设正三棱柱的底面边长是a ，依题意得球的半径R ＝3，正 三棱柱的高等于该球的直径，即等于6，且有tan30°＝3a 2 ＝6a ，则a ＝ 63，因此该正三棱柱的体积等于34×(63)2×6＝1623，选D. 7．四面体ABCD 的外接球球心在CD 上，且CD ＝2，AB ＝3，在外接球面上A ，B 两点间的球面距离是 ( ) A.π6 B.π3 C.2π3 D.5π6 答案：C 解析：如图：球心O 为CD 中点，CD ＝2?R ＝1.在△OAB 中，OA ＝OB ＝R ＝1，又AB ＝3，
A 组 基础对点练 1．一个几何体的三视图如图所示，其中俯视图为正三角形，则侧视图的面积为( ) A ．8 B ．43 C ．4 2 D ．4 解析：由三视图可知，该几何体是一个正三棱柱，高为4，底面是一个边长为2的正三角形．因此，侧视图是一个长为4，宽为3的矩形，其面积S ＝3×4＝4 3. 答案：B 2．如图是一个空间几何体的三视图，其中正视图、侧视图都是由边长为4和6的矩形以及直径等于4的圆组成，俯视图是直径等于4的圆，该几何体的体积是( ) A.41π3 B.62π3 C.83π3 D.104π3 解析：由题意得，此几何体为球与圆柱的组合体，其体积V ＝43π×23＋π×22×6＝104π 3. 答案：D 3．某空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为( )
A ．12＋4 2 B ．18＋82 C ．28 D ．20＋82 解析：由三视图可知该几何体是底面为等腰直角三角形的直三棱柱， 如图． 则该几何体的表面积为 S ＝2×1 2 ×2×2＋4×2×2＋22×4＝20＋82，故选D. 答案：D 4．已知某锥体的正视图和侧视图如图所示，其体积为23 3 ，则该锥体的俯视图可能是( ) 解析：由正视图得该锥体的高是h ＝22－12＝3，因为该锥体的体积为23 3，所以该 锥体的底面面积是S ＝23313h ＝233 33＝2，A 项的正方形的面积是2×2＝4，B 项的圆的面积是 π×12＝π，C 项的大三角形的面积是1 2 ×2×2＝2，D 项不可能是该锥体的俯视图，故选C. 答案：C 5．已知四棱锥P ABCD 的三视图如图所示，则四棱锥P ABCD 的四个侧面中面积最大的是( )
【金版学案】2015届高考数学总复习基础知识名师讲义第八章第一节空间简单几何体的结构文 近三年广东高考中对本章考点考查的情况 本章内容主要包括：空间几何体的结构、简单几何体的表面积和体积、空间中线面平行、线面垂直、面面平行、面面垂直的判定与证明． 近几年对本章内容的考查，主要表现在：①三视图与表面积、体积相结合，考查对空间几何体的认识；②求角，常见的是异面直线所成的角，直线与平面所成的角，二面角，其中以直线与平面所成的角为重点，对角度的考查以容易题为主；③求距离，常见的是点到直线
的距离，点到平面的距离，直线与直线的距离，直线到平面的距离，要注意等积法在求距离中的应用；④直线和平面的各种位置关系的判定和性质．对这些内容的考查，着重考查空间想象能力，要求“四会”：①会画图；②会识图；③会析图；④会用图． 预测高考仍以客观题考查对空间图形的认识，以及面积、体积的计算，以解答题考查空间中直线与平面位置关系的证明．客观题和解答题都会是中等难度． 在复习立体几何时应当注意以下四个方面： 1．直线和平面的各种位置关系的判定和性质，这类试题一般难度不大，多为选择题或填空题．复习中首先要清楚相关的概念、判定、性质定理，其次在否定某些错误的判断时，能举出适当的反例．另外，能将文字语言、符号语言、图形语言灵活准确地进行转化，平时的训练要注意举一反三． 2．证明空间线、面平行或垂直．已知联想性质，由求证联想判定，寻找求证思路．通过对复杂空间图形直观图的观察和分解，发现其中的平面图形或典型的空间图形( 如正方体、正四面体等)，以便联想有关的平面几何或立体几何知识．培养根据题设条件的性质适当添加辅助线(或面)的能力，掌握平行或垂直的化归方法． 3．计算角与距离的问题．求角或距离的关键是将空间的角或距离灵活转化为平面上的角或距离，然后将所求量置于一个三角形中，通过解三角形最终求得所需的角或距离．解题原则是一作、二证、三求解(即作图、证明、求解)．熟练掌握异面直线所成角、线面角的计算方法． 4．简单的几何体的面积与体积问题．熟记特殊几何体的现成的公式．会将侧面展开，转化为求平面图形的面积问题；要注意解题技巧，如等积变换、割补思想的应用． 第一节空间简单几何体的结构 认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征，并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构. 知识梳理 空间简单几何体及其结构 一、柱、锥、台、球的结构特征 1．柱体． (1)棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱
知识图谱 -构成空间几何体的基本元素-棱柱、棱锥、棱台的结构特征-圆柱、圆锥、圆台的结构特征-球的结构特征空间几何体的基本元素及关系平面与空间划分问题棱柱的概念及相关计算棱锥的概念及相关计算棱台的概念及相关计算圆柱的概念及相关计算圆锥的概念及相关计算圆台的概念及相关计算球体的概念球的截面圆的性质球面距离第01讲_简单空间几何体错题回顾 构成空间几何体的基本元素 知识精讲 一．几何体 只考虑形状与大小，不考虑其它因素的空间部分叫做一个几何体，比如长方体，球体等． 二．构成几何体的基本元素：点、线、面 1.几何中的点不考虑大小，一般用大写英文字母来命名； 2.几何中的线不考虑粗细，分直线（段）与曲线（段）；其中直线是无限延伸的，一般
用一个小写字母或用直线上两个点表示；一条直线把平面分成两个部分． 3.几何中的面不考虑厚薄，分平面（部分）和曲面（部分）； 4.其中平面是一个无限延展的，平滑，且无厚度的面，通常用一个平行四边 形表示，并把它想象成无限延展的； 5.平面一般用希腊字母来命名，或者用表示它的平面四边形的顶 点或对角顶点的字母来命名，如右图中，称平面，平面或平面； 一个平面将空间分成两个部分． 三．用运动的观点理解空间基本图形间的关系 在几何中，可以把线看成点运动的轨迹，点动成线；把面看成线运动的轨迹，线动成面；把几何体看成面运动的轨迹（经过的空间部分），面动成体． 四．从长方体实例看空间几何体的基本元素 如图的长方体通常记为，它有六个面（即围成长方体的各个矩形），十二条棱（相邻两个面的公共边），八个顶点（棱与棱的公共点）．看长方体的棱：，,
看长方体的面：平面平行于平面，平面平行于平面 棱垂直于底面，棱垂直于侧面 五．截面 一个几何体和一个平面相交所得的平面图形（包括它的内部），叫做这个几何体的截面，如图 三点剖析 一.注意事项 1.立体几何中的平面与我们平时看见的平面是有区别的，立体几何里的平面 是理想化的，绝对平且无限延展的，它是点的集合． 2.立体几何中的平面与平面几何中的平面图形是有区别的，它无大小之分， 无形状，无边沿，无厚度，不可度量．
高三数学测试题—简单几何体 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．长方体的全面积为11，十二条棱的长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为（ ） A ．5 B ．6 C ．32 D ．14 2．在三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，侧面A ′ACC ′是垂直于底面的菱形，BC ⊥A ′C ′， 则A ′B 与AC ′所在直线所成的角度为 （ ） A ．45° B ．60° C ．90° D ．不确定 3．在斜三棱柱ABC —A ′B ′C ′中，∠A ′AB=∠A ′AC ，∠ABC=∠ACB ，则下列判断不 正确的是 （ ） A ．AA ′⊥B ′C ′ B ．侧面BB ′ C ′C 是矩形 C ．A ′A 在底面ABC 上的射影在∠BAC 的平分线上 D ．A ′在底面上的射影是△ABC 的内心 4．长方体三条棱长分别是AA ′=1，AB=2，AD=4，则从A 点出发，沿长方体的表面到 C ′的最短矩离是 （ ） A ．5 B ．7 C ．29 D ．37 5．平行六面体的棱长都是a ，从一个顶点出发的三条棱两两都成60°角，则该平行六面体 的体积为 （ ） A ．3 a B ． 32 1a C ． 32 2a D ． 32 3a 6．正四棱锥的一个对角面与侧面的面积之比为8:6，则侧面与底面所成的二面角为（ ） A ． 12 π B ． 4 π C ． 6 π D ． 3 π 7．将一个边长为a 的正方体，切成27个全等的小正方体，则表面积增加了 （ ）
A ．2 6a B ．12a 2 C ．18a 2 D ．24a 2 8．正四面体的侧棱与底面所成角的正弦值是 （ ） A ． 3 1 B ． 3 3 C ． 3 π D ． 2 3 9．直三棱柱各侧棱和底面边长均为a ，点D 是CC ′上任意一点，连结A ′B ，BD ，A ′D ， AD ，则三棱锥A —A ′BD 的体积 （ ） A ． 36 1a B ． 3123a C ． 36 3a D ． 3 12 1a 10．设正多面体的每个面都是正n 边形，以每个顶点为端点的棱有m 条，棱数是E ，面数是 F ，则它们之间的关系不正确的是 （ ） A ．nF=2E B ．mV=2E C ．V+F=E+2 D ．mF=2E 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．如果两个球的表面积之比是4：1，那么这两个球的体积之比是 . 12．三棱锥P —ABC 的侧面PAB ，PBC 是等边三角形，且∠APC 为直角，则二面角P —AC —B 的大小为 . 13．在四棱锥P —ABCD 中，侧面PAD 、侧面PCD 与底成ABCD 都垂直，底面是边长为3 的正方形，PD=4，则四棱锥P —ABCD 的全面积为 . 14．在北纬60°圈上有A 、B 两地，在这纬度圈上AB 的长度为 2 R π（R 为地球半径），则这 两地的球面距离为 . 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．在棱锥P —ABC 中，PA 、PB 、PC 两两成60°角，PA=a ,PB=b ,PC=c ,求三棱锥P —ABC 的体积（12分） 16．已知圆锥的母线长为10cm ，高为8cm ，求此圆锥的内切球的体积（12分）
2010届高考数学知识点汇编（全套） 直线、平面、简单几何体 一、知识结构 另注：三余弦公式？其中α为线面角，β为斜线与平面内直线所成的角，θ为？ 二、主要类型及证明方法（主要复习向量法） 1、定性： （1）直线与平面平行：向量法有几种证法；非向量法有种证法。 （2）直线与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。 （3）平面与平面垂直：向量法有几种证法；非向量法有种证法。 2、定量： （1）点P 到面的距离d=|| |||,cos |n =><=,cos cos θ
（4）直线与平面所成的角θ：><=,cos sin θ （5）锐二面角θ：><=n m ,cos cos θ 三、例题 1. 设集合A ＝{正四面体}，B ＝{正多面体}，C ＝{简单多面体}，则A 、B 、C 之间的关系为( A ) A .A ? B ? C B .A ?C ?B C .C ?B ?A D .C ?A ?B 2. 集合A ＝{正方体}，B ＝{长方体}，C ＝{正四棱柱}，则A 、B 、C 之间的关系为( B ) A .A ? B ? C B .A ?C ?B C .C ?A ?B D .B ?A ?C 3. 长方体ABCD －A 'B 'C 'D '中，E 、F 、G 分别是AB 、BC 、BB '上的点，则△EFG 的形状是( C ) A .等边三角形 B .直角三角形 C .锐角三角形 D .钝角三角形 4. 长方体的一条对角线与同一顶点处的三条棱所成角分别为α、β、γ，则有( A ) A .cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1 B .sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1 C .cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝2 D .sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝3 5. 长方体的一条对角线与同一顶点处的三个面所成角分别为α、β、γ，则有( B ) A .cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝1 B .sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝1 C .cos 2α＋cos 2β＋cos 2γ＝3 D .sin 2α＋sin 2β＋sin 2γ＝2 6. 长方体ABCD －A 'B 'C 'D '中，∠D 'BA ＝45o,∠D 'BB '＝60o，则∠D 'BC ＝( C ) A .30o B .45o C .60o D .75o 7. 长方体的全面积为11，所有棱长之和为24，则这个长方体的一条体对角线长为( C ) A .2 3 B .14 C .5 D .6 8. 棱锥的底面积为S ，高位h ，平行于底面的截面面积为S '，则截面与底面的距离为( ) A .(S －S ')h S B .(S ＋S ')h S C .(S －S ')h S D .(S ＋S ')h S A 9. 三棱锥P －ABC 的三条侧棱长相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( ) A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心 B 10. 三棱锥P －ABC 的三条侧棱与底面所成的角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( ) A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心 B 11. 三棱锥P －ABC 的三个侧面与底面所成的二面角相等，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( ) A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心 A 12. 三棱锥P －ABC 的三条侧棱两两垂直，则顶点在底面上的射影是底面三角形的( ) A .内心 B .外心 C .垂心 D .重心 C 13. 三棱锥V －ABC 中，VA ＝BC ,VB ＝Ac ,VC ＝Ab ，侧面与底面ABC 所成的二面角分别为α、β、γ(都是锐角)，则cos α＋cos β＋cos γ＝( ) A .1 B .2 C .12 D .13
【知识要点】 一、扇形的面积 （其中l 代表扇形的弧长，r 代表扇形的半径，α代表扇形的圆心角的弧度数，n 代表扇形圆心角的度数）二、多面体的表面积就是把多面体表面的各个面的面积加起来. 表中S 表示面积，1 ,c c 分别表示上、下底面周长，h 表示高，1 h 表示斜高，l 表示侧棱长. 三、旋转体的面积和体积公式 旋转体的面积公式不能直接求，所以一般利用展开法求得. 全面积和表面积是同一个概念,指围成几何体的各面的面积之和. 表中,l h 分别表示母线、高，r 表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，12,r r 分别表示圆台 上、下底面半径， R 表示球的半径.
四、与球有关的几个结论： 1、与球的截面有关的问题，常用到公式2 2 2 d r R += (d 代表球心到截面圆的距离，r 代表截面圆的半径，R 代表球的半径.) 2 3、4、平面几何里解与圆的弦有关的问题常解半半弦三角形，立体几何里解与球有关的弦的问题常解半半半圆心距三角形. 5、解答与球有关的问题，一般先要找到球心，再解三角形. 五、求几何体的面积和体积的方法 方法一：对于规则的几何体一般用公式法.方法二：对于非规则的几何体一般用割补法. 方法三：对于某些三棱锥有时可以利用转换的方法. 【方法讲评】 【例1】已知Rt ABC ?中，0 3,4,90,2,2AB BC ABC AE EB AF FC ==∠===，将AEF ?沿EF 折起，使A 变到A '，使平面A EF '⊥平面EFCB ． （1）试在线段A C '上确定一点H ，使//FH 平面A BE '； （2）试求三棱锥A EBC '-的外接球的半径与三棱锥A EBC '-的表面积． 【解析】
立体几何（附高考预测） 一、本章知识结构： 二、重点知识回顾 1、空间几何体的结构特征 （1）棱柱、棱锥、棱台和多面体 棱柱是由满足下列三个条件的面围成的几何体：①有两个面互相
平行；②其余各面都是四边形；③每相邻两个四边形的公共边都互相平行；棱柱按底面边数可分为：三棱柱、四棱柱、五棱柱等．棱柱性质：①棱柱的各个侧面都是平行四边形，所有的侧棱都相等；②棱 柱的两个底面与平行于底面的截面是对应边互相平行的全等 ．．多边形. ③过棱柱不相邻的两条侧棱的截面都是平行四边形. 棱锥是由一个底面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形所围成的几何体．棱锥具有以下性质：①底面是多边形；②侧面是以棱锥的顶点为公共点的三角形；③平行于底面的截面和底面是相似多边形，相似比等于从顶点到截面和从顶点到底面距离的比．截面面积和底面面积的比等于上述相似比的平方． 棱台是棱锥被平行于底面的一个平面所截后，截面和底面之间的部分．由棱台定义可知，所有侧棱的延长线交于一点，继而将棱台还原成棱锥． 多面体是由若干个多边形围成的几何体．多面体有几个面就称为几面体，如三棱锥是四面体． （2）圆柱、圆锥、圆台、球 分别以矩形的一边，直角三角形的一直角边，直角梯形垂直于底边的腰所在的直线，半圆以它的直径所在直线为旋转轴，旋转一周而形成的几何体叫做圆柱、圆锥、圆台、球 圆柱、圆锥和圆台的性质主要有：①平行于底面的截面都是圆； ②过轴的截面（轴截面）分别是全等的矩形、等腰三角形、等腰梯形； ③圆台的上底变大到与下底相同时，可以得到圆柱；圆台的上底变小
为一点时，可以得到圆锥． 2、空间几何体的侧面积、表面积 （1）棱柱侧面展开图的面积就是棱柱的侧面积，棱柱的表面积就是它的侧面积与两底面面积的和． 因为直棱柱的各个侧面都是等高的矩形，所以它的展开图是以棱柱的底面周长与高分别为长和宽的矩形．如果设直棱柱底面周长为c ，高为h ，则侧面积S ch =侧． 若长方体的长、宽、高分别是a 、b 、c ，则其表面积2()S ab bc ca =++表． （2）圆柱的侧面展开图是一个矩形．矩形的宽是圆柱母线的长，矩形的长为圆柱底面周长．如果设圆柱母线的长为l ，底面半径为r ，那么圆柱的侧面积2πS rl =侧，此时圆柱底面面积2πS r =底.所以圆柱的 表面积222π2π2π()S S S rl r r r l =+=+=+侧底． （3）圆锥的侧面展开图是以其母线为半径的扇形．如果设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则侧面积πS rl =侧，那么圆锥的表面积是 由其侧面积与底面面积的和构成，即为2πππ()S S S rl r r r l =+=+=+侧底． （4）正棱锥的侧面展开图是n 个全等的等腰三角形．如果正棱锥的周长为c ，斜高为h '，则它的侧面积12S ch '=侧． （5）正棱台的侧面积就是它各个侧面积的和．如果设正棱台的上、下底面的周长是c c '，，斜高是h '，那么它的侧面积是12 S ch '=侧． （6）圆台侧面展开图是以截得该圆台的圆锥母线为大圆半径，圆锥与圆台的母线之差为小圆半径的一个扇环．如果设圆台的上、下
A B C D A B C D A C B A B C 专题六 空间向量 简单几何体 一 能力培养 1,空间想象能力 2,数形结合思想 3,转化能力 4,运算能力 二 问题探讨 问题1(如图)在棱长为1的正方体ABCD 1111-A B C D 中, (1)求异面直线1A B 与1B C 所成的角的大小; (2)求异面直线1A B 与1B C 之间的距离; (3)求直线1A B 与平面1B CD 所成的角的大小; (4)求证:平面1A BD//平面C 1B 1D ; (5)求证:直线A 1C ⊥平面1A BD; (6)求证:平面AB 1C ⊥平面1A BD; (7)求点1A 到平面C 1B 1D 的距离; (8)求二面角1A -1B C -1D 的大小. 问题2已知斜三棱柱ABCD 1111A B C D -的侧面1A AC 1C 与底面垂直,0 90ABC ∠=,2BC =,AC =且A 1 A ⊥1A C, A 1A =1A C. (1)求侧棱A 1A 和底面ABC 所成的角的大小; (2)求侧面1A A B 1B 和底面AB C 所成二面角的大小; (3)求顶点C 到侧面1A AB 1B 的距离.
A B C D E F 三 习题探讨 选择题 1甲烷分子由一个碳原子和四个氢原子组成,其空间构型为一正四面体,碳原子位于该正四 面体的中心,四个氢原子分别位于该正四面体的四个顶点上.若将碳原子和氢原子均视为一 个点(体积忽略不计),且已知碳原子与每个氢原子间的距离都为a ,则以四个氢原子为顶点 的这个正四面体的体积为 A, 3827a 3 a C,313a D,389a 2夹在两个平行平面之间的球,圆柱,圆锥在这两个平面上的射影都是圆,则它们的体积之 比为 A,3:2:1 B,2:3:1 C,3:6:2 D,6:8:3 3设二面角a αβ--的大小是0 60,P 是二面角内的一点,P 点到,αβ的距离分别为1cm, 2cm,则点P 到棱a 的距离是 A, 3 B,3 C,23cm D, 3 4如图,E,F 分别是正三棱锥A -BCD 的棱AB,BC 的中点,且DE ⊥EF.若BC=a ,则此正三棱锥的体积是 A,324a B,324 a C, 312a D,3 12 a 5棱长为的正八面体的外接球的体积是 A, 6π 填空题 6若线段AB 的两端点到平面α的距离都等于2,则线段AB 所在的直线和平面α 的位置关系是 . 7若异面直线,a b 所原角为0 60,AB 是公垂线,E,F 分别是异面直线,a b 上到A,B 距离为 2和平共处的两点,当3EF =时,线段AB 的长为 . 8如图(1),在直四棱柱1111A BC D ABCD -中,当底面四边形ABCD 满足条件 时,有1A C ⊥1B 1D (注:填上你认为正确的一种条件即可,不必考虑所有可能的情形)