2019-2020年高考数学复习 第72课时 第九章 直线、平面、简单几何体-空间直线名师精品教案
课题：空间直线 一．复习目标：
1．了解空间两条直线的位置关系．
2．掌握两条直线所成的角和距离的概念，会计算给出的异面直线的公垂线段的长． 二．课前预习： 1．下列四个命题：
（1）分别在两个平面内的两条直线是异面直线 （2）和两条异面直线都垂直的直线有且只有一条 （3）和两条异面直线都相交的两条直线必异面 （4）若与是异面直线，与是异面直线，则与也异面 其中真命题个数为 （ D ） 3 2 1 0
2．在正方体中，、分别是棱和的中点，为上底面的中心，则直线与所成的角为（ A ） 300 450 600
3．在棱长为的正四面体中，相对两条棱间的距离为__ _．（答案：）
4．两条异面直线、间的距离是1cm ，它们所成的角为600
，、上各有一点A 、B ，距公垂线的垂足都是10cm ，则A 、B 两点间的距离为_______． 答案：
三．例题分析：
例1．已知不共面的三条直线、、相交于点，，，，，求证：与是异面直线．
证一：（反证法）假设AD 和BC 共面，所确定的平面为α，那么点P 、A 、B 、C 、D 都在平面α内，∴直线
a 、
b 、
c 都在平面α内，与已知条件a 、b 、c 不共面矛盾，假设不成立，∴AD 和BC 是异面直线。
证二：（直接证法）∵a ∩c=P ，∴它们确定一个平面，设为α，由已知C 平面α，B ∈平面α，AD 平面α，BAD ，∴AD 和BC 是异面直线。
例2． 一条长为的线段夹在互相垂直的两个平面、之间，AB
与所成角为，与所成角为，且，，，、是垂足，求（1）的长；（2）与所成的角
解：（1）连BC 、AD ，可证AC ⊥β，BD ⊥α，∴ABC=300，
∠BAD=450 ，Rt △ACB 中，BC=AB ·cos300
= ， 在Rt △ADB 中，BD=AB ·sin450
=
在Rt △BCD 中，可求出CD=1cm （也可由AB 2=AC 2+BD 2+CD 2-2AC ·BD ·cos900
求得）（2）作BE//l ，CE//BD ，BE ∩CE ，则∠ABE 就是AB 与CD 所成的角，连AE ，由三垂线定理可证BE ⊥AE ，先
求出AE=，再在Rt △ABE 中，求得∠ABE=600
。
P
B C
D
b c
a
A
E G
F D B α β
说明：在（3）中也可作CH ⊥AB 于H ，DF ⊥AB 于F ，HF 即为异面直线CH 、DF 的公垂线，利
用公式CD 2=CH 2+DF 2+HF 2
-2·CH ·DFcos α，求出cos α=。
四．课后作业：
1．AB 、CD 在平面α内，AB//CD ，且AB 与CD 相距28厘米，EF 在平面α外，EF//AB ，且EF 与AB 相距17厘米，EF 与平面α相距15厘米，则EF 与CD 的距离为（ C ） 25厘米 39厘米 25或39厘米 15厘米
2．已知直线a ，如果直线b 同时满足条件：①a 、b 异面②a 、b 所成的角为定值③a 、b 间的距离为定值，则这样的直线b 有（ D ） 1条 2条 4条 无数条
3．已知异面直线a 与b 所成的角为500，P 为空间一点，则过点P 与a 、b 所成的角都是300
的直线有且仅有（ B ）
1条 2条 3条 4条
4．在正三棱柱中，若，则与所成的角的大小 ． 答案：．
5．如图，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的中，求证：B 1D 被平面A 1BC 1分成1∶2的两段． 证明：如图1，在正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，
连结B 1D 1，A 1C 1，BD ，AC ．
设B 1D 1A 1C 1＝M ，BDAC ＝N ． ∴ M ，N 分别是B 1D 1，AC 的中点．
连结BM ，D 1N ．
∵ BB 1∥DD 1，且BB 1＝DD 1， ∴ 四边形BDD 1B 1是平行四边形． 在平面BDD 1B 1中，设B 1DBM ＝O ，B 1DD 1N ＝O 1， 在平行四边形BDD 1B 1中， ∵ D 1M ∥NB ，且D 1M ＝NB ，
∴ 四边形BND 1M 是平行四边形．
∴ BM ∥ND 1，即 OM ∥O 1D 1，
∴ O 是BO 1的中点，即 O 1O ＝OB 1． 同理，OO 1＝O 1D ． ∴ O 1O ＝OB 1＝O 1D ． 综上，OB 1∶OD 1＝1∶2．
6．如图，已知平面α、β交于直线，AB 、CD 分别在平面α，β内，且与分别交于B ，D 两点．若∠ABD ＝∠CDB ，试问AB ，CD 能否平行？并说明理由．
证明：直线AB ，CD 不能平行．否则，若AB ∥CD ，则AB ∥CD 共面，记这个平面为γ． ∴ AB ，CD γ．
∴ AB α，D ∈γ．
由题知，AB α，D ∈α，且D AB ，
根据过一条直线及这条直线外一点，有且仅有一个
平面，α与γ重合． 同理，β与γ重合．
A 1 A
B B 1 D D 1 C
C 1 O B C
D A
α β
l
A 1 A
B B 1 D D 1
C C 1
图1 M
O
N O 1
∴ α与β重合，这与题设矛盾． ∴ AB ，CD 不能平行．
7．平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，求证：CD 1所在的直线与BC 1所在的直线是异面直线． 证明：假设CD 1所在的直线与BC 1所在的直线不是异面
直线．
设直线CD 1与BC 1共面α． ∵C ，D 1∈CD 1，B ，C 1∈BC 1，∴C ，D 1，B ，C 1∈α． ∵CC 1∥BB 1，∴CC 1，BB 1确定平面BB 1C 1C ， ∴C ，B ，C 1∈平面BB 1C 1C ．
∵不共线的三点C ，B ，C 1只有一个平面， ∴平面α与平面BB 1C 1C 重合．
∴D 1∈平面BB 1C 1C ，矛盾．
因此，假设错误，即CD 1所在的直线与BC 1所在的直线是异面直线．
2019-2020年高考数学复习 第74课时 第九章 直线、平面、简单几何体-直线与平面垂直（1）名师精品教案
课题：直线与平面垂直 一．复习目标：
1．掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关
的问题； 2．会用三垂线定理及其逆定理证明线线垂直，并会规范地写出解题过程。 二．知识要点：
1．直线与平面垂直的判定定理是 ；
性质定理是 ； 2．三垂线定理是 ；
三垂线定理的逆定理是 ； 3．证明直线和平面垂直的常用方法有：
三．课前预习：
1．若表示直线，表示平面，下列条件中，能使的是 （ ）
2．已知与是两条不同的直线，若直线平面，①若直线，则；②若，则；③若，则；④，则。上述判断正确的是 （ ）
A A 1 D 1 D C
C 1 B 1
N
M
P
C
B
A
M D
A 1
C 1
B 1
C
B
A
①②③ ②③④ ①③④ ②④
3．在直四棱柱中，当底面四边形满足条件时，有（注：填上你认为正确的一种条件即可，不必考虑所有可能的情况）
4.设三棱锥的顶点在平面上的射影是，给出以下命题： ①若，，则是的垂心
②若两两互相垂直，则是的垂心 ③若，是的中点，则 ④若，则是的外心
其中正确命题的命题是 ①②③④ 四．例题分析：
例1．四面体中，分别为的中点，且，，求证：平面 证明：取的中点，连结，∵分别为的中点， ∴
，又∴，∴在中，2
2
221
2
EG FG AC EF +=
= ∴，∴，又，即， ∴平面
例2．如图是所在平面外一点，平面，是的中点，是上的点， （1）求证：；（2）当，时，求的长。
（1）证明：取的中点，连结，∵是的中点，
∴，∵ 平面 ，∴ 平面 ∴是在平面内的射影 ，取 的中点，连结，∵∴，又， ∴
∴，∴，由三垂线定理得 （2）∵，∴，∴， ∵平面 ∴，且，∴
例3.
如图，直三棱柱中，90,1,ACB AC CB ∠===
点，的中点为，求证：平面
证明：连结，∵∴，在直三棱柱中，∴平面， ∵，∴，∴，
∵是侧面的两条对角线的交点，∴是与的中点，∴，连结，取的中点，连结，则，
∵平面，∴平面，∴是在 平面内的射影。在中， 在中，，∴
∴，∴,CD BM BM
BD B ⊥=，∴平面
五．课后作业：
1．下列关于直线与平面的命题中，真命题是 （ ） 若且，则 若且，则
N
M
P
D
C
B
A C
B
A
S
若且，则 且，则
2．已知直线a 、b 和平面M 、N ，且，那么（ ） （A ）∥Mb ⊥a （B ）b ⊥a b ∥M （C ）N ⊥M a ∥N （D ）
3．在正方体中，点在侧面及其边界上运动，并且保持，则动点的轨迹为 （ ）
线段 线段 的中点与的中点连成的线段 的中点与的中点连成的线段
4．三条不同的直线，、、为三个不同的平面 ①若∥ ②若∥.
③若、βαβ⊥⊥⊥?
则,,,c a b a c ④若∥
上面四个命题中真命题的个数是 5．如图，矩形所在的平面，分别是的中点， （1）求证：平面； （2）求证： （3）若，求证：平面
6．是矩形，，沿对角线把折起，使，
（1）求证：是异面直线与的公垂线；（2）求的长。
7．如图，已知是由一点引出的不共面的三条射线，0
45,60,ASC ASB BSC ∠=∠=∠=，求证：
8．矩形中，，平面，且，边上存在点，使得，求的取值范围。