二元函数的最值的求法
二元函数的最值求法是高等数学中的一项重要内容。这里介绍二元函数最值的求法。
首先，要判断函数的定义域。对于二元函数来说，通常是平面上的一个区域。在定义域上找出最值点，即为函数的最值点。求出这些点的函数值，就是函数的最值。
1. 线性规划法
线性规划法是一种比较常用的求解最值的方法。通常把二元函数看作一种线性函数，根据不等式条件建立约束条件，然后使用线性规划算法求得最优解。
例如，对于二元函数 $z=f(x,y)=3x+2y$，我们要在不等式约束条件下求其最大值。假设约束条件为 $x+2y\leq 4$，$3x+2y\leq 7$，$x,y\geq 0$。
首先需要将目标函数转化为标准形式，即 $z=-3x-2y$，然后可以用单纯形法求解，得到最优解 $z_{max}=9$，此时 $x=1$，$y=\frac{3}{2}$。
2. 梯度下降法
梯度下降法是一种比较常用的数值优化算法，可以用于求解二元函数的最小值。梯度下降法的基本思想是不断沿着梯度的负方向进行迭代，直到达到函数的极小值点。
对于二元函数 $f(x,y)$，梯度为 $\nabla f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$，沿着负梯度方向的迭代公式为：
$$(x,y)_{k+1}=(x,y)_k-\alpha\nabla f(x,y)_k$$
其中 $\alpha$ 是学习率，可以动态调整。
3. 拉格朗日乘数法
拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的有效方法。对于二元函数 $f(x,y)$ 和约束条件 $g(x,y)=0$，可以通过拉格朗日函数构造新的函数：
其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数，通过对 $L(x,y,\lambda)$ 求偏导数，可以得到以下一组方程：
$$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\end{cases}$$
解这组方程可以得到最优解 $(x^*,y^*)$ 和相应的最优值。
总结
从以上三种方法来看，线性规划法是一种比较常用的求解二元函数最值的方法，适用于约束条件比较明显的情况；梯度下降法适用于没有明显约束条件的情况，可以用于求解二元函数的最小值；拉格朗日乘数法适用于需要满足约束条件的情况，可以求解约束优化问题。
无论使用哪种方法，都需要仔细分析二元函数的性质和定义域，确定约束条件，以获得正确的最值结果。
二元函数最大值最小值 1. 二元函数的定义及性质 二元函数是指具有两个自变量的函数，可以表示为f(x,y)，其中x和y是实数。二元函数在数学和其他学科中都有广泛的应用。在这篇文章中，我们将探讨二元函数的最大值和最小值。 2. 求二元函数最大值最小值的方法 求二元函数最大值和最小值的方法有很多种，下面将介绍其中几种常见的方法： 2.1 方程法 方程法是一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。具体步骤如下： 1.对二元函数进行求导，得到关于x和y的偏导数； 2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点； 3.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。 2.2 极值法 极值法是另一种常用的求二元函数最大值最小值的方法。具体步骤如下： 1.对二元函数进行求偏导，得到关于x和y的偏导数； 2.解关于x和y的偏导数的方程组，求得关键点，即导数等于0的点； 3.判断关键点是否为极值点，可以通过求二阶偏导数来确定； 4.计算关键点对应的函数值，并比较大小，得到最大值和最小值。 2.3 Lagrange乘子法 Lagrange乘子法是一种求二元函数在一定条件下的最大值和最小值的方法。具体步骤如下： 1.设置约束条件，即给出一个或多个限制条件； 2.根据Lagrange乘子法的原理，建立相关方程组；
3.解方程组，求得最大值和最小值。 3. 求解二元函数最大值最小值的示例 假设有一个二元函数f(x,y) = x^2 + y^2，我们将通过上述三种方法来求解它的最大值和最小值。 3.1 方程法求解最大值最小值 对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y 令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。 计算关键点对应的函数值： f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最大值和最小值都为0。 3.2 极值法求解最大值最小值 对f(x,y) = x^2 + y^2求偏导，得到关于x和y的偏导数： ∂f/∂x = 2x，∂f/∂y = 2y 令∂f/∂x = 0，∂f/∂y = 0，解得关键点为(x,y) = (0,0)。 计算关键点对应的二阶偏导数： ∂2f/∂x2 = 2，∂2f/∂y2 = 2 由于二阶偏导数均为正数，所以关键点(0,0)为最小值点。 计算最小值点对应的函数值： f(0,0) = 0^2 + 0^2 = 0 所以函数f(x,y) = x^2 + y^2的最小值为0。
2． 二元函数的极值与最值 二元函数的极值与最值问题已成为近年考研的重点， 现对二元函数的极值与 最值的求法总结如下： 1．二元函数的无条件极值 (1) 二元函数的极值一定在 驻点 和不可导点 取得。对于不可导点，难以判断 是否是极值点；对于驻点可用极值的充分条件判定。 (2)二元函数取得极值的 必要条件 ： 设 z f (x,y) 在点(x 0,y 0) 处可微分且在 点(x 0, y 0 )处有极值，则 f 'x (x 0,y 0) 0， f 'y (x 0, y 0) 0，即 (x 0,y 0) 是驻点。 (3) 二元函数取得极值的 充分条件 ：设 z f (x,y) 在(x 0,y 0) 的某个领域内有 连续上 二阶偏导数，且 f 'x (x 0,y 0) f 'y (x 0, y 0) 0 ，令 f'xx (x 0,y 0) A ， f'xy (x 0,y 0) B ， f 'yy (x 0,y 0) C ，则 当B 2 AC 0且 A<0 时， f ( x 0 , y 0 )为极大值； 当B 2 AC 0且 A>0， f ( x 0 , y 0 )为极小值； B 2 AC 0 时，(x 0, y 0) 不是极值点。 注意： 当 B 2－AC = 0时，函数 z = f (x, y)在点( x 0 , y 0 )可能有极值，也可能没有 极值，需另行讨论 例 1 求函数 z = x 3 + y 2 － 2xy 的极值． 【分析】可能极值点是两个一阶偏导数为零的点， 先求出一阶偏导， 再令其为零 确定极值点即可， 然后用二阶偏导确定是极大值还是极小值， 【解】先求函数的一、二阶偏导数： 并求出相应的极值 . 2 z 2 z z 3x 2y ， 2y 2x ． 2 6x , x y x 2 z xy 2 z 2 y 2 再求函数的驻点．令 z = 0， x 得方程组 2 3x 2y 0, 2y 2x 0.
二元函数 f(x,y) 求最值的常用解题方法 求解二元函数f(x,y)最值的常用解题方法 求解二元函数f(x,y)的最值是高等数学课程中的一道应用难题，通过求解最 值问题，可以得出函数f(x,y)的最大值和最小值，以此来分析函数的极值的特征，为其他数学问题的求解提供思路。下文着重介绍十常用的解决二元函数最值问题的方法： 第一种方法是从图形观察法，即通过观察函数f(x,y)的图像，可以直接看出 函数的最大值和最小值。但这一方法有明显的局限性，仅对那些图像清晰简明容易看出极值的二元函数有效。 第二种方法基于极大值极小值原理。据该原理推测，函数f(x,y)的最值必定 出现在函数的定义域中，该函数的极大值与极小值的数值点满足一定的不等式。 第三种方法利用二阶偏导数法。由二阶偏导数的值判断该函数的极值性质，对 于极值的求解，可以通过求解一元函数的一阶导数与二阶导数等于零的根来实现。 第四种方法是利用拉格朗日函数法。它依赖拉格朗日函数以及拉格朗日不等式，依据拉格朗日不等式，可以确定函数f(x,y)的极值，拉格朗日不等式中的拉格朗 日函数应是原函数的真实性函数。 第五种方法是利用泰勒级数近似法。这种方法可以有效简化复杂的二元函数， 将其分解微小量的和，以此来求解函数f(x,y)的极值。 第六种方法是利用几何法求解最值问题。这一方法是将二元函数转化成平面几 何中的曲线，求解曲线相交，以求解函数极值问题。 第七种方法是利用拉普拉斯法求解最值问题。依据拉普拉斯定理，函数f(x,y)的最值定义域内满足微分方程组，而拉普拉斯方法便是利用该定理求解最值的有效方法之一。 第八种方法也可以通过牛顿-拉夫逊迭代法确定二元函数f(x,y)的最值。它借 助损失函数与多元函数，以此来求解极值exx让高维函数从有限纸面集梳理、
二元函数的最值的求法 二元函数的最值求法是高等数学中的一项重要内容。这里介绍二元函数最值的求法。 首先，要判断函数的定义域。对于二元函数来说，通常是平面上的一个区域。在定义域上找出最值点，即为函数的最值点。求出这些点的函数值，就是函数的最值。 1. 线性规划法 线性规划法是一种比较常用的求解最值的方法。通常把二元函数看作一种线性函数，根据不等式条件建立约束条件，然后使用线性规划算法求得最优解。 例如，对于二元函数 $z=f(x,y)=3x+2y$，我们要在不等式约束条件下求其最大值。假设约束条件为 $x+2y\leq 4$，$3x+2y\leq 7$，$x,y\geq 0$。 首先需要将目标函数转化为标准形式，即 $z=-3x-2y$，然后可以用单纯形法求解，得到最优解 $z_{max}=9$，此时 $x=1$，$y=\frac{3}{2}$。 2. 梯度下降法 梯度下降法是一种比较常用的数值优化算法，可以用于求解二元函数的最小值。梯度下降法的基本思想是不断沿着梯度的负方向进行迭代，直到达到函数的极小值点。 对于二元函数 $f(x,y)$，梯度为 $\nabla f(x,y)=(\frac{\partial f}{\partial x},\frac{\partial f}{\partial y})$，沿着负梯度方向的迭代公式为： $$(x,y)_{k+1}=(x,y)_k-\alpha\nabla f(x,y)_k$$ 其中 $\alpha$ 是学习率，可以动态调整。 3. 拉格朗日乘数法 拉格朗日乘数法是一种求解约束优化问题的有效方法。对于二元函数 $f(x,y)$ 和约束条件 $g(x,y)=0$，可以通过拉格朗日函数构造新的函数： 其中 $\lambda$ 是拉格朗日乘数，通过对 $L(x,y,\lambda)$ 求偏导数，可以得到以下一组方程： $$\begin{cases}\frac{\partial L}{\partial x}=0\\\frac{\partial L}{\partial y}=0\\\frac{\partial L}{\partial \lambda}=0\end{cases}$$ 解这组方程可以得到最优解 $(x^*,y^*)$ 和相应的最优值。 总结
本稿件适合高三高考复习用 有关函数最值问题 的十二种解题方法与策略 贵州省龙里中学高级教师 洪其强（551200） 一、消元法：在已知条件等式下，求某些二元函数(,)f x y 的最值时，可利用条件式消去一个参量，从而将二元函数(,)f x y 化为在给定区间上求一元函数的最值问题。 例1、已知 x 、y R ∈且223260x y x +-=，求222x y +的值域。 解：由223260x y x +-=得22 2360y x x =-+≥，即02x ≤≤。 2 2 2 2 392262()2 2 x y x x x +=-+=--+ ∴当32 x =时，2 22x y +取得最大值 9 2 ；当0x =时，222x y +取得最小值0。即222x y +的值域为90,2?????? 二、判别式法：对于某些特殊形式的函数的最值问题，经过适当变形后，使函数()f x 出现在一个有实根的一元二次方程的系数中，然后利用一元二次方程有实根的充要条件0?≥来求出()f x 的最值。 例2、求函数2 2()1 x f x x x =++的最值。 解：由22()1 x f x x x = ++得 []2()()2()0f x x f x x f x +-+=， 因为x R ∈，所以0? ≥，即[]22()24()0f x f x --≥，解得22()3 f x -≤≤。 因此()f x 的最大值是 2 3 ，最小值是－2。 三、配方法：对于涉及到二次函数的最值问题，常用配方法求解。 例3、求2 ()2 34x x f x +=-在区间[]1,0-内的最值。 解：配方得 2 224 ()2 343(2)33 x x x f x +=-=--+ []1,0x ∈- ，所以 1212x ≤≤，从而当223x =即22log 3x =时，()f x 取得最大值4 3 ；当21x =即
二元函数求极值的方法 二元函数是指具有两个自变量的函数。在数学中，求二元函数的极值是一种重要的问题。本文将介绍二元函数求极值的方法，帮助读者了解这一问题的基本原理和具体操作方法。 一、定义 二元函数是指一个函数，其自变量有两个，通常用符号(x,y)或者(x,y,z)表示。我们可以将二元函数看作是平面上的一条曲线，或者空间中的一条曲面。在这里，我们假设函数是可导的，这样我们可以利用导数来求极值。 二、基本思路 求二元函数的极值，需要先求出它的偏导数，然后再根据偏导数的形式来确定函数的最大值和最小值。具体的方法分为以下几步： 1.求解偏导数 对于一个二元函数f(x,y)，我们需要先求解偏导数，将其表示为f_x和f_y。偏导数分别表示在x和y方向上，函数f的变化率。 2.求解驻点 将f_x和f_y的值设为0，求出二元函数的驻点。驻点就是函数在某个点上的导数为0的点，它是函数极值的可能位置。 3.求解二阶导数
在求解二元函数极值时，还需要考虑二阶偏导数。二阶偏导数即 求偏导数再次求导得到的结果。 4.判断极值 通过对二元函数的偏导数和二阶偏导数进行分析，可以判断出函 数的极值。当f_x,f_y均为0，且二阶偏导数f_xx*f_yy-f_xy^2>0时，函数取得极值。 三、注意事项 1.求解二元函数极值的方法有多种，但是需要选择最适合我们自 己的方法。 2.在使用求导法时，需要确保函数是可导的，否则可能会得出错 误结论。 3.在判断极值时，需要对结果进行验证，确保得出的最值是正确的。 4.在求解复杂的二元函数时，可以采用计算机辅助计算，提高求 解的准确性和效率。 四、总结 求解二元函数的极值需要明确求解偏导数和二阶偏导数的方法， 了解驻点和判断极值的基本理论。同时，需要多加练习和实践，提高 求解二元函数极值的能力和技巧。只有不断深化理解和提高实践技能，才能更好地掌握这一重要的数学问题。
二元函数的最值与极值 二元函数是指含有两个自变量的函数，通常表示为 f(x, y)。在数学中，研究二元函数的最值与极值是一项重要的任务。最值是函数在给 定定义域内取得的最大值或最小值，而极值则是函数在某一点附近取 得的最大值或最小值。本文将讨论二元函数的最值与极值的相关概念 及其求解方法。 一、二元函数最值的定义和求解方法 1. 最大值与最小值的定义 在定义域 D 上，二元函数 f(x, y) 的最大值为在 D 上任意一点 (x*, y*)，对于任意 (x, y)∈D，都有f(x*, y*)≥f(x, y)。类似地，最小值为 f(x*, y*)≤f(x, y)。 2. 常用求解方法 求解二元函数最值的方法包括边界点法和极值点法。通过确定函数 的定义域边界和计算极值点，在这些可能的点中找出函数的最值。 边界点法：首先确定函数的定义域 D，然后计算函数在 D 的边界上 的值，包括端点和可能的不可导点。最值往往出现在函数在 D 的边界上。 极值点法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数，求出函数的偏导数 为零的临界点，即潜在的极值点。通过进一步分析这些临界点的性质，确定最值的位置。
二、二元函数极值的定义和求解方法 1. 极值的定义 在定义域 D 上，如果存在一个点 P (x*, y*)，使得在 P 的某个邻域内，对于任意 (x, y)∈D，有f(x*, y*)≥f(x, y) 或f(x*, y*)≤f(x, y)，则称 P 是函数的极大值点或极小值点。 2. 常用求解方法 求解二元函数的极值点的方法主要有一阶偏导数法和二阶偏导数法。通过对偏导数进行求解，可以找到函数的极值点。 一阶偏导数法：计算二元函数分别对 x 和 y 的一阶偏导数，并令其 等于零，求解得到潜在的临界点。通过进一步分析这些临界点的性质，确定极值点的位置。 二阶偏导数法：计算二元函数的一阶和二阶偏导数。对于二阶偏导数，可以通过解方程组或者求导数的正负性进行分析，从而确定极值 点的位置。 三、实例分析 考虑二元函数 f(x, y) = x^2 + y^2 - 2x - 6y + 10，我们来求解该函数 的最值和极值。 1. 最值的求解 该函数的定义域为整个平面 R^2。通过对函数进行求导，并令导数 等于零，我们可以得到二元函数的临界点为 P(1, 3)。同时，我们可以
求二元一次函数最值公式 二元一次函数的定义是，存在一组数据，满足两个特定变量的组合，使得函数具有相对稳定的性质。与函数定义息息相关的，便是求二元一次函数最值公式，因为只有在确定最值公式的前提下，兼顾函数定义的性质才得以实现。 其实，求二元一次函数最值的关键，在于其一般方程的解析解，因为这是最值的求解过程所由最基础的数学方法。二元一次函数可以用一元二次方程的形式来表示，它有如下的一般形式： y=ax+b 当a≠0时，解析解可以表示为： x=-b/a 当b≠0时，解析解可以表示为： y=-a/b 当a=b=0时，解析解可以表示为： 任意 从上述形式中可以得出，无论a=b=0，还是a≠0，当满足上述条件时，其一般方程的解析解便是求二元一次函数最值的关键。 既然知道求最值的关键点，那么本题的答案便是： 假设函数f(x,y)为ax+by+c=0的二元一次函数，则函数最值的公式为： 若a≠0且b≠0，则最值公式为： 最值的取值范围是∞～∞
若a=0，则最值公式为： 最值的取值范围是-∞～+∞ 若b=0，则最值公式为： 最值的取值范围是-∞～+∞ 需要注意的是，当a和b同时不为零时，函数f(x,y)没有最值，只有当a或b等于零时，函数f(x,y)才有最值。 另外，求二元一次函数最值的公式也可以通过高等数学的单调性定理来求解，即：在有界的区域内，函数导数符号的不变性，其解析解方法与一般方程相同，若满足求解条件，在有界的区域内，函数单调递增（函数导数大于零），则函数绝对值最小值出现在两端；函数单调递减（函数导数小于零），则函数绝对值最大值出现在两端。 总结： 因此，求二元一次函数最值的公式可以通过一般方程及单调性定理的方式求解。关于最值的取值范围，当a≠0且b≠0时，最值的取值范围是∞～∞；若a=0，则最值的取值范围是-∞～+∞；若b=0，则最值的取值范围也是-∞～+∞。
二元二次函数的最值 二元二次函数是一种常见的数学函数形式，其一般形式为y = ax^2 + bx + c，其中a、b、c为实数且a不等于0。这里我们将探讨二元二次函数的最值问题，即如何找到函数的最大值或最小值。 要求找到二元二次函数的最值，首先需要知道函数的图像特点。二元二次函数的图像是一个抛物线，其开口的方向由a的正负决定。当a大于0时，抛物线开口向上，图像呈现U形；当a小于0时，抛物线开口向下，图像呈现倒U形。 对于开口向上的抛物线，最小值出现在抛物线的顶点处，记作（h，k）。其中，h为顶点的横坐标，k为顶点的纵坐标。顶点的横坐标可以通过公式h = -b / 2a计算得到，纵坐标可以通过将横坐标代入函数中求得。顶点对应的y值即为函数的最小值。 同理，对于开口向下的抛物线，最大值出现在抛物线的顶点处。顶点的计算方法与开口向上的情况相同。 举个例子来说明。假设有一个二元二次函数y = x^2 - 2x + 1，我们需要求其最小值。 根据函数的形式，我们可以得知该抛物线开口向上，因此存在最小值。接下来，计算顶点的横坐标h。根据公式h = -b / 2a，代入a = 1，b = -2，得到h = -(-2) / (2*1) = 1。然后，将h代入函数中
求得顶点的纵坐标k。代入x = 1，得到k = 1^2 - 2*1 + 1 = 0。因此，该函数的最小值为0，出现在点（1，0）处。 同样的方法，我们可以求解开口向下的抛物线的最大值。 通过以上例子，我们可以总结出求解二元二次函数最值的一般步骤： 1. 判断抛物线的开口方向，根据a的正负确定； 2. 计算顶点的横坐标h，使用公式h = -b / 2a； 3. 将h代入函数中，求得顶点的纵坐标k； 4. 最小值出现在顶点（开口向上）或最大值出现在顶点（开口向下）。 需要注意的是，以上方法适用于一般情况下的二元二次函数。在特殊情况下，例如a为0或函数无最值时，需要进行额外的讨论和分析。 总结一下，二元二次函数的最值问题可以通过求解顶点来得到。通过判断抛物线的开口方向，计算顶点的横纵坐标，可以确定函数的最大值或最小值。在解题过程中，需要注意函数形式的特点，避免歧义和错误信息的出现。掌握了求解二元二次函数最值的方法，我们可以更好地理解和应用这一数学概念。
解二元函数最值问题的常用方法 作者：朱冬平徐益萍 来源：《中学教学参考·理科版》2010年第06期 二元方程下的二元函数的最值是一类常见问题,在各类考试中屡见不鲜,但许多同学对此类问题往往感到比较棘手.本文通过一个典型例子,介绍求解这类问题的常用方法,供大家参考. 【例】已知实数a,b满足a>0,b>0,a+b=4,求a2+b2的最小值. 解:(消元法)将a=4-b代入所求式中,得 a2+b2=(4-b)2+b2=2(b-2)2+8, 而b>0,a=4-b>0,∴0 评注:该解法充分体现了数学中的消元思想,将二元函数的最值转化为一元函数的最值.但在处理过程中要特别注意变量的取值范围,否则很容易出错. 解:(基本不等式法)∵a+b=4,∴(a+b)2=16,∴a2+2ab+b2=16,即2ab=16-(a2+b2).而 2ab≤a2+b2,∴16-(a2+b2)≤a2+b2,即(a2+b2)≥8.当且仅当a=b=2时,a2+b2取到最小值8. 评注:该解法充分体现了数学中的构造思想,根据二元方程的结构特征,运用均值定理构造包含所求式子的不等式,从而得其最值. 解:(判别式法)设a2+b2=t,∵a>0,b>0,∴方程组必有正实数解,消去a得 2b2-8b+16-t=0,该一元二次方程一定有正实数根,所以Δ=(-8)2-8(16--t2>0,解之可得8≤t 评注:该解法充分体现了数学中的方程思想,引入参数后,根据条件和结论之间的内在联系,将问题转化为方程必有正实数解从而得最值. 解:(三角换元法)∵a+b=4,∴a4+b4=1,又a>0,b>0,所以可设a4=sin2θ,b4=cos2θ,θ∈(0,π2), 则a2+b2=16sin4θ+16cos4θ=16[(sin2θ+cos2θ)2-2sin2θcos2θ]=16(1-12sin22θ)=12+4cos4θ ,所以当cos4θ=-1时,a2+b2取到最小值8. 评注:该解法充分体现了数学中的换元思想,巧妙地运用了“1”,从而将所求式子经过三角换元转化为一元函数最值问题.
二元二次函数最值公式 1. 引言 在数学中，二元二次函数是指形如f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f的函数，其中a,b,c,d,e,f是实数常数。二元二次函数在很多领域都有广泛的应用， 尤其是在优化问题中。本文将介绍二元二次函数的最值公式以及求解方法。 2. 最值公式推导 对于二元二次函数f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f，我们要求其在定 义域内的最值。为了简化计算，我们可以通过以下步骤将二元二次函数转换为简化形式： 步骤1：消去 xy 项 我们可以通过合理的线性组合来消去 xy 项。具体做法是，取 $A = a - \\frac{c^2}{4b}$，$B = d - \\frac{ce}{2b}$，$C = e - \\frac{c}{2b}$，则原二元二 次函数可化为： $$f(x, y) = A(x - \\frac{B}{A})^2 + (by^2 + Cy + f - \\frac{B^2}{A})$$ 步骤2：对 y 进行平移 为了使得平方项系数 b 尽可能简化，在进行最值计算之前，我们对 y 进行平移。假设 $y = z - \\frac{C}{2b}$，则原二元二次函数可进一步化简为： $$f(x, z) = A(x - \\frac{B}{A})^2 + bz^2 + F$$ 其中 $F = f - \\frac{B^2}{A} - \\frac{C^2}{4b}$。 3. 最值的判断 通过以上化简，我们可以发现经过合适的变换后，二元二次函数变为二次函数 的形式，我们可以使用二次函数的最值公式进行求解。 对于二次函数g(x)=Ax2+Bx+C，其最值可通过以下公式进行计算： $$x_{\\text{extr}} = -\\frac{B}{2A}$$ 当A>0时，函数取得最小值为 $g(x_{\\text{extr}}) = C - \\frac{B^2}{4A}$； 当A<0时，函数取得最大值为 $g(x_{\\text{extr}}) = C - \\frac{B^2}{4A}$。 回到我们的二元二次函数 $f(x, z) = A(x - \\frac{B}{A})^2 + bz^2 + F$，我们可 以发现此时的 $x_{\\text{extr}}$ 即为f(x,z)的极值点横坐标。我们可以根据A的 正负来确定最值情况。
二元二次函数求最值公式 在数学中，二元二次函数是一类包含两个自变量和二次项的函数。求解二元二次函数的最值是数学中的常见问题之一，它在许多实际问题中具有重要的应用。本文将介绍二元二次函数的最值求解方法及相关公式。 一、基本概念 1. 二元二次函数的定义 二元二次函数可以表示为以下形式： f(x,y)=ax2+by2+cxy+dx+ey+f 其中a、b、c、d、e、f都是实数，x和y是变量。 2. 最值的定义 在二元二次函数中，最值是指函数在给定定义域上取得的最大值或最小值。 •最大值：如果对于定义域内任意的(x,y)，都有 $f(x, y) \\leq f(x_0, y_0)$，那么(x0,y0)是函数的最大值点，f(x0,y0)是最大值。 •最小值：如果对于定义域内任意的(x,y)，都有 $f(x, y) \\geq f(x_0, y_0)$，那么(x0,y0)是函数的最小值点，f(x0,y0)是最小值。 二、二元二次函数的最值求解 1. 寻找最值的一般步骤 对于二元二次函数求最值的一般步骤如下： 1.确定函数的定义域。二元二次函数通常定义在平面上的一个区域内。 2.求取一阶偏导数。分别对x和y求偏导数，令其等于0，得到关于x 和y的方程组。 3.解方程组。求解方程组，得到一组或多组解。 4.求取二阶偏导数。对x和y再次求导，得到二阶偏导数。 5.判定是否为最值。对于每组解，将其代入二阶偏导数中，判断其正负 性，即可判定是否为最值点。 2. 求取最值的公式 在求解二元二次函数的最值时，可以利用以下公式： 1.最值点的横坐标：最值点的横坐标可以通过以下公式计算：
$$ x = \\frac{-d + \\sqrt{d^2 - 4ae}}{2a} $$ 其中d2−4ae是判别式，用于判断最值点的数量。 2.最值点的纵坐标：将横坐标代入二元二次函数中，可以得到最值点的 纵坐标。 3.最值点的判定：对于二元二次函数，最大值点和最小值点可以通过二 阶偏导数的符号进行判定。 •当二阶偏导数满足 $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2} > 0$ 且$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2} > 0$ 时，最值为最小值。 •当二阶偏导数满足 $\\frac{\\partial^2f}{\\partial x^2} < 0$ 且$\\frac{\\partial^2f}{\\partial y^2} < 0$ 时，最值为最大值。 三、示例 为了更好地理解二元二次函数的最值求解方法，我们举一个示例： 考虑函数f(x,y)=2x2+3y2−4xy+4x+6y+1，我们来求其最值。 首先，计算一阶偏导数： $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = 4x - 4y + 4$ $\\frac{\\partial f}{\\partial y} = 6y - 4x + 6$ 令 $\\frac{\\partial f}{\\partial x} = \\frac{\\partial f}{\\partial y} = 0$，解方 程组得到(1,1)。 接下来，计算二阶偏导数： $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial x^2} = 4$ $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial y^2} = 6$ 最值点(1,1)满足 $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial x^2} > 0$ 且 $\\frac{\\partial ^2 f}{\\partial y^2} > 0$，因此是最小值点。 将(1,1)代入函数f(x,y)，得到最小值为4。 四、结论 二元二次函数求最值是数学中的重要问题，通过求取一阶偏导数和二阶偏导数，并利用相应的公式，可以求得函数的最值点和最值。最大值点和最小值点的判定依赖于二阶偏导数的符号。理解二元二次函数的最值求解方法，对于解决实际问题具有重要意义。
二元函数求最值一例 我们经常碰到一元函数、二元函数y=f（x）的最值问题. 对于二元函数如何求它的最值？如2011年浙江省高考第17题. 设x，y为实数，若4x2+y2+xy=1，则2x+y的最大值是. 此题可谓是一道二元函数求最值的经典题目. 一数学杂志在一年内三次刊登该题的解法，总共有17种之多. 综观各种解法，有些解法实际大同小异. 而学生又是如何想到用这种方法解的，我认为是教师在课堂上讲解、引导的关键. 学数学最终是如何解决数学的问题，如何把陌生的数学题化归为学生所熟悉的情景题，并利用已有的知识给予解决，是教师着重在备课时应该注意的问题. 下面就此题引导学生分析时的思考，与同行们交流. 一、从基本不等式角度分析 对于一个二次的约束条件4x2+y2+xy=1，而求的是线性式2x+y的最值，我们最容易想到的是均值不等式，而均值不等式的关键在于配凑，于是就有了高考的标准答案. 解法1 ∵4x2+y2+xy=1，∴（2x+y）2-3xy=1，即（2x+y）2-·2xy=1，∴（2x+y）2-·（）2≤1，解之得：（2x+y）2≤，即2x+y≤. 若对此题目略微变形，则用均值不等式更方便. 解法2 令a=2x，b=y，则条件变为a2+b2+ab=1，求a+b最大值，1=a2+b2+ab=（a+b）2-ab≥（a+b）2-（a+b）2. （a+b）2≤1，所以a+b≤，即2x+y≤. 二、从方程角度分析 若从方程的思想出发，条件为二元二次方程，令所求z=2x+y，则y=z-2x，代入方程，可利用方程有解即判别式法，求得z的取值范围. 解法3 将y=z-2x，代入条件方程得6x2-3zx+z2-1=0. Δ=9z2-24（z2-1）≥0，解得z2≤，即zmax=. 三、从三角的角度分析 若对此方程的形式进行联想，易知二次方程中的x，y换成-x，-y方程不变，要求最大值只需在x，y≥0在时求得，不难发现此形式与余弦定理类似，于是可构造三角形，利用三角函数的知识解决. 解法4 （2x）2+y2-2·（2x）·y·（-）=1，构造三角形如图1，cosA=-.AB=2x，
高中数学二元函数最值问题求解方法浅析-最新教育文档 高中数学二元函数最值问题求解方法浅析 我们把形如z=f（x，y）的函数称为二元函数。其最值问题是高中数学的一大难点，近年来高考试题中屡有考察。求解二元函数的最值，涉及到函数、不等式、线性规划、解析几何等诸多高中数学重点知识，更体现了函数思想、化归转化思想、数形结合思想和分类讨论思想等若干核心数学思想的应用。学好二元函数问题最值的求解，是函数部分的一大重点。 求解二元函数最值，核心思想是化二元为一元――将复杂问题化归为简单模型是数学解题的关键，也是本质。通过消元或换元，将一个二元问题简化为一元函数问题，依托于研究学生所熟识的一元函数达到求解二元函数最值的目的。下文所叙述的消元法和换元法都是这一思想的具体运用。 同时，求解二元函数最值问题时，联系题目中条件与最值问题所对应的几何意义――利用数形结合的思想，将二元函数问题化归为二维平面内的图形变换关系，通过观察图形的几何意义来解决问题，是此类问题其求解的又一法宝。 此外，结合已知条件，利用重要不等式来解决问题是我们可以借助的又一重要工具。均值不等式法就体现了这一思想。 下面通过几个具体的例子，着重通过一题多解的模式来分析二元最值求解的基本方法。 1. 配方法 利用多项式的配方法和实数的性质以及不等式的性质来分 析新式子的结构，进而研究确定二元函数的最大值或最小值，这也是求极值的一种很简便的方法。 例1：求二元函数Z=x4+y4+2 x2y2-4x2-3y2+2y+15的最小值。 分析：原式配方得：Z=（x2+y2-2）2+（y+1）2+10，当且仅当 x2+y2-2=0且y+1=0 ，即x= ±1，y=-1 时，Z的最小值是10 例2：已知X∈R ，y ∈R，求 u=x2+xy+y2-x-2y+5的最值。
二元函数的极值和最值 二元函数是指含有两个未知变量的函数，通常用z=f(x,y)来表示。当x、y取不同的值时，z的取值也会发生变化，因此我们需要研究如何找出二元函数的极值和最值。 一、定义 首先，我们需要了解极值和最值的定义。极值是指函数在某个点上取得的极大值或极小值，而最值则是指函数在定义域内取得的最大值或最小值。 在二元函数中，极值也分为极大值和极小值。当函数在某个点处取得极大值时，这个点被称为极大值点；同理，当函数在某个点处取得极小值时，这个点被称为极小值点。 考虑以下例子：z=x^2+y^2，我们需要找到z的极小值和最小值。 二、求解方法
我们可以通过求一阶偏导数来找到极值点和最值点。对于二元函数z=f(x,y)，我们先求出x和y的一阶偏导数： ∂z/∂x=2x ∂z/∂y=2y 求出它们的偏导数后，我们需要将偏导数相等的方程组联立起来，解出x和y的值，进而求得z的值。 举个例子，对于函数z=x^2+y^2，我们可以得到： 2x=0 2y=0 由此可得，当x=0，y=0时，z取得最小值0。
除了求一阶偏导数的方法，我们还可以通过求二阶偏导数来判断函数的极值类型。 若f(x0,y0)满足： ① ∂²f/∂x²(x0,y0)>0, ∂²f/∂y²(x0,y0)>0，则f(x0,y0)为极小值点； ② ∂²f/∂x²(x0,y0)<0, ∂²f/∂y²(x0,y0)<0，则f(x0,y0)为极大值点； ③ ∂²f/∂x²(x0,y0)与∂²f/∂y²(x0,y0)符号相反，则f(x0,y0)为鞍点。 同样以z=x^2+y^2为例，我们可以得到： ∂²z/∂x²=∂²z/∂y²=2>0，因此z取得最小值。 3. 拓展方法
二元函数求极值例题 二元函数求极值 一、概述 二元函数是指由两个变量（x和y）组成的函数，它们之间具有某 种关系，可以记为f (x, y)=0。求二元函数极值问题是众多数学问题 中常见的一类特殊求解问题，它即是求解函数在定义域内的最大值或 最小值，而其处理方法即是求解函数某一特定点的一阶求导数为0的 条件。 求二元函数极值问题即是要求解一个函数在给定的定义域内取得最 值的解。求解过程要求解函数的某一特定点的一阶求导数为0的条件。只有当函数达到最值时，函数的一阶求导函数才会等于0。 二、极值条件 求二元函数极值的条件其实可以用函数一阶求导数等于0来表示， 这也就是我们常说的“导数等于零”，用数学语言描述就是： 设二元函数f (x, y)=0，当f (x, y)取得极值时，其一阶求导数 必须满足： ∂f/∂x=0； ∂f/∂y=0。 此外，要求二元函数取得极值，通常还包括函数的二阶求导数满足 如下条件： ∂2f/∂x2≤0； ∂2f/∂y2≤0。
对于泰勒级数展开结果，只需要检查最高阶的两项，即可满足以上 所有极值条件。 三、极值求解 1、关键在于“导数等于0”： 要求二元函数取得极值，关键在于求解“导数等于0”所涉及的两 个变量：x和y。也就是说，只需满足上述条件，即可求解得到函数的 极值。 例1：求极值：z=2x^2+y^2-4x+3y； 解：①∂z/∂x=4x-4=0，又∂z/∂y=2y+3=0； ②解得：x=1，y=-3，代入原函数即得定点(1，-3)； ③求函数值：z|(1，-3)=2*1^2+(-3)^2-4*1+3*(-3)=2-9-4+9=-2； ④综上，函数z在(1，-3)处取极值-2。 2、求（最小）极值的关键：要求二阶求导数≤0 当满足以上求导数等于0的条件后，要求二元函数取得最小极值时，还需要满足函数的二阶求导数的条件： ∂2f/∂x2≤0； ∂2f/∂y2≤0。 只有满足此条件，才能确定函数取得极值，并按满足条件的程度降 低函数极值，即找出最小极值。 例2：求极值：z=x^2+y^2； 解：①∂z/∂x=2x=0，又∂z/∂y=2y=0； ②解得：x=0，y=0，代入原函数即得定点(0，0)； ③求函数值：z|(0，0)=0^2+0^2=0；