微 分 算 子
中国海洋大学 海洋地球科学学院
刘伟 geoliuwei@https://www.doczj.com/doc/8e18817765.html,
在数学中有一种微分算子叫做哈密顿算子
哈密顿算子 i j k x y z
????=++???G G G 有如下性质 1. u u u u i j k x y z
????=++???G G G 其中u 为标量（或者标量函数） 2. P Q R A x y z
?????=++???JJ G 其中A Pi Q j Rk =++J G G G G 3. i j k
A x x x
P Q R
????×=???G G G J G 其中A Pi Q j Rk =++J G G G G
相关性：
1. u ?就是对u 求梯度
u u u gradu i j k x y z
???=++???G G G 2. A ??J G 就是对求散度 P Q R div A x y z
???=++???J G （其中A Pi Q j Rk =++J G G G G ） 3. A ?×J G 就是对A J G 求旋度 i j k
A x x x
P Q R
????×=???G G G J G （其中A Pi Q j Rk =++J G G G G ） 计算方法
1． ()u i j k u x y z u u u i j k x y z
????=++??????=++???G G G G G G 2. ()()()A i j k A x y z
i j k Pi Q j Rk x y z
P Q R x y z
?????=++???????=++?++??????=++???J G G G G J G G G G G G G 3. ()()()()()()A i j k A x y z
i j k Pi Q j Rk x y z i j k x y z
P Q R
R Q P R Q P i j k y z z x x y ????×=++×??????=++×++??????=?????????=?+?+???????J G G G G J G G G G G G G G G G G G G 4．
2222222()()()u u u u u i j k x y z u u u i j k i j k x y z x y z
u u u y y x x y y u u u x y z
u
?=??????=??++?????????=++?++???????????????=++??????=++???=ΔJJJJ G G G G JJJJ G G G G G G G Δ同样是微分算子称作拉普拉斯算子（Laplace ）
第23卷第5期 唐山师范学院学报 2001年9月 Vol. 23 No.5 Journal of Tangshan Teachers College Sep. 2001 ────────── 收稿日期：2001-06-20 作者简介：崔万臣（1953-），男，河北丰南人，唐山师范学院数学系讲师。 - 41 - 某些线性微分方程的算子解法 崔万臣 (唐山师范学院 数学系，河北 唐山 063000) 摘 要：给出了某些基本类型的线性微分方程的算子解法。 关键词：算子；逆算子；线性方程；特征根 中图分类号：O17 文献标识码：A 文章编号：1009-9115（2001）05-0041-02 在常微分方程中，方程求解问题是很重要的内容。一般常微分方程的求解不是容易的，但常系数线性方程的求解已经有了较多的方法。本文给出某些基本类型的常系数线性微分方程的算子解法。 1 算子的概念和性质 定义1 记d D dx =;222d D dx =… …n n n d D dx =。称2n D,D ......D 极其多项式n n 11n 1n L(D)D a D a D a --=++++ 为微分算子，简称算子。于是方程n n 11n 1n n n 1d d d y a y ......a y a y f (x)dx dx dx ---++++=可记为L(D)y f (x)= 定义2 设L(D)为一算子，若存在算子H(D)使L(D)(H(D)f (x))f (x)=，则称H(D)为L(D)的逆算子，记为1H(D)L(D)=于是方程L(D)y=f(x)等价于1y f (x)L(D) =可以证明，算子具有以下性质(证明略) 1．11221122L(D)(a y a y )a L(D)y a L(D)y +=+ 2．()()()()1212L (D)L D y L D L D y = 3． x x 11e e (L()0)L(D)L()λλ=λ≠λ 4.()x x 11e f (x)e f x L(D)L(D ) λλ=+λ 2 某些基本类型微分方程的算子解法 类型Ⅰ k L(D)y f (x)=，其中k f (x)为x 的k 次多项式。分两种情况讨论 1°若L(0)≠0，由逆算子定义直接可求得特解k k 1y f (x)Q(D)f (x)L(D) == 2°若L(0)=0,此时，()()()s 11L(D)D L D L 00,s 0=≠> 由性质2，方程的特解k k s 111y f (x)f (x)L(D)D L(D) == 例1 求方程22(D 1)y x 5+=+特解
高阶常微分方程的微分算子法 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记() n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或3 2 (23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()()()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成 1 1()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++L ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32 (6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3 2 06116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32 (3913)0D D D y -++= 或 2 (1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2 (1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4) 45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432 (4544)0D D D D y -+-+= 或 22 (2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1 (cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2 (1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1 (cos )x -)，解得 1sin ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+
高阶常微分方程的微分算子法 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()()()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++= 其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成 1 1()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++ ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3 2 06116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin3x e x 从而通解是 22123cos3sin3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1(cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0 ()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得 1s i n ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+ 12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x =+++
微分算子法中D 的运算 D ：微分的意思，如Dx 2=2x ， D 3x 2=0 D 1:积分的意思，如D 1x=2x 2 ******************************************************************************* 定理1：)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序 例： x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+ 推论：) (1)(F 1k F e e D kx kx = （F(k)≠0） 例：x e y y 2=+'' x e y D 22)1(=+ x x x e e e D y 22222*5 1121)1(1=+=+= ****************************************************************************** 定理2：)(sin sin )(F 22a F ax ax D -?= )(cos cos )(F 22a F ax ax D -?= 注意使用公式时的前后顺序 推论：) (1sin sin )(F 122a F ax ax D -?= （F(-a 2) ≠0） 例：x y y 3cos 24=+） （ x y D 3cos 2)1(4 =+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=??=+-??=?+?=?+?=遇到sinax,cosax 时，要凑出D 2来。F(D)里有D 2，即可代换为-a 2，代换后继续算F(D)。 ******************************************************************************* 定理3： )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论：)() (1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx += 例：x e x y y 22y 44?=+'-''
姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！ 一、 分部积分的表格法 分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。当涉及到幂函数（多项式函数）次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式： 定理：设(),()u u x v v x ==有1n +阶连续导数，则 (1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)n n n n n n n uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-++-? ?。（此定理及证 明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！） 【证：用数学归纳法。 当0n =时，''uv dx uv u vdx =-??。 设1n k =≥时，(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-+ +-?? （*） 则当1n k =+时，(2)(1)(1)(1)'k k k k uv dx udv uv u v dx ++++==-???， 将上式的'u （*）式中的u ，则有 (1)()(1)(2)1(2)'''''''(1)k k k k k k u v dx u v u v u v u vdx +--++=-+++-? ?， 从而(2)(1)()(1)(2)2(2)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx ++--++=-+-+ +-??，得证。】 上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，如下表。 1))1)2) v v +-- 下面通过例子给予演示： （1）“幂三”型 例1.1 52(325)cos x x x xdx +-+? 解：
高阶常微分方程的微分算子法 撰写 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记() n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32 (23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此 三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()()()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1(),,()n a x a x L 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成 11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++L ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32 (6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3 2 06116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32 (3913)0D D D y -++= 或 2 (1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2 (1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4) 45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432 (4544)0D D D D y -+-+= 或 22 (2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1 (cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2 (1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1 (cos )x -)，解得 1sin ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+
微分算子法
高阶常微分方程的微分算子法 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记() n n y D y =，将方程写成 3 2 230D y D y Dy --= 或3 2(23)0 D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230 D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解 31,,x x e e -，由于此三特解为线性 无关，故立得通解 31 23x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()() ()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++=L 其中系数1 (),,()n a x a x L 是某区间 (,) a b 上的连续函数，上述方 程又可写成 11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++L () f x = 可以把上面括号整体看作 一种运算，常称为线性微分 算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写 成 32(6116)0 D D D y -+-=
高阶常微分方程的微分算子法 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32 (3913)0D D D y -++= 或 2 (1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2 (1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4) 45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432 (4544)0D D D D y -+-+= 或 22 (2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1 (cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2 (1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1 (cos )x -)，解得 1sin ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+ 12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x =+++
微分算子法中D 的运算 D:微分的意思,如Dx 2=2x , D 3x 2=0 D 1:积分的意思,如D 1x=2x 2 ******************************************************************************* 定理1:)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序 例: x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+ 推论:) (1)(F 1k F e e D kx kx = (F(k)≠0) 例:x e y y 2=+'' x e y D 22)1(=+ x x x e e e D y 22222*5 1121)1(1=+=+= ****************************************************************************** 定理2:)(sin sin )(F 22a F ax ax D -?= )(cos cos )(F 22a F ax ax D -?= 注意使用公式时的前后顺序 推论:) (1sin sin )(F 122a F ax ax D -?= (F(-a 2) ≠0) 例:x y y 3cos 24=+）（ x y D 3cos 2)1(4=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=??=+-??=?+?=?+?=遇到sinax,cosax 时,要凑出D 2来。F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D)。 ******************************************************************************* 定理3: )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论:)() (1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx += 例:x e x y y 22y 44?=+'-''
?：向量微分算子、哈密尔顿算子、Nabla算子、劈形算子，倒三角算子是一个微分算 子。Strictly speaking, ?del is not a specific operator, but rather a convenient mathematical notation for those three operators, that makes many equations easier to write and remember. The del symbol can be interpreted as a vector of partial derivative operators, and its three possible meanings—gradient, divergence, and curl—can be formally viewed as the product of scalars, dot product, and cross product, respectively, of the del "operator" with the field. Δ、?2 or ?·?：拉普拉斯算子（Laplace operator），定义为梯度（▽f）的散度（▽·f）。 , grad F=▽F，梯度（gradient），标量场的梯度是一个向量场。标量场中某一点上的梯度指向标量场增长最快的方向，梯度的长度是这个最大的变化率。▽f= div F=▽·F,散度(divergence),是算子▽点乘向量函数,矢量场的散度是一个标量函数，与求梯度正好相反,div F表示在点M处的单位体积内散发出来的矢量F的通量，描述了通量源的密度，可用表征空间各点矢量场发散的强弱程度。当div F>0 ，表示该点有散发通量的正源；当div F<0 表示该点有吸收通量的负源；当div =0，表示该点为无源场。即闭合曲面的面积分为0是无源场，否则是有源场。 rot F 或curl F=? ×F,旋度(curl，rotation)，是算子▽叉乘向量函数,矢量场的旋 度依然是矢量场，意义是向量场沿法向量的平均旋转强度，向量场在曲面上旋量的总和等于该向量场沿该曲面边界曲线的正向的环量，也就是封闭曲线的线积分。旋量为0的向量场叫无旋场，只有这种场才有势函数，也就是保守场。即闭合环路的线积分为0是无旋场，否则就是有旋场。 基本关系： 一个标量场f的梯度场是无旋场，也就是说它的旋度处处为零：
微分算子法小结 一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程： 22 d y d x +p(x) x d dy +q(x)y=f(x) 2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1) +a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x) 二、微分算子法 1、定义符号： D x =d d ，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D 1 x= x 2 12 , n D 1x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算 将n 阶微分方程改写成下式： D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n 规定特解： y * =) (F(D) 1 x f 3、 F (D ) 1 的性质 (1)性质一： F(D) 1e kx =F(k)1 e kx (F (k) 不等于0） 注：若k 为特征方程的m 重根时，有 F (D ) 1 e kx = x m (D) F 1(m) e kx = x m (k) F 1 (m) e kx
(2)性质二： F(D) 1e kx v (x)= e kx k) F(D 1+v (x) (3)性质三：特解形如F(D)1 sin(ax)和 F(D)1 cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）： F(D) 1 e iax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 e iax = cos(ax)+i sin(ax) 虚数 i 2 = -1 ii.若特解形如) F(D 1 2sin(ax)和) F(D 1 2cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则 ) F (D 12 sin(ax)=)F(-a 1 2 sin(ax) )F(D 1 2 cos(ax)=)F(-a 1 2 cos(ax) 若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2) 的m 重根，则 )F(D 12 sin(ax)=x m ) (D F 12 (m) sin(ax) ) F(D 1 2 cos(ax)=x m ) (D F 12 (m) cos(ax)
谈谈算子 SCIbird 适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为： ()(1)()f x f x f x Δ=+?，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=?，即 E I Δ=? 容易发现()()m E f x f x m =+，所以 00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k ??==????Δ=?=?=?+??????∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==?Δ，()n n I I E ==?Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x ?Δ= 以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得 1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+?= 然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样 ()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+ 可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。实际上还可以进一步挖掘联系。 算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。 考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得 ()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子 d D dx = ， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D = 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。 海维塞德将这个思想应用到一般的常系数微分方程中去，考虑方程 (1)()(),(0)'(0)"(0)(0)0n P y D y f x y y y ?======L 这里()P x 是一个n 次多项式。于是得到形式解 1()() y f x P D = 海维塞德按照自己的想法认为如果1()P D /能展开成关于1D /的幂级数，即
陈文登考研数学一里面的微分算子法的推导 撰写 1.定义 引进记号 因此，n 阶常系数线性非齐次方程 令111()n n n n F D D a D a D a --=++++， 则： 方程 *1()()()() F D y f x y f x F D ?=?= 注意：D 表示求导，1D 表示积分，如2111,cos sin 2x x x x D D ==，不用带常数。 2.1() F D 性质 性质1 11,()0()() kx kx e e F k F D F k =≠，若k 为()F k 的m 重根，则： 性质2 2211sin sin ()()ax ax F D F a =- 若2()0F a -=，不妨设2()a -为2()0F a -=的m 重根，则 性质3 11()()()() kx kx e f x e f x F D F D k =+ 性质4 1111111()()()()p p p p p p p p x b x b x b Q D x b x b x b F D ----++++=++++ 其中()Q x 为1除以()F D ，按升幂排列1()n n n a a D D -+++所得商式，其最高次数为p 。 3.推导：关于性质1、2、3的推导详看我在豆丁上传的微分算子法 下面主要看性质4 性质4 我们用例题来说明它到底是什么意思 例 求26535x y y y e x '''-+=-+ 解 显然12()()()y x y x y x =+
其中1211()(3)(3)65(1)(5) x x y x e e D D D D =-=--+-- 今有 1111131313()(3) (3)1151154144 x x x x x y x e e e e xe D D D D D =-=-===----- 最后得 注：2()y x 用上面蓝色的解法当然是很好的一种方法。但有更一般的解法，即是性质4 令 2201221()(5)65 g x x a x a x a D D ==++-+(注意x 的最高次幂要相同) 则 2222012(65)(())(65)()5 D D g x D D a x a x a x -+=-+++= 根据同幂系数相等的原则有 方程组0102 10151205620a a a a a a =??-=??-+=? 解得： 1011251205 a a a -=?= 即：2222012211262()()(5)65525 y x g x x a x a x a x x D D ===++=++-+ 以后所有高次的多项式都可以应用此法进行求解了。以前性质4怎么也没有弄懂，现在终于是知道为什么这样了。
微 分 算 子 中国海洋大学 海洋地球科学学院 刘伟 geoliuwei@https://www.doczj.com/doc/8e18817765.html, 在数学中有一种微分算子叫做哈密顿算子 哈密顿算子 i j k x y z ????=++???G G G 有如下性质 1. u u u u i j k x y z ????=++???G G G 其中u 为标量（或者标量函数） 2. P Q R A x y z ?????=++???JJ G 其中A Pi Q j Rk =++J G G G G 3. i j k A x x x P Q R ????×=???G G G J G 其中A Pi Q j Rk =++J G G G G 相关性： 1. u ?就是对u 求梯度 u u u gradu i j k x y z ???=++???G G G 2. A ??J G 就是对求散度 P Q R div A x y z ???=++???J G （其中A Pi Q j Rk =++J G G G G ） 3. A ?×J G 就是对A J G 求旋度 i j k A x x x P Q R ????×=???G G G J G （其中A Pi Q j Rk =++J G G G G ） 计算方法
1． ()u i j k u x y z u u u i j k x y z ????=++??????=++???G G G G G G 2. ()()()A i j k A x y z i j k Pi Q j Rk x y z P Q R x y z ?????=++???????=++?++??????=++???J G G G G J G G G G G G G 3. ()()()()()()A i j k A x y z i j k Pi Q j Rk x y z i j k x y z P Q R R Q P R Q P i j k y z z x x y ????×=++×??????=++×++??????=?????????=?+?+???????J G G G G J G G G G G G G G G G G G G 4． 2222222()()()u u u u u i j k x y z u u u i j k i j k x y z x y z u u u y y x x y y u u u x y z u ?=??????=??++?????????=++?++???????????????=++??????=++???=ΔJJJJ G G G G JJJJ G G G G G G G Δ同样是微分算子称作拉普拉斯算子（Laplace ）
微分算子法 微分算子法分类小结 一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程： 22d y d x +p(x)x d dy +q(x)y=f(x) 2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1)+a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x) 二、微分算子法 1、定义符号： D x =d d ，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D 1 x= x 212 , n D 1 x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算 将n 阶微分方程改写成下式： D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n 规定特解： y * =)(F(D) 1 x f 3、F(D) 1 的性质 (1)性质一：F(D) 1 e kx =F(k)1e kx (F (k) 不等于0） 注：若k 为特征方程的m 重根时，有
F(D)1e kx = x m (D) F 1(m) e kx = x m (k)F 1(m)e kx (2)性质二：F(D)1e kx v (x)= e kx k) F(D 1+v (x) (3)性质三：特解形如F(D)1sin(ax)和 F(D) 1 cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）：F(D)1e iax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 e iax = cos(ax)+i sin(ax) 虚数 i 2 = -1 ii.若特解形如) F(D 12sin(ax)和) F(D 1 2cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则 ) F(D 12sin(ax)=)F(-a 12sin(ax) )F(D 1 2cos(ax)=)F(-a 12cos(ax) 若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2) 的m 重根，则 ) F(D 12sin(ax)=x m )(D F 12(m)sin(ax)
矢量微分算子和拉普拉斯算子 一、矢量微分算子 （一）形式定义： x y z ????= ++???i j k 我们发现矢量微分算子算子在形式上是个矢量。 （二）用法定义 1.铺垫定义: )()()(,,,,,,u x y z x u x y z x u x y z x ??????)()()(,,,,,,u x y x u x y z y u x y z z ??????是标量函数，轴、y 轴、z 轴方向的单位矢量。2.跟标量函数(),,u x y z 相乘 u x ???+ ????i 我们看到这跟普通矢量与标量的乘法形式上一样。3.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 点乘 ) 4.跟矢量()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 叉乘
x y P Q ???? 我们看到这个定义跟普通矢量与矢量的叉乘的定义形式上一样。（三）按照以上定义，我们容易得出： 1.根据下图所示梯度定义可知，可以用矢量微分算子表示标量函数(),,u x y z 的梯度，即()grad u u =? 2.根据下图所示散度定理可知，可以用适量微分算子表示矢量函数 ()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 的散度，即()div =??A A ^ 3.根据下图所示旋度定义可知，可以用矢量微分算子表示矢量函数 ()()(),,,,,,P x y z Q x y z R x y z =++A i j k 的旋度，即()rot =??A A
常系数非齐次线性微分方程的算子解法 摘要：本文讨论了求常系数非齐次线性微分方程特解的算子解法，结果说明当非齐次项是指数函数、三角函数、幂函数及其混合函数时，用这种方法可以直接求出一个特解，运算简单。 关键词：线性微分方程；算子方法；特解 1.引言 微分方程在解决实际问题中有着广泛的应用,例如单摆运动、传染病的预防等方面都要用到常微分方程.教材中一般只介绍用待定系数法和常数变易法求解常系数非齐次线性微分方程,然而用上述的两种方法需经大量的运算,甚至涉及到求解线性方程组.基于上述的情况,本文讨论求解线性微分方程的算子解法 2.基本概念 对于常系数非齐次线性微分方程 )(1 11 t f x a a n dt x d dt x d n n n n =+++-- (1) 其中i a ),,3,2,1(n i =均为常数. 令dt d D = 表示对x 求微商的运算,称它为微分算子;k k dt d k D = 表示对x 求k 次 微商的运算.于是方程(1)化为 () ()t f x a D a D a D a D n n n n n =++++---12211 (2) 记()() n n n n n a D a D a D a D D P +++++=---12211 ,称为算子多项式.所以(2)的一个解可简单的表示为()()t f D P x 1=,称() D P 1 为逆算子. 特别地 ()()dt t f t f D ?=1,()()()k k k dt t f t f D ??=1. 3. 算子多项式 3.1性质 设()D P 是上述定义的算子多项式,()()t f t f 21,都是可导函数,则有如下的 结论: