数学物理方程总结

第一章：偏微分方程的基本概念

2

偏微分方程的一般形式： F(x,u, u

,L , u

, u

2,L ) 0 x 1 x n x 1

其中 x (x 1,x 2,..., x n )是自变量， u(x) u( x 1 , x 2 ,..., x n )是未知函数

偏微分方程的分类： 线性 PDE 和非线性 PDE ，其中非线性 PDE 又分为半线性 PDE ，拟线性

PDE

和完全非线性 PDE 。

二阶线性 PDE 的分类(两个自变量情形) ：

2 2 2

u u u u u

a

11 2

2a

12 a

22 2 a b cu 0

x x y y x y

主

目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类

(x, y)

非奇异

xy 0

(x, y)

xy

根据复合求导公式最终可得到：

2 2 2

A 11 u

2 2A 12 u

A 22 u

2 A u

B

u Cu 0 其

那么就做变换

(x,y)

从而有 A 11 A 22 0

(x,y)

11 22

在这里要用到下面两个引理： 引理 1：假设 z (x,y) 是方程

a 11( z

) 2a 12 z z

a 22( z

) 0 (1) 的特解，则关系式

x x y y

(x,y) C 是常微分方程： a 11(dy)2

2a 12dxdy a 22(dx)2

0 ( 2)的一般积分。

引理 2：假设 (x,y) C 是常微分方程( 2)的一般积分，则函数 z (x, y)是( 1)的特解。 由

此可知，要求方程( 1)的解，只须求出常微分方程( 2)的一般积分。常微分方程( 2)

浙江理工大学数学系

一般形式 记为 PDE (1))

考虑 a 11( z

)2

x 2a

12

zz xy

a 22( z )2 y

0 如果能找到两个相互独立的解

为PDE（1）的特征方程，（1）的积分曲线为PDE（1）的特征曲线

22 a11(dy) 2 a12 dxdy a22 (dx) 0 dy a12 a12 a

11 a22 记(x,y) 2

a12 a11a22

则：

dx a11

2 2

一维的波动方程：u 2u a2 f (0 x L,t 0)

t2

x

2

一维的热传导方程u 2u a2 f (0 x L,t 0)

t x

2

高维的情况只需要u

2

改为的形式即

x

数学物理方程（泛定方程）加上相应的定解条件就构成了定界问题。根据定解条件的不

同，又可以把定解问题分为三类：

初值问题（Dirichlet ）：定解条件仅有初值条件

边值问题（Neumann）：定解条件仅有边值条件

混合问题（Rbin BC ）：定解条件有初值条件也有边值条件

数学物理方程的解：如果一个函数在某一自变量的取值区域内有所需要的各界连续的导函数，并且带入数学物理方程使方程成为等式，称此函数为在该取值区域方程的解。

定界问题的适定性：

如果一个定解为题的解存在，唯一且稳定，就称这个定界问题是适定的；反之，若有一个性质不满足，则称这个定界问题是不适定的。

所谓界存在，是指定解问题至少有一个解。如果一个定界问题的解不存在，这个问题就完

全失去了意义，但定界问题反应的是客观物理实际，在实际问题中解释存在的。若定解问题的

解不存在，说明所建立的定界问题是错误的，可能是在推导过程中有非次要因素被忽略掉了，

导致泛定方程错误，还有可能定解条件给错了等。这就需要重新考虑定解问题的提法。

解的唯一性从物理意义上讲是显然的，如果解存在但不唯一，将无法确定所求解是否是所

需要的，当然也无法求近似解。这表明问题的提法还不够确切，需要进一步分析。

所谓解的稳定性，是指当定解问题有微小变动时，解是否相应地有微小的变动，如果是这

样，该解就是稳定的解；否则所得的解就没有实用价值，因为定解条件通常是利用实验方法所获得的，因而所得到的结果有一定的误差，如果因此导致解的变动很大，那么这种解显然不符合客观实际的要求。

而我们多学的定解问题都是经典问题，他们的适定性都是经过证明了的。

第二章：分离变量法

分离变量法的主要思想:1 、将方程中含有各个变量的项分离开来，从而原方程拆分成多个更简单的只含1 个自变量的常微分方程；2、运用线性叠加原理，将非齐次方程拆分成多个齐次的或易于求解的方程；3、利用高数知识、级数求解知识、以及其他巧妙方法，求出各个方程的通解；4、最后将这些通解“组装”起来。

分离变量法是求解偏微分方程最基本最常用的方法。主要根据的理论依据是线性方程的叠加原理和Sturm-Liouville 理论。最核心的思想是将偏微分方程的求解化为对常微分方程的求解。

下面就有界弦的自由振动的定解问题讨论观察注意其特点是：方程齐次, 边界齐次. 端点会引起波的反射，弦有限长，波在两端点之间往返反射。两列反向行进的同频率的波形成驻波。驻波的特点：(1) 没有波形的传播，即各点振动相位与位置无关，按同一方式

随时间振动，可统一表示T(t)(2) 各点振幅随点而异，而与时间无关，用X(x) 表示,所以驻波可用 X(x)T(t) 表示

设 u(x,t) X(x)T(t)且 u(x,t)不恒为零，带入方程和边界条件中得到

XT ''

a

2

X

''

T 0

(1)

由于 u(x,t) 不恒为零，有：X''(x) T ''(t) X(x) a2T(t)

X ''

(x) X(x) 0L L L L (2) T ''(t) a 2

T(t) 0 (3) 利用边界条件：

X(0)T(t) 0 X(l)T(t) 0

ii ) =0方程的通解 X(x) C 1x C 2 同样的到 X(x) 0， =0无意义

定解问题的解是 Fourier 正弦级数，这是在 x ＝ 0 和 x=l 处的第一类齐次边界条件决定的 解的物理意义 u n (x,t) (A n cos na

l t

B n sin na

l t

)sin n l x

u(x,t ) 是由无穷多个振幅、频率、初位相各不相同的驻波叠加而成。 n ＝1 的驻波称为基

波,n>1 的驻波叫做 n 次谐波.

注意：分离变量法适用范围：偏微分方程是线性齐次的，并且边界条件也是齐次的 其求解的关键步骤：确定特征函数和运用叠加原理。对于不同类型的定解条件做了如下总 结

再求 T ： " 2 n 2 2

T n "

(t) a 2

l 2 T n (t) 0

其解为：

n at n at

T n

(t) A n

cos n l

at B n sin

n l at

从而 sin l 0 ，故 l n 即

22

n

l 2

n 1，2,3,

n π

而由于 X(x) C 2sin x,n 1,2,L

所以 u n

(x,t) ( A n

cos n

l

at

B n

sin n l

at )sin n l

x n 1,2,3, 根据叠加原理可以得到：

4)

X

X(0) X0

0,X(l)

5)

参数 成为特征值。函数 X(x) 成为特征函数下面分三种情况讨论特征值问题

i )

0方程的通解为 X(x) C 1e

x

C 2e x

由边值条件得

C

1 C 2

l

C 1e

0 C 2e l

C1 =C 2=0 从而 X (x) 0, 0无意义

iii ) 0时，通解 X(x) C 1cos x C 2 sin x 由边值条件得

C 1 0 C 2sin l 得到 C 2 0,

u(x,t) n at (A n cos

l n1

n at B

n sin l

)sin

nx l

齐次化原理：(Duhamel )

设｛( x,t, ) R 3

:0 x ,t 0｝ 上的函数 U(x,t, ) 关于自变量 x ，t 二次可微 U(x,t, )连同

关 于 x 和 t 的一阶和二阶偏导数都对 (x,t, )在｛( x,t, ) R 3 :0 x ,t 0｝上连续，且U ( x, t, ) 满足：

则函数 u(x,t) 0U(x,t, )d 是下面方程的解：

1、圆域上的 laplace 方程

定界问题 2u 0 (0 r a, 0 2 )

边界条件 u(a, ) f ( ) (0 2 ) 想法是把空间柱面坐标退化为二维的极坐标。挖掘边界条件 : r 的边界是 0 和 a, j 的边界 是 0和 2π .自然边界条件 u(0, ) 有限值，周期边界条件： u(r,0) u(r,2 ) ，分离变量令

2

u R(r) ( ) ，带入极坐标 Laplace 方程：

1

r

u 1

2

u 2 0

得到： r d rdR

m

2

r r r r

2

2

R dr dr

于是可以化为下面两个常微分方程：

m 2 0, (0) (2 ) L L L (1)

r 2

R rR m 2

R 0 L L L (2) 、求解式( 1)的本征函数得到： ( ) A m cos(m ) B m sin(m ) (m 0,1,2,L )

在求解( 2)式，形式上是欧拉方程，因此可以通过 t lnr 来进行代换，得： 因此式( 2)化简为： R (t) m 2R(t) 0它的通解是：

m=0时， R 0(t) C 0 D 0 lnr

m ≠0 时， R m (t) C m r m

D m r

由自然边界条件“ u(0,j)= 有限值“ 可知 D 0=0 和 D m =0.所以，原 Laplace 方程的通解

为： u(r, ) A 0

( A m cos m B m sin m )r m

再代入边界条件： u(a, ) f ( ) (0 2 )

m1

B m sin m )a m 上式实际上就是 f(j) 的傅立叶级数展开式，所以待定

关于非齐次边界条件的问题可以转化为其次边界条件，因此在这里就不多说了，其求解原 理和方法和求解其次边界条件问题是一样的。

第三章：行波法和积分变换 行波法 ：

1. 基本思想 : 先求出偏微分方程的通解，然后用定界问题确定特解。

2. 关键步骤：通过变量代换，将波动方程化为便于积分的其次二阶偏微分方程

3. 适用范围：无界域内的波动方程等

达朗贝尔公式： 其解为：

x at

u(x,t) 1

(x at) (x at) 1

x at ( )d (一味的达朗贝尔公式)

2 2a

x at 再次引入一个平均值函数 f 1

b' f (x)dx 为了应用这种表达式在这里令 b' a' a'

x at

a'=x+at;b'=x-at 则有 f 1

f(s)ds 则达朗贝尔公式可以表示如下形式：

2at x at

f ( ) A 0

(A m cosm

m1

系数可以确定：

A

12

20

f( )d

二维 Laplace 方程的一般解为： u(r, ) C 0

m

D 0 ln r C m r

D m r m1

m

A m cosm

B m sinm

1) 如果考虑圆内问题则其解为： u(r, ) A m cos m B m sin m

2) 如果考虑圆外问题则其解为： u(r, )

A m cosm

B m sinm r m

m0

3) 如果考虑是圆环问题，则其解为一般解， 其中的系数由边界条件确定。

u(x,t) t (t ) t

解的物理意义：

a. 只有初始位移时， u(x,t) 1 (x at) (x at) ， (x at) 代表以速度 a 沿 x 轴正向传播 2 的波， (x at)代表以速度 a 沿 x 轴负向传播的波。

b. 只有初始速度时： u(x,t) 1

x at

( )d ，假使初始速度在区间 上是常数 ，而在此区间 2a x

at

外恒等于

，

u(x,t) 1(x at) 1(x at) 。。

结论是：达朗贝尔解表示沿 x 轴正、反向传播的两列波速为 a 波的叠加，故称为行波法

半无界弦的振动问题：

1. 端点固定 求解的思想是，把它转化为无界弦的振动问题，因此需要做一个奇延拓： 则问题转化为：

相关概念：

当方程为非齐次时： 22

u 2 u

2 a 2 f(x,t), tx

u(x,0) (x), u(x

t

,0)

(x)

(*)

由叠加原理可知，如果 v (x ，t )是初值问题：

22

v

a 2 v ,

2 a

2 , tx v(x,0) (x), v(x

t ,0)

(x),

w (x ，t )是初值问题：

,t 0

的解

则 u=v+w 是初值问题( * )的解， 即可直接写出( *) 的解

x ，t )为：

1 u(x,t)

2 (x at) (x at) 1 2a

x at

( )x at 1t

2a 0

a(t )

f( , )d d (这个公式

为一维非齐次波动方程初值为题解的 Kirchhoff 公式)

,

x 0

通过讨论t 的范围（分为x>at, 和0

2. 端点自由思路同上只不过是把延拓改为偶延拓：

三维波动方程的初值问题

(x, y,z)

r cos

的一维半无界波动方程. 我们利用球面平均法。从物理上看，波具有球对称性。从数学

上看，

总希望把高维化为一维情形来处理，并设法化为可求通解的情况，所谓球平均法，即

对空间任一点（

考虑u 在以（x，y，z）为球心，r 为半径的球面上的平均值。直接得出三维波动方程的解为：r cos

二维波动方程的初值问题

求解方法：降维法：由高维波动方程的柯西问题的解来求解低维波动方程柯西问题的方法。

出的。由于初始数据与第三个变量无关，因此，在S a M t上的球面积分可由在圆域：a

M

t :

(

x)

222

( y)2 (at)2

上的积分得到。r=a t

由12

4 a t

S M

d

a

S

M r

1

4 a t

S M

1

2a

(,)

aMt (at)

2( x)2( y)2

dd

1

2a

at 2 (x cos

00

,y

22

(at)2 2

sin )

d d

1 1

x at

即解为：u(x,t) (x at) (x at)

x at ( )d

2

1

a

2a

x a(t

x a(t

)

)

f( , )d d

(x) (x),x 0

( x),x 0

(x)

(x),x 0

( x),x 0

2 u

t2

22

2 u u a22 xy

2

u

2

z

0,x,y,z

t0 (x, y,z)

2

u

2

2

u

2

2

u

2

z

球对称情形化为球面坐标系:令rsin cos rsin sin

2

u u2

x 2

u

2

y

2

u

2

z

1

2

rr

2

r

2

sin

1

2

r

所谓球对称是指u和，无关，则波动方程可化简为：

又可以化为：

这是关于v = r

u x，y，z），

x 并令

y r sin cos

r sin sin 则得

Hadamard最早提

可以得到二维波动方程的解为：

物理意义：三维情况是惠更斯原理（有清晰的前锋和后尾）

二维情况是波的弥散（有清晰的前锋但无后尾）

积分变换（ Fourier 变换和 Laplace 变换）

1.Fouri er

变换：

U ( ,t) u(x,t)e j x

dx

定义：

u(x,t) 1

U ( ,t)e j

d

2

性质： 记F(f 1(t)) F 1( ), F( f 2(t)) F 2( )

1. 线性性质：

则F(c 1 f 1(t) c 2f 2(t)) c 1F 1( ) c 2F 2( ) c 1,c 2为常数

2. 尺度性

质：

1

若 F(f (t)) F( ),则F( f at ) F ,a 为非零函数

aa

3. 位移性

质：

F( f (x x 0)) exp( iwx 0)F( f(x))

4. 微分性质： F(f '(x)) iwF(f (x))一般情况下有 F(f (n)

(x))

(iw)n

F(f(x))

5. 积分性

质： x

1 F( 0 f (t)dt) F(f (x))

iw 6. 卷积公式： F(f * g) F(f)?F(g)

+

2 1 2

7.Parseval 等式 f (x) dx F(f ) dw -

2

Laplace 变化及性质

性质：

1.线性性质 T(af bg) aL(f ) bL(g)

1s

2. 相似性质 T( f(ct)) T( ) cc

3.微分性质： T(f ') sT(s) f (0) 一般情况

T(f (n)

(t)) s n

T ( s) s n1

f(0) s n 2

f '(0)

t

1

4. 积分性

质：

T(

f(p)dp) T(s) s

5. 乘多项式性

质： T(t n f (t)) ( 1)n

T (n)

(s) 6. 延迟性质： T( f(t a))

e

as

T(s) 7. 初值定

理 : f (0) lim f(t)

t0 lim sT(s) s

8. 终止定理 :

f ( ) lim f (t) t lim sT(s)

s0 9.卷积公式： T(f *g) T(f )?T(g)

(n 1)

(0)

第四章：拉普拉斯方程的 green 函数法

Green 函数：

格林函数 , 又称点源影响函数 , 是数学物理中的重要概念 , 代表一个点源在一定的边界条件和初始条件下所产 生的场 , 而知道了点源的场 , 可以用叠加的方法计算任意源产生的场 . 。 第一 green 公

式 ：

u v dS (u v)dV u vdV

u vdV

同理

v u dS

v udV

u vdV

第二 green

公

式 ： 两式相减就得到

(

v u

)

(u v ) nn dS (u v

v u)dV ( green 第二公

式)

,泊松方程 u f (r), (r T)而第一 ,第二,第三类边界条件可

BC )，

0, 0为第二类边界条件( Neumann BC )；

三维空间 Laplace 方程的基本解 ：

定点是

M 0(x 0,y 0,z 0) 动

点是 M(x, y,z) 二维空间 Laplace 方程的基本解 ：

M 0( x 0 , y 0 ) ，动点是 M(x, y)

调和函数

2

u 0 的性质：

1). 牛曼问题有解的必要条件 乙 u dS

乙

n

f (x,y,z)dS 0

2)平均值公式 设u(M)在 内调和 ,M 0 1

则

u(M 0)

2 òudS u a

4 a

a

a

3)极值原理：设函数 u(不等于常数 )

在

上连续，在 内调和 则只在区域的边界上取得最大值和最

小值

Dirichlet 问题的解释唯一的， Neumann 内的解(只相差一个常数)也是唯一的 二 )狄内问题 Green 函数法的

步骤

讨论带有一定边界条件的泊松方程的求解问题 以统一表示为

f 其中 f 是区域边界上给定的函数， 0, 0 为第一类边界条件( Dirichlet

0, 0 为第三类边界条件( Robin BC )

基本解： v (M,M 0)

1 ln 1

ln

1

(x x 0)2

(y y 0)2

任取 M 0(x 0,y 0,z 0), z 0 0置+e 电荷，在对称点 M 1(x 0,y 0, z 0)置-e 电荷，则任意点 M 的电位

(3)推广：第一挂限和第二挂限 它的格林函数的形式是：

(4) 在上半半平面的半球域

构造格林函数法思想如第三种类型其格林函数是：

其中点

M 1 '是M 1关于 xoy 平面的对称点，点 M 0'是点 M 0 关于 xoy 平面的对称点。

课程感悟：

通过这门课程让我学到了怎样去解一些简单的偏微分方程， 中间老师给我们布置了一个小论文， 让我明白了现在自己的知识很有限， 这样就需要查阅更多的资料和文献。 在

无形中就提高了自己的知识面和自己的写作的能力。 这样的训练让我受益匪浅， 虽然在花费了大量的时间在这门 课上，但是我觉得很值得。现在了解了最简单基本的方程和模型，我相信这对以后的学习会有很大的帮助。

1) 、半空间问题

2

u 0

u(x,y,0) ( : z 0)

( 镜象法构造 f

(x, y)

green 函

G(M ,M

r

M 0 M

1

当 M 位于边界上时有 G(M ,M 0)

4 r

M 1M

u(M 0)

G

dS n

f ( x, y) z 0 22

[( x x 0)2 (y y 0)2

z02]3 2 dxdy( G

n

z0

z 0

)(2). 球域

2

u f(M)

其格林函数是： G(M,M 0)

4 r

M 0M

r

4 r

M 1M

图和上述第一种类型图相似， 其中点 M 1'是M 1关于 xoz 平面的对称点， 点 M 0 ' 是点 M 0 关于 xoz 平面的对称点。

了解古典方程的类型， 明白了其物理意义和现象。

数学物理方程小结85856

数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :),(:),(:22222222==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:),(:2222==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace 方程： . 0(:0 :).程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数 的次数。例如波动方程应有二个初始条件, 一般 选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输 运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）, 而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0,,0221121222112122211212抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.

初中物理所有公式总结

1. 电功(W)：电流所做的功叫电功， 2. 电功的单位：国际单位：焦耳。常用单位有：度(千瓦时)，1度=1千瓦时= 3.6×106焦耳。 3. 测量电功的工具：电能表(电度表) 4. 电功计算公式：W=UIt(式中单位W→焦(J);U→伏(V);I→安 (A);t→秒)。 5. 利用W=UIt计算电功时注意：①式中的W.U.I和t是在同一段电路;②计算时单位要统一;③已知任意的三个量都可以求出第四个量。 6. 计算电功还可用以下公式：W=I2Rt ;W=Pt;W=UQ(Q是电量); 7. 电功率(P)：电流在单位时间内做的功。单位有：瓦特(国际);常用单位有：千瓦 8. 计算电功率公式： (式中单位P→瓦(w);W→焦;t→秒;U→伏(V); I→安(A) 9. 利用计算时单位要统一，①如果W用焦、t用秒，则P的单位是瓦;②如果W用千瓦时、t用小时，则P的单位是千瓦。 10.计算电功率还可用右公式：P=I2R和P=U2/R 11.额定电压(U0)：用电器正常工作的电压。 12.额定功率(P0)：用电器在额定电压下的功率。 13.实际电压(U)：实际加在用电器两端的电压。 14.实际功率(P)：用电器在实际电压下的功率。 当U > U0时，则P > P0 ;灯很亮，易烧坏。当U < U0时，则P < P0 ;灯很暗，当U = U0时，则P = P0 ;正常发光。 (同一个电阻或灯炮，接在不同的电压下使用，则有 ;如：当实际电压是额定电压的一半时，则实际功率就是额定功率的1/4。例220V100W是表示额定电压是220伏，额定功率是100瓦的灯泡如果接在110伏的电路中，则实际功率是25瓦。) 15.焦耳定律：电流通过导体产生的热量跟电流的二次方成正比，跟导体的电阻成正比，跟通电时间成正比。 16.焦耳定律公式：Q=I2Rt ，(式中单位Q→焦; I→安(A);R→欧

数学物理方程的感想

数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解释说明。 数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程 人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势： 一、在许多自然科学及工程技术中提出的问题的数学描述大多是非线性偏微分方程，即使一些线性偏微分方程作近似处理的问题，由于研究的深入，也必须重新考虑非线性效应。对非线性偏

数学物理方程有感

书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 ? ??????====<<>??=??) ()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψ?0 )(2 )(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑∞ =+=

数学物理方法学习心得

竭诚为您提供优质文档/双击可除数学物理方法学习心得 篇一：数学物理方程的感想 数学物理方程的感想 通过对数学物理方程一学期的学习，我深深的感受到数学的伟大与博大精深。 当应用数学发展到一定高度时，就会变得越来越难懂，越来越抽象，没有多少实际的例子来说明；物理正好也要利用数学来进行解释和公式推导，所以就出现了数学物理方法。刚开始到结束这门课程都成了我的一大问题。很难理解它的真正意义（含义），做题不致从何入手，学起来越来越费劲。让我很是绞尽脑汁。 后来由于老师耐心的指导与帮助下我开始有了点理解。用数学物理方法来解释一些物理现象，列出微分方程，当然这些微分方程是以物理的理论列出来的，如果不借助于物理方法，数学也没有什么好办法来用于教学和实践，而物理的理论也借助于数学方法来列出方程，解出未知的参数。这就是数学物理方法的根本实质所在。真正要学好数学物理方程

不仅要数学好物理也不能够太差。 接下来我想先对数学物理方程做一个简单的介绍与解 释说明。数学物理方程——描述许多自然现象的数学形式都可以是偏微分方程式 特别是很多重要的物理力学及工程过程的基本规律的 数学描述都是偏微分方程，例如流体力学、电磁学的基本定律都是如此。这些反映物理及工程过程的规律的偏微分方程人们对偏微分方程的研究，从微分学产生后不久就开始了。例如，18世纪初期及对弦线的横向振动研究，其后，对热传导理论的研究，以及和对流体力学、对位函数的研究，都获得相应的数学物理方程信其有效的解法。到19世纪中叶，进一步从个别方程的深入研究逐渐形成了偏微分的一般理论，如方程的分类、特征理论等，这便是经典的偏微分方程理论的范畴。 然而到了20世纪随着科学技术的不断发展，在科学实践中提出了数学物理方程的新问题，电子计算机的出现为数学物理方程的研究成果提供了强有力的实现手段。又因为数学的其他分支（如泛函分析、拓扑学、群论、微分几何等等）也有了迅速发 展，为深入研究偏微分方程提供了有力的工具。因而，20世纪关于数学物理方程的研究有了前所未有的发展，这些发展呈如下特点和趋势：

初中物理公式总结大全(最新归纳)

初中物理公式汇总 速度公式： t s v = 公式变形：求路程——vt s = 求时间——t=s/v 重力与质量的关系： G = mg 密度公式： V m = ρ 浮力公式： F 浮= G 物 – F 示 F 浮= G 排=m 排g F 浮=ρ液gV 排 F 浮= G 物 压强公式：P=F/S （固体） 液体压强公式： p =ρgh 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 ρ——液体密度 kg/m 3 h ——深度 m g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg 面积单位换算： 1 cm 2 =10--4m 2 1 mm 2 =10--6m 2 注意：S 是受力面积，指有受到压力作用的那部分面积 注意：深度是指液体内部某一点到自由液面的竖直距离； 单位换算：1kg=103 g 1g/cm 3=1×103kg/m 3 1m 3=106cm 3 1L=1dm 3=10-3m 3 物理量 单位 p ——压强 Pa 或 N/m 2 F ——压力 N S ——受力面积 m 2 物理量 单位 F 浮——浮力 N G 物——物体的重力 N 提示：[当物体处于漂浮或悬浮时] 物理量 单位 v ——速度 m/s km/h s ——路程 m km t ——时间 s h 单位换算： 1 m=10dm=102cm=103mm 1h=60min=3600 s ； 1min=60s 物理量 单位 G ——重力 N m ——质量 kg g ——重力与质量的比值 g=9.8N/kg ；粗略计算时取 物理量 单位 ρ——密度 kg/m 3 g/cm 3 m ——质量 kg g V ——体积 m 3 cm 3 物理量 单位 F 浮——浮力 N ρ ——密度 kg/m 3 V 排——物体排开的液体的体积 m 3 g=9.8N/kg ，粗略计算时取g=10N/kg G 排——物体排开的液体 受到的重力 N m 排——物体排开的液体 的质量 kg

数学物理方程总结

数学物理方程总结 Revised by Jack on December 14,2020

浙江理工大学数学系 第一章：偏微分方程的基本概念 偏微分方程的一般形式：221 1 (,,, ,,,)0n u u u F x u x x x ???=??? 其中12(,,...,)n x x x x =是自变量，12()(,,...,)n u x u x x x =是未知函数 偏微分方程的分类：线性PDE 和非线性PDE ，其中非线性PDE 又分为半线性PDE ，拟线性PDE 和完全非线性PDE 。 二阶线性PDE 的分类（两个自变量情形）： 2221112222220u u u u u a a a a b cu x x y y x y ?????+++++=?????? （一般形式 记为 PDE （1）） 目的：可以通过自变量的非奇异变换来化简方程的主部，从而据此分类 (,) (,)x y x y ξξηη=?? =? 非奇异 0x y x y ξξηη≠ 根据复合求导公式最终可得到： 22211122222 20u u u u u A A A A B Cu ξξηηξη ?????+++++=??????其中： 考虑22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=????如果能找到两个相互独立的解 那么就做变换(,) (,)x y x y ξφηψ=??=? 从而有11220A A == 在这里要用到下面两个引理： 引理1：假设(,)z x y φ=是方程22111222( )2()0z z z z a a a x x y y ????++=???? (1)的特解，则关系式(,)x y C φ=是常微分方程：22111222()2()0a dy a dxdy a dx -+= （2）的一般积分。 主

数学物理方程第二版答案

数学物理方程第二版答案 第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 4. 绝对柔软逐条而均匀的弦线有一端固定，在它本身重力作用下，此线处于铅垂平衡位置，试导出此线的微小横振动方程。 解：如图2，设弦长为l ，弦的线密度为ρ，则x 点处的张力)(x T 为 )()(x l g x T -=ρ 且)(x T 的方向总是沿着弦在x 点处的切线方向。仍以),(t x u 表示弦上各点在时刻t 沿垂直于x 轴方向的位移，取弦段),,(x x x ?+则弦段两端张力在u 轴方向的投影分别为 )(sin ))(();(sin )(x x x x l g x x l g ?+?+--θρθρ 其中)(x θ表示)(x T 方向与x 轴的夹角 又 . sin x u tg ??=≈θθ 于是得运动方程 x u x x l t u x ???+-=???)]([22ρ∣x u x l g x x ??--?+][ρ∣g x ρ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 ])[(2 2x u x l x g t u ??-??=??。 5. 验证 2 221),,(y x t t y x u --= 在锥2 22y x t -->0中都满足波动方程 222222y u x u t u ??+??=??证：函数2221),,(y x t t y x u --=在锥2 22y x t -->0内对变量t y x ,,有 二阶连续偏导数。且 t y x t t u ?---=??- 23 222)( 22 52222 3 2222 2 ) (3) (t y x t y x t t u ?--+---=??- -

数学物理方程小结

数学物理方程小结 第七章 数学物理定解问题 数学物理定解问题包含两个部分：数学物理方程（即泛定方程）和定解条件。 §7.1数学物理方程的导出 一般方法： 第一确定所要研究的物理量u ,第二 分析体系中的任意一个小的部分与邻近部分的相互作用,根据物理规律, 抓住主要矛盾, 忽略次要矛盾。（在数学上为忽略高级小量.）第三 然后再把物理量u 随时间，空间的变为通过数学算式表示出来, 此表示式即为数学物理方程。 （一） 三类典型的数学物理方程 （1）波动方程： 0 :) ,(:) ,(:22 2222 22==??-??=?-??→f 当无外力时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于各类波动问题。（特别是微小振动情况.） （2）输运方程： 0 :).(:) ,(:2 2 2 2 ==??-??=?-??→f 无外源时t x f x u a t u 一维t r f u a t u 三维 此方程 适用于热传导问题、扩散问题。

（3）Laplace 方程： . 0(:0 :) .程时泊松方程退化拉氏方f f u 泊松方程u 拉氏方程t r ==?=?→ 稳定的温度和浓度分布适用的数学物理方程为Laplace 方程, 静电势u 在电荷密度为零处也满足Laplace 方程 。 §7.2定解条件 定解条件包含初始条件与边界条件。 （1） 初始条件的个数等于方程中对时间最高次导数的次数。 例如波动方程应有二个初始条件, 一般选初始位移u （x,o ）和初始速度u t （x,0）。而输运方程只有一个初始条件选为初始分布u （x,o ）,而Laplace 方程没有初始条件。 （2） 三类边界条件 第一类边界条件： u( r ,t)|Σ = f （1） 第二类边界条件： u n |Σ = f （2） 第三类边界条件： ( u+Hu n )|Σ= f （3） 其中H 为常数. 7.3 二阶线性偏微分方程分类 判别式 , ,0,,0, ,022112 1222112 12 22112 12抛物型a a a 椭圆型a a a 双曲型a a a =-=?<-=?>-=? 波动方程是双曲型的,输运方程为抛物型的,而拉普拉斯方程为椭圆型的.

初中物理知识点总结(大全)

初中物理知识点总结（大全） 第一章声现象知识归纳 1 . 声音的发生：由物体的振动而产生。振动停止，发声也停止。 2．声音的传播：声音靠介质传播。真空不能传声。通常我们听到的声音是靠空气传来的。 3．声速：在空气中传播速度是：340米/秒。声音在固体传播比液体快，而在液体传播又比空气体快。 4．利用回声可测距离：S=1/2vt 5．乐音的三个特征：音调、响度、音色。(1)音调:是指声音的高低，它与发声体的频率有关系。(2)响度:是指声音的大小，跟发声体的振幅、声源与听者的距离有关系。 6．减弱噪声的途径：(1)在声源处减弱；(2)在传播过程中减弱；(3)在人耳处减弱。 7．可听声：频率在20Hz～20000Hz之间的声波：超声波：频率高于20000Hz的声波；次声波：频率低于20Hz 的声波。 8．超声波特点：方向性好、穿透能力强、声能较集中。具体应用有：声呐、B超、超声波速度测定器、超声波清洗器、超声波焊接器等。 9．次声波的特点：可以传播很远，很容易绕过障碍物，而且无孔不入。一定强度的次声波对人体会造成危害，甚至毁坏机械建筑等。它主要产生于自然界中的火山爆发、海啸地震等，另外人类制造的火箭发射、飞机飞行、火车汽车的奔驰、核爆炸等也能产生次声波。 第二章物态变化知识归纳 1. 温度：是指物体的冷热程度。测量的工具是温度计, 温度计是根据液体的热胀冷缩的原理制成的。 2. 摄氏温度(℃):单位是摄氏度。1摄氏度的规定：把冰水混合物温度规定为0度，把一标准大气压下沸水的温度规定为100度，在0度和100度之间分成100等分，每一等分为1℃。

３．常见的温度计有(1)实验室用温度计；(2)体温计； (3)寒暑表。 体温计：测量范围是35℃至42℃，每一小格是0.1℃。 4. 温度计使用：(1)使用前应观察它的量程和最小刻度值；(2)使用时温度计玻璃泡要全部浸入被测液体中，不要碰到容器底或容器壁；(3)待温度计示数稳定后再读数；(4)读数时玻璃泡要继续留在被测液体中，视线与温度计中液柱的上表面相平。 5. 固体、液体、气体是物质存在的三种状态。 6. 熔化：物质从固态变成液态的过程叫熔化。要吸热。 7. 凝固：物质从液态变成固态的过程叫凝固。要放热. 8. 熔点和凝固点：晶体熔化时保持不变的温度叫熔点；。晶体凝固时保持不变的温度叫凝固点。晶体的熔点和凝固点相同。 9. 晶体和非晶体的重要区别：晶体都有一定的熔化温度（即熔点），而非晶体没有熔点。 10. 熔化和凝固曲线图：

数学物理方程 答案 谷超豪

第一章． 波动方程 §1 方程的导出。定解条件 1．细杆（或弹簧）受某种外界原因而产生纵向振动，以u(x,t)表示静止时在x 点处的点在时刻t 离开原来位置的偏移，假设振动过程发生的张力服从虎克定律，试证明),(t x u 满足方程 其中ρ为杆的密度，E 为杨氏模量。 证：在杆上任取一段，其中两端于静止时的坐标分别为 x 与+x x ?。现在计算这段杆在时刻t 的相对伸长。在时刻t 这段杆两端的坐标分别为： 其相对伸长等于 ),()],([)],([t x x u x x t x u x t x x u x x x ?+=??-+-?++?+θ 令 0→?x ，取极限得在点x 的相对伸长为x u ),(t x 。由虎克定律，张力),(t x T 等于 其中)(x E 是在点x 的杨氏模量。 设杆的横截面面积为),(x S 则作用在杆段),(x x x ?+两端的力分别为 于是得运动方程 tt u x x s x ???)()(ρx ESu t x =),(x x x x x ESu x x |)(|)(-?+?+ 利用微分中值定理，消去x ?，再令0→?x 得 若=)(x s 常量，则得 22)(t u x ??ρ=))((x u x E x ???? 即得所证。 2．在杆纵向振动时，假设(1)端点固定，(2)端点自由，(3)端点固定在弹性支承上，试分别导出这三种情况下所对应的边界条件。 解：(1)杆的两端被固定在l x x ==,0两点则相应的边界条件为 (2)若l x =为自由端，则杆在l x =的张力x u x E t l T ??=) (),(|l x =等于零，因此相应的边界条件为 x u ??|l x ==0 同理，若0=x 为自由端，则相应的边界条件为 x u ??∣00==x (3)若l x =端固定在弹性支承上，而弹性支承固定于某点，且该点离开原来位置的 偏移由函数)(t v 给出，则在l x =端支承的伸长为)(),(t v t l u -。由虎克定律有 x u E ??∣)](),([t v t l u k l x --==

数学物理方程有感绝对牛人写的

数学物理方程有感绝对牛 人写的 The document was prepared on January 2, 2021

书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方 程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 这样的特解都满足齐次偏微分方程和齐次边界条件 第四步：利用本征函数正交性定叠加系数 总结：通过以上例子我们可以得出分离变量的一般方法，总的来说可以分成四步： 一． 首先将偏微分方程的定解问题通过分离变量转化为常微分方程的定解问题。 二． 确定特征值和特征函数。由于特征值是要经过叠加的，所以用来确定特征函数的方程与条件，当函数经过叠加之后仍旧要满足。当边界条件是齐次时，求特征函数就是求一个常分方程满足零边界条件的非零解。 三． 定出特征值和特征函数后，再解其他的常微分方程，把得到的解与特征函数乘起来成为Un(x,t). 四． 最后为了使解满足其余的定解条件，需要把U 叠加起来成为级数形式，叠加出一般解，再利用本征函数的正交性定叠加系数。 0)(2)(''=+t T a t T λ ,3,2,1 2)(==n l n n πλ

人教版_初中物理_公式大全—公式变形—精华

物理中考复习---物理公式 速度公式： t s v = 公式变形：求路程——vt s =求时间——v s t = G = mg 公式变形：求质量——G m g = 合力公式： F = F 1 + F 2[同一直线同方向二力的合力计算] F = F 1 - F 2[同一直线反方向二力的合力计算] 公式变形：求质量——m =ρ 求体积 ——m v = ρ 浮力公式： F 浮=G – F F 浮= G 排=m 排g F 浮=ρ液gV 排 公式变形： 求密度——V F g 排 浮液 =ρ 求排开液体体积——g ρ 液 浮 排F V = V 物理量单位 v ——速度 m/s km/h s ——路程 m km t ——时间 s h V m =ρ

F 浮=G 压强公式： p =S F 公式变形：求压力——S F ρ= 求受力面积—— ρ F S = 液体压强公式： P =ρ gh 公式变形：求液体密度—— gh p = ρ 求物体所处深度——g P h ρ= *帕斯卡原理：∵p 1=p 2 ∴ 2211S F S F =或21 21S S F F = 杠杆的平衡条件： F 1L 1=F 2L 2 公式变形：求动力—— L L F F 2 2 21= 求动力臂—— F L F L 2 2 22= 求阻力—— L L F F 2 1 1 2 = 求阻力臂—— F L F L 2 1 1 2 = 或写成：1 2 21L L F F = 物理量单位 F 1——动力 N L 1——动力臂 m F 2——阻力 N L ——阻力臂 m

数学物理方程公式总结-14页文档资料

无限长弦的一般强迫振动定解问题 200(,)(,0)() () tt xx t t t u a u f x t x R t u x u x ?ψ==?=+∈>? =?? =? 解()()().() .0()1 11(,)(,)222x at t x a t x at x a t u x t x at x at d f d d a a ττ??ψξξατατ++----??=++-+ +??????? ???? 三维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 22222220001,,,,0(,,) (,,)t t u u u a x y z t t x y z u x y z u x y z t ??==???????=++-∞<<+∞>? ????????? =????=??? 在球坐标变换 sin cos sin sin (0,02,0)cos x r y r r z r θ?θ??πθπθ=?? =≤<+∞≤≤≤≤??=? L 21()1 () (,)44M M at r S S M M u M t dS dS a t r a r ?ψππ??''?=+??????????? 乙 (r=at) 221()1() (,)44M M at at S S M M u M t dS dS a t t a t ?ψππ??''?=+??????? ???? 乙无界三维空间自由振动的泊松公式 ()sin cos ()sin sin (02,0)()cos x x at y y at z z at θ?θ??πθπθ'=+?? '=+≤≤≤≤??'=+? L 2()sin dS at d d θθ?= 二维空间的自由振动的波动方程定解问题 ()22 2222200,,,0(,)(,)t t u u u a x y t t x y u u x y x y t ?ψ==??????=+-∞<<+∞>? ???????? ?? ==??? 22000011(,,)22at at u x y t a t a ππθθππ?????= +????????? ???? 傅立叶变换

数学物理方程与特殊函数-模拟试题及参考答案

成都理工大学 《数学物理方程》模拟试题 一、填空题（3分?10=30分） 1.说明物理现象初始状态的条件叫（ ），说明边界上的约束情况的条件叫（ ），二者统称为 （ ）. 2.三维热传导齐次方程的一般形式是：（ ） . 3 .在平面极坐标系下，拉普拉斯方程算符为 （ ） . 4.边界条件 f u n u S =+??)(σ是第（ ）类边界条件，其中S 为边 界. 5.设函数),(t x u 的傅立叶变换式为),(t U ω，则方程22 222x u a t u ??=??的傅立叶变换为 （ ） . 6.由贝塞尔函数的递推公式有 =)(0x J dx d （ ） . 7.根据勒让德多项式的表达式有)(3 1)(3 202x P x P += （ ）. 8.计算积分 =? -dx x P 2 1 1 2)]([（ ） . 9.勒让德多项式)(1x P 的微分表达式为（ ） . 10.二维拉普拉斯方程的基本解是（ ） . 二、试用分离变量法求以下定解问题（30分）： 1.??? ? ? ????<<=??===><

2.???? ? ?? ??===><<<+??=??====20,0,8,00,20,16200202 2 2 22x t u t x x u t u t t x x u u u 三、用达朗贝尔公式求解下列一维波动方程的初值问题（10分） ?? ???=??=>+∞<<-∞+??=??==0 ,2sin 0,,cos 0022 2 22t t t u x u t x x x u a t u 四、用积分变换法求解下列定解问题（10分）： ??? ? ???=+=>>=???==, 1, 10,0,1002y x u y u y x y x u 五、利用贝赛尔函数的递推公式证明下式（10分）： )(1)()(' 0' '02x J x x J x J -= 六、在半径为1的球内求调和函数u ，使它在球面上满足 θ21cos ==r u ，即所提问题归结为以下定解问题（10分）:

数学物理方程学习总结

数学物理方程学习总结 四年前匡老师作为我的高数老师走进我的大学生活，如今作为一名研究生，很荣幸又能跟着匡老师学习数学。我本科主修土木工程专业，现在学的是岩石力学专业，主要是跟着导师从事一些关于应力波的研究，所以数学物理方程这门课成了我的必修课。 数学物理方程研究的主要对象是从物理学中提出来的一些偏微分方程。这些方程中的自变量和函数有着鲜明的物理意义，有些问题的解可以通过实验给出，这给偏微分方程的研究指明了方向，同时由于物理学上的需求，就诞生了专门研究有物理意义的偏微分方程的解法。 本学期数学物理方程起初学习了拉普拉斯和傅立叶变换概念、性质以及卷积定理，了解其在微分方程求解中的应用，并着重介绍了Γ函数和β函数的性质以及其两者的关系。然后介绍了三大经典方程的建立和定解条件（泊松方程与拉普拉斯方程都是描述恒稳场状态，与初始状态无关，所以不提初始条件）的提出和表示。第四章和第五章分别详细的讲了分离变量法、行波法和积分变换法在求解经典方程中的应用，主要针对求解热传导方程和波动方程。三种方法有时候可以通用但有时候还是有区别，分离变量法主要用来求解有限区域内定解问题；行波法是一种针对无界域的一维波动方程的求解方法；积分变换法主要是求解一个无界域上不受方程类型限制的方法。第六章主要讲述用格林函数法求解拉普拉斯方程，伊始提出两种拉普拉斯方程的边值问题（狄氏内问题、狄氏外问题、牛曼内问题、牛曼外问题），然后介绍几种格林函数的取得，最后简介求解狄氏问题。最后三章分别介绍几个特殊类型的常微分方程（贝塞尔方程和勒让德方程）的引入和他们性质和求解。数学物理方程概括起来就是使用四种方法求解三种经典方程，介绍求解过程中产生的两种特殊函数的一门学科。 作为数理方程的学习者，本人觉得它确实是一门比较难的课程，真正的难点却并不是只有数理方程课程本身，而是对以前高等数学学过的知识的理解与记忆的加深。所以，我觉得想学好这门课程，不仅要把时间放在对相关内容的巩固、复习上，还得多做课本上的例题、习题。

数学物理方程习题解答案

数学物理方程习题解 习题一 1，验证下面两个函数： (,)(,)sin x u x y u x y e y == 都是方程 0xx yy u u += 的解。 证明：（1 ）(,)u x y = 因为322 2 22 2222 2222 22 322 222 2222 2222 222222 222222 1 1()22 () 2()()11()22()2()()0()() x xx y yy xx yy x u x x y x y x y x x x y u x y x y y u y x y x y x y y y y x u x y x y x y y x u u x y x y =-? ?=- +++-?-=-=++=-??=-+++-?-=-=++--+=+=++ 所以(,)u x y =是方程0xx yy u u +=的解。 （2）(,)sin x u x y e y = 因为 sin ,sin cos ,sin x x x xx x x y yy u y e u y e u e y u e y =?=?=?=-? 所以 sin sin 0x x xx yy u u e y e y +=-= (,)sin x u x y e y =是方程0xx yy u u +=的解。 2，证明：()()u f x g y =满足方程 0xy x y uu u u -=

其中f 和g 都是任意的二次可微函数。 证明：因为 ()()u f x g y = 所以 ()(),()()()() ()()()()()()()()0 x y xy xy x y u g y f x u f x g y u f x g y uu u u f x g y f x g y g y f x f x g y ''=?=?''=?''''-=?-??= 得证。 3， 已知解的形式为(,)()u x y f x y λ=+，其中λ是一个待定的常数，求方程 430xx xy yy u u u -+= 的通解。 解：令x y ξλ=+则(,)()u x y f ξ= 所以2 (),()x xx u f u f ξλξλ'''=?=? (),(),()xy y yy u f u f u f λξξξ'''''=?== 将上式带入原方程得2 (43)()0f λλξ''-+= 因为f 是一个具有二阶连续可导的任意函数，所以2 -430 λλ+=从而12 =3,1λλ=， 故1122(,)(3),(,)()u x y f x y u x y f x y =+=+都是原方程的解，12,f f 为任意的二阶可微函数，根据迭加原理有 12(,)(3)()u x y f x y f x y =+++为通解。 4，试导出均匀等截面的弹性杆作微小纵振动的运动方程（略去空气的阻力和杆的重量）。 解：弹性杆的假设，垂直于杆的每一个截面上的每一点受力与位移的情形都是相 同的，取杆的左端截面的形心为原点，杆轴为x 轴。在杆上任意截取位于 [,]x x x +?的一段微元，杆的截面积为s ，由材料力学可知，微元两端处的相对伸长（应 变）分别是 (,)u x t x ??与(,)u x x t x ?+??，又由胡克定律，微元两端面受杆的截去部分的拉力分别为()(,)u SE x x t x ??与()(,)u SE x x x x t x ?+?+??，因此微元受杆的截去部分的作用力的合力为：()(,)()(,)u u SE x x x x t SE x x t x x ??+?+?-??

数学物理方法总结归纳改

数学物理方法总结 第一章 复变函数 复数的代数式:z=x+iy 复数的三角式和指数式:(cos sin )z ρ??=+和i z e ? ρ= 欧拉公式:{1sin ()21cos () 2 iz iz iz iz z e e i z e e --= -=+ 柯西-黎曼方程(或称为柯西-黎曼条件):{u u x y v v x y ??=????=-?? (其中f(z)=u+iv) 函数f(z)=u+iv 在点0z 及其领域上处处可导,则称f(z)在0z 点解析.在区域B 上每一点都解析,则称f(z)是在区域B 上的解析函数. 解析函数的性质:1.若函数f(z)=u+iv 在区域B 上解析,则12(,),(,)u x y C v x y C == (12,C C 为常数)是B 上的两组正交曲线族. 2.若函数在区域B 上解析,则u,v 均为B 上的调和函数,即 22220u v x y ??+=?? 例题: 已知某解析函数f(z)的实部2 2 (,)u x y x y =-,求虚部和这个解析函数. 解答: 由于22u x ??=2;22v y ??=-2;则22220u v x y ??+=?? 曲线积分法 u x ??=2x;u y ??=-2y.根据C-R 条件有:v x ??=2y;v y ??=2x. 于是 22dv ydx xdy =+;

(,0) (,) (0,0) (,0) (,)(,) (,0) (22)(22)(22)22x x y x x y x y x v ydx xdy C ydx xdy ydx xdy C xdy C xy C =++=++++=+=+??? ? 凑全微分显式法 由上式可知 22dv ydx xdy =+ 则易得 (2)dv d xy = 则显然 2v xy C =+ 不定积分法 上面已有 v x ??=2y;v y ??=2x 则第一式对y 积分,x 视为参数,有 2()2()v xy x xy x ??=+=+? . 上式对x 求导有 2'()v y x x ??=+?,而由C-R 条件可知 '()0x ?=, 从而 ()x C ?=.故 v=2xy+C. 2 2 2 ()(2)f z x y i xy C z iC =-++=+ 第二章 复变函数的积分 单连通区域柯西定理 如果函数f(z)在闭单连通区域B 上解析,则沿B 上任意一分段 光滑闭合闭合曲线l(也可以是B 的边界),有 ()0l f z dz =??. 复连通区域柯西定理 如果f(z)是闭复连通区域上的单值解析函数,则 1 ()()0i n l l i f z dz f z dz =+=∑?? 蜒.式中l 为区域外边界线,诸i l 为 区域内边界线,积分均沿边界线的正方向进行.即 1 ()()i n l l i f z dz f z dz ==∑??i i . 柯西公式 1() ()2l f z f dz i z απα = -?? n 次求导后的柯西公式 () 1!() ()2()n n l n f f z d i z ζζπζ+= -?? 第三章 幂级数展开

数学物理方程有感

1 书本个人总结： 由于物理学，力学和工程技术等方面的许多问题都可以归结为偏微分方程的定解问题，而在数学物理方程这门课上，我们的主要任务便是求解这些定解问题，也就是说在已经列出的方程与定解条件之后，怎样去求既满足方程又满足定解条件的解。 而我们的常用的解决偏微分方程的方法的统一思路是将一个偏微分方程的求解设法转化成一个常微分方程问题的求解。 而我们在学习过程中接触到的常用方法有：分离变量法，行波法，积分变换法和拉普拉斯方程的格林函数法 第二章： 本章主要介绍了分离变量法，介绍了有界弦的自由振动，有限长杆上的热传导，圆域内的二维拉普拉斯方程的定解问题等泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解，还介绍了非齐次方程的解法，非齐次边界条件的处理等等。 A ． 其中泛定方程和边界条件都是齐次的偏微分方程的求解步骤，取有界弦的自由振动的方程求解作为例子，定解问题为： 第一步：分离变量 目标：分离变量形式的非零解)()(),(t T x X t x u = 结果：函数)(x X 满足的常微分方程和边界条件以及)(t T 满足的常微分方程 条件：偏微分方程和边界条件都是齐次的 第二步：求解本征值问题 利用0)()(''=+x X x X λ和边界条件0)0(=X 和0)(=l X 求出本征值和本函数： 本征值： 本征函数： 第三步：求特解，并叠加出一般解 ? ??????====<<>??=??) ()0,(),()0,(,0),(),0(0 ,0 ,22222x x u x x u t L u t u L x t x u a t u t ψ?0)(2 )(''=+t T a t T λΛ,3,2,1 2)( ==n l n n πλx l n πsin (x)X n =x l n at l n D at l n C t x u n n n πππsin )cos sin (),(1∑∞=+=

数学物理方程期末考试试题及答案

数学物理方程期末考试试题及答案 一、求解方程（15分） ?????===-=+=-. )()(0002x u x u u a u at x at x xx tt ψ? 其中)0()0(ψ?=。 解：设? ??+=-at x at x ηξ＝则方程变为： 0=ξηu ，)()(at x G at x F u ++-=(8’)由边值条件可得： )()0()2(),()2()0(x G x F x x G F ψ?=+=+ 由)0()0(ψ?=即得： )0()2 ()2( ),(?ψ?--++=at x at x t x u 。 二、利用变量分离法求解方程。（15分） ?????==≥==∈=-====)(,)(, 0,0,),(,00002x u x u t u u Q t x u a u t t t l x x xx tt ψ? 其中l x ≤≤0。0>a 为常数 解：设)()(t T x X u =代于方程得： 0''=+X X λ，0''2=+T a T λ(8’) x C x C X λλsin cos 21+=，at C at C T λλsin cos 21+= 由边值条件得：

21)( ,0l n C πλ== l x n at A at B u n n n πλλsin )sin cos (1 +=∑∞= ?=l n dx l x n x l B 0sin )(2π?，?=l n dx l x n x an A 0sin )(2πψπ 三．证明方程02=--cu u a u xx t )0(≥c 具有狄利克雷边界条件的初边值问题解的唯一性与 稳定性. (15分) 证明：设u e v ct -=代入方程： ?? ???====-=).(),(),(),0()(02102t g t l v t g t v x v v a v t xx t ? 设21,v v 都是方程的解设21v v v -=代入方程得： ?? ???====-=0),(,),0(0002t l v t v v v a v t xx t 由极值原理得0=v 唯一性得证。(8’)由 ≤-21v v ετ≤-2 1v v ，稳定性得证由u e v ct -=知u 的唯一性稳定性 得证。 四．求解二维调和方程在半平面上的狄利克雷问题(15分). ,0,0>=++=?z u u u u zz yy xx ).(0x f u z == 解：设),,(ζηξp 是上半平面内一点，在该点放置单位点电荷，其对称点 ),,(?ηξ-p 格林函数： 222)()()(141 ),,,(?ηξπ ηξ-+-+--=z y x y x G 222)()()(141 ?ηξπ++-+-+z y x