第二章数列
2.1数列的概念与简单表示法
2.1数列的概念与简单表示法(第2课时)
学习目标
了解数列的递推公式,明确递推公式与通项公式的异同;会根据数列的递推公式写出数列的前几项;经历数列知识的感受及理解运用的过程;通过本节课的学习,体会数学来源于生活,从而提高学习数学的兴趣.
合作学习
一、设计问题,创设情境
1.回顾复习数列及有关定义,数列既然是按一定顺序排列的一列数,有些数列能够写出一个通项公式a n=f(n),那么除了通项公式外还可以怎么表示?
2.观察钢管堆放示意图,寻求规律,建立数学模型.
自上而下:
第1层钢管数为4;
第2层钢管数为5;
第3层钢管数为6;
第4层钢管数为7;
第5层钢管数为8;
第6层钢管数为9;
第7层钢管数为10.
若用a n表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n=n+3(1≤n≤7),相邻两层之间有没有关系?即a n+1与a n有没有关系?
3.国际象棋中的每个格子中依次放入1,2,22,23,24,…,263这样的麦粒数排成一列数,相邻两数之间有没有关系?即a n+1与a n有没有关系?
二、信息交流,揭示规律
数列有四种表示法:通项公式法、列表法、图象法和递推公式法.通常用通项公式法表示数列.
4.通项公式法
如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子来表示,那么这个公式就叫做这个数列的通项公式.
如数列0,1,2,3,4,…的通项公式为;
1,1,1,1,…的通项公式为;
1,,…的通项公式为.
5.图象法
从函数的观点看,数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3,…,n})为定义域的函数a n=f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时对应的一列函数值.而数列的项是函数值,序号就是自变量,数列的通项公式就是相应函数的解析式.其图象是一群孤立的点.
我们可以仿照函数图象的画法画数列的图象.具体方法是以项数n为横坐标,相应的项a n 为纵坐标,即以为坐标在平面直角坐标系中作出点以前面提到的数列1,,…为
例,作出一个数列的图象,所得的数列的图象是一群孤立的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在y轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势.
6.列表法
数列可看做特殊的函数,其表示也应与函数的表示法有联系,相对于列表法表示一个函数,数列有这样的表示法:用a1表示第一项,用a2表示第二项,……,用a n表示第n项,依次写出a1,a2,a3,a4,….记为{a n}.
7.递推公式法
知识都来源于实践,最后还要应用于生活.用其来解决一些实际问题.观察钢管堆放示意图,寻其规律,建立数学模型.
模型一:自上而下:
第1层钢管数为4,即1?4=1+3;
第2层钢管数为5,即2?5=2+3;
第3层钢管数为6,即3?6=3+3;
第4层钢管数为7,即4?7=4+3;
第5层钢管数为8,即5?8=5+3;
第6层钢管数为9,即6?9=6+3;
第7层钢管数为10,即7?10=7+3.
若用a n表示钢管数,n表示层数,则可得出每一层的钢管数为一数列,且a n=n+3(1≤n≤7).
运用每一层的钢筋数与其层数之间的对应规律建立数列模型,运用这一关系,会快捷地求出每一层的钢管数,这会给我们的统计与计算带来很多方便.
继续看此图片,是否还有其他规律可循?
模型二:上下层之间的关系
自上而下每一层的钢管数都比上一层钢管数多1.
即a1=4;
a2=5=4+1=a1+1;
a3=6=5+1=a2+1;
依此类推:a n=a n-1+1(2≤n≤7).
对于上述所求关系,若知其第1项,即可求出其他项.
递推公式:如果已知数列{a n}的第1项(或前几项),且任一项a n与它的前一项a n-1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
递推公式也是给出数列的一种方法.
如下数列:3,5,8,13,21,34,55,89,
递推公式为:a1=3,a2=5,a n=a n-1+a n-2(3≤n≤8).
8.数列的分类
(1)根据数列项数的多少分
①有穷数列:;
②无穷数列:.
(2)根据数列项的大小分
①递增数列:;
②递减数列:;
③常数数列:;
④摆动数列:.
三、运用规律,解决问题
9.设数列{a n}满足a n=写出这个数列的前5项.
10.已知a1=2,a n+1=2a n,写出前5项,并猜想a n.
四、变式训练,深化提高
11.根据各个数列的首项和递推公式,写出它的前5项,并归纳出通项公式.
(1)a1=0,a n+1=a n+(2n-1)(n∈N*);
(2)a1=1,a n+1=(n∈N*);
(3)a1=3,a n+1=3a n-2(n∈N*).
五、反思小结,观点提炼
参考答案
一、设计问题,创设情境
3.有关系.a n+1=2a n
二、信息交流,揭示规律
4.a n=n-1(n∈N*);a n=1(n∈N*);a n=(n∈N*)
5.(n,a n)
8.(1)①项数有限的数列
②项数无限的数列
(2)①从第2项起,每一项都大于它的前一项的数列
②从第2项起,每一项都小于它的前一项的数列
③各项相等的数列
④从第2项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列
三、运用规律,解决问题
9.解:由题意可知,a1=1,a2=1+=2,a3=1+,a4=1+,a5=1+.
10.解:a1=2,a2=2a1=2×2=22,a3=2a2=2×22=23,a4=2a3=2×23=24,a5=2a4=2×24=25,观察可得a n=2n.
四、变式训练,深化提高
11.解:(1)∵a1=0,a2=1,a3=4,a4=9,a5=16,∴a n=(n-1)2;
(2)∵a1=1,a2=,a3=,a4=,a5=,∴a n=;
(3)∵a1=3=1+2×30,a2=7=1+2×31,a3=19=1+2×32,
a4=55=1+2×33,a5=163=1+2×34,∴a n=1+2×3n-1.
五、反思小结,观点提炼
略
第二章数列 §2.1.1数列的概念与简单表示法 （第1课时） ●教学目标 知识与技能：理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的个通项公式。 过程与方法：通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式，培养学生的观察能力和抽象概括能力． 情感态度与价值观：通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 ●教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 ●教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 ●教学过程 Ⅰ.4，5，6，7，8，9，10． ① 1，21，31，41，51 ，…. ② 1，0.1，0.01，0.001，0.0001，…. ③ 1，1.4，1.41，1.414，…. ④ -1，1，-1，1，-1，1，…. ⑤ 2，2，2，2，2，…. ⑥ 观察这些例子，看它们有何共同特点？（启发学生发现数列定义） 上述例子的共同特点是：⑴均是一列数；⑵有一定次序. 从而引出数列及有关定义 Ⅱ.讲授新课 ⒈ 数列的定义：按一定次序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n 项，…. 例如，上述例子均是数列，其中①中，“4”是这个数列的第1项（或首项），“9”是这个数列中的第6项. ⒊数列的一般形式： Λ Λ,,,,,321n a a a a ，或简记为 {}n a ，其中n a 是数列的第n 项 结合上述例子，帮助学生理解数列及项的定义. ②中，这是一个数列，它的首项是“1”，“31 ” 是这个数列的第“3”项，等等 下面我们再来看这些数列的每一项与这一项的序号是否有一定的对应关系？这一关系可否
高一数学数列知识总结 知识网络
二、知识梳理 ①),2(1为常数d n d a a n n ≥=-- ②211-++=n n n a a a (2≥n ) ③b kn a n +=(k n ,为常数). 二、看数列是不是等比数列有以下两种方法： ①)0,,2(1≠≥=-且为常数q n q a a n n ②112 -+?=n n n a a a (2≥n ，011≠-+n n n a a a ) 三、在等差数列｛n a ｝中,有关S n 的最值问题：(1)当1a >0,d<0时，满足?? ? ≤≥+0 01m m a a 的项数m 使得m s 取最大值. (2)当1a <0,d>0时，满足???≥≤+0 1m m a a 的项数m 使得m s 取最小值。在解含绝对值
的数列最值问题时,注意转化思想的应用。 四.数列通项的常用方法： （1）利用观察法求数列的通项. （2）利用公式法求数列的通项：①???≥-==-) 2()111n S S n S a n n n （；②{}n a 等差、等比数列{}n a 公式. （3）应用迭加（迭乘、迭代）法求数列的通项： ①)(1n f a a n n +=+；②).(1n f a a n n =+ （4）造等差、等比数列求通项： ① q pa a n n +=+1；②n n n q pa a +=+1；③)(1n f pa a n n +=+；④n n n a q a p a ?+?=++12. 第一节通项公式常用方法 题型1 利用公式法求通项 例1：1.已知{a n }满足a n+1=a n +2，而且a 1=1。求a n 。 2.已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，求下列数列{}n a 的通项公式： ⑴ 1322-+=n n S n ； ⑵12+=n n S . 总结:任何一个数列，它的前n 项和n S 与通项n a 都存在关系：???≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n 若1a 适 合n a ，则把它们统一起来，否则就用分段函数表示. 题型2 应用迭加（迭乘、迭代）法求通项 例2：⑴已知数列{}n a 中，)2(12,211≥-+==-n n a a a n n ，求数列{}n a 的通项公式； ⑵已知n S 为数列{}n a 的前n 项和，11=a ，n n a n S ?=2 ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：⑴迭加法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n +=+”； 迭乘法适用于求递推关系形如“)(1n f a a n n ?=+“；⑵迭加法、迭乘法公式： ① 11232211)()()()(a a a a a a a a a a n n n n n n n +-++-+-+-=----- ② 11 22332211a a a a a a a a a a a a n n n n n n n ??????= ----- . 题型3 构造等比数列求通项 例3已知数列{}n a 中，32,111+==+n n a a a ，求数列{}n a 的通项公式. 总结：递推关系形如“q pa a n n +=+1” 适用于待定系数法或特征根法：
第一章解三角形 1.1正弦定理和余弦定理 1.1.1正弦定理 知识结构梳理 几何法证明 正弦定理的证明 向量法证明 已知两角和任意一边 正弦定理正弦定理 正弦定理的两种应用 已知两边和其中一角的对角 解三角形 知识点1 正弦定理及其证明 1正弦定理： 2.正弦定理的证明： （1）向量法证明 （2）平面几何法证明 3.正弦定理的变形 知识点2 正弦定理的应用 1.利用正弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题： （1）已知两角和任意一边，求其他两边和另一角； （2）已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，从而进一步求出其他的边和角。 2.应用正弦定理要注意以下三点： （1） （2） （3） 知识点3 解三角形
1.1.2余弦定理 知识点1 余弦定理 1. 余弦定理的概念 2. 余弦定理的推论 3. 余弦定理能解决的一些问题： 4. 理解应用余弦定理应注意以下四点： （1） （2） （3） （4） 知识点2 余弦定理的的证明 证法1： 证法2： 知识点3 余弦定理的简单应用 利用余弦定理可以解决以下两类解三角的问题： （1）已知三边求三角； （2）已知两边和它们的夹角，可以求第三边，进而求出其他角。 例1（山东高考）在△ABC 中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，tanC=73. (1) 求C cos ； (2) 若 =2 5 ,且a+b=9，求c.
1.2应用举例 知识点1 有关名词、术语 （1）仰角和俯角： （2）方位角： 知识点2 解三角形应用题的一般思路 （1）读懂题意，理解问题的实际背景，明确已知和所求，准确理解应用题中的有关术语、名称，如仰角、俯角、视角、方位角等，理清量与量之间的关系； （2）根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形模型； （3）合理选择正弦定理和余弦定理求解； （4）将三角形的解还原为实际问题，注意实际问题中的单位、结果要求近似等。 1.3实习作业 实习作业的方法步骤 （1）首先要准备皮尺、测角仪器，然后选定测量的现场（或模拟现场），再收集测量数据，最后解决问题，完成实习报告。要注意测量的数据应尽量做到准确，为此可多测量几次，取平均值。要有创新意识，创造性地设计实施方案，用不同的方法收集数据，整理信息。 （2）实习作业中的选取问题，一般有：○1距离问题，如从一个可到达点到一个不可到达点之间的距离，或两个不可到达点之间的距离；②高度问题，如求有关底部不可到达的建筑物的高度问题。一般的解决方法就是运用正弦定理、余弦定理解三角形。
2011年湖南省普通高中学业水平考试数学 A ：知道（包括识别、描述、举例等）——对所学过的内容（包括基础知识、基本方法、基本体验和基本思 想（下同））能准确识别和再认。 B ：了解（包括表示、辨别、比较等）——对所学过的内容能准确复述和直接应用。 C ：理解（包括解释、归纳、概括等）——对所学过的内容能进行理性分析和综合论证。 D ：应用（包括建模、解决、检验等）——能运用所学过的知识分析日常生活或生产实践中的问题. 必修5：考点复习---数列 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------- ★ 知识梳理 1、数列的概念与简单表示法 ①数列是定义域为_________(或它的有限子集{}12,， ...,n )的特殊函数，数列的通项公式就是相应函数的函数解析式。 ②前n 项和12n n S a a a =++?及数列的通项n a 与前n 项和n S 的关系： 12______________n n n S a a a a =++??=。 2、等差数列： (1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于___________，那么这个数列就叫做等 差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 (2)等差数列的判定方法: ①定义法：对于数列{}n a ，若________________ (常数)，则数列{}n a 是等差数列 ②等差中项：对于数列{}n a ，若_________________，则数列{}n a 是等差数列 (3)等差数列的通项公式: 如果等差数列{}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为_________________。 (4)等差数列的前n 项和: ___________________________n S == (5)等差中项: 如果a ，A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项即：__________A =。 (6)等差数列的性质:
一、知识纲要 (1)数列的概念，通项公式，数列的分类，从函数的观点看数列． (2)等差、等比数列的定义． (3)等差、等比数列的通项公式． (4)等差中项、等比中项． (5)等差、等比数列的前n 项和公式及其推导方法． 二、方法总结 1．数列是特殊的函数，有些题目可结合函数知识去解决，体现了函数思想、数形结合的思想． 2．等差、等比数列中，1a 、n a 、n 、)(q d 、n S “知三求二”，体现了方程(组)的思想、整体思想，有时用到换元法． 3．求等比数列的前n 项和时要考虑公比是否等于1，公比是字母时要进行讨论，体现了分类讨论的思想． 4．数列求和的基本方法有：公式法，倒序相加法，错位相减法，拆项法，裂项法，累加法，等价转化等． 三、知识内容： 1.数列 数列的通项公式：?? ?≥-===-)2() 1(111n S S n S a a n n n 数列的前n 项和：n n a a a a S ++++= 321 1、数列：按照一定顺序排列着的一列数． 2、数列的项：数列中的每一个数． 3、有穷数列：项数有限的数列． 4、无穷数列：项数无限的数列． 5、递增数列：从第2项起，每一项都不小于它的前一项的数列． 6、递减数列：从第2项起，每一项都不大于它的前一项的数列． 7、常数列：各项相等的数列． 8、摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列． 9、数列的通项公式：表示数列 {}n a 的第n 项与序号n 之间的关系的公式． 10、数列的递推公式：表示任一项n a 与它的前一项1n a -（或前几项）间的关系的公式． 例1.已知数列{}n a 的前n 项和为n n S n -=2 2,求数列{}n a 的通项公式. 当1=n 时，111==S a ,当2n ≥时，34)1()1(222 2-=-+---=n n n n n a n ,经检验 1=n 时 11=a 也适 合34-=n a n ,∴34-=n a n ()n N +∈ 2.等差数列 等差数列的定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。 等差数列的判定方法: （1）定义法：对于数列 {}n a ，若d a a n n =-+1(常数)，则数列{}n a 是等差数列。 （2）等差中项：对于数列{}n a ，若212+++=n n n a a a ，则数列{}n a 是等差数列。 等差数列的通项公式： 如果等差数列 {}n a 的首项是1a ，公差是d ，则等差数列的通项为d n a a n )1(1-+=。 说明：该公式整理后是关于n 的一次函数。 等差数列的前n 项和：①2)(1n n a a n S += ②d n n na S n 2 ) 1(1-+ = 说明：对于公式②整理后是关于n 的没有常数项的二次函数。 等差中项： 如果a ， A ，b 成等差数列，那么A 叫做a 与b 的等差中项。即：2 b a A += 或b a A +=2 说明：在一个等差数列中，从第2项起，每一项（有穷等差数列的末项除外）都是它的前一项与后一项的等差中项；事实上等差数列中某一项是与其等距离的前后两项的等差中项。 等差数列的性质： （1）等差数列任意两项间的关系：如果n a 是等差数列的第n 项，m a 是等差数列的第m 项，且n m ≤，公差为d ，则有 d m n a a m n )(-+=
第一节数列的概念与简单表示法 知识要点 1．数列的定义、分类与通项公式 (1)数列的定义： ①数列：按照一定顺序排列的一列数． ②数列的项：数列中的每一个数． (2)数列的分类： (3)数列的通项公式： 如果数列{a n}的第n项与序号n之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式． 2．数列的递推公式 如果已知数列{a n}的首项(或前几项)，且任一项a n与它的前一项a n (n≥2)(或前几项)间的关系可用一个公式来表示，那么这个公式叫数－1 列的递推公式．
3.对数列概念的理解 (1)数列是按一定“顺序”排列的一列数，一个数列不仅与构成它的“数”有关，而且还与这些“数”的排列顺序有关，这有别于集合中元素的无序性．因此，若组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的两个数列． (2)数列中的数可以重复出现，而集合中的元素不能重复出现，这也是数列与数集的区别． 4．数列的函数特征 数列是一个定义域为正整数集N*(或它的有限子集{1,2,3，…，n})的特殊函数，数列的通项公式也就是相应的函数解析式，即f(n) ＝a n(n∈N*)． 题型一：由数列的前几项求数列的通项公式 [例1] 下列公式可作为数列{a n}：1,2,1,2,1,2，…的通项公式的是( ) A．a n＝1 B．a n＝C．a n＝2－ D．a n＝ [自主解答] 由a n＝2－可得a1＝1，a2＝2，a3＝1，a4＝2，….[答案] C 变式：若本例中数列变为：0,1,0,1，…，则{a n}的一个通项公式为________． 答案： a n＝ 由题悟法 1．根据数列的前几项求它的一个通项公式，要注意观察每一项的特点，观察出项与n之间的关系、规律，可使用添项、通分、分割等办法，转化为一些常见数列的通项公式来求．对于正负符号变化，可用(－1)n或(－1)n＋1来调整． 2．根据数列的前几项写出数列的一个通项公式是不完全归纳法，它蕴含着“从特殊到一般”的思想．
课题: §2.3 等差数列的前n 项和 （第2课时） ●教学目标 知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究 的最值； 过程与方法：经历公式应用的过程； 情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。 ●教学重点 熟练掌握等差数列的求和公式 ●教学难点 灵活应用求和公式解决问题 ●教学过程 Ⅰ.课题导入 首先回忆一下上一节课所学主要内容： 1.等差数列的前n 项和公式1：2 )(1n n a a n S += 2.等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+ = Ⅱ.讲授新课 探究：——课本P51的探究活动 结论：一般地，如果一个数列{},n a 的前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，那么这个数列一定是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是多少？ 由2n S pn qn r =++，得11S a p q r ==++ 当2n ≥时1n n n a S S -=-=22()[(1)(1)]pn qn r p n q n r ++--+-+=2()pn p q -+
1[2()][2(1)()]n n d a a pn p q p n p q -∴=-=-+---+=2p 对等差数列的前n 项和公式2：2)1(1d n n na S n -+ =可化成式子： n )2 d a (n 2d S 12n -+=，当d ≠0，是一个常数项为零的二次式 [范例讲解] 等差数列前项和的最值问题 例4 解略 小结： 对等差数列前项和的最值问题有两种方法: （1） 利用n a : 当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值 当n a <0，d>0，前n 项和有最小值可由n a ≤0，且1+n a ≥0，求得n 的值 （2） 利用n S ： 由n )2 d a (n 2d S 12n -+=利用二次函数配方法求得最值时n 的值 Ⅲ.课堂练习 1．一个等差数列前4项的和是24，前5项的和与前2项的和的差是27，求这个等差数列的通项公式。 2．差数列{n a }中, 4a ＝－15, 公差d ＝3, 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值。 Ⅳ.课时小结 1．前n 项和为2n S pn qn r =++，其中p 、q 、r 为常数，且0p ≠，一定是等差数列，该数列的 首项是1a p q r =++ 公差是d=2p 通项公式是111,12(),2n n n S a p q r n a S S pn p q n -==++=?=?-=-+≥?当时当时 2．差数列前项和的最值问题有两种方法: （1）当n a >0，d<0，前n 项和有最大值可由n a ≥0，且1+n a ≤0，求得n 的值。
○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 1．等差数列99637419,27,39,}{S a a a a a a a n 项和则前已知中=++=++的值为（ ） A ．66 B ．99 C ．144 D ．297 2．已知数列{}n a 是公比为2的等比数列，若416a =，则1a = ( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 3．公差不为零的等差数列{}n a 的前n 项和为n S ．若4a 是37a a 与的等比中项, 832S =,则10S 等于（ ） A ．18 B ． 24 C ．60 D ． 90 4．已知等比数列}{n a 的公比为正数，且3a ·9a =22 5a ，2a =1，则1a =( ) A ． 2 1 B ．22 C ．2 D ．2 5．已知等差数列}{n a 的前n 项和为n S ，且854,18S a a 则-==（ ） A ．18 B ．36 C ．54 D ．72 6．等比数列{}n a 中，44=a ，则=?62a a （ ） A ．4 B ．8 C ．16 D ．32 7．数列{}n a 中,1 160,3n n a a a +=-=+，则此数列前30项的绝对值的和为 ( ) A.720 B.765 C.600 D.630 8．已知等比数列前n 项和为n S ，若42=S ,164=S ，则=8S （ ） A.160 B.64 C.64- D.160- 9．公比为2的等比数列{}n a 的各项都是正数，且311=16a a ?，则6a = （ ） （A ）1 （B ）2 （C ）4 （D ）8 10．数列{}n a 为等差数列，123,,a a a 为等比数列，51a =，则10a =（ ） A ．5 B ．1- C ．0 D ．1 11．已知等比数列{}n a 中，121a a +=， 458a a +=-，则公比q =（ ） （A ）2- （B ）2 （C ）12- （D ）12 12．观察下列数的特点，1,1,2,3,5,8,x,21,34,55,…中，其中x 是（ ） A ．12 B ．13 C ．14 D ．15 13．若n n n a a a a a -===++1221,6,3，则33a = （ ） A. -3 B. 3 C. -6 D. 6 14．已知数列{a n }满足 ，那么 的值是（ ） A ．20112 B ．2012×2011 C ． 2009×2010 D ．2010×2011 15． 数列 K ,4 31,321,211???的一个通项公式是
等差数列测试题 一、选择题（每小题5分，共40分） 1.设数列11,22,5,2，……则25是这个数列的 ( ) A.第六项 B.第七项 C.第八项 D.第九项 2.在-1和8之间插入两个数a ,b ，使这四个数成等差数列，则 ( ) A. a =2，b =5 B. a =-2，b =5 C. a =2，b =-5 D. a =-2，b =-5 3.首项为24-的等差数列，从第10项开始为正数，则公差d 的取值范围是 ( ) A.d ＞83 B.d ＞3 C.83≤d ＜3 D.83 ＜d ≤3 4．等差数列}{n a 共有n 2项，其中奇数项的和为90，偶数项的和为72，且3312-=-a a n ，则该数列的公差为 ( ) A ．3 B ．-3 C ．-2 D ．-1 5．在等差数列}{n a 中，,0,01110>，则在n S 中最大的负数为 ( ) A ．17S B ．18S C ．19S D ．20S 6.等差数列{a n }中，a 1=-5，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下的10项的平均值是4，则抽取的是: ( ) A.a 11 B.a 10 C.a 9 D.a 8 7.设函数f (x )满足f (n +1)= 2)(2n n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为 ( ) A.95 B.97 C.105 D.192 8．已知无穷等差数列{a n }，前n 项和S n 中，S 6S 8 ,则 ( ) A ．在数列{a n }中a 7最大 B ．在数列{a n }中,a 3或a 4最大 C ．前三项之和S 3必与前11项之和S 11相等 D ．当n ≥8时，a n <0 二、填空题（每小题6分，共30分） 9．集合{}*6,,且60M m m n n N m ==∈<中所有元素的和等于_________. 10．在等差数列{}n a 中，37104118,14.a a a a a +-=-=-记123n n S a a a a =++++L ，则13S =_____
数列的概念与简单表示法 [考纲传真]1.了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式).2.了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数． 【知识通关】 1．数列的有关概念 n n 若数列{a n }的前n 项和为S n ， 则a n ＝??? S 1，n ＝1， S n －S n －1，n ≥2. 4．数列的分类 [
求数列的最大(小)项，一般可以利用数列的单调性，即用??? a n ≥a n －1， a n ≥a n ＋1.(n ≥2， n ∈N *)或?? ? a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1 (n ≥2，n ∈N *)求解，也可以转化为函数的最值问题或利 用数形结合思想求解． 【基础自测】 1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)一个数列中的数是不可以重复的．( ) (3)所有数列的第n 项都能使用公式表达．( ) (4)根据数列的前几项归纳出的数列的通项公式可能不止一个．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)√ 2．已知数列11×2，12×3，13×4，…，1 n (n ＋1) ，…，下列各数中是此数列中的项的是( ) A .135 B .142 C .148 D .154 B 3．设数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 8的值为( ) A ．15 B ．16 C ．49 D ．64 A 4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n a n －1(n ≥2)，则a 5等于( ) A .32 B .53 C .85 D .23 D 5．根据下面的图形及相应的点数，写出点数构成的数列的一个通项公式a n ＝________. 5n －4
课题：2.2.1等差数列 教学目标： 1.知识目标：理解等差数列的概念，了解等差数列的通项公式的推导过程及思想，掌握等差数列的通项公式。 2.能力目标：培养学生观察、归纳能力，在学习过程中，体会归纳思想和化归思想并加深认识；通过概念的引入与通项公式的推导，培养学生分析探索能力，增强运用公式解决实际问题的能力 3.情感目标： ①通过个性化的学习增强学生的自信心和意志力。 ②通过师生、生生的合作学习，增强学生团队协作能力的培养，增强主动与他人合作交流的意识。 ③体验从分外到大凡，又到分外的认知规律，培养学生勇于创新的科学精神。 教学重点： 教学重点是等差数列的定义和对通项公式的认识与应用。确凿把握定义是正确认识等差数列，解决相关问题的前提条件。通项公式是研究一个数列的严重工具。 教学难点： （1）理解等差数列“等差”的特点及通项公式的含义。 （2）等差数列的通项公式的推导过程及应用。 学情分析： 高一学生对数列已经有了初步的接触和认识，对方程、数学公式的运用具有一定技能，一开始就注意培养学生自主合作探究的学习习惯，学生思维比较活跃，课堂参与意识较浓。
授课类型：新授课 课时安排：2课时 教具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、情景引入： 1．观察梯田图片让学生对等差数列有一个直观的认识。 2．由生活中详尽的数列实例引入 （1）在过去的三百多年里，人们分别在下列时间里观测到了哈雷慧星，你能预测出下一次的大致时间吗？ 1682，1758，1834，1910，1986，（） （2）你能根据规律在（）内填上适合的数吗？ 1，4，7，10，（），16，… 2，0，-2，-4，-6，（）… 引导学生观察：以上3个数列有何规律? 引导学生得出“从第2项起，每一项与前一项的差都是同一个常数”，我们把这样的数列叫做等差数列.（板书课题） 二.新课探究，推导公式 1.学生自主归纳等差数列的概念． 如果一个数列,从第二项开始它的每一项与前一项之差都等于同一常数，这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d来表示。 强调： ①“从第二项起”满足条件；
一．选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分． 1．数列 ,16 1 ,81,41,21--的一个通项公式可能是（ ） A ．n n 21)1(- B ．n n 2 1)1(- C ．n n 21 )1(1-- D ．n n 2 1)1(1 -- 2．在等差数列{}n a 中， 22a =，3104,a a =则＝( ) A ．12 B ．14 C ．16 D ．18 3．如果等差数列{}n a 中，34512a a a ++=，那么127...a a a +++=( ) （A ）14 （B ）21 （C ）28 （D ）35 4.设数列{}n a 的前n 项和3 S n n =，则4a 的值为( ) （A ） 15 (B) 37 (C) 27 （D ）64 5.设等比数列{}n a 的公比2q =，前n 项和为n S ，则 4 2 S a =（ ） A ．2 B ．4 C ． 2 15 D ． 2 17 6.设n S 为等比数列{}n a 的前n 项和，已知3432S a =-，2332S a =-，则公比q =（ ） （A ）3 （B ）4 （C ）5 （D ）6 7. 已知 ,2 31,2 31-= += b a 则b a ,的等差中项为（ ） A ．3 B ．2 C ．3 D ． 2 8．已知}{n a 是等比数列，22a =，51 4 a = ，则12231n n a a a a a a ++++=（ ） A ． 32(12)3n -- B ．16(14)n -- C ．16(12)n -- D ．32 (14)3 n -- 9.若数列}{ n a 的通项公式是(1)(32)n n a n =--，则1220a a a ++???+= ( ) （A ）30 （B ）29 （C ）-30 （D ）-29 10.已知等比数列{}n a 满足0,1,2,n a n >=，且25252(3)n n a a n -?=≥，则当1n ≥时， 2123221log log log n a a a -+++=（ ） A. (21)n n - B. 2(1)n + C. 2 n D. 2 (1)n -
数列的概念与简单表示讲义 【知识要点】： 知识点一：数列的概念 ⒈数列的定义：按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意：⑴数列的数是按一定次序排列的，因此，如果组成两个数列的数相同而排列次序不同，那么它们就是不同的数列； ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同，因此，同一个数在数列中可以重复出现. ⒉数列的项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第1项，第2项，…，第项，….其中数列的第1项也叫作首项。 3. 数列的一般形式：，或简记为，其中是数列的第项 知识点二：数列的分类 1. 根据数列项数的多少分： 有穷数列：项数有限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6是有穷数列 无穷数列：项数无限的数列.例如数列1，2，3，4，5，6，…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分： 递增数列：从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列：从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列：各项相等的数列。 摆动数列：从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列 知识点三：数列的通项公式与前项和 1. 数列的通项公式 如果数列的第项与之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的通项公式. 如数列：的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 的通项公式为（）； 注意：（1）并不是所有数列都能写出其通项公式； （2）一个数列的通项公式有时是不唯一的，如数列：1，0，1，0，1，0，…； 它的通项公式可以是，也可以是. （3）数列通项公式的作用：①求数列中任意一项；②检验某数是否是该数列中的一项. （4）数列的通项公式具有双重身份，它表示了数列的第项，又是这个数列中所有各项的一般表示．
等差数列教学设计 一、教学目标： 知识与能力：理解等差数列的定义；掌握等差数列的通项公式；培养学生的观察、归纳 能力，应用数学公式的能力及渗透函数、方程思想 过程与方法：经历等差数列的产生过程和应用等差数列的基本知识解决问题的能力。 情感态度与价值观：通过等差数列概念的归纳概括，培养学生的观察、分析能力，体验 从特殊到一般认知规律，培养学生积极思维，追求新知的创新意识。 二、教学重点：理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式，体会等差数列与一次函数 之间的联系。 三、教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 四、教学准备：根据本节知识的特点，为突出重点、突破难点，增加教学容量，便于学生更 好的理解和掌握所学的知识，我利用计算机辅助教学。 五、教学过程： （一） 创设情境，课题导入 复习上节课学习的数列的定义及数列的表示法。这些方法从不同的角度反映了数列的特点，下面我们来看这样的一些数列：（大屏幕显示课本41页的四个例子） ⑴、0 5 10 15 20 … … ⑵、48 53 58 63 ⑶、18 15.5 13 10.5 8 5.5 ⑷、10072 10144 10216 10288 10360 教师提出问题：以上四个数列有什么共同的特征？请同学们互相讨论。 （学生积极讨论。得到结论，教师指名回答） 共同特点：从第2项起，每项与它的前一项的差是同一个常数。 师：这些数列均具有相邻两项之差“相等”的特点，具有这种特点的数列，我们把它叫 做等差数列。 （二）设置问题，形成概念 等差数列：一般地，如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的差等于同一个 常数，那么这个数列就叫做等差数列。这个常数就叫做等差数列的公差， 常用字母d 表示。 师：等差数列的概念中的几个关键点是什么？ 生（思考、讨论）：第2项、每一项与它的前一项、同一个常数 教师在进一步强调。 师：如何用数学语言来描述等差数列的定义？ 学生讨论后得出结论： 数学语言：d a a n n =--1 ）2(≥n 或 d a a n n =-+1 n (≥1) (学生通过讨论，从而不断完善自己的认知结构) 师：同学们能否举一些等差数列的例子？ （学生争先恐后地发言，教师随机指定两名学生回答。） 理解等差数列的概念是本节课的重点，为了加深对概念的理解，让学生讨论课本45页练习第4题，教师总结。 （三）等差数列的通项公式 师：如同我们在前一节看到的，能否确定一个数列的通项公式对研究这个数列具有重
高一数学必修5数列新容：数列与等差数列 数列的概念与简单表示法 数列的分类： （1）据数列的项数是否有限可分类为有穷数列、无穷数列. （2）据数列的项大小关系可分类为 ①递增数列：从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列; ②递减数列：从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列; ③常数数列：各项相等的数列; ④摆动数列：从第二项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列. 练习： 1、下列给出数列，试从中发现变化规律，并填写括号的数 （1）()() 1,3,6,10,,21,,??????; （2）()() 3,5,9,17,33,,,??????; （3）() 1,4,9,16,,36,??????. 2.下面数列中递增数列是，递减数列是，常数数列是，摆动数列是 （1）0,1,2,3,??????;（2）82,93,105,119,129,130,132;（3）3,3,3,3,3,??????; （4）100，50，20，10，5，2，1，0.5，0.2，0.1，0.05，0.02，0.01; （5）1,1,1,1,1, ---??????;（6精确到1,0.1,0.01,0.001,???的不足近似值与过剩近似值分别构成数列1,1.4,1,1.141,1.414,;2,1.5,1.42,1.415, ????????????. 3.据下列数列的前几项，写出下列数列的一个通项公式 （1）1,3,5,7,9??????; （2）9,7,5,3,1,??????; （3） 2222 21314151 ;,;; 2345 ---- （4） 1111 ,,,, 12233445 ---- ???? .
2.1 等差数列（一） 教学目标 1．知识与技能:通过实例，理解等差数列的概念；探索并掌握等差数列的通项公式；能在具体的问题情境中，发现数列的等差关系并能用有关知识解决相应的问题； 2. 过程与方法:让学生对日常生活中实际问题分析，引导学生通过观察，推导， 归纳抽象出等差数列的概念；由学生建立等差数列模型用相关知识解决一些简单的问题。 3．情态与价值:培养学生观察、归纳的能力，培养学生的应用意识。 教学重点：理解等差数列的概念及其性质，探索并掌握等差数列的通项公式； 会用公式解决一些简单的问题。 教学难点：概括通项公式推导过程中体现出的数学思想方法。 教学过程： 创设情境导入新课 上节课我们学习了数列。在日常生活中，人口增长、鞋号问题、教育贷款、存款利息等等这些大家以后会接触得比较多的实际计算问题，都需要用到有关数列的知识来解决。今天我们就先学习一类特殊的数列。 先看下面的问题： 为了使孩子上大学有足够的费用，一对夫妇从小孩上初一的时候开始存钱，第一次存了5000元，并计划每年比前一年多存2000元。若小孩正常考上大学，请问该家长后5年每年应存多少钱？ 引导学生行先写出这个数列的前几项：7000，9000，11000，13000，15000 观察这个数列项的变化规律，提出生活中这样样问题很多，要解决类似的问题，我们有必要研究具有这样牲的数列——等差数列 师生互动新课探究 像这样的数列你能举出几个例子吗？ 0，5，10，15，20，……① 18，15.5，13，10.5，8，5.5 ③ 48，53，58，63 ② 3，3，3，3，3，……④
看这些数列有什么共同特点呢？（由学生讨论、分析） 引导学生观察相邻两项间的关系，得到： 对于数列①，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列②，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 5 ； 对于数列③，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 -2.5 ； 对于数列④，从第2项起，每一项与前一项的差都等于 0 ； 由学生归纳和概括出，以上四个数列从第2项起，每一项与前一项的差都等于同一个常数（即：每个都具有相邻两项差为同一个常数的特点）。 归纳总结 形成概念 对于以上几组数列我们称它们为等差数列。请同学们根据我们刚才分析等差数列的特征，尝试着给等差数列下个定义： 等差数列：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列。 这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d 表示。那么对于以上四组等差数列，它们的公差依次是5，5，-2.5，0。 注意：从第二项起．．．．．，后一项减去前一项的差等于同一个常数．．．．． 。 1．名称：等差数列，首项 )(1a ， 公差 )(d 2．若0=d 则该数列为常数列 3．寻求等差数列的通项公式： d a d d a d a a d a d d a d a a d a a 3)2(2)(1134112312+=++=+=+=++=+=+= 由此归纳为 d n a a n )1(1-+= 当1=n 时 11a a = （成立） 选讲：除此之外，还可以用迭加法和迭代法推导等差数列的通项公式： （迭加法）： }{n a 是等差数列，所以 ,1d a a n n =-- ,21d a a n n =--- ,32d a a n n =--- …… ,12d a a =- 两边分别相加得 ,)1(1d n a a n -=- 所以 d n a a n )1(1-+=
2.1 数列的概念与简单表示法 2.1.1 数列的概念与简单表示法(一 从容说课 本节课先由教师提供日常生活实例，引导学生通过对实例的分析体会数列的有关概念，再通过对数列的项数与项之间的对应关系的探究，认识数列是一种特殊的函数，最后师生共同通过对一列数的观察、归纳，写出符合条件的一个通项公式.通过本节课的学习使学生能理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系；了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项；对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 教学重点 数列及其有关概念，通项公式及其应用 教学难点 根据一些数列的前几项抽象、归纳数列的通项公式 教具准备 课件 三维目标 一、知识与技能 1.理解数列及其有关概念，了解数列和函数之间的关系； 2.了解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项； 3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的通项公式 二、过程与方法 1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析、得出结论的方法进行启发式教学； 2.发挥学生的主体作用，作好探究性学习； 3.理论联系实际，激发学生的学习积极性 三、情感态度与价值观 1.通过日常生活中的大量实例，鼓励学生动手试验.理论联系实际，激发学生对科学的探究精 神和严肃认真的科学态度，培养学生的辩证唯物主义观点； 2.通过本节课的学习，体会数学来源于生活，提高数学学习的兴趣 教学过程 导入新课 师 课本图211中的正方形数分别是多少？ 生 1，3，6，10， 师 图212中正方形数呢？ 生 1，4，9，16，25， 师 像这样按一定次序排列的一列数你能否再举一些？ 生 -1的正整数次幂：-1，1，-1，1， 无穷多个数排成一列数：1，1，1，1， 生 一些分数排成的一列数： 32，154，356，638，99 10 ， 推进新课 ［合作探究］ 折纸问题 师 请同学们想一想，一张纸可以重复对折多少次？请同学们随便取一张纸试试(学生们兴趣一定很浓 生 一般折5、6次就不能折下去了，厚度太高了 师 你知道这是为什么吗？我们设纸原来的厚度为1长度单位，面积为1面积单位，随依次折
数列部分知识点梳理 一数列的概念 1）数列的前n 项和与通项的公式①n n a a a S +++= 21； ???≥-==-)2() 1(11 n S S n S a n n n 2）数列的分类：①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1.②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1.③摆动数列:例如: .,1,1,1,1,1 ---④常数数列:例如:6,6,6,6,…….⑤有界数列:存在正数M 使+∈≤N n M a n ,.⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得M a n >. 一、等差数列 1）通项公式d n a a n )1(1-+=，1a 为首项，d 为公差。前n 项和公式2 ) (1n n a a n S +=或 d n n na S n )1(2 1 1-+=. 2）等差中项：b a A +=2。 3）等差数列的判定方法：⑴定义法：d a a n n =-+1（+∈N n ，d 是常数）?{}n a 是等差数列；⑵中项法：212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 4）等差数列的性质： ⑴数列{}n a 是等差数列，则数列{}p a n +、{}n pa （p 是常数）都是等差数列； ⑵在等差数列{}n a 中，等距离取出若干项也构成一个等差数列，即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列，公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=；b an a n +=(a ,b 是常数)；bn an S n +=2(a ,b 是常数，0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ，则q p n m a a a a +=+； ⑸若等差数列{}n a 的前n 项和n S ，则? ?? ???n S n 是等差数列； ⑹当项数为)(2+∈N n n ，则n n a a S S nd S S 1,+==-奇偶奇偶； 当项数为)(12+∈-N n n ，则n n S S a S S n 1 , -==-奇偶偶奇. (7)设是等差数列，则 （是常数）是公差为 的等差数列； (8)设 ， ， ，则有 ； (9) 是等差数列的前项和，则； (10)其他衍生等差数列：若已知等差数列，公差为，前项和为 ，则 ①．为等差数列，公差为 ； ②． （即 ）为等差数