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第五章 矩阵分析
本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识.
§5.1 向量与矩阵的范数
从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用.
一、向量的范数
定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：
1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有x =0；
2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有
;x k kx =
3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有
y
x y x +≤+，
则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数.
例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义
2
22212
n
x x x x
+++=
则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模].
证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足
1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有
22||||||kx k x =
=；
3）三角不等式
对任意复向量
1212(,,
,),(,,
,)T T n n x x x x y y y y ==，有
222
221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++
++
2221122()()()n n x y x y x y ≤++++
++
2
2
1
1
1
||2||||||n
n
n
i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ不
等式）
22
2222
2
22||||2||||||||||||(||||||||),
x x y y x y ≤++=+
因此
222||||||||||||x y x y +≤+
所以
2||||x 确为n C 上的一种向量范数
例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义
112||||||||||n x x x x =+++，
1max i
i n
x
x ∞
≤≤=，
则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数.
证 仅对后者进行证明.
1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞=>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，
max max ;i i i
i
kx
kx k x k x ∞
∞===
3）三角不等式 对任意向量1212(,,
,),(,,
,),T T n n x x x x y y y y ==
()i i i
i i i
y x y x y
x +≤+=+∞
max max
i
i
i i
y x max max +≤
=∞∞+y x . 综上可知∞x 确为向量范数.
上两例中的∞x x x ,,21是常用的三种向量范数.
一般地，对于任何不小于1的正数p ，向量()T
n x x x x ,,,21 =的函数
p
n
i p i p
x x
1
1??
? ??=∑=
也构成向量范数，称为向量的p -范数.
注（1）当1p =时，1;p x x =
（2）当2p =时，2x 为2-范数，它是酉空间范数；当i x 为实数时，
1
22
21()
n
i i x x ==∑为欧氏空间范数；
由p -范数的存在，可知向量的范数有无穷多种，而且，向量的范数并不仅限于p -范数.在验证向量的范数定义中，三角不等式的过程中常涉及到两个著名的不等式，即：
1、H?lder 不等式 设正实数,p q 满足
11
1,p q
+=则对任意的,,n x y C ∈有
111
1
1
()()
n
n
n
p
q p
q
i i
i i i i i x y
x y ===≤∑∑∑
2、Minkowski 不等式 对任意实数1p ≥,及,,n x y C ∈有
（11111
1
()()()
n
n
n
p
p p
p
p
p
i i
i i i i i x y x y ===+≤+∑∑∑）.
例3 设()T n 1,,1,1 =为n 维向量，则
1,,
2
1===∞
x
n x
n x
各种范数值差距很大.但是，各种范数之间却存在着内在的制约关系，称为范数的等价性.
定理1 设βα??,为有限维线性空间V 的任意两种向量范数（它们不限于p -范数），则存在正的常数12,C C ,使对一切向量
x ，恒有
β
αβ
x
C x x
C 21≤≤
(1)
证 如果范数x α和x β都与一固定范数譬如2-范数2x 满足式（1）的关系，则这两种范数之间也存在式（1）的关系，这是因为若存在正常数12,C C ''和12,C C ''''，使
12
2212
2,C x x C x C x
x C x α
β
β
''≤≤''''≤≤
成立，则显然有
112
2||||||||||||C C x x C C x βαβ''''''≤≤ 令111222,C C C C C C ''''''==，则得式（1），因此只要对2β=证明或（1）成立即可.
设V 是n 维的，它的一个基是12,,,n x x x ，于是V
中的任意向量x 可
表示为1122n n x x x x ξξξ=++
+
从而，1122n n x x x x ααξξξ=+++可视为n 个变量12,,,n ξξξ的
函数，记为12(,,,)n x α?ξξξ=，易证12(,,,)n ?ξξξ是连续函数，事
实上，若令1122n
n x x x x V ξξξ''''=++
+∈,则
12
(,,,)n
x α?ξξξ''''=. 12
12(,,,)(,,,)n n x x x x ααα
?ξξξ?ξξξ'''''-=-≤- 11111()()n
n n n
n n x x x x α
αα
ξξξξξξξξ''''=-++-≤-+
+-.
由于i x α
(1,2,
,)i n =是常数，因此i ξ'与i
ξ充分接近时，
12
(,,,)n ?ξξξ'''就与12(,,,)n ?ξξξ充分接近，所以12(,,
,)n ?ξξξ是连续
函数.
所以在有界闭集{}22
2
1212(,,,)1
n S ξξξξξξ=++
+=上，
函数12(,,
,)n ?ξξξ可达到最大值2C 及最小值1C .因此在S 中，
i ξ不能全为零，所以10C >.记向量
1
2
122
2
2
n
n y x x x x
x
x
ξξξ=
+
+
+
，
则其坐标分量满足2
2
2
1
2
122
2
2
1n
x x x
x
x
ξξξ+
+
+
=，
因此，y S ∈.从而有
111222
20,,n C y
C x
x x α
ξξξ???
<≤=≤ ? ???
. 但2
,x y x
=故
122
x C C x
α'≤
≤.
即 12222C x x C x ≤≤.
二、矩阵的范数
定义2 设V 是数域F 上所有n m ?矩阵的集合，A 是定义在
V
上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件：对V 中任意矩阵A 、B 及F 中任意常数k 总有
1）非负性 0≥A 并且仅当0=A 时，才有0=A ； 2）齐次性 A k kA =； 3）三角不等式 B A B A +≤+；
则称()?A 是V 上的一种矩阵范数.
例4 对n m C ?（或n m R ?）上的矩阵A ()ij a =定义
∑∑===m i n
j ij
M a A
11
1
，
∑∑===
m i n
j ij
M a A
1122
，
11max ij
M i m j n
A a ∞
≤≤≤≤=，
则∞
???M M M ,,2
1
都是n m C ?（或n m R ?）上的矩阵范数.
实用中涉及较多的是方阵的范数，即m n =的情形. 定义3 设F 是数域，?是n n F ?上的方阵范数.如果对任意的,n n A B F ?∈，总有
AB A B
≤?，
则说方阵范数?具有乘法相容性.
注意：在某些教科书上，往往把乘法相容性直接纳入方阵范数的定义中作为第4个条件，在读书时，只要注意到各自定义的内涵就可以了.
例5 对n n C ?上的矩阵][A ij a =定义ij
n
j i a n A ≤≤?=,1max ，则?是一
种矩阵范数，并且具备乘法相容性.
证 非负性与齐次性显然成立，另两条证明如下：三角不等式
ij
ij b a n B A +?=+max
()max max ij ij
n a b ≤+
B A +=； 乘法相容性
??
?
???≤?=∑∑==n k kj ik n
k kj ik b a n b a n AB 11max max
()()B A b n a n ij ij =?≤max max ， 证得A 为矩阵范数且具有乘法相容性.
并不是所有的方阵范数都具有乘法相容性.例如对于22?R 上的方阵范数.M ∞
就不具备相容性条件.此时
ij
j i M a A
2
,1m ax ≤≤=∞
.
取 1110,0111A B ??
??
== ? ?????
，
则有 1==∞
∞
M M B A ，
而 2M M M AB A B ∞
∞
∞
=>.
定义4 如果n 阶矩阵A 的范数A 与n 维向量x 的范数x ，使对任意n 阶矩阵A 及任意n 维向量x 均有x A Ax ≤，则称矩阵范数A 与向量范数x 是相容的.
定理2 设x 是某种向量范数，对n 阶矩阵A 定义
Ax
x
Ax A x x 1
max max
=≠==
（2）
则A 为方阵范数，称为由向量范数x 导出的矩阵范数，而且它具有乘法相容性并且与向量范数x 相容.
证 首先可证，由（2）式定义的函数关系||||A 满足与向量范数||||x 的相容性.对于任意n 阶矩阵A 及n 维向量x ，当0x ≠时，有
0||||||||
max ||||||||||||
y Ax Ay A x y ≠≤=， 即 ||||||||||||;Ax A x ≤
（3）
而当0x =时，||||0||||||||Ax A x ==，于是总有（3）式成立.
容易验证||||A 满足范数定义中的非负性、齐次性及三角不等式三个条件，因而A 是一种方阵范数.并且，对任意n 阶矩阵
,A B ，利用（2）式和（3）式可得
max
max
max
x x x A Bx
ABx Bx AB A A B
x
x
x
≠≠≠=≤==.
即说矩阵范数A 具备乘法相容性.
一般地，把由向量p -范数p x 导出的矩阵范数记作p A .下面看常用的三种矩阵范数：
例6 证明：对n 阶复矩阵[]i j A a =，有 1）11max n
ij
j n
i A
a ∞
≤≤==∑，称为A 的列和范数. 2）
11
max n
ij
j n
j A
a ∞
≤≤==∑，称为A 的行和范数.
证 1）设11
1
max n
n
ij ik j n
i i w a a ≤≤===∑∑.若A 按列分块为12(,,,)n A ααα=
则1
1
1max k
j
j n
w αα≤≤==.任意n 维向量12
(,,)T n x x x x =，有
1122112211111
121
11()max .
n n n n
n j
j n
Ax x x x x x x x x x x w ααααααα≤≤+++≤++
+≤+++≤＝
于是，对任意非零向量x 有
11
Ax w x ≤. 以下证明存在非零向量k e 使
1
1
k k
Ae w e =.事实上，设k e 是第k 个
分量为1而其余分量全为0的向量，则1k e =1,且
1k ik i Ae a w =∑n
=1＝,
即
1
1
k k
Ae w e =.
2）的证明与1）相仿，留给读者去完成.
例7 证明对n 阶复矩阵A ，有
21max i i n
A σ≤≤=，
这里()n i i ,,2,1 =σ是A 的奇异值，称此范数为A 的谱范数.
证 设H A A 的全部特征根为12,,n λλλ不妨设11max i i n
λλ≤≤=.于是
11max i i n
σσ≤≤==.因为H A A 为H -矩阵，故有酉矩阵U ，使得
,
,H H U A AV diag λλλ=Λ=12n (,).
如设12(,,,)n U u u u =则i u 是H A A 相应于特征根i λ的单位特征向量，
即有
,H i i i A A u u λ=
2
1i
u =.
对任意满足2||||1x =的复向量12(,,
,)T n x x x x =
，有
22||||()()H H Ax Ax Ax x ==H
U U x Λ
令H y U x =，则222
222||||||||||||1H y U x x ===，说明y 亦为单位向量.若设
12(,,
,)T n y y y y =,则
2
221
||
||||1n
i
i y y ===∑
于是 2
22
11
||||||n
H
i i i Ax y y y λλ==Λ=≤∑.
即有
12Ax σ≤.
由x 的任意性，便得
21221
max x A Ax σ==≤
特别取1x u =，则有211111112H H H Au u A Au u u λλ==＝， 即
112Au σ=.
这说明2Ax 在单位球面{}21,n
x
x x C =∈上可取到最大值1
σ，
从而
证明了
21221
max x A Ax σ===
各种矩阵范数之间也具有范数的等价性
定理3 设,a A A β是任意两种矩阵范数 则有正实数12,,C C 使对一切矩阵A 恒有
12a C A A C A ββ≤≤
§5.2 向量与矩阵序列的收敛性
在这一节里，我们将把数列极限的概念，扩展到向量序列与矩阵序列上去.
可数多个向量（矩阵）按顺序成一列，就成为一个向量（矩阵）序列， 例如
()()
()12(,,
,)k k k T
k n x x x x =，1,2,3,
k =
是一个n 维向量序列，记为{}k x ，诸k x 的相应分量则形成数列
{}k i x .
定义 5 设有向量序列()()
()12{}:(,,,)
k k k T
k k
n x x x x x =.如果对
1,2
,i n =，
数列(){}k i x 均收敛且有()lim
k i i k x x →∞
=，则说向量序列{}k x 收敛.如记12(,,
,)T n x x x x =，则称x 为向量序列{}k x 的极限，记为lim k k x x →∞
=，
或简记为k x x →.
如果向量序列{}k x 不收敛，则称为发散.类似于数列的收敛性质，读者不难证明向量序列的收敛性具有如下性质.
设{},{}k k x y 是n C 中两个向量序列，,a b 是复常数，n ,m A C ?∈如
果lim ,lim k k k k x x y y →∞→∞
==，则 1lim();
2lim .
k k k k k ax by ax by Ax Ax →∞
→∞
>+=+>=
定理 4 对向量序列{}k x ，x x k =∞
→k lim 的充分必要条件是0lim =-∞
→x x k k ，其中?
是任意一种向量范数.
证明1）先对向量范数i n
i x x ≤≤∞=1max 证明定理成立.有i k i k k k x x x x =?=∞
→∞
→)(lim lim
，n i ,...,2,1=；
,0lim )(=-?∞
→i k i k x x n i ,...,2,1=； 0max lim )(1=-?≤≤∞→i k i n
i k x x ；
0lim =-?∞
∞
→x
x k k .
2）由向量范数等价性，对任一种向量范数?，有正实数
21,b b ，使∞
∞
-≤-≤-x
x b x x x
x b k k k 21.令∞→k 取极限即知
lim 0lim 0k k k k x x x x
∞
→∞
→∞
-=?-=.
于是定理对任一种向量范数都成立.
根据上述定义，向量序列有极限的根本之处在于各分量形成的数列都有极限.
由于m n C ?中矩阵可以看作一个mn 维向量，其收敛性可以和
mn C 中的向量一样考虑.因此，我们可以用矩阵各个元素序列的
同时收敛来规定矩阵序列的收敛性.
定义 6 设有矩阵序列{}n m k ij k k a A A ?=][:)
(，如果对任何
,(1,1)i j i m j n ≤≤≤≤，均有
ij k ij k a a =∞
→)
(lim 则说矩阵序列{}k A 收敛，如令n m ij a A ?=][，又称A 为{}k A 的极限.记为,lim A A k k =∞
→或A A k →. 矩阵序列不收敛时称为发散.
讨论矩阵序列极限的性质，以下设所涉及的矩阵为n 阶矩阵：
1) 若A A k k =∞→lim ，{}k a 为数列且a a k k =∞→lim ，则()aA A a k k k =∞
→lim . 特别，当a 为常数时，()k k k k A a aA ∞
→∞→=lim lim . 2) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()B A B A k k k ±=±∞→lim . 3) 若A A k k =∞→lim ，B B k k =∞→lim ，则()AB B A k k k =∞
→lim . 4) 若A A k k =∞
→lim 且诸k A 及A 均可逆，则{}1-k A 收敛，并且 11lim --∞
→=A A k k .
容易证明性质1)-3)成立，对性质4)注意到行列式k A 值定义的和式无非是k A 中元素()(,1,2,,)k ij a i j n =的乘法与加法之组合，再由
lim k →∞
(),k ij ij a a =
即可知
lim k k A A
→∞
=
用()k ij A 表示Ak 中(,)i j 元素的代数余子式，用ij A 表示A 中（,i j ）元素的代数余子式，便有
()lim k ij ij k A A →∞
=.
进而 **lim k k A A →∞
=. 这里*k A 是k A 的伴随矩阵，*A 是A 的伴随矩阵.又
*
1k
k
k A A A -=
，
所以*1
1lim k
k A A A A
--→∞
==. 定理5 对于矩阵序列{}k A ，lim k k A A →∞
=的充分必要条件是对任何一种矩阵范数?,有lim
0k k A A →∞
-= 定理5的证明与定理4类似，由于矩阵范数的等价性，只需证明对矩阵范数
,max ij
i j
A a =定理成立，其方法也与定理4的
证明一致，这里从略.
以下主要介绍范数在特征值估计方面的应用. 定义7 设n n A C ?∈,1,
,,
,j n λλλ为A 的n 个特征值，称
()max j j
A ρλ=
为A 的谱半径.
有了谱半径的概念，可以对矩阵范数作如下的初步估计. 定理6 设n n A C ?∈,则对n n C ?上的任一矩阵范数?，皆有 ()A A ρ≤
证 设λ是A 的特征值，x 为A 的属于特征值λ的特征向量，故0x ≠，所以0x ≠.另设v ?是n C 上与矩阵范数?相容的向量范数，由Ax x λ=，应有 v v Ax x λ=
而v v Ax A x ≤,于是有
v v x A x λ≤
同除0v x ≠，有 A λ≤. 故
max j
A
λ≤,
于是 ()A A ρ≤.
定理7 设n n A C ?∈，lim 0k k A →∞
=的充分必要条件是()1A ρ<. 证 对n n A C ?∈,由定理3.5.1知，存在n 阶的逆矩阵P 使得
112(,,
,)s P AP J diag J J J -==,
其中
1
01
10i i
i i
i i
i n n J λλλλ??? ? ?
?= ? ? ??
?, 则
112(,,
)k k k k k s P A P J diag J J J -==.
因此lim
0lim 0lim 0(1,2,,)k k k i k k k A J J i s →∞→∞→∞
=?=?==.而 (1)1
1()()()()2(1)()
()
1
()2()()i n k i k i k i k i i k i k i k
i k i k i k i f f f f n f f J f f f λλλλλλλλλ-?
?
''' ?
- ?' ? ?
?= ?'' ? ?' ?
?
?
?
！！
！
其中
()k
k f λλ=因为对任一多项式
(),
g λ当k →∞时，
()01k
i i g k λλ→?<.而1(1,2,
,)()1i i s A λρ<=?<.
由定理6和定理7即得如下结果.
定理8 设n n A C ?∈,如果存在n n C ?上的一种相容矩阵范数.使1A <，则lim
k →∞
0k A =
§5.3 矩阵的导数
本节讨论三种导数：矩阵对变量的导数、函数对矩阵的导数、矩阵对矩阵的导数
一、函数矩阵对变量的导数
如果矩阵中诸元素都是某实变量x 的函数，则称这种矩阵为函数矩阵.它的一般形式是
()??
??
?
?
?
??=)()
()()()()()()()(21
22221
11211x a x a x a x a x a x a x a x a x a x A mn m m n n ， 其中()()1,2,,;1,2,,ij a x i m j n ==都是实变量x 的函数.
定义8 设函数矩阵()[()]ij m n A x a x ?=，如果对一切正整数
(),1,1i j i m j n ≤≤≤≤，均有
()0
lim ij ij x x a x b →=
则说当0x x →时函数矩阵()A x 有极限,n m ij b B ?=][叫做()A x 的极限,
记为()0
lim
x x
A x
B →=. 该定义的实质是：如果()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处都有
极限，则说()A x 在0x 处有极限()A x .
若()A x 的所有各元素()ij a x 在0x 处连续，即
0lim ()()ij x x A x a x →=
(1,2,,;1,2,
,)i m j n ==
则称A ()x 在0x x =处连续，且记为0
0lim ()()x x
A x A x →=.如果()A x 在某区间[,]a b 上处处连续，则说()A x 在[,]a b 上连续.
容易验证下列等式是成立的： 设()()0
lim ,lim x x x x
A x A
B x B →→==，则 （1）0
lim(()())x x
A x
B x A B →±=±； （2）()0
lim ()x x
kA x kA →=； （3）()0
lim ()()x x
A x
B x AB →=. 定义9 对于函数矩阵()n m ij x a x A ?=)]([，如果所有元素
()()n
j m i x a ij ,,2,1;,,2,1 ==在某点x 处[或在某区间上]均可导，则
称()x A 在x 处[或在某区间上]可导.导数[或导函数]记为()d
A x dx
，简记为()x A '.并规定
()()()()()()()()()()()11121
21222
1
2n n m m mn
a x a x a x a x a x a x d A x A x dx
a x a x a x '''??
?''' ?'== ? ? ?'''??
, 其中()ij
a x '表示()x a ij 对x 的一阶导数. 矩阵对变量的导数运算具有如下一些性质：
1° 若函数矩阵()()x B x A ,都可导，则它们的和亦可导，并且
()()[]()()x B dx
d x A dx d x B x A dx d
+=+. 2° 若()x A 可导，()f x 是x 的可导函数，则()x f ()x A 可导，且
()()[]()()()()x A dx d x f x A x f dx d x A x f dx d +??
?
???=， 特别地，当()x f 为常数k 时，有
()[]()x A dx
d k x kA dx d
=. 3° 若()x A 可导，则()x A T 可导，并且
()()T
T dx x dA x A dx d ??
?
??=
4° 若()x A ，()x B 可导且二者可乘，则()x A ()x B 亦可导，且
()()[]()()()()x B dx d x A x B x A dx d x B x A dx d +??
?
???=?. 推论 若()x A 可导，Q P ,为数字矩阵，则
()[]()x A dx d P x PA dx d
=, ()[]()Q x A dx d Q x A dx d ??
?
???=. 5° 若()x A 为可逆的可导函数矩阵，则()x A 1-亦可导，且
()[]
()()()x A dx
x dA x A x A dx d 1
11----=. 证 因为1()(),A x A x E -=所以
111()()
[()()]()()0d dA x dA x A x A x A x A x dx dx dx
---=+=. 于是111
()()()()dA x dA x A x A x dx dx
---=-
函数矩阵的导数本身也是一个函数矩阵，它可以再进行术导运算，下面我们给出函数矩阵对纯量的高阶导数：
2232321()()
()()()
()()()
()k k k
d A x d dA x dx dx dx d A x d d A x dx dx dx d A x d d A x dx dx dx
-===
例1 设)(x A 为n 阶可导函数矩阵，求()x A 2的一、二阶导数. 解
()()()[]()()()()x A x A x A x A x A x A dx
d
x A dx d '+'==2 [注意一般
2
()2()()d A x A x A x dx
'≠] ()()()()()[]x A x A x A x A dx d
x A dx
d '+'=22
2 ()()()[]()()x A x A x A x A x A ''+'+''=2
2.
例2 设
()()()??????
? ??=t x t x t x x n 21,
其中()t x i 均为t 的可导函数，n n ij a A ?=][为n 阶实对称矩阵，求二次型Ax x T 对t 的导数.
解
[]()
x A x x A x Ax x Ax x dt
d T T T T
'+'+'=. 又A 为数字矩阵， A '=0，又x A x T '为t 的函数.而有
()()
()
Ax x x A x x A x x A x T T T
T
T T '
='='
='.
所以
()
x A x Ax x dx
d T T
'=2. 二、函数对矩阵的导数 定义1 设n m ij x X
?=][为多元实变量矩阵，
()()1111,
,,,,
,n m mn f X f x x x x =
是以X 中诸元素为变量的多元函数，并且偏导数
ij
x f
??()1,2,,;1,2,
,i m j n ==
都存在，则定义函数)(X f 对矩阵X 的导数为
???
?
?????
?
????????????????????=mn m m n
n x f x f x f x f x f x f x f x f x f dX df
2
1
2222111211 特别，当X 为向量()T n x x x x ,,,21 =时，函数()n x x x f ,,,21 对x 之导数为
()x f x f x f x f dx df T
n ?=???
?
????????=,,,21 例3 设[]
()∑∑==?==m i n
j ij n
m ij
x X f x X 11
2
,,求
dX
df
解
2,1,2,,;1,2,
,ij ij
f
x i m j n x ?===?.
X
x x x x x x x x x dX df mn m m n n 22222222222
1
22221
11211=??
?
?
?
?
?
??= .
资料分析 主要测查报考者对各种形式的文字、图表等资料的综合理解与分析加工的能力，针对一段资料一般有1～5个问题，报考者需要根据资料所提供的信息进行分析、比较、推测和计算，从四个备选答案中选出符合题意的答案。 1、统计术语 ◆现期与基期 资料题目中，作为对比参照的时期称为基期，而相对于基期的为现期。 描述基期的具体数值我们称之为基期量，描述现期的具体数值我们称之为现期量。 ◆同比与环比 同比：与历史同期相比较 如：今年五月与去年五月相比较；今年第一季度与去年第一季度相比较；今年上半年与去年上半年相比较。 环比：环比实际上即指“与紧紧相邻的统计周期相比较”，包括日环比、周环比、月环比、年环比等。 【例1】2009年全年民营工业实现增加值8288.8亿元，增长18.9％，增幅
同比提高4.2个百分点。 【例2】2010年上半年，全国原油产量为9848万吨，同比增长5.3%，上年同期为下降1%。 ◆增长率 增长率指的是现期与基期的差值与基期之间的比较。 增长率＝(现期量－基期量)÷基期量 【特别提示】 增速、增幅：一般情况下，均与增长率相同。(但在特殊语境下，增幅是指具体数值的增加，例如：某企业9月份的产值和上月相比，有了200万元的增幅，这里增幅就是指具体数值的增加。) 【判别特征】： 增长率：(现在)……比(过去)……增长(下降)……% 式子1：给基期值，现期值，求增长率？增长率=； 式子2：给基期值，增长率，求现期值？现期值=基期值×（1+增长率）；
式子3：给现期值，增长率，求基期值？基期值=。 【例1】1959年与1958年比较，支援农村生产支出和农林水利气象等部门的事业费? A. 提高了151.8% B. 提高了51.8% C. 提高了251.8% D. 提高了105% ◆百分数与百分点 增长率之间的计算只能用百分点，不能用百分数。 【例1】与上年同期相比，2010年6月汽车零售同比增幅（） A.回落42.3个百分点 B.加快42.3个百分点 C.回落42.3% D.加快42.3%
《数据分析》练习题 1.一个地区某月前两周从星期一到星期五各天的最低气温依次是(单位:℃):x 1, x 2, x 3, x 4, x 5和x 1+1, x 2+2, x 3+3, x 4+4, x 5+5,若第一周这五天的平均最低气温为7℃,则第二周这五天的平均最低气温为 。 2.有10个数据的平均数为12，另有20个数据的平均数为15，那么所有这30个数据的平均数是( ) A ．12 B. 15 C. 1 3.5 D. 14 3.一组数据8,8,x ,6的众数与平均数相同，那么这组数据的中位数是 （ ） A. 6 B. 8 C.7 D. 10 4.某校在一次考试中，甲乙两班学生的数学成绩统计如下： 请根据表格提供的信息回答下列问题： （1）甲班众数为 分，乙班众数为 分，从众数看成绩较好的是 班； （2）甲班的中位数是 分，乙班的中位数是 分； （3）若成绩在80分以上为优秀，则成绩较好的是 班；、 （4）甲班的平均成绩是 分，乙班的平均成绩是 分，从平均分看成绩较好的是 班. 5.在方差的计算公式 ()()()222 21210120202010 s x x x ??= -+-+???+-??中， 数字10和20分别表示的意义可以是( ) A ．数据的个数和方差 B ．平均数和数据的个数 C ．数据的个数和平均数 D ．数据组的方差和平均数 6..如果将所给定的数据组中的每个数都减去一个非零常数，那么该数组的 （ ） A.平均数改变，方差不变 B.平均数改变，方差改变 C.平均输不变，方差改变 D.平均数不变，方差不变 7..已知7,4,3,,321x x x 的平均数是6，则_____________321=++x x x . 8..已知一组数据-3，-2，1，3，6，x 的中位数为1，则其方差为 . 9..已知一组数据x 1,x 2,x 3,x 4,x 5的平均数是2，方差是 3 1 ，那么另一组数据3x 1－2,3x 2－2,3x 3－2, 3x 4－2,3x 5－2的平均数是和方差分别是 . 10..关于一组数据的平均数、中位数、众数，下列说法中正确的是（ ） A.平均数一定是这组数中的某个数 B. 中位数一定是这组数中的某个数 C.众数一定是这组数中的某个数 D.以上说法都不对 分数 50 60 70 80 90 100 人数 甲 1 6 12 11 15 5 乙 3 5 15 3 13 11
一、增长 增长量 = 现期量—基期量 增长率 = 增幅 = 增速 = 增长量÷基期量 =（现期量—基期量）÷基期量年均增长量、年均增长率： 如果初值为A，第n+1年增长为B，年均增长量为M，年均增长率为，则：M= 增长量= ，当m0 时，m越大，越大。 现期量高，增长率高，则增长量高。 同比增长、环比增长 同比增长：与上一年的同一时期相比的增长速度。 环比增长：与紧紧相邻的上一期相比的增长速度。 乘除法转化法： 当x 时， 【例1】2011年全国农民工总量达到25278万人，比上年增加1055万人，增长4.4%。农民工从业仍以制造业、建筑业和服务业为主，从事建筑业的比重明显提高。从农民工的就业地区来看，2011年在东部地区务工的农民工16537万人，比上年增加324万人；在中部地区务工的农民工4438万人，比上年增加334万人，增长8.1%；在西部地区务工的农民工4215万人，比上年增加370万人，增长9.6%。 问题：与上一年相比，2011年在东部地区务工的农民工人数增长率约为（）A．2.0% B．4.4% C．5.2% D．8.1% 【例2】2010年，我国进出口贸易总额为29727.6亿美元，同比增长34.7%。其中，出口额15779.3亿美元，同比增长31.3%；进口额13948.3亿美元，同比增
长38.7%。 问题：2009年我国进出口贸易总额约为（）万亿美元。 A.1.6 B.2.2 C.2.6 D.3.0 二、比重 比重 = 分量÷总体量×100% 已知本期分量为A，增长率为a%，总量为B，增长率为b%，则： 基期分量占总量的比重： 如果a%b%，则本期A占B的比重()相较基期()有所上升。 如果a%b%，则本期A占B的比重()相较基期()有所下降。 本期比重较基期变化： 百分数、百分点 百分数，是形容比例或者增长率等常用的数值形式。 百分点，是指不带百分号的百分数，如：n个百分点，代表n%。 当我们进行实际量之间的比较时，一般使用“百分数”来表示，需要除以参考值。 当我们进行比例或者增长率之间的比较时，一般使用“百分点”来表示，偶尔也可以用百分数来表示，比较时直接相减即可，不需要除以参考值。 翻番 即变为原来的2倍。翻n番：即变为原来的倍。 【例3】2010年，某省广电实际总收入为145.83亿元，同比增长32.07%。其中，广告收入为67.08亿元，同比增长25.88%；有线网络收入为45.38亿元，同比增长26.35%；其他收入为33.37亿元，同比增长57.3%。
第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有 x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义 2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足
1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 21 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ 不等式） 222222 2 22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞ =>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ，
资料分析练习题 根据以下资料，回答1-2题。 2015年全国邮政企业和快递服务企业业务收入累计完成4039.3亿元，同比增长26.1%，比上年上升0.4个百分点;业务总量累计完成5078.7亿元，同比增长37.4%，比上年上升0.8个百分点。其中12月份全行业业务收入完成417.2亿元，同比增长31.4%，比上年同期上升0.5个百分点;业务总量完成569.9亿元，同比增长41.3%，比上年同期上升2.1个百分点。 2015年全国快递服务企业业务量累计完成206.7亿件，同比增长48%;业务收入累计完成2769.6亿元，同比增长35.4%。其中，同城业务收入累计完成400.8亿元，同比增长50.7%;异地业务收入累计完成1512.9亿元，同比增长33.8%;国际及港澳台业务收入累计完成369.6亿元，同比增长17%。12月份，快递业务量完成24.2亿件，同比增长47.7%;业务收入完成313.4亿元，同比增长39.5%。 2015年东、中、西部地区快递业务收入的比重分别为81.9%、10.3%和7.8%，与上年同期相比，东部地区快递业务收入比重下降了0.9个百分点，中部地区快递业务收入比重上升了0.9个百分点，西部地区快递业务收入比重与上年持平。 1.2014年报纸业务累计完成量比杂志业务多多少亿份? A.165 B.173 C.180 D.188 2.以下说法不能从材料中推出的有()个。 ①2015年1-11月全国邮政企业和快递服务企业业务收入比上年同期增长了两成多 ②2015年函件业务累计完成量约是包裹业务的120倍 ③2013年12月全行业业务收入约240亿元 ④2014年全国邮政企业和快递服务企业业务总量同比增速比当年12月份同比增速少2.6个百分点
资料分析复习全攻略及例题分析 资料分析测验主要考察应试者对各种资料（主要是统计资料，包括图表和文字资料）进行准确理解与分析综合的能力。资料分析测验的基本方式是：首先提供一组资料，或是一段文字，在资料之后有几个问题，要求考生根据资料的信息，进行分析、比较、计算、处理，然后，从问题后面的四个备选答案中找出正确答案。 资料分析主要是对文字资料、统计表、统计图（条形统计图、圆形统计图、曲线图、网状图）等资料进行量化的比较和分析，这种类型的题目主要考察应试者对各种资料分析比较和量化处理的能力。需要提醒应试者注意的是，做这类题目的直接依据是试题提供的资料，切记不要脱离资料本身所提供的信息，不要凭自己个人的经验或非试题提供的同类信息作出判断，否则会严重影响考试成绩。 第一节文字资料分析 一、文字资料分析测验的解题技巧 （一）文字资料分析测验的考试内容 文字资料分析题是用陈述的方式将一系列相关信息罗列出来，要求考生对所提的问题进行解答，主要考查应试者对一段文字中的数据性、统计性资料进行综合分析与加工的能力。
文字资料分析题是资料分析测验中较难、较复杂的部分，因为它不像统计图像那样具有直观形象、一目了然等特点，其数据具有一定的“隐蔽性”，因为众多数据都隐藏包容在一段陈述中，需要应试者从中将需要的数据逐一找出，并将相关的数据串起来。这就要求应试者具备较强的阅读理解能力，能在较短的时间内迅速而准确地把握字里行间包含的各种数量关系及其逻辑关系，并进行分析、综合、判断才能得出准确的答案。通常要小心的是文字中的细节、伏笔，有些文字陷阱会误导应试者做出错误的选择。 （二）、文字资料分析测验的解题方法与技巧 在所有的资料分析题中，文字资料题是最不易处理的一种。在遇到这类题时，切忌一上来就找数据。因为这种题是一种叙述，叙述就有语意，有语意就可能让人误解。如果一上来就直奔数据，而对材料陈述的内容不屑一顾的话，很可能背离材料的本意和要求，造成失误。 做文字资料分析题，在拿到题目之后，首先要将题目通读一遍，用大脑分析哪些是重要的，哪些是次要的，然后仔细看一下后面的问题，与自己原先想的印证一下，接下来再有针对性的认真读一遍材料，最后，开始答题。这样做，一方面，可以准确地把握材料；另一方面，对材料中的各项数据及其各自的作用有了一个明确的认识。 有些人可能不喜欢做那些统计表的问题，面对大堆的数据觉得无从下手，而以为文字资料非常容易，这种想法常会导致在文字资料题
公务员行测资料分析典型例题讲解及攻略
2009年公务员行测资料分析典型例题讲解及攻略2008-08-22 14:47:48 来源：考试吧标签：2009年公务员公务员行测 一、文字资料分析测验的解题技巧 （一）文字资料分析测验的考试内容 文字资料分析题是用陈述的方式将一系列相关信息罗列出来，要求考生对所提的问题进行解答，主要考查应试者对一段文字中的数据性、统计性资料进行综合分析与加工的能力。 文字资料分析题是资料分析测验中较难、较复杂的部分，因为它不像统计图像那样具有直观形象、一目了然等特点，其数据具有一定的“隐蔽性”，因为众多数据都隐藏包容在一段陈述中，需要应试者从中将需要的数据逐一找出，并将相关的数据串起来。这就要求应试者具备较强的阅读理解能力，能在较短的时间内迅速而准确地把握字里行间包含的各种数量关系及其逻辑关系，并进行分析、综合、判断才能得出准确的答案。通常要小心的是文字中的细节、伏笔，有些文字陷阱会误导应试者做出错误的选择。 （二）、文字资料分析测验的解题方法与技巧 在所有的资料分析题中，文字资料题是最不易处理的一种。在遇到这类题时，切忌一上来就找数据。因为这种题是一种叙述，叙述就有语意，有语意就可能让人误解。如果一上来就直奔数据，而对材料陈述的内容不屑一顾的话，很可能背离材料的本意和要求，造成失误。
做文字资料分析题，在拿到题目之后，首先要将题目通读一遍，用大脑分析哪些是重要的，哪些是次要的，然后仔细看一下后面的问题，与自己原先想的印证一下，接下来再有针对性的认真读一遍材料，最后，开始答题。这样做，一方面，可以准确地把握材料；另一方面，对材料中的各项数据及其各自的作用有了一个明确的认识。 有些人可能不喜欢做那些统计表的问题，面对大堆的数据觉得无从下手，而以为文字资料非常容易，这种想法常会导致在文字资料题上丢分。前面就已经说过，在资料分析中，最难的一类就是综合性的判断，统计表分析题只涉及对数字的比较和处理，虽说复杂点，却相对比较容易得分；而文字资料题却加上了对语意的把握和理解，也就是说，它比统计表又多了一个环节。这对那些急躁而又轻视文字资料的考生来说，确实是一个严峻的考验。 二、文字资料分析测验典型例题分析 [例题1] 请根据下面的文字资料回答下列问题: 从垂直高度来看，世界人口分布的不平衡性十分明显。海拔200米以下的陆地面积占27.8%，而居住在这一高度内的人口比重却占到56.2%，200米—500米高度的陆地面积占全部陆地的29.5%，而居住在这一高度内的人口为24%，500米—1000米高度的陆地占总面积的19%，人口占11.6%。也就是说，世界人口90%以上是居住在海拔1000米以下的比较低平的地区。尽管目前世界上最高的永久性居民已达海拔5000米的高度（南美洲的安第斯山区和我国西藏），最高城市也达到海拔3976米（波利维亚的波托西）。 1.居住在海拔200米—500米这一高度内的人口在总人口中所占的比例是: A.56.2% B.27.8% C.24% D.29.5 2.人口密度最大的是在哪一个高度的陆地上?
资料分析题训练（一） 一：根据下列文字资料回答1-5题。 2003年国家财政科技拨款额达975.5亿元，比上年增加159.3亿元，增长19.5%，占国家财政支出的比重为4.0%。在国家财政科技拨款中，中央财政科技拨款为639.9亿元，比上年增长25.2%，占中央财政支出的比重为8.6%；地方财政科技拨款为335.6亿元，比上年增长10%，占地方财政支出的比重为1.9%。分执行部门看，各类企业科技活动经费支出为960.2亿元，比上年增长21.9%；国有独立核算的科研院所科技活动经费支出399.0亿元，比上年增长13.6%；高等学校科技活动经费支出162.3亿元，比上年增长24.4%，高等学校科技活动经费支出占全国总科技活动经费支出的比重为10.5%。各类企业科技活动经费支出占全国总科技活动经费支出的比重比上年提高了1.2个百分点。 1. 2003年国家财政支出总额为( ) A.24387.5亿元 B.5002.6亿元 C.3979.6亿元 D.816.3亿元 2. 2003年中央财政支出与地方财政支出之比约为( ) A.1：6.87 B.6.87：1 C.1：2.37 D.2.37：1 3.与2002年相比，2003年科技活动经费支出绝对增长量最大的执行部门是( ) A.各类企业 B.国有独立核算的科研院所 C.高等学校 D.无法得知 4.2003年国家财政科技拨款额约占全国总科技活动经费支出的( ) A.43.1% B.63.1% C.77.1% D.83.1% 5.根据文中划线部分内容，可以求出的选项为( ) [1]2002年各类企业科技活动经费支出 [2]2003年全国总科技活动经费支出 [3]2002年全国总科技活动经费支出 A.[1] B.[1]与[2] C.[2]与[3] D.[1]、[2]与[3] 二、根据下图回答问题 某电视厂月生产盈亏图
第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有
???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑
资料分析练习题及解析 一、世界煤储量在世界能源总储量中占90％，按目前规模开采可持续200年左右。据19世纪80年代初世界能源会议等组织的资料，世界煤资源地质储量为14．3万亿吨，其中探明储量为3．5万亿吨，约占24．5％；在总储量中硬煤占75％，褐煤占25％。按硬煤经济可采储量以美国、俄罗斯、中国最为丰富，分别占世界总量的24．8％、21．5％、19．6％，共占2／3。1．在世界煤炭资源地质储量中，未探明储量占总储量的（）。 A．25．1% B．74．9% C．75．5% D．25％ 2．硬煤经济可采储量占世界总量比例最高的国家是（）。 A．美国 B．中国 C．俄罗斯 D．都不是 3．在世界煤炭总储量中，硬煤大约有（）。 A．9．84万亿吨 B．10．73万亿吨 C．3．58万亿吨 D．14．3万亿吨 4．在世界煤炭总储量中，硬煤占的比例比褐煤高（）。 A．50％ B．25．1％ C．3．3％ D．24．8％ 5．在世界煤炭总储量中，硬煤的储量比褐煤的储量多（）。 A．7．15万亿吨 B．3．58万亿吨 C．10．73万亿吨 D．6．78万亿吨 某工厂生产的400支灯泡使用寿命统计 6．使用寿命在400～
A．14 B．46 C．76 D．62 7．使用寿命在700～799小时的灯泡比800～899小时的灯泡多多少支？（）。 A．68 B．62 C．6 D．10 8．使用寿命在1 000小时以上的灯泡有多少支？（）。 A．22 B．6 C．28 D．48 9．使用寿命在1 000小时以下的灯泡有多少支？（）。 A．220 B．280 C．372 D．370 10．使用寿命在300小时以下的灯泡有多少支？（）。 A．14 B．0 C．12 D．无法确定 我国自然科技人员数及其构成 11．与1952年相比，1978年我国科技人员增加了（）。 A．392 000人 B．39．2万人 C．3 920 000人 D．392千人 12．1986年科技人员中，占比重最大的是（）。 A．卫生技术人员 B．工程技术人员 C．农业技术人员 D．教学人员 13．1986年我国科研人员有（）。 A．363 130人 B．364 136人 C．363 146人 D．363 132人 14．1986年我国科技人员构成中，卫生技术人员所占比重比农业技术人员高（）。 A．21．4 B．20．4% C．21．4个百分点 D．21．4‰ 15．1986年我国科技人员约是1952年的（）。
第一节增速公式 一、同比增速公式 同比增速，是我们在考试里面最常见到的一种增速，这个增速表示的是，与去年同期相比，为什么这么说呢?因为这个概念是从“同比”衍生出来的，我们知道所谓“同比”，就是和去年同期相比得到的变化情况，所以同比增速就是和去年同期相比得到的增速，那同比增速公式怎么来的呢，又是怎么用呢，我们看下面的讲解。 (一)同比增速公式推导 同比增速，是最简单的一种增速，也是我们最常见的一种增速，这种增速可以通过斜率来分析出来，大家如果不明白，可以采用斜率来分析一下。现在，我们还是通过下面的例题来分析一下具体的公式。 假设指标A，在今年的值，也就是末期值为M，而在去年同期，也就是基期值为N，那么同比增速r，就是M/N-1; 我们用文字表示就是同比增速=末期值/基期值-1; 同比增速=(末期值-基期值)/基期值; 同比增速=增加量/基期值; 同比增速=增加量/(末期值-增加量)。 注意：末期值——今年某一时期的具体值; 基期值——去年同期的具体值。 (二)同比增速公式的应用 我们在做题的时候，就会发现，同比增速公式，不仅仅可以用来求增速，还可以用来求基期的具体值，怎么说呢?我们还是仔细的看看，同比增速公式的两种应用吧。 1、求增速 我们在上面说了，求增速是同比增速公式的基础应用，一般当试题里面出现以下提问方式的时候，我们就可以直接套用同比增速公式来解答： (1)与上年同期相比，2010年某指标的增速为多少? (2)2010年某指标的同比增长率是多少? (3)2010年，某指标比2009年增长了多少? …… 当我们遇到这些问题的时候，就可以直接通用同比增速公式。 2、求基期值 我们根据同比增速的公式，增速=(末期-基期)/基期，那么就有增速×基期+基期=末期，也就是(1+增速)×基期=末期，那么就有基期=末期/(1+增速)。 这个公式，在资料分析试题里面也经常用到，所以我们直接记住公式就好了，不用直接去推导，一般试题的提问方式就是：2009年，某指标的具体值是多少?(注意，材料给出的是2010年的具体值，以及增速) 二、环比增速公式 (一)环比增速公式的推导 环比增速，是从“环比”这个概念引申出来的，所谓“环比”，就是和上一个统计周期相比得到的变化情况，所以环比增速就是和上一个统计周期相比得到的增速。
㈠资料分析解题技巧 在当今高度信息化的社会中，各种信息、资料不仅来得快，而且数量庞大，特别是处于社会中枢的国家行政管理机关，是信息收集、加工、处理、传递的基地。它所接收的信息和资料无论从数量上，还是从复杂程度上，以及广泛性上，都是一般单位和部门所无法比拟的。因此，作为国家公务员，必须具备对各种资料进行准确理解与快速分析综合的能力，才能胜任其工作。 资料分析测验主要考查应试者对各种资料(主要是统计资料，包括图表和文字资料)进行准确理解、转换与分析综合的能力。它是随着社会高度信息化及管理科学化的发展以及对人的素质要求愈来愈高，而逐步从其他测验中分离出来的。 资料分析测验的内容一般包括三个部分：一是对某项工作或任务的进展或完成情况做出评价和判断，如对政策、计划执行情况的检查和监督；二是对被研究现象的统计规律、现象之间的依存关系及依存程度的规律等加以揭示和阐述；三是对被研究现象的未来发展趋势及其变化特征进行预测或推断。 资料分析测验的基本方式是：首先提供一组资料，这组资料可能是一个统计表，一个统计图，或者是一段文字。在资料之后相应地有3～5个问题，要求应试者根据资料提供的信息，进行观察、分析、比较、计算、处理，然后，再从问题后面的四个备选答案中找出正确的答案来。可以说，资料分析测验的试题着重考查应试者以文字、图形、表格三种形式的数据性、统计性资料进行综合分析与加工的能力，应试者不但要能读懂统计图表，即准确地把握各项数据的含义及其相互间的关系，而且要能通过简单的数学运算把握数据的规律，从而对我们的工作和学习起到指导、定向以及调整的重要作用。 资料分析测验共有20道题，一般来说，问题的难度有三级：第一是简单题，这种题在阅读资料之后只需要通过观察就可以在资料图表中直接找到答案，比如判断最大值，最小值或资料中某一具体数值等：第二级是中等难度题，常常要经过一定的运算或对资料进行一定的分析组合之后才能得出答案；第三级是较难的题，往往给出一组判断，要求应试者判断这组判断的正误，这类题一般带有一定的综合性，需要对资料进行比较复杂的分析与综合，有时甚至要用到资料上没有直接给出的相关背景知识才能得出正确的答案。需要提醒应试者注意的是，答题的直接依据是试题提供的资料，切记不要脱离资料本身所提供的信息，不要凭自己个人的经验或非试题提供的同类信息作出判断，否则会严重影响考试成绩。 统计表是把获得的数字资料，经过汇总整理后，按一定的顺序填列在一定的表格之内的任何一种统计表格与统计数字的结合体。利用表中所给出的各项数字指标，可以研究出某一现象的规模，速度和比例关系。 统计图是根据统计数字，用几何图形、事物形象和地图等绘制的各种图形。它具有直观、形象、生动、具体等特点。统计图可以使复杂的统计数字简单化、通俗化、形象化，使人一目了然，便于理解和比较。但统计图与前面所说到的统计表与文字资料有着很大的不同。统计表主要是大量数据的罗列，要求考生在复杂的数据中针对所提出的问题，进行量化比较和趋向分析，它主要是对数据的驾驭。文字资料蕴涵大量相关数据于一大段材料中，它需要你按照给出的要求，
国际货币基金组织预测世界经济走势 经济增长率(%) 1．从2000年开始，对全球经济最不恰当的描述是( )。 A．大部分国家和地区经济增长缓慢 B．整体增长速度减慢，由此可能进入全球经济衰退期 C．中国和印度等发展中国家的经济发展速度超过传统的发达国家，成为全球经济发展的亮点 D．发展中国家的经济形势要明显好于发达国家 2．经济增长最为缓慢的组织或者国家是( )。 A．美国B．欧元区 C．日本D．俄罗斯 3．从上面的数据表可以得出( )。 A．美国的经济经过短暂的衰退后，会马上繁荣起来 B．日本将很快(在一至两年)走出经济衰退期 C．七国集团的经济规模大于其他国家和组织的总和 D．经济转型国家的经济形势可能趋于稳定 4．从2000年到2002年中国的平均经济增长率最接近的是( )。 A．8．1%B．7．5% C．7．2%D．6．2% 5．下列最能描述三年间的全球经济走势的图表是( )。
以下是某市通过1 038份网上问卷对打折购买商品进行调查的结果。请根据此表回答打折 服装（%）鞋、包（%）家用电器（%）其他商品 商品 消费场所 综合性百货商场43.0 10.2 16.0 18.8 主题商场22.6 25.0 28.4 43.8 超市26.6 47.2 44.4 25.0 小店7.8 17.6 11.2 12.2 A．综合性百货商场B．主题商场C．超市D．小店 7．总的来说网民最少光顾的打折场所是( )。 A．综合性百货商场B．主题商场C．超市D．小店 8．回收的问卷中，愿意选择去综合商场买鞋、包的人数大概有多少？( )。 A．50人B．100人C．200人D．300人9．下列说法不妥的是( )。 A．小店打折没有什么吸引力 B．打折时人们比较喜欢去超市 C．打折时去大商场买衣服合算 D．该调查结果反映了全市的购物倾向 10．接受调查者如购买厕所洁具与餐具一类商品，去主题商场的人数比例一般不会超过( )。 A．30%B．35% C．40%D．45% 根据下面材料回答136~140题。 据一份研究报告测算，1997年我国实现国生产总值74 772．4亿元，其中公有经济实现56 676．2亿元，非公有制实现18 096．2亿元，分别占整个国民经济的75．8%和24．2%。在公有经济中，国有经济实现31 295．6亿元，集体经济实现25 380．6亿元，分别占国民经济的41．9%和33．9%，在混合所有制经济中，公有制经济实现增加值6 517．1亿元，占国生产总值的8．7%，其中国有成分4 860．2亿元，集体成分1 656．9亿元，分别占国生产总值的6．5%和2．2%;混合经济中的公有经济实现增加额比1996年增加了1．7个百分点，其中国有成分和集体成分分别增加了1．5个百分点和0．2个百分点。测算资料表明，所有制经济尤其是国有经济在国民经济中长期处于绝对优势的状况发生了明显变化，非国有经济占国生产总重已达58．1%，非公有制经济在国生产总值中所占比重已由1978年的0．9%上升到1997年的24．2%，成为保证整个国民经济持续发展的重要力量。 11．改革开放以来至1997年，各种经济成分中增长最快的是( )。
资料分析常用公式 考点已知条 件 计算公式方法与技巧 基期量计算（1）已知 现期量，增 长率x% 截位直除法，特殊分数法 （2）已知 现期量，相 对基期量增 加M倍 截位直除法 （3）已知 现期量，相 对基期量的 增长量N 尾数法，估算法 基 期量比较（4）已知 现期量，增 长率x% 比较: （1）截位直除法（2）如果 现期量差距较大，增长率相 差不大，可直接比较现期 量。 （3）化同法 分数大小比较： （1）直除法（首位判断或 差量比较） （2）化同法，差分法或其 它 现（5）已知特殊分数法，估算法
期量计算基期量，增 长率x% （6）已知 基期量，相 对基期量增 加M倍 估算法 （7）已知 基期量，增 长量N 尾数法，估算法 增长量计算（8）已知 基期量与现 期量 尾数法 （9）已知 基期量与增 长率x% 特殊分数法 （10）已知 现期量与增 长率x% （1）特殊分数法，当x%可 以被视为 时，公式可被化简为： ； （2）估算法（倍数估算） 或分数的近似计算（看大则 大，看小则小） （11）如果 基期量为 A，经N期 直除法
变为B，平 均增长量为 x 增 长量比较（12）已知 现期量与增 长率x% （1）特殊分数法，当x%可 以被视为 时，公式可被化简为： （2）公式可变换为： ，其中 为增函数，所以现期量大， 增长率大的情况下，增长量 一定大。 增长率计算（13）已知 基期量与增 长量 （1）截位直除法 （2）插值法 （14）已知 现期量与基 期量 截位直除法 （15）如果 基期量为 A，经N期 变为B，平 均增长率为 x% 代入法或公式法 （16）两期简单记忆口诀：连续增长，
第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有
i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y
3.资料分析全攻略+例题分析 资料分析全攻略+例题分析师说教育集团考试教学团队编录资料分析测验主要考察应试者对各种资料（主要是统计资料，包括图表和文字资料）进行准确理解与分析综合的能力。资料分析测验的基本方式是：首先提供一组资料，或是一段文字，在资料之后有几个问题，要求考生根据资料的信息，进行分析.比较.计算.处理，然后，从问题后面的四个备选答案中找出正确答案。 资料分析主要是对文字资料.统计表.统计图（条形统计图.圆形统计图.曲线图.网状图）等资料进行量化的比较和分析，这种类型的题目主要考察应试者对各种资料分析比较和量化处理的能力。需要提醒应试者注意的是，做这类题目的直接依据是试题提供的资料，切记不要脱离资料本身所提供的信息，不要凭自己个人的经验或非试题提供的同类信息作出判断，否则会严重影响考试成绩。 第一节文字资料分析 一.文字资料分析测验的解题技巧 （一）文字资料分析测验的考试内容文字资料分析题是用陈述的方式将一系列相关信息罗列出来，要求考生对所提的问题进行解答，主要考查应试者对一段文字中的数据性.统计性资料进行综合分析与加工的能力。
文字资料分析题是资料分析测验中较难.较复杂的部分，因为它不像统计图像那样具有直观形象.一目了然等特点，其数据具有一定的“隐蔽性”，因为众多数据都隐藏包容在一段陈述中，需要应试者从中将需要的数据逐一找出，并将相关的数据串起来。这就要求应试者具备较强的阅读理解能力，能在较短的时间内迅速而准确地把握字里行间包含的各种数量关系及其逻辑关系，并进行分析.综合.判断才能得出准确的答案。通常要小心的是文字中的细节.伏笔，有些文字陷阱会误导应试者做出错误的选择。 （二）.文字资料分析测验的解题方法与技巧在所有的资料分析题中，文字资料题是最不易处理的一种。在遇到这类题时，切忌一上来就找数据。因为这种题是一种叙述，叙述就有语意，有语意就可能让人误解。如果一上来就直奔数据，而对材料陈述的内容不屑一顾的话，很可能背离材料的本意和要求，造成失误。 做文字资料分析题，在拿到题目之后，首先要将题目通读一遍，用大脑分析哪些是重要的，哪些是次要的，然后仔细看一下后面的问题，与自己原先想的印证一下，接下来再有针对性的认真读一遍材料，最后，开始答题。这样做，一方面，可以准确地把握材料；另一方面，对材料中的各项数据及其各自的作用有了一个明确的认识。 有些人可能不喜欢做那些统计表的问题，面对大堆的数据觉得无从下手，而以为文字资料非常容易，这种想法常会导致在文
资料分析 主要测查报考者对各种形式得文字、图表等资料得综合理解与分析加工得能力,针对一段资料一般有1~5个问题，报考者需要根据资料所提供得信息进行分析、比较、推测与计算,从四个备选答案中选出符合题意得答案。 １、统计术语 ◆现期与基期 资料题目中,作为对比参照得时期称为基期,而相对于基期得为现期。 描述基期得具体数值我们称之为基期量，描述现期得具体数值我们称之为现期量。 ◆同比与环比 同比：与历史同期相比较 如：今年五月与去年五月相比较;今年第一季度与去年第一季度相比较；今年上半年与去年上半年相比较. 环比：环比实际上即指“与紧紧相邻得统计周期相比较"，包括日环比、周环比、月环比、年环比等. 【例１】2009年全年民营工业实现增加值8288、8亿元,增长18、９％，增幅同比提高4、2个百分点. 【例2】２０10年上半年，全国原油产量为984８万吨，同比增长5、3％,上年同期为下降1％. ◆增长率 增长率指得就是现期与基期得差值与基期之间得比较。 增长率=（现期量－基期量）÷基期量
【特别提示】 增速、增幅:一般情况下，均与增长率相同。(但在特殊语境下，增幅就是指具体数值得增加，例如:某企业9月份得产值与上月相比，有了２0０万元得增幅，这里增幅就就是指具体数值得增加。） 【判别特征】： 增长率:（现在)……比(过去）……增长(下降)……％ 式子1：给基期值，现期值，求增长率？增长率＝； 式子2:给基期值,增长率，求现期值？现期值=基期值×(１+增长率); 式子3：给现期值,增长率，求基期值?基期值=。 【例1】1９59年与1958年比较，支援农村生产支出与农林水利气象等部门得事业费? Ａ、提高了１51、8%??B、提高了5１、8% C、提高了251、8%?? D、提高了10５％ ◆百分数与百分点 增长率之间得计算只能用百分点，不能用百分数。