第三章随机变量的数字特征
前一章介绍了随机变量的分布，它是对随机变量的一种完整的描述。然而实际上，求出分布率并不是一件容易的事。在专门多情况下，人们并不需要去全面地考察随机变量的变化情况，而只要明白随机变量的一些综合指标就够了．随机变量的数字特征确实是用数字表示随机变量的分布特点。将介绍最常用的两种数字特征：数学期望与方差．
§1. 随机变量的数学期望及其性质
一．数学期望：
1．离散型随机变量的数学期望定义：
【例3】
2。连续型随机变量的数学期望：定义：
【例4】
3．随机变量函数的数学期望：
毕业论文（设计） 题目：概率论中数学期望的概念 姓名： 学号：0411******* 教学院：数学与计算机科学学院 专业班级：数学与应用数学专业2008级1班 指导教师： 完成时间：2012年04月10日 毕节学院教务处制
概率论中数学期望概念 摘要：数学期望是现代概率论中最重要的基本概念之一，无论在理论上还是在应用中都具有重要的地位和作用。但是，数学期望这一概念对许多学者来说却又是一个难点，特别是对概念的理解和对这一数学工具的使用上都很难掌握。本文从离散型随机变量的来源、定义、分布及其理解上详细阐述概率论中的数学期望的概念及其性质，并介绍说明这一数学工具在实际生活中的应用。目的是希望能给更多的学者提供一些参考及帮助。 关键词：离散型；随机变量；分布；函数；期望 Mathematical expection concept
in theory of probability Candidate:Xiong Xiao-ping Major:Mathematics and applied mathematics Student No:0411******* Advisor:Xue Chao-kui(Lecturer) Abstract:Mathematical expectation is the modern theory of probability in the most important one of the basic concept, whether in theory or in the applications has an important position and role. But, mathematical expectation is a difficult concept for many scholars, especially for the understanding of concepts and the mathematical tools to the use of all difficult to master. This article from source of discrete random variable, definition, distribution and understand the detail on the mathematics of the concept of probability theory and its properties expectations, and introduces the mathematical tools that in the actual life application. The main purpose is to give more scholars can provide some reference and help. Keywords:discrete; Random variable, Distribution; Functions; expect
数学期望与方差的运算性质 教程 一：复习公式 离散随机变量(),(,)(,)(,)(,)i j ij i j ij i j P X Y a b p Eh X Y h a b p ==→=∑ 连续随机变量()()()2 ,~,(,)(,),R f x y Eg g x y f x y dxdy ξηξη→=?? 二：期望运算性质 ()E aX bY c aEX bEY c ++=++ 应用例题、袋中装有m 个不同色小球，有返回取球n 次，出现X 种不同颜色，求EX 解答：用i X ?=?? １第ｉ颜色球在n次取球中出现０第ｉ颜色球在n次取球中没出现，则 m X X X ++= 1 由于()()1101,111,n n i i P X P X m m ????==-==-- ? ????? ()111/n i EX m =--， ()??????????? ??--==++=∑=n m i i m m m EX X X E EX 11111 三、协方差：若,EX EY θμ==，()()cov(,)X Y E X Y θμ=--????称为随机变量X 、Y 的协方差.covariance ()()cov(,)X Y E X Y θμ=--???? ()()()()() ()()()()()()EY EX XY E XY E XY E Y E X E XY E E Y E X E XY E Y X XY E ?-=-=+--=+--=+-+-+=+--=θμθμθμμθθμ θμθμθμθμθμ 例题：害虫一生产卵个数X 服从参数为λ的Ｐｏｉｓｓｏｎ分布，若每个卵能孵化成下一代的概率都是p ，假定害虫后代个数为Y ，求cov(,)X Y 解答：(,)()()(1)!i i j j j i j i e P X i Y j P X i P Y j X i C p p i λλ-≥-=======-
数学期望的性质 利用4.1.3中的定理可以得到数学期望的几条重要性质： 性质1 设C 为常数, 则()E C C =. 性质2 设C 为常数,X 为随机变量, 则()()E CX CE X =. 证明 设X 的概率密度为()f x ,则 ()()d E CX Cxf x x +∞-∞ =?()d C xf x x +∞ -∞ =? (). CE X = 性质3 设,X Y 为任意两个随机变量,则 ()()()E X Y E X E Y +=+. 证明 设二维随机变量(,)X Y 的概率密度为(,)f x y ,边缘概率密度分别为()X f x 和 ()Y f y ,则 ()()(,)d d E X Y x y f x y x y +∞ +∞ -∞ -∞ +=+? ? (,)d d xf x y x y +∞ +∞-∞ -∞ =?? (,)d d yf x y x y +∞ +∞ -∞ -∞ +? ? ()d X xf x x +∞ -∞ = ? ()d Y yf y y +∞ -∞ +? ()()E X E Y =+. 性质4 设,X Y 为相互独立的随机变量,则 ()()()E XY E X E Y =. 证明 因为 X 与Y 相互独立,其联合概率密度与边缘概率密度满足 (,)()()X Y f x y f x f y =, 所以 ()(,)d d E XY xyf x y x y +∞ +∞ -∞ -∞ =?? ()()d d X Y xyf x f y x y +∞ +∞ -∞ -∞ =? ? ()d ()d X Y xf x x yf y y +∞ +∞-∞ -∞ = ? ? ()()E X E Y =. 性质5 若,X Y 相互独立，则()()()E XY E X E Y =； 这一结论推广到有限多个，若12,, ,n X X X 相互独立，则
均值、方差和协方差的定义和基本性质 1 数学期望（均值）的定义和性质 定义：设离散型随机变量X 的分布律为 {}, 1,2,k k P X x p k === 若级数 1k k k x p ∞=∑ 绝对收敛，则称级数1k k k x p ∞=∑的和为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()1k k k E X x p ∞==∑。 设连续型随机变量X 的概率密度为()f x ，若积分 ()xf x dx ∞?∞? 绝对收敛，则称积分 ()xf x dx ∞?∞?的值为随机变量X 的数学期望，记为()E X 。即 ()()E X xf x dx ∞ ?∞=? 数学期望简称期望，又称为均值。 性质：下面给出数学期望的几个重要的性质 （1）设C 是常数，则有()E C C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有()()E CX CE X =； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有()()()E X Y E X E Y +=+，这一性质可以推 广至任意有限个随机变量之和的情况； （4）设X 和Y 是相互独立的随机变量，则有()()()E XY E X E Y =。 2 方差的定义和性质 定义：设X 是一个随机变量，若(){}2E X E X ?????存在，则称(){}2E X E X ?????为X
的方差，记为()D X 或()Var X ，即 性质：下面给出方差的几个重要性质 （1）设C 是常数，则有()0D C =； （2）设X 是一个随机变量，C 是常数，则有 ()()2D CX C D X =，()()D X C D X +=； （3）设X 和Y 是两个随机变量，则有 ()()()()()()(){}2D X Y D X D Y E X E X Y E Y +=++?? 特别地，若X 和Y 相互独立，则有()()()D X Y D X D Y +=+ （4）()0D X =的充分必要条件是以概率1取常数()E X ，即(){}1P X E X ==。 3 协方差的定义和性质 定义：量()(){} E X E X Y E Y ??????????称为随机变量X 与Y 的协方差。记为(),Cov X Y ，即 ()()(){},Cov X Y E X E X Y E Y =?????????? 性质：下面给出协方差的几个重要性质 （1）()(),,Cov X Y Cov Y X = （2）()(),Cov X X D X = （3）()()()(),Cov X Y E XY E X E Y =? （4）()(),,,,Cov aX bY abCov X Y a b =是常数 （5）()()()1212,,,Cov X X Y Cov X Y Cov X Y +=+ 参考文献 [1]概率论与数理统计（第四版），浙江大学
第9讲随机变量的数学期望与方差 教学目的：1.掌握随机变量的数学期望及方差的定义。 2.熟练能计算随机变量的数学期望与方差。 教学重点： 1．随机变量的数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 2．随机变量函数的数学期望 3．数学期望的性质 4．方差的定义 For personal use only in study and research; not for commercial use 5．方差的性质 教学难点：数学期望与方差的统计意义。 教学学时：2学时。 For personal use only in study and research; not for commercial use 教学过程： 第三章随机变量的数字特征 §3.1 数学期望 For personal use only in study and research; not for commercial use 在前面的课程中，我们讨论了随机变量及其分布，如果知道了随机变量X的概率分布，那么X的全部概率特征也就知道了。然而，在实际问题中，概率分布一般是较难确定的，而在一些实际应用中，人们并不需要知道随机变量的一切概率性质，只要知道它的某些数字特征就够了。因此，在对随机变量的研究中，确定其某些数字特征是重要的，而在这些数字特征中，最常用的是随机变量的数学期望和方差。
1．离散随机变量的数学期望 我们来看一个问题： 某车间对工人的生产情况进行考察。车工小张每天生产的废品数X 是一个随机变 量，如何定义X 取值的平均值呢？ 若统计100天，32天没有出废品，30天每天出一件废品，17天每天出两件废品， 21天每天出三件废品。这样可以得到这100天中每天的平均废品数为 27.1100 213100172100301100320=?+?+?+? 这个数能作为X 取值的平均值吗？ 可以想象，若另外统计100天，车工小张不出废品，出一件、二件、三件废品的 天数与前面的100天一般不会完全相同，这另外100天每天的平均废品数也不一定是 1.27。 对于一个随机变量X ，若它全部可能取的值是 ,,21x x ， 相应的概率为 ,,21P P ， 则对X 作一系列观察(试验)所得X 的试验值的平均值是随机的。但是，如果试验次数 很大，出现k x 的频率会接近于K P ，于是试验值的平均值应接近 ∑∞=1k k k p x 由此引入离散随机变量数学期望的定义。 定义1 设X 是离散随机变量，它的概率函数是 ,2 ,1,)()(====k P x X P x p K K k 如果 ∑∞ =1||k k k p x 收敛，定义X 的数学期望为 ∑∞ ==1)(k k k p x X E 也就是说,离散随机变量的数学期望是一个绝对收敛的级数的和。 例1 某人的一串钥匙上有n 把钥匙，其中只有一把能打开自己的家门，他随意地 试用这串钥匙中的某一把去开门。若每把钥匙试开一次后除去，求打开门时试开次数 的数学期望。
§2.2 随机变量的数学期望 每个随机变量都有一个概率分布（分布函数，或分布列、概率密度），这种分布完整地刻画了随机变量取值的统计规律性。由概率分布可以计算出有关随机变量的各个事件的概率。此外，概率分布还可以确定随机变量的各种特征数，比如，数学期望、方差、中位数等，这些特征数都是用以刻画随机变量（或其概率分布）的某一方面的特征。 例如，考虑某种元件的寿命，如果知道了寿命X 的概率分布，就可以计算出寿命在任一指定范围内的概率，对这种元件的寿命状况提供了一幅完整图景。根据这一分布，还可以确定用以反映寿命平均水平的特征数-数学期望，用以刻画寿命值的散布程度（或稳定程度）的特征数-方差.这些特征数虽不能对寿命状况提供完整刻画,但却往往是人们最为关注的一个方面.无论在理论上还是在实用中，这些特征数都有着极重要的意义.尤其是实用中,概率分布虽很“完美”,但难以把握;而特征数则容易把握,并且特征数是以一个“醒目”的数值刻画随机变量的某种特征,是概率分布某个方面的概括，这使得应用方便. 一. 数学期望的定义 定义 设离散型随机变量X 的分布列为 i i p x X P ==)(， ,2,1=i 如果 ∞<∑∞=1 ||i i i p x 则称∑∞=1i i i p x 为X 的数学期望，记为)(X E ，即 ∑∞== 1 )(i i i p x X E 若级数∑∞=1i i i p x 不绝对收敛，则称X 的数学期望不存在。 由以上定义可看出，若X 只取有限个值，则它的数学期望总是存在的。而若X 取可列个值，则它的数学期望不一定存在，是否存在就看级数∑∞=1i i i p x 是否绝对收敛，这个要求的目 的在于使期望值唯一。因为若无穷级数∑∞=1i i i p x 只是条件收敛，则可通过改变这个级数各项 的次序，使得改变后的级数不收敛或收敛到任意指定的值，这意味着这个级数的和存在与否，以及等于多少，与X 的取值的排列次序有关，而)(X E 作为刻画X 取值的平均水平的特征数，具有客观意义，不应与X 的取值的排列次序有关。 由定义，X 的期望值就是其所有可能取值的加权平均，每个可能值的权重就是X 取该值的概率，因此X 的数学期望又称为X 的均值。同时还可看出X 的数学期望完全由X 的概率分布所决定，所以X 的数学期望又叫做X 的分布的数学期望（对一般的随机变量的期望
随机变量的数学期望教 案 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
教 案：数学期望 试讲人 郑丽霞 教材来源：《概率论与数理统计》 袁荫棠 授课题目：数学期望 第三章第一节 教学目标：会计算数学期望；通过数学期望的学习了解数学期望的实际应用及统计意义 教学重点：数学期望的计算 教学难点：如何将实际问题转化为数学问题 教学过程： 1. 引入课题 引例：在一次射击比赛中，每个人射击10次，甲选手射了4个1分，1个2分，5个3分，问甲选手的平均得分是多少？ 1.210 5 31012104110531241=?+?+?=?+?+? 则其“均值”应为11 1k k i i i i i i n n x x n n ===∑∑. 所以上面的均值是以i n n 频率为权重的加权平均。
我们前面学了随机变量，那我用随机变量ξ来表示甲射击得分情况，求ξ的分布？ 平均得分=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1 大体上讲，数学期望(或均值)就是随机变量的平均取值 2. 概念讲解 （一）离散型随机变量的数学期望 定义3.1 设离散型随机变量ξ的分布列为 (),1,2, ,,.i i p P x i n ξ=== 如果 1 ||.i i i x p +∞ =<+∞∑ 则称 1 ()i i i E x p ξ+∞ ==∑ 为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。若级数1 ||()i i i x p x +∞=∑不收 敛，则称ξ的数学期望不存在。 例1 投掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷的点数，求ξ的数学期望。 解：6 1 17 ()62i E i ξ==?=∑
如皋市薛窑中学2011届高三理科数学一轮复习 61随机变量的概率分布、期望与方差 【考点解读】 离散型随机变量及其分布列：A;超几何分布：A;条件概率及相互独立事件：A； n次独立重复试验的模型及二项分布：B;离散型随机变量的均值与方差：B 【复习目标】 1?了解取有限值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻画随机现象的重要性；会求某些简单的离散型随机变量的分布列。 2?了解超几何分布及其导出过程，并能进行简单的应用。 3?了解条件概率和两个事件相互独立的概念( 对条件概率的应用题不作要求 )。 4 ?理解n次独立重复试验的模型及二项分布，并能解决一些简单的实际问题。 5?了解取有限值的离散型随机变量的均值、方差的意义，会根据离散型随机变量的分布列求出期望值、方差。 活动一：基础知识 1. 随机变量： 1) 定义： _________________________________________________________ 。 2) ____________________________________ 表示方法：。 2. 随机变量分布列的定义： 假定随机变量X有n个不同的取值，它们分别是X1,X2丄X n且P(X=x i)=p i ,i=1,2, -n,① 称①为随机变量X 的概率分布列，简称X的分布列 3. 概率分布表 将①用表的形式表示如下： 4. 分布列的性质： 概率分布列中P(i 1,2L n)满足以下两个条件: (1) ______________________________ (2) ______________________________ 5. 两点分布 如果随机变量X只取两个可能值_0 和__________ 1 ___ ，则称该随机变量X服从0-1分布或两点分布并记为X?0-1或X?两点分布. 其概率分布表为： 其中丨min{ M , n}，且n N,M N,n,M,N N .称分布列
数学期望的含义是什么？ 06月282014年 【知乎用户的回答(24票)】: 简单明了地告诉你结论：期望就是均值。 首先需要明确的一点是：只有随机变量才有期望值。 何谓随机变量？简单地说，一个变量 ，它的取值是随机遇而定的，即我们不能预先知道它取值多少。所以自然地，面对一个如此奇怪充满未知的东西，我们希望用某些工具来刻画它，对它的性质有一点点了解，比如用分布函数，比如用期望方差偏度峰度等诸多统计量。 期望定义： 连续型随机变量： 离散型随机变量： 从数学上来说，这两个奇怪的公式实际上就是求加权平均数。从这个定义告诉我们，期望就是平均数，是随机变量各个取值对取这个值的概率的加权平均。如果我们知道 的分布函数，可以通过这个公式算出来它的期望。 但是现实情况往往不会那么好，对于一个随机变量 ，我们经过很多次观察，获得了一组观察值 ，并且我们对于它的分布不了解，不能直接计算出来期望。所以换一个方法“估计”它的期望。它的期望是多少？它的平均值是多少？我们对这个随机变量的“期待”是多少？在统计学上，这都是一个问题。用同样的思路，那就是取平均了， ，在统计学中，这个样本均值对随机变量期望是无偏估计，即当n充分大的时候，这个估计会和期望“非常非常接近”。 再提到你的例子，扔一个均匀硬币，正面+1分反面-1分，则数学“预期”是0。 设一个随机变量 表示丢硬币的结果，这是一个离散的随机变量，取1和-1的概率都是0.5。其实我们已经知道 的分布了，可以按照公式直接求期望。 但是为了解释清楚什么叫期望，我们还按照上述第二种情况来算。 我们丢了 次硬币，得到了一组观察值 ，这里面有1有-1，肯定没有0。 但是随着
梁烨 0417
数学期望的性质 . )(,.1c c E c =则有是常数设). ()(,,.2X cE cX E c X =则有是常数是一个随机变量设). ()()(,,.3Y E X E Y X E Y X +=+则是两个随机变量设).()()(,,.4Y E X E XY E Y X =则是相互独立的随机变量设4证明()(,)d d ()()d d X Y E XY xyf x y x y xyf x f y x y +∞+∞+∞+∞-∞-∞-∞-∞== ??????+∞∞-+∞ ∞-==) ()(d )(d )(Y E X E y y yf x x xf Y X Note:性质3和4可推广到n 个随机变量的情形.
例12 (,),,().X N Y aX b E Y μσ=+设～求:解(), E X μ=()()()E Y E aX b aE X b a b μ=+=+=+所以 Note ：正态分布r.v 的线性组合的期望为其期望的线性组合.
2例). (),(~X E p n b X ，求设:解引入计数随机变量 11,2,,0i i A X i n i A ?==?????第次试验中事件发生第次试验中事件不发生其中.)(p A P =则且分布为p X E X i i =-)(,)10(故.1∑==n i i X X ) ()(21n X X X E X E +???++=12()()()n E X E X E X np =++???+=Note ：该解法具有一般性，引入计数变量可简化计算：将一复杂变量分解成n 个相互独立的服从（0-1）分布的变量之和.
一、数学期望的定义及性质 （一）数学期望分为离散型和连续型 1、离散型 离散型随机变量的一切可能的取值Xi与对应的概率Pi(=Xi)之积的和称为该离散型随机变量的数学期望（设级数绝对收敛），记为E（X）。数学期望是最基本的数学特征之一。它反映随机变量平均取值的大小。又称期望或均值。如果随机变量只取得有限个值，称之为离散型随机变量的数学期望。它是简单算术平均的一种推广，类似加权平均。E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2)+ …… + Xn*P(Xn)。X1,X2,X3，……，Xn 为这几个数据，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)为这几个数据的概率函数。在随机出现的几个数据中，P(X1）,P(X2）,P(X3），……，P(Xn)概率函数就理解为数据X1,X2,X3，……，Xn出现的频率f(Xi),则：E(X) = X1*P(X1）+ X2*P(X2）+ …… + Xn*P(Xn) = X1*f1(X1） + X2*f2(X2）+ …… + Xn*fn(Xn)。 2、连续型 连续型则是：设连续性随机变量X的概率密度函数为f（X），若积分绝对收敛，则称积分的值为随机变量的数学期望，记为E(X)。若随机变量X的分布函数F(X)可表示成一个非负可积函数f(X)的积分，则称X为连续随机变量，f(X)称为X的概率密度函数（分布密度函数）。能按一定次序一一列出，其值域为一个或若干个有限或无限区间，这样的随机变量称为连续型随机变量。 （二）数学期望的常用性质 1.设X是随机变量，C是常数，则E（CX）=CE（X）； 2.设X，Y是任意两个随机变量，则有E（X+Y）=E（X）+E（Y）； 3.设X,Y是相互独立的随机变量，则有E（XY）=E（X）E（Y）。 对于第一条性质，假设E（X）你的考试成绩，C为你们全班人数，则你们全班总分的期望等于全班人数乘以个人的期望，这很好理解。 对于第二条性质，E（X）为你的考试成绩，E(Y)是小明的考试成绩，你和他成绩总和的期望当然等于你和他的期望值和。 对于第三条性质，我们一再强调是独立的，也就是相互没有关联，有关联是肯定是不是不等的。
离散型随机变量的期望值和方差 一、基本知识概要： 1、 期望的定义： 一般地，若离散型随机变量ξ的分布列为 则称E ξ=x 1P 1+x 2P 2+x 3P 3+…+x n P n +…为ξ的数学期望或平均数、均值，简称期望。 它反映了:离散型随机变量取值的平均水平。 若η=a ξ+b(a 、b 为常数)，则η也是随机变量，且E η=aE ξ+b 。 E(c)= c 特别地，若ξ～B(n ，P )，则E ξ=n P 2、 方差、标准差定义： D ξ=(x 1- E ξ)2·P 1+(x 2-E ξ)2·P 2+…+(x n -E ξ)2·P n +…称为随机变量ξ的方差。 D ξ的算术平方根ξD =δξ叫做随机变量的标准差。 随机变量的方差与标准差都反映了:随机变量取值的稳定与波动、集中与离散的程度。 且有D(a ξ+b)=a 2D ξ,可以证明D ξ=E ξ2- (E ξ)2。 若ξ～B(n ，p)，则D ξ=npq ，其中q=1-p. 3、特别注意：在计算离散型随机变量的期望和方差时，首先要搞清其分布特征及分布列，然后要准确应用公式，特别是充分利用性质解题，能避免繁琐的运算过程，提高运算速度和准确度。 二、例题： 例1、（1）下面说法中正确的是 （ ） A ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 B ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的平均水平。 C ．离散型随机变量ξ的期望E ξ反映了ξ取值的平均水平。 D ．离散型随机变量ξ的方差D ξ反映了ξ取值的概率的平均值。 解：选C 说明：此题考查离散型随机变量ξ的期望、方差的概念。 （2）、（2001年高考题）一个袋子里装有大小相同的3个红球和2个黄球，从中同时取出两个，则其中含红球个数的数学期望是 。 解：含红球个数ξ的E ξ=0× 101+1×106+2×10 3=1.2 说明：近两年的高考试题与《考试说明》中的“了解……，会……”的要求一致，此部分以重点知识的基本 题型和内容为主，突出应用性和实践性及综合性。考生往往会因对题意理解错误，或对概念、公式、性质应用错误等，导致解题错误。 例2、设ξ是一个离散型随机变量，其分布列如下表，试求E ξ、D ξ 剖析：应先按分布列的性质，求出q 的值后，再计算出E ξ、D ξ。 解：因为随机变量的概率非负且随机变量取遍所有可能值时相应的概率之和等于1，所以??? ? ???≤≤-≤=+-+11 2101212122 q q q q
数学期望的计算方法及其应用
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量连续型随机变量数学期望计算方法 ABSTRACT：
第一节离散型随机变量数学期望的计算方法及应用1.1利用数学期望的定义，即定义法[1] 定义：设离散型随机变量Ｘ分布列为 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)=)( 1i n i i x p x ∑=
注意：这里要求级数)( 1i n i i x p x ∑ = 绝对收敛，若级数 []2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 解设Ｘ表示该推销人用船运送货物时每箱可得钱数，则按题意，Ｘ的分布为 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得= ) (X E10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元1.2公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松
第七周多维随机变量，独立性 7.4独立随机变量期望和方差的性质 独立随机变量乘积的期望的性质： Y X ,独立，则()()() Y E X E XY E =以离散型随机变量为例，设二元随机变量(),X Y 的联合分布列() ,i j P X x Y y ==已知，则()()(),i j i j P X x Y y P X x P Y y ====?=， () 1,2,,; 1,2,,i m j n == ()() 11,m n i j i j i j E XY x y P X x Y y =====∑∑()() 11 m n i j i j i j x y P X x P Y y =====∑∑()() 1 1 m n i i j j i j x P X x y P Y y =====∑∑()() E X E Y =***********************************************************************独立随机变量和的方差的性质： Y X ,独立，则()()() Y Var X Var Y X Var +=+()()() 2 2 Var X Y E X Y E X Y ??+=+-+?? ()222E X XY Y =++()()()()22 2E X E X E Y E Y ??-++? ? ()()()()2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()()()22E XY E X E Y +-()()()() 2 2 22E X E X E Y E Y =-+-()() Var X Var Y =+若12,,,n X X X 相互独立，且都存在方差，则()() 121 n m k k Var X X X Var X =+++=∑ ***********************************************************************利用独立的0-1分布求和计算二项分布随机变量()~,X b n p 期望和方差 我们在推导二项分布随机变量的方差时，已经利用了独立随机变量和的方差等于方差
数学期望的计算方法及其应用 摘要：在概率论中，数学期望是随机变量一个重要的数字特征，它比较集中的反映了随机变量的某个侧面的平均性，而且随机变量的其他数字特征都是由数学期望来定义的，因此对随机变量的数学期望的计算方法的研究与探讨具有很深的实际意义。本论文着重总结了随机变量的数学期望在离散型随机变量分布与连续型随机变量分布下的一些常用的计算方法，如利用数学期望的定义和性质，利用不同分布的数学期望公式等等，并通过一些具体的例子说明不停的计算方法在不同情况下的应用，以达到计算最简化的目的。本文还通过介绍了一些随机变量数学期望的计算技巧，并探讨了各种简化计算随机变量数学期望的方法，利用一些特殊求和与积分公式，利用数学期望定义的不同形式，利用随机变量分布的对称性、重期望公式以及特征函数等，并通过例题使我们更加了解和掌握这些计算技巧，已达到学习该内容的目的。 关键词：离散型随机变量 连续型随机变量 数学期望 计算方法 ABSTRACT ： 第一节 离散型随机变量数学期望的计算方法及应用 1.1 利用数学期望的定义，即定义法[1] 则随机变量Ｘ的数学期望E(X)= )(1 i n i i x p x ∑=
学期望不存在 [] 2 例1 某推销人与工厂约定，永川把一箱货物按期无损地运到目的地可得佣金10元，若不按期则扣2元，若货物有损则扣5元，若既不按期又有损坏则扣16元。推销人按他的经验认为，一箱货物按期无损的的运到目的地有60﹪把握，不按期到达占20﹪，货物有损占10﹪，不按期又有损的占10﹪。试问推销人在用船运送货物时，每箱期望得到多少？ 按数学期望定义，该推销人每箱期望可得 =)(X E 10×0.6＋8×0.2＋5×0.1－6×0.1＝7.5元 1.2 公式法 对于实际问题中的随机变量，假如我能够判定它服从某重点性分布特征（如二项分布，泊松分布，超几何分布等），则我们就可以直接利用典型分布的数学期望公式来求此随机变量的期望。 （1） 二点分布：X ~??? ? ??-p p 101 ，则()p X E = （2） 二项分布：),(~p n B X ，10 p ，则np X E =)( （3） 几何分布：)(~p G X ,则有p X E 1 )(= （4） 泊松分布：) (~λP X ，有λ=)(X E （5） 超几何分布： ),,(~M N n h X ,有N M n X E =)( 例2 一个实验竞赛考试方式为：参赛者从6道题中一次性随机抽取3道题,按要求独立完成题目.竞赛规定：至少正确完成其中2题者方可通过,已知6道备选题中参赛者甲有4题能正确分别求出甲、乙两参赛者正确完成题数的数学期望. 解 设参赛者甲正确完成的题数为X ,则X 服从超几何分布,其中 6,4,3N M n ===, 设参赛者乙正确完成的题数为Y ,则 )32,3(~B Y ,23 2 3)(=?==np Y E 1.3 性质法
限时作业62 随机变量的数学期望与方差 一、选择题 1.下列说法中，正确的是( ) A.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的概率平均值 B.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的平均水平 C.离散型随机变量的均值E(X)反映了X取值的平均水平 D.离散型随机变量的方差D(X)反映了X取值的概率平均值 解析:离散型随机变量X的均值反映了离散型随机变量×取值的平均水平,随机变量的方差反映了随机变量取值偏离于均值的平均程度. 答案:C 则D(X)等于( ) A.0 B.0.8 C.2 D.1 解析:根据方差的计算公式,易求V(X)＝0.8. 答案:B 3.若随机变量X服从两点分布，且成功的概率p＝0.5，则E(X)和D(X)分别为( ) A.0.5和0.25 B.0.5和0.75 C.1和0.25 D.1和0.75 解析:∵X服从两点分布， ∴X的概率分布为 D(X)＝0.52×0.5+(1－0.5)2×0.5＝0.25. 答案:A 4.离散型随机变量X的分布列为P(X＝k)＝p k q1－k(k＝0,1,p+q＝1)，则EX与DX依次为( ) A.0和1 B.p和p2 C.p和1－p D.p和p(1－p) 解析:根据题意，EX＝0×q+1×p＝p,DX＝(0－p)2q+(1－p)2p＝p(1－p)或可以判断随机变量X 满足两点分布，所以EX与DX依次为p和p(1－p)，选D. 答案:D 5.已知X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，则n与p的值分别是( ) A.100,0.08 B.20,0.4 C.10,0.2 D.10,0.8 解析:由于X～B(n,p),EX＝8,DX＝1.6，即np＝8,np(1－p)＝1.6， 可解得p＝0.8，n＝10，应选D. 答案:D 二、填空题 6.①连续不断地射击，首次击中目标所需要的射击次数为X;②南京长江大桥一天经过的车辆数为X;③某型号彩电的寿命为X；④连续抛掷两枚骰子，所得点数之和为X；⑤某种水管的外径与内径之差X. 其中是离散型随机变量的是____________.(请将正确的序号填在横线上) 解析:②④中X的取值有限，故均为离散型随机变量；①中X的取值依次为1,2,3,…,虽然无限，但可按从小到大顺序列举，故为离散型随机变量;而③⑤中X的取值不能按次序一一列举，故均不是离散型随机变量.
教 案：数学期望 试讲人 郑丽霞 教材来源：《概率论与数理统计》 袁荫棠 授课题目：数学期望 第三章第一节 教学目标：会计算数学期望；通过数学期望的学习了解数学期望的实际应用及统计意义 教学重点：数学期望的计算 教学难点：如何将实际问题转化为数学问题 教学过程： 1. 引入课题 引例：在一次射击比赛中，每个人射击10次，甲选手射了4个1分，1个2分，5个3分，问甲选手的平均得分是多少？ 1.210 5 31012104110531241=?+?+?=?+?+? 则其“均值”应为11 1k k i i i i i i n n x x n n ===∑∑. 所以上面的均值是以i n n 频率为权重的加权平均。
我们前面学了随机变量，那我用随机变量ξ来表示甲射击得分情况，求ξ的分布？ 平均得分=1×0.4+2×0.1+3×0.5=2.1 大体上讲，数学期望(或均值)就是随机变量的平均取值 2. 概念讲解 （一）离散型随机变量的数学期望 定义3.1 设离散型随机变量ξ的分布列为 (),1,2, ,, .i i p P x i n ξ=== 如果 1 ||.i i i x p +∞ =<+∞∑ 则称 1 ()i i i E x p ξ+∞ ==∑ 为随机变量ξ的数学期望，简称期望或均值。若级数1 ||()i i i x p x +∞ =∑不收 敛，则称ξ的数学期望不存在。 例1 投掷一颗均匀的骰子，以ξ表示掷的点数，求ξ的数学期望。 解：6 117 ()62 i E i ξ==? =∑ 例题2 设盒中有5个球，其中有2个白球，3个黑球，从中随机抽
取3个球，记ξ为抽取到的白球数，求)(ξE . （二）连续型随机变量的数学期望 当遇到随机变量为无限不可数的情形，如连续型随机变量，该如何定义该随机变量的数学期望。 设ξ是连续型随机变量，其密度函数为()p x ,在数轴上取得很密的点 012,x x x <<< ，则ξ落在小区间1[,)i i x x +的概率是 1 1()()()()i i x i i i i i x p x dx p x x x p x x ++≈-=?? 由于i x 与i x 很接近，所以区间1[,)i i x x +中的值可用i x 来近似地替代， 因此，ξ与以概率()i i p x x ?取值i x 的离散型随机变量近似。该离散型随机变量的数学期望是1()i i i i x p x x +∞ =?∑，这正是()xp x dx +∞ -∞?的渐近和式。 从该启示出发，我们引进如下定义： 定义3.2 设连续性随机变量ξ的密度函数为()p x ，如果 ||().x p x dx +∞ -∞ <+∞?
编号：08005110111 南阳师范学院2012届毕业生 毕业论文（设计） 题目：简述数学期望的性质及其应用 完成人：xxx 班级：2008-01 学制：4年 专业：数学与应用数学 指导教师：xxx 完成日期：2012-03-31
目录 摘要 (1) 关键词 (1) 0引言 (1) 1 数学期望的定义 (1) 2 数学期望的性质 (1) 2.1一维随机变量数学期望的性质 (1) 2.2多维随机变量数学期望的性质 (3) 3数学期望的应用 (5) 3.1数学期望在农业中的应用 (5) 3.2数学期望在生活中的应用 (7) 3.3数学期望在经济中的应用 (9) 3.4数学期望在数学中的应用 (11) 参考文献 (12) Abst ract (12)
简述数学期望的性质及其应用 作者：xxx 指导老师：xxx 摘要：在概率论及数理统计中，数学期望是随机变量最重要的数字特征之一，许多随机变量的分布都与他的期望有关，文章解析了数学期望在日常生活中的应用,如求职决策问题,投资问题,彩票问题等, 从而不断激发学生学习数学的积极性和主动性,让学生在兴趣中学习探索,并应用于生活,让数学改变生活. 关键词：随机变量；风险概率；数学期望 0引言 概率论同其他数学分支一样，是在一定的社会条件下，通过人类 的社会实践和生产活动发展起来的一种智力积累.今日的概率论被广 泛应用于各个领域，已成为一棵参天大树，枝繁叶茂，硕果累累.人 类认识到随即现象的存在是很早的，从太古时代起，估计各种可能性 就一直是人类的一件要事.早在古希腊，哲学家就已经注意到必然性 和偶然性问题；我国春秋时代也已有可考词语（辞海）；即使提到数 学家记事日程上的可考记载，也至少可推到中世纪.数学期望是概率 论早期发展中就已产生的一个概念，当时研究的概率问题大多于赌博 有关.通过对数学期望定义和性质的深刻理解和领悟，明白了数学期 望在当今乃至未来的重要作用。列举一些生产和生活实际中具有重要 指导意义的问题，加深对数学期望的性质及其应用的理解，对于学生 学习数学期望具有启发意义，结合生活实际和当今金融社会动荡不安 的情形，运用数学期望的性质综合分析，解决问题. 1数学期望的定义 数学期望是最基本的数学特征之一，它反映随即变量平均取值的 大小，又称期望或均值，随即变量可分为连续型随即变量和离散型随 即变量，其定义如下： 广义定义：一次随机抽样中所期望的某随机变量的取值.
13.数学期望 【教学内容】：高等教育出版社浙江大学盛骤，谢式千，潘承毅编的《概率论与数理统计》第四章第§1数学期望 【教材分析】：本节是讨论描述随机变量的数字特征，数学期望是随机变量的很重要的一类数字特征，它较集中的反应了随机变量变化的一些平均特征，容易求的，有良好的性质，因此它在概率论与数理统计中有很重要的地位。 【学情分析】： 1、知识经验分析 上一章已经学习了随机变量的分布函数、概率密度、分布律，清楚地知道都能完整地描述随机变量。 2、学习能力分析 学生虽然具备一定的基础的知识和理论基础，但概念理解不透彻，解决问题的能力不高，方法应用不熟练，知识没有融会贯通。 【教学目标】： 1、知识与技能目标 使学生掌握数学期望的概念、性质及实际问题中相应的数学期望。 2、过程与方法 根据本节课的知识特点和学生的认知水平，教学中采用探究式和启发式教学法，通过生活中常见的实际问题引入课题，层层设问，经过思考交流、概括归纳，期望的概念，使学生对问题的理解从感性认识上升到理性认识。 3、情感态度与价值观 学生通过期望的学习，可以更好的理解随机变量的取值特点。科学地分析、解释生活中的一些现象，养成严谨的科学态度。 【教学重点、难点】： 重点：数学期望的概念、数学期望的性质及应用。 难点：数学期望的性质。 【教学方法】：讲授法启发式教学法 【教学课时】：1个课时 【教学过程】：
一、问题引入 例1 分赌本问题(产生背景) 甲乙两赌徒赌技相同，各出赌注50元。无平局，谁先赢3局，则获全部赌注。当甲赢2局、乙赢1局时，中止了赌博。问如何分赌本? 解：1. 按已赌局数分： 则甲分总赌本的2/3、乙分总赌本的1/3 2. 按已赌局数和再赌下去的“期望” 分： 因为再赌两局必分胜负，共四种情况： 甲甲、甲乙、乙甲、乙乙 所以甲分总赌本的3/4、乙分总赌本的1/4 若按已赌局数和再赌下去的“期望” 分， 则甲的所得 X 是一个可能取值为0 或100 的随机变量，其分布列为： 甲的“期望” 所得是：0?1/4 +100 ? 3/4 = 75。 例2 射击问题 设某射击手在同样的条件下，瞄准靶子相继射击90次，(命中的环数是一个随机变量)。 射中次数记录如下 试问：该射手每次射击平均命中靶多少环? 解：平均射中环数= 射中靶的总环数射击次数 02113215310420530 90?+?+?+?+?+?= 5 021********* 012345909090909090 =3.37 k k n k n ==? +?+?+?+?+?=?∑ 【设计意图】：问题生活化，此时就把学生对期望的认识定位在这个平均值上，使得 这个陌生的概念与平均值联系起来，并揭示了期望的实际含义。 二、离散型随机变量的数学期望 定义1 设离散随机变量X 的分布律为 (),1,2,......i i P X x p i === 若级数1i i i x p ∞ =∑绝对收敛，则称该级数为X 的数学期望，记为1 ()i i i E X x p ∞ ==∑。 分赌本问题：A 期望所得的赌金即为X 的数学期望31 ()100075().44 E X =?+?=元 射击问题：“平均射中环数”应为随机变量Y 的数学期望 012345 21315 102030 21315909090 10209090 3090 命中环数 k 命中次数 频率 k n k n n