习题
7-1、如果z z H E ,已知,由无源区的麦克斯韦方程,求圆柱坐标系中?ρ?ρH H E E ,,,与
z z H E ,的关系。
解： 设z jk z e E E -=),(0?ρρρ；z
jk z e H H -=),(0?ρρρ
则 E jk z E z ρρ-=??；H jk z
H z ρρ
-=?? 在圆柱坐标系中展开无源区的麦克斯韦方程
E j H ρρωε=??；H j E ρρωμ-=??
得
ρ?ωε?ρE j H jk H z z =+??1 ρ?ωμ?
ρH j E jk E z z
-=+??1
?ρωερE j H H jk z z =??-
- ?ρωμρ
H j E
E jk z z -=??-- z E j H H ωε?ρρρρ?=??-??1 z H j E E ωμ?
ρρρρ?-=??-??1
由以上几式得
)1(12
?ρωμρρ??+??-
=z
z z c
H j E jk k E )(12
ρωμ?ρ???+??-=
z z z c H j E k j k E
)(12
ρ?ρωερ??-??=
z z z c
H jk E j k H )(12
?ρρωε???+??-
=z z z c
H k j E j k H 式中 2
22z c k k k -=
7-2证明（） 式为式的解。 证明：
由（） 式z
z e V e V z V γγ---++=00)( 可得：22
00'')()()(γγ
γγz V e V e V z V z
z =+=---+
因此 02
2
2=-V dz
V d γ 即 式
7-2、 从图的等效电路，求５) 和式对应的传输线方程的时域形式。 解：
图
)()
(1z I Z dz z dV -= ５) )()
(1z V Y dz
z dI -= ６)
串联支路上的电压为
dV V dt
di
dz
L dz iR V +=++11 （1） 并联支路上的电流为
di i dt
du
dz
C dz uG i +=++11 (2) 由（1）和（2）式得
dz dt di
L iR dV )(1
1+-= （3） dz dt
du
C uG di )(11+-= （4）
两边同除dz 得 )(11dt di
L iR dz dV +-= （5） )(11dt du
C uG dz di +-= （6） （5）、（6）式就是５) 和式对应的传输线方程的时域形式。
7-3、由１０)、、和９)式推导１１)和 １2)式。
解： 将
βαγj +=
111L j R Z ω+=
111C j G Y ω+= 代入11Y Z =
γ并等式两边平方得
)(211111121122G L R C j C L G R j ++-=+-ωωαββα
令等式两边实部和虚部分别相等，得 112112
2
C L G R ωβ
α-=-
)(21111G L R C +=ωαβ
解以上两方程，得
)]())(([2
1112112122121221C L G R C G L R ωωωα-+++=
１１) )]())(([2
1112112122121221C L G R C G L R ωωωβ--++=
１２)
7-4、证明（） 式为式的解。
解 z
z e V e V z V γγ--++=00)(
)()
(22
2z V dz
z V d γ-= 即
02
2
2=-V dz
V d γ
7-5、同轴线内导体外径为mm d 04.3=, 外导体内径为mm 7, 内外导体之间为2.2=r ε的非磁性介质，求特性阻抗。 解：特性阻抗Ω===74.332
/04.32
/7ln 2.2160ln 60a b Z r r εμ。
7-6、型号为SYV －5－2－2的同轴电缆内导体外径为mm 68.0, 外导体内径为mm 2.2, 内外导体之间为99.1=r ε 的非磁性介质，求特性阻抗。 解：特性阻抗Ω===93.492
/68.02
/2.2ln 99.1160ln 60a b Z r r εμ
7-7、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为Ω=50L Z 。求：（1）终端的反射系数；（2）传输线上的电压驻波比；（3）距终端λλλλλ,2/,8/3,4/,8/=l 处的输入阻抗。 解：（1）终端的反射系数5
1
50757550-=--=+-=
ΓL L Z Z Z Z ；
（2）电压驻波比5.15
/45
/611==
Γ
-Γ+=
ρ； （3）距终端l 输入阻抗l
jZ Z l
jZ Z Z
Z L L in ββtan tan ++=
其中λπλπβ/2/2l l l =?= 所以，
Ω+=j Z in 84.2823.69)8/(λ Ω=5.112)4/(λin Z
Ω-=j Z in 84.2823.69)8/3(λ Ω=50)2/(λin Z Ω=50)(λin Z
7-8、特性阻抗为Ω=300c Z 的传输线, 终端接负载Ω+=300300j Z L ，波长为m 1=λ。求终端反射系数、驻波比、电压波节点及波腹点的位置。
解：终端反射系数0
4.63447.0300
600300j L c c L e j j Z Z Z Z =+=+-=Γ；
驻波比62.211=Γ
-Γ+=ρ；
m f v 1103/103/8
8=??==λ 电压波腹点位置m n n
l 176.02/42
min +=+
=λπα
λ
电压波节点的位置m n l l 426.02/4
min max +=+=λ
7-9、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为L Z ，测得距终端负载20cm 处是电压波节点， 30cm 处是相邻的电压波腹点，电压驻波比为2，求终端负载。设入射电压波为z j e V
β-+
=10，
负载处0=z ，写出总电压、电流波。
解：距终端负载20cm 处是电压波节点， 30cm 处是相邻的电压波腹点，相邻的电压波腹点和波节点距离为cm 102030=-，那么终端就是电压波节点。
cm 40104=?=λ 2=ρ
3111==-=
Γρρ，由于终端就是电压波节点，因此 3
1
-=Γ Z Z L < L Z Z =
ρ，Ω==
2/75ρ
Z
Z L 传输线上的总电压电流波可写为
)()(0z j z
j e e
V z V ββΓ+=-+ )()(0z j z
j e e Z
V z I ββΓ-=-+
7-10、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为L Z ，测得距终端负载20cm 处是电压波腹点，30cm 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2，求终端负载。
解 距终端负载20cm 处是电压波腹点，30cm 处是相邻的电压波节点，相邻的电压波腹点和波节点距离为cm 102030=-，
cm 40104=?=λ
那么终端就是电压波腹点。
2=ρ
3111==-=
Γρρ，由于终端就是电压波节点，因此 3
1
=Γ Z Z L > Z
Z L
=ρ，Ω==150ρZ Z L
7-11、特性阻抗为75Ω的传输线，终端负载为L Z ，测得距终端负载10cm 处是电压波腹点，30cm 处是相邻的电压波节点，电压驻波比为2，求终端负载。 解 2=ρ
3
1
11=+-=
Γρρ cm 2010304
=-=λ
，cm 80=λ
电压波腹点到终端的距离m ax l 为 2
4max λλπθn l += 取0=n ，则 2
801044max
π
πλ
π
θ=?
==l 终端反射系数为 3
1312/j e j ==
Γπ 由 Z
Z Z Z L L +-=
Γ得
Ω?+=-+=Γ-Γ+=
75)5354(3
1131
111j Z j
j
Z Z L 7-12、特性阻抗为Z 的传输线，终端接一负载，设终端负载处电压和电流分别为0V 和0I ，
证明传输线上任一位置的电压)(z V 和电流)(z I 和0V 和0I 的关系可写为
??
?
??????
???
??=??????00)cos()sin()sin()cos()()(I V z z Z j z jZ z z I z V ββββ
解 设一段长为l 、特性阻抗为Z 的无损耗传输线，左端接信号源，右端接负载L Z ，如图所示。信号源产生沿z 方向传输的电压波和电流波为
z
j e V V β-++=0 (1)
z
j e Z
V I β-++
=0 (2)
图 无损耗传输线
入射电压电流波传输到负载后，一部分被负载吸收，一部分被反射。反射电压电流波可写为
z
j e V V β--=0 (３)
z
j e Z
V I β--
-=0 (４) 传输线上的总电压电流波可写为
z j z
j e V e
V z V ββ--++=00)( (5) z
j z j e Z
V e Z V z I ββ--+-=00)( (6) 在终端0=z ，
-++=000V V V （7）
Z
V Z V I -
+-=000 （8）
解得 )(21
000ZI V V +=
+
（9） )(2
1000ZI V V -=+
（10）
将（9）、（10）代入（5）、（6）式得
??
?
??????
?????=??????00)cos()sin()sin()cos()()(I V z z Z j z jZ z z I z V ββββ
7-13、用一段特性阻抗为Ω=50c Z ，s m p /1050.18
?=υ，终端短路的传输线，在
MHz f 300=的频率上形成（1）pF C 31060.1-?=的电容；
（2）H L μ2
10
65.2-?=的电感。求短路传输线的长度。
解：m f v 2/1/==λ ， l l πβ4=， l jZ l Z in βtan )(= （1）fC
j l j l Z in πβ21
tan 50)(==，可得：
电容 m l 125.0=
（2）fL j l j l Z in πβ2tan 50)(==，可得：
电感 m l 0625.0=
7-14、如果以上电感、电容用开路传输线实现，传输线应多长？ 解：l jZctg l Z in β-=)( （1）fC
j l ctg j l Z in πβ21
50)(=-=，可得： 电容 m l 375.0=
（2）fL j l ctg j l Z in πβ250)(=-=，可得： 电感 m l 3125.0=
7-15、某仪器的信号输入端为同轴接口，输入阻抗为75Ω，如果要使特性阻抗为Ω=50c Z
Ω=50c Z Z Ω=75L Z
l
jZ Z l
jZ Z Z
l Z L L in ββtan tan )(++=
当m f v l 25.04//4/===λ时，
L in Z Z l Z /)(2
=,
可得Ω=?==23.615075c L Z Z Z 为所求。
7-16、某天线的输入阻抗为5.3775j -Ω，天线作为负载与特性阻抗为Ω=75c Z 的传输线相连。要使传输线上无反射，应如何进行阻抗匹配变换？ 解：
这里用两种解法。
(1)采用如图所示的方法，先用特性阻抗为Ω=75c Z 长为1l 的传输线，
将负载的复阻抗转换为电阻R ,然后用长度为4/2λ=l 特性阻抗为Z 的传输线，使其输入阻抗等于Ω=75c Z ，即实现传输线匹配。 终端反射系数为 π422.02425.075
)5.3775(75
)5.3775(j c L c L L e j j Z Z Z Z -=+---=+-=
Γ
传输线1l 输入端的反射系数为 )422.02(2111
2425.0)(πββ+--=Γ=Γl j l j L e e
l
为使传输线1l 输入端的输入阻抗为电阻，传输线1l 输入端的反射系数应为实数，由上式得
(a) 当λ1445.01=l 时，2425.0)(1-=Γl ，64.1=ρ 传输线1l 输入端的输入阻抗为 Ω==73.45/ρc Z R Ω==
57.58R Z Z c
(b) 当λ3945.01=l 时，2425.0)(1=Γl ，64.1=ρ 传输线1l 输入端的输入阻抗为 Ω==123ρc Z R Ω==
96R Z Z c
(2) 先用特性阻抗为Ω=75c Z 长为1l 的短路传输线并联在负载两端，以抵消负载导纳的虚部，然后用长度为4/2λ=l 特性阻抗为Z 的传输线接在负载与传输线之间，使其输入阻抗等于Ω=75c Z ，即实现传输线匹配。 负载导纳为 75
5275545.377511?+?=-=+==
j j jB G Z Y L L L L 为抵消负载导纳的虚部，短路传输线的输入导纳应为 L c in jB l jZ Y -==
)
tan(1
1β
由此得 5.2)2tan(
1
=λ
πl
计算得 λ189.01=l
并联短路传输线后，负载阻抗变为 4
5751'?==
L L G R 用长度为4/2λ=l 特性阻抗为Z 的传输线进行阻抗变换 Ω==
85.83'L c R Z Z
7-17、推导矩形波导中TE 波场分量－16)式。 解：0=z E ；
z jk z z e y x H z y x H -=),(),,(0
0),,(),,(22=+?z y x H k z y x H z c z t ；
用分离变量法：
令 )()(),(y Y x X y x H z = 代入第三式可得：
0)
()
()()(2''''=++c k y Y y Y x X x X ；
令 2
'')
()(x k x X x X -=，2'')()(y k y Y y Y -=；其中222c y x k k k =+； 所以 x k c x k c x X x x sin cos )(21+= y k c y k c y Y y y sin cos )(43+=
z jk y y x x z z e y k c y k c x k c x k c z y x H -++=)sin cos )(sin cos (),,(4321
由边界条件，
0=x 边界，0)(1),,0(0
2
=??-??=
=x z z z c
x x H jk y E j k z y H ωμ
a x =边界, 0)(1),,(2
=??-??=
=a
x z z
z c x x H jk y E j k z y a H ωμ
0=y 边界, 0)(1),0,(0
2
=??-??-=
=y z z z c
y y H jk x E j k z x H ωμ
b y =边界, 0)(1
),,(2
=??-??-=
=b
y z z
z c y y H jk x E j k z b x H ωμ
于是，可得a m k x π=
，b
n k y π
=，Λ2,1,0,=n m ； 最终得到 z jk z z e y b
n x a m H H -=)cos()cos(0π
π
z jk c
z x z e y b n x a m a m k H k j
H -=)cos()sin()(2
0πππ z jk c
z y z e y b n x a m b n k H k j
H -=)sin()cos()(2
0πππ z jk c x z e y b
n x a m b
n k H j
E -=)sin()cos(
)(
2
0π
ππ
ωμ
z jk c y z e y b
n x a m a
m k H j E --=)cos()sin(
)(2
0π
ππ
ωμ
7-18、电磁波在分别位于a x ,0=处的无限大理想导体平板之间的空气中沿z 方向传输。求
TE 波的各电磁场分量以及各模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。
解：无限大理想导体平板之间波沿z 方向传输，那么场与y 无关 对于TE 波，0=z E ，z H 可以表示为 z
jk z z e x H z x H -=)(),(0 （1）
式中)(0x H 满足方程
0)()(02
022=+x H k x H dx
d c （2） 解方程得
)sin()cos()(210x k c x k c x H c c += (3)
z H 的通解为
z
jk c c z z e x k c x k c z x H -+=)]sin()cos([),(21 (4)
上式代入１０b)式
)(12
x H j y E jk k E z z z
c y ??+??-=
ωμ 考虑到0=z E ，得 )])cos()sin([(1
212x k c k x k c k j k E c c c c c
y +-=
ωμ 下面由理想导电壁的边界条件0=t E ，确定上式中的几个常数。在2个理想导电壁上，
y E 是切向分量，因此有
（１） 在0=x 的理想导电壁上，由0),0(==z x E y ，得 02=c （2） 在a x =的理想导电壁上，由0),(==z a x E y ，得 πm a k c =，
即 a
m k c π
= ，Λ,3,2,1=m 由此，得
z jk z z e x a
m H z x H -=)cos(),(0π
（5）
a
m k c π
= （6）
22c z k k k -=
（7）
将（5）式代入１０)式，就得到波导中TE 波的其他场分量
z
jk y z e
a
m m H a j
E --=)sin(0ππωμ )(12
x H jk k H z z c x ??-=
z jk z z e a
m k m aH j -=)sin(0ππ
m
a k c c 22==
πλ 2
22)(
1c
c z k k k k λλ-=-= 2
)(
1c
z
x
y TM Z
k H E Z λλωμ
-=
=
-
=
2
)(
1c
z
p v k v λλω
-=
=
2
)(
12c
z
g k λλλ
πλ-==
7-19、电磁波在分别位于a x ,0=处的无限大理想导体平板之间的空气中沿z 方向传输。求
TM 波的各电磁场分量以及1TM 模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗。
解：无限大理想导体平板之间波沿z 方向传输，那么场与y 无关
对于TM 波，0=z H ，z E 可以表示为 z
jk z z e x E z x E -=)(),(0 （1）
式中)(0x E 满足方程
0)()(02
022=+x E k x E dx
d c （2） 解方程得
)sin()cos()(210x k c x k c x E c c += (3)
z E 的通解为
z
jk c c z z e
x k c x k c z x E -+=)]sin()cos([),(21 (4)
下面由理想导电壁的边界条件0=t E ，确定上式中的几个常数。在2个理想导电壁上，
z E 是切向分量，因此有
（２） 在0=x 的理想导电壁上，由0),0(==z x E z ，得 01=c （2） 在a x =的理想导电壁上，由0),(==z a x E z ，得 πm a k c =， 即 a
m k c π
= ，Λ,3,2,1=m 由此，得
z jk z z e x a
m E z x E -=)sin(
),(0π
（5） a
m k c π
= （6） 22c z k k k -=
（7）
将（5）式代入１０)式，就得到波导中TM 波的其他场分量
z
jk z
z z c x z e a m k m aE j x E jk k E --=??-=
)cos()(102
ππ z
jk z c
y z e a m m E a j x E j k H --=??-=
)cos()(102
ππεωωε m
a k c c 22==
πλ
2
22)(
1c
c z k k k k λλ-=-= 2)(1c z y x TM Z k H E Z λλωε-=== 2
)(
1c
z
p v k v λλω
-=
=
2
)(
12c
z
g k λλλ
πλ-==
1TM 模式的截止波长、相速、波导波长和波阻抗
a c 2=λ 2
)2(
1a
v v p λ
-=
2
)2(
1a
g λ
λ
λ-=
2)2(1a
Z k H E Z z y x TM λωε-===
7-20、矩形波导尺寸为mm mm 1.292.58?，中间为空气，当GHz f 5.4= 的电磁波在其中传输时，求有那些传导模式，并求这些模式的g λ，p υ，c λ。如果波导中填满2.2=r ε，
1=r μ的介质，又有哪些传导模式？
解：mm m f v 7.660667.015/1/0====λ； mm a TE c 4.116210,==λ mm a TE c 2.5820,==λ mm b TE c 2.58201,==λ mm b TE c 1.2902,==λ
mm b a TE TM c 05.521122
2,1111
=+=
λ
mm a TE c 8.383/230,==λ mm b TE c 4.193/203,==λ mm b a TE TM c 15.411422
2,2121
=+=
λ
mm b a TE TM c 05.524122
2,
1212
=+=λ
mm b a TE TM c 02.264422
2,
2222
=+=λ
可见，仅可传10TE 模式。
如果波导中填满2.2=r ε，1=r μ的介质，则
mm f v f v r 3.33)/(/0===ελ
可传10TE ，20TE ，01TE ，11TE ，11TM ,21TM ，21TE ，12TE ,12TM , 30TE 模式。
7-21、截面积为2
4cm 的空气填充方波导，对于GHz f 10=的波，有那些传导模式？ 解 GHz f 10=，m f
c
03.0==
λ m a cTE cTE 08.020110===λλ
m a cTM cTE 05657.02
21111==
=λλ
m a cTE cTE 04.00220===λλ
m a cTM cTM cTE cTE 0358.05
212211221==
===λλλλ
m a cTM cTE 02828.08
22222==
==λλ
m a cTE cTE 0267.03
20330===λλ
10TE 、01TE 、11TE 、11TM 、21TE 、12TE 、21TM 、12TM
7-22、矩形波导尺寸为cm cm 7.05.1?，中间为空气，求单模传输的频率范围。 解：波长与尺寸的关系为 a a 2<<λ 所以, GHz a c f 1021==
，GHz a
c
f 202==, 故范围为10～20GHz 。
7-23、空气填充的矩形波导尺寸为mm mm 16.1086.22?，单模传输，当终端短路时，波导中形成驻波，相邻波节点距离为mm 23，求电磁波频率。 解：已知mm l g 462min ==λ； 所以，mm a
g g 42.32)2(
12
=+=
λλλ GHz c f 25.9/==λ
7-24、正方形波导填充2=r ε的非磁性理想介质，频率为GHz 3的波工作于主模，群速为
s m /1028?。计算波导截面尺寸。
解：s m c
v r
/121.2==εGHz f 3=，m f f v 07071.021038
=?=
=λ 2
)
2(
1a
v v p λ
-=
，2
2)22(
1)2(
1ω
πω
λ
a v v
a
k k z -=
-=
2
2
2
2)2(
11)2(
1)(
1
)2(11a
v a
a v
a v d dk z λ
λ
ωπλω-=-+-=
s m a a v d dk v z g /102)207071.0(110121.2)2(1182
82?=-??=-==
λω
m a 148.0)
121
.22(1207071.02
=-=
7-25、频率分别为MHz f 39971=与MHz f 40032=电磁波在空气填充的矩形波导
mm mm 72.58?中，单模传输，传播了1000米，求两不同频率的时延差是多少。
解 MHz f 39971=，m f c
07506.01
1==
λ MHz f 40032= ，m f c
07494.02
2==λ m a c 1164.02==λ
两不同频率的时延差是
])(1)(
1[:2
22
12
1c
c L v L v L t c
c
p p λλλλ--
-=-=
?
s 9
6
1094.2]7652.07643.0[1033.3--?-=-?=
7-26、工作波长为mm 28=λ的电磁波在尺寸为mm mm 1.292.58?的空气填充的矩形波导中多模传输，传播了1000米，求10TE 和20TE 两模式的时延差是多少。 解 mm 28=λ，m a c 1164.02==λ，m a c 0582.0==λ
])(1)(1[])(1)(
1[:22
212
2
2
1
2
1c c c c p p c L
c
c L v L v L t λλλλλλλλ---=--
-=-=
? s 6
6
10
31.0]8767.097.0[1033.3--?=-?=
7-27、设计矩形波导尺寸使GHz f 4=的电磁波单模传播。 解：mm f c 75/==λ
应满足a a 2<<λ，所以
mm a 75=<λ，mm a 5.372/75=>， 可取 mm b mm a 25,50==。
7-28、设计矩形波导，使频率在GHz )3.04(±之间的电磁波能单模传播，并至少在两边留有10℅的保护带。
解：GHz f GHz f 3.43.04,7.33.0421=+==-=； 设TE10波截止频率为1c f ，TE20波截止频率为2c f ，则
1.12)1.01(11?=
+≥a c
f f c 9.0)1.01(22?=-≤a
c
f f c
可得：mm a mm a 8.62,6.44≤≥
故选择mm b mm a 25,50==，可满足要求。
7-29、无限长矩形波导b a ?中0>z 为空气，0≤z 段为5.1=r ε的理想介质，频率为f 的电磁波沿z 方向单模传播，仅考虑主模时，求0 0>z 段波阻抗2 1 1)2( 1a Z λεμ-= 0 2 2)2( 15.1a Z λεμ-= 反射系数1 22 1Z Z Z Z +-= Γ 驻波比2 2 )2( 1)2( 11a a r λλερ--= Γ -Γ+= ； 7-30、矩形波导尺寸为mm mm 72.58?，工作频率为GHz f 4=，空气的击穿场强为 m V /1036?，求该波导能传输的最大功率。 解：mm f c 75/==λ Ω=-= 96.492)2( 1/2 10a Z TE λ ε μ MW Z abE P P TE b b m 86.14/102 ==< 7-31、铜制作的矩形波导尺寸为mm mm 16.1086.22?，中间为空气，工作频率为 GHz f 9=，求该波导每公里衰减值(以dB 表示)。 解：mm f c 33.33/==λ 02475.01 == σμπf R s 0139.0))2(21())2(1(22=+-= a a b a R s λ λεμα 所以，-71000 109.1898 ?==-z z e α 故每千米的功率衰减值为60.366dB )10 1898.91 log(107 =?- 7-32、一段尺寸为mm mm 16.1086.22?的空气填充矩形波导，长为mm 45，两端用理想导电板短路形成谐振腔，求原来波导中主模传输的电磁波在谐振腔中的振荡频率。 解：原来波导中主模传输的频率范围为7~13GHz 一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B g ； （4）AB θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C g 和()?A B C g ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= ==-e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B g (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e g －11 （4）由 cos AB θ ===A B A B g ，得 1cos AB θ- =(135.5=o （5）A 在B 上的分量 B A =A cos AB θ ==A B B g （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 123041 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C g (23)x y z +-e e e g (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C g (1014)x y z ---e e e g (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e A．电磁场理论B基本概念 1．什么是等值面？什么是矢量线？ 等值面——所有具有相同数值的点组成的面 ★空间中所有的点均有等值面通过； ★所有的等值面均互不相交； ★同一个常数值可以有多个互不相交的等值面。 矢量线（通量线）---- 一系列有方向的曲线。 线上每一点的切线方向代表该点矢量场方向， 而横向的矢量线密度代表该点矢量场大小。 例如，电场中的电力线、磁场中的磁力线。 2．什么是右手法则或右手螺旋法则？本课程中的应用有哪些？（图） 右手定则是指当食指指向矢量A的方向，中指指向矢量B的方向，则大拇指的指向就是矢量积C=A*B的方向。 右手法则又叫右手螺旋法则，即矢量积C=A*B的方向就是在右手螺旋从矢量A转到矢量B的前进方向。 本课程中的应用： ★无限长直的恒定线电流的方向与其所产生的磁场的方向。 ★平面电磁波的电场方向、磁场方向和传播方向。 3．什么是电偶极子？电偶极矩矢量是如何定义的？电偶极子的电磁场分布是怎样的？ 电偶极子——电介质中的分子在电场的作用下所形成的一对等值异号的点电荷。 电偶极矩矢量——大小等于点电荷的电量和间距的乘积，方向由负电荷指向正电荷。 4.麦克斯韦积分和微分方程组的瞬时形式和复数形式； 积分形式： 微分方式： （1）安培环路定律 （2）电磁感应定律 （3）磁通连续性定律 （4）高斯定律 5.结构方程 6.什么是电磁场边界条件？它们是如何得到的？（图） 边界条件——由麦克斯韦方程组的积分形式出发，得到的到场量在不同媒质交界面上应满足的关系式（近似式）。 边界条件是在无限大平面的情况得到的，但是它们适用于曲率半径足够大的光滑曲面。 7.不同媒质分界面上以及理想导体表面上电磁场边界条件及其物理意义； （1）导电媒质分界面的边界条件 ★ 导电媒质分界面上不存在传导面电流，但可以有面电荷。 在不同媒质分界面上，电场强度的切向分量、磁场强度的切向分量和磁感应强度的法向分量永远是连续的 （2）理想导体表面的边界条件 ★ 理想导体内部，时变电磁场处处为零。导体表面可以存在时变的面电流和面电荷。 第六章 时变电磁场 6.1 有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场 5cos mT z e t ω=B 之中，如题6.1图所示。滑片的位置由0.35(1cos )m x t ω=-确定，轨道终端接有电阻0.2R =Ω，试求电流i. 解 穿过导体回路abcda 的磁通为 5cos 0.2(0.7) cos [0.70.35(1cos )]0.35cos (1cos )z z d B ad ab t x t t t t ωωωωωΦ==?=?-=--=+? B S e e 故感应电流为 11 0.35sin (12cos ) 1.75sin (12cos )mA in d i R R dt t t t t R ωωωωωωΦ = =-=-+-+E 6.2 一根半径为a 的长圆柱形介质棒放入均匀磁场0z B =B e 中与z 轴平行。设棒以角 速度ω绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。 解 介质棒内距轴线距离为r 处的感应电场为 00z r r r B φωω=?=?=E v B e e B e 故介质棒内的极化强度为 00000(1)()e r r r r B r B εεεωεεω==-=-P E e e X 极化电荷体密度为 200 00 11()()2()P rP r B r r r r B ρεεωεεω?? =-??=- =--??=--P 极化电荷面密度为 0000()()P r r r a e r a B σεεωεεω==?=-?=-P n B e 则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为 220020012()212()P P PS P Q a a B Q a a B πρπεεωπσπεεω=??=--=??=- 6.3 平行双线传输线与一矩形回路共面，如题6.3图所示。设0.2a m =、0.1m b c d ===、7 1.0cos(210)A i t π=?，求回路中的感应电动势。 第二章 静电场 重点和难点 电场强度及电场线等概念容易接受，重点讲解如何由物理学中积分形式的静电场方程导出微分形式的静电场方程，即散度方程和旋度方程，并强调微分形式的场方程描述的是静电场的微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理，直接导出真空中电场强度与电荷之间的关系。通过书中列举的4个例子，总结归纳出根据电荷分布计算电场强度的三种方法。 至于媒质的介电特性，应着重说明均匀和非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时，应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时，应说明仅可依据积分形式的静电场方程，由于边界上场量不连续，因而微分形式的场方程不成立。 关于静电场的能量与力，应总结出计算能量的三种方法，指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移的概念计算电场力，常电荷系统和常电位系统，以及广义力和广义坐标等概念。至于电容和部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程： 积分形式： ? = ?S S E 0 d εq ?=?l l E 0d 微分形式： ερ= ??E 0=??E 已知电荷分布求解电场强度： 1， )()(r r E ?-?=； ? ' '-'= V V d ) (41)(| r r |r r ρπε? 2， ? '''-'-'=V V 3 d |4) )(()(|r r r r r r E περ 3， ? = ?S S E 0 d εq 高斯定律 介质中静电场方程： 积分形式： q S =?? d S D ?=?l l E 0d 微分形式： ρ=??D 0=??E 线性均匀各向同性介质中静电场方程： 积分形式： ε q S = ?? d S E ?=?l l E 0d 微分形式： ε ρ= ??E 0=??E 静电场边界条件： 1， t t E E 21=。对于两种各向同性的线性介质，则 2 21 1εεt t D D = 2， s n n D D ρ=-12。在两种介质形成的边界上，则 n n D D 21= 对于两种各向同性的线性介质，则 n n E E 2211εε= 3，介质与导体的边界条件： 0=?E e n ； S n D e ρ=? 若导体周围是各向同性的线性介质，则 ε ρS n E = ； ε ρ? S n -=?? 静电场的能量： 电磁场与电磁波理论基础自学指导书 课程简介：电磁场理论是通信技术的理论基础，是通信专业本科学生必须具备的知识结构的重要组成部分之一。使学生掌握电磁场的有关定理、定律、麦克斯韦方程等的物理意义及数学表达式。使学生熟悉一些重要的电磁场问题的数学模型（如波动方程、拉氏方程等）的建立过程以及分析方法。培养学生正确的思维方法和分析问题的能力，使学生对"场"与"路"这两种既密切相关又相距甚远的理论有深刻的认识，并学会用"场"的观点去观察、分析和计算一些简单、典型的场的问题。为以后的学习和工作打下坚实的理论基础。 第一章矢量分析场论初步 1主要内容 本章从矢量分析入手，介绍了标量场和矢量场的基本概念，学习了矢量的通量、散度以及散度定理，矢量的环流、旋度以及斯托克斯定理，标量的梯度，以及上述的物理量在圆柱和球坐标系下的表达形式，最后介绍了亥姆霍兹定理，该定理说明了研究一个矢量场从它的散度和旋度两方面入手。通过本章的学习，使学生掌握场矢量的散度、旋度和标量的梯度的概念和数学计算为以后的电磁场分析打下基础。 2学习要求 深刻理解标量场和矢量场的概念；深刻理解散度、旋度和梯度的概念、物理意义及相关定理； 熟练使用直角坐标、圆柱坐标和球坐标进行矢量的微积分运算； 了解亥姆霍兹定理的内容。 3重点及难点 重点：在直角坐标、圆柱坐标和球坐标中计算矢量场的散度和旋度、标量场的梯度以及矢量的线积分、面积分和体积分。 难点：正确理解和掌握散度、旋度和梯度的概念及定理，可以借助流体的流量和涡旋等自然界中比较具体而形象的相似问题来理解。 4思考题合作业 1.4, 1.8, 1.9, 1.11, 1.14, 1.16, 1.24 第二章静电场 1主要内容 本章我们从点电荷的库仑定律发，推导出静电场的基本方程（微分表达及积分表达），该基本方程第一组与静电场的散度和通量有关（高斯定律），第二组有关静电场的环量和旋度，推导的过程运用了叠加原理。由静电场的基本方程中的环量和旋度的基本方程，我们引入了电位的概念，并给出了电场强度与电位之间的关系以及电位的计算公式。运用静电场的基本方程及电位可以解决静电场中的场源互求问题（已知源求场或已知场求源）。然后介绍了电偶极子的概念，推导了电偶极子的电场强度与电位的表达式。接着介绍了介质的极化，被极化的分子可等效为电偶极子，所以介质极化产生的电位就可以借用电偶极子的相关结论。由极化介质的电位公式我们推导了介质中的高斯定律，在该定律中引入了一个新的量— 电磁场与电磁波复习材料 简答 1． 简述恒定磁场的性质，并写出其两个基本方程。 2． 试写出在理想导体表面电位所满足的边界条件。 3． 试简述静电平衡状态下带电导体的性质。 答：静电平衡状态下，带电导体是等位体，导体表面为等位面；（2分） 导体内部电场强度等于零，在导体表面只有电场的法向分量。（3分） 4． 什么是色散？色散将对信号产生什么影响？ 答：在导电媒质中，电磁波的传播速度随频率变化的现象称为色散。 （3分） 色散将使信号产生失真，从而影响通信质量。 （2分） 5．已知麦克斯韦第二方程为t B E ??- =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 6．试简述唯一性定理，并说明其意义。 7．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 8．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 9．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 答：当一个矢量场的两类源(标量源和矢量源)在空间的分布确定时，该矢量场就唯一地确定了，这一规律称为亥姆霍兹定理。 （3分） 亥姆霍兹定理告诉我们，研究任意一个矢量场（如电场、磁场等），需要从散度和旋度两个方面去研究，或者是从矢量场的通量和环量两个方面去研究 10．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 答：其物理意义：随时间变化的磁场可以产生电场。 （3分） 方程的微分形式： 11．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 答：电磁波的电场强度矢量的方向随时间变化所描绘的轨迹称为极化。（2分） 极化可以分为：线极化、圆极化、椭圆极化。 12．已知麦克斯韦第一方程为 t D J H ??+ =?? ，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 第一章习题解答 1.1 给定三个矢量A 、B 和C 如下： 23x y z =+-A e e e 4y z =-+B e e 52x z =-C e e 求：（1）A a ；（2）-A B ；（3）A B ；（4）A B θ；（5）A 在B 上的分量；（6）?A C ； （7）()?A B C 和()?A B C ；（8）()??A B C 和()??A B C 。 解 （1 ）23A x y z +-= = =e e e A a e e e A （2）-=A B (23)(4)x y z y z +---+=e e e e e 64x y z +-=e e e （3）=A B (23)x y z +-e e e (4)y z -+=e e －11 （ 4 ） 由 c o s AB θ =1 1 2 3 8 = A B A B ， 得 1 c o s A B θ- =(135.5- = （5）A 在B 上的分量 B A =A c o s AB θ = =- A B B （6）?=A C 1 235 02x y z -=-e e e 41310x y z ---e e e （7）由于?=B C 04 1502x y z -=-e e e 8520x y z ++e e e ?=A B 1 230 4 1 x y z -=-e e e 1014x y z ---e e e 所以 ()?=A B C (23)x y z +-e e e (8520)42x y z ++=-e e e ()?=A B C (1014)x y z ---e e e (52)42x z -=-e e （8）()??=A B C 1014502 x y z ---=-e e e 2405x y z -+e e e ()??=A B C 1 238 5 20 x y z -=e e e 554411x y z --e e e 1.2 三角形的三个顶点为1(0,1,2)P -、2(4,1,3)P -和3(6,2,5)P 。 （1）判断123P P P ?是否为一直角三角形； （2）求三角形的面积。 第2章习题解答 2.2已知半径为a 、长为l 的圆柱体内分布着轴对称的体电荷，已知其电荷密度()0V a ρρρρ =， ()0a ρ≤≤。试求总电量Q 。 解：2π20000 2d d d d π3 l a V V Q V z la a ρρ ρρρ?ρ= ==? ? ?? 2.3 半径为0R 的球面上均匀分布着电荷，总电量为Q 。当球以角速度ω绕某一直径(z 轴)旋转时，试求 其表面上的面电流密度。 解：面电荷密度为 2 04πS Q R ρ= 面电流密度为 002 00 sin sin sin 4π4πS S S Q Q J v R R R R ωθ ρρωθωθ=?== = 2.4 均匀密绕的螺旋管可等效为圆柱形面电流0S S J e J ?=。已知导线的直径为d ，导线中的电流为0I ，试 求0S J 。 解：每根导线的体电流密度为 00 22 4π(/2)πI I J d d = = 由于导线是均匀密绕，则根据定义面电流密度为 04πS I J Jd d == 因此，等效面电流密度为 04πS I J e d ?= 2.6 两个带电量分别为0q 和02q 的点电荷相距为d ，另有一带电量为0q 的点电荷位于其间。为使中间的 点电荷处于平衡状态，试求其位置。当中间的点电荷带电量为-0q 时，结果又如何？ 解：设实验电荷0q 离02q 为x ，那么离0q 为x d -。由库仑定律，实验电荷受02q 的排斥力为 12 214πq F x ε= 实验电荷受0q 的排斥力为 022 1 4π()q F d x ε= - 要使实验电荷保持平衡，即21F F =，那么由0022 211 4π4π() q q x d x εε=-，可以解得 d d x 585.01 22=+= 如果实验电荷为0q -，那么平衡位置仍然为d d x 585.01 22=+=。只是这时实验电荷与0q 和02q 不 是排斥力，而是吸引力。 2.7 边长为a 的正方形的三个顶点上各放置带电量为0q 的点电荷，试求第四个顶点上的电场强度E 。 解：设点电荷的位置分别为()00,0,0q ，()0,0,0q a 和()00,,0q a ，由库仑定律可得点(),,0P a a 处的电 场为 ( ) ( 00 2 22 00001114π4π4π221x y y x x y q q q E e e e e a a q e e εεε? =+++ ?+=+ 《电磁场与电磁波》试题1 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的导磁率为，则磁感应强度和磁场满足的方程为：。 2．设线性各向同性的均匀媒质中，称为方程。 3．时变电磁场中，数学表达式称为。 4．在理想导体的表面，的切向分量等于零。 5．矢量场穿过闭合曲面S的通量的表达式为：。 6．电磁波从一种媒质入射到理想表面时，电磁波将发生全反射。 7．静电场是无旋场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于。 8．如果两个不等于零的矢量的等于零，则此两个矢量必然相互垂直。 9．对平面电磁波而言，其电场、磁场和波的传播方向三者符合关系。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是无散场，因此，它可用函数的旋度来表示。 二、简述题（每小题5分，共20分） 11．已知麦克斯韦第二方程为，试说明其物理意义，并写出方程的积分形式。 12．试简述唯一性定理，并说明其意义。 13．什么是群速？试写出群速与相速之间的关系式。 14．写出位移电流的表达式，它的提出有何意义？ 三、计算题（每小题10分，共30分） 15．按要求完成下列题目 （1）判断矢量函数是否是某区域的磁通量密度？ （2）如果是，求相应的电流分布。 16．矢量，，求 （1） （2） 17．在无源的自由空间中，电场强度复矢量的表达式为 （1）试写出其时间表达式； （2）说明电磁波的传播方向； 四、应用题（每小题10分，共30分） 18．均匀带电导体球，半径为，带电量为。试求 （1）球内任一点的电场强度 （2）球外任一点的电位移矢量。 19．设无限长直导线与矩形回路共面，（如图1所示）， （1）判断通过矩形回路中的磁感应强度的方向（在图中标出）；（2）设矩形回路的法向为穿出纸面，求通过矩形回路中的磁通量。 20．如图2所示的导体槽，底部保持电位为，其余两面电位为零，（1）写出电位满足的方程； （2）求槽内的电位分布 《电磁场与电磁波》习题解答 第七章 正弦电磁波 7.1 求证在无界理想介质沿任意方向e n （e n 为单位矢量）传播的平面波可写成 j() e n r t m βω?-=e E E 。 解 E m 为常矢量。在直角坐标中 故 则 而 故 可见，已知的() n j e r t m e βω?-=E E 满足波动方程 故E 表示沿e n 方向传播的平面波。 7.2 试证明：任何椭圆极化波均可分解为两个旋向相反的圆极化波。 解 表征沿+z 方向传播的椭圆极化波的电场可表示为 式中取 显然，E 1和E 2分别表示沿+z 方向传播的左旋圆极化波和右旋圆极化波。 7.3 在自由空间中，已知电场3(,)10sin()V/m y z t t z ωβ=-E e ，试求磁场强度 (,)z t H 。 解 以余弦为基准，重新写出已知的电场表示式 这是一个沿+z 方向传播的均匀平面波的电场，其初相角为90? -。与之相伴的磁场为 7.4 均匀平面波的磁场强度H 的振幅为1 A/m 3π，以相位常数30rad/m 在空气中沿z -e 方向传播。当t=0和z=0时，若H 的取向为y -e ，试写出E 和H 的表示式，并求出波的频率和波长。 解 以余弦为基准，按题意先写出磁场表示式 与之相伴的电场为 由rad/m β=30得波长λ和频率f 分别为 则磁场和电场分别为 7.5 一个在空气中沿 y e +方向传播的均匀平面波，其磁场强度的瞬时值表示式为 （1）求β和在3ms t =时， z H =的位置；（2）写出E 的瞬时表示式。 解（1 ） 781π 10πrad /m rad /m 0.105rad /m 31030β==? ==? 在t =3ms 时，欲使H z =0，则要求 若取n =0，解得y =899992.m 。 考虑到波长260m π λβ = =，故 因此，t =3ms 时，H z =0的位置为 （2）电场的瞬时表示式为 7.6 在自由空间中，某一电磁波的波长为0.2m 。当该电磁波进入某理想介质后，波长变为0.09m 。设1r μ=，试求理想介质的相对介电常数r ε以及在该介质中的波速。 解 在自由空间，波的相速 80310m/s p v c ==?，故波的频率为 在理想介质中，波长0.09m λ=，故波的相速为 而 第1章习题解答 1.4 计算下列标量场u 的梯度u ? ： （1）234u x y z =； （2）u xy yz zx =++； （3）222323u x y z =-+。 解：（1） 34224233234x y z x y z u u u u e e e e xy z e x y z e x y z x y z ????=++=++??? （2）()()()x y z x y z u u u u e e e e y z e x z e y x x y z ????=++=+++++??? （3）646x y z x y z u u u u e e e e x e y e z x y z ????=++=-+??? 1.6 设()22,,1f x y z x y y z =++。试求在点()2,1,3A 处f 的方向导数最大的方向的单位矢量及其方向导 数。方向导数最小值是多少？它在什么方向？ 解： ()2222x y z x y z f f f f e e e e xy e x yz e y x y z ????=++=+++??? 因为410x y z x y z A f f f f e e e e e e x y z ????=++=++??? 所以 ( max 410l x y z f e e e e l ?==++? ( min 410l x y z f e e e e l ?==-++? 1.10 求下列矢量场在给定点的散度值： （1）()x y z A xyz e x e y e z =++ 在()1,3,2M 处； （2）242x y z A e x e xy e z =++ 在()1,1,3M 处； （3）())1222x y z A e x e y e z x y z =++++ 在()1,1,1M 处。 解：（1） 222636y x z M A A A A xyz xyz xyz xyz A x y z ?????=++=++=??=??? （2）42212y x z M A A A A x z A x y z ?????= ++=++??=??? （3）y x z A A A A x y z ?????=++ ??? ( )( )( ) 2222 2222 2222 3 3 3 x y z x x y z y x y z z ++-++-++ -= + + = M A ??= 《电磁场与电磁波》试题2 一、填空题（每小题1分，共10分） 1．在均匀各向同性线性媒质中，设媒质的介电常数为ε，则电位移矢量D ?和电场E ? 满足的 方程为： 。 2．设线性各向同性的均匀媒质中电位为φ，媒质的介电常数为ε，电荷体密度为V ρ，电位 所满足的方程为 。 3．时变电磁场中，坡印廷矢量的数学表达式为 。 4．在理想导体的表面，电场强度的 分量等于零。 5．表达式()S d r A S ? ????称为矢量场)(r A ? ?穿过闭合曲面S 的 。 6．电磁波从一种媒质入射到理想导体表面时，电磁波将发生 。 7．静电场是保守场，故电场强度沿任一条闭合路径的积分等于 。 8．如果两个不等于零的矢量的点积等于零，则此两个矢量必然相互 。 9．对横电磁波而言，在波的传播方向上电场、磁场分量为 。 10．由恒定电流产生的磁场称为恒定磁场，恒定磁场是 场，因此，它可用磁矢位函数的旋度来表示。 二、简述题 （每小题5分，共20分） 11．试简述磁通连续性原理，并写出其数学表达式。 12．简述亥姆霍兹定理，并说明其意义。 13．已知麦克斯韦第二方程为S d t B l d E S C ???????-=???，试说明其物理意义，并写出方程的微 分形式。 14．什么是电磁波的极化？极化分为哪三种？ 三、计算题 （每小题10分，共30分） 15．矢量函数 z x e yz e yx A ??2+-=? ，试求 （1）A ? ?? （2）A ? ?? 16．矢量 z x e e A ?2?2-=? ， y x e e B ??-=? ，求 （1）B A ? ?- （2）求出两矢量的夹角 . '. 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙一﹚ 一、 填空题（每题8分，共40分） 1、在国际单位制中，电场强度的单位是________；电通量密度的单位是___________；磁场强度的单位是____________；磁感应强度的单位 是___________；真空中介电常数的单位是____________。 2、静电场 →E 和电位Ψ的关系是→E ＝_____________。→ E 的方向是从电位_______处指向电位______处。 3、位移电流与传导电流不同，它与电荷___________无关。只要电场随__________变化，就会有位移电流；而且频率越高，位移电流密度___________。位移电流存在于____________和一切___________中。 4、在两种媒质分界面的两侧，电场→ E 的切向分量E 1t －E 2t ＝________；而磁场 → B 的法向分量B 1n －B 2n ＝_________；电流密度→ J 的法向分 量J 1n －J 2n =___________。 5、沿Z 轴传播的平面电磁波的复数表示式为：_____________________=→ E , ____________________=→ H 。 二、计算题（题，共60分） 1、（15分）在真空中，有一均 匀带电的长度为L 的细杆， 其电荷线密度为τ。 求在其横坐标延长线上距 杆端为d 的一点P 处的电 场强度E P 。 2、（10分）已知某同轴电容器的内导体半径为a ，外导体的内半径为c ， 在a ﹤r ﹤b (b ﹤c)部分填充电容率为ε的电介质，求其单位长度上的电容。 3、（10分）一根长直螺线管，其长度L ＝1.0米，截面积S ＝10厘米2，匝数N 1＝1000匝。在其中段密绕一个匝数N 2＝20匝的短线圈，请计算这两个线圈的互感M 。 4、（10分）某回路由两个半径分别为R 和r 的 半圆形导体与两段直导体组成，其中通有电流I 。 求中心点O 处的磁感应强度→ B 。 5、电场强度为)2106(7.378 Z t COS E Y a ππ+?=→ → 伏／米的电磁波在自由空间传播。问：该波是不是均匀平面波？并请说明 其传播方向。 求：（1）波阻抗； （2）相位常数； （3）波长； （4）相速； （5） → H 的大小和方向； （6）坡印廷矢量。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙二﹚ （一）、问答题（共50分） 1、（10分）请写出时变电磁场麦克斯韦方程组的积分形式和微分形式，并写出其辅助方程。 2、（10分）在两种媒质的交界面上，当自由电荷面密度为ρs 、面电流密度为J s 时，请写出→ →→→H B D ,,,E 的边界条件的矢量表达式。 3、（10分）什么叫TEM 波，TE 波，TM 波，TE 10波？ 4、（10分）什么叫辐射电阻？偶极子天线的辐射电阻与哪些因素有关？ 5、什么是滞后位？请简述其意义。 （二）、计算题（共60分） 1、（10分）在真空里，电偶极子电场中的任意点M （r 、θ、φ）的电位为2 cos 41r P θ πε= Φ （式中，P 为电偶极矩，l q P =） ， 而 → →→?Φ?+?Φ?+?Φ?=Φ000sin 11φφ θθθr r r r 。 试求M 点的电场强度 → E 。 2、（15分）半径为R 的无限长圆柱体均匀带电，电荷 体密度为ρ。请以其轴线为参考电位点， 求该圆柱体内外电位的分布。 3、（10分）一个位于Z 轴上的直线电流I ＝3安培，在其旁 边放置一个矩形导线框，a ＝5米，b ＝8米，h ＝5米。 最初，导线框截面的法线与I 垂直（如图），然后将该 截面旋转900，保持a 、b 不变，让其法线与I 平行。 求：①两种情况下，载流导线与矩形线框的互感系数M 。 ②设线框中有I ′＝4安培的电流，求两者间的互感磁能。 4、（10分）P 为介质（2）中离介质边界极近的一点。 已知电介质外的真空中电场强度为→ 1E ，其方向与 电介质分界面的夹角为θ。在电介质界面无自由电 荷存在。求：①P 点电场强度 → 2E 的大小和方向； ５、（１５分）在半径为Ｒ、电荷体密度为ρ的球形 均匀带电体内部有一个不带电的球形空腔，其半径为ｒ， 两球心的距离为ａ（ｒ<ａ<Ｒ）。介电常数都按ε０计算。 求空腔内的电场强度Ｅ。 《电磁场与电磁波》测验试卷﹙三﹚ 二、 填空题（每题8分，共40分） R O r a x 第7章习题解答 7.6 如题7.6图所示相距为a 的平板金属波导，当/0y ??=时，沿z 方向可传播 TEM 模、TE 模和TM 模。试求：（1）各种模式的场分量；（2）各种模式的传播常数；（3）画出基本模式的场结构及其导体表面的传导电流。 解：(1) 各种模式的场分量 对TEM 模，在均匀波导横截面上的分布规律与同样边界条件下的二维静态场的分布规律是完全一样的。对静电场情况，无限大平板之间的电场强度为均匀电场0E ，则对应的TEM 模中电场为 j t 0e kz x x x E e E e E -== 利用平面波电场与磁场关系，即 j 0t t w 1 e 120π kz z y E H e E e Z -= ?= 对TE 模，0=z E ，而z H 满足的导波方程为 22t c 0z z H k H ?+= 式中2 2 2 c k k γ=+，2 2t 2x ??=?，则上式变成 22c 2 d 0d z z H k H x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z H A k x B k x =+ 由0=x 时 0=??x H z 可得到0=A ；由a x =时0=??x H z 可得到c sin 0k x =，即c m k a π= 。因此 πcos z m m x H H a = 式中m H 取决于波源的激励强度。由于波沿着z 方向传播，则j z k γ=，因此 z k ==利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 j 22c c 0 j ππj sin e z x k z z y m E H m m x E H k x k a a ωμωμ-=?==-? j 22c c j j ππsin e 0z k z z z z x m y k H k m m x H H k x k a a H -?=- =?= 对TM 模，0=z H ，而z E 满足的导波方程为 22c 2 d 0d z z E k E x += 因此波动方程的解为 c c sin cos z E A k x B k x =+ 由0=x 时0=z E 可得到0=B ；由a x =时0=z E 可得到c sin 0k x =，即c m k a π=。因此 πsin z m m x E E a = 式中m E 取决于波源的激励强度。利用各横向场分量与纵向场分量之间关系可以得到 第3章习题解答 3.1 对于下列各种电位分布，分别求其对应的电场强度和体电荷密度： (1)()2,,x y z Ax Bx C Φ=++； (2)(),,x y z Axyz Φ=； (3)()2,,sin z A B z Φρ?ρ?ρ=+； (4)()2,,sin cos r Ar Φθ?θ?=。 解：已知空间的电位分布，由E Φ=-?和2 0/Φρε?=-可以分别计算出电场强度和体电荷密度。 (1) ()2x E e Ax B Φ=-?=-+ 0202εερA -=Φ?-= (2) () x y z E A e yz e xz e xy Φ=-?=-++ 020=Φ?-=ερ (3) (2sin )cos z E e A Bz e A e B ρ?Φρ?ρ?ρ??=-?=-+++?? 20004sin sin 3sin Bz Bz A A A ρεΦε??ε?ρρ???? =-?=-+ -=-+ ? ???? ? (4) ()2sin cos cos cos sin r E e Ar e Ar e Ar θ?Φθ?θ??=-?=-+- 200cos 2cos cos 6sin cos sin sin A A A θ??ρεΦεθ?θθ?? =-?=-+ - ?? ? 3.5 如题3.5图所示上下不对称的鼓形封闭曲面，其上均匀分布着密度为0S ρ的面电荷。 试求球心处的电位。 解：上顶面在球心产生的电位为 22001111100 ()()22S S d R d R d ρρ Φεε= +-=- 下顶面在球心产生的电位为 22 002222200 ()()22S S d R d R d ρρΦεε= +-=- 侧面在球心产生的电位为 030 014π4πS S S S R R ρρΦεε= = ? 式中2 12124π2π()2π()2π()S R R R d R R d R d d =----=+。因此球心总电位为 1230 S R ρΦΦΦΦε=++= 3.6有02εε=和05εε=的两种介质分别分布在0z >和0z <的半无限大空间。已知0z >时， 201050x y z E e e e =-+V /m 。试求0z <时的D 。 解：由电场切向分量连续的边界条件可得 1t 2t E E =? 000520510x y z D D εε<=?=-? 代入电场法向方向分量满足的边界条件可得 1n 2n D D =? 050z z D <= 于是有 0001005050x y z z D e e e εε<=-+ 3.9 如题 3.9图所示，有一厚度为2d 的无限大平面层，其中充满了密度为 ()0πcos x x d ρρ=的体电荷。若选择坐标原点为零电位参考点，试求平面层 之内以及平面层以外各区域的电位和电场强度。 《电磁场与电磁波》答案(4) 一、判断题（每题2分，共20分） 说明：请在题右侧的括号中作出标记，正确打√，错误打× 1.在静电场中介质的极化强度完全是由外场的强度决定的。 2.电介质在静电场中发生极化后，在介质的表面必定会出现束缚电荷。 3.两列频率和传播方向相同、振动方向彼此垂直的直线极化波，合成后 的波也必为直线极化波。 4.在所有各向同性的电介质中，静电场的电位满足泊松方程 2ρ ? ε ?=-。 5.在静电场中导体内电场强度总是为零，而在恒定电场中一般导体内的 电场强度不为零，只有理想导体内的电场强度为零。 6.理想媒质和损耗媒质中的均匀平面波都是TEM波。 7.对于静电场问题，保持场域内电荷分布不变而任意改变场域外的电荷 分布，不会导致场域内的电场的改变。 8.位移电流是一种假设，因此它不能象真实电流一样产生磁效应。 9.静电场中所有导体都是等位体，恒定电场中一般导体不是等位体。 10.在恒定磁场中，磁介质的磁化强度总是与磁场强度方向一致。 二、选择题（每题2分，共20分） （请将你选择的标号填入题后的括号中） 1. 判断下列矢量哪一个可能是静电场（ A ）。[×]1 [ √]2 [ ×]3 [ ×]4 [ √]5 [ √]6 [ ×]7 [ ×]8 [ √]9 [ ×]10 A ．369x y z E xe ye ze =++ B ．369x y z E ye ze ze =++ C ．369x y z E ze xe ye =++ D ．369x y z E xye yze zxe =++ 2. 磁感应强度为(32)x y z B axe y z e ze =+-+, 试确定常数a 的值。（ B ） A ．0 B ．-4 C ．-2 D ．-5 3. 均匀平面波电场复振幅分量为(/2) 2-2jkz -2j kz x y E 10e E 510e 、，则 极化方式是（ C ）。 A ．右旋圆极化 B ．左旋圆极化 C ．右旋椭圆极化 D ．左旋椭圆极化 4. 一无限长空心铜圆柱体载有电流I ，内外半径分别为R 1和R 2，另一无限长实心铜圆柱体载有电流I ，半径为R2，则在离轴线相同的距离r （r>R2）处（ A ）。 A ．两种载流导体产生的磁场强度大小相同 B ．空心载流导体产生的磁场强度值较大 C ．实心载流导体产生的磁场强度值较大 5. 在导电媒质中，正弦均匀平面电磁波的电场分量与磁场分量的相位（ B ）。 A ．相等 B ．不相等 C ．相位差必为4π D ．相位差必为2 π 6. 两个给定的导体回路间的互感 ( C ) A ．与导体上所载的电流有关 B ．与空间磁场分布有关 C ．与两导体的相对位置有关 D ．同时选A ，B ，C 7. 当磁感应强度相同时，铁磁物质与非铁磁物质中的磁场能量密度相比（ A ）。 A ．非铁磁物质中的磁场能量密度较大 B ．铁磁物质中的磁场能量密度较大 C ．两者相等 D ．无法判断 8. 一般导电媒质的波阻抗(亦称本征阻抗)c η的值是一个。（ C ） A ．实数 B ．纯虚数 C ．复数 D ．可能为实数也可能为纯虚数 9. 静电场在边界形状完全相同的两个区域上满足相同的边界条件，则两个区域中的场分布（ C ）。 A ．一定相同 B ．一定不相同 C ．不能断定相同或不相同 第一章 习题解答 1.2给定三个矢量A ，B ，C ： A =x a +2y a -3z a B = -4y a +z a C =5x a -2z a 求：错误！未找到引用源。矢量A 的单位矢量A a ； 错误！未找到引用源。矢量A 和B 的夹角AB θ； 错误！未找到引用源。A ·B 和A ?B 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）和（A ?B ）·C ； 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）和（A ?B ）?C 解：错误！未找到引用源。A a =A A = 149A ++ =（x a +2y a -3z a ）/14 错误！未找到引用源。cos AB θ =A ·B /A B AB θ=135.5o 错误！未找到引用源。A ·B =-11, A ?B =-10x a -y a -4z a 错误！未找到引用源。A ·（B ?C ）=-42 （A ?B ）·C =-42 错误！未找到引用源。A ?（B ?C ）=55x a -44y a -11z a （A ?B ）?C =2x a -40y a +5z a 1.3有一个二维矢量场F(r) =x a （-y ）+y a (x)，求其矢量线方程，并定性画出该矢量场图 形。 解：由dx/(-y)=dy/x,得2 x +2 y =c 1.6求数量场ψ=ln （2 x +2y +2 z ）通过点P （1，2，3）的等值面方程。 解：等值面方程为ln （2x +2y +2 z ）=c 则c=ln(1+4+9)=ln14 那么2 x +2y +2 z =14 1.9求标量场ψ（x,y,z ）=62 x 3y +z e 在点P （2，-1，0）的梯度。 解：由ψ?=x a x ψ??+y a y ψ??+z a z ψ??=12x 3 y x a +182x 2y y a +z e z a 得 ψ?=-24x a +72y a +z a 1.10 在圆柱体2 x +2 y =9和平面x=0，y=0,z=0及z=2所包围的区域，设此区域的表面为S: 错误！未找到引用源。求矢量场A 沿闭合曲面S 的通量，其中矢量场的表达式为 A =x a 32x +y a （3y+z ）+z a (3z -x) 错误！未找到引用源。验证散度定理。 解：错误！未找到引用源。??s d A = A d S ?? 曲 + A dS ?? xoz + A d S ?? yoz +A d S ?? 上 +A d S ?? 下 A d S ?? 曲 =232 (3cos 3sin sin )z d d ρθρθθρθ++?曲 =156.4 A dS ?? xoz = (3)y z dxdz +?xoz =-6 A d S ?? yoz =- 23x dydz ? yoz =0 A d S ?? 上+A d S ?? 下=(6cos )d d ρθρθρ-?上+cos d d ρθρθ?下=272π ??s d A =193 错误！未找到引用源。dV A V ???=(66)V x dV +?=6(cos 1)V d d dz ρθρθ+?=193 即：??s s d A =dV A V ??? 1.13 求矢量A =x a x+y a x 2 y 沿圆周2x +2 y =2a 的线积分，再求A ?? 对此圆周所包围的表 面积分，验证斯托克斯定理。 解：??l l d A =2 L xdx xy dy +? =44a π A ?? =z a 2 y 第二章静电场 重点与难点 电场强度及电场线等概念容易接受,重点讲解如何由物理学中积分形式得静电场方程导出微分形式得静电场方程,即散度方程与旋度方程,并强调微分形式得场方程描述得就是静电场得微分特性或称为点特性。 利用亥姆霍兹定理,直接导出真空中电场强度与电荷之间得关系。通过书中列举得4个例子,总结归纳出根据电荷分布计算电场强度得三种方法。 至于媒质得介电特性,应着重说明均匀与非均匀、线性与非线性、各向同性与各向异性等概念。讲解介质中静电场方程时,应强调电通密度仅与自由电荷有关。介绍边界条件时,应说明仅可依据积分形式得静电场方程,由于边界上场量不连续,因而微分形式得场方程不成立。 关于静电场得能量与力,应总结出计算能量得三种方法,指出电场能量不符合迭加原理。介绍利用虚位移得概念计算电场力,常电荷系统与常电位系统,以及广义力与广义坐标等概念。至于电容与部分电容一节可以从简。 重要公式 真空中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 已知电荷分布求解电场强度: 1,; 2, 3, 高斯定律 介质中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 线性均匀各向同性介质中静电场方程: 积分形式: 微分形式: 静电场边界条件: 1,。对于两种各向同性得线性介质,则 2,。在两种介质形成得边界上,则 对于两种各向同性得线性介质,则 3,介质与导体得边界条件: ; 若导体周围就是各向同性得线性介质,则 ; 静电场得能量: 孤立带电体得能量: 离散带电体得能量: 分布电荷得能量: 静电场得能量密度: 对于各向同性得线性介质,则 电场力: 库仑定律: 常电荷系统: 常电位系统: 题解 2-1若真空中相距为d得两个电荷q1及q2得电量分别为q及4q,当点电荷位于q1及q2得连线上时,系统处于平衡状态,试求得大小及位置。解要使系统处于平衡状态,点电荷受到点电荷q1及q2得力应该大小相等,方向相反,即。那么,由,同时考虑到,求得 可见点电荷可以任意,但应位于点电荷q 1与q 2 得连线上,且与点电荷相 距。 2-2已知真空中有三个点电荷,其电量及位置分别为: 试求位于点得电场强度。(完整版)电磁场与电磁波答案(第四版)谢处方
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