一次函数之存在性问题（讲义）
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查_______________.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向：
1.把函数信息（_________________）转化为几何信息；
2.分析特殊状态的形成因素，画出______________________；
3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的_______
_______建立等式来解决问题．
二、精讲精练
1.
如图，直线y x
=+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为__________________．
2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且
4
3 OC
OB
.
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？
若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由
.
3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y
轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC
=，点C的坐标为
(-9，0)．
（1）求点B的坐标．
（2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表
达式．
（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
4.
D ，是否存在点C 使△BCD 与△AOB 全等？若存在，请求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，直线1
22
y x =
+与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为(-3，0)，P (x ，y )是直线1
22
y x =+上的一个动点
（点P 不与点A 重合）．
（1）在点P 的运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 之 间的函数关系式．
（2）当点P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27
8
？求出 此时点P 的坐标．
（3）过P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于E ，F 两点，是 否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
一、知识点睛
存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查运动的结果.
一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 4. 把函数信息（坐标或表达式）转化为几何信息； 5. 分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形；
6. 结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的几何特征建立等式来解决问题． 二、精讲精练
1
．333(44或(或或(
2．（1）B (3，0)，4
3
k =
（2）A (6，4)
（3
）123413
(120)03
P P P P 或(-)或，或(，) 3．（1）B (-3，6) （2）y =-x +3
（3
）123433(3
0)(22
P P P P ，或或或(，) 4．1261224
()(46)5555
--，或(，)或，
5．（1）3
3(4)4
33(4)4x x S x x ?--<-??=??+>-??
（2）1217919()2424P P -
-，或(，) （3）12
412124
()5555
P P ，或(-，)
一次函数之存在性问题（随堂测试）
1.如图，直线y=kx-1与x轴、y轴分别交于点B，点C，且
1
2 OC
OB
=．
（1）求点B的坐标和k的值．
（2）若点A(x，y)是第一象限内直线y=kx-1上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是2？
（3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．（1）B(2，0)，
1
2 k=
（2）A(6，2)
（3
）
1234
10
(120)0
3 P P P P
或(-)或，或(，)
一次函数之存在性问题（作业）
6.如图，直线4
y x
=+与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为_______________________．
7.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点O与坐标原点重合，点A在
x轴上，点B在y轴上，OB
=BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得边OB落在AB上，点O与点D重合．
（1）求直线BE的解析式．
（2）求点D的坐标．
（3）x轴上是否存在点P，使△PAD是等腰三角形？若存在，
求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
8.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知
A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．
（1）求直线AB的解析式；
（2）当点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等时，
求点D的坐标．
9.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别交于点A，点
B，点P(x，y)是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为(6，
0)，O是坐标原点，设△PCO的面积为S．
（1）求S与x之间的函数关系式．
（2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15？
（3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F，
是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P
的坐标；若不存在，请说明理由．
【参考答案】
1．(13(44---或(-或或(
2．（1）y =+
（2）3D (-
（3）1234(40)6(600P P P P ----+，或()或(，) 3．（1）y =-2x +4
（2）1234(40)20(20)40D D D D -，
或(-，)或，或(，) 4．（1）324(8)324(8)
x x S x x -+?
（2）(3，5)或(13，-5) （3）(0，8)
一次函数之动点问题（讲义）
一、知识点睛
动点问题的特征是____________，主要考查运动的_______．
1.一次函数背景下研究动点问题的思考方向：
①把函数信息（________________）转化为基本图形的信息；
②分析运动过程，注意__________，确定对应的___________；
③画出符合题意的图形，研究几何特征，设计解决方案．
2.解决具体问题时会涉及_________________，需要注意两点：①路程即线段
长，可根据s=vt直接表达________或________；
②根据研究几何特征的需求进行表达，既要利用_________
________，又要结合____________．
二、精讲精练
1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直线
3
3
4
y x
=-+与x轴、y
轴分别交于A，B两点．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿射线AO 匀速运动，设点P的运动时间为
t秒．
（1）求OA，OB的长．
（2）过点P与直线AB垂直的直线与y轴交于点E，在点P
的运动过程中，是否存在这样的点P，使△EOP≌△AOB？
若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．
3.如图，在直角梯形COAB中，OC∥AB，以O为原点建立平面直角坐标系，
A，B，C三点的坐标分别为A(8，0)，B(8，11)，C(0，5)，点D为线段BC 的中点．动点P从点O出发，以每秒1个单位的速度，沿折线OA—AB—BD 的路线运动，至点D停止，设运动时间为t秒．
（1）求直线BC的解析式．
（2）若动点P在线段OA上运动，当t为何值时，四边形
OPDC的面积是梯形COAB面积的1
4
？
（3）在动点P的运动过程中，设△OPD的面积为S，求S 与t之间的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．
4.
如图，直线y=+x轴交于点A，与直线y x
=交于点P．（1）求点P的坐标．
（2）求△OPA的面积．
（3）动点E从原点O出发，以每秒1个单位的速度沿OA
方向向终点A运动，过点E作EF⊥x轴交线段OP或线段
PA于点F，FB⊥y轴于点B．设运动时间为t秒，矩形OEFB
与△OPA重叠部分的面积为
S，求S与t之间的函数关系式．
5.如图，直线l的解析式为y=-x+4，它与x轴、y轴分别交于A，B两点，平
行于直线l的直线m从原点O出发，沿x轴的正方向以每秒1个单位长度的速度运动，它与x轴、y轴分别交于M，N两点，设运动时间为t秒（0< t <4）．
（1）求A，B两点的坐标；
（2）用含t的代数式表示△MON的面积S1；
（3）以MN为对角线作矩形OMPN，记△MPN和△OAB重
叠部分的面积为S2，试探究S2与t之间的函数关系式．
三、回顾与思考
______________________________________________________
______________________________________________________
______________________________________________________
【参考答案】
一、知识点睛
速度已知，过程．
1．①坐标或表达式；
②状态转折，时间范围．
2．线段长的表达；
①已走路程，未走路程；
②动点的运动情况，基本图形信息．
二、精讲精练
1．（1）OA=4，OB=3；
（2）t =1或t =7 2．（1
）y =+
（2
）2
2(04)
2
(48)
t S t
=??+<
（3
）123(08)(08)(0M M M -或或，
4(0M 或
3．（1）3
54y x =+
（2）3
2
t =
（3）4(08)248(819)248(1924)t
t S t t t t
=-+
≤≤
4．（1
）(3P （2
） （3
）2
2(03)6(34)t S t
=??+-<
5．（1）(40)(04)A B ，,，
（2）211
2
S t =
（3）2
221(02)2
388(24)2
t t S t t t ?
一次函数之动点问题（随堂测试）
1.如图，直线l1
：y+与x轴、y轴分别交于A，B两点，直线l2
：y=+x轴交于点C，与直线l1交于点P．
（1）求点P的坐标．
（2）动点M从点C出发，以每秒2个单位的速度沿折线CP-PB
向点B匀速运动（点M不与点C重合），设△OMC的面积
为S，运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式，并写出
自变量t的取值范围．
（3）当t为何值时，△OMC的面积是△APC面积的
1
4
？
【参考答案】
1．（1）(2
P
（2
）
(04)
(46)
t
S
t
?<
?
=?
-+<
??
≤
≤
（3）
4
3
一次函数之动点问题（作业）
1. 如图，直线y =x +4与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，直线y =-x +b 过点B 且与x 轴交于点C ．
2. 已知：如图，在直角梯形COAB 中，OC ∥AB ，∠AOC =90°，AB =4，AO =8，
OC =10，以O 为原点建立平面直角坐标系，点D 为线段BC 的中点．动点P 从点A 出发，以每秒4个单位的速度，沿折线AO -OC -CD 向终点D 运动，设运动时间为t 秒． （1）求点D 的坐标；
（2）在动点P 的运动过程中，设△OPD 的面积为S ，求S 与t 之间的函数关系式，并写出自变量t 的取值范围．
3.
如图，直线y x
=-+x轴交于点A，与直线y x
=交于点B．
（1）求点B的坐标．
（2）判断△OAB的形状并说明理由．
（3）动点D从原点O出发，
个单位的速度沿OA向终点A运动（点D不与点O，A重合），过点D作DC⊥x轴，交线段OB或线段BA于点C，CE ⊥y轴于点E．设运动t秒时，矩形ODCE与△OAB重叠部分的面积为S，求S 与t之间的函数关系式．
【参考答案】
1．（1）4y x =-+
（2）2
21(04)2
14(48)2
t t S t t t ?
2．（1）(47)D ，
（2）1428(02)9
816
(2)29231692()24
t t S t t t t ?
?-+
=-
-+<
3．（1
）B （2）△OAB 是等腰直角三角形
（3）2
2(02)31616(24)
t
t S t t t ?
一次函数应用题（讲义）
一、知识点睛
1.理解题意：结合图象依次分析____________的实际意义，把函数图象与
____________对应起来，可借助示意图（如线段图）等梳理信息．
2.利用____________解决问题：把所求问题转化为函数元素，利用表达式进
行求解；另外当实际场景发生变化时，要分析________________________或者________________________．
3.结合实际场景验证所求结果．
二、精讲精练
1.一辆快车和一辆慢车分别从A，B两站同时出发，相向而行．快车到达B站
后，停留1小时，然后原路原速返回A站，慢车到达A站即停运休息．如图表示的是两车之间的距离y（千米）与行驶时间x（小时）的函数图象．请结合图象信息，解答下列问题：
（1）直接写出快车、慢车的速度及A，B两站间的距离；
（2）求快车从B站返回A站时，y与x之间的函数关系式；
（3）出发几小时，两车相距200千米？请直接写出答案．
2.在一条笔直的公路上有A，B两地，甲骑自行车从A地到B地；乙骑自行车
从B地到A地，到达A地后立即按原路返回．如图是甲、乙两人离B地的距离y（km）与行驶时间x（h）之间的函数图象，根据图象解答以下问题：（1）写出A，B两地之间的距离；
（2）求出点M的坐标，并解释该点坐标所表示的实际意义；
（3）若两人之间保持的距离不超过3km时，能够用无线对
讲机保持联系，请直接写出甲、乙两人能够用无线对讲机
保持联系时x的取值范围．
3.2013年夏，某地发生特大暴雨灾害，受其影响，某药品的需求量急增．如
图所示，平常对某种药品的需求量y1（万件）、供应量y2（万件）与价格x （元/件）分别近似满足下列函数关系式：y1=-x+70，y2=2x-38，需求量为0时，即停止供应．当y1=y2时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．
（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．
（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？
（3）由于灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格
补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需
将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元
补贴，才能使供应量等于需求量？
/件）
一次函数之全等三角形存在性（北师版）11.26 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，若x轴的负半轴、y轴的负半轴上分别 存在点E，F，使得△EOF与△AOB全等，则直线EF的表达式为( ) ? A. B. ? C. D. 1 2 2.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线上不与A，B重合 的动点．过点C的另一直线CD与y轴相交于点D，若使△BCD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D.
3.(本小题16分)如图，直线y=-2x+4与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P(x，y)是直线y=-2x+4上的一个动点， 过P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于E，F两点，若△EOF与△AOB全等，则点P的坐标为( ). A. B. ? C. D. 4.(本小题16分)如图，直线y=x+2与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C是直线y=x+2上不与A，B重合的动点．过 点C的另一直线CD与x轴相交于点D，若使△ACD与△AOB全等，则点C的坐标为( ) ? A. B. ? C. D. 4 5 5.(本小题18分)如图，直线AB与x轴、y轴分别交于A，B两点，已知A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标 轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB．若满足点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等，则满足题意的点D有( )个. A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
6.(本小题18分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为(-3，0)， P(x，y)是直线上的一个动点（点P不与点A重合）．当△OPC的面积为时，点P的坐标为( ) ? A. B. C. D. 一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 11.25 1.(本小题16分)如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点P是x轴上的动点， 若使△ABP为等腰三角形，则点P的坐标是( ) A. B. C. D.
一次函数之存在性问题 知识点睛 函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理． 几何图形 一次函数坐标 1. 如图，直线2y x = +与坐标轴分别交于A ，B 两点，点C 在y 轴上，且12 OA AC =，直线CD ⊥AB 于点P ，交x 轴于点D ． （1）求点P 的坐标； （2）坐标系是否存在点M ，使以点B ，P ，D ，M 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由． 2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB =． （1）求B 点的坐标和k 的值． （2）若点A （x ，y ）是第一象限的直线y =kx -4上的一个动点,则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由．
3.如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x 与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD = （1）求直线AB的解析式及点C的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）P是直线AD上的一个动点，在平面是否存在点Q，使以O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
4. 如图，直线1 22 y x = +与x 轴、y 轴分别交于A ，B 两点，点C 的坐标为（-3,0） ，P （x ，y ）是直线1 22 y x = +上的一个动点（点P 不与点A 重合） ． （1）在P 点运动过程中，试写出△OPC 的面积S 与x 的函数关系式； （2）当P 运动到什么位置时，△OPC 的面积为27 8 ，求出此时点P 的坐标； （3）过P 作AB 的垂线分别交x 轴、y 轴于E ，F 两点，是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 6.如图，在直角坐标系中，一次函数y = 23 x +的图象与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ． （1）已知OC ⊥AB 于C ，求C 点坐标； （2）在x 轴上是否存在点P ，使△PAB 为等腰三角形？若存在，请直接写出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． x x
一次函数之存在性问题 1. 如图，直线与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且，直 线CD⊥AB于点P，交x轴于点D． （1）求点P的坐标； （2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．2. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别 与x轴、y轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC=，点C的坐标为（-9，0）． （1）求点B的坐标． （2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表 达式．（3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
3. 如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且． （1）求B点的坐标和k的值． （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴、y轴 上，OA=6，OB=12，点C是直线y=2x与直线AB的交点，点D在线段OC上，OD=． （1）求直线AB的解析式及点C的坐标； （2）求直线AD的解析式； （3）P是直线AD上的一个动点，在平面内是否存在点Q，使以 O，A，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
5. 如图，直线与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为 （-3,0），P（x，y）是直线上的一个动点（点P不与点A重 合）． （1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式；（2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为，求出此时点P的坐标； （3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数之存在性问题
一次函数与等腰三角形的存在性问题 一．选择题（共3小题） 1．在平面直角坐标系中有两点：A（﹣2，3），B（4，3），C是坐标轴x轴上一点，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C共有（） A．2个B．3个C．4个D．6个 2．（2008?天津）在平面直角坐标系中，已知点A（﹣4，0），B（2，0），若点C在一次函数y=﹣x+2的图象上，且△ABC为直角三角形，则满足条件 的点C有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 3．（2016?江宁区一模）已知点A，B的坐标分别为（﹣4，0）和（2，0）， 在直线y=﹣x+2上取一点C，若△ABC是直角三角形，则满足条件的点C 有（） A．1个B．2个C．3个D．4个 二．填空题（共4小题） 4．（2015?杭州模拟）在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣4，0），B（2，0），设点C是函数y=﹣（x+1）图象上的一个动点，若△ABC是直角三角形，则点C的坐标是． 5．（2009秋?南昌校级期末）在直角坐标系中，点A、B、C的坐标分别为（1，2）、（0，0）、（3，0），若以点A、B、C、D为顶点构成平行四边形，则点D 的坐标应为． 6．（2009秋?扬州校级期中）在平面直角坐标系中若△ABC的顶点坐标分别为：A（3，0）、B（﹣1，0）、C（2，3）、若以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，则点D的坐标为． 7．（2010春?江岸区期中）一个平行四边形在平面直角坐标系中三个顶点的 坐标分别是（﹣1，﹣1），（﹣2，3），（3，﹣1），则第四个顶点的坐标 为． 三．解答题（共14小题） 8．四边形ABCD中，BD，AC相交于O，且BD⊥AC，求证：AB2+CD2=AD2+BC2．9．如图，直线y=﹣x+3与x轴、y轴分别交于点A，点B，在第一象限是 否存在点P，使以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
一次函数动点问题 1 如图，已知直线1l 的解析式为63+=x y ，直线1l 与x 轴、y 轴分别相交于A 、B 两点，直线2l 经过B 、C 两点，点C 的坐标为（8，0），又已知点P 在x 轴上从点A 向点C 移动，点Q 在直线2l 从点C 向点B 移动．点P 、Q 同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t 秒（101< 3 如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点A的坐标为(－4，0)，点B的坐标为(0，b)(b>0)．P是直线AB 上的一个动点，作PC⊥x轴，垂足为C．记点P关于y轴的对称点为P'（点P'不在y轴上），连结PP'，P'A，P'C．设点P的横坐标为a． (1)当b＝3时， ①求直线AB的解析式； ②若点P'的坐标是(-1，m)，求m的值； (2)若点P在第一象限，记直线AB与P'C的交点为D．当P'D：DC=1：3时，求a的值； (3)是否同时存在a，b，使△P'CA为等腰直角三角形？若存在，请求出所有满足要求的a，b的值；若不存在， 请说明理由． 一次函数与特殊四边形的存在性问题 （培优专题） 1．（2015春?通州区校级期中）如图，在直角坐标系中，A（0，1），B（0，3），P是x轴上一动点，在直线y=x上是否存在点Q，使以A、B、P、Q为顶点的四边形为平行四边形？若存在，画出所有满足情况的平行四边形，并求出对应的P、Q的坐标；若不存在，请说明理由． 2．（2015春?北京校级期中）已知直线y=x+3分别交x轴、y轴于点A、B． （1）求∠BAO的平分线的函数关系式；（写出自变量x的取值范围） （2）点M在已知直线上，点N在坐标平面内，是否存在以点M、N、A、O 为顶点的四边形为菱形？若存在，请直接写出点N的坐标；若不存在，说明理由． 3．（2010秋?吴江市校级期中）已知：如图，在矩形ABCD中，点E在AD 边上，AE＞DE，BE=BC，点O是线段CE的中点． （1）试说明CE平分∠BED； （2）在直线AD上是否存在点F，使得以B、C、F、E为顶点的四边形是菱形？如果存在，试画出点F的位置，并作适当说明；如果不存在，请说明理由． 4．如图，在平面直角坐标系xOy，直线y=x+1与y=﹣2x+4交于点A，两直线与x轴分别交于点B和点C，D是直线AC上的一个动点，直线AB上是否存在点E，使得以E，D，O，A为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 5．如图，点A的坐标是（2，1），点B的坐标是（5，1），过点A的直线l 的表达式为y=2x+b，点C在直线l上运动，在直线OA上是否存在一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 6．（2012春?雨花区校级期末）如图，已知等边△ABC的边长为2，顶点A、B分别在x轴、y轴的正半轴上移动． （1）当OA=时，求点C的坐标． （2）在（1）的条件下，求四边形AOBC的面积． （3）是否存在一点C，使线段OC的长有最大值？若存在，请求出此时点C 的坐标；若不存在，请说明理由． 2017年数学中考专题《存在性问题》 题型概述 【题型特征】存在性问题是指判断满足某种条件的事物是否存在的问题，这类问题的知识覆盖面较广，综合性较强，题意构思非常精巧，解题方法灵活，对学生分析问题和解决问题的能力要求较高.存在性问题按定性可分为:肯定型和否定型.存在性问题在假设存在以后进行的推理或计算，对基础知识，基本技能要求较高，并具备较强的探索性.正确、完整地解答这类问题，是对我们知识、能力的一次全面的考验. 【解题策略】不同的存在性问题解法不同.下面按照解法及设问方式的不同将存在性问题分为代数方面的存在性问题(如方程根是否存在、最值是否存在等)、点的存在性问题(如构成特殊图形的点是否存在)并举例分析. (1)代数方面的存在性问题的解法思路是:将问题看成求解题，进行求解，进而从有解或无解的条件，来判明数学对象是否存在，这是解决此类问题的主要方法. (2)点的存在性问题的解法思路是:假设存在→推理论证→得出结论.若能导出合理的结果，就做出“存在”的判断;若导出矛盾，就做出不存在的判断. 真题精讲 类型一 代数方面的存在性问题 典例1 (2016·广东梅州)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线2 y x bx c =++过,,A B C 三点，点A 的坐标是(3,0)，点C 的坐标是(0，－3)，动点P 在抛物线上. (1)b = ，c = ，点B 的坐标为 ;(直接填写结果) (2)是否存在点P ，使得ACP ?是以AC 为直角边的直角三角形?若存在，求出所有符合条件的点P 的坐标;若不存在，说明理由; (3)过动点P 作PE 垂直y 轴于点E ，交直线AC 于点D ,过点D 作x 轴的垂线.垂足为F ，连接EF ，当线段EF 的长度最短时，求出点P 的坐标. 【解析】二次函数的图象及其性质，三角形中位线定理，应用数学知识综合解决问题的能力. 【全解】(1)－2 －3 (－1,0) (2)存在. 第一种情况，当以C 为直角顶点时，过点C 作1CP AC ⊥,交抛物线于点1P .过点1P 作y 轴的垂线，垂足是M .如图(1)， ,90OA OC AOC =∠=?Q ， 45OCA OAC ∴∠=∠=?. 190ACP ∠=?Q , 11 904545MCP CPM ∴∠=?-?=?=∠. 1MC MP ∴=. 一次函数与四边形综合专题 1．如图，将一个正方形纸片OABC放置在平面直角坐标系中，其中A（1，0），C（0，1），P为AB边上一个动点，折叠该纸片，使O点与P点重合，折痕l与OP交于点M，与对角线AC交于Q点 （Ⅰ）若点P的坐标为（1，），求点M的坐标； （Ⅱ）若点P的坐标为（1，t） ①求点M的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） ②求点Q的坐标（用含t的式子表示）（直接写出答案） （Ⅲ）当点P在边AB上移动时，∠QOP的度数是否发生变化？如果你认为不发生变化，写出它的角度的大小．并说明理由；如果你认为发生变化，也说明理由． 2．如图，△OAB的一边OB在x轴的正半轴上，点A的坐标为（6，8），OA=OB，点P在线段OB上，点Q在y轴的正半轴上，OP=2OQ，过点Q作x轴的平行线分别交OA，AB于点E，F． （1）求直线AB的解析式； （2）若四边形POEF是平行四边形，求点P的坐标； （3）是否存在点P，使△PEF为直角三角形？若存在，请直接写出点P的坐标； 若不存在，请说明理由． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知矩形OABC的两个顶点A、B 的坐标分别A （，0）、B（，2），∠CAO=30°． （1）求对角线AC所在的直线的函数表达式； （2）把矩形OABC以AC所在的直线为对称轴翻折，点O落在平面上的点D处，求点D的坐标； （3）在平面是否存在点P，使得以A、O、D、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4．如图，直线l与坐标轴分别交于A、B两点，∠BAO=45°，点A坐标为（8，0）．动点P从点O出发，沿折线段OBA运动，到点A停止；同时动点Q也从点O出发，沿线段OA运动，到点A停止；它们的运动速度均为每秒1个单位长度． （1）求直线AB的函数关系式； （2）若点A、B、O与平面点E组成的图形是平行四边形，请直接写出点E的坐标； （3）在运动过程中，当P、Q的距离为2时，求点P的坐标． 5．在平面直角坐标系xOy中，过原点O及点A（0，2）、C（6，0）作矩形OABC，∠AOC的平分线交AB于点D．点P从点O出发，以每秒个单位长度的速度沿射线OD方向移动；同时点Q从点O出发，以每秒2个单位长度的速度沿x轴正方向移动．设移动时间为t秒． （1）当点P移动到点D时，t=秒； 一次函数之等腰直角三角形的存在性（讲义）?课前预习 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A， B 是两个格点，若点 C 也是图中的格点，且使得△ABC 为等 腰直角三角形，则符合条件的点C 有个． 2.用铅笔做讲义第1 题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知 识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3 分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题的处理思路 ①分析不变特征 分析所求图形中的定点、定线、定角等不变特征． ②分类、画图 结合所求图形的形成因素，依据其判定、定义等确定分类，并画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③求解、验证 围绕不变特征、画图依据来设计方案进行求解；验证时，要回归点的运动范围，画图或推理，判断是否符合题意． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点，线，角；函数背景研究点坐标，表达式等． 2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解． ?精讲精练 1.如图，直线y=-2x+6 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点P 是 第一象限内的一个动点，若以A，B，P 为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P 的坐标为． 2.如图，直线y =-1 x +b 与x 轴、y 轴分别交于点A，B，点C 3 在直线y =-1 x +b 上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为 3 ． 3 2 （1）求直线y =-1 x +b 的表达式及点C 的坐标；3 （2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为． 一次函数之存在性问题 1.(2019秋九江期中)如图在平面直角坐标系中,过点C(0,6)的直线AC与直线OA相交于点A(4,2),动点M 在线段OA和射线AC上运动. (1)求直线AB的函数关系式 (2)求△OAB的面积 (3)是否存在点M,使△OMC的面积与△OAB的面积相等?若存在求出此时点M的坐标;若不存在,说明理由 2.(2019春通城县期末)如图,A,B是直线y=x+4与坐标轴的交点,直线y=-2x+b点B,与x轴交于点C (1)求A,B,C三点的坐标; (2)点D是折线A-B-C上一动点 ①当点D是AB的中点时,在x轴上找一点E,使ED+EB的和最小,用直尺和圆规画出点E的位置(保留作图痕迹,不要求写作法和证明),并求E点的坐标 ② 是否存在点D,使△ACD为直角三角形,若存在,直接写出D点的坐标;若不存在,请说明理由 3.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且 4 3 OC OB =． （1）求B点的坐标和k的值． （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 4.如图，直线 1 2 2 y x =+与x轴、y轴分别交于A，B两点，点C的坐标为（-3,0），P（x，y）是直线 1 2 2 y x =+ 上的一个动点（点P不与点A重合）． （1）在P点运动过程中，试写出△OPC的面积S与x的函数关系式； （2）当P运动到什么位置时，△OPC的面积为 27 8 ，求出此时点P的坐标； （3）过P作AB的垂线分别交x轴、y轴于E，F两点，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． x x 特殊平行四边形存在性 ?课前预习 1.一般情况下我们如何处理存在性问题？ （1）研究背景图形 坐标系背景下研究____________、____________；几何图形研究____________、____________、____________． （2）根据不变特征，确定分类标准 研究定点，动点，定线段，确定分类标准 不变特征举例： ①等腰三角形（两定一动） 以定线段作为_________或者___________来分类，利用 _______________确定点的位置． ②等腰直角三角形（两定一动） 以________________来分类，然后借助_________或者 ___________确定点的位置． （3）分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解 （4）结果验证 2.用铅笔做讲义第1，2题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知识点睛，再 做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． ?知识点睛 1.存在性问题处理框架： ①研究背景图形． ②根据不变特征，确定分类标准． ③分析特殊状态的形成因素，画出符合题意的图形并求解． ④结果验证． 2.特殊平行四边形存在性问题不变特征举例： ①菱形存在性问题（两定两动） 转化为等腰三角形存在性问题； 以定线段作为底边或者腰确定分类标准，利用两圆一线确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ②正方形存在性问题（两定两动） 转化为等腰直角三角形存在性问题； 根据直角顶点确定分类标准，利用两腰相等或者45°角确定一动点的位置，然后通过平移确定另一动点坐标． ?精讲精练 1.如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l：24 =-与x轴交于点A，与y y x 轴交于点B． （1）求点A，B的坐标． x=-上的一动点，则在坐标平面内是否存在点Q，使得以A，（2）若P是直线2 B，P，Q为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由． 中考数学专题复习——存在性问题 一、二次函数中相似三角形的存在性问题 1.如图，把抛物线2 =向左平移1个单位，再向下平移4个单位，得到抛物线2 y x =-+. y x h k () 所得抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左边），与y轴交于点C，顶点为D. （1）写出h k 、的值；（2）判断△ACD的形状，并说明理由； （3）在线段AC上是否存在点M，使△AOM∽△ABC？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由. 2.如图，抛物线经过A（﹣2，0），B（﹣3，3）及原点O，顶点为C． （1）求抛物线的解析式； （2）若点D在抛物线上，点E在抛物线的对称轴上，且A、O、D、E为顶点的四边形是平行四边形，求点D的坐标； （3）P是抛物线上的第一象限内的动点，过点P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P， 使得以P、M、A为顶点的三角形△BOC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 二、二次函数中面积的存在性问题 3.如图，抛物线()20y ax bx a >=+与双曲线k y x = 相交于点A ，B ．已知点B 的坐标为（－2，－2）， 点A 在第一象限内，且tan ∠AOX ＝4．过点A 作直线AC ∥x 轴，交抛物线于另一点C ． （1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC 的面积； （3）在抛物线上是否存在点D ，使△ABD 的面积等于△ABC 的面积．若存在，写出点D 的坐标； 若不存在，说明理由． 4.如图，抛物线y ＝ax 2 ＋c （a ＞0）经过梯形ABCD 的四个顶点，梯形的底AD 在x 轴上， A （－2,0）， B （－1, －3）． （1）求抛物线的解析式；（3分） （2）点M 为y 轴上任意一点，当点M 到A 、B 两点的距离之和为最小时，求此时点M 的坐标；（2分） （3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P 使S △PAD ＝4S △ABM 成立，求点P 的坐标．（4分） (4)在抛物线的BD 段上是否存在点Q 使三角形BDQ 的面积最大，若有，求出点Q 的坐标，若没有，说明理由。 一次函数之存在性问题（一）（讲义）?课前预习 1.如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为 1)，P为 y轴上一点，且△POA为等腰三角形，则满足条件的点P的坐标为______________． 2.如图是乐乐的五子棋棋盘的一部分（5×5的正方形网格），以点D，E为两个 顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与△ABC全等，这样的格点三角形最多可以画出 _______个． ?知识点睛 1.存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存 在的题目，主要考查_______________． 2.存在性问题的处理思路： ①分析不变特征 分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类． ②分类画图求解 分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证 回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等． 3.等腰三角形存在性的不变特征及特征下操作要点举例： 两定一动 连接两个定点得定线段，定线段在等腰三角形中作腰或底进行分类（两圆一线），通常借助腰相等或者“三线合一”进行求解． 4.全等三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 分析两三角形的不变特征及对应关系，根据不确定的对应关系进行分类，通常借助边、角的对应相等进行求解． ?精讲精练 1.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于点A，B，且 4 3 OB OA ． 点C在第一象限，且在直线y=kx-4上，△AOC的面积是6． （1）求点C的坐标． （2）x轴上是否存在点P，使△POC是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 2.如图，直线y=2x+3与y轴交于点A，与直线x=1交于点B． （1）求点A，B的坐标． 一次函数之存在性问题（ 知识点睛 函数背景下研究存在性问题，先把函数信息转化为几何信息，然后按照存在性问题来处理． 几何图形 一次函数 坐标 ①求坐标：___________________________；______________． ②求函数表达式：__________________；_________________． ③研究几何图形：__________________；__________________． 二、精讲精练 1. 如图，直线2 3 y x =+与坐标轴分别交于A，B两点，点C在y轴上，且 1 2 OA AC =，直线CD ⊥AB于点P，交x轴于点D． （1）求点P的坐标； ； （2）坐标系内是否存在点M，使以点B，P，D，M为顶点的四边形为平行四边形若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． , 2.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y轴重合，AB∥OC， ∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC =C的坐标为（-9，0）． （1）求点B的坐标． （2）如图，直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表达式． （3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． | : % 3.- 4.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且 4 3 OC OB ． （1）求B点的坐标和k的值． （2）若点A（x，y）是第一象限内的直线y=kx-4上的一个动点,则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6 （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在点P，使△POA是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由． ~ ~ 一次函数之存在性问题（二）（讲义） 课前预习 1.如图所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点．已知A， B是两个格点，若点C也是图中的格点，且使得△ABC为等腰直角三角形，则符合条件的点C有________个． 2.用铅笔做讲义第1题，并将计算、演草保留在讲义上，先看知 识点睛，再做题，思路受阻时（某个点做了2~3分钟）重复上述动作，若仍无法解决，课堂重点听． 知识点睛 1.存在性问题的处理思路： ①分析不变特征 分析背景图形中的定点、定线及不变特征，结合图形形成因素（判定，定义等）考虑分类． ②分类画图求解 分析各种状态的可能性，画出符合题意的图形． 通常先尝试画出其中一种情形，分析解决后，再类比解决其他情形． ③结果验证 回归点的运动范围，画图或推理，验证结果． 注：复杂背景下的存在性问题往往需要研究背景图形，几何背景往往研究点、线、图形；函数背景往往研究点坐标、表达式等． 2.等腰直角三角形存在性的特征分析及特征下操作要点： 三角形的三个顶点分别为直角顶点进行分类，在直角的基础上，再考虑等腰，通常借助构造弦图模型进行求解． 精讲精练 1.如图，直线y=-2x+6与x轴、y轴分别交于点A，B，点P是 第一象限内的一个动点，若以A，B，P为顶点的三角形是等腰直角三角形，则点P的坐标为______________________． 2.如图，直线13 y x b =-+与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，点C 在直线13y x b =-+上，且其纵坐标为1，△OAC 的面积为32 ．（1）求直线13 y x b =-+的表达式及点C 的坐标；（2）点P 是第二象限内的一个动点，若△ACP 是等腰直角三角形，则点P 的坐标为____________________． 一次函数之存在性问题（作业） 1. 如图，直线4y x =+与x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知 点P 是第二象限内的点，若点P ，O ，A 组成了一个含30°角的直角三角形，则点P 的坐标为_______________________． y x B A O y x B A O 2. 如图，将Rt △AOB 放入平面直角坐标系中，点O 与坐标原点 重合，点A 在x 轴上，点B 在y 轴上，OB =23，∠BAO =30°，将△AOB 沿直线BE 折叠，使得边OB 落在AB 上，点O 与点D 重合． （1）求直线BE 的解析式． （2）求点D 的坐标． （3）x 轴上是否存在点P ，使△P AD 是等腰三角形？若存在， 求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. E O x A D y B E O x A D y B 3.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知 A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C 在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB． （1）求直线AB的解析式； （2）当点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等时，求点D的坐标． O A x B y O A x B y 4. 如图，在平面直角坐标系中，直线y =-x +8与x 轴、y 轴分别 交于点A ，点B ，点P (x ，y )是直线AB 上一动点（点P 不与点A 重合），点C 的坐标为(6，0)，O 是坐标原点，设△PCO 的面积为S ． （1）求S 与x 之间的函数关系式． （2）当点P 运动到什么位置时，△PCO 的面积为15？ （3）过点P 作AB 的垂线与x 轴、y 轴分别交于点E ，点F ， 是否存在这样的点P ，使△EOF ≌△BOA ？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． P C O A x B y P C O A x B y 一次函数之等腰三角形存在性（北师版） 一次函数应用题（四）（北师版） 一次函数综合类问题培优分类讲解（含答案） 存在性问题、动点问题、面积问题 综合类一：一次函数之存在性问题 【例题精讲】 1. 如图，直线y =+x 轴、y 轴分别交于点A ，点B ，已知点P 是第一象限内的点，由点P ，O ，B 组成了一个含60°角的直角三角形，则点P 的坐标为_____________． 2. 如图，直线y =kx -4与x 轴、y 轴分别交于B ，C 两点，且4 3 OC OB =. （1）求点B 的坐标和k 的值． y x O B A （2）若点A 是第一象限内直线y =kx -4上的一个动点，则当点A 运动到什么位置时，△AOB 的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x 轴上是否存在一点P ，使△POA 是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由. （1）B (3，0)，4 3k = （2）A (6，4) （3）123413 (2 130)2130(120)03 P P P P ，或(-，)或，或( ，) 3. 如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC 的边 OC ，OA 分别与x 轴、y 轴重合，AB ∥OC ，∠AOC =90°，∠BCO =45°，BC =62，点C 的坐标为(-9，0)． （1）求点B 的坐标． （2）若直线BD 交y 轴于点D ，且OD =3，求直线BD 的表达式． （3）若点P 是（2）中直线BD 上的一个动点，是否存在点P ，使以O ，D ，P 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说 （1）B (-3，6) （2）y =-x +3 （3）1234333333 (3 0)232(232)222222 P P P P --+，或(，)或，或(，) 综合类二：一次函数之动点问题 【例题精讲】 D C B O y A x 一次函数之存在性问题(作 业及答案) -标准化文件发布号：（9456-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII 一次函数之存在性问题（作业） 1.如图，直线4 y x =+与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第二象限内的点，若点P，O，A组成了一个含30°角的直角三角形，则点P的坐标为_______________________． 2.如图，将Rt△AOB放入平面直角坐标系中，点O与坐标原 点重合，点A在x轴上，点B在y轴上，OB = BAO=30°，将△AOB沿直线BE折叠，使得边OB落在AB 上，点O与点D重合． （1）求直线BE的解析式． （2）求点D的坐标． （3）x轴上是否存在点P，使△P AD是等腰三角形若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由. 3.如图，直线AB与x轴、y轴分别交于点A，点B，已知 A(2，0)，B(0，4)，线段CD的两端点在坐标轴上滑动（点C在y轴上，点D在x轴上），且CD=AB． （1）求直线AB的解析式； （2）当点C在y轴负半轴上，且△COD和△AOB全等时，求点D的坐标． 4.如图，在平面直角坐标系中，直线y=-x+8与x轴、y轴分别 交于点A，点B，点P(x，y)是直线AB上一动点（点P不与点A重合），点C的坐标为(6，0)，O是坐标原点，设△PCO的面积为S． （1）求S与x之间的函数关系式． （2）当点P运动到什么位置时，△PCO的面积为15 （3）过点P作AB的垂线与x轴、y轴分别交于点E，点F，是否存在这样的点P，使△EOF≌△BOA若存在，求出点P 的坐标；若不存在，请说明理由． 一次函数之存在性问题（讲义） 一、知识点睛 存在性问题：通常是在变化的过程中，根据已知条件，探索某种状态是否存在的题目，主要考查_______________. 一次函数背景下解决存在性问题的思考方向： 1.把函数信息（_________________）转化为几何信息； 2.分析特殊状态的形成因素，画出______________________； 3.结合图形（基本图形和特殊状态下的图形相结合）的_______ _______建立等式来解决问题． 二、精讲精练 1. 如图，直线y x =+x轴、y轴分别交于点A，点B，已知点P是第一象限内的点，由点P，O，B组成了一个含60°角的直角三角形，则点P的坐标为__________________． 2.如图，直线y=kx-4与x轴、y轴分别交于B，C两点，且 4 3 OC OB . （1）求点B的坐标和k的值． （2）若点A是第一象限内直线y=kx-4上的一个动点，则当点A运动到什么位置时，△AOB的面积是6？ （3）在（2）成立的情况下，x轴上是否存在一点P，使△POA是等腰三角形？ 若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由 . 3.如图，在平面直角坐标系中，直角梯形OABC的边OC，OA分别与x轴、y 轴重合，AB∥OC，∠AOC=90°，∠BCO=45°，BC =，点C的坐标为 (-9，0)． （1）求点B的坐标． （2）若直线BD交y轴于点D，且OD=3，求直线BD的表 达式． （3）若点P是（2）中直线BD上的一个动点，是否存在点P，使以O，D，P为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(完整版)一次函数与特殊四边形存在性问题(培优拓展)
2017年数学中考专题《存在性问题》
一次函数与四边形存在性问题
一次函数之等腰直角三角形的存在性 (讲义及答案).
一次函数的存在性问题
一次函数特殊平行四边形存在性
中考数学专题复习——存在性问题
一次函数之存在性问题(一)(讲义及答案)
一次函数之存在性问题
一次函数之存在性问题(二)(讲义及答案).
一次函数之存在性问题(作业及答案)
一次函数之等腰三角形存在性
1. 如图，直线 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是 x 轴上的动点， )
若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
A. C.
B. D.
1
2
3
4
2. 如图，直线 y=x+3 与 y 轴交于点 A，与直线 x=1 交于点 B，点 P 是直线 x=1 上的动点， 若使△ABP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是()A.
?
B. D.
C. 3.(本小题 16 分) 如图，直线
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是线段 AB 上的动点， )A. B.
若使△OAP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是( C. 4.( 如图，直线 D.
与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，过点 O 作 OC⊥AB 于点 C，点 P 是线段 OA 上的动点， )A. D. B.
若使△PAC 为等腰三角形，则点 P 的坐标是(
?
C.
5. 如图，直线 y=-x+2 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是直线 AB 上的动点，若使△BOP 为等腰三角形，则点 P 的坐标是( C. )A. D. B.
5 6.(本小题 18 分) 如图，直线 为等腰三角形，则符合条件的点 P 共有(
6 与 x 轴、y 轴分别交于 A，B 两点，点 P 是坐标轴上一动点，若使△ABP ) A. 2 个 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个
1. 甲、乙两辆摩托车同时从相距 60km 的 A，B 两地出发，相向而行．图中 ， 离 s（km）与行驶时间 t（h）的函数关系，则两车相遇时乙车行驶了( )km. A. 分别表示甲、乙两辆摩托车到 A 地的距 B. 6 C. 24 D. 36
1
2
3
4
2.(本小题 12 分) A，B，C 三地位于一条笔直高速公路的同侧，B 地在 A 地与 C 地之间，A，C 两地相距 560 千米，A，B 两地相距 20 千米．甲、乙两车分别从 A 地、B 地前往 C 地．如图，分别表示甲、乙两车离 A 地的距离 s（千米）与乙 车行驶时间 t（小时）之间的关系，则两车相遇时甲行驶了( )小时． A. 3.5 B. 4 C. 4.5 D. 5
3.(本小题 12 分) 甲、乙两地距离 300km，一辆货车和一辆轿车先后从甲地出发驶向乙地．如图，线段 OA 表示货车离 甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关系，折线 BC-CD-DE 表示轿车离甲地的距离 y（km）与时间 x（h）之间的关 系，根据图象，轿车从甲地出发后经过( )小时追上货车．A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 4.5 4.(本小题 12 分) 为了促进节能减排，倡导节约用电，某市将实行居民生活用电阶梯电价方案，图中折线 OA-AB-BC 反 映了每户每月用电电费 y（元）与用电量 x（度）之间的函数关系．在每月用电量超过 200 度时，每多用 1 度电要比第 二档多付电费 m 元，小刚家某月用电 290 度，交电费 207 元，则 m=( )．A. 0.1 B. 0.2 C. 0.7 D. 0.9 5.一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，设慢车行驶的时间为 x(h)，两车之间的距离 为 y(km)，图中的折线表示 y 与 x 之间的函数关系，则两车相遇之后又经过( )小时，两车相距为 270km．
A. 1
B.
C.
D.
或
5
6
7 、
8 （千米）与甲车行驶时
6.(本小题 13 分) 甲、乙两车出发去 A 地，乙提前出发，甲、乙两车到出发地的距离
间 x（小时）的函数关系如图所示，若甲到达 A 地后则立即按原路线原速度返回，则甲车在返回途中与乙车相遇时距离 A 地( )千米． A. 24 B. 60 C. 120 D. 156 7.(本小题 13 分) 甲、乙两地相距 60 千米，上周日上午小明骑自行车从甲地前往乙地，2 小时后，小明的父亲骑摩托 车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们行驶的路程 y（千米）与小明行驶的时间 x（小时）之间的函数关系如图所示， 小明父亲出发( )小时后，行进中的两车相距 12 千米． A. B. C. D.
8.(本小题 13 分) 教室里放有一台饮水机,饮水机上有两个放水管.课间同学们依次到饮水机前用茶杯接水.假设接水过 程中水不发生泼洒,每个同学所接的水量都是相等的.两个放水管同时打开时,他们的流量相同.放水时先打开一个水管, 过一会儿,再打开第二个水管,放水过程中阀门一直开着.饮水机的存水量 y(升)与放水时间 x(分钟)的函数关系如图所 示.如果打开第一个水管后,2 分钟时恰好有 4 个同学接水结束,接着打开第二个水管， 则课间 10 分钟内最多还有( ) 个同学能及时接完水？ A. 42 B. 32 C. 29 D. 25一次函数综合类问题培优分类讲解(含答案)—存在性、动点、面积问题
一次函数之存在性问题(作业及答案)
一次函数中的存在性问题讲义
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