5 数形结合谈数轴
数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的．我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是－种重要的数学思想．
运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面：
1．利用数轴能形象地表示有理数；
2．利用数轴能直观地解释相反数；
3．利用数轴比较有理数的大小；
4．利用数轴解决与绝对值相关的问题．
例1 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为l ，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 ．
(北京市“迎春杯”竞赛题)
解题思路 确定A 、B 在数轴上的位置，求出A 、B 两点所表示的有理数． 例2已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图：
则1-c +c a -+b a -化简后的结果是( )．
(湖北省初中数学竞赛选拔赛试题)
(A)b －l (B)2a －6—1
(C)l+2a －b －2c (D)1—2c+b
解题思路 从数轴上获取关于a 、b 、c 的相关信息，判断代数式c —l ，a －c ，a －b 的正负性．
例3 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示：
试判定b a b a +-，b a b a -+，cb
a c
b a -+之间的大小关系． 解题思路 推断各分数分子、分母的正负性及大小关系。
……….
例4(1)阅读下面材料：
点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B
两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有
一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1，
|AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A、B两点都不
在原点时，
①如图2，点A、B都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|；
②如图3，点A、B都在原点的左边，
|AB|=|OB|—|OA|=|b|—|a|=-b-(-a)=|a-b|；
③如图4，点A、B在原点的两边，|AB|=|OA|+|OB|=|a|+|b|=a+(-b)=|a-b|．
综上，数轴上A、B两点之间的距离|AB|=|a-b|．
(2)回答下列问题：．
①数轴上表示2和5的两点之间的距离是______，数轴上表示
一2和一5的两点之间的距离是_______，数轴上表示1和一3的两点之间的距离是_______；
②数轴上表示x和－1的两点A和B之间的距离是_____，如果
∣AB∣=2，那么x为______；
③当代数式∣x+1∣+∣x-2∣取最小值时，相应的x的取值范围是______；
④求∣x-1∣+∣x-2∣+∣x-3∣+…+∣x-1997∣的最小值．
．(2002年南京市中考题)
解题思路通过观察图形，阅读理解代数∣a-b∣所表示的意义，
来回答所提出的具体问题．
例5某城镇沿环形路有五所小学，依次为－小、二小、三小、四小、五小，它们分别有电脑15、7、1l、3、14台，现在为使各校电脑台数相等，各调几台给邻校：－小给二小，二小给三小，三小给四小，四小给五小，五小给－小，若甲小给乙小－3台，即为乙小给甲小3台，要使电脑移动的总台数最小，应作怎样安排?
(湖北省荆州市竞赛题) 解题思路通过设未知数，把调动的电脑总台数用相关代数式表示，解题的关键是，如何将实际问题转化为类似“例4”的问题加以解决．．
A 级
1．已知数轴上表示负有理数Ⅲ的点是点M，那么在数轴上与点
M相距∣m∣个单位的点中，与原点距离较远的点对应的数是_______．
(第十五届江苏省竞赛题)
2．如果数轴上点A到原点的距离为3，点B到原点的距离为5，那
么A、B两点的距离为______．
3．在数轴上表示数a的点到原点的距离为3，则以a－3=______．
4．已知a>0，b 系是_____________.(用“<”号连接) (北京市“迎春杯”竞赛题) 5．已知有理数以在数轴上原点的右方，有理数b在原点的左方， 那么( )． (A)abb (C)a+b>0 (D)a－b>O 6．如图，a、b为数轴上的两点表示的有理数，在a+b，b—2a，∣a-b∣, ∣b∣-∣a∣中，负数的个数有( )． (“祖冲之杯”邀请赛试题) 注：本练习完全取自黄东坡老师著《探究应用新思维-七年级》，可下载打印，供7年级学生练习之用，建议每天做1页，共6页，会有收获。如果觉得好，请一定购买黄东坡老师的原书，里面有更丰富的内容和讲解，强烈推荐。 1.(1) 已知 a、b为有理数，且a>0，b<0，a+b<0，将四个数a、b、?a、?b按由 小到大的顺序排列是_______________________________。 (2) 已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么点B对应的数 是_____________________________。 2.如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A、B、C、D对应的数分别是整数 a、b、c、d，且d?2a=10，那么数轴的原点应是______点。 3.已知两数a、b，如果a比b大，试判断∣a∣与∣b∣的大小。（分五种情况分别讨论） 4.如图，已知A、B分别为数轴上的两点，A点对应的数为-20，B点对应的数为100。 (1) 求AB中点M对应的数； (2) 现有一只电子蚂蚁P从B点出发，以6个单位/秒的速度向左运动， 同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度向右运动， 设两只蚂蚁在数轴上的C店相遇，求C点对应的数； (3)若当电子蚂蚁P从B点出发时，以6个单位/秒的速度向左运动，同时另一只蚂蚁Q恰好从A点出发，以4个单位/秒的速度也向左运动，设两只电子蚂蚁在数轴上的D点相遇，求D点对应的数。 5.电子跳蚤落在数轴上的某点0，第一步从0向左跳1个单位到1，第二步由1向右跳2个单位到K2，第三步由K2向左跳3个单位到K1，第四步由K1向右 跳4个单位到K 4 ?，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点K1所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置K0点所表示的数。 6.数轴上有A、B两点，若点A对应的数是-2，且A、B两点的距离为3，则点B对应的数是 __________。 7.电影《哈利·波特》中，小哈利穿墙进入“93 4站台”的镜头（如示意图中的M站台），构思奇妙，能 给观众留下深刻的印象。若A、B站台分别位于-2，-1处，AN=2NB，则N站台用类似电影中的方法可称为“__________站台”。 8.如图所示，按下列方法将数轴的正半轴绕在一个圆（该圆的周长为3个单位长，且在圆周的三个等分点处标了数字0、1、2）上：先让原点与圆周上数字0所对应的点重合，再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上，使数轴上1、2、3、4…所对应的点分别与圆周上1、2、0、1…所对应的点重合。这样，正半轴上的整数就与圆周上的数字建立了一种对应关系。 （1）圆周上的数字a与数轴上的数5对 应，则a=________； (2) 数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周n 圈（n为正整数）后，并落在圆周上数 字1所对应的位置，这个整数是_______ __（用含n的代数式表示）。 七年级数学思维探究 数与代数 刘徽（生于公元250年左右），是中国数学史上伟大的数学家，在世界数学史上也占有杰出的地位，他的杰作《九章算术注》和《海岛算经》是我国最宝贵的数学遗产．刘徽钻研学术严谨、求实，讲究“析理以辞，解体用图”，他善于启发，主张“告往而知来，举一隅而三隅反”． 1．数形结合话数轴 解读课标 1．数形结合话数轴 数学是研究“数”和“形”的一门学科，从古希腊时期起，人们就已试图把它们统一起来． 在日常生活中我们通常对有形的东西认识比较快，而对抽象的东西认识比较慢，这正是现阶段数学学习的特点，以形助数是数学学习的一个重要方法． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形联系的有力工具，主要反映在： 1．利用数轴形象地表示有理数； 2．利用数轴直观地解释相反数； 3．利用数轴解决与绝对值有关的问题； 4．利用数轴比较有理数的大小． 问题 例1（1）已知a 、b 为有理数，且0a >，0b <，0a b +<，将四个数a 、b 、a -、b -按由小到大的顺序排列是_________． （2）已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为1，点A 与原点O 的距离为3，那么点B 对应的数是__________． 试一试 对于（1），赋值或借助数轴比较大小；对于（2）确定A 、B 两点在数轴上的位置，充分考虑A 、B 两点的多种位置关系． 例2 如图，数轴上标出若干个点，每相邻两点相距1个单位，点A 、B 、C 、D 对应的数分别是整数a 、b 、c 、d ，且210d a -=，那么数轴的原点应是（ ） A ．A 点 B ．B 点 C ．C 点 D ．D 点 试一试从寻找d 与a 的另一关系式入手． 例3 已知两数a 、b ，如果a 比b 大，试判断a 与b 的大小． 试一试 因a 、b 符号未定，故a 比b 大有多种情形，借助数轴可直观全面比较a 与b 的大小． 例4 电子跳蚤落在数轴上的某点0K ，第一步从0K 向左跳1个单位到1K ，第一步由1K 向右跳2个单位到2K ，第三步由2K 向左跳3个单位到3K ，第四步由3K 向右跳4个单位到4K ，……，按以上规律跳了100步时，电子跳蚤落在数轴上的点100K 所表示的数恰是19.94，试求电子跳蚤的初始位置0K 点所表示的数． D C B A 七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴 数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的．我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是－种重要的数学思想． 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1．利用数轴能形象地表示有理数； 2．利用数轴能直观地解释相反数； 3．利用数轴比较有理数的大小； 4．利用数轴解决与绝对值相关的问题． 例1 已知数轴上有A 、B 两点，A 、B 之间的距离为l ，点A 与原点0的距离为3，那么所有满足条件的点B 与原点0的距离之和等于 ． (北京市“迎春杯”竞赛题) 解题思路 确定A 、B 在数轴上的位置，求出A 、B 两点所表示的有理数． 例2已知有理数a 、b 、c 在数轴上的对应位置如下图： 则1-c +c a -+b a -化简后的结果是( )． (湖北省初中数学竞赛选拔赛试题) (A)b －l (B)2a －6—1 (C)l+2a －b －2c (D)1—2c+b 解题思路 从数轴上获取关于a 、b 、c 的相关信息，判断代数式c —l ，a －c ，a －b 的正负性． 例3 a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示： 试判定b a b a +-，b a b a -+，cb a c b a -+之间的大小关系． 解题思路 推断各分数分子、分母的正负性及大小关系。 ………. 例4(1)阅读下面材料： 点A 、B 在数轴上分别表示实数a 、b ，A 、B 两点之间的距离表示为|AB|．当A 、B 两点中有 一点在原点时，不妨设点A 在原点，如图1， |AB|=|OB|=|b|=|a-b|；当A 、B 两点都不 在原点时， ①如图2，点A 、B 都在原点的右边|AB|=|OB|-|OA|=|b|-|a|=b-a=|a-b|； “数形结合”巧计算 数形结合使“代数问题几何化，几何问题代数化”。比如列方程解应用题时常画线段图、有理数用数轴上的点来表示等等，都是数形结合的典型例子。对于一些较难的数学问题，采用由形思数、由数想形，结合具体问题，灵活进行数形转化，往往可使复杂问题简单化、抽象问题具体化。下面就以举例谈谈“数形结合”解问题。 例如，求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，其中n是正整数． 分析：对于这个求和问题，如果采用纯代数的方法（首尾两头加），问题虽然可以解决，但在求和过程中，需对正整数n是奇数，还是偶数进行讨论． 如果采用数形结合的方法，即用图形的性质来说明数量关系的事实，那就非常的直观．现利用图形的性质来求1＋2＋3＋4＋…＋n的值，方案如下． 方案一：如图1，斜线左边的三角形图案是由上到下每层依次分别为1，2，3，…，n 个小圆圈排列组成的．而组成整个三角形小圆圈的个数恰为所求式子1＋2＋3＋4＋…＋n 的值．为求式子的值，现把左边三角形倒放于斜线右边，与原三角形组成一个平行四边形．此时，组成平行四边形的小圆圈共有n行，每行有（n＋1）个小圆圈，所以组成平行 四边形小圆圈的总个数为n（n＋1）个，因此，组成一个三角形小圆圈的个数为 21） （+ n n ， 即1＋2＋3＋4＋…＋n＝ 21） （+ n n ． 图1 方案二：设计图形如图2所示． 图2 因为组成此正方形的小圆圈共有n行，每行有n个，所以共有（n×n）个，即n2个．∴1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）＝n×n＝n2． （1）仿照上述数形结合的思想方法，设计相关图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n 是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明）（2）试设计另外一种图形，求1＋3＋5＋7＋…＋（2n－1）的值，其中n是正整数．（要求：画出图形，并利用图形做必要的推理说明） 【分析】这是一道通过材料阅读，从中得出“解题方法型”的试题；试题中渗透了运用“数形结合”的思想。即用图示法来揭示所要求的n个连续正整数的各的问题．仔细阅读后，求解问题也就不难了． 数形结合思想 1. 数形结合思想的概念。 数形结合思想就是通过数和形之间的对应关系和相互转化来解决问题的思想方法。数学是研究现实世界的数量关系与空间形式的科学，数和形之间是既对立又统一的关系，在一定的条件下可以相互转化。这里的数是指数、代数式、方程、函数、数量关系式等，这里的形是指几何图形和函数图象。在数学的发展史上，直角坐标系的出现给几何的研究带来了新的工具，直角坐标系与几何图形相结合，也就是把几何图形放在坐标平面上，使得几何图形上的每个点都可以用直角坐标系里的坐标(有序实数对)来表示，这样可以用代数的量化的运算的方法来研究图形的性质，堪称数形结合的完美体现。数形结合思想的核心应是代数与几何的对立统一和完美结合，就是要善于把握什么时候运用代数方法解决几何问题是最佳的、什么时候运用几何方法解决代数问题是最佳的。如解决不等式和函数问题有时用图象解决非常简捷，几何证明问题在初中是难点，到高中运用解析几何的代数方法有时就比较简便。 2. 数形结合思想的重要意义。 数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简捷化，使得原本需要通过抽象思维解决的问题，有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直觉，形少数时难入微。”这句话深刻地揭示了数形之间的辩证关系以及数形结合的重要性。众所周知，小学生的逻辑思维能力还比较弱，在学习数学时必须面对数学的抽象性这一现实问题；教材的编排和课堂教学都在千方百计地使抽象的数学问题转化成学生易于理解的方式呈现，借助数形结合思想中的图形直观手段，可以提供非常好的教学方法和解决方案。如从数的认识、计算到比较复杂的实际问题，经常要借助图形来理解和分析，也就是说，在小学数学中，数离不开形。另外，几何知识的学习，很多时候只凭直接观察看不出什么规律和特点，这时就需要用数来表示，如一个角是不是直角、两条边是否相等、周长和面积是多少等。换句话说，就是形也离不开数。因此，数形结合思想在小学数学中的意义尤为重大。 3. 数形结合思想的具体应用。 数形结合思想在数学中的应用大致可分为两种情形：一是借助于数的精确性、程序性和可操作性来阐明形的某些属性，可称之为“以数解形”；二是借助形 浅谈数轴在初中有理数教学中的运用 在中小学数的教学中,为了适应学生的年龄特征和接受能力,常常采用添加元素并强调运算的方法来进行数系的扩充，而有理数是从小学数学过渡到中学代数的重要基础知识,在日常生活、生产实践中, 进一步学习数十分重要。下面主要谈谈有理数与数轴的相关问题。。 七年级教材第一个新内容就是对自然数集的扩充:引入有理数的 概念。虽然学生在小学就认识了负数,但仅仅是认识。到了初中我们不仅要认识负数，还要用它来表示物体变化的量以及使所求的运算完备化。 如新人教版七年级教材上册(P02):“表示温度、产量增长率、收支情况时，既要用到数3，1.8%，3.5等，还要用到数-3，-2.7%，-4.5，-1.2等，它们的实际意义分别是：零下3摄氏度，减少2.7%，支出4.5元，亏空1.2元。”再如:“珠穆朗峰高出海平面8844.43米,记作+8848米,吐鲁番地低于海平面155米,记作-155米”。这部分内容,从具有相反意义的量入手,引入有理数概念,介绍了数轴和有理数的 关系(注意不是一一对应的关系,这一点后面会说明),利用数轴定义 了相反数和绝对值的概念,并给出比较有理数大小的法则。我们在以后的教学有理数的运算时也可以借助数轴来完成，在此要让学生对数形结合有初步意识。 七年级教材第二个主要内容就是有理数的运算,教材的重点也是 有理数的运算,因为有理数的运算是中学数学中一切运算的基础,只 有熟练掌握有理数的运算,才能顺利地完成后面内容的学习。要强调 的是有理数的加法运算尤为重要,因为减法运算可以转化为加法运算,乘法运算又是加法运算的发展,除法运算又是乘法运算的逆运算,乘 方又是乘法的特例,所以说有理数的加法运算是一切有理数运算的基础,这一点在教学当中尤为重要。 七年级教材第17页就举了几个很能说明有理数加法运算的例子,如一个物体作左右方向的运动，我们规定向左为负，向右为正。向右运动5m记作5m，向左运动5m记作-5m。 思考：如果物体先向右运动5m，再向右运动3m，那么两次运动的左后结果是什么？可以用怎样的算式来表示？ (+5)+(+3)=+8………………① 思考：如果物体先向左运动5 m，再向左运动3 m，那么两次运动后总的结果是什么？能否用算式表示？ (-5)+(-3)=-8………………② 从答案:①(+5)+(+3)=+8;②(-5)+(-3)=-8;③(+5)+(-3)=+2;④(+3)+(-5)=-2中总结出了有理数的加法法则。再例如由“15℃比-5℃高多少摄氏度?”归纳出有理数的减法法则。 1、要充分认识有理数教学的重要性 《有理数》的学习一方面是为了加深对“数量”的认识，另一方面有理数运算的学习。对“数量”的理解有助于理解物理中的“量”，为学生学习新的学科打下基础；而理解了有理数的运算法则和运算规律方便以后整式、方程、不等式的计算。故做好本章的教学是非常重要的。 1 引言 数与形是数学中最古老最基本的研究对象。华罗庚教授说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微。”数与形各有特定的含义、但他们之间相辅相成、相互渗透、相互转化。数形结合思想是重要的解题方法，是每年高考必考的重要内容，数形结合应用解题能力与学生成绩呈显著的正相关。解题时将问题转化为与之等价的图形问题，可以直观的使问题简捷获解。实现数形结合常与以下内容有关：①实数与数轴上的点的对应关系； ②所给的等式或代数式的结构含有明显的几何意义；③以几何元素和几何条件为背景建立起的概念；④函数与图像的对应关系；⑤曲线与方程的对应关系。应用数形结合思想不仅直观易发现解题途径，而且能避免复杂的计算推理，大大简化解题过程，这在解选择、填空题中更为显著，培养这种思想意识能开拓自己的思维视野。 2 文献综述 2.1国内外研究现状 数形结合作为高中数学中非常重要的思想方法，很早就引起了许多专家学者的关注。自笛卡尔创造了平面直角坐标系，数形结合的思想得到了突飞猛进的发展。文献[1]中叶立军谈到：“数缺形时少直观，形少数时难入微。数形结合百般好，隔离分家万事休。”近些年来，国内外仍有许多学者发表了对数形结合思想的应用研究，文献[2-3]中介绍了数形结合在概率统计和数列中的应用。文献[4-6]通过总结图形结构与数式结构提出了数形结合的两个主要途径。文献[7-10]认为数形结合可以直观快速解决很多问题，但转化时要遵循转化等价原则。不过由于数形结合思想应用范围极其广泛，所以我认为目前对数形结合思想的研究仍有很大的空间。 2.2国内外研究现状评价 文献[11-13]中介绍了许多数形结合的途径和方法，其中研究解决函数各类文章最多，集中于判断两函数图像交点个数及其他函数性质。对于数形结合在高中数学各种问题的研究并不够全面。 2.3提出问题 如今数形结合有着广泛的应用，即把数学与几何图形相结合，化繁为简，化抽象为具体，直观快速地抓住问题的本质与要害，可使解题起到事半功倍的效果。然而一个不 利用数轴比较数的大小 教学目标： 1、借助数轴初步学会比较正数、0和负数之间的大小。 2、初步体会数轴上数的顺序，完成对数的结构的初步构建。 3、体验数学与生活的密切联系. 教学重、难点：负数与负数的比较。 教学准备：小黑板 教学过程： 一、预习检测： 1、读数，指出哪些是正数，哪些是负数？ -8、+9、-7。9、-13、+78 2、1、怎样在直线上表示数？（1、2、 3、 4、 5、 6、7） 3、某日傍晚，黄山的气温由上午的零上2摄氏度下降了7摄氏度，这天傍晚黄山的气温是摄氏度。 二、自主探究： （一）教学例3： 1、教師出示自學提綱 （1）大樹下面为什么标0？ （2）直线上的3、4、-4、-2各表示什么意思？ （3）书上这条直线叫什么？画数轴需要画哪些要素？ 2、学生读一读自学提纲 3、学生自学教材第5页 4、学生交流汇报 5、引导学生观察数轴回答问题： A、从0起往右依次是什么？从0起往左依次是什么？你发现什么规律？ B、在数轴上分别找到1.5和-1.5对应的点。如果从起点分别到 1.5和-1.5处，应如何运动？ （7）练习：做一做的第1、2题。 （二）教学例4： 1、出示未来一周的天气情况，让学生把未来一周每天的最低气温在数轴上表示出来，并比较他们的大小。 2、学生交流比较的方法。 3、通过小精灵的话，引出利用数轴比较数的大小规定：在数轴上，从左到右的顺序就是数从小到大的顺序。 4、再让学生进行比较，利用学生的具体比较来说明“-8在-6的左边，所以-8〈-6” 5、再通过让另一学生比较“8〉6，但是-8〈-6”，使学生初步体会两负数比较大小时，绝对值大的负数反而小。 6、总结：负数比0小，正数比0大，负数比正数小。 7、练习：做一做第3题。 三、双基练习 1、练习一第4、5题。 2、练习一第6题。 在数轴上比较数的大小 知识技能目标 1.理解利用数轴上的点的位置关系比较有理数大小的法则； 2.理解负数小于零、正数大于零的合理性． 过程性目标 通过对温度计的观察和用数轴上的点来表示有理数，探索有理数大小的比较法则，进一步感受数形结合的思想方法． 教学过程 一.创设情境 和学生一起讨论: （1）数轴怎么画？它包括哪几个要素？ （2）任意写出两个正数，在数轴上画出表示它们的点，较大的数与较小的数的对应点的位置有什么关系？ （3）大于0的数在数轴上位于原点的哪一侧？小于0的数呢？二.探索归纳 在小学里，我们已学会比较两个正数的大小，那么，引进负数以后，怎样比较任意两个有理数的大小呢？例如，1与-2哪个大？-3与-4哪个大？ 想一想：1℃与-2℃哪个温度高？-1℃与0℃哪个温度高？这个关系在温度计上为怎样的情形？把温度计横过来放，就好比一条数轴．从中能否发现在数轴上怎样比较两个有理数的大小？ 让学生从讨论中发现， 在数轴上表示的两个数，右边的数总比左边的大． 由此容易得到以下的有理数大小的比较法则： 正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数． 三.实践应用（阅读课本例题） 例 1 ．号连接起来，用按从小到大的顺序排列将有理数”“4,65 1,0,3<- 解 得再由上面的比较法则容易知道,,365 1< ．365104<<<- 在数轴上画出表示这些数的点，再比较大小，结果怎样？ 例2 比较下列各数的大小： 5,3,30,31---．．． 解 将这些数分别在数轴上表示出来（如图）. 可以看出 ．3.03.135<-<-<- 例3 观察数轴，能否找出符合下列要求的数： (1)最大的正整数和最小的正整数； “数形结合”在初中数学中的运用一、以数助形 “数（代数）”与“形（几何）”是中学数学的两个主要研究对象，而这两个方面是紧密联系的．体现在数学解题中，包括“以数助形”和“以形助数”两个方面．“数”与“形”好比数学的“左右腿”．全面理解数与形的关系，就要从“以数助形”和“以形助数”这两个方面来体会．此外还应该注意体会“数”与“形”各自的优势与局限性，相互补充．“数缺形时少直觉，形少数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事非．”华罗庚的这四句诗很好地总结了“数形结合、优势互补”的精要，“数形结合”是一种非常重要的数学方法，也是一种重要的数学思想，在以后的数学学习中有重要的地位． 要在解题中有效地实现“数形结合”，最好能够明确“数”与“形”常见的结合点，，从“以数助形”角度来看，主要有以下两个结合点：（1）利用数轴、坐标系把几何问题代数化（在高中我们还将学到用“向量”把几何问题代数化）；（2）利用面积、距离、角度等几何量来解决几何问题，例如：利用勾股定理证明直角、利用三角函数研究角的大小、利用线段比例证明相似等． 例1．已知平面直角坐标系中任意两点11()A x y ，和22()B x y ，之间的距离可以用公式 AB =210y x =+的距离． 解：设( 210)P x x +，是直线210y x =+上的任意一点，它到原点的距离是 当4x =-时，OP =最小 所以原点到直线210y x =+的距离为 【说明】建立坐标系，利用坐标及相关公式处理一些几何问题，有时可以避免添加辅助线（这是平面几何的一大难点）．在高中“解析几何”里，我们将专门学习利用坐标将几何问题代数化． 数形结合思想在初中数学教学中渗透 内容提要：数形结合思想是初中课本中的基本的数学思想，在初中数学教学和解题中起着十分重要的角色。本文结合了本人的一些教学体会，讲述分析了如何充分的利用数形结合思想在教学中的运用以及去解常见数学题目，本文主要分为三个部分来分析：数转化为形，形转化为数，数形结合。使学生充分认识“数”和“形”之间的内在联系，把问题化繁为简，化难为易，使学生在学习数学知识中，充分了解和掌握数形结合这种解决问题的策略和方法。 关键字：数形结合，思想，解题 数形结合思想，就是根据数与形之间的一一对应关系，把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，使复杂问题简单化，抽象问题具体化，优化解题途径的思想。[1] 在初中教学中经常用到数形结合思想。如有理数内容体现着数形结合思想。数轴的引入是有理数内容体现数形结合思想的一个重要方面。由于对每一个有理数，数轴上都有唯一确定的点与它对应，因此，两个有理数大小的比较，是通过这两个有理数在数轴上的对应点的位置关系进行的（实数的大小比较也是如此）。相反数、绝对值概念则是通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划的。尽管我们学习的是（有理）数，但要时刻牢记它的形（数轴上的点），通过渗透数形结合的思想方法，帮助七年级学生正确理解有理数的性质及其运算法则。 又如应用题内容隐含着数形结合思想。列方程解应用题的难点是如何根据 题意寻找等量关系布列方程，要突破这一难点，往往就要根据题意画出相应的示意图。这里隐含着数形结合的思想方法。例如，北师大版七年级数学上册的第五章第七节课题是“能追上小明吗”，是一个研究行程问题的课题，教学中，老师必须渗透数形结合的思想方法，依据题意画出相应的示意图，才能帮助七年级学生迅速找出等量关系列出方程，从而突破难点。 再如不等式内容蕴藏着数形结合思想。北师大版八年级数学下册第一章内容是“一元一次不等式和一元一次不等式组”，教学时，为了加深八年级学生对不等式解集的理解，老师要适时地把不等式的解集在数轴上直观地表示出来，使学生形象地看到，不等式有无限多个解。这里蕴藏着数形结合的思想方法。在数轴上表示数是数形结合思想的具体体现，而在数轴上表示数集，则比在数轴上表示数又前进了一步。确定一元一次不等式组的解集时，利用数轴更为有效，也让学生理解的更深刻。 函数及其图象内容凸显了数形结合思想。由于在直角坐标系中，有序实数对（x ，y）与点P的一一对应，使函数与其图象的数形结合成为必然。一个函数可以用图形来表示，而借助这个图形又可以直观地分析出函数的一些性质和特点，这为数学的研究与应用提供了很大的帮助。因此，函数及其图象内容凸显了数形结合的思想方法。教学时老师若注重了数形结合思想方法的渗透，将会收到事半功倍的效果。 如果说上述的例子是初中代数的内容体现了数形结合思想，那么初中几何教学中也离不开数形结合思想。如比较两条线段（或两个角）的大小，我们常用的方法是重叠法和度量法，重叠法是几何方法，顾名思义将两条线段（或两个角）放在一起比较长短（大小），度量法是代数方法，即用刻度尺（量角器）测量两条线段的长度（两个角的大小）。体现了数形结合思想。 a a c §2．2 数轴 基础巩固训练 一、选择题 1．图1中所画的数轴，正确的是（ ） -1A 21 5 4 3B -1210C 2 1 0D 2．在数轴上，原点及原点左边的点所表示的数是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 3．与原点距离是2．5个单位长度的点所表示的有理数是（ ） A ．2．5 B ．-2．5 C ．±2．5 D ．这个数无法确定 4．关于- 3 2 这个数在数轴上点的位置的描述，正确的是（ ） A ．在-3的左边 B ．在3的右边 C ．在原点与-1之间 D ．在-1的左边 5．一个点从数轴的原点开始，先向左移动3个单位长度，再向右移动6个单位长度，这个点最终所对应的数是（ ） A ．+6 B ．-3 C ．+3 D ．-9 6．不小于-4的非正整数有（ ） A ．5个 B ．4个 C ．3个 D ．2个 7．如图所示，是数a ，b 在数轴上的位置，下列判断正确的是（ ） A ．a<0 B ．a>1 C ．b>-1 D ．b<-1 二、填空题 1．数轴的三要素是_____________． 2．数轴上表示的两个数，________边的数总比________边的数大． 3．在数轴上表示数6的点在原点_______侧，到原点的距离是_______个单位长度，表示数-8的点在原点的______侧，到原点的距离是________个单位长度．表示数6的点到表示数-8的点的距离是_______个单位长度． 4．有理数a ，b ，c 在数轴上的位置如图所示，用“<”将a ，b ，?c?三个数连接起来________． 5．大于-3．5小于4．7的整数有_______个． 6．用“>”、“<”或“＝”填空． （1）-10______0；（2） 32________-23；（3）-110_______-19；（4）-1．26________11 4 ； （5） 23________-12；（6）- _______3．14；（7）-0．25______-14；（8）-14________1 5 ． 7．在数轴上到表示-2的点相距8个单位长度的点表示的数为_________． 三、解答题 1．画出数轴并标出表示下列各数的点，并用“〈”把下列各数连接起来． -31 2 ，4，2．5，0，1，7，-5． 数形结合思想在小学数学教学中的渗透 “数”和“形”是小学数学教学的研究对象，也是贯穿小学数学教材的两条主线。“数形结合”既是一种重要的 数学思想，也是一种解决数学问题的有效方法。几何图形的优点在于直观形象，便于理解；代数方法的优点在于解题过程的机械化，可操作性强，便于把握。因此，以形助数、以数助形，实现“数”与“形”的完美结合是学好小学数学的重要思想方法。下面，笔者结合多年教学经验，谈谈在数学教学中如何渗透数形结合思想。 一、在概念形成时渗透 数学概念是知识教学中的重要组成部分，但它的抽象性、枯燥性使得教学效果不尽如人意。借助直观的图形可以将概念教学趣味化、形象化，从而帮助学生在轻松、愉快的学习氛围中理解概念的形成过程。例如，《近似数》一课中，让 学生掌握用“四舍五入法”求一个数的近似数是本节课的教学重点。许多老师通常直接告诉学生“四舍五入法”这一概念，然后通过大量的练习强化求近似数的方法。这时，我们不妨追问：学生做对了是否表明学生已经很好地理解了“四舍五入法”的涵义呢？是否有部分学生的解题活动完全建立在对概念的机械模仿上呢？事实上，这种机械模仿的情况是客观存在的。如何帮助学生从本质上理解“四要舍、五要入” 的意义呢？笔者想到了，把直观的数轴引进这节课，力求帮助学生搭建理解新知的脚手架。在学生初步感知了“近似数”的定义后，笔者展开了如下的教学： 师：请看大屏幕，31到39这9个数选择最近的路，它们分别去谁的家？ ■ 生：31靠近30，会去30的家。 师：我们就说31的近似数是30，记作：31≈30，读作：31约等于30。（师板书：31≈30） 师：在31与39之间，还有哪些数接近30呢？ （生回答出32、33、34，师相应板书出式子） 师：哪些数靠近40呢？ （生回答出39、38、37、36，师也板书出相应的式子）师：35呢？ 生：35到30和40的家一样近，两个家都可以去。 师：有道理！有没有不同的想法的？ 生：好像是40吧，我们在学习除数是两位数的除法时，把35看作40来试商的。 师：说得好！35的近似数到底是多少呢？为了不让35为难，数学家规定让35去40家。这样，35≈40（板书）。请大家仔细观察这些式子，你有什么发现？ 一．数形结合谈数轴 一、详解知识点 数学是研究数和形的学科，在数学里数和形是有密切联系的。我们常用代数的方法来处理几何问题；反过来，也借助于几何图形来处理代数问题，寻找解题思路，这种数与形之间的相互作用叫数形结合，是一种重要的数学思想。 运用数形结合思想解题的关键是建立数与形之间的联系，现阶段数轴是数形结合的有力工具，主要体现在以下几个方面： 1、利用数轴能形象地表示有理数； 2、利用数轴能直观地解释相反数； 3、利用数轴比较有理数的大小； 4、利用数轴解决与绝对值相关的问题。 二、知识点反馈 1、利用数轴能形象地表示有理数； 例1：已知有理数a 在数轴上原点的右方，有理数b 在原点的左方，那么（ ） A ．b ab < B ．b ab > C ．0>+b a D ．0>-b a 拓广训练： 1、如图b a ,为数轴上的两点表示的有理数，在a b b a a b b a ---+,,2,中，负数的个数有（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 2、把满足52≤b a 且0<+b a ，那么有理数b a b a ,,,-的大小关系是 。（用“<”号连接） 拓广训练： 若0,0> 数形结合在初一数学中的体现-中学数学论文 数形结合在初一数学中的体现 刘亮秀 （信丰县大桥中学，江西赣州341600） 摘要：华罗庚曾说：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”。这句话充分体现了数与形的关系。本文介绍了数形结合在初一数学中的体现。 关键词：数形结合；初一数学；体现 中图分类号：G633文献标识码：A文章编号：1005-6351(2013)-11-0077-01 所谓数形结合，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形相互转化，解决数学问题的一种重要思想方法。“数”是数量关系的体现，而“形”则是空间形式的的体现。一方面，借助图形的性质，将放大抽象的数学概念和数量关系，形象化、简单化，揭示隐含在它内部的几何背景，启发思考，找到解题思路；另一方面，将几何问题转化为代数问题，通过数量关系，研究几何问题。 数形结合思想通过“以形助数”、“以数解形”，使“数”与“形”的信息转换，相互渗透，不仅使解题简捷明快，还开拓解题思路，为研究和探索数学问题开辟了一条重要途径。因此，初中数学教师在初一数学中，应及时地渗透数形结合的思想，下面我谈一谈就数形结合在初一数学中的体现。 一、数形结合体现在“实数” 数轴上点与实数是一一对应的。点即形，实数即数。数轴充分表现了数的准确性与形的直观性。比如相反数就是让学生认识到原点两旁到原点距离相等的两个点所表示的数。零的相反数是零本身，是原点。绝对值表示这个数的点与原点的距 离。通过数轴可以很直观地快捷地确定结论，很容易比较出两点之间到原点的距离大小。例：如图1：数轴A、B两点分别对应实数a、b则下列结论正确的是（） A.a＞b B.a＋b＞0 C.ab＜0 D.a=b 分析：由数可知，a＞0，b＜0，a＜b，很容易a、b得到正确答案C。 二、数形结合体现在“不等式（组）” 例：解不等式组5x＋3≥2x① x+13x2②并写出不等式组的整数解。 解：由①得x≥-1 由②得x＜2 所以不等式组的解集为：-1≤x＜2 分析这类问题可以通过建立数轴，利用数形结合，直观地解决问题，减少学习阻力。如图2通过数轴很容易找到满足条件的整数解为±1、0 三、数形结合，体现在“应用题” 例：甲、乙两站相距480公里，一列慢车从甲站开出，每小时行90公里，一列快车从乙站开发出，每小时行140公里。 （1）慢车先开出1小时，快车再开，两车相反而行，问快车开出多少小时后两 浅谈数形结合思想在解题中的应用 摘要：数形结合思想是初中数学中很重要的一种思想方法，它主要是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。 关键词：数形结合思想以形助数以数解形 “数形结合”是初中数学中的一种重要的思想方法，“数”和“形”是数学中两个最基本的概念。数是数量关系的体现，形是空间形式的体现，两者是对立统一的，我们在探讨数量关系时常常借助于图形直观地去研究；而在研究图形时，又常借助于图形间隐含的数量关系去求解。即将数与形灵活地转换，运用彼此间的相互联系和作用，去有效地探求问题的解答，我认为这就是数形结合的思想方法。我国著名数学家华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔裂分家万事非”，“数”与“形”反映了事物两个方面的属性。我认为，数形结合主要指的是数与形之间的一一对应关系。数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的。因此在数学教学中，注意渗透这方面的思想，引导学生要善于将两者巧妙地结合起来分析问题，让学生在不断感悟中开阔和发展思维，为达到快速、有效地解决问题奠定良好的基础。 一、解决实数问题 数轴的引入是实数内容体现数形结合思想的有力证明，因为数轴上的点与实数是一一对应关系。因此两个实数大小的比较，可以通过它们在数轴上对应的点的位置进行判断，相反数与绝对值则可通过相应的数轴上的点与原点的位置关系来刻划。 例1：在数轴上的位置如图，化简：|a-b|-|b-c|+2|a+c|。 解：∵b<0,c<0,b>c,a>b,|c|>|a| ∴a-b>0,b-c>0,a+c<0。|a-b|-|b-c|+2|a+c|=(a-b)-(b-c)-2(a+c) =-a-2b-c。 借助数轴比较数的大小 教学目标： 知识与技能：认识数轴，体会数轴上正负数的排列规律。 过程与方法：在观察、讨论、验证等过程中，能够把数轴的点和抽象的正负数对应起来，能够借助数轴进行负数、0和正数大小的比较，体会数轴上正负数的排列规律。情感态度与价值观：通过观察、讨论、尝试等活动，渗透数形结合、一一对应的思想。 培养学生的抽象、概括能力。 教学重点：完善对数轴的认识，掌握正、负数比大小的方法。 教学难点：负数与负数比大小 教学过程： 一、复习引入 师：这是未来一周北京夜间的气温情况 师：表格里数你会读么？ 生：-4、0、-2、-6、-8、2、3 师：观察表格你了解了哪些信息？说说你是怎么想的？ 生：周日夜间温度最高、周五夜间温度最低、周一、周三、周四、周五都在0度以下……师：同学们刚才汇报的时候都是在进行数的大小比较，今天我们就来学习与负数相关的数的大小比较。 新授 （一）初步体会数轴上数的排列规律 1、借助温度计理解数轴 师：请同学们把未来这一周夜间的温度在温度计的相应位置标注出来。生：…… 师：观察温度计中的数据你发现了什么？ 生：0°以上都是正数、0°以下都是负数； 。F 。C 从上到下越来越冷、从下往上越来越热……（配合手势） 出示：（让学生将）周一哈尔滨夜间温度-25°，周一海南夜间温度29°（标注在温度计中，） 师：你能在温度计的相应位置标注出来么？ 生：犹豫；不行，这个温度计最低只有-15°，最高只到15°，不能表示。需要一个再 大一点的温度计。（通过设疑再想办法） 师：（提示）如果我们把这个温度计简化一下（渐变直线）用一条直线表示呢？ 生：那就可以表示许多温度了？（具体说说） 生：0以下有无数个负数、0以上有无数个正数。 2、（下面就自然到了）揭示数轴（的环节） 师：同学们刚才的发现非常好，如果把这条直线横过来看就是我们数学学习中一个非常 好的工具——数轴（添加正方向） 师：你能在数轴上找到1.5和-1.5的位置么？ 学生介绍找点的方法，教师重点处理-1.5这一位置的确定方法。 师：观察，数轴上正数、负数的排列有什么规律？ 生：0在中间，正数都在0的右边，负数都在0的左边。 师：是这样么？我们闭上眼睛想象一下0点左边有无数个负数，0点右边有无数个正数。 生2：从左到右依次变大…… 师：同学们很善于观察对比，正像大家总结的，数轴确实具备这样的特点。 （二）借助数轴比较数的大 师：请同学们将这一周每天的最低温度标注在数轴上，然后任选2数比大小。看看对于 比较数的大小，你又发现了什么新的知识？ 学习建议： （1）先在组内说说你是怎么比较出大小的； （2）然后每组选2对有特色的数进行汇报。 学生独立操作 全班交流：说一说是怎样比较大小的？ 数形结合让数学简单起来 【摘要】 数形结合是数学学习的一个重要的方法，所谓数形结合思想，是指数与形之间的一一对应关系，通过数与形的互相转化来解决数学问题的思想。在我们小学阶段的数学学习中，以形助数，通过直观形象的形帮助学生认识理解数和数的运算；以数解形，来帮助学生更加严谨地分析图形和图形变换。通过数形结合，可以让学生学习数学更轻松，更高效。 【关键词】 数形结合数量关系逻辑思维 一、数形结合思想的概念 数形结合思想是一种重要的数学思想。数形结合就是通过数(数量关系)与形（空间形式）的相互转化、互相利用来解决数学问题的一种思想方法。著名数学家华罗庚说过“数缺形时少直观、形少数时难入微”。 二、数形结合思想的优越性 1. 有利于学生的数学学习 从儿童思维特点来看，小学生的思维是从形象思维为主要形式逐步向抽象逻辑思维过渡，但这时的逻辑思维是初步的，且在很大程度上仍具有具体形象性。因此，通过数形结合培养学生的形象思维能力，既是儿童本身思维的需要，又是学习抽象数学知识的需要。 2．有利于头脑更聪明 对大脑的科研成果表明，大脑的两半球具有不同的功能，左半脑功能偏重于抽象的逻辑思维，讲究规范严谨，如数的运算。右半脑功能则偏重于形象思维，讲究直觉想象，如猜想、假设。左、右半脑的功能各有特征，如果互相补充就会使大脑功能更加健全和发达。有利于头脑更加聪明。 3．有利于记忆 由于数学语言比较抽象，而图形语言则比较形象。利用图形语言进行记忆速度快，记得牢。笛卡尔曾说：“没有任何东西比几何图形更容易印入脑际了。因此，用这种方式来表达事物是非常有益的。”同时，由于图象是“形象”的，语言是“抽象”的，因此对图形的记忆往往保持得比较牢固。 4．有助于思考 用图进行思维可以说是理科学习的思维特色。往往一个简单的图象就能表达复杂的思想，因此图象语言有助于数学思维的表达。在数学中，有时看到学生遇到难题百思不得其解时，如能画个草图稍加点拔，学生往往思路大开。究其原因就是充分发挥了图象语言的优越性。 三、如何在课堂教学中渗透数形结合的思想 （一）以形助数，理解数量的意义和数的运算 数的认识和计算是数学学习的一个重要组成部分，但是因为数本身的抽象性，学生在学 浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用 永吉35中王萍 数形结合:就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题,它包含以形助数和以数解形两个方面.利用它可使复杂问题简单化,抽象问题具体化,它兼有数的严谨与形的直观之长,是优化解题过程的重要途径之一,是一种基本的数学方法。 数"和"形"是数学中两个最基本的概念,它们既是对立的,又是统一的,每一个几何图形中都蕴含着与它们的形状,大小,位置密切相关的数量关系;反之,数量关系又常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起来,使抽象思维和形象思维结合起来,在解决代数问题时,想到它的图形,从而启发思维,找到解题之路;或者在研究图形时,利用代数的性质,解决几何的问题.实现抽象概念与具体形象的联系和转化,化难为易,化抽象为直观. 数形结合是培养和发展学生的空间观念和数感,进行形象思维与抽象思维的交叉运用,使多种思维互相促进,和谐发展的主要形式;数形结合教学又有助于培养学生灵活运用知识的能力。 从初中学习数轴开始，我们就建立起了有理数与数轴上点的对应关系。这可以算是数与形结合的开端。即而，学习实数之后，把这种对应转变为实数与数轴上点的一一对应。因而数形结合通常是与数轴、平面直角坐标系相联系的。新一轮课程改革中的数学课程，其基本出发点是促进学生全面、和谐、持续的发展，它要求学生通过学习数学知识、技能和方法，逐渐形成自己的数学思想和方法，让学生 学会用数学的眼光看待生活中的人和事物，学会用数学的方法解决生活中的实际问题，那么，作为最基本的数学思想之一的数形结合思想在新课程中又是怎样体现的呢？ 下面我结合它在以下几方面的运用浅谈一下。 一、数与代数中的数形结合 这部分内容与原教学大纲比，数形结合的内容有很大改变和加强。它重视渗透和揭示基本的数学思想方法，加强数学内部的联系及其相关学科的联系，如提前安排平面直角坐标系，用坐标的方法处理更多的内容包括二元一次方程组，平移变换，对称变换，函数等。又如，它改变了“先集中出方程，后集中出函数”的做法，而是按照一次和二次的数量关系，使方程和函数交替出现，分层递进，螺旋上升。 在数与代数的教学里，我认为，应该抓住实数与树轴上的点一一对应的关系，有序实数对与坐标平面上的点的一一对应关系，从数形结合的角度出发，借助数轴处理好相反数和绝对值的意义，有理数大小的比较，有理数的分类，有理数的加法运算，不等式的解集在数轴上的表示等。教师要赋予这些系统内容新的活力，采用符合课标理念的教法，在吃透新课程标准和教材的基础上，让学生经历试验、探索的过程，体验如何用数形结合思想分析和解决，培养学生学习和应用的能力，从而激发其学习数学的原动力。 例1、一元二次方程解的意义： ax2+bx+c=0(a≠0)是一元二次方程。它的解可以理解为函数y= ax2+bx+c的图象与常值函数y=0，即x轴的交点的横坐标。那么当公黄东坡7年级数学练习-数形结合话数轴
七年级数学思维探究(1)数形结合话数轴(含答案)
七年级数学竞赛题：数形结合谈数轴
“数形结合”巧计算
数形结合思想
浅谈数轴在初中有理数教学中的运用
用数形结合的方法解题
利用数轴比较数的大小
七年级数学上册在数轴上比较数的大小教案人教版
“数形结合”在重点初中数学中的运用
数形结合思想在初中数学教学中渗透
2.2.2在数轴上比较数的大小练习
数形结合思想在小学数学教学中的渗透
一.数形结合谈数轴
数形结合在初一数学中的体现
数形结合参考论文
借助数轴比较数的大小教学设计
数形结合 让数学简单起来
浅谈数形结合思想在初中数学教学中的应用
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