圆的基本性质
例1
、已知：如图⊿ABC 内接于⊙O ，∠A 的外角平分线交BC 的延长线于D 交⊙O 于E ，
求证：（1）AB·AC=AD·AE （2）AD 2 =BD·CD －AB·AC
证明：（1）?????∠GAD=∠EAB ∠GAD=∠CAD ═ ＞ ?
???
?∠EAB=∠CAD ∠DCA=∠BEA ═ ＞ ⊿AEB ∽⊿ACD ═ ＞AB AD ＝AE
AC ═ ＞ AB·
AC=AD·AE （2）DA·DE=DC·DB ═ ＞DA(DA ＋AE)=BC·
DB ??? ═ ＞DA 2 =DC·DB －DA·AE ⊿AEB ∽⊿ACD ═ ＞AD AB ＝AC
AE ═ ＞AD·AE=AB·AC
═ ＞ AD 2=BD·
CD －AB·AC
例2、已知：AE 为⊿ABC 的外接圆的直径． 求证：tgB·tgC=
AD
DE
证明：作AF ⊥BC 于F ，延长交圆于H ，连EH AE 是⊙O 直径═ ＞∠H=90°
=∠AFB ?
???? ═ ＞ BC ∥EH ═ ＞
AF FH ＝
AD DE
?????tgB·tgC=AF BF ·AF FC ＝AF 2BF·FC AF·FH=BF·FC ═
＞AF FH ═ ＞tgBtgC=AD DE
例3、已知：如图所示四边形ABCD 内接于⊙O ,AC ⊥BD ON ⊥AB 于N
M 是CD 的中点. 求证：（1）EM=ON （2）Tan ∠1·Tan ∠2=
AE
EC
证明：（1
）作直径AF ，连BF 、FC
?
???
??????∠AEB=∠ACF=90°═ ＞BD ∥FC ═ ＞BF=CD EM 是Rt ⊿DEC 斜边上的中线═ ＞EM=12CD ═ ＞ EM=1
2BF
?
????
ON ⊥AB ═ ＞ AN=NB AO=OF ═ ＞ ON=12BF ═ ＞ EM=ON （2）????
?
Tan ∠1·Tan ∠2=
AE EB ·AE ED AE·EC=BE·ED
═ ＞ Tan ∠1·Tan ∠2=AE 2AE·EC =AE EC
例4、已知：如图，MN 是⊙O 的直径．DA ⊥MN 于A 交⊙O 于C,交ME 于B
求证：AC 2=AB·AD
证明思路：先证⊿MAB ∽⊿DAN 证明: MN 是⊙O 的直径
????
?∠MEA=90°＝∠DAN ∠N ＝∠N ═ ＞⊿MEA ∽⊿DAN
???═ ＞∠AMB ＝∠ADN ∠MAB ＝∠MEN ═
＞⊿MAB ∽⊿DAN ?????═ ＞AM AD ＝AB AN ═ ＞AB·AD ＝AM·AN AC 2=AM·AN ═
＞AC 2＝AB·AD
例5、如图AB 是⊙O 的直径，CG ⊥AB 于G ，DF ⊥AB 于E ，DE ⊥CO 于F ，
求证：EF=CG
证明思路：D 、E 、O 、F 四点共圆，直径为OD ， ????
?证明∶ DF ⊥AB 于E DE ⊥CO 于F ═
＞ ∠DEO ＋∠DFO=180° ???
═ ＞ D 、E 、O 、F 四点共圆且直径=OD ⊿OCG 的外接圆的直径=OC
???
═ ＞ 则⊙DEOF 和⊙DCG 为等圆 ∠CDG=∠EDF ═
＞ DF=CG 例6、如图AC=AB ，AB 是直径，求证：AF=FD
证明：作DG ∥CE
?
????
AB 是直径═ ＞AD ⊥BC AB=AC ?????═ ＞DC=DB DG ∥CE AE=13
AB ?????═ ＞BG=GE=AE DG ∥CE ═ ＞ AF=FD 例7、如图⊿ABC 是等边三角形内接于⊙O ，P 是B C ︵
上的一点
求证：（1）PA=PB+PC （2）PA 2=BC 2 +PB·PC 证明思路：（1）在AP 上截取AD=PC 证⊿BDP 是正⊿
证明：(1)在AP 上截取AD=PC,连BP ????
?∠BAD=∠BCP BA=BC AD=PC ═ ＞⊿BAD ≌⊿BCP
??
??
? ═══ ＞BD=BP ⊙O 的内接正⊿ABC ═ ＞∠BPA=60° AB=AC ??
??
?══ ＞⊿BDP 是等边三角形═ ＞BP=DP AP=AD ＋DP AD=PC ═ ＞PA=PB ＋PC
证明(2) 由上可知∶∠BPC=120°由余弦定理可得
BC 2=PB 2+PC 2-2PB·PCcos120° ?
??═ ＞ BC 2
= PB 2
+PC 2
+PB·
PC PA=PB ＋PC
═ ＞ PA 2=PB 2+2PB·
PC+PC 2= BC 2+PB·PC
例8、如图DE 是弦BC 的中垂线
求证：FD·FO=FA·FB
证明(1)∶∠BOE=∠BAC ═ ＞∠BOD=∠BAD
═ ＞A 、D 、B 、O 四点共圆═ ＞FD·
FO=FA·FB 证明(2)∶?
????
∠BOE=∠BAC ═ ＞∠BOD=∠BAD ∠OFB=∠AFD ═ ＞ ⊿DAF ∽⊿BOF FD FB ＝FA
FO ═
＞ FD·FO=FA·FB 例9、如图9 AB 是⊙O 直径,C 是⊙O 上的一点,连AC,过C 点作CD ⊥AB 于D ，交弦AF
于点G,CF 交AB 于E. 求证∶AC 2=AG·AF
证明∶证法(1)∶ 延长CG 交⊙O 于H
?
????CD ⊥AB ═ ＞ A C ︵ =A H ︵ ═ ＞ ∠ACG=∠CFA ∠CAG=∠FAC ═ ＞ ⊿ACG ∽⊿AFC
═ ＞ AC AG ＝AF AC ═ ＞ AC 2=AG·AF 证法(2)∶连结CB
?
???
? CD ⊥AB AB 是直径═ ＞∠ACB=∠ADC=90 °═ ＞ Rt ⊿CAD ∽Rt ⊿BAC ?
????
═ ＞∠ACD=∠ABC ∠ABC=∠AFC ?
????═ ＞∠ACD=∠AFC ∠CAF=∠FAC ═ ＞ ⊿ACG ∽⊿AFC
═＞AC
AG＝
AF
AC═＞AC
2=AG·AF
例10、如图10 ⊿ABC的边上一点D,满足AB=3AD,点P在⊿ABC的外接圆上,∠ADC=∠C 求证∶(1)P A2=AD·AB (2)求
PB
PD的值
证明∶证(1)连结BP
?
?
?
∠APB=∠C
∠ADP=∠C
??
?
??
═＞∠APB=∠ADP
∠BAP=∠PAD ═＞
⊿APB∽⊿ADP
═＞
AP
AB＝
AD
AP═＞AP
2=AD·AB
解(2)∶由上题可知
⊿ADP∽⊿APB═＞
PB
PD＝
AP
AD=
AB
AP设AD=k 则AB=3k
∴AP2=AD·AB=3K2AP= 3 k
PB
PD＝
AP
AD=
3k
k= 3
例11、如图11 AM、AD是⊿ABC的中线和角平分线,⊿AMD的外接圆交AB于E, 交AC于F. 求证∶BE=CF
证明∶
?
?
?
?
?
?
BE·BA=BM·BD
CF·CA=CD·CM ═＞
BE·BA
CF·CA＝
BM·BD
CD·CM
∠BAD=∠CAD═＞
BD
CD＝
AB
AC
BM=CM
═＞
BE
CF=1═＞BE=CF
例12、如图12 ⊿ABC是等边三角形D在外接圆上,延长CD交AB延长线于E, 延长BD交AC延长线于F, 求证∶(1)BC
2=BE·CF
证明∶?
????正⊿ABC ═ ＞ ∠BDC=120°=∠EBC ∠BCD=∠ECD ?????═ ＞⊿BCD ∽⊿ECB
同理⊿DBC ∽⊿CBF ═ ＞⊿CBF ∽⊿ECB ═ ＞
BC BE ＝CF
BC
═ ＞BC 2=BE·CF
例13、如图13 AB 是⊙O 的直径,D A ︵ = D B ︵
弦CD 交AB 于F 求证∶(1)AD 2=CD·DE
(2)AC= 6 BC= 3 求∶BE
证明∶ (1)
?????D A ︵ = D B ︵═ ＞∠ACD=BCD ∠=∠BAD ∠ADE=∠CDA ⊿ADE ∽⊿CDA ═ ＞
AD DE ＝DC
AD
═ ＞ AD 2=CD·DE (2)解:∵AB 2=AC 2＋BC 2=(6)2＋(3)2=6＋3=9 ∴AB=3
∵CD 是∠ACB 的平分线 ∴ AE EB ＝AC BC =6
3= 2
∴3－BE
EB
＝ 2 ∴(2＋1)BE=3 则BE=3(2－1)
例14、如图14 AB=AC BD 是AC 边上的中线,MD 是∠ADB 的平分线,
⊙AMD 交BD 于M ,求证∶NB=2AM
证明∶ ???
∠BNM=∠BAD ∠NBM=∠ABD ═
＞ ⊿NBM ∽⊿ABD ??
??? ══ ＞
AB AD ＝
BN
MN AC=2AD=AB ∠ADM=∠BDM ═ ＞AM=NM ═ ＞BN
AM =2═ ＞NB=2AM
例15、如图15直角梯形ABCD ,∠B=∠C=Rt∠ AB=a , BC=b ,CD=c , AD是⊙O的直径.
求证∶tan∠BAE和tan∠BAF是方程ax2－bx＋c=0的两根.
证明∶作OM⊥BC于M EM=MF 则OM直角梯形ABCD的中位线∴BM=MC ∴BE=CF 设CD交⊙O于N
连AN AD是⊙O的直径∴AN⊥CD
∴ABCN是矩形得AN∥BC CN=AB
∵CF·CE=CN·CD
∴CF·CE=AB·CD=ac
∵tan∠BAE = BE
AB=
BE
a
tan∠BAF = BF
AB=
BF
a
∴ tan∠BAE ＋tan∠BAF = BE＋BF
a=
BC
a=
b
a
∴ tan∠BAE和tan∠BAF是方程ax2－bx＋c=0的两根.
——圆 ◆知识讲解 一．圆的定义 1、在一个平面内，线段OA绕着它固定的一个端点O旋转一周，另一个端点A所形成的图形叫做圆。 2、圆是到定点的距离等于定长的所有点的集合。 3、确定一个圆需要两个要素：一是位置二是大小，圆心确定其位置，半径确定其大小。 4、连接圆上任意两点的线段叫弦，经过圆心的弦叫直径。圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧。以A、B为端点的弦记作“圆弧AB”，或者“弧AB”。大于半圆的弧叫作优弧（用三个字母表示，如ABC）叫优弧；小于半圆的弧（如AB）叫做劣弧。 二、垂直于弦的直径、弧、弦、圆心角 1、垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弦。 2、垂径定理逆定理：平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧。 3、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。 在同圆或等圆中，等弧所对的圆心角相等。 在等圆中，弦心距相等的弦相等。 三、圆周角 1、定义：顶点在圆上，并且角的两边和圆相交的角。 2、定理：一条弧所以的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半。 3、推论：（1）在同圆或等圆中，同弧或等弧所以的圆周角相等。 （2）直径所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。 四、点和圆的位置关系 1、设⊙O的半径为r，点到圆心的距离为d。 则d>r ?点在圆外，d=r ?点在圆上，d 中考数学综合专题训练【几何综合题】（几何）精品解析 在中考中，几何综合题主要考察了利用图形变换（平移、旋转、轴对称）证明线段、角的数量关系及动态几何问题。学生通常需要在熟悉基本几何图形及其辅助线添加的基础上，将几何综合题目分解为基本问题，转化为基本图形或者可与基本图形、方法类比，从而使问题得到解决。 在解决几何综合题时，重点在思路，在老师讲解及学生解题时，对于较复杂的图形，根据题目叙述重复绘图过程可以帮助学生分解出基本条件和图形，将新题目与已有经验建立联系从而找到思路，之后绘制思路流程图往往能够帮助学生把握题目的脉络；在做完题之后，注重解题反思，总结题目中的基本图形及辅助线添加方法，将题目归类整理；对于典型的题目，可以解析题目条件，通过拓展题目条件或改变条件，给出题目的变式，从而对于题目及相应方法有更深入的理解。同时，在授课过程中，将同一类型的几何综合题成组出现，分析讲解，对学生积累对图形的“感觉”有一定帮助。 一.考试说明要求 图形与证明中要求：会用归纳和类比进行简单的推理。 图形的认识中要求：会运用几何图形的相关知识和方法（两点之间的距离，等腰三角形、等边三角形、直角三角形的知识，全等三角形的知识和方法，平行四边形的知识，矩形、菱形和正方形的知识，直角三角形的性质，圆的性质）解决有关问题；能运用三角函数解决与直角三角形相关的简单实际问题；能综合运用几何知识解决与圆周角有关的问题；能解决与切线有关的问题。 图形与变换中要求：能运用轴对称、平移、旋转的知识解决简单问题。 二.基本图形及辅助线 解决几何综合题，是需要厚积而薄发，所谓的“几何感觉”，是建立在足够的知识积累的基础上的，熟悉基本图形及常用的辅助线，在遇到特定条件时能够及时联想到对应的模型，找到“新”问题与“旧”模型间的关联，明确努力方向，才能进一步综合应用数学知识来解决问题。在中档几何题目教学中注重对基本图形及辅助线的积累是非常必要的。 举例： 1、与相似及圆有关的基本图形 圆的证明与计算 1.如图，已知△ABC 内接于△O ， P 是圆外一点，P A 为△O 的切线，且P A ＝PB ，连接 OP ，线段 AB 与线段 OP 相交于点D . （1）求证：PB 为△O 的切线； （2）若P A ＝4 5PO ，△O 的半径为10，求线段 PD 的长. 第1题图 (1)证明：△△△△△△OA △OB △ 第1题解图 △P A △PB △OA △OB △OP △OP △ △△OAP △△OBP (SSS)△ △△OAP △△OBP △ △P A △△O △△△△ △△OAP △90°△ △△OBP △90°△ △OB △△O △△△△ △PB △△O △△△△ △△Rt△AOP △△OA △PO 2 △△4 5PO △2△10△ △△PO △50 3△ △cos△AOP △AO OP △OD AO △ △OD △6△ △PD △PO △OD △32 3. 2. △△△△△ABC △△AB △AC △△D △BC △△△△△AD △DC △△A △B △D △△△△O △AE △△O △△△△△△DE . △1△△△△AC △△O △△△△ △2△△cos C △3 5△AC △24△△△△AE △△. 第2题图 (1)证明：△AB △AC △AD △DC △ △△C △△B △△DAC △△C △ △△DAC △△B △ △△△E △△B △ △△DAC △△E △ △AE △△O △△△△ △△ADE △90°△ △△E △△EAD △90°△ △△DAC △△EAD △90°△ △△EAC △90°△ △OA △△O △△△△ △AC △△O △△△△ (2)解：△△△△△△D △DF △AC △△F △ 第2题解图 △DA △DC △ △CF △1 2AC △12△ △Rt△CDF △△△cos C △CF CD △3 5△ △DC △20△ △AD △20△ △Rt△CDF △△△△△△△△1622==CF CD DF －△ △△ADE △△DFC △90°△△E △△C △ △△ADE △△DFC △ △AE DC △AD DF △ △AE 20△1620 △△△AE △25△ △△O △△△AE △25. 3．如图，在△ABC 中，AB =BC ，以AB 为直径作△O ，交BC 于点D ，交AC 于点E ，过点E 作△O 的切线EF ，交BC 于点F ． （1）求证：EF △BC ； （2）若CD =2，tan C =2，求△O 的半径． 2018-2019学年初三数学专题复习圆 一、单选题 1.下列说法，正确的是( ) A. 半径相等的两个圆大小相等 B. 长度相等的两条弧是等弧 C. 直径不一定是圆中最长的弦 D. 圆上两点之间的部分叫做弦 2.如图，在⊙O中，∠ABC=50°，则∠AOC等于（） A. 50° B. 80° C. 90° D. 100° 3.已知⊙O的半径为5，A为线段OP的中点，当OP＝6时，点A与⊙O的位置关系是( ) A. 点A在⊙O内 B. 点A在⊙O上 C. 点A在⊙O外 D. 不能确定 4.如果两圆半径分别为5和8，圆心距为3，那么这两个圆的位置关系是（） A. 外离 B. 外切 C. 相交 D. 内切 5. 两个圆的半径分别为2和3，当圆心距d=5时，这两个圆的位置关系是（） A. 内含 B. 内切 C. 相交 D. 外切 6.一个扇形的半径为2，扇形的圆心角为48°，则它的面积为（）。 A. B. C. D. 7.钝角三角形的外心在（） A. 三角形的内部 B. 三角形的外部 C. 三角形的钝角所对的边上 D. 以上都有可能 8.如图，AB是⊙O的直径，四边形ABCD内接于⊙O，若BC=CD=DA=4cm，则⊙O的周长为（） A. 5πcm B. 6πcm C. 8πcm D. 9πcm 9.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，BC＝5，若把Rt△ABC绕直线AC旋转一周，则所得圆锥的侧面积等于( ) A. 6π B. 9π C. 12π D. 15π 10.直线a上有一点到圆心O的距离等于⊙O的半径，则直线a与⊙O的位置关系是（） A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 相切或相交 11.如图，BD是⊙O的直径，点A、C在圆上，且CD=OB，则∠DAC等于（） 动点及动图形的专题复习教案 所谓“动点型问题”是指题设图形中存在一个或多个动点,它们在线段、射线或弧线上运动的一类开放性题目.解决这类问题的关键是动中求静,灵活运用有关数学知识解决问题. 关键:动中求静. 数学思想：分类思想函数思想方程思想数形结合思想转化思想 注重对几何图形运动变化能力的考查 从变换的角度和运动变化来研究三角形、四边形、函数图像等图形，通过“对称、动点的运动”等研究手段和方法，来探索与发现图形性质及图形变化，在解题过程中渗透空间观念和合情推理。选择基本的几何图形，让学生经历探索的过程，以能力立意，考查学生的自主探究能力，促进培养学生解决问题的能力．图形在动点的运动过程中观察图形的变化情况，需要理解图形在不同位置的情况，才能做好计算推理的过程。在变化中找到不变的性质是解决数学“动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质。 二期课改后数学卷中的数学压轴性题正逐步转向数形结合、动态几何、动手操作、实验探究等方向发展．这些压轴题题型繁多、题意创新，目的是考察学生的分析问题、解决问题的能力，内容包括空间观念、应用意识、推理能力等．从数学思想的层面上讲：（1）运动观点；（2）方程思想；（3）数形结合思想；（4）分类思想；（5）转化思想等．研究历年来各区的压轴性试题，就能找到今年中考数学试题的热点的形成和命题的动向，它有利于我们教师在教学中研究对策，把握方向．只的这样，才能更好的培养学生解题素养，在素质教育的背景下更明确地体现课程标准的导向．本文拟就压轴题的题型背景和区分度测量点的存在性和区分度小题处理手法提出自己的观点． 函数揭示了运动变化过程中量与量之间的变化规律,是初中数学的重要内容.动点问题反映的是一种函数思想,由于某一个点或某图形的有条件地运动变化,引起未知量与已知量间的一种变化关系,这种变化关系就是动点问题中的函数关系.那么,我们怎样建立这种函数解析式呢?下面结合中考试题举例分析. 2017届深圳中考数学专题——圆 一．解答题（共30小题） 1．如图，AB是⊙O的直径，点C，D在⊙O上，且AD平分∠CAB，过点D作AC的垂线，与AC的延长线相交于点E，与AB的延长线相交于点F． （1）求证：EF与⊙O相切； （2）若AB=6，AD=4，求EF的长． 2．如图，在△ABC中，AB=AC，以AC为直径的⊙O交BC于点D，交AB于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，连接DE． （1）求证：直线DF与⊙O相切； （2）若AE=7，BC=6，求AC的长． 3．如图，在△ABC中，∠ABC=90°，以AB的中点O为圆心、OA为半径的圆交AC于点D，E是BC的中点，连接DE，OE． （1）判断DE与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：BC2=CD?2OE； （3）若cos∠BAD=，BE=6，求OE的长． 4．如图，已知BC为⊙O的直径，BA平分∠FBC交⊙O于点A，D是射线BF上的一点，且满足=，过点O作OM⊥AC于点E，交⊙O于点M，连接BM，AM． （1）求证：AD是⊙O的切线； （2）若sin∠ABM=，AM=6，求⊙O的半径． 5．如图，AB是⊙O的弦，D为半径OA的中点，过D作CD⊥OA交弦于点E，交⊙O 于点F，且CE=CB． （1）求证：BC是⊙O的切线； （2）连接AF、BF，求∠ABF的度数； （3）如果CD=15，BE=10，sinA=，求⊙O的半径． 6.如图，AB、CD为⊙O的直径，弦AE∥CD，连接BE交CD于点F，过点E作直线EP与CD的延长线交于点P，使∠PED=∠C． （1）求证：PE是⊙O的切线； （2）求证：ED平分∠BEP； （3）若⊙O的半径为5，CF=2EF，求PD的长． 8．如图，△ABC中，以AC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为⊙O上一点，连接CE并延长交AB于点F，连接ED． （1）若∠B+∠FED=90°，求证：BC是⊙O的切线； （2）若FC=6，DE=3，FD=2，求⊙O的直径． 9．如图，△ABC为等边三角形，以边BC为直径的半圆与边AB，AC分别交于D，F两点，过点D作DE⊥AC，垂足为点E． （1）判断DF与⊙O的位置关系，并证明你的结论； （2）过点F作FH⊥BC，垂足为点H，若AB=4，求FH的长（结果保留根号）． 类比探究类问题解析版 1、如图，在矩形ABCD中，AD=4，M是AD的中点，点E是线段AB上一动 点，连结EM并延长交线段CD的延长线于点F． (1) 如图1，求证：AE=DF； (2) 如图2，若AB=2，过点M作 MG⊥EF交线段BC于点G，判断△GEF的形状，并说明 理由； 2，过点M作 MG⊥EF交线段BC的延长线于点G． (3) 如图3，若AB=3 ① 直接写出线段AE长度的取值范围； ② 判断△GEF的形状，并说明理由． 【答案】解：（1）在矩形ABCD中，∠EAM=∠FDM＝900，∠AME=∠FMD。 ∵AM=DM，∴△AEM≌△DFM（ASA）。∴AE=DF。 （2）△GEF是等腰直角三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD于H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°， ∴四边形ABGH是矩形。∴GH=AB=2。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。 ∴∠AME＋∠GMH=90°。 ∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵AD=4，M是AD的中点，∴AM=2。∴AN=HG。 ∴△AEM≌△HMG（AAS）。∴ME=MG。∴∠EGM=45°。 由（1）得△AEM≌△DFM，∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴∠EGF=2∠EGM =90°。 ∴△GEF是等腰直角三角形。 （3）①23 3 ＜AE≤23。 ②△GEF是等边三角形。理由如下： 过点G作GH⊥AD交AD延长线于点H， ∵∠A=∠B=∠AHG=90°，∴四边形ABGH是矩形。 ∴GH=AB=23。 ∵MG⊥EF，∴∠GME=90°。∴∠AME＋∠GMH=90°。∵∠AME＋∠AEM=90°，∴∠AEM=∠GMH。 又∵∠A=∠GHM=90°，∴△AEM∽△HMG。∴MG GH EM AM =。 在Rt△GME中，∴tan∠MEG=MG GH23 3 EM AM2 ===。∴∠MEG=600。 由（1）得△AEM≌△DFM．∴ME=MF。 又∵MG⊥EF，∴GE=GF。∴△GEF是等边三角形。 2、（1）如图1，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF＝BE．求证：CE＝CF； （2）如图2，在正方形ABCD中，E是AB上一点，G是AD上一点，如果∠GCE＝45°，请你利用（1）的结论证明：GE＝BE＋GD． （3）运用（1）（2）解答中所积累的经验和知识，完成下题： 如图3，在直角梯形ABCD中，AD∥BC（BC＞AD），∠B＝90°，AB＝BC，E是AB上一点，且∠DCE＝45°，BE＝4，DE=10, 求直角梯形ABCD的面积． 【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC＝CD，∠B＝∠CDF，BE＝DF， ∴△CBE≌△CDF（SAS）。∴CE＝CF。 （2）证明：如图，延长AD至F，使DF=BE．连接CF。 由（1）知△CBE≌△CDF， 中考数学综合题专题【圆】专题训练含答案 一、选择题 1．（北京市西城区）如图，BC 是⊙O 的直径，P 是CB 延长线上一点，PA 切⊙O 于点A ，如果PA ＝3，PB ＝1，那么∠APC 等于 （ ） （A ） 15 （B ） 30 （C ） 45 （D ） 60 2．（北京市西城区）如果圆柱的高为20厘米，底面半径是高的 41，那么这个圆柱的侧面积是 （ ） （A ）100π平方厘米 （B ）200π平方厘米 （C ）500π平方厘米 （D ）200平方厘米 3．（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用 现在的数学语言表述是：“如图，CD 为⊙O 的直径，弦AB ⊥CD ，垂足为E ，CE ＝1寸，AB ＝寸，求直径CD 的长”．依题意，CD 长为 （ ） （A ）2 25寸 （B ）13寸 （C ）25寸 （D ）26寸 4．（北京市朝阳区）已知：如图，⊙O 半径为5，PC 切⊙O 于点C ，PO 交⊙O 于点A ，PA ＝4，那么PC 的长等于 （ ） （A ）6 （B ）25 （C ）210 （D ）214 5．（北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘 米，那么此圆锥的底面半径的长等于 （ ） （A ）2厘米 （B ）22厘米 （C ）4厘米 （D ）8厘米 6．（天津市）相交两圆的公共弦长为16厘米，若两圆的半径长分别为10厘 米和17厘米，则这两圆的圆心距为 （ ） （A ）7厘米 （B ）16厘米 （C ）21厘米 （D ）27厘米 7．（重庆市）如图，⊙O 为△ABC 的内切圆，∠C ＝ 90，AO 的延长线交BC 于点D ，AC ＝4，DC ＝1，，则⊙O 的半径等于 （ ） 一、相似真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，已知A（﹣2，0），B（4，0），抛物线y=ax2+bx﹣1过A、B两点，并与过A点的直线y=﹣ x﹣1交于点C． （1）求抛物线解析式及对称轴； （2）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使四边形ACPO的周长最小？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由； （3）点M为y轴右侧抛物线上一点，过点M作直线AC的垂线，垂足为N．问：是否存在这样的点N，使以点M、N、C为顶点的三角形与△AOC相似，若存在，求出点N的坐标，若不存在，请说明理由． 【答案】（1）解：把A（-2，0），B（4，0）代入抛物线y=ax2+bx-1，得 解得 ∴抛物线解析式为：y= x2?x?1 ∴抛物线对称轴为直线x=- ＝1 （2）解：存在 使四边形ACPO的周长最小，只需PC+PO最小 ∴取点C（0，-1）关于直线x=1的对称点C′（2，-1），连C′O与直线x=1的交点即为P 点． 设过点C′、O直线解析式为：y=kx ∴k=- ∴y=- x 则P点坐标为（1，- ） （3）解：当△AOC∽△MNC时， 如图，延长MN交y轴于点D，过点N作NE⊥y轴于点E ∵∠ACO=∠NCD，∠AOC=∠CND=90° ∴∠CDN=∠CAO 由相似，∠CAO=∠CMN ∴∠CDN=∠CMN ∵MN⊥AC ∴M、D关于AN对称，则N为DM中点 设点N坐标为（a，- a-1） 由△EDN∽△OAC ∴ED=2a ∴点D坐标为（0，- a?1） ∵N为DM中点 ∴点M坐标为（2a，a?1） 把M代入y= x2?x?1，解得 a=4 则N点坐标为（4，-3） 当△AOC∽△CNM时，∠CAO=∠NCM ∴CM∥AB则点C关于直线x=1的对称点C′即为点N 中考数学圆 专题练习-- 一、选择题 1.（2010年 湖里区 二次适应性考试）已知半径分别为5 cm 和8 cm 的两圆相交，则它们的圆心距可能是（ ） A ．1 cm B ．3 cm C ．10 cm D ．15 cm 答案：C 2.（2010年教育联合体）如图，已知AB 是⊙O 的直径，⊙O 交BC 的中点于D ，DE ⊥AC 于E ，连接AD ，则下列结论 正确的个数是（ ） ①AD ⊥BC ，②∠EDA ＝∠B ，③OA ＝ 1 2AC ，④DE 是⊙O 的切线． A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 答案：D 3.（2010安徽省模拟）如图，AB 是⊙O 的直径，点D 、E 是圆的三等分点，AE 、BD 的延长线交于点C ，若CE=2,则 ⊙O 中阴影部分的面积是（ ） A ．433π- B ．2 3π C ．2 23 π- D ．1 3 π 答案：A 4.（2010年重庆市綦江中学模拟1）.在直角坐标系中，⊙A 、⊙B 的 位置如图所示.下列四个点中，在⊙A 外部且在⊙B 内部的是（ ） A.（1，2） B.(2,1). C.(2,-1). D.(3,1) 答案C 5.(2010年聊城冠县实验中学二模)如下图，将半径为2cm 的圆形纸片 第4题图 O D B C E A 第3题 A O B C D E 折叠后，圆弧恰好经过圆心O ，则折痕AB 的长为（ ） A ．2cm B ．3cm C ．32cm D ．52cm 答案C 6.（2010年广州市中考六模）、如果圆锥的母线长为6cm ，底面圆半径为3cm ，则这个圆锥的侧面积为（ ） A. 2 9cm π B. 2 18cm π C. 2 27cm π D. 2 36cm π 答案：B 7.（2010年广州市中考六模）如图，已知⊙O 的弦AB 、CD 相交于点E ， 的度数为60°， 的度数为100°，则∠AEC 等于（ ） A. 60° B. 100° C. 80° D. 130° 答案：C 8.（2010年广西桂林适应训练）如图，圆弧形桥拱的跨度AB ＝ 12米，拱高CD ＝4米，则拱桥的半径为（ ）． A.6.5米 B.9米 C.13米 D.15米 答案：A 9.（2010年广西桂林适应训练）如图，BD 是⊙O 的直径，∠CBD=30o ， 则∠A 的度数为（ ）．[来 A.30o B.45o C.60o D.75o 答案：C 10.（2010山东新泰）已知⊙O 1的半径为5cm ，⊙O 2的半径为3cm ，圆心距O 1O 2＝2，那么⊙O 1与⊙O 2的位置关系是（ ） A ．相离 B ．外切 C ．相交 D ．内切 答案：D 11.（2010年济宁师专附中一模）如图，A B C D ，，，为⊙O 的四等分点，动点P 从圆心O 出发，沿O C D O ---路 7题图 8题图 9题图 压轴题 1、已知,在平行四边形O ＡＢC 中,O Ａ=５，AB ＝4，∠OCA=90°,动点P 从O 点出发沿射线OA 方向以每秒2个单位的速度移动,同时动点Ｑ从A 点出发沿射线ＡB 方向以每秒1个单位的速度移动.设移动的时间为ｔ秒. (１）求直线AC 的解析式; (2)试求出当t 为何值时,△O ＡC 与△PAQ 相似; （3)若⊙P 的半径为 58，⊙Q 的半径为2 3 ；当⊙P 与对角线AC 相切时，判断⊙Q 与直线AC 、B Ｃ的位置关系,并求出Q 点坐标。 解:(１）42033 y x =- + （２)①当0≤ｔ≤2．5时,Ｐ在O Ａ上，若∠OAQ ＝9０°时， 故此时△OA Ｃ与△PAQ 不可能相似. 当ｔ>2．5时,①若∠APQ=90°，则△A ＰQ ∽△ＯCA ， ∵t>2．5,∴ 符合条件. ②若∠A ＱP=９0°，则△APQ ∽△∠OA Ｃ， ∵t>2.5，∴ 符合条件. 综上可知,当 时，△O ＡC 与△APQ 相似． （３)⊙Q 与直线ＡＣ、B Ｃ均相切，Q 点坐标为（ 10 9 ,5 31） 。 ２、如图，以矩形OABC 的顶点O 为原点，OA 所在的直线为ｘ轴,ＯC 所在的直线为ｙ轴，建立平面直角坐标系.已知OA ＝3,ＯC =2，点E 是AB 的中点，在ＯA 上取一点D ，将△BD Ａ沿ＢD 翻折,使点A 落在BC 边上的点F 处． (1)直接写出点E 、F 的坐标； (2）设顶点为F 的抛物线交y 轴正半轴．．．于点P ，且以点E 、F 、P 为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式; (3)在x 轴、ｙ轴上是否分别存在点M 、N ，使得四边形ＭNF Ｅ的周长最小？如果存在，求出周长的最小值;如果不存在，请说明理由. 解：（1)(31)E ，;(12)F ，.(２）在Rt EBF △中,90B ∠=, 2222125EF EB BF ∴=+=+=. 设点P 的坐标为(0)n ，,其中0n >， 顶点(1 2)F ，， ∴设抛物线解析式为2 (1)2(0)y a x a =-+≠. ①如图①，当EF PF =时，22 EF PF =,2 2 1(2)5n ∴+-=. 解得10n =（舍去）;24n =．(04)P ∴，．24(01)2a ∴=-+.解得2a =. ∴抛物线的解析式为22(1)2y x =-+ （第2题） 、选择题： 1. 如图，小明同学设计了一个测量圆直径的工具，标有刻度的尺子 3. 已知圆内接正三角形的边心距为 1，则这个三角形的面积为( ) A ．2 B ．3 C ．4 D ．6 4. 如图，点 A ， B ， C ，在⊙ O 上，∠ ABO=32°，∠ ACO=38°，则∠ BOC 等于 ( 6.如图, ⊙O 是△ ABC 的外接圆 ,弦AC 的长为 3,sinB=0.75, 则⊙ O 的半径为( ) 圆 50 题 垂直，在测直径时，把 A ． O 点靠在圆周上，读得刻度 OE=8个单位， 12 个单位 B ． 10 个单位 C CD 是⊙ O 的两条弦，连结 AD 、BC ．若∠ BCD=70°， OF=6个单位，则圆的直径为 ( 1 个单位 D ． 15 个单位 则∠ BAD 的度数为( 2. 如图， AB 、 A ． 40° B ．50° C ． 60° D ． 70° B ．70° C ．120° D ． 140° 5. 如图 , 点 A,B,C 在⊙ O 上, ∠A=36° , ∠ C=28° , 则∠ B=( A.100 B.72 C.64 D.36 OA 、 OB 在 O 点钉在一起，并使它们保持 AD 切⊙ O 于点 A ，点 C 是弧 BE 的中点，则下列结论不成立的是( B ． EC=B C C ．∠ DAE=∠ABE D ．AC ⊥OE 10. 如图 , △ABC 中,AB=5,BC=3,AC=4, 以点 C 为圆心的圆与 AB 相切 ,则⊙ C 半径为( 11. 数学课上，老师让学生尺规作图画 Rt △ABC ，使其斜边 AB=c ，一条直角边 BC=a ，小明的作法如图所 示， 你认为这种作法中判断∠ ACB 是直角的依据是( ) A.4 B.3 C.2 D. OB=6cm,高 OC=8cm 则. 这个圆锥的侧面 积是 7. 如图，圆锥的底面半径 22 A.30cm 2 B.30 π cm 2 C.60 2 π cm D.120cm 9. 如图,AB 是⊙ O 的直径 ,C 、D 是⊙ O 上两点 , 分别连接 AC 、BC 、CD 、OD ．∠ DOB=140° A.20° B.30 C.40 D.70 ，则∠ ACD (= B.2.5 C.2.4 D.2.3 中考数学试题专题复习：圆 【学生版】 一、选择题 1. （天津3分）已知⊙1O 与⊙2O 的半径分别为3 cm 和4 cm ，若12O O =7 cm ，则⊙1O 与⊙2O 的位置关系是 (A) 相交 (B) 相离 (C) 内切 (D) 外切 2.（内蒙古包头3分）已知两圆的直径分别是2厘米与4厘米，圆心距是3厘米，则这两个圆的位置关系是 A 、相交 B 、外切 C 、外离 D 、内含 3,（内蒙古包头3分）已知AB 是⊙O 的直径，点P 是AB 延长线上的一个动点， 过P 作⊙O 的切线，切点为C ，∠APC 的平分线交AC 于点D ，则∠CDP 等于 A 、30° B 、60° C 、45° D 、50° 4.（内蒙古呼和浩特3分）如图所示，四边形ABCD 中，DC∥AB，BC=1， AB=AC=AD=2．则BD 的长为 A. 14 B. 15 C. 32 D. 23 5.（内蒙古呼伦贝尔3分）⊙O 1的半径是cm 2，⊙2的半径是cm 5，圆心距是cm 4，则两圆的位置关系为 A. 相交 B. 外切 C.外离 D. 内切 6.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，⊙O 的半径为5，弦AB 的长为8，M 是弦AB 上的动点, 则线段OM 长的最小值为. A. 5 B. 4 C. .3 D. 2 7.（内蒙古呼伦贝尔3分）如图，AB 是⊙O 的直径，点C 、D 在⊙O 上 ，∠BOD=110°， AC∥OD，则∠AOC 的度数 A. 70° B. 60° C. 50° D. 40° 8.（内蒙古乌兰察布3分）如图， AB 为 ⊙ O 的直径， CD 为弦， AB ⊥ CD ， 如果∠BOC = 700 ，那么∠A 的度数为 A 70 0 B. 350 C. 300 D . 200 17．填空题 1.（天津3分）如图，AD ，AC 分别是⊙O 的直径和弦．且∠CAD=30°．OB⊥AD，交AC 于点B ．若OB=5，则BC 的长等于 ▲ 。 经典几何模型之隐圆”“圆来如此简单” 一.名称由来 在中考数学中，有一类高频率考题，几乎每年各地都会出现，明明图形中没有出现“圆”，但是解题中必须用到“圆”的知识点，像这样的题我们称之为“隐圆模型”。 正所谓：有“圆”千里来相会，无“圆”对面不相逢。“隐圆模型”的题的关键突破口就在于能否看出这个“隐藏的圆”。一旦“圆”形毕露，则答案手到擒来！ 二.模型建立 【模型一：定弦定角】 【模型二：动点到定点定长（通俗讲究是一个动的点到一个固定的点的距离不变）】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 ` 三．模型基本类型图形解读 【模型一：定弦定角的“前世今生”】 【模型二：动点到定点定长】 【模型三：直角所对的是直径】 【模型四：四点共圆】 四．“隐圆”破解策略 牢记口诀：定点定长走圆周，定线定角跑双弧。 直角必有外接圆，对角互补也共圆。五．“隐圆”题型知识储备 3 六．“隐圆”典型例题 【模型一：定弦定角】 1.（2017 威海）如图 1，△ABC 为等边三角形，AB=2，若P 为△ABC 内一动点，且满足 ∠PAB=∠ACP，则线段P B 长度的最小值为_ 。 简答：因为∠PAB=∠PCA，∠PAB+∠PAC=60°，所以∠PAC+∠PCA=60°，即∠APC=120°。因为A C定长、∠APC=120°定角，故满足“定弦定角模型”，P在圆上，圆周角∠APC=120°，通过简单推导可知圆心角∠AOC=60°，故以AC 为边向下作等边△AOC，以O 为圆心，OA 为半径作⊙O，P在⊙O 上。当B、P、O三点共线时，BP最短（知识储备一：点圆距离）， 此时B P=2 -2 2.如图1所示，边长为2的等边△ABC 的原点A在x轴的正半轴上移动，∠BOD=30°，顶点A 在射线O D 上移动，则顶点C到原点O的最大距离为。 中考数学综合题专题复习【圆】专题解析 一．教学内容: １．圆的内容包括:圆的有关概念和基本性质,直线和圆的位置关系，圆和圆的位置关系，正多边形和圆。 2. 主要定理: (1)垂径定理及其推论。 (２）圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系定理。 (3)圆周角定理、弦切角定理及其推论。 （4)圆内接四边形的性质定理及其推论。 （5）切线的性质及判定。 （6)切线长定理。 (7)相交弦、切割线、割线定理。 (8)两圆连心线的性质，两圆的公切线性质。 (9）圆周长、弧长；圆、扇形，弓形面积。 （10）圆柱、圆锥侧面展开图及面积计算。 (11)正n边形的有关计算。 二. 中考聚焦: 圆这一章知识在中考试题中所占的分数比例大约如下表： 圆的知识在中考中所占的比例大,题型多，常见的有填空题、选择题、计算题或证明题，近年还出现了一些圆的应用题及开放型问题、设计型问题,中考的压轴题都综合了圆的知识。 三. 知识框图： 圆 圆的有关性质 直线和圆的位置关系圆和圆的位置关系正多边形和圆 ? ? ? ? ? ? ? 圆的有关性质 圆的定义 点和圆的位置关系（这是重点） 不在同一直线上的三点确定一个圆 圆的有关性质 轴对称性—垂径定理（这是重点） 旋转不变性 圆心角、弧、弦、弦心距间的关系 圆心角定理 圆周角定理（这是重点） 圆内接四边形（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 直线和圆的位置关系 相离 相交 相切 切线的性质（这是重点） 切线的判定（这是重点） 弦切角（这是重点） 和圆有关的比例线段（这是重点难点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 圆和圆的位置关系 外离 内含 相交 相切 内切（这是重点） 外切（这是重点）两圆的公切线 ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 正多边形和圆 正多边形和圆 正多边形定义 正多边形和圆 正多边形的判定及性质 正多边形的有关计算（这是重点）圆的有关计算 圆周长、弧长（这是重点） 圆、扇形、弓形面积（这是重点） 圆柱、圆锥侧面展开图（这是重点） ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【典型例题】 【例1】. 爆破时,导火索燃烧的速度是每秒0.9cm，点导火索的人需要跑到离爆破点１２０m以外的安全区域。这个导火索的长度为１8cm,那么点导火索的人每秒钟跑6.5m是否安全? 分析:爆破时的安全区域是以爆破点为圆心,以1２０m为半径的圆的外部，如图所示: 一、圆的综合 真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，四边形OABC 是平行四边形，以O 为圆心，OA 为半径的圆交AB 于D ，延长AO 交O 于E ，连接CD ，CE ，若CE 是⊙O 的切线，解答下列问题： （1）求证：CD 是⊙O 的切线； （2）若BC=4，CD=6，求平行四边形OABC 的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）24 【解析】 试题分析：（1）连接OD ，求出∠EOC=∠DOC ，根据SAS 推出△EOC ≌△DOC ，推出∠ODC=∠OEC=90°，根据切线的判定推出即可； （2）根据切线长定理求出CE=CD=4，根据平行四边形性质求出OA=OD=4，根据平行四边形的面积公式=2△COD 的面积即可求解． 试题解析：（1）证明：连接OD ， ∵OD=OA ， ∴∠ODA=∠A ， ∵四边形OABC 是平行四边形， ∴OC ∥AB ， ∴∠EOC=∠A ，∠COD=∠ODA ， ∴∠EOC=∠DOC ， 在△EOC 和△DOC 中， OE OD EOC DOC OC OC =?? ∠=∠??=? ∴△EOC ≌△DOC （SAS ）， ∴∠ODC=∠OEC=90°， 即OD ⊥DC ， ∴CD 是⊙O 的切线； （2）由（1）知CD 是圆O 的切线， ∴△CDO 为直角三角形， ∵S △CDO = 1 2 CD?OD ， 又∵OA=BC=OD=4， ∴S △CDO = 1 2 ×6×4=12， ∴平行四边形OABC 的面积S=2S △CDO =24． 2．已知 O 的半径为5，弦AB 的长度为m ，点C 是弦AB 所对优弧上的一动点． ()1如图①，若m 5=，则C ∠的度数为______； ()2如图②，若m 6=． ①求C ∠的正切值； ②若ABC 为等腰三角形，求ABC 面积． 【答案】()130；()2C ∠①的正切值为3 4 ；ABC S 27=②或 432 25 . 【解析】 【分析】 ()1连接OA ，OB ，判断出AOB 是等边三角形，即可得出结论； ()2①先求出10AD =，再用勾股定理求出8BD =，进而求出tan ADB ∠，即可得出结 论； ②分三种情况，利用等腰三角形的性质和垂径定理以及勾股定理即可得出结论． 【详解】 ()1如图1，连接OB ，OA ， 一、圆的综合真题与模拟题分类汇编（难题易错题） 1．如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，∠PAC=∠B，AD为⊙O的直径，过C作CG⊥AD于E，交AB于F，交⊙O于G． （1）判断直线PA与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）求证：AG2=AF·AB； （3）若⊙O的直径为10，AC=25，AB=45，求△AFG的面积. 【答案】（1）PA与⊙O相切，理由见解析；（2）证明见解析；（3）3. 【解析】 试题分析：（1）连接CD，由AD为⊙O的直径，可得∠ACD=90°，由圆周角定理，证得∠B=∠D，由已知∠PAC=∠B，可证得DA⊥PA，继而可证得PA与⊙O相切． （2）连接BG，易证得△AFG∽△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论. （3）连接BD，由AG2=AF?AB，可求得AF的长，易证得△AEF∽△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案． 试题解析：解：（1）PA与⊙O相切．理由如下： 如答图1，连接CD， ∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°. ∴∠D+∠CAD=90°. ∵∠B=∠D，∠PAC=∠B，∴∠PAC=∠D. ∴∠PAC+∠CAD=90°，即DA⊥PA. ∵点A在圆上， ∴PA与⊙O相切． （2）证明：如答图2，连接BG ， ∵AD 为⊙O 的直径，CG ⊥AD ，∴AC AD =.∴∠AGF=∠ABG. ∵∠GAF=∠BAG ，∴△AGF ∽△ABG. ∴AG ：AB=AF ：AG. ∴AG 2=AF?AB. （3）如答图3，连接BD ， ∵AD 是直径，∴∠ABD=90°. ∵AG 2=AF?AB ，55∴5 ∵CG ⊥AD ，∴∠AEF=∠ABD=90°. ∵∠EAF=∠BAD ，∴△AEF ∽△ABD. ∴AE AF AB AD =5 45=，解得：AE=2. ∴221EF AF AE =-=. ∵224EG AG AE =-=，∴413FG EG EF =-=-=. ∴11 32322 AFG S FG AE ?= ??=??=． 2021中考数学专题训练——圆 考点一 圆的有关概念及性质 1.(2018衢州,10,3分)如图,AC 是☉O 的直径,弦BD ⊥AO 于E,连接BC,过点O 作OF ⊥BC 于F,若BD=8 cm,AE=2 cm,则OF 的长度是?( ) A.3 cm B.6cm C. 2.5cm D.5cm 答案 D ∵AC ⊥BD,∴BE=DE=2 1BD=4 cm. 设☉O 的半径为r cm. 连接OB,则在Rt △BOE 中,r 2=42+(r-2)2,解得r=5. ∴CE=8 cm.∴BC=54 cm. 又∵OF ⊥BC,∴CF=2 1BC=52 cm, ∵OC=5 cm,∴OF=5 cm.故选D. 2.(2016杭州,8,3分)如图,已知AC 是☉O 的直径,点B 在圆周上(不与A,C 重合),点D 在AC 的延长线上,连接BD 交☉O 于点E.若∠AOB=3∠ADB,则?( ) A.DE=EB B.?DE=2EB C.3DE=DO D.DE=OB 答案 D 连接OE,∠AOB=∠ADB+∠B=3∠ADB, ∴∠B=2∠ADB,∵OE=OB, ∴∠OEB=∠B=2∠ADB=∠ADB+∠EOC, ∴∠ADB=∠EOC,∴DE=EO,∴DE=OB.故选D. 3. (2019台州,14,5分)如图,AC 是圆内接四边形ABCD 的一条对角线,点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上,连接AE,若∠ABC=64°,则∠BAE 的度数为_______ . 答案 52° 解析 由题意得∠D=180°-∠ABC=116°, ∵点D 关于AC 的对称点E 在边BC 上, ∴∠D=∠AEC=116°, ∴∠BAE=116°-64°=52°. ? 4.(2018杭州,14,4分)如图,AB 是☉O 的直径,点C 是半径OA 的中点,过点C 作DE ⊥AB,交☉O 专题训练 (圆) (120分钟120分) 一、选择题(本大题共20小题,在每小题给出的四个选项中,只有一个是正确的,请把正确的选项选出来,每小题选对得3分,选错、不选或选出的答案超过一个,均记零分) 1.半径为5的圆的一条弦长不可能是( ) A.3 B.5 C.10 D.12 【解析】选D.因为圆中最长的弦为直径,所以弦长l≤10. 2.有下列四个说法:①半径确定了,圆就确定了;②直径是弦;③弦是直径;④半圆是弧,但弧不一定是半圆. 其中错误说法的个数是( ) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】选B.①圆确定的条件是确定圆心与半径,①是假命题,故此说法错误; ②直径是弦,直径是圆内最长的弦,是真命题,故此说法正确; ③弦是直径,只有过圆心的弦才是直径,是假命题,故此说法错误; ④半圆是弧,但弧不一定是半圆,圆的任意一条直径的两个端点把圆分成两条弧,每一条弧都叫半圆,所以半圆是弧.但比半圆大的弧是优弧,比半圆小的弧是劣弧,所以不是所有的弧都是半圆,是真命题,故此说法正确.其中错误的说法是①③. 3.(2017·兰州中考)如图,在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,则∠AOB= ( ) A.45° B.50° C.55° D.60° 【解析】选B.因为在☉O中,=,点D在☉O上,∠CDB=25°,所以∠AOB= 2∠CDB=50°. 4.(2016·无锡中考)如图,AB是☉O的直径,AC切☉O于A,BC交☉O于点D,若 ∠C=70°,则∠AOD的度数为( ) A.70° B.35° C.20° D.40° 【解析】选D.∵AC是圆O的切线,AB是圆O的直径, ∴AB⊥AC.∴∠CAB=90°. 又∵∠C=70°,∴∠CBA=20°.∴∠AOD=40°. 5.(2017·自贡中考)AB是☉O的直径,PA切☉O于点A,PO交☉O于点C;连接BC,若∠P=40°,则∠B等于( ) A.20° B.25° C.30° D.40° 【解析】选B.因为PA切☉O于点A,所以∠PAB=90°,因为∠P=40°,所以 ∠POA=90°-40°=50°,因为OC=OB,所以∠CBO=∠BCO=25°. 6.温州是著名水乡,河流遍布整个城市.某河流上建有一座美丽的石拱桥(如图). 2008年中考总复习专题训练(圆) 一、选择题（每小题3分，共45分） 1．在△ABC 中，∠C=90°，AB ＝3cm ，BC ＝2cm,以点A 为圆心，以2.5cm 为半径作圆，则点C 和⊙A 的位置关系是（ ）。 A ．C 在⊙A 上 Ｂ．C 在⊙A 外 C ．C 在⊙A 内 Ｄ．C 在⊙A 位置不能确定。 2．一个点到圆的最大距离为11cm ，最小距离为5cm,则圆的半径为（ ）。 A ．16cm 或6cm Ｂ．3cm 或8cm C ．3cm Ｄ．8cm 3．AB 是⊙O 的弦，∠AOB ＝80°则弦AB 所对的圆周角是（ ）。 A ．40° Ｂ．140°或40° C ．20° Ｄ．20°或160° 4．O 是△ABC 的内心，∠BOC 为130°，则∠A 的度数为（ ）。 A ．130° Ｂ．60° C ．70° Ｄ．80° 5．如图1，⊙O 是△ABC 的内切圆，切点分别是D 、E 、F ，已知∠A = 100°，∠C = 30°， 则∠DFE 的度数是（ ）。 A ．55° Ｂ．60° C ．65° Ｄ．70° 6．如图2，边长为12米的正方形池塘的周围是草地，池塘边A 、B 、C 、D 处各有一棵树， 且AB=BC=CD=3米．现用长4米的绳子将一头羊拴在其中的一棵树上．为了使羊在草地上活动区域的面积最大，应将绳子拴在（ ）。 A ． A 处 B ． B 处 C ．C 处 D ．D 处 图1 图2 7．已知两圆的半径分别是2和4，圆心距是3，那么这两圆的位置是（ ）。 A ．内含 Ｂ．内切 C ．相交 Ｄ． 外切 8．已知圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面积为（ ）。 Ａ．10π B ．12π Ｃ．15π Ｄ．20π 9．如果在一个顶点周围用两个正方形和n 个正三角形恰好可以进行平面镶嵌，则n 的值是 （ ）。 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 10．下列语句中不正确的有（ ）。 ①相等的圆心角所对的弧相等 ②平分弦的直径垂直于弦 ③圆是轴对称图形，任何一条直径都是它的对称轴 ④长度相等的两条弧是等弧 A ．3个 Ｂ．2个 C ．1个 Ｄ．4个 11．先作半径为2 3的第一个圆的外切正六边形，接着作上述外切正六边形的外接圆，再作上述外接圆的外切正六边形，…，则按以上规律作出的第8个外切正六边形的边长为（ ）。中考数学综合专题训练【几何综合题】(几何)精品解析
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