定稿名师串讲：七天搞定2014新希望杯之几何篇

2014年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛五年级第2 试详细解答一、填空题（每题5 分，共60 分。

）1. 能被2，3，7整除的最小的三位数是_________。

【答案】126【考点】因数与倍数【解析】找2,3,7 的最小公倍数是2×3×7=42，最小的三位数42 的3倍是126。

2. 在1-100 的自然数中，数字和是5 的倍数的数有__________个。

【答案】19【考点】计数之枚举法【解析】数字之和是5 的有：5,50,14,41,23,32数字之和是10的有：19,91,28,82,37,73,46,64,55数字之和是15的有：69,96,78,87共有19个。

3. 如图1，有10克、25 克、50 克的砝码各一个，若在天平上只称量一次，则可以称出的重量有___________种。

【答案】10【考点】计数之枚举法【解析】单独放的：10,25,50和的有：35,60,75,85差的有：15, 40，65共有10种。

4. 如图2，将黑、白两种小球从上到下逐层排列，每层都是从左到右逐个地排。

当白球第一次比黑球多2013个时，恰好排完第_________层的第_________个。

【答案】2014 层的4026 个【考点】计算之等差数列找规律【解析】观察规律是每两层，白球比黑球多2个2013÷2=1006 (1)1006×2=2012，则前2012 层，白球比黑球多2012 个下一层2013 层为全黑，共有2013×2-1=4025个小球2014 层为白，要想比2013 层多1个球，则为第4026 个小球。

因此是2014 层的第2046 个。

5. 有10个连续的偶数，其中最大的偶数是最小的偶数的4 倍。

在这10个偶数中，最小的是________。

【答案】6【考点】数论之奇数与偶数【解析】最大偶数是最小偶数的4 倍，则把最小偶数看成2,4,6，······来试数，当最小偶数是6 时，最大偶数24，这时刚好有10个连续的偶数。

小学“希望杯”全国数学邀请赛六年级第4试一：填空题(每小题5分，共60分)1．小华拿一个矩形木框在阳光下玩，她看到矩形木框在地面上形成的影子不可能是图1中的________(填序号)2．气象台预报“本事明天降水概率是80%”对此信息，下列说法中正确的是________(填序号)①本市明天将有80%的地区降水。

②本市明天将有80%的时间降水。

③明天肯定下雨。

④明天将水的可能性比较大3．计算：8－(7.14×13－229÷2.5)+0.∙1＝ . 4．将分子相同的三个最简假分数化成带分数后，分别是：23a ，34b ，35c ，其中a, b, c 是不超过10的自然数,则(2a ＋b )÷c ＝ 。

5．若用“*”表示一种运算,且满足如下关系:(1)1*1＝1； （2）（n ＋1）*1＝3×（n*1）。

则5*1-2*1＝ 。

6．一个分数，分子减1后等于23，分子减2后等于12，则这个分数是 。

7．图3是华联商厦3月份甲，乙，丙三种品牌彩电的销售量统计图，预测4月份甲，乙，丙三种品牌彩电的销售量将分别增长5%，10%和20%。

根据预测，甲，丙两种品牌彩电4月份的销量之和为____________台8．对于非零自然数a 和b ，规定符号2m a b a b a b⨯+⊗⊗=⨯⨯的含义是：(m 是一个确定的整数)，如果 1423,34________⊗=⊗⊗=那么9．2007年4月15日(星期日)是第五届小学“希望杯”全国数学邀请赛举行第二试的日子，那么这天以后的第2007+4×15天是星期____________10．如图4，三角形田地中有两条小路AE 和CF ，交叉处为D ，张大伯常走这两条小路，他知道DF ＝DC ，且AD ＝2DE ，则两块田地ACF 和CFB 的面积比是____________11．甲，乙两车同时从A，B两地相对开出，两车第一次在距A地32千米处相遇，相遇后两车继续行驶，各自到达B，A两地后，立即沿原路返回，第二次在距A地64千米处相遇，则A，B两地间的距离是___________千米。

中考网“第十七届”希望杯竞赛考前真题精讲班第六讲几何问题〖写在前面〗由于希望杯题量较大，可以设计丰富题型，因此要求同学们对知识的掌握就要全面系统许多。

这里中考网初中教研组的全体老师们在对几何问题的深入研究后为同学们系统总结编排如下讲义，其内容基本覆盖了希望杯竞赛的几何题型，同学们如果能够系统吸收消化讲义内容，就可以轻松自如应对竞赛中出现的几何题目；但知识的学习是一个反复的过程，望同学们可以在充分利用课堂学习交流的机会，功夫在课外，可以认真对每个题型反复演练、精熟于胸。

OK！Let’s go !Yours sincerely中考网初一教研组同讲题目共25个选讲共3个总题量共28个本讲纲要1.计数2.角3.平行线问题4.面积问题1）一般图形面积2）蝶翅3）对面面积4）比例面积5.三角形 1）三角形基础知识 2）同角三角形3）等腰直角三角形6.方程7.立体图形○基础题目◎稍加技巧※比较繁琐计数例1 〖○ 15届〗图1中有8个完全相同的直角三角形，则图中矩形的个数是 ( )(A)5． (B)6．(C)7． (D)8．【分析与解答】矩形(包括正方形)的个数是7，故选(C)．例2 〖○ 8 届〗将27个大小相同的小正方体组成一个大正方体，现将大正方体各面上的某些小方格涂上黑色，如图2所示，而且上与下、前与后、左与右相对两个面上的涂色方式相同，这时，至少有一个面上涂有黑色的小正方体的个数是 ( )(A)18． (B)20．(C)22． (D)24．【分析与解答】选(B)由图2可见，大正方体正面中心的一个小正方体，以及它后面的两个小正方体(共3个)没有涂黑，顶面中间一排左右两个小正方体，及其底面相对应的两个小正方体没有涂黑，所以，总共有7个小正方体没有涂黑，其余20个小正方体至少有一面涂黑了，选(B)．角例3 〖○13届〗如图所示为直线AB上的一点，OM平分则图中互余的角有( )(A)1对． (B)2对．(C)3对． (D)4对．【分析与解答】选（D）例 4 〖○ 7 届〗中有两个锐角和一个钝角，其数值已经给出，在计算的值时，全班得这样三个不同结果，其中确有正确的答案，那么【分析与解答】352.5 度例5 〖◎ 8 届〗【分析与解答】40 度例6 〖○13届〗下列四个命题：①如果两个角是对顶角，则这两个角相等．②如果两个角相等，则这两个角是对顶角．③如果两个角不是对顶角，则这两个角不相等．④如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角．其中正确的命题有( )(A)1个．(B)2个．(C)3个．(D)4个．【分析与解答】选（B）例7 〖◎ 11 届〗如图所示，平行直线AB、CD与相交直线EF、GH相交，图中的同旁内角共有( )．(A)4对． (B)8对．(C)12对． (D)16对．【分析与解答】选(D)AB、CD被EF所截，形成两对同旁内角；AB、CD被GH所截，形成两对同旁内角；AB、EF被GH所截，形成两对同旁内角；AB、GH被EF所截，形成两对同旁内角；EF、GH被AB所截，形成两对同旁内角；CD、EF被GH所截，形成两对同旁内角；CD、GH被EF所截，形成两对同旁内角；EF、GH被CD所截，形成两对同旁内角．总计图中共有16对同旁内角．选(D)平行线问题例8 〖○12届〗在下列4个判断①在同一平面内，不相交也不重合的两条线段一定平行．②在同一平面内，不相交也不重合的两条直线一定平行．③在同一平面内，不平行也不重合的两条线段一定相交．④在同一平面内，不平行也不重合的两条直线一定相交．中，正确判断的个数是 ( )【分析与解答】选（C）例9 〖◎12届〗如图4，【分析与解答】面积问题1）一般图形面积2）蝶翅3）对面面积4）比例面积1)一般图形阴影面积例10 〖○ 9届〗图3中，两个半径为1的叠放在一起，是正方形，则整个阴影图形的面积是．【分析与解答】例11 〖◎ 15届〗图6中正方形GFCD和正方形AEHG的边长都是整数，它们的面积之和是117，P是AE上一点，Q是CD上一点．则三角形BCH的面积是；四边形PHQG的面积是．【分析与解答】45例12 〖◎ 15届〗如图所示，三角形ABC的底边BC长3厘米，BC边上的高是2厘米，将该三角形以每秒3厘米的速度沿高的方向向上移动2秒，这时，该三角形扫过的面积是( )平方厘米．(A)21． (B)19．(C)17． (D)15．【分析与解答】选（A）例13 〖○13届〗The radius of the four circles is one in the Fig.2, then the area of the shade part is__ (英汉小字典:radius:半径;shade:阴影)【分析与解答】4 割补2)蝶翅例14 〖○ 8 届〗如图所示，长方形ABCD中，的面积为20平方厘米，的面积为35平方厘米，则阴影四边形的面积等于平方厘米．例15 〖○13届〗如图5所示，边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起．在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心，边长为半径的圆弧．则阴影部分的面积是平方厘米【分析与解答】18.753)对面面积例16 〖○ 6届〗如图2，两条线段AB、CD将大长方形分成四个小长方形，其中S1面积是8，S2的面积是6，S3的面积是5．则阴影三角形的面积是________【分析与解答】10/3例17 〖○ 9 届〗梯形ASCD如图4所示，AB、CD分别为梯形上下底，已知阴影部分总面积为5平方厘米，△AOB的面积是O．625平方厘米．则梯形ABCD的面积是平方厘米．【分析与解答】15.6254)比例面积例18 〖○ 9届〗如图l所示，则等于 ( )例19 〖◎14届〗（同考同年04迎春杯第9题）如图8，边形CDEF的面积等于【分析与解答】10 ； 20/3例20 （选讲）〖◎14届〗如图2，ABCD是平行四边形，E在AB上，F在AD上，【分析与解答】7/4三角形 1）三角形基础知识 2）同角三角形3）等腰直角三角形1)三角形基础知识例21（选讲）〖◎ 14届〗用10根长度相同的木棍拼成一个三角形(不剩余木棍也不折断木棍)，则能拼成 ( )(A)直角三角形． (B)等腰三角形(C)等腰直角三角形． (D)等边三角形【分析与解答】选（B）例22 〖○ 7届〗若一个三角形的底边a增加3厘米，该底边上的高h减少3厘米后面积保持不变，那么h-a= 厘米．【分析与解答】32)特殊比例面积同角三角形面积例23 〖◎ 8 届〗如图4所示，中，点P在边AB上．，Q点在边BC上，；R在边CA上。

名师串讲：七天搞定2014新希望杯之行程篇考点分析行程问题一直是各大比赛中填空题和解答题的必考问题！分值大，难度高，是大部分学生的薄弱环节，也是丢分较多的题目。

要学好行程问题，需要学生有完整的知识体系和严密的思维，熟知行程问题的分类特性，良好的画图做题习惯，深厚的计算功底以及灵活的应变能力。

对于新希望杯的行程模块的命题有如下特点：1、五年级初赛整体难度偏小，但有时会出现多个答案的情况，一般都可以用画图和方程结合的方式解答；六年级的行程问题相对较难，除了画图之外往往还需要用到比例的知识去解答。

2、比较倾向于将条件蕴含在坐标图中让学生去发现，贴近实际生活，这类问题在近两年的考试和训练题中已多次出现，符合现在的命题趋势。

3、新希望杯考试范围中五六年级的行程考点中这几类出现的十分频繁：流水行船，多人相遇追及，多次相遇追及，环形问题，比例行程，变速变道。

备考时可以重点向这几个知识点倾斜。

精选真题讲解【第8届“新希望杯”全国数学大赛五年级预赛（A 卷）·第7题】邮递员翻山送邮件，上坡用了1.2小时，平均每小时行5千米；下坡用了2小时，平均每小时行8.2千米，全程平均每小时行______千米。

【考点】平均速度 【答案】7【分析】要求平均速度，用总路程除以总时间。

()722.122.82.15=+÷⨯+⨯）（（千米/小时）【第9届“新希望杯”全国数学大赛五年级预赛（A 卷）·第12题】五年级 考点 梯形难度 六年级考点题型难度第八届填空题第7题平均速度★解答题第1题 认识坐标图 平均速度 追及问题 ★★解答题第2题 环形问题 变道问题 ★★★★ 第九届解答题第2题多人相遇★★★解答题第2题环形问题 变速问题★★甲、乙从A 地出发，丙从B 地与甲、乙同时出发相向而行，A 、B 两地相距8640米，甲、乙、丙的速度分别为64米/分，56米/分，48米/分。

请问，出发后多长时间会出现其中一人与另外两人等距？ 【考点】多人相遇 【答案】72，7177，80，13183，90 【分析】分以下情况讨论： （1）甲在乙、丙中间：7248728640=+÷）（（分钟）（2）甲与丙相遇：717748648640=+÷）（（分钟）（3）丙在甲、乙中间：8048608640=+÷）（（分钟）（4）乙与丙相遇：1318348568640=+÷）（（分钟） （5）乙在甲、丙中间：9048488640=+÷）（（分钟）【第8届“新希望杯”全国数学大赛六年级预赛（A 卷）·第11题】航天城小学的一部分学生有幸参加了开仓仪式，同学们分成甲、乙两队，甲队先出发，两队均从学校出发去航天城，且从学校到航天城只有一条路，路程为24千米。

2014年第十二届小学六年级“希望杯”全国数学邀请赛培训100题2014年第十二届小学“希望杯”全国数学邀请赛培训100题1、计算6554433221++++2、x 比y 大30%，y 比300少30%，则y x -的值为多少？3、小光将.32.1乘以一个数a 时，把.32.1误看成了1.23，使乘积比正确结果少0.3。

则正确结果是多少？4、在三个数：0.14292，71，.3.021-中，最小的是哪一个？最大的是哪一个？5、根据前三个图形中数的规律，求第四个图形中x 所表示的数。

2 32 311751 11 5126 7213 131206、计算.201320124025201320142012201320132011?+?+?xx215307、在括号内填上一个分数，使等式成立：74) (15131=++。

8、在算式121916131) (1219161311=++++中，（）中应填入的数是多少？9、从公元前1500年到公元317年被认为是玛雅文化的前古典时期，从公元317年到889年为玛雅文化的古典时期，从公元889年到1697年为玛雅文化的后古典时期。

则前古典时期占整个玛雅文化的百分之几？10、一台笔记本电脑在电池电量为92%的时候还可以使用3小时50分钟。

如果电脑打开时是100%的电量，那么从电脑打开到还剩92%电量时过去了多少分钟？11、小刚去商店买了一个滑板，回到家后，看到网上的滑板售价为100元，这个价格比商店的售价低了20%，则小刚买滑板付了多少钱？12、将135化成小数并求小数点后第2013位上的数字。

13、分数319的分子，分母同时加a ，结果等于43，求a 。

14、分数85+a 化成的小数是比1小的循环小数，求自然数a 。

15、小琳参加了4次数学能力测试，她用其中任意三次的平均分加上另一次的分数，得到四个成绩：212,184,200,172。

求她四次测试的平均分。

16、已知A 和B 都是自然数，且9154137=+B A ，求A 和B 的和。

2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义（一）平面解析几何讲义一、平面几何背景下的解析几何问题 （一）解法思想：充分利用平面几何中的几何性质,合理而恰当地把几何特征表示为代数形式,以几何直观为导向,运用代数工具和相应的方法进行推理或论证,达到解题目的．（二）例题选讲：例1．在周长为定值的△ABC 中,已知|AB|=6,且当顶点C 位于定点P 时,cos C 有最小值为257. （I ）建立适当的坐标系,求顶点C 的轨迹方程.（II ）过点A 作直线与(1)中的曲线交于M 、N 两点,求||||BN BM ⋅的最小值.解析（I ）设||,||CA m CB n ==,则222236()236()36cos 1222m n m n mn m n C mn mn mn+-+--+-===-．设定值m n d +=,则222222363627272cos 111122()2d d d C m n mn d d ---=-≥-=-=-+,所以2727125d -=,解得10d =． 把,A B 两点放在x 轴上（点A 在左）,线段AB 的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系．则据椭圆定义可得顶点C 的轨迹方程为2212516x y +=． （II ）设点,M N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则22121212||||()()()BM BN a ex a ex a c x x e x x ⋅=--=-++．当直线MN 的斜率不存在时,12x x c ==-,此时22221156||||225BM BN a c c e ⋅=++=； 当直线MN 的斜率存在时,设其方程为()y k x c =+,代入椭圆方程中得 22222222222()20b a k x ca k x a k c a b +++-=可得222222212122222222,ca k a k c a b x x x x b a k b a k-+=-=++,所以 22224222222422222222222()||||c a k k c c b k a c b BM BN a b a k b a k b a k -++⋅=++=+++令222b a k t +=,则2222222242()()||||a c t b a c a b BM BN a t+-++⋅= 222222222222()()34167562525a c b a b a c a a t t+-+=+⋅=-⋅．因为2222162516t b a k k =+=+≥,所以2341675640016252525t -⋅≥=,即得||||BN BM ⋅的最小值为16,此时0k =．例2．设F 是椭圆2212516x y +=的一个焦点,A 是椭圆上距离点F 最远的一个顶点,在椭圆的短轴BC 上取互异的2013个点(1,2,,2013)i P i =,设直线i FP 交线段或于点M ,直线AP 交线段或于点i N ．试问：直线(1,2,,2013)i i M N i =解析：如图示,设点m P 的坐标为(0,)m y ,||||||1||||||m m m m BP AM OF P O FA M B ⋅⋅=,可得||8||3(4)m mm m AM y M B y =-,坐标为15(4)32(,)512512m mm m y y y y -++．同理可得点m N 的坐标为15(4)32(,)320320m m m m y y y y --++,所以直线m M m N 的斜率为815(4)mm y y -+,可得其直线方程为32815(4)()32015(4)320m m m m m m y y y y x y y y ---=++++．令0y =,则4530015(320)15320320m m m m y y x y y ++===++,这说明直线m M m N 经过定点(15,0),而定点(15,0)在椭圆外部,可见任意两条直线(1,2,,2013)i i M N i =都相交,且交点均为(15,0),说明这2013条直线任两条直线在椭圆内部均不可能相交,于是它们把椭圆可分成2014块．例3．作斜率为13的直线l 与椭圆C ：143622=+y x 交于,A B 两点（如图所示）,且)2,23(P 在直线l 的上方．（I ）证明：△PAB 的内切圆的圆心在一条定直线上；（II ）若︒=∠60APB ,求△PAB 的面积．解析（I ）分析：易计算出以点P 为切点的椭圆的切线的斜率为13-,由此可知以点P 关于x 轴的对称点为切点的椭圆的切线的斜率为13．可见斜率为13的直线l 在平移过程中与椭圆相切时恰好是上面的切线,由此可猜想直线PA 与直线PB 的斜率互为相反数,下面给予验证：设直线l 的方程为13y x b =+,点,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把直线方程代入椭圆方程中可得22269360x bx b++-=,即得212129363,2bx x b x x-+=-=．因为PAk=PBk=两式相加=因为11221133y x b y x b=+=+,所以12121((3y x x b x-=+-12121(3x x b x b=+-,21211((3y x x b x-=+-12211(3x x b x b=+-,于是122112122((()3y x y x x x b x x b-+--=+-+-23123(0b b b b=----=．所以0PA PBk k+=．于是PAB∆的内切圆的圆心一定在直线x=（II）因为︒=∠60APB,所以直线PA,可得直线PA的方程为y x=-+代入椭圆方程中得2142340x x-+-=,由韦达定理可得点A．故由弦长公式可得|||1477PA-+=-==．同理可求得1)||7PB=．所以,△PAB的面积为111826||||sin602249PA PB⋅⋅︒=⋅=例4．在平面直角坐标系xOy中,椭圆的方程为22221(0)x ya ba b+=>>,12,A A分别为椭圆的左、右顶点,12,F F分别为椭圆的左、右焦点,P 为椭圆上不同于1A 和2A 的任意一点．若平面中两个点Q 、R 满足11221122,,,QA PA QA PA RF PF RF PF ⊥⊥⊥⊥,试确定线段QR 的长度与b 的大小关系,并给予证明．解析：如右图示,据题意可知12,,,P A Q A 四点共圆,又原点O 为该圆的弦12A A 的中点,则据圆的性质可得该圆的圆心在y 轴上；又PQ 为该圆的直径,所以线段PQ 的中点在y 轴上．同理,线段PR 的中点也在y 轴上．所以,点,Q R 的横坐标相等,且为点P 的横坐标的相反数．设点P 的坐标为00(,)x y ,则可设点,Q R 的坐标分别为01(,)x y -和02(,)x y -,且12||||QR y y =-． 据题设,1212tan tan A PA AQA ∠=-∠,则据直线的到角公式有001100000011000011y y y yx a x a x a x ay y y y x a x a x a x a---+-+=+⋅+⋅-+-+,即012222220001y y x y a x y a =+-+-,整理得22010x a y y -=．同理可推得22020x c y y -=．于是222220021000||||||x c x a b y y y y y ---=-=．由于00||y b <≤,所以20||b b y ≥,即得线段QR 的长度不小于b ．又解：设点P 的坐标为00(,)x y ,则可得直线1A Q 的方程为00()x ay x a y +=-+；同理可得直线2A Q 的方程为00()x a y x a y -=--,两方程联立可得点Q 的坐标为22000(,)x a x y --． 同理可得点R 的坐标为22000(,)x c x y --．于是得20||||b QR y =． 因为00||y b <≤,所以20||||b QR b y =≥,可得线段QR 的长度不小于b ．二、向量条件下的曲线的弦问题 （一）题型特点及解法思想：当直线与曲线相交但不相切,此时将产生曲线的一条弦,围绕着这条线弦展开的问题,我们把它称为曲线的“弦问题”．解决这类问题的基本思想是联立方程组,运用二次方程的有关知识加以解决．在曲线的“弦问题”中,时常把题中的条件通过向量的形式给出,或以向量为背景来设置问题．解决这种问题时,可以从两个方面来考虑向量知识的运用,一是运用向量的坐标表示形式解题,这与解析法一脉相承；二是运用向量的几何意义解题,即通过向量来揭示所研几何图像的几何性质,再运用数形结合的思想解题．（二）例题选讲：例5．点A 在直线y kx =上,点B 在直线y kx =-上(0)k >,且A 、B 两点在y 轴同侧,并满足2||||1OA OB k ⋅=+．（I ）求AB 中点M 的轨迹C ；（II ）若曲线C 与抛物线22(0)x py p =>相切于两点,求证这两个切点分别在定直线上,并求切线方程． 解（I ）设点A 的坐标为11(,)t kt ,点B 的坐标为22(,)t kt -,则1||||OA t →=2||||OB t →=所以有12||1t t =,由于A 、B 两点在y 轴同侧,所以121t t =．设AB 的中点M 的坐标为(,)x y ,则12122()2t t x k t t y +⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩,整理得22122y x t t k -=,即得2221y x k -=．所以点M 的轨迹C 的方程为2221y x k-=,可知轨迹C 是以直线y kx =和y kx =-为渐近线的双曲线．（II ）联立22x py =与2221y x k -=,得2221y py k-=,即22220y pk y k -+=,可知该关于y 的二次方程有两个相同的正根,即得242440p k k -=,即221p k =,即得1pk =．此时切点的纵坐标为2pk ,可得两切点坐标为2(,)pk ,即()k．由此可知两个切点分别在定直线x =x =当切点坐标为)k 时,切线的斜率为p,切线方程为y k x p -=,10py --=；当切点坐标为()k 时,切线的斜率为p -,切线方程为(y k x p-=-+,10py ++=． 例6．设直线:l y kx m =+（其中,k m 为整数）与椭圆2211612x y +=交于不同两点,A B ,与双曲线221412x y -=交于不同两点,C D ,问是否存在直线l ,使得向量0AC BD +=,若存在,指出这样的直线有多少条？若不存在,请说明理由．解析 设,A B 两点的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,,C D 两点的坐标分别为33(,)x y 和44(,)x y ,则由0AC BD +=可得1234x x x x +=+．把直线l 的方程代入椭圆方程中可得222(34)84480k x kmx m +++-=,于是122834kmx x k+=-+,且2212160k m +->． 把直线l 的方程代入双曲线方程中可得222(3)2120k x kmx m ----=．因为k 为整数,所以230k -≠,于是34223km x x k+=-,且221240m k +->． 由1234x x x x +=+可得2282343km kmk k -=+-,于是当0k =时,需2120m ->且2120m +>,即m -<<,这样的有序整数对(,)k m 共有7个,此时,共有7条满足题设的直线；当0m =,0k ≠时,需212160k +>,且21240k ->,即k <<这样的直线共有2条；当0m ≠且0k ≠时,2282343km kmk k -=+-即123-=,不能成立,此时没有满足题设的直线．综上,存在直线l ,这样的直线有9条．例7．已知椭圆1222=+y x ,过定点(1,0)C 两条互相垂直的动直线分别交椭圆于Q P ,两点．21,F F 分别为左右焦点,O 为坐标原点．（I ）求||21PF PF +的最小值；（II ）当向量21PF PF +与21QF QF +互相垂直时,求Q P ,两点所在直线的斜率．解析（I ）因为122PF PF PO +=,所以只需求||PO 的最小值．显然min ||1PO b ==,所以||21PF PF +的最小值为2．（II ）由21PF PF +与21QF QF +互相垂直可知OP OQ ⊥．又CP CQ ⊥,所以PQ 是两个直角三角形POQ 和PCQ 的公共斜边,即得线段PQ 的中点到,O C 两点的距离相等,即线段PQ 中点的横坐标为12． 法1：设Q P ,两点所在直线的斜率k ,线段PQ 的中点坐标为01(,)2y ,则有2020014b x k a y y =-=-．故可设直线PQ 的方程为01()2y y k x -=-,即11()42y k x k +=-,代入椭圆方程中可得2212()2024k x kx k+---=,即2222213(12)(21)()0282k k x k x k +-+++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则42122241218(12)k k x x k k -+=+,而121x x +=,所以424221212122211412114()()()24248(12)16k k k k k y y k x x k x x k k k k-+-=-++++=++ 4222284116(12)k k k k -++=+． 因为12120x x y y +=,所以424222224121284108(12)16(12)k k k k k k k k -+-+++=++,可得42202030k k --+=,即得2510k -+=,即k =法2：设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入椭圆方程中得222(12)4220k x kbx b +++-=． 设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122412kb x x k+=-+．而121x x +=,所以2124k kb +=-——（1） 另一方面,21222212b x x k -=+,于是222222121212222()12k b k y y k x x kb x x b kb b k -=+++=+++． 因为12120x x y y +=,所以2222222222201212b k b k kb b k k--+++=++,即得 22322422320k b k b k b kb +-++-=——（2）由（1）（2）消去b 可得42202030k k --+=,于是k =法3：设直线PQ 的方程为y kx b =+,代入椭圆方程中得222(12)4220k x kbx b +++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122412kbx x k+=-+,21222212b x x k -=+． 一方面,由12120x x y y +=,因222212121222()12k b y y k x x kb x x b k -+=+++=+,故得2222222201212b k b k k--++=++即223220b k --=——（1） 另一方面,由1122(1,)(1,)0x y x y -⋅-=可得121212()10x x x x y y -+++=,因此有222222224210121212b kb k b k k k--++++=+++即23410b kb +-=——（2）由（1）（2）消去b 可得42202030k k --+=,于是k =法4：设||,||OP m OQ n ==,则有2222111132m n a b +=+=,即得222232m n m n +=,可知原点O 到直线PO 的距离为3．故设直线PQ 的方程为cos sin 3x y θθ+=,代入椭圆方程可得22224(sin 2cos )cos 2sin 03x θθθθ++-=．设1122(,),(,)P x y Q x y ,则122243sin 2cos x x θθθ+=⋅+,而121x x +=,所以223sin 2cos θθθ=+,即23cos 30θθ-+=,解得cos θ=,于是得cot =,即斜率为k =三、曲线的切线问题（一）题型特点及解法思想：这里的曲线通常是二次曲线,其切线是指与曲线有两个相同的交点的直线,解题的基本思路是联立方程组,运用判别式等于0来体现切线特点．当然,还可以从导数的角度来分析切线,并运用导数工具研究切线．（二）例题选讲：例8．过直线l ：57700x y --=上点P 作椭圆221259x y +=的切线PM 、PN ,切点分别为M 、N ,联结MN ．（I ）当点P 在直线l 上运动时,证明：直线MN 经过定点Q ； （II ）当//MN l 时,证明：定点Q 平分线段MN ．解析（I ）设点P 的坐标为00(,)x y ,切点M 、N 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ,则两条切线的方程分别为111259x x y y +=和221259x x y y +=．因为点P 在这两条切线上,所以有 10101259x x y y +=且20201259x x y y+=． 这说明过切点M 、N 的切点弦所在直线MN 的方程为001259x x y y+=．因为0057700x y --=,即007145x y =+,所以直线MN 的方程为0147()1x y x y ++=． 令709125y x +=,则14125x =,解得2514x =,所以,直线MN 经过定点Q ,其坐标为25(,14（II ）若//MN l ,则直线MN 的方程为y 要证明此时定点Q 平分线段MN ,弦所在直线的方程就是9525()10714y x +=-此时可设,M N 两点的坐标分别为11(,x y 得1212121211()()()()0259x x x x y y y y -++-+=,因为1212,75x x y y +=+=-,所以 121211()()075x x y y ---=,即121257y y x x -=-,所以,此时直线MN 的斜率为57,其方程就是9525()10714y x +=-,这就是说,定点Q 平分线段MN ． 例9．过点)3,2(作动直线l 交椭圆1422=+y x 于两个不同的点Q P ,,过Q P ,作椭圆的切线,两切线的交点为M ．（I ）求点M 的轨迹方程；（II ）设O 为坐标原点,当四边形POQM 的面积为4时,求直线l 的方程．解析（I ）设直线l 的方程为sin (2)cos (3)x y θθ-=-,即sin cos 3cos 2sin 0x y θθθθ-+-=．设交点M 的坐标为00(,)x y ,则直线PQ 的方程为0014x xy y +=,即00440x x y y +-=． 于是有0044sin cos 3cos 2sin x y θθθθ-==--,即得动点M 的参数方程为（II 2(14)k +2sin α=．所以,四边形POQM 的面积为1||||sin 2S PQ OM α=⋅ 22|23|14k k =-+=． 所以,4|23|k =-,解得1k =或11k =,得直线l 的方程为10x y -+=或114100x y --=．例10．已知111222(,),(,),A x y A x y 在的直线与抛物线22(0)x qy q =>证明：对不同的{},1,2,3i j ∈,i y y 证 如图,不妨设边13A A 和23A A相切,切点分别为1T 和2T ．那么切点弦1T 2T 所在直线方程为33()x x q y y =+．设切点1T 和2T 的坐标分别为211(,)2t t q 和222(,)2t t q ,则切线13A A 的斜率为1t q ,于是有31131y y t x x q -=-,即1312t py y q=+．把切点1T 的坐标代入直线方程33()x x q y y =+中,可得21313()2t x t q y q =+,整理即223113()22y t t q y p q=+,再把1312t py y q=+中的1t 代入该式,可得22332313122[]2()y pq p q q y p y y y y ⋅=+++,即2233231312()y p q y y y y y =+++, 即213231312()y y p q y y y y -=++,即得21313()2y y y y p q +=-． 同理,利用切点2T 可以推得22323()2y y y y p q +=-．上面两式相减可得123y y y +=-；上面两式相加可得2222312312()()4y y y y y y p q +++=-,即得 232312123[()2]4y y y y y y p q +--=-,即23233123(2)4y y y y y p q --=-,即得21232y y y p q =． 所以21212123()2y y y y y y y p q +=-=-．综上,对不同的{},1,2,3i j ∈,()i j i j y y y y +为定值,定值为22p q -．四、焦点问题（一）题型特点及解法思想：此类题目总是围绕圆锥曲线的焦点展开,它紧扣圆锥曲线的定义,能更直接地揭示圆锥曲线的本质．解决这类问题时,一要抓住圆锥曲线的定义,包括椭圆、双曲线的第一、第二定义；二要抓住焦点与对应准线之间的关系；三要用好焦半径．（二）例题选讲：例11．如图,MN 为过椭圆22221(0)x y a b a b+=>>右焦点F 的弦,,A B 分别为椭圆的左、右顶点,直线AM 与BN 交于点P ,求点P 的横坐标.解析 如图,设点,M N 的坐标分别为(cos ,sin )a b αα和(cos ,sin )a b ββ,设点P 的坐标为00(,)x y ,则一方面有00sin sin cos cos 1y b b x a a a a αααα==⋅+++, 00sin sin cos cos 1y b b x a a a a ββββ==⋅---, 两式相除可得00sin cos 1sin cos 1x a x a αββα--=⋅++ ————（1） 另一方面,有sin sin cos cos b b a c a c αβαβ=--,即sin sin cos cos e eαβαβ=-- ————（2）由（1）得0[sin()sin sin ][sin()sin sin ]x a βααββαβα-++=++- ————（3） 由（2）得sin()(sin sin )e αβαβ-=- ————（4） 又（3）式左边为00[sin()sin sin ]2cos(sinsin)222x x βαβααββααβ--+-++=+04cossincos222x βαβα-=．（3）式右边为[sin()sin sin ]2cos(sinsin)222a a αβαββαβαβα++-++-=+4cossincos222a αββα+=．所以有0cos2cos2a x βαβα+=- ————（5）由（4）式可得2sin cos 2cos sin 2222e αβαβαβαβ--+-=,即cos cos22e αβαβ-+=,即cos12cos2e αβαβ+=-,代入（5）式中可得20a x c =．所以,点P 的横坐标为2a c ．例12．如图,在平面直角坐标系xOy 中,椭圆的左、右焦点分别为,．已知和都在椭圆上,其中e 为椭圆的离心率．（I ）求椭圆的方程；（II ）设是椭圆上位于轴上方的两点,且直线与直线平行,与交于点P ． 求证：是定值．解析（I ）易求得椭圆方程为2212x y +=； （II ）设12||,||AF m BF n ==,则2||||m AP PF n =,1||||nBP PF m=． 因为1212||||||||2AF AF BF BF a +=+=,所以21(1)||(1)||2m nm PF n PF a n m ++=++=, 即得2122||,||an mn am mn PF PF m n m n --==++,于是212||||2mnPF PF a m n+=-+． 设12AF F θ∠=,则2BF x θ∠=,于是,1cos 1cos ep epm n e e θθ==+-,所以 2222222,1cos 1cos e p epmn m n e e θθ=+=--, 可得222mn c b b ep m n a c a==⋅=+．所以221||||22b PF PF a a +=-==,可见是定值． 例13．已知椭圆Γ的方程为),0(12222>>=+b a b y a x 离心率12e =,1F 是椭圆Γ的左焦点,直线l 过点M（)0,2a -交椭圆Γ于A 、B 两点,且,121||1||111=+BF AF 当△1ABF 的面积最大时,求直线l 的方程． 22221(0)x y a b a b+=>>1(0)F c -，2(0)F c ，(1)e，e ⎛ ⎝⎭,A B x 1AF 2BF 2AF 1BF 12PF PF +12PF PF +解析 如图,因为12e =,所以12c a =,可得2a c =．于是,2222a a a c a==,可知直线2x a =-是该椭圆的左准线,即得点M 落在左准线上．假设,A B 两点在x 轴的上方,并设它们的坐标分别为11221212(,),(,)(,)x y x y x x y y <<． 则1212113(2)()()22ABF S a c y y c y y ∆=--=-． 设直线AB 的方程为4x my c =-,代入椭圆方程2222434120c x c y c +-=中可得222(34)24360m y cmy c +-+=．所以21y y -==． 令234m t +=,则21348m t ==≤+,于是212y y -≤,可知124ABF S c ∆≤,且当23432m +=即2283m =时等号成立． 另一方面,分别过,A B 作左准线的垂线,垂线段长分别为12,d d ,则111211||,||22AF d BF d ==,而1122,y m d y m d ==,可得1212()y y m d d +=+． 因为1222434cmy y m +=+,所以21222434cm d d m +=+．所以211122112||||()234cm AF BF d d m +=+=+． 又因为21223634c y y m =+,即222121223634c m d d m y y m ==+,即221129||||34c m AF BF m =+．而条件有11111||||12AF BF +=,即111112(||||)||||AF BF AF BF +=,即得22222129123434cm c m m m ⋅=++,解得16c =,所以264a =．可得直线l的方程为64)14y x =±+． 例14．在双曲线C ：22145x y -=中,12,F F 分别为双曲线C 的左右两个焦点,P 为双曲线上且在第一象限内的点,12PF F ∆的重心为G ,内心为（I ）是否存在一点P ,使得IG //（II ）已知A 为双曲线C 的左顶点,足1212k k +=-,求直线l 的方程． 解析（I ）设点P 的坐标为00(,)(x y 面积为03y 001(6)2ex a ex a r ++-+,即0(ex +0(2)32x r +,即得00(2)332x ry +=,因为IG //12F F ,所以013r y =,可求得0y =．综上,存在一点P ,其坐标为,使得IG //12F F ．（II ）可设直线l 的方程为3x my =+,设,M N 两点的坐标为分别为11(,)x y 和22(,)x y ．把直线方程代入双曲线方程中,得22(54)30250m y my -++=．于是有1223045m y y m +=-,1222545y y m=-- ————（1） 另一方面,因为121212,22y y k k x x ==++,而1212k k +=-,所以有12121222y y x x +=-++, 即得12121552y y my my +=-++,整理得21212(4)(105)()250m m y y m y y +++++=——（2）由（1）,（2）可得：2222530(4)(105)2504545m m m m m m -+⋅++⋅+=--,解得12m =-． 所以,直线l 的方程为132x y =-+,即26y x =-+． 五、曲线组问题 （一）题型特点：这是一类典型的曲线性质探究问题,其曲线背景是由两条以上曲线组合而成,它使得问题更为复杂,体现出的综合性更强,更能突出曲线之间的自然联系．求解时,图形复杂,变量多,联系多,式子多,能很好地考查综合运用知识分析问题和解决问题的能力,更能考查思维素质．（二）例题选讲：例15．如图,曲线C 由上半椭圆1C ：22221(0,0)y x a b y a b+=>>≥和部分抛物线2C ：21(0)y x y =-+≤连接而成,12,C C 的公共点为,A B ,其中1C 的离心率为32． （I ）求,a b 的值；（II ）过点B 的直线l 与12,C C 分别交于,P Q （均异于点,A B ）,若AP AQ ⊥,求直线l 的方程．解析（I ）易知曲线12,C C 的结合点,A B 的坐标分别为(1,0)-和(1,0),于是可得1b =,再由1C 的离心率为32可得2a =． 所以,2a =,1b =．（II ）显然直线l 的斜率存在,故设其方程为(1)y k x =-,将其代入曲线2C 的方程中可得210x kx k +--=,知该方程的一个根为1,由韦达定理可得点Q 的横坐标为1k --,于是点Q 的坐标为2(1,2)k k k ----；把直线l 的方程代入曲线1C 的方程中,可得2222(4)240k x k x k +-+-=,知该方程的一个根为1,由韦达定理可得点P 的横坐标为2244k k -+,于是点P 的坐标为22248(,)44k k k k --++． 由AP AQ ⊥可得：4(2)1k k -⋅+=-,解得83k =-． 所以,直线l 的方程为8(1)3y x =--,即8380x y +-=．例16．如图,设P 是抛物线1C ：2x y =上的动点．过点P 做圆2C 1)3(:22=++y x 的两条切线,交直线l ：3y =-于,A B 两点．（Ⅰ）求2C 的圆心M 到抛物线1C 准线的距离．（Ⅱ）是否存在点P ,使线段AB 被抛物线1C 在点P 处的切线平分,若存在,求出点P 的坐标；若不存在,请说明理由．解析（Ⅰ）抛物线1C 的准线方程为14y =-,所以2C 的圆心M 到抛物线 1C 准线的距离114． （Ⅱ）设点P 的坐标为200(,)x x ,切线方程可设为200()y x k x x -=-,则有2002|3|11kx x k--=+,即2234200000(1)(26)680x k x x k x x--++++=．于是3420000121222002668,11x x x xk k k kx x++++==--————（1）同时可得,A B两点的坐标分别为213(,3)xxk+--和223(,3)xxk+--,那么线段AB的中点坐标为22001233(,3)22x xxk k++---．以点P为切点的抛物线的切线方程为20002()y x x x x-=-,即2002y x x x=-,所以22200000123332()22x xx x xk k++-=---,整理得2120012(3)(1)0k kx xk k++-=,即1212k kxk k=+————（2）由（1）可得420012312006826x xk kk k x x++=++,代入到（2）中可得48x=,解得x=,此时点P的坐标为(,关于k的方程为21)3)160k k±++=,其判别式为23)1)(4640∆=-+=+>,可见这样的切线是存在的．综上,存在点P,其坐标为(．例17．设m R∈,在平面直角坐标系中,(,1)a mx y→=+,(,1)b x y→=-,a b→→⊥,动点(,)M x y的轨迹为E．（I）求轨迹E的方程,并说明该方程所表示的曲线的形状；（II）已知14m=,证明：存在圆心在原点的圆,使得该圆的任意一条切线与轨迹E恒有两个交点A,B,且OA OB⊥（O为坐标原点）,并求该圆的方程；（III）已知14m=．设直线l与圆C：222(12)x y R R+=<<相切于A1,且l与轨迹E只有一个公共点B1．当R为何值时,|A1B1|取得最大值？并求最大值．解析（I）由a b→→⊥得221mx y+=,即为轨迹E的方程．当0m<时,方程表示焦点在y轴上的双曲线；当0m=时,方程表示两条互相平行的直线；当01m<<时,方程表示焦点在x轴上的椭圆；当1m=时,方程表示圆心在原点的单位圆；当1m>时,方程表示焦点在y轴上的椭圆．（II）此时方程为2214xy+=,如图．设|OA| = m,|OB| = n,则可设点A、B的坐标分别为(cos ,sin )m m θθ和(cos(),sin())22m m ππθθ++,代入椭圆方程中得 22222222cos sin 14sin cos 14m m n n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩,即 222222cos 1sin 4sin 1cos 4m n θθθθ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩, 两式相加可得221115144n m +=+=．（注：形成公式22221111n m a b+=+）=O 到直线AB 的距离为d ,则据面积法有mn =所以d =．这说明存在圆2245x y +=,使得该圆的任意一条切线与轨迹E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥（O 为坐标原点）． （III ）设点11,A B 的坐标分别为11(,)x y 和22(,)x y ．由于直线l 与圆O 和椭圆E 均相切,所以直线l 的方程既是211x x y y R +=,也是2214x xy y +=,所以有 211224x y R x y ==,即2212124,x R x y R y == ————（※） 因为222111||||A B OB R =-,而222122||OB x y =+,又 222214x y +=,22211x y R +=,结合（※）有222222116R x R y +=, 可得222216(1)3R x R -=,222243R y R -=．所以2222122216(1)454||33R R R OB R R R---=+=, 得 22221122544||5()1R A B R R R R-=-=-+≤,且当R = 所以,当R =,|A 1B 1|取得最大值,最大值为1．五、综合问题例18．给定整数(2)n ≥,设000(,)M x y 是抛物线21y nx =-与直线y x =的一个交点,试证明：对于任意整数m ,必存在整数2k ≥,使得点00(,)m mx y 为抛物线21y kx =-与直线y x =的一个交点．解析 据题设,有2001x nx =-,2001m mx kx =-,整理得001n x x =+,001mm k x x =+．注意到211000000211000000111111()()()()()m m m m m m m m m m x x x x n x x x x x x x x +++++++=++-+=+-+． 当1m =时,001k x n x =+=显然是存在的；当2m =时,22001()222k x n x =+-=->显然也是存在的；假设,1()m s m s s N +==+∈时,k 存在,即001m mx x +和1101m m x x +++均为不小于2的整数,那么当2m s =+时,101011()()m mm m k n x x x x ++=+-+,其显然也是一个整数,又202012m m k x x ++=+≥,所以此时的k 为不小于2的整数．综上,对任意正整数m ,都存在不小于2的整数k ．若0m =,则2k =,显然存在；若m 为负整数,可令m p =-,那么001,pp k x p N x +=+∈,由上面证明可知依然存在不小于2的整数k ．综上,命题获证． 六、练习题1．已知ABC ∆边上作匀速运动的点,,D E F ,在0t =时分别从,,A B C 出发,各以一定速度向,,B C A 前进,当时刻1t =时,分别到达,,B C A ．（1）证明：运动过程中DEF ∆的重心不变；（2）当DEF ∆面积取得最小值时,其值是ABC ∆面积的多少倍？2．已知抛物线x y 62=上的两个动点1122(,)(,)A x y B x y 和,其中21x x ≠且421=+x x ．线段AB 的垂直平分线与x 轴交于点C ,求ABC ∆面积的最大值．3．已知抛物线y 2 = 4px ( p > 0 ),过顶点O 作两条直线分别交抛物线于A 、B 两点,若OA ⊥OB,求O 在弦AB 上的射影M 的轨迹．4．已知梯形ABCD 中,AB = 2CD,点E 分有向线段→AC 所成的比为λ,双曲线过C 、D 、E 三点,且以A 、B 为焦点．当4332≤≤λ时,求双曲线离心率e 的取值范围． 5．是否存在无穷多条直线(1,2,,,)n l n m =形成的直线族,满足条件：（1）点（1,1）在直线(1,2,,,)n l n m =上；（2）1n n n k a b +=-,这里1n k +表示直线1(1,2,,,)n l n m +=的斜率,n a 、n b 分别表示直线(1,2,,,)n l n m =的横截距和纵截距；（3）10(1,2,,,)n n k k n m +>=．6．对于曲线C 1：3 ( x 2 + 2y 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 4y 2 )上除原点外的每一点P,求证：存在过P 的直线与椭圆C 2：x 2 + 2y 2 = 2相交于两点A 、B,使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形（O 为坐标原点）．七、练习题解答1．解析（1）如图,据题可令||||||||||||AD BE CF k AB BC CA ===, 则 ,,AD k AB BE k BC CF kCA ===．建立平面直角坐标系如图,设点B 的坐标为(,0)m ,点C 的坐标为(,)t s ,则点D 的坐标为(,0)km ,点E 的坐标为(,)m km kt ks -+,点F的坐标为(,)t kt s ks --．所以DEF ∆的重心坐标为(,)33m t s +,而ABC ∆的重心坐标也是(,)33m t s+,所以DEF ∆的重心不变． （2）因为(1)ADF ABC S k k S ∆∆=-,(1)BDE ABC S k k S ∆∆=-,(1)ECF ABC S k k S ∆∆=-,所以2[13(1)](331)DEF ABC ABC S k k S k k S ∆∆∆=--=-+,其最小值为14ABC S ∆,且当12k =时取到． 所以,当DEF ∆面积取得最小值时,其值是ABC ∆面积的14倍． 2．解析：设AB 的中点D 的坐标为0(2,)y ,则由21122266y x y x ⎧=⎪⎨=⎪⎩可得1212126y y x x y y -=-+,即03AB k y =．设点C 的坐标为(,0)t ,则00312y t y ⋅=--,可得5t =,所以点C 的坐标为(5,0)． 设直线AB 的方程为003(2)y y x y -=-,与抛物线x y 62=联立可得220022120y y y y -+-=,于是可得||AB ==而||CD =所以20(9)ABC S y ∆=+．因为20(9)y +=当且仅当22002429y y -=+,即205y =时,20(9)ABC S y ∆=+取到最大,． 所以,ABC ∆此时直线AB的斜率为．3．解析 设OA 直线方程为y = kx ,与抛物线方程y 2 = 4px 联立后得点A 的坐标为)442k pk p ，（．进而由OA ⊥OB 容易得到点B 的坐标（4pk 2,– 4pk ）． 所以,直线AB 的方程为( 1 – k 2 ) y = k ( x – 4p ) -------- ( 1 )由此易得直线OM 的方程为)0(12≠-=k x kk y ------ ( 2 )由（1）（2）消参数k 后得：( x – 2p ) 2 + y 2 = 4p 2．经检验点M 不可能在原点,故x ≠0．所以,点M 的轨迹是以（2p ,0）为圆心,2 p 为半径的圆,还需除去原点．4．解析 据双曲线的对称性可知梯形ABCD 为等腰梯形,且AD = BC ．以直线AB 为x 轴,线段AB 的垂直平分线为y 轴建立平面直角坐标系,如图． 则可设双曲线的方程为22221(,0)x y a b a b-=>．由AB = 2CD可得|CD| = c ,可知点C 的横坐标为2c,代入双曲线方程中可得点C的纵坐标为2a ,即得C点坐标为(,22c a． 由1AE AC λλ→→=+得点E的坐标为2(,12(1)cc a λλλλ-++,而E 点在双曲线上,所以有222222222(2)(4)14(1)4(1)c c a a a λλλλ---=++, 整理得 2222(2)a c c a λ+=-,同除2a 可得22(2)1e e λ+=-,即得2212e eλ-=+． 因为4332≤≤λ,所以22213324e e -≤≤+,解得双曲线离心率e的取值范围是． 5．解析 据题设可设直线(1,2,,,)n l n m =的方程为1(1)n y k x -=-,则11n n a k =-,1n n b k =-,可得11n n nk k k +=-． 由于10(1,2,,,)n n k k n m +>=,所以所有的直线的斜率同号,不妨设0(1,2,,,)n k n m >=,则有110n n nk k k +-=-<,可知数列{}n k 是递减数列． XYOABM因为1112111()n n k k k k k +-=-+++,即1112111()n n k k k k k +=-+++,又因为121111n nk k k k +++>,所以111121111()n n n k k k k k k k +=-+++<-． 令110n k k -<,得21n k >,故取21[]1N k >+,则1110N Nk k k +<-<,可知从第N+1项开始,数列{}n k 的每一项都是负值,与题设矛盾．同理,若0(1,2,,,)n k n m <=也矛盾．综上,不存在这样无穷多条直线．6．先分析：逆着思考这个问题,曲线C 1应该是点P 走出的轨迹,那么这样的点应该满足题中“使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形”的条件．可以判断曲线C 1上的所有点都在椭圆的内部,所以点P 一定在椭圆的内部,如图．因此猜想当OA ⊥OB,且点P是弦AB 的中点时,可以使条件“使∆AOP 与∆BOP 均为等腰三角形”解析：变形方程3 ( x 2 + 2y 2 ) 2 = 2 ( x 2 + 4y 2 )得 22222223(2)6(2)4()0x y x y x y +-+++= 因为点P 不是坐标原点,所以x ,y 不可能同时为零,即得224()0x y +>,则有 222223(2)6(2)0x y x y +-+<,可得 22022x y <+<,即点P 在椭圆2222x y +=的内部．若OA ⊥OB,且点P 是弦AB 的中点,现求点P 的轨迹方程： 如果直线AB 垂直于x 轴,则易求得点P 的坐标为(,0)3±,显然满足方程 222223(2)2(4)x y x y +=+； 如果直线AB 不垂直于x 轴,可设其斜率为k ,A 、B 两点的坐标为11(,)x y 和22(,)x y ,线段AB 的中点P 的坐标为00(,)x y ．由点差法可得2002002b x xk a y y =-=- ————（1）设直线AB 的方程为00()y y k x x -=-,又设|OA| = m ,|OB| = n ,则2222111113122m n a b +=+=+=． 因为点O 到直线AB ,故据直角三角形的等面积法有mn =,即222200111()k m n y kx ++=-．所以有220013()2ky kx+=-————（2）把（1）代入（2）中得22221432()2xyxyy+=+,整理得2200222002(4)3(2)x yx y+=+,即得 2222200003(2)2(4)x y x y+=+．综上,点P的轨迹方程为 222223(2)2(4)x y x y+=+．由于点P的轨迹方程 222223(2)2(4)x y x y+=+与点P满足的几何条件是充分必要的,所以满足方程 222223(2)2(4)x y x y+=+的点P,也一定能使“OA⊥OB,且点P是弦AB的中点”成立．那么,∆AOP与∆BOP 均为等腰三角形．2014年中国数学奥林匹克希望联盟夏令营讲义（二）函数与导数江苏南菁高级中学【知识要点概述】一、函数值域与最值问题：(1) 解决一切函数问题必须认真确定该函数的定义域,定义域含三种：①自然型：②限制型：③实际型：(2) 求函数的值域是比较困难的数学问题,求函数值域方法一般有：①配方法（将函数转化为二次函数）； ②判别式法（将函数转化为二次方程）； ③不等式法（运用不等式的各种性质）； ④函数法（运用基本函数性质,或抓住函数的单调性、函数图象等）；⑤换元法； ⑥反解法； ⑦几何法； ⑧导数法.(3) 恒成立问题：①不等式f (x )＞k 恒成立⇔f (x )min ＞k ；②不等式f (x )＜k 恒成立⇔f (x )max ＜k③f (x )≥g (x )恒成立⇔ f (x )−g (x )≥0恒成立⇔[f (x )−g (x )]min ≥0 (典型错误min max ()()f x g x ⇔≥) (4) 有解问题：①方程f (x )＝k 有解⇔k 的取值范围即为f (x )的值域；②不等式f (x )＞k 有解⇔f (x )max ＞k ；③不等式f (x )＜k 有解⇔f (x )min ＜k .(5) 最值存在定理：f (x )在闭区间[a , b ]内连续, 则f (x )必有最大值与最小值.二、函数基本性质：1．奇偶性定义：定义域关于原点对称, 且对∨−x ∈D ,f (−x )=f (x ) (偶函数) 或f (−x )=－f (x ) (奇函数) ①奇函数的图象关于原点对称；②偶函数的图象关于y 轴对称；③若奇函数的定义域包含0,则f (0)=0. 2．单调性定义：对∨−x 1, x 2∈I 且x 1＜x 2⇒ f (x 1)＜f (x 2) (增函数) 或f (x )＞f (x 2) (减函数). 3．研究函数的单调性,常用以下方法：（1）定义法：利用定义严格判断. 步骤为：①取值；②作差；③判断符号；④下结论.（2）直接利用已知基本初等函数的单调性. 例如若f (x )、g (x )为增函数,则 ①f (x )＋g (x )为 函数；②1f (x )为 函数（f (x )＞0）；③f (x )为 函数（f (x )≥0）；④－f (x )为 函数. （3）利用复合函数y = f [g (x )]的单调性(其中y =f (u ), u =g (x ))：判断的法则是“同增异减”具体步骤为：①求定义域；②找分界点,确定单调区间；③分析函数在每个区间上的单调性得出结论. （4）图象法：若一个函数的图象可画出来,则由图象可得单调区间.（5）利用奇偶函数的性质：①奇函数在对称区间上的单调性相同；②偶函数在对称区间上的单调性相反.（6）单调函数必存在反函数,且反函数的单调性与原函数的单调性相同.4．周期函数定义：若存在常数T (T ≠0),使得f (x +T )＝f (x )对定义域内任意x 恒成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,f (x+T )＝f (x )常常写作f (x ＋T 2)＝f (x －T2), 周期函数的定义域一定是无限集.①若T 是y =f (x )的周期,那么kT (k ∈N *)也是它的周期.②若y =f (x )是周期为T 的函数,则y =f (ax +b )(a ≠0)是周期为Ta的周期函数.③若u ＝g (x )是周期函数, f (u )是任意函数, 则f [g (x )]也是周期函数. 5．周期的常用结论：设a 为非零常数,若对f (x )定义域内的任意x 恒有下列条件之一成立, 则f (x )的周期为2a①()()f x a f x a +=-；②()()f x a f x +=-；③1()()f x a f x +=；④1()()f x a f x +=-；⑤()1()()1f x f x a f x ++=-；⑥1()()1()f x f x a f x -+=+. 上述结论可以通过反复运用已知条件来证明.另外：()1()()1f x f x a f x -+=+或1()()1()f x f x a f x ++=-,则f (x )的周期为4a .证明：由已知f (x ＋2a )＝()11()11()1()1()1()1()1f x f x a f x f x f x a f x f x --+-+===--++++, 于是f (x ＋4a )＝－1(2)f x a +＝f (x ) 6．周期性与对称性有如下关系：①若函数f (x )图象关于直线x =a 与x =b 对称,则它一定是周期函数,且2|a −b |是它的周期. ②若函数f (x )图象关于点(a , 0)和(b , 0)对称,则它一定是周期函数,且2|a −b |是它的周期. ③若函数f (x )图象关于直线x =a 及点(b , 0)对称,则它一定是周期函数,且4|a −b |是它的周期.证明①：不妨设a ＞b ,于是f [x ＋2(a －b )]＝f [2a －(2b －x )]＝f (2b －x )＝f (x ), ∴ 2(a －b )是f (x )的一个周期.已知函数f (x )对任意实数x , 都有f (m ＋x )＝f (m －x ),且f (x )是偶函数, 则f (x )的周期为_________ 已知函数f (x )对任意实数x , 都有f (m ＋x )＝f (m －x ),且f (x )是奇函数, 则f (x )的周期为_________ 三、基本初等函数：1. 指数函数及其性质：形如y =a x (a ＞0, a ≠1)的函数叫做指数函数,其性质有：①定义域为R ,值域为(0,+∞)； ②当0＜a ＜1时为减函数,当a ＞1时为增函数；③图象有两个特殊点：定点(0,1),不变点(1,a )； ④非奇非偶,但xy a =与xy a -=的图象关于y 轴对称；xy a =与xy a =-的图象关于x 轴对称；x y a =与log a y x =的图象关于直线y =x 对称；⑤对应关系为一一映射,从而存在反函数－－对数函数；⑥抽象性质：()(01)xf x a a a =>≠且⇒()()()(),()()f x f x y f x f y f x y f y +=⋅-=2. 对数函数及其性质：形如y =log a x (a ＞0, a ≠1)的函数叫做对数函数,其性质：①定义域为(0, +∞), 值域为R ；②图象有两个特殊点：定点(1,0), 不变点(a , 1)；③当0＜a ＜1时为减函数,当a ＞1时为增函数； ④非奇非偶,但-1log log a a y x y x ==与关于x 轴对称,log log ()a a y x y x ==-与图象关于y 轴对称,log x a y x y a ==与图象关于直线y x =对称；⑤对应关系为一一映射,因而有反函数——指数函数.3. 幂函数：形如y =x α的函数叫做幂函数,幂函数有如下性质：⑴它的图象都过(1,1)点,都不过第四象限,且除原点外与坐标轴都不相交；⑵定义域为R 或(−∞, 0)∪(0, +∞)的幂函数都具有奇偶性,定义域为(0, +∞)或[0, +∞)的幂函数都不具有奇偶性； ⑶幂函数y =x α都是无界函数；在第一象限中,当α＜0时为减函数,当α＞0时为增函数； ⑷任意两个幂函数的图象至少有一个公共点(1,1),至多有三个公共点；4. 画幂函数y ＝x α(α＝mn , m 、n 是互质的整数)草图的一般步骤是：(1)根据指数α的大小判断函数图象在第一象限的情形如图： (2)判断函数的奇偶性并确定函数图像在其他象限的情况：①m , n 均为奇数时,y =x α为奇函数,图象在一、三象限内关于原点中心对称. ②m 为偶数,n 为奇数时y =x α为偶函数,图象在一、二象限内关于y 轴对称. ③m 为奇数,n 为偶数时,y =x α既不是奇函数也不是偶函数,函数只在第一象限有图像.5．二次函数的图像和性质：二次函数是初等数学中遇到比较多的函数之一,它的图象简单,性质易于掌握,又与二次方程、二次不等式有联系,与之相关的理论如判别式,韦达定理,求根公式等又是中学教材的重点内容,因此有必要进一步认识二次函数的性质,研究与二次函数有关的解题规律、方法与技巧．(1) 二次函数的解析式：①一般式：2()(0)f x ax bx c a =++≠ ②顶点式：2()()f x a x h k =-+,顶点为(,)h k ③两根式：12()()()f x a x x x x =-- ④三点式：132312321313221231213()()()()()()()()()()()()()()()()x x x x x x x x x x x x f x f x f x f x x x x x x x x x x x x x ------=++------（2）2()(0)f x ax bx c a =++≠的图像是抛物线,顶点坐标24(,)24b ac b a a --,对称轴方程为2bx a=-,开口与。

名师串讲：七天搞定2014新希望杯决赛之计数篇新希望杯是武汉市的几大权威奥数杯赛之一，其获奖证书也是武汉市部分名校小升初择校的“敲门砖”。

作为武汉市唯一一个两赛制的数学杯赛，新希望杯五六年级的的决赛将于2014年3月9日举行。

进入决赛后的获奖率高达60%以上，相对而言获奖比例还是比较大的。

因此有针对性的把握最后几天的学习，对于能否在决赛中获奖起到了非常重要的作用。

我们针对性的做复习巩固，相信会取得不错的成绩。

那么我们首先要搞清楚的就是，新希望杯决赛考什么？怎么考？考点分析新希望杯考试试题难度在武汉市的几大权威杯赛中稍难，不过我们仔细研究近几年试题中的知识点模块，都会发现无论是在新希望杯或是其他杯赛以及小升初考试中，行程模块一向是考察的重点。

对于新希望杯的数论模块的命题有如下特点：1、考查频率较高：是小升初和杯赛中的必考题型；2、五年级初赛整体难度偏小，但有时会出现多个答案的情况，一般都可以用画图和方程结合的方式解答；六年级的行程问题相对较难，除了画图之外往往还需要用到比例的知识去解答。

比较倾向于将条件蕴含在坐标图中让学生去发现，贴近实际生活，这类问题在近两年的考试和训练题中已多次出现，符合现在的命题趋势。

3、新希望杯考试范围中五六年级的行程考点中这几类出现的十分频繁：流水行船，多人相遇追及，多次相遇追及，环形问题，比例行程，变速变道。

备考时可以重点向这几个知识点倾斜。

4、考点命中率高：计数知识是五、六年级的重点，在近几年的新希望杯决赛考试中，五六年级的试题中都有出现，而且在五、六年级试题中均会出现两题左右，考查计数的综合理解能力。

5、题型与题量较稳定：填空题+选择题的形式出现2道左右。

6、历年试题出现频率（题型难度由★到★★★★★）年级五年级考点题型难度六年级考点题型难度第七届新希望杯决赛填空题13题一般行程问题★★★解答题第20题多次相遇★★★★第八届新希望杯决赛解答题20题变道问题★★填空题第16题解答题第20题时钟问题变速问题★★★★★★精选真题讲解 五年级部分1.【第七届“新希望杯”全国数学大赛五年级决赛·第13题】小小和成成约好周末一起去电影院看电影，两人的家到电影院的距离都是 1. 8千米。