第三章 总结
对随机的东西只能作统计描述。
1).统计特性（ 概率密度与概率分布）；
2).数字特征（ 均值、方差、相关函数等）。
节1 随机过程概念
一、随机过程定义
二、随机过程统计特性的描述
1.随机过程的概率分布函数
2.随机过程的概率密度函数
三、随机过程数字特征的描述
1、数学期望：
性质：① E[k] = k
② E[ξ(t) + k] = E[ξ(t)] + k
③ E[ kξ(t)] = k E[ξ(t)]
④ E[ξ
1(t) + …+ξ
n
(t)] = E[ξ
1
(t)] + …+E[ ξ
n
(t)]
⑤ ξ
1(t)与ξ
2
(t)统计独立时，E[ξ
1
(t)ξ
2
(t)] = E[ξ
1
(t)] E[ξ
2
(t)]
2、方差：
性质：① D[k] = 0
② D[ξ(t) + k] = D[ξ(t)]
③ D[kξ(t)] = K2 D[ξ(t)]
④ξ
1(t)ξ
2
(t)统计独立时， D[ξ
1
(t)+ξ
2
(t)] = D[ξ
1
(t)] + D[ξ
2
(t)]
3、相关函数和协方差函数
节2 平稳随机过程概念 一、定义：狭义平稳、广义平稳 广义平稳条件：
① 数学期望与方差是与时间无关的常数；
② 相关函数仅与时间间隔有关。
二、性能讨论
1、各态历经性（遍历性）：其价值在于可从一次试验所获得的样本函数 x(t) 取时间平均来得到它的数字特征（统计特性）
2、相关函数R(τ)性质
① 对偶性（偶函数） R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=E[ξ(t
1-τ)ξ(t
1
)]= R(-τ)
② 递减性 E{[ξ(t) ±ξ(t+τ)]2}
= E[ξ2(t)±2 ξ(t) ξ(t+τ) + ξ2(t+τ) ]
= R(0)±2R(τ) + R(0) ≥ 0
∴R(0)≥±R(τ) R(0)≥|R(τ)|
即τ=0 处相关性最大
③ R（0）为 ξ ( t ) 的总平均功率。
④ R(∞)=E2{ξ(t)}为直流功率。
⑤ R(0) - R(∞)= E[ξ 2(t)]- E2[ξ(t)]=σ2为交流功率
3、功率谱密度Pξ(ω)
节3 几种常用的随机过程
一、高斯过程
定义: 任意n维分布服从正态分布的随机过程ξ(t)称为高斯过程（或正态随机过程）。
① 高斯过程统计特性是由一、二维数字特征[a
k, δ
k
2, b
jk
]决定的
②若高斯过程满足广义平稳条件，也将满足狭义平稳条件。
③若随机变量两两间互不相关，则各随机变量统计独立。二、零均值窄带高斯过程
定义、零均值平稳高斯窄带过程
同相随机分量 ξ
c (t), 正交随机分量 ξ
s
(t)
结论：零均值窄带高斯平稳过程 ξ( t ) ，其同相分量 ξ
c ( t ) 和正交分量 ξ
s
( t )
同样是平稳高斯过程，均值为0，方差也相同( σξ2 ) , 且同一时刻的 ξc ( t ) , ξ ( t ) 互不相关，统计独立。 三、宽带随机过程——白噪声
定义：功率谱密度P ξ(ω)在整个频率域范围内都是均匀的噪声称为白噪声。 P ξ(ω)=n o /2 n o (瓦/赫兹)为单边功率谱密度 四、正弦波加窄带高斯过程
结论：正弦波加窄带高斯过程 r(t) ，其包络 z(t) 服从广义瑞利分布，信噪比很小时，它趋于瑞利分布；信噪比很大时，趋于高斯分布。其相位Φ(t)分布较复杂，当信噪比由小变大时，其密度函数变化趋势为：由均匀到一个取值集中于Φ =0附近的函数。
节4 随机过程的线性系统响应
1、均值： E[ξo (t)] = aH(0)
2、自相关函数：
()[输入广义平稳，则输出广义平稳 3、功率谱密度：
4、ξo (t)的分布：若ξi (t)为高斯过程，则无限多个正态随机变量之和，仍为正态随机变量。高斯随机过程通过线性系统仍为高斯随机过程。
()()]τξξτ+=+t t E t t R o o o ,2
|)ω()()(|)(ωττωξωτξH P d e R P i
o j o ==
?+∞
∞
?∫
信号与系统实验总结及心得体会 2011211204 刘梦颉2011210960 信号与系统是电子信息类专业的一门重要的专业核心基础课程，该课程核心的基本概念、基本理论和分析方法都非常重要，而且系统性、理论性很强，是将学生从电路分析领域引入信号处理与传输领域的关键性课程，为此开设必要的实验对我们加强理解深入掌握基本理论和分析方法，以及对抽象的概念具体化有极大的好处，而且为后续专业课程的学习提供了理论和大量实验知识储备，对以后的学术科研和创新工作都是十分重要的。下面我将从实验总结、心得体会、意见与建议等三方面作以总结。 一．实验总结 本学期我们一共做了四次实验，分别为：信号的分类与观察、非正弦周期信号的频谱分析、信号的抽样与恢复（PAM）和模拟滤波器实验。 1.信号的分类与观察 主要目的是：观察常用信号的波形特点以及产生方法，学会用示波器对常用波形参数进行测量。主要内容是：利用实验箱中的S8模块分别产生正弦信号、指数信号和指数衰减正弦信号，并用示波器观察输出信号的波形，测量信号的各项参数，根据测量值计算信号的表达式，并且与理论值进行比较。 2.非正弦信号的频谱分析 主要目的是：掌握频谱仪的基本工作原理和正确使用方法，掌握非正弦周期信好的测试方法，理解非正弦周期信号频谱的离散性、谐波性欲收敛性。主要内
容是：通过频谱仪观察占空比为50%的方波脉冲的频谱，和占空比为20%的矩形波的频谱，并用坐标纸画图。 3.信号的抽样与恢复 主要目的是：验证抽样定理，观察了解PAM信号的形成过程。主要内容是：通过矩形脉冲对正弦信号进行抽样，再把它恢复还原过来，最后用还原后的图形与原图形进行对比，分析实验并总结。 4.模拟滤波器实验 主要目的是：了解RC无源和有源滤波器的种类、基本结构及其特性，比较无源和有源滤波器的滤波特性，比较不同阶数的滤波器的滤波效果。主要内容：利用点频法通过测试无源低通、高通、带通和有源带阻，以及有源带通滤波器的幅频特性，通过描点画图形象地把它们的特点表现出来。 通过对信号与实验课程的学习，我掌握了一些基本仪器的使用方法，DDS 信号源、实验箱、示波器、频谱仪等四种实验仪器。初步了解了对信号的测试与分析方法对以前在书本上看到的常见信号有了更加具体的认识，使得书本上的知识不再那么抽象。 DDS信号源，也就是函数发生器，可以产生固定波形，如正弦波、方波或三角波，频率和幅度可以调节。实验箱是很多个信号实验装置的集合，可谓集多种功能于一身，其中包括函数发生器、模拟滤波器、函数信号的产生与测量、信号的抽样与恢复等模块。示波器能把抽象的电信号转换成具体的图像，便于人们研究各种电现象的变化过程。利用示波器能观察各种不同的信号幅度随时间变化的波形曲线，还可以用它测试各种不同的电量，如电压、电流、频率、相位差、
重难点1.信号的概念与分类 按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号； 连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号； 能量信号与功率信号； 因果信号与反因果信号； 正弦信号是最常用的周期信号，正弦信号组合后在任一对频率（或周期）的比值是有理分数时才是周期的。其周期为各个周期的最小公倍数。 ① 连续正弦信号一定是周期信号。 ② 两连续周期信号之和不一定是周期信号。 周期信号是功率信号。除了具有无限能量及无限功率的信号外，时限的或,∞→t 0)(=t f 的非周期信号就是能量信号，当∞→t ，0)(≠t f 的非周期信号是功率信号。 1. 典型信号 ① 指数信号： ()at f t Ke =，a ∈R ② 正弦信号： ()s i n ()f t K t ωθ=+ ③ 复指数信号： ()st f t Ke =，s j σω=+ ④ 抽样信号： s i n ()t Sa t t = 奇异信号 （1） 单位阶跃信号 1()u t ={ 0t =是()u t 的跳变点。 （2） 单位冲激信号 单位冲激信号的性质： （1）取样性 11()()(0) ()()()f t t dt f t t f t dt f t δδ∞ ∞ -∞ -∞ =-=? ? 相乘性质：()()(0)()f t t f t δδ= 000()()()()f t t t f t t t δδ-=- （2）是偶函数 ()()t t δδ=- （3）比例性 ()1 ()at t a δδ= （4）微积分性质 d () ()d u t t t δ= ； ()d ()t u t δττ-∞ =? （5）冲激偶 ()()(0)()(0)()f t t f t f t δδδ'''=- ； (0) t <(0)t > ()1t dt δ∞ -∞ =? ()0t δ=（当0t ≠时）
第一章 1.什么是信号？ 是信息的载体，即信息的表现形式。通过信号传递和处理信息，传达某种物理现象（事件）特性的一个函数。 2.什么是系统？ 系统是由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。3.信号作用于系统产生什么反应？ 系统依赖于信号来表现，而系统对信号有选择做出的反应。 4.通常把信号分为五种： ?连续信号与离散信号 ?偶信号和奇信号 ?周期信号与非周期信号 ?确定信号与随机信号 ?能量信号与功率信号 5.连续信号：在所有的时刻或位置都有定义的信号。 6.离散信号：只在某些离散的时刻或位置才有定义的信号。 通常考虑自变量取等间隔的离散值的情况。 7.确定信号：任何时候都有确定值的信号 。 8.随机信号：出现之前具有不确定性的信号。 可以看作若干信号的集合，信号集中每一个信号 出现的可能性（概率）是相对确定的，但何时出 现及出现的状态是不确定的。 9.能量信号的平均功率为零，功率信号的能量为无穷大。 因此信号只能在能量信号与功率信号间取其一。 10.自变量线性变换的顺序：先时间平移，后时间变换做缩放. 注意：对离散信号做自变量线性变换会产生信息的丢失！ 11.系统对阶跃输入信号的响应反映了系统对突然变化的输入信号的快速响应能 力。（开关效应） 12.单位冲激信号的物理图景： 持续时间极短、幅度极大的实际信号的数学近似。 对于储能状态为零的系统，系统在单位冲激信号作 用下产生的零状态响应，可揭示系统的有关特性。
例：测试电路的瞬态响应。 13.冲激偶：即单位冲激信号的一阶导数，包含一对冲激信号， 一个位于t=0-处，强度正无穷大； 另一个位于t=0+处，强度负无穷大。 要求：冲激偶作为对时间积分的被积函数中一个因子， 其他因子在冲激偶出现处存在时间的连续导数. 14.斜升信号： 单位阶跃信号对时间的积分即为单位斜率的斜升信号。 15.系统具有六个方面的特性： 1、稳定性 2、记忆性 3、因果性 4、可逆性 5、时变性与非时变性 6、线性性 16.对于任意有界的输入都只产生有界的输出的系统，称为有界输入有界输出（BIBO ）意义下的稳定系统。 17.记忆系统：系统的输出取决于过去或将来的输入。 18.非记忆系统：系统的输出只取决于现在的输入有关，而与现时刻以外的输入无关。 19.因果系统：输出只取决于现在或过去的输入信号，而与未来的输入无关。 20.非因果系统：输出与未来的输入信号相关联。 21.系统的因果性决定了系统的实时性：因果系统可以实时方式工作，而非因果系统不能以实时方式工作. 22.可逆系统：可以从输出信号复原输入信号的系统。 23.不可逆系统：对两个或者两个以上不同的输入信号能产生相同的输出的系统。 24.系统的时变性： 如果一个系统当输入信号仅发生时移时，输出信号也只产生同样的时移，除此之外，输出响应无任何其他变化，则称该系统为非时变系统；即非时变系统的特性不随时间而改变，否则称其为时变系统。 25.检验一个系统时不变性的步骤： 1. 令输入为 ，根据系统的描述，确定此时的输出 。 1()x t 1()y t
信号与系统课程总结 The final edition was revised on December 14th, 2020.
信号与系统总结 一信号与系统的基本概念 1信号的概念 信号是物质运动的表现形式；在通信系统中，信号是传送各种消息的工具。 2信号的分类 ①确定信号与随机信号 取决于该信号是否能够由确定的数学函数表达 ②周期信号与非周期信号 取决于该信号是否按某一固定周期重复出现 ③连续信号与离散信号 取决于该信号是否在所有连续的时间值上都有定义 ④因果信号与非因果信号 取决于该信号是否为有始信号（即当时间t小于0时，信号f(t)为零，大于0时，才有定义） 3系统的概念 即由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体 4系统的分类 无记忆系统：即输出只与同时刻的激励有关 记忆系统：输出不仅与同时刻的激励有关，而且与它过去的工作状态有关 5信号与系统的关系 相互依存，缺一不可 二连续系统的时域分析 1零输入响应与零状态响应 零输入响应：仅有该时刻系统本身具有的起始状态引起的响应 零状态响应：在起始状态为0的条件下，系统由外加激励信号引起的响应 注：系统的全响应等于系统的零输入响应加上零状态响应 2冲激响应与阶跃响应 单位冲激响应：LTI系统在零状态条件下，由单位冲激响应信号所引起的响应
单位阶跃响应：LTI系统在零状态条件下，由单位阶跃响应信号所引起的响应 三傅里叶变换的性质与应用 1线性性质 2脉冲展缩与频带变化 时域压缩，则频域扩展 时域扩展，则频域压缩 3信号的延时与相位移动 当信号通过系统后仅有时间延迟而波形保持不变，则系统将使信号的所有频率分量相位滞后 四拉普拉斯变换 1傅里叶变换存在的条件：满足绝对可积条件 注：增长的信号不存在傅里叶变换，例如指数函数 2卷积定理 表明：两个时域函数卷积对应的拉氏变换为相应两象函数的乘积 五系统函数与零、极点分析 1系统稳定性相关结论 ①稳定：若H(s)的全部极点位于s的左半平面，则系统是稳定的； ②临界稳定：若H(s)在虚轴上有s=0的单极点或有一对共轭单极点，其余极点全在s的左半平面，则系统是临界稳定的； ③不稳定：H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或者虚轴上有二阶或者二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。 六离散系统的时域分析 1常用的离散信号 ①单位序列②单位阶跃序列③矩阵序列④正弦序列⑤指数序列 七离散系统的Z域分析 1典型Z变换 ①单位序列②阶跃序列③指数序列④单边正弦和余弦序列 2Z变化的主要性质 ①线性性质②移位性质③尺度变换④卷和定理 八连续和离散系统的状态变量分析 1状态方程
第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A = ()0.2P B = ()0.1P C = ()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4 (|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()()P E P EA P EB P EC P ED =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 22 2 2 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞-∞ =?=-= -=-?=??? ? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3,()4,()16,0.5XY EX EY D X D Y ρ=====，令 3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征
由于百度文库格式转换的原因，不能整理在一个word 文档里面，下面是三四章的答案。给大家造成的不便，敬请谅解 随机信号分析 第三章习题答案 、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为232 ()(16) X G ωω=+，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程
()()[]()()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1)2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?==??= ++?? = ? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =
ε(k )*ε(k ) = (k+1)ε(k ) f (k)*δ(k) = f (k) ， f (k)*δ(k – k0) = f (k – k0) f (k)*ε(k) = f 1(k – k1)* f 2(k – k2) = f (k – k1 – k2) ?[f 1(k)* f 2(k)] = ?f 1(k)* f 2(k) = f 1(k)* ?f 2(k) f1(t)*f2(t) = f(t) 时域分析: 以冲激函数为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激函数之和,即 而任意信号作用下的零状态响应yzs(t) yzs (t) = h (t)*f (t) 用于系统分析的独立变量是频率，故称为频域分析。 学习3种变换域：频域、复频域、z 变换 ⑴ 频域：傅里叶表变换，t →ω；对象连续信号 ⑵ 复频域：拉普拉斯变换，t →s ；对象连续信号 ⑶ z 域：z 变换，k →z ；对象离散序列 设f (t)=f(t+mT)----周期信号、m 、T 、 Ω=2π/T 满足狄里赫利Dirichlet 条件，可分解为如下三角级数—— 称为f (t)的傅里叶级数 注意： an 是n 的偶函数， bn 是n 的奇函数 式中，A 0 = a 0 可见：A n 是n 的偶函数， ?n 是n 的奇函数。a n = A ncos ?n ， b n = –A nsin ?n ，n =1,2,… 傅里叶级数的指数形式 虚指数函数集{ej n Ωt ，n =0，±1，±2，…} 系数F n 称为复傅里叶系数 欧拉公式 cos x =(ej x + e –j x )/2 sin x =(ej x - e –j x )/2j 傅里叶系数之间关系 n 的偶函数：a n ， A n ， |F n | n 的奇函数: b n ，?n 常用函数的傅里叶变换 1.矩形脉冲 (门函数） 记为g τ(t) ? ∞ ∞--=ττδτd )()()(t f t f ∑ ∑∞=∞ =Ω+Ω+=1 10)sin()cos(2)(n n n n t n b t n a a t f ∑∞=+Ω+=10)cos(2)(n n n t n A A t f ?2 2n n n b a A +=n n n a b arctan -=? e )(j t n n n F t f Ω∞-∞ =∑= d e )(122 j ?-Ω-=T T t n n t t f T F )j (21e 21e j n n n j n n b a A F F n n -===??n n n n A b a F 212122=+=??? ??-=n n n a b arctan ?n n n A a ?cos =n n n A b ?sin -=
信号与系统重点概念公 式总结 文档编制序号：[KKIDT-LLE0828-LLETD298-POI08]
信号与系统重点概念及公式总结： 第一章：概论 1.信号：信号是消息的表现形式。（消息是信号的具体内容） 2.系统：由若干相互作用和相互依赖的事物组合而成的具有特定功能的整体。 第二章：信号的复数表示： 1.复数的两种表示方法：设C 为复数，a 、b 为实数。 常数形式的复数C=a+jb a 为实部，b 为虚部； 或C=|C|e j φ，其中，22||b a C +=为复数的模，tan φ=b/a ，φ为复 数的辐角。（复平面） 2.欧拉公式：wt j wt e jwt sin cos +=（前加-，后变减） 第三章：正交函数集及信号在其上的分解 1.正交函数集的定义：设函数集合)}(),(),({21t f t f t f F n = 如果满足：n i K dt t f j i dt t f t f i T T i T T j i 2,1)(0)()(2 1 21 2==≠=?? 则称集合F 为正交函数集 如果n i K i ,2,11==，则称F 为标准正交函数集。 如果F 中的函数为复数函数 条件变为：n i K dt t f t f j i dt t f t f i T T i i T T j i 2,1)()(0)()(21 21* * ==?≠=???
其中)(*t f i 为)(t f i 的复共轭。2.正交函数集的物理意义： 一个正交函数集可以类比成一个坐标系统； 正交函数集中的每个函数均类比成该坐标系统中的一个轴； 在该坐标系统中，一个函数可以类比成一个点； 点向这个坐标系统的投影（体现为该函数与构成坐标系的函数间的点积）就是该函数在这个坐标系统中的坐标。 3.正交函数集完备的概念和物理意义： 如果值空间中的任一元素均可以由某正交集中的元素准确的线性表出，我们就称该正交集是完备的，否则称该正交集是不完备的。 如果在正交函数集()()()()t g n ,t g ,t g ,t g 321之外，不存在函数x （t ） ()∞<
第一章信号与系统 教学目的： 熟悉信号的概念和分类，掌握信号的基本运算。 掌握阶跃函数和冲激函数的特点和性质，掌握LTI系统的描述和特性。 教学重点与难点： 掌握信号的加法、乘法，反转、平移，尺度变换等基本运算。 冲激函数的特点和性质，LTI系统的特性。 §1.2 信号的描述和分类 一、信号的描述 ●信号是信息的一种物理体现。它一般是随时间或位置变化的物理量。 ●信号按物理属性分：电信号和非电信号。它们可以相互转换。 电信号容易产生，便于控制，易于处理。本课程讨论电信号---简称“信号”。 ●电信号的基本形式：随时间变化的电压或电流。 ●描述信号的常用方法 （1）表示为时间的函数 （2）信号的图形表示--波形“信号”与“函数”两 词常相互通用。 二、信号的分类 信号的分类方法很多，可以从不同的角度对信号进行分类。 ●按实际用途划分： 电视信号，雷达信号，控制信号，通信信号，广播信号，…… ●按所具有的时间特性划分： 确定信号和随机信号；连续信号和离散信号； 周期信号和非周期信号；能量信号与功率信号； 一维信号与多维信号；因果信号与反因果信号； 实信号与复信号；左边信号与右边信号；等等。 3. 周期信号和非周期信号 如何判断？ 判断下列信号是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(t) = sin2t + cos3t （2）f2(t) = cos2t + sinπt 分析 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T1和T2，若其周期之比T1/T2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T1和T2的最小公倍数。 判断下列序列是否为周期信号，若是，确定其周期。 （1）f1(k) = sin(3πk/4) + cos(0.5πk) （2）f2(k) = sin(2k) 三．几种典型确定性信号
1.《信号与系统》这门课程主要讲述什么内容？ 《信号与系统》是一门重要的专业基础课程。它的任务是研究信号和线性非时变系统的基本理论和基本分析方法，要求掌握最基本的信号变换理论，并掌握线性非时变系统的分析方法，为学习后续课程，以及从事相关领域的工程技术和科学研究工作奠定坚实的理论基础。 2. 这门在我们的知识架构中占有什么地位？ 是一门承上启下的重要的专业基础课程。其基本概念和方法对所有的 工科专业都很重要。信号与系统的分析方法的应用范围一直不断的在扩大。信号与系统不仅仅是工科教育中一门最基本的课程，而且能够成为工科类学生最有益处而又引人入胜又最有用处的一门课程。 《信号与系统》是将我们从电路分析的知识领域引入信号处理与传输领域的关键性课程。 3.学习这门课程有什么用处？
学习这门课程有什么用处呢？百度告诉我：通过本课程的学习，学生将理解信号的 函数表示与系统分析方法，掌握连续时间系和离散时间系统的时域分析和频域分析， 连续时间系统的S域分析和散时间系统的Z分析，以及状态方程与状态变量分析法等 相关内容。通过上机实验，使学生掌握利用计算机进行信号与系统分析的基本方法加 深对信号与线性非时变系统的基本理论的理解，训练学生的实验技能和科学实验方法，提高分析和解决实际问题的能力。 在百度上和道客巴巴还有知乎上都是很多这样看起来很高大上的解释，但是作为学 生的我还是不能很清楚的了解到学习这门课程有什么用处，后面我发现了这样一个个 例子，觉得对信号与系统的用处有了一定的了解。 如图这样一个轮子是怎么设计的呢？ （打印有可能打印不出来，就是很神奇的一个轮子，交通工具） 没学过信号与系统的小明想到了反馈与系统，在轮子上放一个传感器，轮子正不正 系统就知道了，所以设计这个轮子其实就是设计一个系统。 好，现在我们有了一个传感器，要是机器朝左边偏一度，他就会输出一个信号。这个信号接下来就会传给处理器进行处理。处理器再控制电机，让他驱动轮子产生向左 的加速度，加速度就相当于给予系统向右的力，来修正向左的偏移。 小明就按照这一思想设计了一个小车车。踏上踏板，一上电，尼玛，他和他的车车就变成了一个节拍器。左边摔一下，右边摔一下。幸亏小明戴了头盔。小明觉得被骗了。找了一本反馈理论来看，原来有些反馈系统是不稳定的。 想要这个系统稳定地立着，我该怎么办？小明眼神呆滞，望着天空。 天边传来一个声音：你要分析环路稳定性呀。 怎么分析呢？ 你要从信号传输入手，分析信号的传输函数。
信号与系统学习心得 经过几个星期对《信号与系统》的学习与认知，让我逐步的走进这充满神秘色彩的学科。现在我对于这么学科已经有了一点浅浅的认识。下面我就谈谈我对这门学科的认识。 所谓系统，是由若干相互联系、相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体。根据系统处理的信号形式的不同，系统可分为三大类：连续时间系统、离散时间系统和混合系统。而系统按其工作性质来说，可分为线性系统与非线性系统、时变系统与时不变系统、因果系统与非因果系统。信号分析的内容十分广泛，分析方法也有多种。目前最常用、最基本的两种方法是时域法与频域法。时域法是研究信号的时域特性，如波形的参数、波形的变化、出现时间的先后、持续时间的长短、重复周期的大小和信号的时域分解与合成等、频域法，是将信号变换为另一种形式研究其频域特性。信号与系统总是相伴存在的，信号经由系统才能传输。 最近我们学到了傅里叶级数。由于上一学期在《高等数学》中对这一方面知识有了一定的学习，我对这一变换有了一点自己的感悟与认知。以下就是我对傅里叶级数的一点总结： 1.物理意义：付里叶级数是将信号在正交三角函数集上进行分解（投影），如果将指标系列类比为一个正交集，则指标上值的大小可类比为性能在这一指标集上的分解，或投影；分解的目的是为了更好地分析事物的特征，正交集中的每一元素代表一种成分，而分解后对应该元素的系数表征包含该成分的多少
2.三角函数形式：)(t f 可以表示成： ∑∞ =++ = +++++++++=1 11011211112110)] sin()cos([) sin()2sin()sin() cos()2cos()cos()(n n n n n t nw b t nw a a t nw b t w b t w b t nw a t w a t w a a t f 其中，0 a 被称为直流分量 ) sin()cos(11t nw b t nw a n n +被称为 n 次谐波分量。 dt t f T K dt t f a T T T T ? ? --= = 2 /2 /1 2 /2 /01111)(1)( dt t nw t f T Ka dt t nw t f a T T n T T n ? ? --== 2 /2 /11 2 /2 /11111)cos()(2)cos()( dt t nw t f T Kb dt t nw t f b T T n T T n ? ? --= = 2 /2 /11 2 /2 /11111)sin()(2)sin()( 注：奇函数傅里叶级数中无余弦分量；当f （t ）为偶函数时b n =0，不含正弦项，只含直流项和余弦项。 3.一般形式： ∑∞ =+= ) cos()(n n n nwt c t f ? 或者： ∑∞ =+= ) sin()(n n n nwt d t f θ 000a d c == 2 2 n n n n b a d c += =
、随机过程 X(t)=A+cos(t+B)，其中A 是均值为2，方差为1的高斯变量，B 是（0，2π）上均匀分布的随机变量，且A 和B 独立。求 （1）证明X(t)是平稳过程。 （2）X(t)是各态历经过程吗？给出理由。 （3）画出该随机过程的一个样本函数。 （1） （2） 3-1 已知平稳过程()X t 的功率谱密度为 2 32 ()(16) X G ωω= +，求：①该过程的平均功率？ ②ω取值在(4,4)-范围内的平均功率？ 解 [][]()[]2 ()cos 2 11 ,cos 5cos 22 X E X t E A E t B A B R t t EA τττ =++=????+=+=+与相互独立 ()()()2 1521()lim 2T T T E X t X t X t X t dt A T -→∞??=<∞ ???==?是平稳过程
()()[]() ()41122 11222222 2 4 2' 4(1)24()()444(0)4 1132 (1 )2244144 14(2)121tan 132 24X X X E X t G d R F G F e R G d d d arc x x τ τωωωωω ππωωπωωπ ω π ωω∞ ----∞∞ -∞-∞∞--∞∞ ?????==?=???+?? ====+==??+ ?== ??= ++?? =? ????P P P P 方法一() 方：时域法取值范围为法二-4,4内(频域的平均率法功) 2 d ω =
3-7如图3.10所示，系统的输入()X t 为平稳过程，系统的输出为()()()Y t X t X t T =--。证明：输出()Y t 的功率谱密度为()2()(1cos )Y X G G T ωωω=- [][]: ()[()()] {()()}{()(}2()()() ()()()() ()2(()[)()(()()]()())Y X X X Y X X Y Y Y X X X Y Y j T j T R E Y t Y t E X t X t T X t X t T R R R R E Y t Y t G F R T T e e G R G R G G G G ωωτττττωτωττωττττωωωω-??=+=--+-+-=--=+=-??∴=-+-=已知平稳过程的表达式 利用定义求利用傅解系统输入输出立叶平变稳 换的延时特性 2()2()22()(1cos ) j T j T X X X e e G G G T ωωωωωω-?? +-????=-
信号与系统复习 书中最重要的三大变换几乎都有。 第一章 信号与系统 1、信号的分类 ①连续信号和离散信号 ②周期信号和非周期信号 连续周期信号f (t )满足 f (t ) = f (t + m T )， 离散周期信号f(k )满足 f (k ) = f (k + m N )，m = 0,±1,±2,… 两个周期信号x(t)，y(t)的周期分别为T 1和T 2，若其周期之比T 1/T 2为有理数，则其和信号x(t)+y(t)仍然是周期信号，其周期为T 1和T 2的最小公倍数。 ③能量信号和功率信号 ④因果信号和反因果信号 2、信号的基本运算（+ - × ÷） 2.1信号的（+ - × ÷） 2.2信号的时间变换运算 （反转、平移和尺度变换） 3、奇异信号 3.1 单位冲激函数的性质 f (t ) δ(t ) = f (0) δ(t ) ， f (t ) δ(t –a) = f (a) δ(t –a) 例： 3.2序列δ(k )和ε(k ) f (k )δ(k ) = f (0)δ(k ) f (k )δ(k –k 0) = f (k 0)δ(k –k 0) 4、系统的分类与性质 4.1连续系统和离散系统4.2 动态系统与即时系统 4.3 线性系统与非线性系统 ①线性性质 T [a f (·)] = a T [ f (·)](齐次性) T [ f 1(·)+ f 2(·)] = T[ f 1(·)]+T[ f 2(·)] （可加性） ②当动态系统满足下列三个条件时该系统为线性系统： )0(d )()(f t t t f =?∞∞ -δ) (d )()(a f t a t t f =-? ∞ ∞-δ?d )()4 sin(9 1=-? -t t t δπ)0('d )()('f t t f t -=?∞∞ -δ) 0()1(d )()()()(n n n f t t f t -=? ∞ ∞ -δ4)2(2])2[(d d d )(')2(0022=--=--=-==∞ ∞-? t t t t t t t t δ)(1||1)()()(t a a at n n n δδ?=)(||1)(t a at δδ=)(||1 )(00a t t a t at -=-δδ) 0()()(f k k f k =∑ ∞-∞ =δ
信号与系统总结 一信号与系统的基本概念 1信号的概念 信号是物质运动的表现形式；在通信系统中，信号是传送各种消息的工具。 2信号的分类 ①确定信号与随机信号 取决于该信号是否能够由确定的数学函数表达 ②周期信号与非周期信号 取决于该信号是否按某一固定周期重复出现 ③连续信号与离散信号 取决于该信号是否在所有连续的时间值上都有定义 ④因果信号与非因果信号 取决于该信号是否为有始信号（即当时间t小于0时，信号f(t)为零，大于0时，才有定义）3系统的概念 即由若干相互联系，相互作用的单元组成的具有一定功能的有机整体 4系统的分类 无记忆系统：即输出只与同时刻的激励有关 记忆系统：输出不仅与同时刻的激励有关，而且与它过去的工作状态有关 5信号与系统的关系 相互依存，缺一不可 二连续系统的时域分析 1零输入响应与零状态响应 零输入响应：仅有该时刻系统本身具有的起始状态引起的响应 零状态响应：在起始状态为0的条件下，系统由外加激励信号引起的响应 注：系统的全响应等于系统的零输入响应加上零状态响应 2冲激响应与阶跃响应 单位冲激响应：LTI系统在零状态条件下，由单位冲激响应信号所引起的响应 单位阶跃响应：LTI系统在零状态条件下，由单位阶跃响应信号所引起的响应 三傅里叶变换的性质与应用
1线性性质 2脉冲展缩与频带变化 时域压缩，则频域扩展 时域扩展，则频域压缩 3信号的延时与相位移动 当信号通过系统后仅有时间延迟而波形保持不变，则系统将使信号的所有频率分量相位滞后 四拉普拉斯变换 1傅里叶变换存在的条件：满足绝对可积条件 注：增长的信号不存在傅里叶变换，例如指数函数 2卷积定理 表明：两个时域函数卷积对应的拉氏变换为相应两象函数的乘积 五系统函数与零、极点分析 1系统稳定性相关结论 ①稳定：若H(s)的全部极点位于s的左半平面，则系统是稳定的； ②临界稳定：若H(s)在虚轴上有s=0的单极点或有一对共轭单极点，其余极点全在s的左半平面，则系统是临界稳定的； ③不稳定：H(s)只要有一个极点位于s的右半平面，或者虚轴上有二阶或者二阶以上的重极点，则系统是不稳定的。 六离散系统的时域分析 1常用的离散信号 ①单位序列②单位阶跃序列③矩阵序列④正弦序列⑤指数序列 七离散系统的Z域分析 1典型Z变换 ①单位序列②阶跃序列③指数序列④单边正弦和余弦序列 2Z变化的主要性质 ①线性性质②移位性质③尺度变换④卷和定理 八连续和离散系统的状态变量分析 1状态方程 即是由状态变量和激励（有时为零）表示的一组独立的一阶微分方程；而输出方程是由状态变量和激励（有时还可能有激励的某些导数）表示的代数方程 2列写状态方程的步骤
第三章 总结 对随机的东西只能作统计描述。 1).统计特性（ 概率密度与概率分布）； 2).数字特征（ 均值、方差、相关函数等）。 节1 随机过程概念 一、随机过程定义 二、随机过程统计特性的描述 1.随机过程的概率分布函数 2.随机过程的概率密度函数 三、随机过程数字特征的描述 1、数学期望： 性质：① E[k] = k ② E[ξ(t) + k] = E[ξ(t)] + k ③ E[ kξ(t)] = k E[ξ(t)] ④ E[ξ 1(t) + …+ξ n (t)] = E[ξ 1 (t)] + …+E[ ξ n (t)] ⑤ ξ 1(t)与ξ 2 (t)统计独立时，E[ξ 1 (t)ξ 2 (t)] = E[ξ 1 (t)] E[ξ 2 (t)] 2、方差： 性质：① D[k] = 0 ② D[ξ(t) + k] = D[ξ(t)] ③ D[kξ(t)] = K2 D[ξ(t)] ④ξ 1(t)ξ 2 (t)统计独立时， D[ξ 1 (t)+ξ 2 (t)] = D[ξ 1 (t)] + D[ξ 2 (t)] 3、相关函数和协方差函数 节2 平稳随机过程概念 一、定义：狭义平稳、广义平稳 广义平稳条件：
① 数学期望与方差是与时间无关的常数； ② 相关函数仅与时间间隔有关。 二、性能讨论 1、各态历经性（遍历性）：其价值在于可从一次试验所获得的样本函数 x(t) 取时间平均来得到它的数字特征（统计特性） 2、相关函数R(τ)性质 ① 对偶性（偶函数） R(τ)=E[ξ(t)ξ(t+τ)]=E[ξ(t 1-τ)ξ(t 1 )]= R(-τ) ② 递减性 E{[ξ(t) ±ξ(t+τ)]2} = E[ξ2(t)±2 ξ(t) ξ(t+τ) + ξ2(t+τ) ] = R(0)±2R(τ) + R(0) ≥ 0 ∴R(0)≥±R(τ) R(0)≥|R(τ)| 即τ=0 处相关性最大 ③ R（0）为 ξ ( t ) 的总平均功率。 ④ R(∞)=E2{ξ(t)}为直流功率。 ⑤ R(0) - R(∞)= E[ξ 2(t)]- E2[ξ(t)]=σ2为交流功率 3、功率谱密度Pξ(ω) 节3 几种常用的随机过程 一、高斯过程 定义: 任意n维分布服从正态分布的随机过程ξ(t)称为高斯过程（或正态随机过程）。 ① 高斯过程统计特性是由一、二维数字特征[a k, δ k 2, b jk ]决定的 ②若高斯过程满足广义平稳条件，也将满足狭义平稳条件。 ③若随机变量两两间互不相关，则各随机变量统计独立。二、零均值窄带高斯过程 定义、零均值平稳高斯窄带过程 同相随机分量 ξ c (t), 正交随机分量 ξ s (t) 结论：零均值窄带高斯平稳过程 ξ( t ) ，其同相分量 ξ c ( t ) 和正交分量 ξ s ( t )
信号与系统实验总结 这学期我们一共做了四次实验——信号的分类和观察，非正弦周期信号的频谱分析，信号的抽样与恢复（PAM），以及刚刚做完的模拟滤波器实验，虽然只有四个实验，但我从中收获了很多，最值得一提的是，我在这学期的实验中渐渐培养起了对通信行业的兴趣，这一兴趣将会成为我大二，大三学习专业课的动力。 先来说说知识方面的收获吧—— 第一次实验，我们观察了正弦信号，指数信号，指数衰减正弦信号的波形并绘制了图形。在这节课堂上，赵老师非常详细的介绍了示波器每一个按键，旋钮的用法，这节课我听得非常仔细，根据老师教导的方法，每次都可以“对症下药”，很快调出波形并使之稳定。不过绘制好波形，下课后计算表达式时，着实是碰着了不少困难，计算过程中很多次想放弃了，但最后想着毕竟花了那么多时间来做这个实验，用一个点一个点的画了图，一定要真正有所收获才行，又重新打起精神，一步一步地严格推导，终于，求出了三个波形的表达式。当理论与实际相符的时候，那种快乐真是发自内心的，从这时起，我就越发喜欢做实验了。 第二次实验，是非正弦周期信号的频谱分析。这也是第一次，也是唯一一次实用频谱仪，信号与系统课上，几乎大部分时间都在讨论傅利叶变换，频谱分析等等，所以当课上
一直觉得很抽象的东西现在竟可以用仪器直接观察了，还真有点儿兴奋。这个实验中，我们是输出了一个方波，并用频谱观察，记录下各次谐波对应的电平值，再将实验值和理论值相比较，因为理论值的计算过程较为复杂，许多同学都省略掉了。我也遇到了同样的瓶颈，在多次计算都不正确的情况下，我上网百度查了关于电平的资料后又重新计算了一次，终于和实验值相差不大了，这也教会了我现在大学的学习大大不同与高中，要善于搜集利用资源，学会自主学习。 第三个实验，信号的抽样与恢复。我觉得这个实验是最有必要做的，因为抽样本就是实际应用中的，不切实的看看被抽样后的函数波形以及恢复后的波形，就不能只管的体会到这个完整的过程。这个实验可以说是挺有意思的，都过调节抽样脉冲的频率，在某一个临界点它的波形才稳定，此时要迅速的用手机把波形拍摄下来，再作图。通过实验, 我们也直观地看到恢复后的波形与原正弦信号相比频率次不变,幅度值大大减少了，这令我充分意识到在实际应用中所要解决的问题往往比实验室中复杂的多，还要依据具体情况，具体分析。 最后一次实验，是模拟滤波器的实验。这次实验通过观察经过四种滤波器后的信号波形，进行对比学习，更好地理解了滤波器的工作原理，有源带通，有源带阻，无源带通，无源低通。四个波形各不相同，但都极好的让我们看到了示
3-1 求图3-1所示对称周期矩形信号的傅利叶级数（三角形式和指数形式）。 图3-1 解 由图3-1可知，)(t f 为奇函数，因而00==a a n 2 1120 11201)cos(2)sin(242,)sin()(4T T T n t n T n E dt t n E T T dt t n t f T b ωωωπωω-== = =?? 所以，三角形式的傅利叶级数（FS ）为 T t t t E t f πωωωωπ2,)5sin(51)3sin(31)sin(2)(1111=?? ? ???+++= 指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数为??? ??±±=-±±==-= ,3,1,0,,4,2,0, 021n n jE n jb F n n π 所以，指数形式的傅利叶级数为 T e jE e jE e jE e jE t f t j t j t j t j π ωππππωωωω2,33)(11111= ++-+-=-- 3-2 周期矩形信号如图3-2所示。若： 图3-2 2 T -2-
重复频率kHz f 5= 脉宽 s μτ20= 幅度 V E 10= 求直流分量大小以及基波、二次和三次谐波的有效值。 解 对于图3-2所示的周期矩形信号，其指数形式的傅利叶级数（FS ）的系数 ?? ? ??=??? ??== = =??--22 sin 12,)(1112212211τωττωππωτ τ ωωn Sa T E n n E dt Ee T T dt e t f T F t jn T T t jn n 则的指数形式的傅利叶级数（FS ）为 ∑∑∞ -∞ =∞ -∞ =?? ? ? ?== n t jn n t jn n e n Sa T E e F t f 112 )(1ωωτωτ 其直流分量为T E n Sa T E F n ττωτ=?? ? ??=→2lim 100 基波分量的幅度为??? ? ? ?= +-2sin 2111τωπE F F 二次谐波分量的幅度为??? ? ? ?= +-22sin 122τωπE F F 三次谐波分量的幅度为??? ? ? ?=+-23sin 32133τωπE F F 由所给参数kHz f 5=可得 s T s rad 441102,/10-?==πω 将各参数的值代入，可得 直流分量大小为 V 11021020104 6 =???-- 基波的有效值为 () )(39.118sin 2 10101010sin 210264V ≈=???- πππ 二次谐波分量的有效值为 () ) (32.136sin 2 51010102sin 21064V ≈=???- πππ