上海市黄浦区2020年高考数学二模试卷（理科）（解析版）
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B?A，则实数m=．
2．计算：=．
3．函数的反函数f﹣1（x）=．
4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为．
5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为（结果用反函数值表示）
6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．
7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．
8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=．
9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于．
10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长
为．
11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．
12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b=．
13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为．
14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为
．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么“=0是“两直线l1，l2平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）
A．2B．3C．4D．5
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）
20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．
（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘
（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．
21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：
（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；
（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．
22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：
（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；
（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；
（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．
23．对于双曲线C
（a，b）
：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，
则称P在C
（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C
（a，b）
在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C
（1，1）
的外部，求k的取值范围；
（2）若C
（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C
（a，b）
内部及C
（a，b）
上的点构成的
圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C
（a，b）
的外部，求m的取值范围．
2020年上海市黄浦区高考数学二模试卷（理科）
参考答案与试题解析
一、填空题（本大题满分56分）本大题共有14题，考生应在答题卷的相应编号的空格内直接填写结果，每题填对得4分，否则一律得零分．
1．已知集合A={﹣1，3，2m﹣1}，集合B={3，m2}．若B?A，则实数m=1．
【分析】根据题意，若B?A，必有m2=2m﹣1，而m2=﹣1不合题意，舍去，解可得答案，注意最后进行集合元素互异性的验证．
【解答】解：由B?A，m2≠﹣1，
∴m2=2m﹣1．解得m=1．
验证可得符合集合元素的互异性，
此时B={3，1}，A={﹣1，3，1}，B?A满足题意．
故答案为：1
【点评】本题考查元素的互异性即集合间的关系，注意解题时要验证互异性，属于基础题．2．计算：=．
【分析】分子分母同时除以3n，原式简化为，由此求出值即可．
【解答】解：
故答案为：．
【点评】本题是一道基础题，考查函数的极限，解题时注意消除零因式．
3．函数的反函数f﹣1（x）=（x﹣1）3．
【分析】欲求原函数f（x）=x3+1的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式．
【解答】解：∵=y，
∴x=（y﹣1）3，
∴x，y互换，得y=（x﹣1）3．
故答案为（x﹣1）3．
【点评】解答本题首先熟悉反函数的概念，然后根据反函数求解三步骤：1、换：x、y换位，2、解：解出y，3、标：标出定义域，据此即可求得反函数．
4．函数f（x）=（sinx﹣cosx）2的最小正周期为π．
【分析】化简函数的表达式为一个角的一个三角函数的形式，然后利用周期公式求出函数的周期．
【解答】解：函数f（x）=（sinx﹣cosx）2=1﹣2sinxcosx=1﹣six2x；
所以函数的最小正周期为：T=，
故答案为：π．
【点评】本题是基础题，考查三角函数的化简周期的求法，考查计算能力．
5．在极坐标系中，直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan（结果用反函数值表示）
【分析】利用直角坐标与极坐标间的关系，把记极坐标方程化为直角坐标系方程，再利用直线的直角坐标方程求出它们的夹角即可．
【解答】解：把极坐标方程ρ（cosθ+2sinθ）=1与ρsinθ=1化为普通方程是
x+2y=1与y=1；
又直线x+2y=1与y=1夹角的正切值为，
所以直线ρ（cosθ+2sinθ）=1与直线ρsinθ=1的夹角大小为arctan．
故答案为：arctan．
【点评】本题考查了极坐标和直角坐标的互化问题，能进行极坐标和直角坐标的互化，是解题的关键．
6．已知菱形ABCD，若||=1，A=，则向量在上的投影为．
【分析】由题意作图辅助，解菱形，从而求得向量在上的投影．
【解答】解：∵在菱形ABCD中，A=，
∴∠CAB=，
又∵||=1，
∴||=2||cos=，
∴向量在上的投影为||cos=，
故答案为：．
【点评】本题考查了数形结合的思想方法应用及平面向量的应用，属于中档题．
7．已知一个凸多边形的平面展开图由两个正六边形和六个正方形构成，如图所示，若该凸多面体所有棱长均为1，则其体积V=．
【分析】多面体为正六棱柱，底面边长和高都是1．
【解答】解：由多面体的展开图可知此多面体为正六棱柱，底面边长和高均为1．
正六棱柱的底面积S==．
∴多面体的体积V=Sh==．
故答案为．
【点评】本题考查了棱柱的结构特征和体积计算，属于基础题．
8．已知函数f（x）=x3+lg（+x），若f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，则f（a）+f（b）=﹣3．
【分析】由已知得f（x）是奇函数，由此利用奇函数的性质能求出f（a）+f（b）．
【解答】解：∵f（x）=x3+lg（+x），
∴f（﹣x）=﹣x3﹣lg（+x）=﹣f（x），
∵f（x）的定义域中的a、b满足f（﹣a）+f（﹣b）﹣3=f（a）+f（b）+3，
∴2[f（a）+f（b）]=﹣6，
∴f（a）+f（b）=﹣3．
故答案为：﹣3．
【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的性质的合理运用．
9．在代数式（4x2﹣2x﹣5）（1+）5的展开式中，常数等于15．
【分析】（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，分别解出即可得出．
【解答】解：（1+）5的展开式的通项公式T r+1==．
令﹣2r=﹣2，﹣2r=﹣1，﹣2r=0，
分别解得：r=1，r=（舍去），r=0．
∴常数项=4﹣5=20﹣5=15．
故答案为：15．
【点评】本题考查了二项式定理的应用，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
10．若椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，则椭圆的短轴长为10．【分析】不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．利用已知可得a ﹣c=5，a+c=15，解出即可得出．
【解答】解：不妨设椭圆的标准方程为：=1（a＞b＞0），a2=b2+c2．
∵椭圆上的点到焦点的距离的最小值为5，最大值为15，
∴a﹣c=5，a+c=15，
∴b2=a2﹣c2=5×15=75．
∴b=5．
则椭圆的短轴长为10．
故答案为：10．
【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
11．有红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，它们的颜色号码均不相等的概率是．
【分析】根据排列组合求出，所有的基本事件，再求出满足条件的基本事件，根据概率公式计算即可．
【解答】解：红、黄、蓝三种颜色，大小相同的小球各三个，在每种颜色的3个小球上分别标上号码1、2、3，现任取出3个，共有C93=84，
它们的颜色和号码均不相等的取法有A33=3×2×1=6种，
故它们的颜色号码均不相等的概率是=，
故答案为：
【点评】本题考查了古典概率问题，关键是利用排列组合，属于基础题．
12．设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），若ξ的数学期望Eξ=，则a+b=．
【分析】由已知得（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，由此能求出a+b．
【解答】解：∵设离散型随机变量ξ可能取到值为1，2，3，
P（ξ）=ak+b（k=1，2，3），ξ的数学期望Eξ=，
∴（a+b）+2（2a+b）+3（3a+b）=，且a+b+2a+b+3a+b=1，
解得a=，b=0，
∴a+b=．
故答案为：．
【点评】本题考查代数式的值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意离散型随机变量的分布列和数学期望的性质的合理运用．
13．正整数a、b满足1＜a＜b，若关于x、y的方程组有且只有一组解，则a的最大值为4031．
【分析】化简可得4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，从而讨论以去掉绝对值号，并确定方程的解的个数及条件，从而解得．
【解答】解：由方程组消y可得，
4033﹣2x=|x﹣1|+|x+a|+|x﹣b|，
当x≤﹣a时，
4033﹣2x=1﹣x﹣x﹣a﹣x+b，
故x=b﹣a﹣4032，
故当x=b﹣a﹣4032≤﹣a，即b≤4032时，有一个解；
即a≤4031时，有一个解；否则无解；
当﹣a＜x≤1时，
4033﹣2x=1﹣x+x+a﹣x+b，
故x=4032﹣a﹣b，
故当﹣a＜4032﹣a﹣b≤1，即b＜4032且a+b≥4301时，有一个解；
即2020≤a≤4030，有一个解，
否则无解；
当1＜x≤b时，
4033﹣2x=x+a+b﹣1，
故3x=4034﹣a﹣b，
故当3＜4034﹣a﹣b≤3b，即a+b＜4031且a+4b≥4304时，有一个解；
即≤a≤2020，方程有一个解，
否则无解；
当x＞b时，
4033﹣2x=3x+a﹣b﹣1，
故5x=4034﹣a+b，
故当4034﹣a+b＞5b，即a+4b＜4304时，有一个解；
否则无解；
综上所述，
当a取最大值4031时，方程有一个解，
故答案为：4031．
【点评】本题考查了绝对值方程的解法及分类讨论的思想方法应用，属于中档题．
14．已知数列{a n}中，若a1=0，a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），则满足a i+a2i≥100的i的最小值为
128．
【分析】由题意可得a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，从而解得．
【解答】解：∵a i=k2（i∈N*，2k≤i＜2k+1，k=1，2，3，…），
∴a i+a2i=k2+（k+1）2≥100，
故k≥7；
故i的最小值为27=128，
故答案为：128．
【点评】本题考查了数列，注意i与2i的关系对k的影响即可．
二、选择题（本大题满分20分）本大题共有4题，每题有且只有一个正确答案，考生应在答题卷的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．15．已知直角坐标平面上两条直线方程分别为l1：a1x+b1y+c1=0，l2：a2x+b2y+c2=0，那么
“=0是“两直线l1，l2平行”的（）
A．充分不必要条件B．必要不充分条件
C．充要条件D．既不充分也不必要条件
【分析】两条直线平行时，一定可以得到a1b2﹣a2b1=0成立，反过来不一定成立，由此确定两者之间的关系
【解答】解：若“=0则a1b2﹣a2b1=0，若a1c2﹣a2c1=0，则l1不平行于l2，
若“l1∥l2”，则a1b2﹣a2b1=0，∴=0，
故“=0是“两直线l1，l2平行的必要不充分条件，
故选：B．
【点评】本题重点考查四种条件的判定，解题的关键是理解行列式的定义，掌握两条直线平行的条件．
16．复数z=（m∈R，i为虚数单位）在复平面上对应的点不可能位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
【分析】复数分子、分母同乘分母的共轭复数，虚数单位i的幂运算性质，化简复数到最简形式为a+bi（a、b∈R）的形式，
分析实部和虚部的大小关系．
【解答】解：z=（m∈R，i为虚数单位）==，
此复数的实部为m﹣1，虚部为m+1，虚部大于实部，故复数的对应点不可能位于第四象限，
故选D．
【点评】本题考查复数的实部和虚部的定义，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质．
17．若△ABC的三条边a、b、c满足（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，则△ABC（）A．一定是锐角三角形
B．一定是直角三角形
C．一定是钝角三角形
D．可能是锐角三角形也可能是钝角三角形
【分析】不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求出a、b、c的值，再利用余弦定理求出最大角的余弦值，从而得出结论．
【解答】解：∵（a+b）：（b+c）：（c+a）=7：9：10，不妨设a+b=7，则b+c=9，c+a=10，求得a=4，b=3，c=6．
再利用余弦定理可得cosC==﹣＜0，故C为钝角，
故选：C．
【点评】本题主要考查余弦定理的应用，属于基础题．
18．若函数f（x）=lg[sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）]的定义域与区间[0，1]的交集由n个开区间组成，则n的值为（）
A．2B．3C．4D．5
【分析】由题意可得sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，而当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；当0＜x＜时，sin（2πx）＞0，当＜x＜1时，sin（2πx）＜0，问题变成了求在0＜x＜时，sin（3πx）与sin（4πx）同号得区间，及＜x＜1时，sin（3πx）与sin（4πx）异号的区间．然后由三角函数的象限符号求解即可．
【解答】解：要使原函数有意义，则sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0，
当x∈（0，1）时，sin（πx）＞0恒成立；
即sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0．
若sin（2πx）＞0，得2kπ＜2πx＜π+2kπ，即k＜x＜，
取k=0，得0＜x＜；
若sin（2πx）＜0，得π+2kπ＜2πx＜2π+2kπ，即＜x＜1+k，
取k=0，得＜x＜1；
∴只需sin（3πx）与sin（4πx）在（0，）上同号，在（）上异号．
若sin（3πx）＞0，得2kπ＜3πx＜π+2kπ，即＜x＜，
取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；
若sin（3πx）＜0，得π+2kπ＜3πx＜2π+2kπ，即＜x＜，
取k=0，得＜x＜；
若sin（4πx）＞0，得2kπ＜4πx＜π+2kπ，即＜x＜，
取k=0，得0＜x＜．取k=1，得；
若sin（4πx）＜0，得π+2kπ＜4πx＜2π+2kπ，即+＜x＜，
取k=0，得＜x＜．取k=1，得．
∴满足sin（πx）sin（2πx）sin（3πx）sin（4πx）＞0且在[0，1]内的区间为：
（0，），（），（），（），共4个．
∴n的值为4．
故选：C．
【点评】本题考查函数的定义域及其求法，考查了分类讨论的数学思想方法，训练了三角函数的象限符号，是中档题．
三、解答题（本大题满分74分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤．
19．如图，小凳的凳面为圆形，凳脚为三根细钢管，考虑到钢管的受力等因素，设计的小凳应满足：三根细钢管相交处的节点P与凳面圆心O的连线垂直于凳面和地面，且P分细钢
管上下两端的比值为0.618，三只凳脚与地面所成的角均为60°，若A、B、C是凳面圆角的三等分点，AB=18厘米，求凳面的高度h及三根细钢管的总长度（精确到0.01）
【分析】连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，推导出∠PAO=60°，AO=6，PO=18，由此能求出凳面的高度h及三根细钢管的总长度．
【解答】解：连结PO，AO，由题意PO⊥平面ABC，
∵凳面与地面平行，∴∠PAO是PA与平面ABC所成的角，即∠PAO=60°，
在等边三角形ABC中，AB=18，∴AO=6，
在直角△PAO中，PO=AB=18，
由，解得h≈47.13cm，
三根钢管总长度为≈163.25cm．
【点评】本题考查空间直线与平面的位置关系，考查空间图形的基本知识和基本技能，是中档题，解题时要认真审题，注意理解和掌握初等数学中有关图形与几何的基本知识．
20．已知函数f（x）=asinx+bcosx，其中a，b为非零实常数．
（1）f（）=，f（x）的最大值为，求a，b的值；‘
（2）若a=1，x=是f（x）的图象的一条对称轴，求x0的值，使其满足f（x0）=，且x0∈[0，2π]．
【分析】（1）由f（）=，可得a+b=2，又f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=，f（x）的最大值为，可得：=，联立即可解出a，b的值．
（2）由a=1，可得f（x）=sin（x+φ），其中tanφ=b，由题意+φ=kπ+，k∈z，可得φ，根据tan（kπ+）==b，可求φ，由f（x0）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，
结合范围x0∈[0，2π]，即可得解．
【解答】解：（1）∵f（）=（a+b）=，
∴a+b=2，①
∵f（x）=asinx+bcosx=（sinx+cosx）
=sin（x+φ），其中tanφ=，
∴f（x）的最大值为，可得：=．②
∴联立①②可得：，，
（2）∵a=1，
∴可得：f（x）=sinx+bcosx=sin（x+φ），其中tanφ=b，
∵根据直线x=是其图象的一条对称轴，可得+φ=kπ+，k∈z，可得φ=kπ+，
∴tan（kπ+）=tan==b，
故φ=，
故f（x）=2sin（x+）．
∵f（x0）=，可得：2sin（x0+）=，解得：x0+=2kπ+，或x0+=2kπ+，k∈Z，
解得：x0=2kπ，或x0=2kπ+，k∈Z，
又∵x0∈[0，2π]．
∴x0=0或或2π．
【点评】本题主要考查了两角和与差的三角函数公式，正弦函数的图象和性质，涉及辅助角公式和三角函数的最值，属中档题．
21．已知函数f（x）=a x+，其中a＞1：
（1）证明：函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；
（2）证明：不存在负实数x0使得f（x0）=0．
【分析】（1）令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，令h（x）=，求出h（x）的导数，得到函数的单调性，从而判断出f（x）的单调性即可；
（2）通过讨论x∈（﹣∞，﹣1）时，f（x）＞0，x∈（﹣1，0）时，f（x）＜0，从而证明结论即可．
【解答】证明：函数f（x）的定义域是（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，+∞），
（1）函数f（x）=a x+，其中a＞1，
令g（x）=a x，（a＞1），则g（x）在R递增，
令h（x）=，则h′（x）=＞0，
∴函数f（x）在（﹣1，∞）上为增函数；
（2）x∈（﹣∞，﹣1）时，0＜a x＜1，
=1﹣，
x→﹣∞时：x+1→﹣∞，﹣→0，
x→﹣1时，﹣→+∞，
故x∈（﹣∞，﹣1）时：f（x）∈（1，+∞），
x∈（﹣1，0）时，由（1）得：f（x）在（﹣1，0）递增，
而f（0）=a0+=﹣2，∴f（x）＜0在（﹣1，0）恒成立，
综上：不存在负实数x0使得f（x0）=0．
【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查导数的应用，是一道中档题．
22．已知数列{a n}的通项公式为a n=（n﹣k1）（n﹣k2），其中k1，k2∈Z：
（1）试写出一组k1，k2∈Z的值，使得数列{a n}中的各项均为正数；
（2）若k1=1、k2∈N*，数列{b n}满足b n=，且对任意m∈N*（m≠3），均有b3＜b m，写出所有满足条件的k2的值；
（3）若0＜k1＜k2，数列{c n}满足c n=a n+|a n|，其前n项和为S n，且使c i=c j≠0（i，j∈N*，i ＜j）的i和j有且仅有4组，S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，其他项的值均不相等，求k1，k2的最小值．
【分析】（1）通过函数f（x）=（x﹣k1）（x﹣k2）是与x轴交于k1、k2两点且开口向上的抛物线可知，只需知k1、k2均在1的左边即可；
（2）通过k1=1化简可知b n=n+﹣（1+k2），排除k2=1、2可知k2≥3，此时可知对于f （n）=n+而言，当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，进而解不等式组即得结论；
（3）通过0＜k1＜k2及a n=（n﹣k1）（n﹣k2）可知c n=，结合
c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j）可知0＜i＜k1＜k2＜j，从而可知k1的最小值为5，通过S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等可知5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，进而可得k2的最小值为6．【解答】解：（1）k1=k2=0；
（2）∵k1=1、k2∈N*，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），
∴b n===n+﹣（1+k2），
当k2=1、2时，f（n）=n+均单调递增，不合题意；
当k2≥3时，对于f（n）=n+可知：
当n≤时f（n）单调递减，当n≥时f（n）单调递增，
由题意可知b1＞b2＞b3、b3＜b4＜…，
联立不等式组，解得：6＜k2＜12，
∴k2=7，8，9，10，11；
（3）∵0＜k1＜k2，a n=（n﹣k1）（n﹣k2），
∴c n=a n+|a n|=，
∵c i=c j≠0（i，j∈N*，i＜j），
∴i、j?（k1，k2），
又∵c n=2[n2﹣（k1+k2）n+k1k2]，
∴=，
∴0＜i＜k1＜k2＜j，
此时i的四个值为1，2，3，4，故k1的最小值为5，
又S1、S2、…、S n中至少3个连续项的值相等，
不妨设S m=S m+1=S m+2=...，则c m+1=c m+2= 0
∵当k1≤n≤k2时c n=0，
∴5=k1≤m+1＜m+2＜…＜k2，
∴k2≥6，即k2的最小值为6．
【点评】本题考查数列的通项及前n项和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于难题．
23．对于双曲线C
（a，b）
：﹣=1（a，b＞0），若点P（x0，y0）满足﹣＜1，
则称P在C
（a，b）的外部，若点P（x0，y0）满足﹣＞1，则称C
（a，b）
在的内部；
（1）若直线y=kx+1上的点都在C
（1，1）
的外部，求k的取值范围；
（2）若C
（a，b）过点（2，1），圆x2+y2=r2（r＞0）在C
（a，b）
内部及C
（a，b）
上的点构成的
圆弧长等于该圆周长的一半，求b、r满足的关系式及r的取值范围；
（3）若曲线|xy|=mx2+1（m＞0）上的点都在C
（a，b）
的外部，求m的取值范围．
【分析】（1）由题意可得直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，且y0=kx0+1，即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，运用二次项系数小于0和判别式小于0，解不等式即可得到所求范围；
（2）将（2，1）代入双曲线的方程，由圆和双曲线的相交的弦长相等，弦所对的圆周角均为90°，且均为r，联立圆的方程和双曲线的方程，求得交点坐标，可得弦长，化简整理可得b，r的关系式和r的范围；
（3））|xy|=mx2+1（m＞0），即为|y|=m|x|+，由题意可得曲线上点P（x0，y0）满足
﹣＜1，代入y0，整理成x0的二次不等式，运用换元法和二次函数的性质，解不等式即可得到所求范围．
【解答】解：（1）直线y=kx+1上的点都在C
的外部，可得
（1，1）
直线上点P（x0，y0）满足x02﹣y02＜1，
且y0=kx0+1，
即为（1﹣k2）x02﹣2kx0﹣2＜0，恒成立，
可得1﹣k2＜0，且△=4k2+8（1﹣k2）＜0，
即有k2＞2，解得k＞或k＜﹣；
（2）若C
过点（2，1），可得﹣=1，
（a，b）
即为a2=，
由圆和双曲线的相交的弦长相等，
弦所对的圆周角均为90°，且均为r，
联立，解得y=±，
可得r=，
化简可得r2====，
令b2﹣3=t（t＞0），则r2=＞8，
即有r＞2；
（3）|xy|=mx2+1（m＞0），即为
2016年全国统一高考数学试卷（理科）（新课标Ⅲ） 一、选择题:本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．（5分）设集合S={x|（x﹣2）（x﹣3）≥0}，T={x|x＞0}，则S∩T=（）A．[2，3]B．（﹣∞，2]∪[3，+∞）C．[3，+∞）D．（0，2]∪[3，+∞）2．（5分）若z=1+2i，则=（） A．1 B．﹣1 C．i D．﹣i 3．（5分）已知向量=（，），=（，），则∠ABC=（）A．30°B．45°C．60°D．120° 4．（5分）某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图，图中A点表示十月的平均最高气温约为15℃，B点表示四月的平均最低气温约为5℃，下面叙述不正确的是（） A．各月的平均最低气温都在0℃以上 B．七月的平均温差比一月的平均温差大 C．三月和十一月的平均最高气温基本相同 D．平均最高气温高于20℃的月份有5个 5．（5分）若tanα=，则cos2α+2sin2α=（）
A．B．C．1 D． 6．（5分）已知a=，b=，c=，则（） A．b＜a＜c B．a＜b＜c C．b＜c＜a D．c＜a＜b 7．（5分）执行如图程序框图，如果输入的a=4，b=6，那么输出的n=（） A．3 B．4 C．5 D．6 8．（5分）在△ABC中，B=，BC边上的高等于BC，则cosA=（）A．B．C．﹣D．﹣ 9．（5分）如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（）
A．18+36B．54+18C．90 D．81 10．（5分）在封闭的直三棱柱ABC﹣A1B1C1内有一个体积为V的球，若AB⊥BC，AB=6，BC=8，AA1=3，则V的最大值是（） A．4πB． C．6πD． 11．（5分）已知O为坐标原点，F是椭圆C：+=1（a＞b＞0）的左焦点， A，B分别为C的左，右顶点．P为C上一点，且PF⊥x轴，过点A的直线l与线段PF交于点M，与y轴交于点E．若直线BM经过OE的中点，则C的离心率为（） A．B．C．D． 12．（5分）定义“规范01数列”{a n}如下：{a n}共有2m项，其中m项为0，m 项为1，且对任意k≤2m，a1，a2，…，a k中0的个数不少于1的个数，若m=4，则不同的“规范01数列”共有（） A．18个B．16个C．14个D．12个 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分. 13．（5分）若x，y满足约束条件，则z=x+y的最大值为．
············· 2013年上海市高考数学试卷（理科） 参考答案与试题解析 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分． = 上海）计算：．分）（2013?．1（4 数列的极限菁优网版权所 专计算题． 题： 分由数列极限的意义即可求解． 析： 解解：==，答： 故答案为：． 点本题考查数列极限的求法，属基础题． 评： 222．（4分）（2013?上海）设m∈R，m+m﹣2+（m﹣1）i是
纯虚数，其中i是虚数单位，则m= ﹣2 ． 考复数的基本概念．菁优网版权所有 点： 专计算题． 题： 22分根据纯虚数的定义可得m﹣1=0，m﹣1≠0，由此解得实析：数m的值． 2解解：∵复数z=（m+m﹣2）+（m﹣1）i为纯虚数， 22∴m+m﹣2=0，m﹣1≠0，解得答：m=﹣2， 故答案为：﹣2． ············． ············· 2﹣，m点本题主要考查复数的基本概念，得到m+m﹣2=0 0， 是解题的关键，属于基础题．评：1≠ x+y= 上海）若=，0 ．3．（4分）（2013? 菁优网版权所二阶行列式的定义常规题型利用行列式的定 义，可得等式，配方即可得到结论析：解=，解：∵答：22x∴2xy =﹣+y2）（x+y∴=0 x+y=0 ∴0 故答案为本题考查二阶行列式的定义，考查学生的计算能力，
属点于基础题．评： 所对的CB、、上海）已知△ABC的内角A（4．（4分）2013?222 C的大小是﹣3c=0，则角3a边分别是a、b、c，若+2ab+3b ． 余弦定理．菁优网版权所有考：点解三角形．专：题 222分，变形为﹣3c再利把式子3a=0+2ab+3b 析： 用余弦定理即可得出．222解，，3a解：∵+2ab+3b﹣3c=0∴答：············． ············· ．=∴=∴C=．故答案为．点熟练掌握余弦定理及反三角函数是解题的关键．评： 的二项展，若a∈R5．（4分）（2013?上海）设常数7﹣2 ．开式中x项的系数为﹣10，则a= 二项式系数的性质菁优网版权所计算题：r+1利用二项展开式的通项公式求得二项展开式中的第分7列出方程求解即可．项，令x的指数为7求得x的系数，析：
上海市中考数学二模试卷A卷 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）下列计算结果为负数的是（） A . -1+3 B . 5-2 C . -1×(-2) D . -4÷2 2. （2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（） A . B . C . D . 3. （2分）如图是由一个圆柱体和一个长方体组成的几何体，其左视图是（）
A . B . C . D . 4. （2分）某早点店的油条的售价开始是n根/元，第一次涨价后的售价是（n﹣1）根/元，价格的增长率为a；第二次涨价后的售价是（n﹣2）根/元，价格的增长率为b．若从开始到第二次涨价后的价格增长率为c，则下列判断错误的是（） A . a＜b＜c B . 2a＜c C . a+b=c D . 2b=c 5. （2分）有一条直的宽纸带折叠成如图所示，则∠1的度数为（） A . 50° B . 65° C . 70° D . 75°
6. （2分）下列根式中，最简二次根式的个数是（） A . 4 B . 3 C . 2 D . 1 7. （2分）对于实数a、b，定义一种运算“*“为a*b=a2﹣ab+3，则下列命题：①2*4=1； ②方程x*2=0的根为：x1═3，x2=﹣1；③不等式组的解集为1＜x＜； ④点（2，3）在函数y=x*2的图象上，其中正确的（） A . ①④ B . ③④ C . ②③ D . ②③④ 8. （2分）爷爷的生日晚宴上，餐桌上大家两两碰杯一次，总共碰杯45次，那么有（）人参加了这次宴会？ A . 8 B . 9 C . 10 D . 11 9. （2分）下列四个命题中，正确的个数是（） ①经过三点一定可以画圆； ②任意一个三角形一定有一个外接圆；
上海乌托邦教育 2014年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（共14题，满分56分） 1．（4分）（2014?上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是_________． 2．（4分）（2014?上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）?=_________． 3．（4分）（2014?上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为 _________． 4．（4分）（2014?上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为_________．5．（4分）（2014?上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为_________． 6．（4分）（2014?上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 7．（4分）（2014?上海）已知曲线C的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则C与极轴的交点到极点的距离是 _________． 8．（4分）（2014?上海）设无穷等比数列{a n}的公比为q，若a1=（a3+a4+…a n），则q=_________．9．（4分）（2014?上海）若f（x）=﹣，则满足f（x）＜0的x的取值范围是_________． 10．（4分）（2014?上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是_________（结果用最简分数表示）． 11．（4分）（2014?上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合{a，b}={a2，b2}，则a+b=_________． 12．（4分）（2014?上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= _________． 13．（4分）（2014?上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若E（ξ）=4.2，则小白得5分的概率至少为_________． 14．（4分）（2014?上海）已知曲线C：x=﹣，直线l：x=6，若对于点A（m，0），存在C上的点P和l上 的Q使得+=，则m的取值范围为_________． 二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分
2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4. 考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）已知(3)(1)i z m m =++-在复平面内对应的点在第四象限，则实数m 的取值范围是 （A ）()31-， （B ）()13-， （C ）()1,∞+ （D ）()3∞--， （2）已知集合{1,23}A =,，{|(1)(2)0}B x x x x =+-<∈Z ，，则A B =U （A ）{}1 （B ）{12}， （C ）{}0123， ，， （D ）{10123}-， ，，， （3）已知向量(1,)(3,2)a m b =-r r ， =，且()a b b +⊥r r r ，则m = （A ）8- （B ）6- （C ）6 （D ）8 （4）圆2228130x y x y +--+=的圆心到直线10ax y +-= 的距离为1，则a= （A ）43- （B ）3 4 - （C ）3 （D ）2 （5）如图，小明从街道的E 处出发，先到F 处与小红会合，再一起到位于G 处的老年公寓参加志愿者活动，则 小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为 （A ）24 （B ）18 （C ）12 （D ）9 （6）右图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的表面积为 （A ）20π （B ）24π （C ）28π （D ）32π （7）若将函数y =2sin 2x 的图像向左平移π 12 个单位长度，则平移后图象的对称轴为 （A ）()ππ26k x k =-∈Z （B ）()ππ 26k x k =+∈Z （C ）()ππ 212 Z k x k = -∈ （D ）()ππ212Z k x k = +∈ （8）中国古代有计算多项式值的秦九韶算法，右图是实现该算法的程序框图.执行该程序框图，若输入的2x =， 2n =，依次输入的a 为2，2，5，则输出的s = （A ）7 （B ）12 （C ）17 （D ）34 （9）若π3 cos 45 α??-= ???，则sin 2α= （A ） 725 （B ）15 （C ）1 5 - （D ）725 - （10）从区间[]0,1随机抽取2n 个数1x ,2x ，…，n x ，1y ，2y ，…，n y ，构成n 个数对()11,x y ，()22,x y ，…， (),n n x y ，其中两数的平方和小于1的数对共有m 个，则用随机模拟的方法得到的圆周率π 的近似值为
2016年 普 通 高 等 学 校 招 生 全 国 统 一 考 试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题（本大题共有14题，满分56分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分. 1、设x R ∈,则不等式13<-x 的解集为______________________ 2、设i i Z 23+=，期中i 为虚数单位，则Im z =______________________ 3、已知平行直线012:,012:21=++=-+y x l y x l ，则21,l l 的距离_______________ 4、某次体检，6位同学的身高（单位：米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77则这组数据的中位数是_________（米） 5、已知点(3,9)在函数x a x f +=1)(的图像上，则________ )()(1=-x f x f 的反函数 6、如图，在正四棱柱1111D C B A ABCD -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为3 2arctan ，则该正四棱柱的高等于____________ 7、方程3sin 1cos 2x x =+在区间[]π2,0上的解为___________ 8、在n x x ??? ? ?-23的二项式中，所有项的二项式系数之和为256，则常数项等于_________ 9、已知ABC ?的三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于_________ 10、设.0,0>>b a 若关于,x y 的方程组11 ax y x by +=??+=?无解，则b a +的取值范围是____________ 11.无穷数列{}n a 由k 个不同的数组成，n S 为{}n a 的前n 项和.若对任意*∈N n ，{}3,2∈n S ，则k 的最大值 为. 12.在平面直角坐标系中，已知A （1,0），B （0，-1），P 是曲线21x y -=上一个动点，则BA BP ?的取值范围是. 13.设[)π2,0,,∈∈c R b a ，若对任意实数x 都有()c bx a x +=?? ? ?? -sin 33sin 2π，则满足条件的有序实数组 ()c b a ,,的组数为. 14.如图，在平面直角坐标系xOy 中，O 为正八边形821A A A 的中心， ()0,11A .任取不同的两点j i A A ,，点P 满足0=++j i OA OA OP ，则点P
2017年上海市长宁区中考数学二模试卷 一、选择题（共6小题，每小题4分，满分24分） 1．已知=，那么下列各式中正确的是（） A． = B． =3 C． =D． = 2．不等式组的解集在数轴上可表示为（） A．B． C．D． 3．在正方形网格中，△ABC的位置如图所示，则cos∠B的值为（） A．B．C．D． 4．如图，在四边形ABCD中，动点P从点A开始沿A→B→C→D的路径匀速前进到D为止．在这个过程中，△APD的面积S随时间t的变化关系用图象表示正确的是（） A．B． C．D． 5．已知P为线段AB的黄金分割点，且AP＜PB，则（）
A．AP2=AB?PB B．AB2=AP?PB C．PB2=AP?AB D．AP2+BP2=AB2 6．下列说法中，正确的是（） A．一组数据﹣2，﹣1，0，1，1，2的中位数是0 B．质检部门要了解一批灯泡的使用寿命，应当采用普查的调查方式 C．购买一张福利彩票中奖是一个确定事件 D．分别写有三个数字﹣1，﹣2，4的三张卡片（卡片的大小形状都相同），从中任意抽取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 二、填空题（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：（a b）3= ． 8．在实数范围内分解因式：x2﹣3= ． 9．已知函数f（x）=，那么f（﹣1）= ． 10．已知反比例函数y=的图象经过一、三象限，则实数k的取值范围是． 11．抛物线y=﹣x2+2x+a的对称轴是． 12．方程=1的解为． 13．已知关于x的方程x2﹣2kx+k=0有两个相等的实数根，那么实数k= ． 14．某物流仓储公司用A、B两种型号的机器人搬运物品，已知A型机器人比B型机器人每小时多搬运20千克物品，A型机器人搬运1000千克物品所用时间与B型机器人搬运800千克物品所用时间相等，设A型机器人每小时搬运物品x千克，列出关于x的方程为． 15．化简：2﹣3（﹣）= ． 16．如图，在菱形ABCD中，EF∥BC， =，EF=3，则CD的长为． 17．在△ABC中，已知BC=4cm，以边AC的中点P为圆心1cm为半径画⊙P，以边AB的中点Q为圆心x cm长为半径画⊙Q，如果⊙P与⊙Q相切，那么x= cm． 18．如图，在Rt△ABC中，AB=AC，D、E是斜边BC上的两点，且∠DAE=45°．设BE=a，DC=b，那么AB= （用含a、b的式子表示AB）．
2016年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数学（理科） 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项． （1）【2016年北京，理1，5分】已知集合{}|2A x x =<< ，{}1,0,1,2,3=-，则A B =I （ ） （A ）{}0,1 （B ）{}0,1,2 （C ）{}1,0,1- （D ）{}1,0,1,2- 【答案】C 【解析】集合{}22A x x =-<<，集合{}1,0,1,2,3B x =-，所以{}1,0,1A B =-I ，故选C ． 【点评】本题考查交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义的合理运用． （2）【2016年北京，理2，5分】若x ，y 满足2030x y x y x -≤?? +≤??≥?，，，则2x y +的最大值为（ ） （A ）0 （B ）3 （C ）4 （D ）5 【答案】C 【解析】可行域如图阴影部分，目标函数平移到虚线处取得最大值，对应的点为()1,2，最大值 为2124?+=，故选C ． 【点评】本题主要考查线性规划的应用，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想 是解决此类问题的基本方法． （3）【2016年北京，理3，5分】执行如图所示的程序框图，若输入的a 值为1，则输出的k 值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）3 （D ）4 【答案】B 【解析】开始1a =，0k =；第一次循环1 2 a =-，1k =；第二次循环2a =-，2k =，第三次循环1a =， 条件判断为“是”跳出，此时2k =，故选B ． 【点评】本题考查的知识点是程序框图，当循环次数不多，或有规律可循时，可采用模拟程序法进 行解答． （4）【2016年北京，理4，5分】设a r ，b r 是向量，则“a b =r r ”是“a b a b +=-r r r r ”的（ ） （A ）充分而不必要条件 （B ）必要而不充分条件 （C ）充分必要条件 （D ）既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】若=a b r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，那么该平行四边形为菱形，+a b r r ，a b -r r 表示的是该菱 形的对角线，而菱形的对角线不一定相等，所以+=a b a b -r r r r 不一定成立，从而不是充分条件；反之，+=a b a b -r r r r 成立，则以a r ，b r 为边组成平行四边形，则该平行四边形为矩形，矩形的邻边不一定相等， 所以=a b r r 不一定成立，从而不是必要条件，故选D ． 【点评】本题考查的知识点是充要条件，向量的模，分析出“a b =r r ”与“a b a b +=-r r r r ”表示的几何意义，是解答 的关键． （5）【2016年北京，理5，5分】已知x y ∈R ，，且0x y >>，则（ ） （A ）110x y -> （B ）sin sin 0x y ->_ （C ）11022x y ???? -< ? ????? （D ）ln ln 0x y +> 【答案】C 【解析】A ．考查的是反比例函数1 y x =在()0,+∞单调递减，所以11x y <即110x y -<所以A 错； B ．考查的 是三角函数sin y x =在()0,+∞单调性，不是单调的，所以不一定有sin sin x y >，B 错；C ．考查的是 指数函数12x y ??= ???在()0,+∞单调递减，所以有1122x y ????< ? ?????即11022x y ???? -< ? ????? 所以C 对；D 考查的是
2012年上海市高考数学试卷（理科） 一、填空题（56分）： 1．（2012?上海）计算：=_________（i为虚数单位）． 2．（2012?上海）若集合A={x|2x+1＞0}，B={x||x﹣1|＜2}，则A∩B=_________．3．（2012?上海）函数f（x）=的值域是_________． 4．（2012?上海）若=（﹣2，1）是直线l的一个法向量，则l的倾斜角的大小为_________（结果用反三角函数值表示）． 5．（2012?上海）在的二项展开式中，常数项等于_________． 6．（2012?上海）有一列正方体，棱长组成以1为首项、为公比的等比数列，体积分别记为V1，V2，…，V n，…，则（V1+V2+…+V n）═_________． 7．（2012?上海）已知函数f（x）=e|x﹣a|（a为常数）．若f（x）在区间[1，+∞）上是增函数，则a的取值范围是_________． 8．（2012?上海）若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的体积为_________． 9．（2012?上海）已知y=f（x）+x2是奇函数，且f（1）=1，若g（x）=f（x）+2，则g （﹣1）=_________． 10．（2012?上海）如图，在极坐标系中，过点M（2，0）的直线l与极轴的夹角a=，若将l的极坐标方程写成ρ=f（θ）的形式，则f（θ）=_________．
11．（2012?上海）三位同学参加跳高、跳远、铅球项目的比赛，若每人都选择其中两个 项目，则有且仅有两人选择的项目完全相同的概率是_________（结果用最简分数表示）．12．（2012?上海）在平行四边形ABCD中，∠A=，边AB、AD的长分别为2、1，若 M、N分别是边BC、CD上的点，且满足=，则的取值范围是_________． 13．（2012?上海）已知函数y=f（x）的图象是折线段ABC，其中A（0，0）、B（，5）、 C（1，0），函数y=xf（x）（0≤x≤1）的图象与x轴围成的图形的面积为_________． 14．（2012?上海）如图，AD与BC是四面体ABCD中互相垂直的棱，BC=2，若AD=2c， 且AB+BD=AC+CD=2a，其中a、c为常数，则四面体ABCD的体积的最大值是_________． 二、选择题（20分）： 15．（2012?上海）若1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A ． b=2，c=3B ． b=﹣2，c=3C ． b=﹣2，c=﹣1D ． b=2，c=﹣1 16．（2012?上海）在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A锐角三角形B直角三角形C钝角三角形D不能确定
上海市中考数学二模试卷（I）卷 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）-5的绝对值是（） A . 5 B . 5 C . ±5 D . - 2. （2分）若（|a|﹣1）0=1，则下列结论正确的是（） A . a≠0 B . a≠1 C . a≠﹣1 D . a≠±1 3. （2分）如图，将一个可以自由旋转的转盘等分成甲、乙、丙、丁四个扇形区域，若指针固定不变，转动这个转盘一次（如果指针指在等分线上，那么重新转动，直至指针指在某个扇形区域内为止），则指针指在甲区域内的概率是（） A . 1 B . C .
D . 4. （2分）如图，△ABC中，∠C=80°，若沿图中虚线截去∠C，则∠1+∠2=（） A . 360° B . 260° C . 180° D . 140° 5. （2分）下列说法正确的是（） A . a一定是正数 B . 绝对值最小的数是0 C . 相反数等于自身的数是1 D . 绝对值等于自身的数只有0和1 6. （2分）已知一元二次方程x2+bx+c=0的两根分别是2+ 和2﹣，则b、c 的值为（） A . 4、1 B . ﹣4、1 C . ﹣4、﹣1 D . 4、﹣1 7. （2分）如图，△ABC中，∠C=90°，AB=5，AC=4，且点D，E分别是AC，AB的中点，
若作半径为3的⊙C，则下列选项中的点在⊙C外的是（） A . 点B B . 点D C . 点E D . 点A 8. （2分）如图，平面直角坐标系中，点A是x轴上任意一点，BC平行于x轴，分别交y= （x＞0）、y= （x＜0）的图象于B、C两点，若△ABC的面积为2，则k值为（） A . ﹣1 B . 1 C . D . 9. （2分）如图，△ABC中，∠BAC=45°，∠ACB=30°，将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB1C1 ，当点C1、B1、C三点共线时，旋转角为α，连接BB1 ，交AC于点D．下列结论：①△AC1C为等腰三角形；②△AB1D∽△BCD；③α=75°；④CA=CB1 ，其中正确的
2000年上海高考数学理科卷
2000年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 考生注意：本试卷共有22道试题，满分150分 一、填空题（本大题满分为48分）本大题共有12题，只要求直接填写结果，每个空格填对得4分，否则一律得零分。 1．已知向量OA (－1，2)、OB =(3，m)，若OA ┴OB ，则m= 。 2．函数，x x y --=312log 2 的定义域为 。 3．圆锥曲线 ?? ?=+=θ θtg y x 31 sec 4的焦点坐标是 。 4．计算：lim()2 n n n n →∞ += 。 5．已知b x f x +=2 )(的反函数为) (),(1 1 x f y x f --=若的图象经过点 ) 2,5(Q ，则b = 。 6．根据上海市人大十一届三次会议上的市政府工作报告，1999年上海市完成GDP(GDP 是指国内生产总值)4035亿元，2000年上海市GDP 预期增长9%，市委、市府提出本市常住人口每年的自然增长率将控制在0.08%，若GDP 与人口均按这样的速度增长，则要使本市年人均GDP 达到或超过1999年的2倍，至少需 年。
（按：1999年本市常住人口总数约1300） 7．命题A ：底面为正三角形，且顶点在底面的射影为底面中心的三棱锥是正三棱锥，命题A 的等价题B 可以是：底面为正三角形，且 的三棱锥是正三棱锥。 8．设函数)(x f y =是最小正周期为2的偶函数，它在区间[0，1]上的图象为如图所示的线段AB ，则在区间[1，2]上)(x f = 。 9．在二项式11 )1(-x 的展开式中，系数最小的项的系数 为 ，（结果用数值表示） 10．有红、黄、蓝三种颜色的旗帜各3面，在每种颜色的3面旗帜上分别标上号码1、2和3，现任取出3面，它们的颜色与号码均不相同的概率是 。 11．在极坐标系中，若过点(3，0)且与极轴垂直的直线交曲线B A ,cos 4于θρ=两点，则=AB 。 12．在等差数列{} n a 中，若 =z a ，则有等式 ) ,19(192121N n n a a a a a a n n ∈+++=+++πΛΛ成立，类比上述性质，相就 夺：在等此数列{} n b 中，若1 0=b ，则有等式 成立。 二、选择题（本大题满分16分）本大题共有4题，每题
启封前★绝密 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学（试题及答案详解） 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （1）设集合 2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B = （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则 i =x y + （A ）1（B ）2（C ）3（D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100（B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，学.科网小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31（B ）21（C ）32（D ）43 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是 （A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是，则它的表面积是 （A ）17π（B ）18π（C ）20π（D ）28π
2013年全国普通高等学校招生统一考试 上海 数学试卷（理工农医类） 一、填空题 1．计算：20 lim ______313 n n n →∞+=+. 【测量目标】数列极限的运算. 【考查方式】给出了数列进行化简，根据极限运算法则算出极限. 【难易程度】容易 【参考答案】 13 【试题解析】根据极限运算法则，20 1201lim lim 133133 3n n n n n n →∞→∞+ +==++ ． 2．设m ∈R ，2 2 2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m =. 【测量目标】复数的基本概念. 【考查方式】给出复数，由纯虚数的基本概念算出m 的值. 【难易程度】容易 【参考答案】2m =- 【试题解析】22 20 210 m m m m ?+-=?=-?-≠?． 3．若 221 1 x x x y y y = --，则______x y +=. 【测量目标】行列式的初步运算. 【考查方式】给出行列式，由行列式的运算法则计算出x y +的大小. 【难易程度】容易 【参考答案】0 【试题解析】2 2 20x y xy x y +=-?+=． 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若22232330a ab b c ++-=，则角 C 的大小是_______________.（结果用反三角函数值表示） 【测量目标】余弦定理，反三角函数. 【考查方式】利用余弦定理解出角C ，再用反三角函数值表示. 【难易程度】中等 【参考答案】1πarccos 3 C =- 【试题解析】2222222 323303 a a b b c c a b ab ++-=?=++ ，
2020年中考数学二模试卷 一、选择题（本题共6题） 1．下列正整数中，属于素数的是（） A．2B．4C．6D．8 2．下列方程没有实数根的是（） A．x2＝0B．x2+x＝0C．x2+x+1＝0D．x2+x﹣1＝0 3．一次函数y＝﹣2x+1的图象不经过（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 4．某班在统计全班33人的体重时，算出中位数与平均数都是54千克，但后来发现在计算时，将其中一名学生的体重50千克错写成了5千克，经重新计算后，正确的中位数为a 千克，正确的平均数为b千克，那么（） A．a＜b B．a＝b C．a＞b D．无法判断 5．已知⊙O1与⊙O2的直径长4厘米与8厘米，圆心距为2厘米，那么这两圆的位置关系是（） A．内含B．内切C．相交D．外切 6．在平面直角坐标系xOy中，点A（﹣3，0），B（2，0），C（﹣1，2），E（4，2），如果△ABC与△EFB全等，那么点F的坐标可以是（） A．（6，0）B．（4，0）C．（4．﹣2）D．（4，﹣3） 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7．计算：6a4÷2a2＝． 8．分解因式：4x2﹣1＝． 9．不等式组的整数解是． 10．已知函数f（x）＝，那么f（﹣）＝． 11．某校为了解学生收看“空中课堂”的方式，对该校500名学生进行了调查，并把结果绘制成如图所示的扇形图，那么该校通过手机收看“空中课堂”的学生人数是．
12．木盒中有一个红球与一个黄球，这两个球除颜色外其他都相同，从盒子里先摸出一个球，放回摇匀后，再摸出一个球，两次都摸到黄球的概率是． 13．如果一个矩形的一边长是某个正方形边长的2倍，另一边长比该正方形边长少1厘米，且矩形的面积比该正方形的面积大8平方厘米，那么该正方形的边长是厘米．14．正五边形的一个内角的度数是． 15．如果一个梯形的上底与下底之比等于1：2，那么这个梯形的中位线把梯形分成两部分的面积之比是． 16．如图，点M是△ABC的边AB上的中点，设＝，＝，那么用，表示为． 17．已知等边△ABC的重心为G，△DEF与△ABC关于点G成中心对称，将它们重叠部分的面积记作S1，△ABC的面积记作S2，那么的值是 18．已知⊙O的直径AB＝4，⊙D与半径为1的⊙C外切，且⊙C与⊙D均与直径AB相切、与⊙O内切，那么⊙D的半径是． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19．计算：+|﹣|﹣﹣3． 20．解方程组：． 21．如图，在平面直角坐标系xOy中，已知点A坐标（2，3），过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交反比例函数在第一象限的图象于点B，且满足＝2． （1）求该反比例函数的解析式； （2）点C在x正半轴上，点D在该反比例函数的图象上，且四边形ABCD是平行四边形，求点D坐标．
2016年上海高考数学（理科）真题 一、解答题（本大题共有14题，满分56分） 1. 设x ∈R ，则不等式31x -<的解集为________________ 【答案】(2,4) 【解析】131x -<-<，即24x <<，故解集为(2,4) 2. 设32i i z +=，其中i 为虚数单位，则Im z =_________________ 【答案】3- 【解析】i(32i)23i z =-+=-，故Im 3z =- 3. 1l :210x y +-=, 2l :210x y ++=, 则12,l l 的距离为__________________ 【解析】d == 4. 某次体检，6位同学的身高（单位:米）分别为1.72,1.78,1.75,1.80,1.69,1.77，则这组数据的中位数是___ （米） 【答案】1.76 5. 已知点(3,9)在函数()1x f x a =+的图像上，则()f x 的反函数1()f x -=____________ 【答案】2log (1)x - 【解析】319a +=，故2a =，()12x f x =+ ∴2log (1)x y =- ∴12()log (1)f x x -=- 6. 如图，在正四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面ABCD 的边长为3，1BD 与底面所成角的大小为2arctan 3 ， 则该正四棱柱的高等于____________________ 【答案】 【解析】BD =, 123 DD BD =?= 7. 方程3sin 1cos 2x x =+在区间[0,2π]上的解为________________
2013年上海市秋季高考理科数学 一、填空题 1．计算：20 lim ______313 n n n →∞+=+ 【解答】根据极限运算法则，201 lim 3133 n n n →∞+=+． 2．设m R ∈，2 2 2(1)i m m m +-+-是纯虚数，其中i 是虚数单位，则________m = 【解答】22 20 210m m m m ?+-=?=-?-≠?． 3．若22 11 x x x y y y = --，则______x y += 【解答】2 2 20x y xy x y +=-?+=． 4．已知△ABC 的内角A 、B 、C 所对应边分别为a 、b 、c ，若2 2 2 32330a ab b c ++-=，则角C 的大小是_______________（结果用反三角函数值表示） 【 解 答 】 2222222 323303 a a b b c c a b ab ++-=?=++，故 11 cos ,arccos 33 C C π=-=-． 5．设常数a R ∈，若5 2a x x ??+ ?? ?的二项展开式中7 x 项的系数为10-，则______a = 【解答】2515()(),2(5)71r r r r a T C x r r r x -+=--=?=，故1 5 102C a a =-?=-． 6．方程 1 313313 x x -+=-的实数解为________ 【解答】原方程整理后变为233 238034log 4x x x x -?-=?=?=． 7．在极坐标系中，曲线cos 1ρθ=+与cos 1ρθ=的公共点到极点的距离为__________ 【解答】联立方程组得1(1)12ρρρ-=?= ，又0ρ≥ ，故所求为12 +． 8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两 个球的编号之积为偶数的概率是___________（结果用最简分数表示） 【解答】9个数5个奇数，4个偶数，根据题意所求概率为252913 118 C C -=．
上海市中考数学二模试卷 姓名:________ 班级:________ 成绩:________ 一、选择题 (共10题；共20分) 1. （2分）(2017·梁溪模拟) 5的倒数是（） A . B . ﹣ C . 5 D . ﹣5 2. （2分）(2017·渠县模拟) 下图是由5个相同大小的正方体搭成的几何体，则它的俯视图在A，B，C，D 中的选项是（） A . B . C . D . 3. （2分）用科学记数法表示0.0000061，结果是（） A . 6.1×10﹣5 B . 6.1×10﹣6 C . 0.61×10﹣5 D . 61×10﹣7 4. （2分） (2017七上·沂水期末) 下列各组单项式中，不是同类项的一组是（） A . x2y和2xy2 B . ﹣32和3 C . 3xy和﹣
D . 5x2y和﹣2yx2 5. （2分）某年级有四个班，人数分别为：一班25人，二班22人，三班27人，四班26人．在一次考试中，四个班的班级平均分依次为81分，75分，89分，78分，则这次考试的年级平均分为（） A . 79.25分 B . 80.75分 C . 81.06分 D . 82.53分 6. （2分） (2019八上·哈尔滨月考) 下面的轴对称图形中,只能画出一条对称轴的是（） A . 长方形 B . 等腰直角三角形 C . 等边三角形 D . 圆 7. （2分）(2018·夷陵模拟) 一个多边形截去一个角后，形成另一个多边形的内角和为2520°，则原多边形的边数是（） A . 17 B . 16 C . 15 D . 16或15或17 8. （2分） (2017九上·临海期末) 关于x的一元二次方程x2+a=0没有实数根，则实数a的取值范围是（） A . a≤0 B . a≥0 C . a＜0 D . a＞0 9. （2分） (2019八下·青原期中) 已知不等式组的解集为﹣1＜x＜1，则（a+1）（b﹣1）值为（） A . 6 B . ﹣6 C . 3 D . ﹣3 10. （2分）若ab＞0，则一次函数y=ax+b与反比例函数在同一坐标系数中的大致图象是
2016年上海市高考数学试卷（理科） 一．选择题（共4小题） 1．（2016?上海）设a∈R，则“a＞1”是“a2＞1”的（） A．充分非必要条件B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断． 【专题】转化思想；定义法；简易逻辑． 【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【解答】解：由a2＞1得a＞1或a＜﹣1， 即“a＞1”是“a2＞1”的充分不必要条件， 故选：A． 【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础． 2．（2016?上海）下列极坐标方程中，对应的曲线为如图所示的是（） A．ρ=6+5cosθB．ρ=6+5sinθC．ρ=6﹣5cosθD．ρ=6﹣5sinθ 【考点】简单曲线的极坐标方程． 【专题】数形结合；转化思想；三角函数的求值；坐标系和参数方程． 【分析】由图形可知：时，ρ取得最大值，即可判断出结论． 【解答】解：由图形可知：时，ρ取得最大值， 只有D满足上述条件． 故选：D． 【点评】本题考查了极坐标方程、数形结合方法、三角函数的单调性，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 3．（2016?上海）已知无穷等比数列{a n}的公比为q，前n项和为S n，且=S，下列 条件中，使得2S n＜S（n∈N*）恒成立的是（） A．a1＞0，0.6＜q＜0.7 B．a1＜0，﹣0.7＜q＜﹣0.6 C．a1＞0，0.7＜q＜0.8 D．a1＜0，﹣0.8＜q＜﹣0.7 【考点】等比数列的前n项和． 【专题】计算题；转化思想；综合法；等差数列与等比数列． 【分析】由已知推导出，由此利用排除法能求出结果．
绝密★启封并使用完毕前 试题类型：A 2016年普通高等学校招生全国统一考试 理科数学 注意事项： 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分.第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至5 页. 2.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置. 3.全部答案在答题卡上完成，答在本试题上无效. 4.考试结束后，将本试题和答题卡一并交回. 第Ⅰ卷 一. 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. （1）设集合2{|430}A x x x =-+<，{|230}B x x =->，则A B =I （A ）3(3,)2--（B ）3(3,)2-（C ）3(1,)2（D ）3(,3)2 （2）设(1i)1i x y +=+，其中x ，y 是实数，则i =x y + （A ）1 （B 2 （C 3 （D ）2 （3）已知等差数列{}n a 前9项的和为27，10=8a ，则100=a （A ）100 （B ）99（C ）98（D ）97 （4）某公司的班车在7:00，8:00，8:30发车，小明在7:50至8:30之间到达发车站乘坐班车，且到达发车站的时刻是随机的，则他等车时间不超过10分钟的概率是 （A ）31 （B ）21 （C ） 32 （D ）4 3 （5）已知方程1322 22=--+n m y n m x 表示双曲线，且该双曲线两焦点间的距离为4，则n 的取值范围是
（A ）(–1,3) （B ）(–1,3) （C ）(0,3) （D ）(0,3) （6）如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是3 28π，则它的表面积是 （A ）17π （B ）18π （C ）20π （D ）28π （7）函数y =2x 2–e |x |在[–2,2]的图像大致为 （A ）（B ） （C ） （D ） （8）若101a b c >><<，，则 （A ）c c a b < （B ）c c ab ba < （C ）log log b a a c b c < （D ）log log a b c c < （9）执行右面的程序图，如果输入的011x y n ===，，，则输出x ，y 的值满足 （A ）2y x =（B ）3y x =（C ）4y x =（D ）5y x = (10)以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A 、B 两点，交C 的准线于D 、E 两点.已知|AB |=2，