空间与图形
一、知识结构
圆
点、线、面
角
相交线与平行线 三角形 四边形 尺规作图 视图与投影 图形的轴对称
图形的平移 图形的旋转 图形的相似
空间与图形
图形的认识
图形与变换
图形与坐标
图形与证明 证明的依据
三、从变换角度看几何证明
2006年大连中考全等三角形部分
3、如图，R t△ABC≌R t△DEF, ∠B=60°则∠E的度数为（）
A.30°
B.45°
C.60°
D.90°
17．如图9，已知∠1 = ∠2，AB = A C．
求证：BD = CD
（要求：写出证明过程中的重要依据）
23．如图13－1、图13－2分别是两个相同正方形、正六边形，其中一个正多边形的顶点在另一个正多边形外接圆圆心O处．
⑴求图13－1中，重叠部分面积与阴影部分面积之比；
⑵求图13－2中，重叠部分面积与阴影部分面积之比(直接出答案)；
⑶根据前面探索和图13－3，你能否将本题推广到一般的正n边形情况，(n为大于2的偶数)？若能，写出推广问题和结论；若不能，请说明理由．
图 13-3
图13-2
图 13-1
′
′
′
′
A
2
1D
B
A
图 9
F
25．如图14－1，P 为Rt △ABC 所在平面内任意一点(不在直线
AC 上)，∠ACB = 90°，M 为A B 边中点． 操作：以P A 、PC 为邻边作平行四边形PA DC ，连续P M 并延长到点E ，
使ME = PM ，连结DE ．
探究：⑴请猜想与线段DE 有关的三个结论；
⑵请你利用图14－2，图14－3选择不同位置的点P
按上述方法操作；
⑶经历⑵之后，如果你认为你写的结论是正确的，请加以证明；
如果你认为你写的结论是错误的，请用图14－2或图14－3加以说明； (注意：错误的结论，只要你用反例给予说明也得分) ⑷若将“Rt △ABC ”改为“任意△ABC ”，其他条件不变，利用图14－4操作，并写出与线 段DE 有关的结论(直接写答案)．
M 图 14-4
图 14-2
图 14-3
26．如图15，点P (－m ，m 2
)抛物线：y = x 2
上一点，将抛物线E 沿x 轴正方向平移2m 个单位得到抛物线F ，抛物线F 的顶点为B ，抛物线F 交抛物线E 于点A ，点C 是x 轴上点B 左侧一动点，点D 是射线AB 上一点，且∠ACD = ∠P OM ．问△ACD 能否为等腰三角形？ 若能，求点C 的坐标；若不能，请说明理由．
说明：⑴如果你反复探索，没有解决问题，请写出探索过程(要求至少写3步)；⑵在你完成⑴之后，可以从①、②中选取一个条件，完成解答(选取①得7分；选取②得10分)．
图 14-1P M E D
C
B A
①m = 1；②m = 2．
附加题：如图16，若将26题“点C 是x 轴上点B 左侧一动点”改为“点C 是直线y =－m 2上点N 左侧一动点”，其他条件不变，探究26题中的问题．
复习策略：
1．课时：4课时 基础复习：1课时 中档题：2课时 相似与位似：1课时 2．知识网络和知识点题型化 比如：（一）知识点回顾：
（1） 全等三角形的性质 （2） （二）知识点题型化
（1）如图（1）F 、C 在线段BE 上且∠DFE=∠ACB ，BC=EF ，使△ABC ≌△DEF,需补充的一个条件是__________。
（2）如图（2）在△AOB 与△COD 中，AC 、BD 交于点O ，AB ∥CD ，OA=OC,则△AOB ≌_______,理由__________。
（3）在横线上填一个适当的条件，使得命题是真命题，如图（3），若∠B=∠C, _____________则△ABD ≌△ACE.
（4）能确定△ABC 与△A ′B ′C ′全等的是（ ） A 、AC=A ′C ′ BC=B ′C ′ ∠B=∠B ′
图 15
图 16
2
B 、AC=A ′
C ′ ∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′ C 、AC=C ′B ′ ∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′
D 、∠A=∠A ′ ∠B=∠B ′ ∠C=∠C ′ (5)如图（4），D 在AB 上，
E 在AC 上且′∠B=∠C 那么补充一个条件后，仍无法判定△ABE ≌△ACD 的是（ ）
A 、AD=AE
B 、∠AEB=∠AD
C C 、BE=C
D D 、AB=AC
A
B
C
A
B
C
A
C
E
3．重视书写规范，应该说这是初中几何逻辑推理表达的最初级最佳训练内容。
4．抓基本图形
（1）
（4）
5．重视实际应用问题、情境问题和现实结合
比如：巧用三角形全等侧距离
1、一位经历过战争的老人讲述了这样一个故事：在一次战役中，我军阵地与敌军碉堡隔河相望，为了炸掉这个碉堡，需要知道碉堡与我军阵地的距离。在不能过河测量又没有任何测量工具的情况下，一个战士想出来这样一个办法：他面向碉堡的方向站好，然后调整帽子，使视线通过帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他转过一个角度，保持刚才的姿态，这时视线落在了自己所在岸的某一点上；接着，他用步测的办法量出自己与那个点的距离，这个距离就是他与碉堡间的距离。
（1）按这个战士的方法，找出教室或操场上与你距离相等的两个点，并通过测量加以验证。（2）你能解释其中的道理吗？
2、如图1，是一个正方形的门窗，在装修房屋时，为了把它设计成美观大方的图案，设计师要求在正方形中设计若干个全等的三角形，使其面积和等于正方形的面积，请你按要求在正方形中画出你的设计图形。
图１图２图３图４
6．重能力提升
近年来，围绕全等三角形的知识，出现了许多能力考查题，主要有： 一. 补充条件型
例 1. 如图1AD A D BC A B C BC B C ，分别是锐角和中、''''''?A ?边上的高，且AB A B AD A D ABC A B C ==?'''''''，，若使??，请你补充条件_________________（只需填写一个你
认为适当的条件）
图1
二. 探索结论
例2. 如图2，AB AD BC CD AC BD ==，，、相交于E ，请写出由这些条件可得的结论（不再添加辅助线，不再标注其他字母，不写推理过程）。
B
图2
三. 构造真命题
例3. 如图3，在△ABC 和△A ′B ′C ′中，∠=∠A A CD C D '''，和分别是AB 边和A B ''边上的中线，再从以下三个条件：（1）AB A B AC A C ==''''；（）2；（3）CD C D =''中任取两个为题设，另一个为结论，则最多可以构成___________个正确的命题。
四. 说明理由
例4. 如图4，D 是等边?ABC 内一点，且BD=AD ，BP=AB ，∠=∠DBP DBC ，问∠BPD 的度数是否一定的，若是，求出它的度数，若不是，说明理由。
7．从变换角度想辅助线引法 如图：正△ABC 操作：
延长BA 到D ，延长BC 到E ，使AD=BE ，连结DC 、DE
探究：△DCE 的形状，并给出证明。
方法一：延长BE 到M 使BM=BD 连结MD ，可证
△BCD
B C
E
B M
图3
图4
方法二：过A 点作AF ∥BC ，且使AF=BE,连结EF 、DF
则可证等边△ADF,平行四边行ABEF ，再证明△ACD ≌△FED.
方法三：延长CA 到F ，使AF=AD ，连结DF ，则可证等边 三角形ADF ，再证△CFD ≌△DBE
方法四：过点E 作EF ∥CA 交BD 于点F,再证△DAC ≌△EFD
方法五：将△DAC 以DA 为对称轴翻折得△DAF ，连接
，则可证△DAF ≌△EFB
B
C
E B
F E
方法六：将△DAC绕点C逆时针旋转60度得△FBC，连接DF，则可证△DBE≌△DBF
8．精心选题：
初中九年级上P106第一题：
1、 如图：AB=DE ，ＡＣ∥ＤＦ，BC ∥EF ，△ABC 与△DEF 全等吗？
拓展1
将△DEF 经过怎样的变换可得到△ABC ？ 拓展2
如图，△ABC 绕C 点旋转30°到△A ′B ′C ′的 位置。
（1） 旋转角度是____，旋转方向_____ . （2） 找出图中与∠BCB ′相等的角_______. （3） 你能确定AB 与A ′B ′的夹角吗？
拓展3
如图：在拓展2问题中的三角形ABC 继续旋转，使B 点落在AB 上成为B ′。 (1) 找出图中相等线段。 (2) ∠B 和哪些角相等？
(3) 与∠BCB ′相等的角有几个？
拓展4
若△ABC 中，∠ACB=90°。操作 ：把△ABC 绕C 点顺时针旋转到△A ′B ′C ′的位置，旋转度数为α（0°<α<90°），A ′B ′交直线CA 于点D 。若 BC=6
，AC=8，在旋转过程中，△A ′CD 能否为等腰三角形？若可能，求出△A ′CD 是等腰三角形时ＣＤ的值。
拓展５ 如图，△ABC 中，∠ACB=90°，AC ＝BC ＝１，△ABC 绕点C 逆时针旋转角∠BCB ′（0°<∠BCB ′<90°）得到△A ′B ′C ，连接BB ′，设CB ′交AB 于点D 。
（１） 当△BB ′D 是等腰三角形时，求∠BCB ′； （２） 当∠BCB ′=60°时，求BD 的长。
拓展6
如图，直角三角形ABC ，AB=AC=5cm, ，∠ABO=α度，B 点坐标（０，４）。 （１）求Ａ、Ｃ两点坐标。
（２）三角板ＡＢＣ绕Ｂ点顺时针旋转２α度成为△A ′B ′C ′，求Ｃ′点坐标。
y
拓展7
如图14，在平面直角坐标系中，两个全等的直角三角形的直角顶点及一条直角边重合，点A 在第二象限内，点B ，点C 在x 轴的负半轴上，304CAO OA == ，∠． （1）求点C 的坐标；
（2）如图15，将A C B △绕点C 按顺时针方向旋转30 到A CB ''△的位置，其中A C '交直线OA 于点E ，A B ''分别交直线OA CA ，于点F G ，，则除A B C AOC ''△≌△外，还有哪几对全等的三角形，请直接写出答案；（不再另外添加辅助线）
（3）在（2）的基础上，将A CB ''△绕点C 按顺时针方向继续旋转，当COE △
时，求直线CE 的函数表达式．
9
1策略：图形认识与强化，设置题目陷阱。
图15
2．在一个三角形中找三角形全等。
3．SSA的错误应使学生思维不朝着这个错误方向发展。
4．错把HL当成边角边定理使用。
5．当引辅助线或识别全等三角形能力不足。
四、数学思想
1、分类讨论思想
（1）已知圆A 和圆Ｂ相切，两圆的圆心距为８cm ，圆Ａ的半径为３cm ，则圆B 的半径是（ ） A ．5cm B.11cm C.3cm D.5cm 或11cm
（2）如图：在矩形ABCD 中，AB=3cm ，BC=4cm ，设P 、Q 分别是ＢＤ、ＢＣ上的动点，在点Ｐ自点Ｄ沿ＤＢ方向做匀速移动的同时，点Q 自点B 沿BC 方向向点C 作匀速移动，移动的速度均为1cm/s ，设P 、Q 移动的时间为t （0＜t ≤4）
①写出△PBQ 的面积S （Ｃ㎡）与时间ｔ（ｓ）之间的函数表达式，当ｔ为何值时，Ｓ有最大值？最大值是多少？
②当ｔ为何值时，△PBQ 为等腰三角形？
③△PBQ 能否为等边三角形？若能，求ｔ的值；若不能，说明理由。 2、数形结合思想
①如图，已知最大正三角形的面积是１，依次连接各边中点得三角形，利用这个图形计算：
B C D Q
②在数学活动中，小丽为了求的值（结果用n表示）。设计如图所示的几何图形。
Ⅰ请你利用这个几何图形求出A的值为_____
Ⅱ请你利用图Ⅱ，再设计一个能求A值的几何图形。
3、转化与化归思想
(1)如图，扇形OAB的半径为10cm，∠AOB＝90°，分别以OA、OB为直径作半圆，两半圆交于点C，则图中阴影部分的面积为_________cm.
B
A
C
O
(2)一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法，如图，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连接CC′，设AB=a，BC=b，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证
明勾股定理:
D C
B n O O O O S
n n
n
4、函数思想
(1)
如图，两块完全重合的正方形纸片，如果上面的一块绕正方形的中心O 作0°-90
°的旋转，那么旋转时露出的△ABC 的面积（Ｓ）随着旋转角度（n ）的变化而变化，下面表示S 与n 的关系的图象大致是
(2)已知△ABC ，∠BAC=90°,AB=AC=4,BD 是AC 边上的中线，分别以AC 、AB 所在直线为X 轴，Y 轴建立直角坐标系（如图）。
①在ＢＤ所在直线上找出一点Ｐ，使四边形ABCP 为平行四边形，
画出这个平行四边形，并简要叙述其过程； ②求直线BD 的函数解析式；
③直线BD 上是否存在点M ，使△AMC 为等腰三角形？若存在， 求点M 的坐标；若不存在，说明理由。
5、方程思想
①如图所示，有一圆弧形门拱的拱高AB 为1cm ，跨度CD 为4cm ，则这个门拱的半径为____cm. D
A b a Ａ
②如图：矩形纸片ABCD在坐标系中，AB=CD= ，AD=1.
Ⅰ将纸片沿DE折叠，使点Ａ落在对角线上Ａ′处，求点E和Ａ′点的坐标。
Ⅱ若将△ BDC沿BD翻折，求点Ｃ的对应点的坐标。
6、统计思想
【05内江】小红和小明在操场做游戏，他们先在地上画了半径分别2ｍ和3ｍ的同心圆（如图），蒙上眼在一定距离外向圈内掷小石子，掷中阴影小红胜，否则小明胜，未掷入圈内不算，你来当裁判。
⑴你认为游戏公平吗？为什么？
⑵游戏结束，小明边走边想，“反过来，能否用频率估计概率的方法，来估算非规则图形的面积呢？”。请你设计方案，解决这一问题。（要求画出图形，说明设计步骤、原理，写出公式）
一、长方体和正方体 正方体 a ——边长 6 面，12棱，8顶点立方体 a ——长 b ——宽 h ——高 立方体展开图 长方体展开图 二、圆柱和圆锥
h ——高 r ——底面积的半径 S ——底面积 圆锥体 h ——高 r ——底面积的半径 S ——底面积 ①②个扇形。③④圆柱体展开图 圆锥体展开图 例题解析 例1、体积相等的一个圆柱和一个圆锥，圆锥高是圆柱高的三分之二，求圆锥和圆柱的底面积的比是多少？ 解：圆柱体积=底面积×高=S 1h 1 ； 圆锥的体积=31×底面积×高=3 1 S 2h 2
由题意得，S 1h 1=31S 2h 2 ； h 2= 3 2 h 1 9 2323131122 1=?=?=h h S S 答：圆锥与圆柱的底面积之比为9:2。 例2、一段长宽高的比是5：4：3的长方体木材，棱长总和是96厘米，把它加工成一个最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少？ 解：棱长总和=4×（长+宽+高）=96，得长+宽+高=24 长=24× 10125=cm ；宽=24×8124=cm ；高=24×612 3=cm （1） 以宽为直径，长方体的高为圆锥的高 圆锥体积=31Sh=3 1 ×3.14×4×4×6=100.48 cm 3 （2）以高为直径，长方体的长为圆锥的高 圆锥体积=31Sh=3 1 ×3.14×3×3×10=94.2 cm 3 （3）以高为直径，长方体的宽为圆锥的高 圆锥体积=31Sh=3 1 ×3.14×3×3×8=75.36 cm 3 答：圆锥的体积为100.48 cm 3 分析圆锥在长方体中的的位置。 例3、把一个半径为10厘米的圆锥形钢材浸没在一只底面半径是30厘米的圆柱形水桶里，当钢材从水桶中拿出，桶里的水面下降了1厘米。这个圆锥形钢材的高是多少? 分析：由题意可知，圆柱水面变化1cm 的体积，等于此圆锥的体积。 解：设这个圆锥形钢材的高为x 3.14×10×10×x=3.14×30×30×1 解得x=9cm 答：圆锥形钢材的高为9cm 。
初中数学《几何空间与图形》知识点 初中数学《几何空间与图形》知识点 A、图形的认识 1、点，线，面 点，线，面：图形是由点，线，面构成的。面与面相交得线，线与线相交得点。点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠：在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。 弧、扇形：由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。圆可以分割成若干个扇形。 2、角 线：线段有两个端点。将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。经过两点有且只有一条直线。 比较长短：两点之间的所有连线中，线段最短。两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。 角的度量与表示：角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。角的比较：角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。
人教版五年级下册数学空间与图形知识点汇总 一、轴对称与旋转 1、图形的变换包括平移、旋转和对称。 2、轴对称图形：一个图形沿某一条直线对折;直线两侧的图形能够完全重合;这个图形就是轴对称图形。这条直线叫做它的对称轴。 3、轴对称图形都有对称轴。有一条对称轴的图形有等腰三角形;等腰梯形、线段、角。有两条对称轴的图形有长方形、菱形。有三条对称轴的图形有正三角形。正方形有4条对称轴。 4、轴对称图形的特征： （1）、对应点到对称轴的距离相等; （2）、对应点连线与对称轴互相垂直。 5、轴对称图形的画法： （1）、找出已知图形的关键点。 （2）、在对称轴的另一侧画出关键点的对应点。 （3）、按顺序连接各对应点。 6、旋转：图形或物体绕着一个点或一条轴运动的现象叫做旋转。图形旋转后只改变位置;不改变形状和大小。 一、长方体和正方体的认识 在3个、4个、5个面是正方形！
练习： （1）判断并改正： 1、长方体的六个面一定是长方形; ( ) 2、正方体的六个面面积一定相等; ( ) 3、一个长方体(非正方体) 最多有四个面面积相等; ( ) 4、相交于一个顶点的三条棱相等的长方体一定是正方体。 ( ) 7、长方体的三条棱分别叫做长、宽、高。 ( ) 8、有两个面是正方形的长方体一定是正方体。( ) 9、有三个面是正方形的长方体一定是正方体。（ ） 11、有两个相对的面是正方形的长方体;另外四个面的面积是相等的。（ ） 12、长方体和正方体最多可以看到3个面。（ ） 14、正方体不仅相对的面的面积相等;而且所有相邻的面的面积也都相等。（ ） 15、长方体（不包括正方体）除了相对的面相等;也可能有两个相邻的面相等。 （ ） 16、一个长方体中最少有4条棱长度相等;最多有8条棱长度相等。（ ） （2）填空： 1、一个长方体最多有（ ）个面是正方形;最多有（ ）条棱长度相等。 2、一个长方体的底面是一个正方形;则它的4个侧面是 （ ）形。 3、 正方体不仅相对的面相等;而且所有相邻的面（ ）;它的六 个面都是相等的（ ）形。 4、 把长方体放在桌面上;最多可以看到（ ）个面。最少可以看 到（ ）个面。 【知识点2】 棱长和公式：长方体棱长和=（长+宽+高）×4 长+宽+高=棱长和÷4 长方体棱长和= 下面周长×2+高×4 长方体棱长和=右面周长×2+长×4 长方体棱长和=前面周长×2+宽×4 正方体棱长和=棱长×12 棱长=棱长和÷12 棱长和的变形： 例如：有一个礼盒需要用彩带捆扎;捆扎效果如图;打结部分需要10厘米彩带;一共需要多长的彩带？ 分析：本题虽然并未直接提出求棱长和;但由 于彩带的捆扎是和棱相互平行的; 因此;在解决问题时首先确定每部分彩带 与那条棱平行;从而间接去求棱长和。 前面和后面的彩带长度=高的长度;左面和右 面的彩带长度=高的长度; 上面和下面的彩带长度=长的长度。 需要彩带的长度=高×4+长×2+宽×2+打结部分长度 20×4+30×2+10=150cm
空间与图形试题精选 来源：《小学数学》新课程理念复习与评价专号（2008年第2期） 一、填空题。 1. 从直线外一点到这条直线可以画无数条线段，其中最短的是和这条直线（ ）的线 段。 2. 下图中，∠1=（ ）度，∠2=（ ）度。 1 30 2 3. 一个三角形中，最小的角是46°，按角分类，这个三角形是（ ）三角形。 4. 下图是三个半径相等的圆组成的图形，它有（ ）条对称轴。 5. 用百分数表示以下阴影部分是整个图形面积的百分之几。 6. 把一个底面直径2分米的圆柱体截去一个高1分米的圆柱体，原来的圆柱体表面积减 少（ ）平方分米。 7. “”和 “”的周长之比是（ ），面积之比是（ ）。
8. 左图是由棱长1厘米的小正方体木块搭成的，这个几何体的表面积是（）平方厘米。至少还需要（）块这样的小正方体才能搭成一个大正方体。 9. 画一个周长25.12厘米的圆，圆规两脚间的距离是（）厘米，画成的圆的面积是（）。 10. 下面的小方格边长为1厘米，估一估图①中“福娃”的面积，算一算图②中阴影部分的面积。 11. 一个梯形，上底长a厘米，下底长b厘米，高h厘米。它的面积是（）平方厘米。如果a=b，那么这个图形就是一个（）形。 12. 在一块边长是20厘米的正方形木板上锯下一个最大的圆，这个圆的面积是（）平方厘米，剩下的边料是（）平方厘米。 13. 将一个大正方体切成大小相同的8个小正方体，每个小正方体的表面积是18平方厘米，原正方体的表面积是（）平方厘米。 14. 5个棱长为30厘米的正方体木箱堆放在墙角（如下图），露在外面的表面积是（）平方厘米。
空间与图形 第2课时 复习内容 教科书第12册第97-98页“整理与反思”和“练习与实践”7-10题。 知识要点 1 2．画平面图形的高。 3．三角形的内角和。 求三角形中未知的一个角或几个角的度数，涉及到综合运用直角三角形的特征，等腰三角形的特征以及有关比的知识。 4．把多边形分成几个简单的图形。 教学目标 1．通过复习，加深对长方形、正方形、平行四边形、梯形、三角形和圆等平面图形基本特征的认识，进一步理解这些平面图形之间的关系，完善认知结构。 2．通过复习，进一步体会平面图形与现实生活的密切联系，积累学习有关平面图形知识的经验和方法，发展简单的推理能力，增强空间观念。 3．通过复习，进一步感受空间与图形领域学习内容的趣味性和挑战性，产生继续探索学习的积极心向，增强学好数学的信心。 教学建议 复习平面图形的特征时，一、要抓住从直观图形到抽象知识的概括，由具体的某个图形再进行归类，找出共同特征。二、可引导学生思考以下几方面的问题：等边三角形与等腰三角形具有怎样的关系？它们与三角形具有怎样的关系？平行四边形、梯形和四边形具有怎样的关系？正方形、长方形与平行四边形具有怎样的关系？圆的圆心、半径、直径的含义分别是什么？分别用什么字母表示。三、解决“练习与实践”的7、8、9题时，要注重学生方法的指导，画法要规范，画三角形时要考虑全面，求角的度数时的方法是否最优。
知识链接 1．长方形和正方形（教科书三上P58 例题） 2．平行四边形、梯形（教科书四下P43．47例题） 3．三角形（教科书四下P23例2，P24例3，P28的例题） 4．圆（教科书五下P93-94的例题） 教学过程 一、回顾并整理“围成的平面图形” 1．提出要求：请大家回忆，我们学过哪些围成的平面图形？先画出相关的图形，再在小组里交流一下。 2．进一步要求；如果把这些平面图形分成两类，可以怎样分？ 引导学生认识到：由线段围成的平面图形分为一类，由曲线或由曲线和线段共同围成平面图形分为一类。 3．追问：由线段围成的平面图形都可称为什么图形？如果把多边形进一步分类，可以怎样分？ 4．让学生在画出的三角形、平行四边形和梯形上作高，在画出的圆中用字母标出圆心、半径和直径。 二、回顾并整理三角形的特征、分类，以及有关特殊三角形之间的关系 1．提出要求：关于三角形的知识，你能想到哪些？小组先交流再全班交流。 2．出示三角形的分类图。（图1） （图1）（图2） 说说你是怎样理解这个图形的？什么样的三角形是锐角三角形．直角三角形和钝角三角形？ 追问：能不能找到一个三角形，既不是锐角三角形，又不是直角三角形和钝角三角形？ 讨论：在一个三角形中，最多有几个直角，最多有几个钝角？为什么？ 3．出示三角形的集合图。（图2） 提问：你是怎样理解上面这个图形的？什么样的三角形是等腰三角形？什么样的三角形是等边三角形？ 判断下面说法是否正确： （1）等边三角形一定是等腰三角形。（） （2）等腰三角形一定是等边三角形？两边之和大于第三边。 你能用学过的其他知识来解释上面的结论吗？ 4．完成“练习与实践”第8、9题。 第8题让学生先独立选一选，再要求说说选择时是怎样想的。 第9题先让学生独立算一算、填一填，再指名说说计算时的思考过程。 三、回顾并整理四边形的特征，以及相关四边形之间的关系 1．提出要求：我们学过的四边形有哪些？你能试着画一个示意图来表示这些四边形之间的关系吗？ 2．学生尝试画图并进行交流。
小学六年级空间与图形专 项练习 It was last revised on January 2, 2021
专项突破（二） ——空间与图形 一、填空题。（29分） 1．线段有（）个端点，射线有（）个端点，直线有（）个端点。 2．在同一平面内不相交的两条直线叫（）。 3．三角形按角可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形，按边可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。 4．把一个长30厘米，宽20厘米的长方形，改为面积不变，而长是40厘米的长方形，那么改后的长方形的宽是（）厘米。 5．每瓶酒精50毫升，装20瓶，需要酒精（）升；如果有立方米酒精，一共可以装（）瓶。 6如果一个正方形的周长与圆的直径相等，那么这个圆的面积是正方形面积的 （）倍。 7．一个圆柱表面积是50平方厘米，底面积是20平方厘米，把两个这样的圆柱拼成一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是（）平方厘米。 8．一个圆锥的底面直径是2分米，高是3分米，它的底面积是（）平方分米，体积是（）立方分米与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是（）立方分米，侧面积是（）平方分米。 9一块环形铁片，内圆半径是4厘米，外圆半径是10厘米，这块铁片的面积是（）平方分米。 10. 7厘左图中长方体的长是（）厘米，宽是（）厘米，高是（）厘米。它的棱长之和是（）厘米，上下两个面积都是（）平方厘米，左右两面的面积都是（）平方厘米，前
二、判断题。（对的打“√”错的打“x”）（10分） 1.小红画了一条长5厘米的射线。（） 2.把一个角的两边分别延长到原来的2倍，这个角的度数也中样扩大2倍。 （） 3.圆柱的面积是圆锥的面积的3倍。（） 4.长方形和正方形都是平行四边形。（） 5.圆锥的高和它的底面直径垂直。（） 6.任意三条线段都可以组成一个三角形。（） 7.圆心角是180°扇形正好是一个半圆。（） 8.一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等。（） 9把一个圆柱木头削成一个圆锥，削去部分的体积与圆锥体积的比是2 ：1。 （） 10.所有梯形都不是轴对称图形。（） 三、选择题。（把正确答案的序号填在括号内）（20分） 1.可以拼成一个平行四边形的是两个（）三角形。 A.直角 B.面积相等 C.完全一样 D.形状一样 2.下列图形中有四条对称轴的图形的是（） A.长方形 B.正方形 C.等腰梯形 D.圆 3.在三角形中，∠1、∠2和∠3是三角形的三个内角，如果∠1－∠2＝∠3，那么 这个三角形一定是（）。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 a
六年级数学上册教案：空间与图形 【教学内容】 空间与图形（教材第112页及练习二十三第14~16题）. 【教学目标】 1.进一步学习使用方向和距离确定物体的位置. 2.理解和掌握圆的有关概念，圆的周长和面积的计算公式，并能正确地计算圆的周长与面积. 3.经历空间与图形知识的整理运用过程，体验应用知识，归纳概括的方法. 【重点难点】 1.掌握物体的位置表示方法，圆的特征、特性. 2.掌握圆的周长和面积的计算. 【复习知识】 一、复习物体的位置 确定物体位置的两种方法： （1）按方向、距离确定；（2）用数对确定. 二、复习圆的知识 （出示一个圆）师:我们已经学习了有关圆的知识，你知道哪些呢？ 组织学生在小组中交流、讨论，相互说一说，教师根据学生的汇报板书： 1.圆的认识 圆心：用字母O表示，确定圆的位置. 半径：用字母r表示，从圆心到圆上任意一点的线段叫半径.决定圆的大小. 直径：用字母d表示，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做直径. 半径与直径的关系：在同一个圆里，所有半径都相等，所有直径都相等. 直径等于半径的2倍，即d=2r或r=12d. 2.圆的周长 圆周率：圆的周长与直径的比值叫圆周率.用字母π表示，是一个无限不循环小数. 圆的周长的计算公式.C=πd或C=2πr.
3.圆的面积 知道近似长方形的长求圆的面积. 4.环形的面积 环形的面积=大圆面积-小圆面积 5.扇形的认识 【课堂作业】 1.完成教材第113页第4题. （1）分析：求公园围墙的长度就是求圆形围墙的周长. C=2πr=2×3.14×1=6.28（km) （2）正北，2km （3）3.14×1×1-3.14×0.2×0.2=3.0144（km2) （4）答案不唯一，合理即可. 2.完成练习二十三第14~16题. 第14题.（1）略. （2）小猴住在小熊的东偏南50°，距离是400m； 小象先向西偏南40°走300m到小猴家，再往东走400m到小鹿家. 小鹿先向西走400m经过小猴家，然后向北偏西40°走500m到小熊家. （3）略. 第15题.（1）1∶2 （2）π∶1 （3）2∶3 2∶34∶9 第16题. （1）图一：C=πd=3.14×1.8=5.652（m）
谈小学数学“空间与图形”的教学 五龙街道中心完全小学范传超 “空间与图形”是《数学课程标准》中四大学习领域之一，学好空间与图形知识，对发展小学生的智慧与能力有着非常重要的意义。下面就空间与图形的教学谈谈自己的看法。 1．通过亲身体验，理解概念内涵。 在教学中，我们要创设具有启发性的情景，提供给学生感知、体验的机会，让学生真正理解概念的内涵。一位教师教学面积概念时是这样处理的。 得出概念之后，教师呈现上面两个图，提问：“谁的面积大？”成人看似很简单的问题，学生却争论很大，有人说1号大，有人说2号大，也有人说相等。教师请学生各自讲道理，然后组织辩论。在辩论中，学生逐渐明白，比面积大小而不是边的长短。教师继续深入，请学生用笔涂出面积，再去体会这层含义。此后教师还不罢手，再让学生描出周长，进一步体验其与周长的不同。 这样的处理方法，教师没有花过多的时间去讲述面积定义，没有让学生死记硬背面积概念，却使学生对面积的含义以及面积和周长的区别形成了清晰的认知。这个例子带给我们的启示就是想让学生牢固把握几何概念的内涵，应当重感知、重体验、重理解。 2．加强实践操作，发展空间观念。 心理学研究表明：视觉、触觉、听觉等多种感官共同参与几何材料的操作，有利于空间观念的形成和巩固。教学中让学生通过各种实践活动，逐步建立图形的表象，对于建立空间观念尤为重要。 如“找对称轴”，为了帮助学生准确找出对称轴，让学生把题中的图形画出来，并剪下来，折一折，看看是否为轴对称图形。注意指导学生从不同方向折一折，看各有几条对称轴。为了让学生进一步熟练找对称轴，多出一些类似的练习题。逐步过渡到不用动手操作，凭空间想象来找轴对称图形的对称轴。利用画图帮助解题应该是学生要形成的一个良好学习习惯，我们要在平时的学习当中不断向学生渗透这种理念，逐步培养。例如在一个长方体里剪出一个最大的圆，（或
小学数学空间与图形专题卷（二） 一、单选题（共15题；共30分） 1.等腰三角形一个底角的度数是45°，这是一个（）三角形． A. 锐角 B. 钝角 C. 直角 D. 等边 2.如果大圆周长是小圆周长的4倍，那么小圆面积是大圆面积的( )。 A. 16倍 B. C. 8倍 D. 3.c=12.56分米，圆的面积是（） A. 3.14平方分米 B. 4平方分米 C. 6.28平方分米 D. 12.56平方分米 4.下面四句话，错误的一句是（） A. 0 既不是正数，也不是负数 B. 1 既不是素数也不是合数 C. 假分数的倒数不一定是真分数 D. 角的两边越长，角就越大 5.求做一个圆柱形铁皮油桶要用多少铁皮，需要计算这个圆柱的（） A. 体积 B. 表面积 C. 侧面积 6.一个三角形的面积是40m2，一条底边是10m，这条底边上的高是（）m。 A. 4 B. 8 C. 200 D. 400 7.两个（）梯形可以拼成一个长方形。 A. 等底等高 B. 完全一样 C. 完全一样的直角 8.王鹏坐在教室的第4列第4排，用数对（4，4）表示，下面数对（）所表示的位置离王鹏最近。 A. （3，2） B. （4，5） C. （5，6） 9.一个正方体每个面的面积是9cm2，它的棱长是 cm．（） A. 9 B. 54 C. 3 10.袋中装有2个红球，3个蓝球，4个黄球，任意摸出1个球，摸出（）球的可能性最小。 A. 红 B. 蓝 C. 黄 11.一个三角形铁板，底为30厘米，高为20厘米，把它正、反面都涂上油漆，涂漆的面积是（） A. 600平方厘米 B. 300平方厘米 C. 1200平方厘米 12. （1）圆柱的高有（）条， A. 1条 B. 4条 C. 无数条
小学六年级空间与图形 专项练习 TTA standardization office【TTA 5AB- TTAK 08- TTA 2C】
专项突破（二） ——空间与图形 一、填空题。（29分） 1．线段有（）个端点，射线有（）个端点，直线有（）个端点。 2．在同一平面内不相交的两条直线叫（）。 3．三角形按角可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形，按边可分为（）三角形、（）三角形、（）三角形。 4．把一个长30厘米，宽20厘米的长方形，改为面积不变，而长是40厘米的长方形，那么改后的长方形的宽是（）厘米。 5．每瓶酒精50毫升，装20瓶，需要酒精（）升；如果有立方米酒精，一共可以装（）瓶。 6如果一个正方形的周长与圆的直径相等，那么这个圆的面积是正方形面积的 （）倍。 7．一个圆柱表面积是50平方厘米，底面积是20平方厘米，把两个这样的圆柱拼成一个大圆柱，这个大圆柱的表面积是（）平方厘米。 8．一个圆锥的底面直径是2分米，高是3分米，它的底面积是（）平方分米，体积是（）立方分米与这个圆锥等底等高的圆柱的体积是（）立方分米，侧面积是（）平方分米。 9一块环形铁片，内圆半径是4厘米，外圆半径是10厘米，这块铁片的面积是（）平方分米。 10. 左图中长方体的长是（）厘米，宽是（）厘米，高是
二、判断题。（对的打“√”错的打“x”）（10分） 1.小红画了一条长5厘米的射线。（） 2.把一个角的两边分别延长到原来的2倍，这个角的度数也中样扩大2倍。 （） 3.圆柱的面积是圆锥的面积的3倍。（） 4.长方形和正方形都是平行四边形。（） 5.圆锥的高和它的底面直径垂直。（） 6.任意三条线段都可以组成一个三角形。（） 7.圆心角是180°扇形正好是一个半圆。（） 8.一个正方体的棱长是6厘米，它的表面积和体积相等。（） 9把一个圆柱木头削成一个圆锥，削去部分的体积与圆锥体积的比是2 ：1。 （） 10.所有梯形都不是轴对称图形。（） 三、选择题。（把正确答案的序号填在括号内）（20分） 1.可以拼成一个平行四边形的是两个（）三角形。 A.直角 B.面积相等 C.完全一样 D.形状一样 2.下列图形中有四条对称轴的图形的是（） A.长方形 B.正方形 C.等腰梯形 D.圆 3.在三角形中，∠1、∠2和∠3是三角形的三个内角，如果∠1－∠2＝∠3，那么 这个三角形一定是（）。 A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等边三角形 a
小学六年级数学空间与图形练习题 一、填空题。 1，下左图中，∠1=（）°，∠2=（）°。 2，观察上右图，在括号内填字母，使等式成立。 3，用圆规画图，当圆规两脚之间的距离为（）厘米时可以画出直径为2厘米的圆，这个圆的面积是（）平方厘米。 4，一张正方形纸的边长为a，从这张纸上剪下一个边长为b（a＞b）的小正方形，用字母表示剩余部分的面积是（）。 5，一个平行四边形的底是5分米，面积是120平方分米，高是（）分米，与它等底等高的三角形面积是（）平方分米。 6，如下图（单位：厘米），三角形的面积是（）平方厘米，平行四边形与梯形的面积的最简整数比是（）。 7，把下边的长方形以15厘米长的边为轴旋转一周，会得到一个（），它的表面积是（）平方厘米，体积是（）立方厘米。 8，求一个圆柱形铁桶的占地面积是求它的（），求做这个铁桶需要多少铁皮，是求它的（）。 9，用两个相同的正方体木块拼成一个长方体，长方体的表面积比两个正方体的表面积的和少16平方厘米，一个正方体的表面积是（）平方厘米。 10，下面形体是由棱长为1厘米的小正方体搭拼成的，它的表面积是（）平方厘米；至少还需要（）个这样的小正方体，才能搭拼成一个正方体。 11，如下图所示，用棱长分别是1米、2米的两个正方体组成一个物体，那么这个物体的表面积是（）平方米。 12，用边长为1分米的小正方体，拼成一个较大的正方体，至少需要（）个这样的小正方体，把这些小正方体排成一行，它的长度是（）分米。 13，把24分米长的铁丝折成一个最大的正方形，它的面积是（）平方分米，如果把这根铁丝折成一个最大的正方体，它的体积是（）立方分米。 14，一种圆柱形铁皮油桶的底面直径是40厘米，高是50厘米，这个油桶的容积是（）毫升。 15，一个圆柱体和一个圆锥体的体积相等，它们底面积的比是3：5，圆柱的高是8厘米，圆锥的高是（）厘米。 二、判断题。 1，两条不相交的直线叫做平行线。（） 2，经过平面上的一点可以画无数条直线，经过平面上的两点只能画一条直线。（）3，因为三角形不易变形，所以房子的梁架做成三角形形状。（） 4，三角形中最大的角不小于60度。（）
初中数学空间与图形知识总结 图形的认识 点，线，面 点，线，面：①图形是由点，线，面构成的。②面与面相交得线，线与线相交得点。③点动成线，线动成面，面动成体。 展开与折叠：①在棱柱中，任何相邻的两个面的交线叫做棱，侧棱是相邻两个侧面的交线，棱柱的所有侧棱长相等，棱柱的上下底面的形状相同，侧面的形状都是长方体。②N棱柱就是底面图形有N条边的棱柱。 截一个几何体：用一个平面去截一个图形，截出的面叫做截面。 视图：主视图，左视图，俯视图。 多边形：他们是由一些不在同一条直线上的线段依次首尾相连组成的封闭图形。弧、扇形：①由一条弧和经过这条弧的端点的两条半径所组成的图形叫扇形。②圆可以分割成若干个扇形。 角 线：①线段有两个端点。②将线段向一个方向无限延长就形成了射线。射线只有一个端点。 ③将线段的两端无限延长就形成了直线。直线没有端点。④经过两点有且只有一条直线。 比较长短：①两点之间的所有连线中，线段最短。②两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离。角的度量与表示：①角由两条具有公共端点的射线组成，两条射线的公共端点是这个角的顶点。②一度的1/60是一分，一分的1/60是一秒。 角的比较：①角也可以看成是由一条射线绕着他的端点旋转而成的。②一条射线绕着他的端点旋转，当终边和始边成一条直线时，所成的角叫做平角。始边继续旋转，当他又和始边重合时，所成的角叫做周角。③从一个角的顶点引出的一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。 平行：①同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。②经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。③如果两条直线都与第3条直线平行，那么这两条直线互相平行。 垂直：①如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。②互相垂直的两条直线的交点叫做垂足。③平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。 垂直平分线：垂直和平分一条线段的直线叫垂直平分线。 垂直平分线垂直平分的一定是线段，不能是射线或直线，这根据射线和直线可以无限延长有
六年级数学总复习空间与图形 一、线与角 (一)线 1、特征 端点长度相关知识延伸 线段有两个端点两个端点间得距离就 就是线段得长度。 不可以延伸 射线只有一个端点无法测量角:由一点出发得两条射线所组成 得图形叫角。 向一端无限延伸 直线没有端点无法测量垂直:由直线外一点到直线得垂直 线段最短。向两端无限延伸平行线:平行线间得距离处处相等。 过一点可以画出无数条射线。过一点可以画出无数直线。过两点可以画出一条直线。 (二)角 1、定义:由一点出发得两条射线所组成得图形 2、分类: 锐角小于90°平角等于180° 直角等于90°周角等于360° 钝角大于90°小于180° 二、平面图形 (一)三角形与四边形 1、三角形 定义由不在同一条直线上得三条线段着尾顺次相接围成得图形叫三角形。 分类按角分 锐角三角形三个角都就是锐角三个角都小于90° 直角三角形有一个角就是直角有一个角等于90° 钝角三角形有一个角就是钝角有一个角大于90°按边分 等腰三角形两条边相等 等边三角形三条边全相等每个内角都就是60° 不等边三角形三条边都不相等 图形及字母意义面积公式特征 三角形 S=ah÷2 面积=底 高÷2 ①两边之与大于第三条边。 ②两边之差小于第三条边。 ③三个角得内角与就是 180°。
a——底h——高④有三条边与三个角,具有稳定性。 2、四边形 定义由不在同一直线上得四条线段首尾顺次相接围成得封闭图形叫四边形 分类平行四 边形 平行四边形两组对边分别平行且相等 长方形两对边分别相等四个角都就是直角 正方形四条边都相等四个角都就是直角梯形 等腰梯形只有一组对边平行,两条腰相等得梯形。 直角梯形一条腰与底垂直得梯形叫做直角梯形。有两个角就是直角图形及字母意义面积公式特征 正方 形 a——边长 S=a2 面积=边长 边长 ①四条边都相等 ②四个角都就是直角 ③有四条对称轴 长方 形 a——长 b——宽 S=ab 面积=长 宽 ①对边相等 ②四个角都就是直角 ③有二条对称轴 平行 四边 形 a——底 h——高 S=ah 面积=底 高 ①两组对边平行且相等。 ②对角相等,相邻得两个角 之与为180° ③平行四边形容易变形。 梯形梯形 a——上底 b——下底 h——高 S=(a+b) h÷2 面积=(上底+下底) 高÷2 ①只有一组对边平行。 ②中位线等于上下底与得 一半。
图形的变换 1．下面是一些交通标志，每一组中的两个图案是通过什么变换得到的？ 2．下列平面图形中轴对称图形的有（ ） A ：1个 B ：2个 C ：3个 D ：4个 3．下列图形中对称轴最多的是（ ） A ：角 B ：等边三角形 C ：线段 D ：正方形 4．把9个棱长是1厘米的小正方体拼摆在一起（如图）。如果从正面 和后面看，所看到的图形面积之和是（ ）平方厘米。 5．一个长方形下底面周长是28cm ，高是4cm 。这个长方体的棱长总 和是多少？ 6．一个长方体的食品盒，长、宽、高分别是40厘米、20 厘米和15 厘米。售货员用红色的塑料绳，如下图那样捆扎，（接头处用了30 捆扎这个食品盒一共用塑料绳多少厘米？ 7．有几种规格的长方形、正方形铁皮。从中选择6张铁皮，焊接成一个长方体或正方体油箱，你有几种选择方法？ 8 ④ ① ② ③ 6dm 4dm
9．一个长方体木块表面积60平方厘米，正好把它锯成两个相等的正方体，每个正方体的表面积是多少平方厘米？ 10．将一个长12厘米，宽9厘米，高5厘米的长方体，切成两个长方体，两个长方体的表面积之和比原长方体有可能增加多少平方厘米？ 11．将一个长5厘米，宽3厘米，高4厘米的长方体表面涂满红色，然后分割成棱长1厘米的小正方体，其中三面、两面、一面涂上红色的小正方体各多少个？没有涂上红色的小正方体有多少个？ 12．表面涂成黄色的长方体被分割成若干个体积为1cm 3的小正方体，其中六个面都没有涂色的小正方体有3个，求原长方体的体积是多少？ 13．一个棱长为2cm 的正方体，在它的一个角上挖掉一个棱长为1cm 的小正方体，它的表面积与原来相比 （ ）。 14．用8块棱长1厘米的立方体小木块拼成长方体（含立方体），其中表面积最小的是哪种？最小表面积是多少？ 15．一根方钢长2m ，横截面是边长3cm 的正方形。已知1cm3的刚重7.8克，这段方钢重多少千克？ 16．一个长方体货仓，长50米，宽30米，高5米，这个货仓最多可以容纳棱长3米的正方体集装箱多少个？ 17．将一个长方体的长减少5cm ，变为一个正方体，正方体表面积比原长方体表面积减少60cm 2。原长方体的体积是多少？
空间与图形 （一）图形的认识、测量 平面图形【认识周长、面积】 1、用直尺把两点连接起来，就得到一条线段，把线段的一端无限延长，就可以得到一条射线，把线段的两端无限延长，就可以得到一条直线。线段、射线都是直线上的一部分，线段有两个端点，长度是有限的；射线只有一个端点，直线没有端点。射线和直线都是无限延长的。 2、从一点引出两条射线，就组成了一个叫角，角的大小与两边叉开的大小有关，与边的长短无关，角的大小的计量单位是“°”。 3、角的分类：小于90°的角是锐角；等于90°的角是直角；大于90°小于180°的角是钝角；等于180°的角是平角；等于360°的角是周角。 4、相交成直角的两条直线相互垂直；在同一平面不相交的两条直线相互平行。 5、三角形是由三条线段围成的图形，围成三角形的每条线段叫做三角形的边，每两条边线段的交点叫做三角形的顶点。 6、三角形按角分，可以分为：锐角三角形，直角三角形。钝角三角形。按边分，可以分为：等边三角形、等腰三角形和任意三角形。 7、三角形的内角和等于180°。 8、在一个三角形中，任意两边之和大于第三边。 9、在一个三角形中，最多只有一个直角或最多只有一个钝角。 10、四边形是由四条边围成的图形，常见的特殊四边形有：平行四边形、长方形、正方形、梯形。 11、圆是一种曲线图形，圆上的任意一点到圆心的距离都是相等的，这个距离就是圆的半径的长，通过圆心并且两端都在圆上的线段叫做圆的直径。 12、有一些图形，把它沿着一条直线对折，直线两侧的图形能够完全重合，这样的图形就是轴对称图形。这条直线就叫做对称轴。 13、围成一个图形的所有边长的总和就是这个图形的周长。 14、物体的表面或者围成的平面图形的大小，叫做它们的面积。 15、平面图形的面积计算公式推导 【1】平行四边形面积公式的推导过程：
小学数学空间与图形复习资料（二） A、图形的认识 (一)线与角 一、线 1、直线：直线没有端点；长度无限，无法比较长短；过一点可以画无数条直线，过两点只能画一条直线。 2、射线：射线只有一个端点；长度无限，无法比较长短。 3、线段：线段有两个端点，它是直线的一部分；长度有限；两点的连线中线段最短。 4、平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。两条平行线间的垂线段长度都相等。 5、垂线：两条直线相交成直角时，这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，相交的点叫做垂足。 点到直线的距离：从直线外一点到这条直线所画的垂线段的长度叫做这点到直线的距离。 二、角 1、角的定义：从一点引出两条射线，所组成的图形叫做角。这个点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。 2、角的特点：角的大小与角两边的长短无关，与角两边叉开的大小有关。 3、角的分类： 锐角：小于900的角叫做锐角；直角：等于900的角叫做直角；钝角：大于900而小于1800的角叫做钝角。平角：角的两边成一条直线，这时所组成的角叫做平角，平角1800。周角：角的一边旋转一周，与另一边重合，周角是3600。注意：平角不能理解为一条直线，周角不能理解为一条射线。 4、角的度量：量角器中心点与顶点重合，角的一边与量角器的零刻度线重合。即点与点重合，边与边重合的量角方法。看量角器的度数，就需要看刻度线在哪边了。 （二）平面图形 一、长方形特征：对边相等，4个角都是直角的四边形；有2条对称轴。 二、正方形特征：4条边都相等，4个角都是直角的四边形；有4条对称轴。 三、三角形 1、特征：由三条线段围成的图形；三角形两边之和大于第三条边；三角形内角和是180度；三角形具有稳定性；三角形有三条高。 2、分类： （1）按角分锐角三角形：三个角都是锐角。直角三角形：有一个角是直角；等腰直角三角形的两个锐角都为45度，它有1条对称轴。钝角三角形：有一个角是钝角。（2）按边分任意三角形：三条边长度不相等。等腰三角形：有两条边长度相等；两个底角相等；有1条对称轴。等边三角形：三条边长度都相等；三个内角都是60度；有3条对称轴。 四、平行四边形特征：两组对边分别平行，相对的边平行且相等； 五、梯形特征：只有一组对边平行的四边形；等腰梯形有1条对称轴。
浅谈小学数学空间与图形教学现在新课程强调要着眼于学生空间观念的培养和生成，大量增加了几何教学的内容。面对这一领域的变化，如何更科学地实施教学，真正达到新课标所提出的要求，我们始终以学习与思考拓展认识视野，以把握和理解新教材为依托，以案例研究为抓手，取得了一些进展。 一、拓展了认识视野。 只有在观念和思想上对要把握的项目有更深入的认识，才能使行动更科学和自觉，也才能居高临下地去辨别实践中的得失、正误。 学生在初中学习数轴、平面几何，高中学习立体几何、解析几何等数学内容，非常重要的基础在小学。这些高一级知识，不仅要求学生有一种基础性的几何知识，更是要有清晰的空间观念。例如平面几何中的添辅助线，非常重要的要有一种对图形的切拼构造能力和图形的对称、旋转和平移的几何变换能力。学生要学习和掌握这些复杂的几何知识，需要丰富的空间观念。这种能力一方面当然主要是在学习这些知识的过程中生成的，但另一方面也要依赖于学生在小学幼儿园阶段的空间与几何的经验、感觉的积累，如果在少儿阶段不积累这些空间感觉和经验，到后来这种感觉就失去了，到要用这种感觉时就困难了。就像施那普拉在离任中国足球队主教练时对中国足球发展的建言中提到的那样：中国足球队员缺少踢球感觉，这些感觉本应在少儿时期于街道、弄堂里就要完成的，而现在要到专业训练时再来寻找，这就困难了。没有这种类似于直觉的引领，球队水平就很难提高，也
就是没有练好“童子功”。其实所有的学习都是如此，空间与图形也不例外。 二、推动了学习思考。 我们对空间与图形的教学的理解，不象对问题解决教学的理解那么系统。促使我们比较多地自觉或不自觉地进行着比较，并且在比较过程中去辨析、实践与反思，由此逐步形成了一些共识。 1．空间观念是各方面整体协调的结果。 空间观念是对现实中的物体和几何体的形状、大小、位置关系及其变换的整体把握。从现实中的物体和几何体出发，就会涉及把现实空间中的经验迁移到几何空间中，以此把握几何空间，再用在几何空间中抽象而成的特征、性质来解释现实空间、解决现实空间中的问题，在这样抽象、还原的过程中空间观念才能建立。从几何体与平面图形之间的关系出发，就会涉及到平面从几何体上剥离下来的；如何剥离，就又涉及到视图，从各个不同的方向观察。从方向与位置出发，就会涉及到距离和角度，涉及到前后左右上下、东南西北以及关于垂直与水平方向组成的座标；会涉及到有关变换，平移、旋转与对称，以及这些变换过程中的变化部分与不变部分等等，由此就形成了一条知识链。只有以上这些都能够协调起来，而且各方面之间有一种内在的逻辑联系，由此组合成一个整体，空间观念才能真正得以确立。 2．儿童空间观念的形成有其特定的认知特点。 我国的心理学家刘范、张增杰等通过研究得出一些有启示性的结论。其中对儿童几何发展的路径作出了分析，“儿童是先认识一个笼
空间与图形《图形与变换》教学设计2 【教学目标】 1、使学生进一步掌握对称、平移、旋转、放大与缩小等图形变换的特征；学会运用对称、平移、旋转、放大与缩小的特征进行图形的变换。 2、在丰富的现实情境中，经历观察、操作、欣赏、分析、想象、创作等数学活动过程，进一步发展学生的空间观念。 3、通过欣赏图形变换所创造出的美，进一步感受对称、平移、旋转、放大与缩小在现实生活中的广泛应用，体会数学的文化价值，感受数学的美。 【教学重点】 进一步掌握对称、平移、旋转、放大与缩小的特征。 【教学难点】 综合运用对称、平移、旋转、放大与缩小的特征进行图形的变换，进一步发展学生空间观念。 【教学过程】 一、谈话引入。 1、上节课我们一起整理复习了图形的认识与测量，这节课继续整理和复习图形与变换的知识。（揭示课题） 2、回顾图形变换的有关知识：我们小学阶段学习了那些图形变换的内容（轴对称图形、平移、旋转、缩放）
3、课件演示：（电梯、升国旗、电扇、滑雪、小船行驶、转动方向盘等）下面请大家认真观察，它们各用了哪些图形的变换方法 学生观察、讨论、汇报。 教师指出：图形的变换可以用轴对称图形、平移、旋转、缩放等到方法。 师：下面我们就来复习这些知识。 设计意图：通过谈话的形式，从学生熟悉的生活情境及一些简单的图形变换中，唤起学生对已学知识的回忆，从而导入复习课题。 二、整理、复习知识。 （一）复习轴对称图形 1、怎样的图形是轴对称图形生活中有哪些轴对称图形 学生讨论、汇报。 教师引导学生得出：一个图形沿着一条直线对折后，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，这条直线就是这个对称图形的对称轴 2、做课本103页第一题。 3、在学过的图形中，哪些图形是轴对称图形、它们分别有几条对称轴。能画出它们的对称轴吗 设计意图：先让学生回忆轴对称图形的有关知识，再通过联系生活实际，加深学生对这一知识的感知，最后通过让学生动手画对称轴，促进学生对知识的理解。 （二）复习图形的平移与旋转。
《空间与图形》练习① 1、一个花坛，直径5米，在它周围有一条宽1米的环形鹅卵石小路，小路的面积是多少平方米？ 5÷2=2.5(米) 3.14×[（2.5+1）2-2.52] =3.14×[（2.5+1+2.5）×（2.5+1-2.5）] =3.14×（6×1） =18.84（平方米） 2、一个圆柱体，两底面之间的距离是10厘米，底面周长是31.4厘米，把这个圆柱体的侧面展开得到一个长方形，长方形的周长是多少？ （31.4+10）×2=41.4×2=82.8（厘米） 3、在一只长25厘米，宽20厘米的玻璃缸中，有一块棱长10厘米的正方体铁块，这时水深15厘米，如果把这块铁块从缸中取出来，缸中的水深是多少厘米？ 10×10×10÷（25×20）=1000÷500=2（cm） 4、一个装满小麦的粮囤，上面是一个圆锥形，下面是圆柱形。量得圆柱的底面周长是6.28米，高是2米，圆锥的高是0.6米。如果每立方米小麦重750千克，这囤小麦大约有多少千克？ 6.28÷3.14÷2=1（m） 1）×750=3.14×1650=5171（kg） 3.14×12×（2+0.6× 3 《空间与图形》练习② 5、一种钟表的分针长5厘米，3小时分针扫过的面积是多少？ 3.14×52×3=235.5（平方厘米） 6、把两个底面直径都是4厘米，长都是4分米圆柱形钢材焊接成一 个长的圆柱形钢材，焊接成的圆柱形钢材的表面积比原来两个小圆
柱形钢材的表面积之和减少了多少？ 3.14×（4÷2）2×2=25.12（平方厘米） 7、一个长方体，如果高增加2厘米就成了正方体，而且表面积要增加56平方厘米，原来这个长方体的体积是多少立方厘米？ 56÷4÷2=7（厘米） 7-2=5（厘米） 7×7×5=245（立方厘米）8、有一个长方体木块正好可以切成两个完全相同的正方体方块，已知长方体木块的棱长总和是80厘米，求切成的每个正方体木块的棱长总和。 80÷4×3=60（厘米） 《空间与图形》练习③ 9、在长10厘米，宽8厘米的长方形纸上剪一个最大的半圆，这个半圆的面积是多少？周长是多少？ 8÷2=4（cm）面积：3.14×42÷2=25.12（cm2） 周长：3.14×4+8=12.56+8=20.56（cm） 10、把一个底面半径为2厘米，高为100厘米的圆柱，切成4个小圆柱，表面积增加了多少平方厘米？ 3.14×22×6=75.36（cm2） 11、一根横截面为正方形的长方体木料，表面积为114平方厘米，锯去一个最大正方体后，表面积为54平方厘米，锯下的正方体木料表面积是多少？ （114-54）÷4×6=90（cm2） 12、工地上有一堆圆锥形三合土，底面周长37.68m，高5m，把这些三