曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e
,,构成右手系，
微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2
2
2
2
dw h dv h du h ds w v u ++=
散度：
在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V
V
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换成曲线正交坐标系下可得：
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右边应用高斯定理的：
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h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D
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所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D
w v u ??
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比较得曲正交标架下的散度公式：()()()???
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旋度：
直角坐标下用斯托克斯公式：()?
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S
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换成曲线正交坐标系下可得：
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h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D
u u v u w D
u w v w v u ++=
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右边应用斯托克斯公式：
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h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D
u u ??? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=++??
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所以：
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h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D
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对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。
梯度：
有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量：
w w v v u u e w
h e v h e u h
??+??+??=
?????
高阶常微分方程的微分算子法 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()()()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++= 其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续函数，上述方程又可写成 1 1()(()())n n n L y D a x D a x y -≡+++ ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3 2 06116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin3x e x 从而通解是 22123cos3sin3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1(cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0 ()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1(cos )x -)，解得 1s i n ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+ 12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x =+++
四柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐 标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学? 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在 oxy 平面的射影为 Q,连接OR 记| OP |= r ，OP 与0Z 轴正 向所夹的角为 ，P 在oxy 平面的射影为 Q, Ox 轴按逆时针方向旋转到 0Q 时所转过的最小 正角为 ，点P 的位置可以用有序数组 （r,,）表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫 球坐标系（或空间极坐标系） 有序数组（r,,）叫做点P 的球坐标，其中 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与球坐标（r, 2 x 2 y 2 2 z r x rsi n cos y r si n sin z r cos 2、柱坐标系 有序数组（p , 9 ,Z ）叫点P 的柱坐标，其中p 》0, 0 <9 <2n , z € R 空间点P 的直角坐标（x, y, z ）与柱坐标（p , 9 ,Z ）之间的变换关系为： x cos y sin r > 0, 0< < , o w v 2 。 ,）之间的变换关系为： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组 系叫做柱坐标系 Q 用（P , 9 ）（ P> 0,0 <0 <2n ）表示点在 （p , 9 ,Z ）表示把建立上述对应 关系的坐标
1.2三种常用的正交坐标系 1.3标量场的梯度 1.4矢量场的通量与散度 1、了解三种常用坐标系的特点； 2、熟悉球坐标、柱坐标的基矢，基矢变化及空间微元表示； 3、理解梯度的物理意义，掌握其计算公式。 重点：1、基矢及空间微元表示， 2、梯度的物理意义及计算公式。 难点：基矢的变化。 讲授、练习 学时：2学时 §1.2三种常用的正交坐标系 一、坐标系的概念 1、坐标 确定一个空间点需要三个有序数()321,,q q q ，称为空间点的坐标。 2、坐标面、坐标线 两个坐标面的交线称为坐标线。若在空间任意一点，三个坐标面正交(基矢正交)， 称为三维正交坐标系。 3、单位矢 用 321?,?,?e e e 分别表示坐标曲线321,,q q q 上的切向单位基矢。 规定：321?,?,?e e e 的方向关系构成右手系。 注意：在曲线坐标系中321?,?,?e e e 一般是空间点函数。 4、拉梅系数（度规系数） () ()()??? ??===z y x q q z y x q q z y x q q ,,,,,,33 2211()()()??? ??======333 222111,,,,,,c z y x q q c z y x q q c z y x q q 三个等值曲面，称为坐标曲面 由于空间点同时可用()z y x ,,表示，因此
在坐标系中，设()321,,q q q P 点的位置矢量为： ()321,,q q q r r = 则 33 2211dq q r dq q r dq q r r d ??+??+??= 式中 ????????? ? ?=??=??=??=??=??=??33333 2222 2 11111 ??????e h e q r q r e h e q r q r e h e q r q r 321,,h h h 称为坐标系的度规系数（拉梅系数）。这样， 111222333???d r e h dq e h dq e h dq =++ 1、坐标变量：()z y x ,, 2、坐标面：1C x =，2C y =，3C z = 坐标线：三条直线 3、基矢：()z y x e e e ?,?,?，正交且符合右螺旋 矢量表示：???x x y y z z A e A e A e A =++，例：位置矢量 ???x y z r e x e y e z =++ 4、空间微元： 线元： ???x y z dr e dx e dy e dz =++ 面元： ???,,x x y y z z dS e dydz dS e dxdz dS e dxdy === 5、拉梅系数：1321===h h h 三、柱坐标系 1、坐标变量：(),,z ρφ 2、坐标面：1C =ρ，2C φ=，3C z = 坐标线：两条直线、一个曲线 坐标变换：cos , sin ,x y z z ρφρφ=== x 为常数平面 x y z y 为常数平面 Z 为常数平面 e y ?e z ?x e ? (x,y,z ) p r 二、直角坐标系 x y 体元： dV dx dy dz =
姚老师最爱的两招：表格法与微分算子法，因为效率高，所以喜欢，仅此而已！录入可是字字辛苦，希望大家珍惜哦！ 一、 分部积分的表格法 分部积分主要针对被积函数为两类函数乘积的类型，主要可以归纳为反幂、对幂、幂三、幂指和三指五种，幂可以扩展为多项式函数，三主要指正弦和余弦两类三角函数，基本原则是把其中一类函数拿去凑微分，遵循“反对幂三指”、越往后越先凑微分的原则，前四种称为“终止模式”，最后一种称为“循环模式”。当涉及到幂函数（多项式函数）次数较高时，需多次用到分部积分，计算较繁且易出错，因此介绍一个推广公式： 定理：设(),()u u x v v x ==有1n +阶连续导数，则 (1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)n n n n n n n uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-++-? ?。（此定理及证 明可略，仅告诉大家，我不是瞎编乱造，而是有理论依据的！） 【证：用数学归纳法。 当0n =时，''uv dx uv u vdx =-??。 设1n k =≥时，(1)()(1)(2)(3)1(1)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx +---++=-+-+ +-?? （*） 则当1n k =+时，(2)(1)(1)(1)'k k k k uv dx udv uv u v dx ++++==-???， 将上式的'u （*）式中的u ，则有 (1)()(1)(2)1(2)'''''''(1)k k k k k k u v dx u v u v u v u vdx +--++=-+++-? ?， 从而(2)(1)()(1)(2)2(2)''''''(1)k k k k k k k uv dx uv u v u v u v u vdx ++--++=-+-+ +-??，得证。】 上述式子并不好记，它的一个直观表达就是表格法，如下表。 1))1)2) v v +-- 下面通过例子给予演示： （1）“幂三”型 例1.1 52(325)cos x x x xdx +-+? 解：
曲线正交曲线坐标系()w v u ,,，每一点的单位正交标架()w v u e e e ,,构成右手系， 微分弧与曲线坐标的关系为()()()()2 2 2 2 dw h dv h du h ds w v u ++= 散度： 在直角坐标系下用高斯公式：()S d A dV A V V ?= ??? ?? 换成曲线正交坐标系下可得： ()? ?++= ???dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A udvdw d h h h A v u w u w v w v u D w v u D 右边应用高斯定理的： ()()()udvdw d w h h A v h h A u h h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A v u w u w v w v u D v u w u w v w v u D ? ? ?? ? ????+??+??= ++? 所以：()()()()dudvdw w h h A v h h A u h h A dudvdw h h h A D v u w u w v w v u D w v u ?? ?? ? ????+??+??= ?? 比较得曲正交标架下的散度公式：()()()??? ????+??+??= ??w h h A v h h A u h h A h h h A v u w u w v w v u w v u 1 旋度： 直角坐标下用斯托克斯公式：()? ? ??= ???S S l d A S d A 换成曲线正交坐标系下可得： ()()()dw h A dv h A du h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A w w v v D u u v u w D u w v w v u ++= ??+??+??? ?? 右边应用斯托克斯公式： ()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dw h A dv h A du h A u u v v D w w u u v v w w w w v v D u u ??? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=++?? ? 所以： ()()()()()()()()()dudv v h A u h A dwdu u h A w h A dvdw w h A v h A dudv h h A dwdu h h A dvdw h h A u u v v D w w u u v v w w v u w D u w v w v u ?? ? ????-??+??? ????-??+??? ????-??=??+??+???? 对比两边可得旋度在曲正交标架下公式。 梯度： 有梯度的定义梯度等于个方向的方向导数乘以该方向的单位向量： w w v v u u e w h e v h e u h ??+??+??= ?????
1．柱坐标系 柱坐标系 (1)定义：建立空间直角坐标系Oxyz ，设P 是空间任意一点，它在Oxy 平面上的射影为 Q ，用(ρ，θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面Oxy 上的极坐标，这时点P 的位置可用有 之间的)z ，θ，ρ(表示．这样，我们建立了空间的点与有序数组R)∈z ()z ，θ，ρ(序数组一种对应关系．把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系，有序数组(ρ，θ，z )叫做点 R. ∈z ，2π＜θ≥0,0≤ρ，其中)z ，θ，ρ(P 的柱坐标，记作P (2)空间点P 的直角坐标(x ，y ，z )与柱坐标(ρ，θ，z )之间的变换公式为 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z. 由公式求出ρ，再由tan θ＝y x 求θ. 由公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得ρ2＝x 2＋y 2 ， 即ρ2 ＝12 ＋(3)2 ＝4，∴ρ＝2. tan θ＝y x ＝3， 又x >0，y >0，点在第一象限．∴θ＝π 3 ， ∴点A 的柱坐标为? ?? ??2，π3，5. 已知点的直角坐标，确定它的柱坐标关键是确定ρ和θ，尤其是θ，要注意求出tan θ后，还要根据点所在象限确定θ的值(θ的范围是 已知点P 的柱坐标为? ?? ??4，π3，8， 求 它的直角坐标． 直接利用公式求解．
由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z 得 x ＝4cos π 3 ＝2，y ＝4sin π3 ＝23，z ＝8. ∴点P 的直角坐标为(2,23，8)． 已知柱坐标，求直角坐标，利用变换公式 ???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ，z ＝z 即可． 3．点N 的柱坐标为? ?? ??2，π2，3，求它的直角坐标． 解：由变换公式???? ? x ＝ρcos θ，y ＝ρsin θ， z ＝z ， 得 x ＝ρcos θ＝2cos π 2 ＝0，y ＝ρsin θ＝2sin π2 ＝2， 故点N 的直角坐标为(0,2,3)． 4．已知点A 的柱坐标为(1，π，2)，B 的柱坐标为? ?? ??2，π2，1，求A ，B 两点间距离． 解：由x ＝ρcos θ，得x ＝cos π＝－1. 由y ＝ρsin θ，得y ＝sin π＝0. ∴A 点的直角坐标为(－1,0,2)． 同理，B 点的直角坐标为(0,2,1)． ∴|AB |＝ －1－ ＋－ ＋ － ＝ 6. 故A ，B 两点间的距离为 6. 课时跟踪检测(五) 一、选择题 1．设点M 的直角坐标为(1，－3，2)，则它的柱坐标是( ) A.? ????2，π3，2 B.? ????2，2π3，2 C.? ????2，4π3，2 D.? ?? ??2，5π3，2
高阶常微分方程的微分算子法 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32 (3913)0D D D y -++= 或 2 (1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2 (1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4) 45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432 (4544)0D D D D y -+-+= 或 22 (2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1 (cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2 (1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1 (cos )x -)，解得 1sin ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+ 12cos sin cos ln cos sin C x C x x x x x =+++
柱坐标系与球坐标系 1、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ＜2π)表示点Q 在平面oxy 上的极坐标， 点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,z)表示. 把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系. 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，记作(ρ,θ,Z). 其中ρ≥0, 0≤θ＜ 2π, -∞＜Z ＜+∞ 2，柱坐标系又称半极坐标系，它是由平面极坐标系 及空间直角坐标系中的一部分建立起来的. 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标 (ρ,θ,Z) 之间的变换公式为： 3 应用：例1：设点的直角坐标为(1，1，1)，求它:在柱坐标系中的坐标. 解得ρ= ，θ= 点在柱坐标系中的坐标为 （ ， ，1）. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 练习： 1、设点的直角坐标为(1,1,1)，求它在柱坐标系中的坐标. 注：求θ时要注意角的终边与点的射影所在位置一致。 3，柱坐标系： r 为常数 圆柱面 半平面 平 面 x y z o P(ρ,θ,Z) Q θ 4π?? ???===z z y x θρθρsin cos ?? ???===z 1sin 1cos 1θρθρ224π?),,(z y x M ),(θr P ?θr z x y z o 点在柱坐标系中的坐标为(2,,1)4π求它的直角坐标。的柱坐标为、设点),7,6,2(2πM (3,1,7) 为常数θ为常数z
球坐标系 1，球坐标系： 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ， 连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为φ. 设P 在oxy 平面上的射影为Q ， Ox 轴按逆时 针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为θ. 这样点 P 的位置就可以用有序数组(r,φ,θ)表示. 空间的点与有序数组(r,φ,θ)之间建立了一种对应关系. 我们把建立上述对应关系的坐标系叫做球坐标系 (或空间极坐标系) . 有序数组(r,φ,θ)叫做点P 的球坐标， 2 , 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与球坐标(r,φ,θ)之间的变换关系为； 3 应用：例：设点的球坐标为(2， ， ) 求它的直角坐标.？ 点在直角坐标系中的坐标为（ －1 ，1 ，－ ）. 4 小结： 数轴 平面直角坐标系 坐标系 平面极坐标系 空间直角坐标系 柱坐标系 球坐标系 坐标系是联系形与数的桥梁，利用坐标系可以实现几何问题与代数问题的相互转化， 从而产生了坐标法. y o P Q X Z 其中 πθπ?20,0,0<≤≤≤≥r x y z o P(r,φ,θ) Q θ r φ 称为高低角 －的方位角，被测点称为 球坐标中的角应用，在测量实践中，文学中有着广泛的球坐标系在地理学、天 ?θ?θ090),,(r P ?? ???===?θ?θ?cos sin sin cos sin r z r y r x 43π43π22222r z y x =++） ，，（为直角坐标。 、将下列点的球坐标化例65381ππM
微分算子法中D 的运算 D:微分的意思,如Dx 2=2x , D 3x 2=0 D 1:积分的意思,如D 1x=2x 2 ******************************************************************************* 定理1:)()(F k F e e D kx kx = 注意使用公式时的前后顺序 例: x x x x e e k e e D 22222225)12()1()1(=+=+=+ 推论:) (1)(F 1k F e e D kx kx = (F(k)≠0) 例:x e y y 2=+'' x e y D 22)1(=+ x x x e e e D y 22222*5 1121)1(1=+=+= ****************************************************************************** 定理2:)(sin sin )(F 22a F ax ax D -?= )(cos cos )(F 22a F ax ax D -?= 注意使用公式时的前后顺序 推论:) (1sin sin )(F 122a F ax ax D -?= (F(-a 2) ≠0) 例:x y y 3cos 24=+）（ x y D 3cos 2)1(4=+ x x x x D x D y 3cos 4113cos 82121)3(13cos 23cos 1)(123cos )1(1222224*=??=+-??=?+?=?+?=遇到sinax,cosax 时,要凑出D 2来。F(D)里有D 2,即可代换为-a 2,代换后继续算F(D)。 ******************************************************************************* 定理3: )()()()(F x v k D F e x v e D kx kx += 注意使用公式时的前后顺序 推论:)() (1)()(F 1x v k D F e x v e D kx kx += 例:x e x y y 22y 44?=+'-''
四 柱坐标系与球坐标系简介 课题：球坐标系与柱坐标系 教学目的： 知识目标：了解在柱坐标系、球坐标系中刻画空间中点的位置的方法 能力目标：了解柱坐标、球坐标与直角坐标之间的变换公式。 德育目标：通过观察、探索、发现的创造性过程，培养创新意识。 教学重点：体会与空间直角坐标系中刻画空间点的位置的方法的区别和联系 教学难点：利用它们进行简单的数学应用 授课类型：新授课 教学模式：启发、诱导发现教学. 教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程： 一、复习引入： 情境：我们用三个数据来确定卫星的位置，即卫星到地球中心的距离、经度、纬度。 问题：如何在空间里确定点的位置？有哪些方法？ 学生回顾 在空间直角坐标系中刻画点的位置的方法 极坐标的意义以及极坐标与直角坐标的互化原理 二、讲解新课： 1、球坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，连接OP ，记| OP |=r ，OP 与OZ 轴正向所夹的角为θ，P 在oxy 平面的射影为Q ，Ox 轴按逆时针方向旋转到OQ 时所转过的最小正角为?，点P 的位置可以用有序数组),,(?θr 表示，我们把建立上述对应关系的坐标系叫球坐标系(或空间极坐标系) 有序数组),,(?θr 叫做点P 的球坐标，其中r ≥0，0≤θ≤π，0≤?＜2π。 空间点P 的直角坐标),,(z y x 与球坐标),,(?θr 之间的变换关系为： ???????====++θ ?θ?θcos sin sin cos sin 2 222r z r y r x r z y x 2、柱坐标系 设P 是空间任意一点，在oxy 平面的射影为Q ，用(ρ,θ)(ρ≥0,0≤θ<2π)表示点在 平面oxy 上的极坐标，点P 的位置可用有序数组(ρ,θ,Z)表示把建立上述对应关系的坐标系叫做柱坐标系 有序数组(ρ,θ,Z)叫点P 的柱坐标，其中ρ≥0, 0≤θ<2π, z ∈R 空间点P 的直角坐标(x, y, z)与柱坐标(ρ,θ,Z)之间的变换关系为： ?? ???===z z y x θ ρθρsin cos
微分算子法
仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6 高阶常微分方程的微分算子法 撰写 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记()n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32(23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32 230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1 111 ()()() ()()n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---= ++++= 其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连 续函数，上述方程又可写成 11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡++ + ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32(6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3206116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32(3913)0D D D y -++= 或 2(1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2(1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -， 2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4)45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432(4544)0D D D D y -+-+= 或 22(2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1(cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程0y y ''+=的通解，写成2(1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos )C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=??
2003年2月 水 利 学 报SH UI LI X UE BAO 第2期 收稿日期:2002201204 基金项目:国家杰出青年科学基金项目(50125924);高等学校博士学科点专项科研基金项目(2000014112);辽宁省自然科学基 金项目(2001101073) 作者简介:吴修广(1974-),男,山东阳谷人,博士生,从事环境水力学研究。文章编号:055929350(2003)022*******非正交曲线坐标下二维水流计算的SIMPLEC 算法 吴修广1,沈永明1,郑永红2,王平义 3(11大连理工大学海岸和近海工程国家重点实验室 辽宁大连 116023;21中国科学院广州能源研究所,广东广州 510070; 31重庆交通学院河海工程系 重庆 400074)摘要:本文采用Laplace 方程坐标变换方法生成正交曲线网格,并对浅水流动的控制方程进行坐标变换,方程离散时采用B 型交错网格。利用“水位扫描法”结合壁面函数法来处理移动边界,用SI MP LEC 算法解非正交曲线坐标下的k -ε双方程紊流模型,修正了由网格的非正交性引起的误差。通过对美国C olorado 洲Fall River 的资料进行流场验证,计算结果与实测资料基本符合,显示了本模型在不规则水域计算中的实用价值。 关键词:坐标变换;k -ε紊流模型;水位扫描法;壁面函数;SI MP LEC 算法 中图分类号:T V13114文献标识码:A 随着经济发展和社会进步,水利工程建设的步伐也在进一步加快,其中港航建设、大坝建设中的泥沙问题以及近来倍受世人关注的水污染问题已经成为制约水利发展的瓶颈问题,弄清河流、湖泊、海洋中水动力因素,是解决以上问题的重要基础。近年来,数学模型已逐步取代物理模型实验成为研究水流的重要手段,而浅水流动模型是处理大区域流场的一种非常有效的模型。它属于非线性方程组,在目前只能用数值方法求解,因此,有必要研究一种简单、高效的方法来求解浅水流动问题。自Patankar 和S palding [1] 发展了SI MP LE 算法以来,该方法被广泛应用于不可压缩流场的数值模拟,而且该方法还得到了进一步的发展,主要有SI MP LER 算法 [2]、SI MP LEC 算法[3]、SI MP LEX 算法[4]和SI M 2P LET 算法[5]等。这些模型均成功地应用于速度—压力耦合的流场计算,深度平均的浅水流动模型是在静压假定下导出的,一般流体模型中的速度—压力耦合也就转换成浅水流动模型中的速度—水深耦合[6]。 天然河流、海湾的边界曲折、地形复杂,采用坐标变换是解决问题的途径之一。目前多数N -S 方程的坐标变换中,流程全部采用逆变分量,这样就增加了方程的复杂程度。于是忽略掉方程中的非正交项,利用正交变换下的方程进行数值求解[7,8]。对于具有复杂边界的海湾及弯曲的河流,坐标变换中很难保证每个点都正交,特别是边界附近。水位变化是水力计算中难点之一,在目前的紊流数学模型中,多简单的利用“冻结法”,这样做将失去对边界出流动模拟的准确性。 本文研究中,采用正交曲线坐标变换生成数值网格,而数值计算中采用非正交曲线坐标下的k -ε双方程紊流模型,这样可以自动修正网格生成中的非正交项。流速除对流项中采用逆变分量,在其余各项中均采用原始分量,这样使得方程书写简单,有利于将各方程写成通用形式,编写的程序变得更规范。作者受Jian Y e 同位网格[9] 的启发,对普通交错网格做了修改,即采用B 型交错网格,使得u ,v ,k ,ε的计算布置在一个节点上,有利于节省计算程序代码,使程序书写更加规范。引入动边界扫描技术,结合紊流模型的壁面函数法,使壁面随着真实边界而变化。数值求解时,采用控制体积法离散方程,运用SI MP LEC 算法,使计算的流场更符合实际流场。
高阶常微分方程的微分算子法 撰写 摘自《大学数学解题法诠释》 .徐利治,.冯克勤,.方兆本,.徐森林,.1999 高阶方程的求解自然要比一阶方程更为困难，即使是对于线性微分方程。但是有一个例外：常系数线性微分方程。我们可以完整的求出它的通解来，所以常系数线性方程的求解，主要精力是集中在讨论对应的非齐 次方程的特解。本节主要讨论微分算子法。 1.求方程230y y y ''''''--=的通解. 解 记() n n y D y =，将方程写成 32230D y D y Dy --= 或32 (23)0D D D y --= 我们熟知，其实首先要解特征方程 32230D D D --= 得0,1,3D =-故知方程有三特解31,,x x e e -，由于此 三特解为线性无关，故立得通解 3123x x y C C e C e -=++ 注：本题方程为齐次常系数三阶常微分方程，线性常微分方程的一般形状是 1111()()() ()() n n n n n n n d y d y dy L y a x a x dx dx dx a x y f x ---=++++= 其中系数1(),,()n a x a x 是某区间(,)a b 上的连续 函数，上述方程又可写成 11()(()())n n n L y D a x D a x y -≡++ + ()f x = 可以把上面括号整体看作一种运算，常称为线性微分算子。本题中各()i a x 均为实常数，今后也仅对实常系数的情形来进一步发展线性微分算子方法。 2.求解 61160y y y y ''''''-+-= 解 写成 32 (6116)0D D D y -+-= 从特征方程 3 2 06116D D D =-+- (1)(2)(3)D D D =--- 解得 1,2,3D =共三实根，故可立即写成特解 23123x x x y C e C e C e =++ 3.求解 39130y y y y ''''''-++= 解 写成 32 (3913)0D D D y -++= 或 2 (1)(413)0D D D y +-+= 特征方程 2 (1)(413)0D D D +-+=有根 1,23D i =-±，故对应的特解是x e -，2cos3x e x ， 2sin 3x e x 从而通解是 22123cos3sin 3x x x y C e C e x C e x -=++ 4.求(4) 45440y y y y y ''''''-+-+=之通解. 解 写成 432 (4544)0D D D D y -+-+= 或 22 (2)(1)0D D y -+= 特征根是2,2,D i =±，对应的特解应是 22,,cos ,sin x x e xe x x ，故写成通解 21234()()cos sin x y x e C C x C x C x =+++ 5.求1 (cos )y y x -''+=的通解 解 本题为非齐次方程，先求出对应的齐次方程 0y y ''+=的通解，写成2 (1)0D y +=，可知特征根为i ±，相应的通解为112cos sin y C x C x =+ 设原方程有特解形为 *12()cos ()sin y C x x C x x =+ 其中12,C C 为待定函数，常数变异告诉我们，应求解下面的方程组 121 12()cos ()sin 0()(cos )()(sin )(cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''''+=?? 或 121 12()cos ()sin 0()sin ()cos (cos ) C x x C x x C x x C x x x -?''+=??''-+=?? (方程组右端为原方程非齐次项1 (cos )x -)，解得 1s i n ()cos x C x x '=-，2()1C x '= 或 1()ln cos C x x =，2()C x x = 最后得通解为 1*()()()y x y x y x =+
微分算子法小结 一、n 阶微分方程 1、二阶微分方程： 22 d y d x +p(x) x d dy +q(x)y=f(x) 2、n 阶微分方程： y (n)+a 1y (n-1) +a 2y (n-2)+a 3y (n-3)+ ... +a n y=f(x) 二、微分算子法 1、定义符号： D x =d d ，D 表示求导，如Dx 3=3x 2，D n y 表示y 对x 求导n 次；D 1表示积分，如D 1 x= x 2 12 , n D 1x 表示 对x 积分n 次，不要常数。 2、计算 将n 阶微分方程改写成下式： D n y +a 1D n-1y +a 2D n-2y +a 3D n-3y + ... +a n-1Dy +a n y=f(x) 即 （D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n ）y=f(x) 记F(D)=D n +a 1D n-1+a 2D n-2+a 3D n-3+ ... +a n-1D +a n 规定特解： y * =) (F(D) 1 x f 3、 F (D ) 1 的性质 (1)性质一： F(D) 1e kx =F(k)1 e kx (F (k) 不等于0） 注：若k 为特征方程的m 重根时，有 F (D ) 1 e kx = x m (D) F 1(m) e kx = x m (k) F 1 (m) e kx
(2)性质二： F(D) 1e kx v (x)= e kx k) F(D 1+v (x) (3)性质三：特解形如F(D)1 sin(ax)和 F(D)1 cos(ax) i.考察该式（该种形式万能解法）： F(D) 1 e iax 利用性质一和二解出结果，并取相应的虚部和实部 作为原方程的特解 注：欧拉公式 e iax = cos(ax)+i sin(ax) 虚数 i 2 = -1 ii.若特解形如) F(D 1 2sin(ax)和) F(D 1 2cos(ax)，也 可按以下方法考虑： 若F (-a 2)≠ 0，则 ) F (D 12 sin(ax)=)F(-a 1 2 sin(ax) )F(D 1 2 cos(ax)=)F(-a 1 2 cos(ax) 若F (-a 2)= 0 ，则按i.进行求解，或者设-a 2为F (-a 2) 的m 重根，则 )F(D 12 sin(ax)=x m ) (D F 12 (m) sin(ax) ) F(D 1 2 cos(ax)=x m ) (D F 12 (m) cos(ax)
谈谈算子 SCIbird 适当的引入一些算子可以简洁地展现出数学结构，比如差分算子Δ定义为： ()(1)()f x f x f x Δ=+?，2:()f x Δ=ΔΔ，再定义移位算子()(1)Ef x f x =+，以及恒等算子()()If x f x =，则差分算子满足()()()f x E I f x Δ=?，即 E I Δ=? 容易发现()()m E f x f x m =+，所以 00()()()(1)()(1)()n n k n n k n k n k k f x E I f x E f x f x k ??==????Δ=?=?=?+??????∑∑ 类似地，()()()()f x If x E f x ==?Δ，()n n I I E ==?Δ 思考题：令()n f x x =，问()?n f x Δ=，1()?n f x ?Δ= 以微积分的观点看，利用拉格朗日中值定理，得 1()(1)()()f x f x f x f ξ′Δ=+?= 然后再利用一次，得12()()()f x f f ξξ′′′ΔΔ=Δ=，这样 ()()(),(,1)n n n n f x f x x ξξΔ=∈+ 可惜n ξ的位置不知道，不过对()n f x x =有()()!n f x n =是一个常数。以拉格朗日中值定理为桥梁，将差分与微分联系起来了。实际上还可以进一步挖掘联系。 算子的引入很多时候是形式算子，但发现特别好用，莫非是巧合。深入研究后发现，数学中其实没有那么多巧合，“巧合”后面往往有深层含义。这方面最具代表性的要数Laplace 变换了，抛开这个吓人的专有名词，先看一个例子。 考虑微分方程：(),(0)0y f x y ′==. 直接利用牛顿莱布尼茨积分公式，得 ()()x y x f t dt =∫ 英国工程师海维塞德思考上述方法后，提出了一个形式微分算子法，定义算子 d D dx = ， 则微分方程可写成()Dy f x =，于是移项得：1()y f x D = 对比上面的积分过程可知01x D =∫，于是002111x x D D D ==∫∫等等。 海维塞德将这个思想应用到一般的常系数微分方程中去，考虑方程 (1)()(),(0)'(0)"(0)(0)0n P y D y f x y y y ?======L 这里()P x 是一个n 次多项式。于是得到形式解 1()() y f x P D = 海维塞德按照自己的想法认为如果1()P D /能展开成关于1D /的幂级数，即