学习过程
一、复习预习
M .C .埃舍尔（M . C . Escher ，1898~1972），荷兰科学思维版画大师，20世纪画坛中独树
一帜的艺术家。作品多以平面镶嵌、循环等为特点，兼具艺术性与科学性。
1957年他写了一篇关于镶嵌图形的文章，其中评论道："
在数学领域，规则的平面分割已从理论上研究过了，难道这意味着它只是一个严格的数学的问题吗？按照我的意见, 它不是。
数学家们打开了通向一个广阔领域的大门，但是他们自己却从未进入该领域。从他们的天性来看他们更感兴趣的是打开这扇门的方式，而不是门后面的花园。"无论这对数学家是否公平, 有一点是真实的：他们指出了在所有的常规的多边形中，仅仅三角形，正方形，和正六边形能被用于镶嵌。但许多其他不规则多边形平铺后也能形成镶嵌，例如有许多镶嵌就使用了不规则的五角星形状。
人们发现，埃舍尔30年前作品中的视觉模拟和今天的虚拟三维视像与数字方法是如此相像，而他的各种图像美学也几乎是今天电脑图像视觉的翻版，充满电子时代和中世纪智性的混合气息。因此，有人说，埃舍尔的艺术是真正超越时代，深入自我理性的现代艺术。也有人把他称为三维空间图画的鼻祖。在他之前，从未有艺术家创作出同类的作品，在他之后，迄今为止也没有艺术家追随他发现的道路。
二、知识讲解
1．多边形
（1）多边形的定义：在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形. 各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。
（2）多边形的对角线：连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线。①从n边形的一个顶点出发，可以画()3
n-条对角线，将多边形分成n--2个三角形.②n边形一
共有
()3
2
n n-
条对角线。
（3）多边形的内角和公式：n边形的内角和为()2180
n-? （n≥2）。
（4）多边形的外角和定理：多边形的外角和等于360°。
2．平面镶嵌
（1）平面镶嵌的定义：用一些不重叠摆放的多边形把平面的一部分完全覆盖，叫做多边形覆盖平面（或平面镶嵌）。
（2）镶嵌的条件：当围绕一点拼在一起的几个多边形的内角加在一起恰好组成一个周角时，就能拼成一个平面图形。
（3）能否镶嵌成一个平面的关键是看：拼接在同一个顶点的各个角的和恰好等于360°（用于判断几种多边形的拼接问题）。所以说：在仅用一种正多边形镶嵌只有正三角形、正四边形、正六边形可以镶嵌，而其他的正多边形不可以。
考点/易错点1
注意：各个角都相等、各个边都相等是正多边形的必备条件，二者缺一不可。如四条边都相等的四边形不一定是正方形，四个角都相等的四边形也不一定是正方形，只有满足四边都相等且四个角都相等的四边形才是正方形.
考点/易错点2
内角和公式的应用：①已知多边形的边数，求其内角和；②已知多边形内角和，求其边数。外角和定理的应用：①已知外角度数，求正多边形边数；②已知正多边形边数，求外角或外角度数。
考点/易错点3
平面镶嵌归纳：①拼接在同一点的各个角的和等于360°；②只用正三、四、六边形可以镶嵌.其他正多边形不能镶嵌；③任意全等的三角形一定可以镶嵌；④任意全等的四边形一定可以镶嵌。
探究正整数解，得出不同的组合方式：
利用代数式：xn + ym = 360°（其中n、m为正多边形的内角度数，x、y为正整数.）正三角形和正方形（两种拼法）、正三角形和正六边形（两种拼法）、正三角形和正十二边形、正四边形和正八边形。正五边形和正十边形内角（108°+108°+144°）可以构成360°，但不能进行平面镶嵌。
三、例题精析
【例题1】
【题干】以线段a=7，b=8，c=9，d=11为边作四边形，可作（）
【答案】D．解：四条线段组成的四边形可有无数种变化．
【解析】根据四边形具有不稳定性，可知四条线段组成的四边形可有无数种变化．
【变式1】若一个多边形截去一个角后，变成十五边形，则原多边形的边数可能为（）
【答案】A．一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，则多边形的边数是14，15或16．
【解析】因为一个多边形截去一个角后，多边形的边数可能增加了一条，也可能不变或减少了一条，根据多边形的内角和即可解决问题．
【变式2】如图，①中多边形（边数为12）是由正三角形“扩展”而来的，②中多边形是由正方形“扩展”而来的，……，依此类推，则由正n边形“扩展”而来的多边形的边数为．
【答案】∵①正三边形“扩展”而来的多边形的边数是12=3×4，②正四边形“扩展”而来的多边形的边数是20=4×5，③正五边形“扩展”而来的多边形的边数为30=5×6，④正六边形“扩展”而来的多边形的边数为42=6×7，∴正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．【解析】首先要正确数出这几个图形的边数，从中找到规律，进一步推广．正n边形“扩展”而来的多边形的边数为n（n+1）．
【例题2】
【题干】如图所示，我们可以按照如下方法求一个多边形的对角线条数
图（1）
()
331
3
2
?-
-=0条；图（2）
()
441
4
2
?-
-=2条；
图（3）
()
551
5
2
?-
-=5条；图（4）
()
661
6
2
?-
-﹣6=9条．
若按以上方法求二十边形的对角线条数，可列式子为，求得该多边形的对角线条数为．
【答案】由题意得二十边形的对角线条数，可列式子为
()
20201
20
2
?-
-=170。
【解析】熟记多边形的边数与对角线的条数之间的关系式是解决此类问题的关键．
【变式1】2003年世界女排锦标赛上，中国女排以11战全胜获得冠军，在这次锦标赛上共有12支球队，采用单循环制（即每两个球队打一场），则主办单位共安排了场比赛．【答案】12支球队举行单循环比赛，则主办单位共安排总场数为：1
2
×12×（12﹣1）=66．【解析】根据多边形对角线的计算方式可得出，m支球队举行比赛，若每个球队与其他队比
赛（m﹣1）场，则两队之间比赛两场，由于是单循环比赛，则共比赛1
2
m（m﹣1）．
【变式2】将已知六边形ABCDEF，用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，那么各种不同的剖分方法种数是（）
【答案】D．∵六边形ABCDEF有6个顶点，且用对角线将它剖分成互不重叠的4个三角形，∴只能通过同一个顶点作三条对角线（如图1），这种分法有6种，也从一个顶点作两条对角线（如图2），这种分法有2种，如图3，中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线，这种分法有6种，故各种不同的剖分方法有14种．
【解析】要用对角线将六边形ABCDEF剖分成互不重叠的4个三角形，①通过同一个顶点作三条对角线，所以有六种作法．②从一个顶点作两条对角线；③中间是个四边形，两端2个三角形，把四边形加条对角线．
【例题3】
【题干】一个多边形的内角和为1800°，截去一个角后，得到的多边形的内角和为（）
【答案】D．1800÷180=10，∴原多边形边数=10+2=12，∵一个多边形截去一个内角后，边数可能减1，可能不变，可能加1，∴即新多边形的边数可能是11，12，13，∴新多边形的内角和可能是1620°，1800°，1980°．
【解析】考查了多边形的内角和与外角和，注意：一个多边形截去一个内角后，边数可能减
1，可能不变，可能加1．根据多边形的内角和定理求出
原多边形的边数是解题的关键．
【变式1】六边形ABCDEF纸片剪去一个角∠BGD后，
得到∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，则∠BGD=（）
【答案】B．∵六边形ABCDEF内角和=180°×（6﹣2）=720°，且∠1+∠2+∠3+∠4+∠5=430°，∴∠GBC+∠C+∠CDG=720°﹣430°=290°，∴∠G=360°﹣（∠GBC+∠C+∠CDG）=70°．【解析】此题考查了多边形的内角和公式．此题难度不大，注意掌握整体思想的应用．
【变式2】实践与探索：
①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与
另外个顶点连线可以把n边形分成个三角形（用
含n的代数式表示）．
④你能否根据这样划分多边形的方法来写出n边形的内角
和公式？请说明你的理由．
【答案】①过四边形一边上点P与另外两个顶点连线可以把四边形分成4﹣1=3个三角形；
②过五边形一边上点P与另外三个顶点连线可以把五边形分成5﹣1=4个三角形；
③经过上面的探究，你可以归纳出过n边形一边上点P与另外（n﹣2）个顶点连线可以把n 边形分成（n﹣2）个三角形（用含n的代数式表示）．④在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形，这（n﹣1）个三角形的内角和等于（n﹣1）?180°，以P为公共顶点的（n﹣1）个角的和是180°，所以n边形的内角和是（n﹣1）?180°﹣180°=（n﹣2）?180°．
【解析】解题关键是将多边形的内角和问题转化为三角形中解决，在n边形的任意一边上任取一点P，连接P点与其它各顶点的线段可以把n边形分成（n﹣1）个三角形．
【例题4】
【题干】（2012?东城二模）若一个多边形的内角和是外角和的3倍，那么这个多边形是（）
【答案】C．解：设这个多边形是n边形，根据题意得，（n﹣2）?180°=3×360°，解得n=8．【解析】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，多边形的外角和与边数无关，任何多边形的外角和都是360°．
【变式1】如图，小陈从O点出发，前进5米后向右转
20°，再前进5米后又向右转20°，……，这样一直走下
去，他第一次回到出发点O时一共走了（）
【答案】C．∵小陈从O点出发当他第一次回到出发点O时正好走了一个正多边形，∴多边形的边数为360°÷20°=18，∴他第一次回到出发点O时一共走了18×5=90米．
【解析】主要考查了多边形的外角和定理．任何一个多边形的外角和都是360°．
【变式2】一个凸n边形的内角中，恰有四个钝角，则n的最大值是（）
【答案】B．凸n边形的内角中，恰有四个钝角，即外角中有四个锐角，这四个角最小，另外的外角接近直角时n的值最大，360÷90=4，则：n=4+4﹣1=7，n的最大值是7．
【解析】本题主要理解在哪种情况下n的值最大．
【例题5】
【题干】正三角形、正方形、正五边形和正六边形四种图形中，能够单独铺满平面的有（）
【答案】B．正三角形的每个内角是60°，能整除360°，能密铺；正方形的每个内角是90°，4个能密铺；正五边形每个内角是180°﹣360°÷5=108°，不能整除360°，不能密铺；正六边形的每个内角是120°，能整除360°，能密铺．
【解析】本题考查的知识点是：一种正多边形的镶嵌应符合一个内角度数能整除360°．
【变式1】一幅图案在某个顶点处由三个边长相等的正多边形镶嵌而成的，其中的两个分别是正方形和正十二边形，则第三个正多边形的边数是．
【答案】由于正方形和正十二边形内角分别为90°、150°，∵360°﹣（150°+90°）=120°，又∵正六边形内角为120°，∴第三个正多边形的边数是6．
【解析】图形镶嵌成平面的关键：绕一点拼在一起的多边形内角加在一起恰组成一个周角．
【变式2】用正三角形和正方形作覆盖平面，在拼接点处有m个正三角形和n个正方形，则m=，n=．
【答案】设用m个正三角形，n个正四边形能进行平面镶嵌．由题意，有60m+90n=360，
解得m=6﹣3
2
n，当n=2时，m=3．故边长相同的正方形和正三角形共同作平面镶嵌，在一
个顶点周围，有3个正三角形和2个正方形．
【解析】此题主要考查了平面镶嵌（密铺）．
四、课堂运用
【基础】
1.从六边形的一个顶点出发，可以画出m条对角线，它们将六边形分成n个三角形．则m、n的值分别为（）
2.多边形的每个内角都等于150°，则从此多边形的一个顶点出发可作的对角线共有（）
3.若一个n边形的所有内角与某个外角的和等于1350°，则n为（）
4.多边形的边数由7边增加到8边，它的内角和增加多少度（）
5．从一个七边形的某个顶点出发，分别连接这个点与其余各顶点，可以把一个七边形分割成（）个三角形．
6.从多边形一条边上的一点（不是顶点）出发，连接各个顶点得到2003个三角形，则这个多边形的边数为（）
7.一个凸多边形的内角中，最多有个锐角．
8.现有8个好友聚会，每两人握手一次，共握手次．
9.若凸n边形的内角和为1260°，则从一个顶点出发引的对角线条数是．
10.（1）从n边形任意一个顶点出发，分别连接这个顶点与其余各顶点（相邻顶点除外），得到条线段，可把这个n边形分割成个三角形；
（2）从n边形的一条边上任意一个点出发（顶点除外），分别连接这个点与其余各顶点（左右两个相邻顶点除外），得到条线段，可把这个n边形分割成个三角形；
（3）从n边形的内部任意一个点出发，分别连接这个点与其余各顶点，得到条线段，可把这个n边形分割成个三角形．
【巩固】
1.如图，房间地面的图案是用大小相同的黑、白正方形镶嵌而成．图中
第1个黑色形由3个正方形组成，第2个黑色形由7个正方形组
成，……那么组成第6个黑色形的正方形个数是（）
2.一个多边形截去一个内角后，形成另一个多边形的内角和是2340°，原多边形边数是（）
3.将一个长方形剪去一个角后所得的多边形的内角和为（）度．
4.如图，在五边形ABCDE中，AE⊥DE，∠BAE=120°，∠BCD=60°，
∠CDE﹣∠ABC=30°．
（1）求∠D的度数；
（2）AB∥CD吗？请说明理由．
5.在多边形边上或内部取一点与多边形各顶点的连线，将多边形分割成若干个小三角形，图1给出了四边形的具体分割方法，分别将四边形分割成了2个、3个、4个小三角形．
（1）请按照上述方法将图2中的六边形进行分割，并写出每种方法得到的小三角形的个数；（2）当多边形为n边形时，按上述方法进行分割，写出每种分法得到的小三角形的个数．
【拔高】
1.连接多边形不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线，如图1，AC、AD是五边形ABCDE的对角线．思考下列问题：
（1）如图2，n边形A1A2A3A4…A n中，过顶点A1可以画条对角线；过顶点A2可以画条对角线，过顶点A3可以画条对角线．
（2）过顶点A1的对角线与过顶点A2的对角线有相同的吗？过顶点A1的对角线与过顶点
A3的对角线有相同的吗？
（3）在此基础上，你能发现n边形的对角线条数的规律吗？
（4）在此基础上，推导出n边形的内角和．
2.凸多边形中，除∠A外，其余各角的和是1000°，这个多边形的边数是（）
3.如图，求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数和．
课程小结
1.多边形的性质
2.多边形的对角线
3.多边形内角和与外角和
4.平面镶嵌问题
课后作业
【基础】
1.（2013?湛江）已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是（）
2.（2009?乌鲁木齐）某多边形的内角和是其外角和的3倍，则此多边形的边数是（）
3.（2006?临沂）多边形的内角中，锐角的个数最多有（）
4.从n边形的一个顶点出发一共可引6条对角线，则这个n边形的内角和等于（）
5.多边形的内角和不可能是下列中的（）
6.如果一个多边形的内角和是它的外角和的2倍，那么从这个多边形的一个顶点出发的对角线的条数是（）
7.（2011?丰南区一模）小亮从A点出发前进10米，向右转60°，又前进10米，又向右转60°，……，这样一直走下去，当他第一次回到出发点A时，一共走了多少米（）
8.某装饰市场有四种型号的地砖，准备用同一型号的正多边形地砖密铺．每种地砖的内角度数分别是90°、120°、135°、150°．这些地砖中，可以使用的是．
9.4支排球队进行单循环比赛（参加比赛的每两支球队之间都要进行一场比赛），则总的比赛场数为场．
10.求出下列图中x的值．
【巩固】
1.若一个多边形的边数恰好是从一个顶点引出的对角线条数的2倍，求此多边形的边数．
2.小明在计算一个多边形的内角和时，由于粗心少计算了一个内角，结果得1345°，则未计算的内角的大小为（）
3.某单位的地板由三种边长相等的正多边形铺成，三种多边形是按1：1：1来排列，设这三
种正多边形的边数分别为x，y，z，求111
x y z
++的值．
4.已知：如图，四边形ABCD中，∠D=90°，∠B=∠C=70°，AE平分∠BAD，交BC于点E，EF⊥AE，交CD于点F．
（1）求∠BAE的度数；
（2）写出图中与∠AEB相等的角并说明理由．
5.某同学计算多边形内角和时，得到的答案是5243°，老师指出他把某一个外角也加了进去，他计算的是几边形的内角和？这个多边形一定有一个内角是多少度？
【拔高】
1.（2010?自贡）一个多边形截取一个角后，形成另一个多边形的内角和是1620°，则原来多边形的边数是（）
2.（2008?凉山州）一个多边形内角和与其一个外角的和为570°，则该多边形的边数为（）
3.多边形中，不算其中两个最大的内角，其余内角的和为1100°，则此多边形的边数为（）
错题总结
课题: 多边形的内角和 一、教材分析： 本节课是《义务教育课程标准实验教科书》人教版七年级下册第七章第三节《多边形内角和》的第2课时。《三角形》这一章章节结构是“与三角形有关的线段”、“与三角形有关的角” 、“多边形及其内角和”、“课题学习镶嵌”。按照以往的教材，受三角形、多边形、圆顺次展开的限制，这些内容分别属于不同年级，而新教材是一种专题式设计，以内角和为主题，先三角形内角和，再顺势推广到多边形内角和，最后将内角和公式应用于镶嵌。这样看来“多边形及其内角和”就起到了将知识应用到生活中的桥梁作用。在前一节已经学习了多边形以及多边形的对角线、多边形的内角、外角等该概念，三角形是多边形的一种，学生已经掌握了三角形和特殊的四边形（如长方形、正方形）内角和，所以这节课很适合于让学生自己去发现和总结多边形内角和公式。借助三角形的内角和将多边形可以分割成若干个三角形的方法研究多边形。 二、教学目标 知识与技能： 通过实验探索多边形内角和公式。 数学思考： 1、经历归纳、猜想、推理等过程，发展合情推理能力和语言表达能力，掌握复杂问题化为简单问题，化未知为已知的思想方法。 2、通过把多边形转化为三角形的过程，体会转化思想在几何中的运用，感受从特殊到一般的认识问题的方法。 解决问题： 通过探索多边形内角和的公式，尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，并能有效地解决问题，积累解决问题的经验。 情感态度： 通过动手实践、相互间的交流，进一步激发学习热情和求知欲望。同时，体验猜想得到证实的成就感，在解题中感受生活中数学的存在，体验数学充满探索和创造。 三、教学重点、难点
重点：探索多边形内角和公式。 难点：分割多边形为三角形这一过程。 四、教学方法：教师引导下的自主探究。 五、教学过程设计
C E D B A D C B A 课题 多边形的内角和 课型 新授课 课时 35 主备人 姜波 学习目标 1．使学生了解多边形及多边形的内角、外角等概念。 2．使学生通过不同方法探索多边形的内角和公式，并会利用它进行有关计算。 学习重点 多边形的内角和定理。 学习难点 多边形的内角和定理的推导。 知识链接 1． _______________________________________叫三角形. 2． 三角形的内角和是________° 3． _________________________________________________叫三角形的外角， 三角形有_______个外角，三角形的外角和是__________° 学习内容 学法指导 学习反思 多变形的定义及相关概念 多边形分类 外角概念 阅读教材8386P 1．多边形的概念， 三角形有三个内角、三条边，我们也可以把三角形称为三边形(但习惯称三角形)。我们知道：不在同一直线上的三条线段首尾顺次连结组成的平面图形叫三角形。 你能说出什么叫四边形、五边形吗? 如图(1)它是由不在同一直线上的4条线段首尾顺次连结组成的平面图形，记为四边形ABCD 。(按顺时针或逆时针方向书写) 图(2)是由不在同一直线上的5条线段首尾顾次连结组成的平面图形，记为五边形ABCDE 。 一般地，由_____________________________连结组成的平面图形，记为n 边形，又称多边形。 图1 图2 2.多边形分类 ①________________；②________________ 3.多边形的外角 与三角形类似如图，∠A 、∠D 、∠C 、∠ABC 是四边形ABCD 的四个内角，延长 AB 、CB 得四边形ABCD 的两个外角∠CBE 和∠ABF ，这两个外角是对顶角。 类比三角形给多边形下定义 区分两类不同的多边形 类比三角形外角
多边形的内角和 教学目标 1、认识多边形，探索多边形内角和的计算公式，并能运用公式解决简单的实际问题，发展学生的推理能力和代数思维。 2、在测量、类比、推理等数学活动中，感受“转化思想”在几何中的作用，体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、感受数学探究活动的乐趣和思考过程的条理性，体验学习数学的成功和喜悦。教学重点：探索多边形内角和的计算公式。 教学难点：体会从特殊到一般的认识问题方法。 教学过程 一、创设情境，导入新课 1.导入 (1)出示图片 谈话：同学们，请看大屏幕，这是2008年北京奥运会标志性建筑物之一是水立方，国家游泳中心。 提问：仔细观察水立方的外墙，用数学的眼光去观察，快速找出你认识的不同的形状？ 预设：三角形、四边形、五边形、六边形等等。 提问：我们把像三角形、四边形、五边形、六边形等等这样的在同一平面内由大于或等于3条线段依次首尾相连的平面图形叫做多边形。 （2）提问：对这些多边形你们已经有了哪些认识？同桌快速说一说。 （3）提问：三角形有几条边？几个内角？内角和是多少？所有三角形的内角和都是多少？我们是用什么方法来推导出任意三角形内角和是180度的？ 预设：三角形有3个内角，内角和是180度。（板书：三角形边数3 内角和180度） （4）揭题：我们已经知道三角形的内角和是180度，那四边形、五边形、六边形的内角和是多少呢？我们今天就一起来研究多边形的内角和。（板书：多边形的内角和） 二、探究新知，发现规律 （一）探索四边形的内角和 过渡：同学们,我们就从简单的四边形入手来研究多边形的内角和. 1、猜想 师：猜一猜，任意一个四边形的内角和是多少度？拿出活动单,找到活动一,填写猜想. 2、验证 师：你能想办法方验证你的猜想吗？ 活动要求：（1）在活动单上任选一个四边形（2）选择你喜欢的方法来验证，比一比哪位同学完成的又快又好。 3、呈现资源，汇报交流 第一层次：不同方法验证 （1）测量法：A 长、正方形90×4=360 师：长正方形是特殊的四边形，四个内角都是90度，乘4就能算出这个特殊四边形的内角和，那一般四边形呢？
备课教案
的？ 长方形和正方形的4个角都是直角，它们的内角和是360°。那么平行四边形和梯形的内角和是否和长方形和正方形一样呢？你有办法验证一下吗？ 3、验证： （1）用量角器量一量平行四边形和梯形的四个角。 （2）如果是任意一个四边形呢？ A:把这个四边形的4个角剪下来，拼成一个周角。 B:把这个四边形分成两个三角形。 （3）总结：四边形的内角和都是360度 三、拓展延伸： 1、你有办法求出五边形、六边形的内角和吗？ 2、你有什么发现？ 四、回顾总结 师：这节课你有什么收获？我们是怎样研究三角形的内角和是180°？这节课我们分别用度量、剪拼、折一折的方法对猜想进行验证，最后运用三角形内角和是180°的知识解决生活中的问题。 五、作业设计 求下面各角的度数。小组讨论\交流。 学生独立解答，小组讨论交流，集体订正
六、板书设计 四边形的内角和都是360度 教学反思 【素材积累】 1、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长 的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得中苦；方为人上人；失意不灰心； 得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了呈现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。 ２、不求与人相比，但求超越自己，要哭旧哭出激动的泪水，要笑旧笑出成长的性格。倘若你想达成目标，便得摘心中描绘出目标达成后的景象；那么，梦想必会成真。求人不如求己；贫穷志不移；吃得苦中苦；方为人人；失意不灰心； 得意莫忘形。桂冠上的飘带，不是用天才纤维捻制而成的，而是用痛苦，磨难的丝缕纺织出来的。你的脸是为了现上帝赐给人类最贵重的礼物——微笑，一定要成为你工作醉大的资产。
多边形的内角和 [教学内容]苏教版四年级下册第96页~97页探究多边形内角和计算规律。 [教材简析] 这部分内容是一次探索规律的活动，主要引导学生通过观察、操作、归纳、类比等具体活动，发现多边形内角和的计算方法。多边形内角和是在学生认识了三角形内角和等于180°，了解多边形基本特征的基础上教学的。通过活动，使学生经历由特殊到一般的学习过程，发现多边形内角和和边数之间的关系，获得计算多边形内角和的一般方法，积累数学活动经验，感悟一些基本的数学思想的方法，体会三角形内角和以及相关数学方法的价值，使学生经历发现数学规律的过程，积累数学活动经验，感悟转化的数学思想。 [教学目标] 1.使学生经历提出问题、自主探索、观察分析、归纳概括等活动，了解多边形与它最少能分成三角形个数之间的关系，掌握多边形的内角和与边数之间的关系，掌握多边形的内角和的计算方法，能正确计算多边形的内角和。 2.使学生经历分一分、算一算、比较归纳等探索、发现规律的过程，加深感受探索数学规律的一般方法，积累相应的数学活动经验，提高解决问题的能力,进一步体会转化思想，培养观察、比较、归纳和概括等的思维能力，进一步发展空间观念。 3.使学生主动参与探索规律的活动过程，进一步产生对数学的好奇心，感受数学活动的挑战性和趣味性，增强学好数学的自信心。 [教学重点]探索多边形内角和的规律。 [教学难点]获得规律探究的一般方法。 [教学过程] 一、创设情境，提出问题 提问：三角形的内角和是多少度？（PPT出示：三角形） 引导：我们知道了三角形的内角和是180°，那四边形、五边形、六边形等多边形的内角和各是多少度呢？（ppt出示教材中的图形）其中有没有什么规律呢？这就是我们要研究的问题——多边形的内角和（板书课题）。我们就从边数较少的简单的图形开始研究不同边数的多边形内角和。 [设计说明：先回顾三角形的内角和再提出探讨四边形、五边形、六边形等多边形的内角和，使得新课导入亲切自然，使学生明确学习任务，激发孩子学习
多边形的内角和 教学内容：苏教版四年级下册第96~97页“多边形的内角和”。 教学目标： 1、使学生经历提出问题、自主探索、观察分析、归纳概括等活动，了解多边形与它最少能分 成三角形个数之间的关系，掌握多边形的内角和与边数之间的关系，掌握多边形的内角和的计算方法，能正确计算多边形的内角和。 2、使学生经历分一分、算一算、比较归纳等探索、发现、规律的过程中，加深感受探索数学 规律的一般方法，积累相应的数学活动经验，提高解决问题的能力；进一步体会转化思想，培养观察、比较、归纳和概括等思维能力，进一步发展空间观念。 3、使学生主动参与探索规律的活动过程，获得探索规律、发现规律的成功体验，树立学好数 学的自信心；感受数学的奥妙，产生学习数学的兴趣，提高学习数学的积极性。、 教学重点：探索多边形内角和的规律。 教学难点：获得规律探索的一般方法。 课前准备：带好量角器、三角尺、自务任意形状的四边形一个。 教学过程： 一、回顾旧知，提出问题 1、师：前面我们研究了三角形的内角和，三角形的内角和是多少度？我们用 了哪些方法求出三角形的内角和？ 2、师：那其它多边形的内角和是多少度呢？其中有没有什么规律呢？这就是 今天我们要研究的问题——多边形的内角和。（板书：多边形的内角和） 二、探索四边形的内角和 1、展示课前准备的四边形 师：同学们课前各自准备了一个四边形，谁来说说看你准备了一个什么样的四边形？ 2、师：你能想办法求出手中四边形4个内角的和吗？（动手试一试，再与小组同学交流。） （学生活动，教师巡视） 3、师：哪一组的同学先来介绍一下，你们是怎样求出手中四边形的内角和的？ （指名小组汇报，全班进行补充） 师：我发现一个问题：大家准备了不同形状的四边形，求得的内角和都是多少度？ 4、比较优化 师：而且，同学们想到了不同的方法来求出四边形的内角和，在众多方法中，你觉着哪种方法比较方便？ 师：同学们说的真好，这真是个巧妙的方法，通过转化，把四边形分成两个三角形，利用三角形的内角和是180°，很方便地算出四边形的内角和是360°。
11.3多边形及其内角和 11.3.1多边形 学习目标： 1、了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念. 2、区别凸多边形与凹多边形. 学习重点： 1、了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念. 2、区别凸多边形和凹多边形. 学习难点： 多边形定义的准确理解. 课前预习 预习课本P19-21及课后练习 什么叫多边形？多边形的分类？如何认识多边形的边、角、顶点？什么是多边形的对角线? 怎样算多边形的对角线？什么是正多边形？ 课内探究 探究一：1、P19页图，同学们讨论一下这些线段围成的图形有何特性？ (1)它们在同一平面内. (2)它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的. 2、这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形. 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形.(一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形.) 3、多边形的边、顶点、内角和外角. 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做 多边形的外角. 4、多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线. 学生画出五边形的所有对角线. 5、凸多边形与凹多边形 看投影：图形见课本P19、11、3—6、认识多边形如何分类？6、正多边形
由正方形的特征出发， 得出正多边形的概念？各个角都相等， 各条边都相等的多边形叫做 正 多边形.P20页的图。 【拓展延伸】 1、一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求 这个正多边 形的内角和. 2、如果两个多边形的边数之比为1 : 2，这两个多边形的内角之和为1440°,请 你确定这两个多边形的边数. 3、用几何画板工具可以很方便地画出正五角星 （如图1所示）. （1）图 1 中 CAD B C D E . 当堂检测 一、判断题.1、由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形.（ ） 2、 由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形.（ ） 3、 由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使 整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形.（ ） 4、 在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形.（ ） 5、 连接多边形 ______ 的线段，叫做多边形的对角线. 6、 多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ________________ ,这样的多边形叫凸多 边 形. 7、 各个角 _________ ，各条边 _____________ 的多边形，叫正多边形. ⑵拖动点A 到图2和图3的位置时，CAD B C D E 的值是否发生变化？ 说明你的理由 图2 图3
工美附中课堂教学（预案）设计20101130
教 学 活 动 设 计 教学活动包括： 情境创设/活动构建(自主、合作、探究、展示) /评价检测/巩固提高/预习、复习等方面 教师活动 学生活动 设计意图 【活动一】探究新知： 探究1：我们知道，三角形内角和是180°，正方形和长方形的内角和都等于360°，那么任意一个四边形的内角和是否也等于360°呢？你能利用三角形内角和定理证明四边形内角和等于360°吗？那么五边形、六边形的内角和等于多少？n 边形呢？ 【结论】：1、从四边形的一个顶点出发,可以引______条对角线,它们将四边形分成______个三角形,四边形的内角和等于180°×______； 2、从五边形的一个顶点出发,可以引 ______条对角线, 它们将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于180°×______； 3、从六边形的一个顶点出发,可以引 ______条对角线, 它们将六边形分成______个三角形，六边形的内角和等于180°×______； 4、从n 边形的一个顶点出发,可以引 ______条对角线, 它们将n 边形分成______个三角形，n 边形的内角和等于180°×______； 【归纳】：n 边形的内角和等于（n-2）·180°。 例1、如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ 答：互补。 例2、如图所示，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和，六边形的外角和等于多少度呢？ 1 2 3 4 A B C D E F 5 6 已知：∠1，∠2，∠3，∠4，∠5，∠6分别为六边形ABCDEF 的外角。 学生思考，讨论，回答，归纳。 学生思考，讨论，尝试回答，证明。 通过回顾三角 形、正方形和长方形的内角和，促使学生对新问题进行思考与猜 想。 从简单的四边形入手，让学生亲自操作寻求结论，易于引起学习兴趣，鼓励学生找到多种方法，让学生体会 多种分割形式， 有利于深入领会 转化的本质——四边形转化为三角形，也让学生体验数学活动充满探索和解决问题方法的多样性。 从探索四边形的 内角和，到五边形、六边形、七边形乃至n 边形，通过增强图形的复杂性，让学生体会由简单到复杂，由特殊到一般的思想方法， 再一次经历转化 的过程。
11.3.多边形的内角和 一、教学目标： 1、知识与技能： ①掌握多边形内角和公式，并能熟练运用； ②通过把多边形转化成三角形的运用，体会从特殊到一般认识问题的方法。 ③体会几何中不等关系的简单证明。 2、过程与方法 ①通过探索“多边形及内角和”，培养学生的探索能力。 ②结合具体实例，在学习了多边形及内角和后，能运用所学知识解决简单的问题训练学生对所学知识的运用能力。 3、情感、态度与价值观 1.通过让学生积极参加数学学习活动，培养学生对数学的好奇心与求知欲。 2.有具体实例的引号，让学生初步认识数学与人类生活的密切联系。 3.通过猜想、推理活动探索以及数学结论的确定性，提高学生学习热情。 二、教学重点、难点 重点：探索多边形内角和 难点：探索多边形内角和时，如何把多边形转化成三角形。 三、教学方法 引导发现法、讨论法。 四、教具准备：课件电子白板三角板量角器 五、教学过程 (一)创设问题情境导入新课： 活动1 问题：你知道三角形内角和是多少度吗？ 三角形内角和等于180° （二）来动手试一试实践出真知 活动2 探究 2008年奥运场馆水立方给全世界留下了深刻的印象，水立方的采用膜结构而它的膜结构的结合处都是多边形，大家想知道多边形的内角和吗？ 问题：1.你知道任意一个四边形的内角和是多少吗？ 2.你是怎样得到的？你能找到几种方法？ （组织学生4人一组，并让他（她）们讨论然后把数据一一记录下来） 在讨论的过程中，给出不同等级的“自我评价标准”每个小组对照评价表给出自我评价，深入到学生讨论中，以“边听一边问－边导”的形式，适时对各小组进行点拔
讨论结束后，小组学生代表展示探究结果，说明求四边形内角和的方法，并讲述想法。对学生找到的不同方法都给予肯定和评价，并加以总结，归纳学生提出的探究方法：度量、剪拼，分割。 将常用的3种分割方法板书到黑板上。重点引导学生比较三种不同的分割方法一 即从四边形的一个顶点引对角线；从四边形的边上任意取一点，连接这点与各顶点的线段；从四边形的内部任取一点，连接这点与各顶点的线段分别将四边形分成了几个三角形，如何利用三角形的内角和180求出四边形的内角和360,如何将四边形内角和的表示与边数联系起来。 板书 活动2：类比探索五边形、六边形、七边形的内角和 问题：五边形、六边形、七边形的内角和等于多少度？ 请大家思考后相互交流 学生任选一种方法在课前老师发给每个学生的答题纸上自主完成。预计有些学生对分割方法可能存在困难,可以让做得快的学生下座位与老师一道帮助学习有困难的学生。做完后,请学生用三种方法叙述计算过程和结论,教师点评。 活动三：归纳总结n边形的内角和 1.猜想：n边形的内角和如何表示呢？ 【学生通过上面的学习很容易说出（n-2）×180°】 2.说明：我们能否用上述方法得到内角和公式？
八年级数学上册11.3.2多边形的内角和学案新版新人教版 课题：11.3.2多边形的内角和 【学习目标】 使学生了解多边形内角、外角的概念； 能通过不同方法探索多边形的内角和与外角和公式，并会应用它们进行有关计算。 【学习重点】 多边形的内角和公式； 多边形的外角和公式。 【学习难点】 如何把多边形转化为三角形，用分割多边形法推导多边形的内角和。 【学习过程】 ※知识链接 三角形内角和等于_______度，四边形内角和等于_______度。 你如何得到四边形内角和这个结论的？ ※合作与探究 一、自主学习
页，用红笔对有关概念进行勾画23至第21阅读教材第 并完成下列问题。 找出自己的疑惑和要讨论的问题，准备在课堂上讨论质疑 二、合作探究 探究1：探究多边形内角和的度数。 如图，请你利用分割的方法探索六边形的内角和是多少度？ 你可以用多少种方法分割六边形探究六边形内角和的度数？请在下图中画出来。 请选择你喜欢的方法将下列多边形分割成三角形的方法填入下表。 多边形的边数图形分割出三角形的个数多边形的内角和… … … … n 根据图表得到结论： 得到多边形内角和=_______________________。 根据正多边形的性质，可知每一个正多边形内角是。 _________度，每一个外角是___________ 探究2：探究多边形外角和的度数。
小组合作完成下表 三角形四边形五边形六边形八边形十边形 内角和 外角和 根据上表中的数据，可以发现，多边形每增加一条边，内角和就增加________度，多边形的外角和都是_______度。 探究3：多边形内教和公式及多边形外角和的应用。 例1如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系？ ※随堂检测 判断题 当多边形的边数增加时，它的内角和的度数也增加 当多边形的边数增加时，它的外角和的度数也增加 三角形的外角和与八边形的外角和相等 从n边形一个顶点出发，可以引出条对角线，得到个三角形 填空题 一个多边形的内角和是4320o，则它的边数为___________。 五边形内角和为_________，它的对角线共有_______条。 一个多边形的每一个外角都等于30o，则这个多边形为 ______边形。
11.3.2多边形的内角和（教学设计） 一、教学目标 1、知识与技能： （1）探索并了解多边形的内角和公式。 （2）能对多边形的内角和公式进行应用，解决实际问题。 （3）掌握多边形的外角和定理，并能运用。 2、过程与方法： （1）通过量，拼，分，类比，推理等教学活动，探索多边形的内角和公式，感受数学思考过程的条理性，发展推理能力和语言表达能力。 （2）通过把多边形转化成三角形体会转化思想在几何中的运用，让学生尝试从不同的角度寻求解决问题的方法，同时让学生体会从特殊到一般的认识问题的方法。 3、情感态度与价值观： （1）通过师生共同活动，培养学生创新精神，增强学生对数学的好奇心与求知欲。 （2）向学生渗透类比、转化的数学思想，并使学生学会与他人合作。 二、教学重难点 重点：多边形内角和定理与外角和定理的推导及运用。 难点：将多边形的内角和转化为三角形的内角和，找出它们之间的关系。 三、教法：启发式、探索式 四、学法：自主探索、合作交流 五、前置作业： 1、做一个不规则四边形学具； 2、用尽可能多的方法探究多边形的内角和。 （目的：一是让学生结合自己已有的生活经验，尝试应用更多的方法来探究多边形的内角和。二是制作一个学具，
通过操作学具来触发学生的思考，为重难点的突破打好基础。） 六、教学过程： （一）创设问题情境，导入新课 课件出示一组生活中的图片 问题1：看完这组图片，你能抽象出哪些几何图形 问题2：生活中有如此多几何图形，你对它们有多少了解？ 设置意图：学生能说出发现了三角形、四边形、五边形、六边形、八边形…进而指出什么是多边形。老师指出三角形是最简单的多边形，三角形的内角和是180度，那多边形的内角和是多少呢？从而顺利引入新课。 过渡语：我们知道三角形的内角和等于180度，正方形，长方形的内角和等于360度，那么四边形、五边形、六边形呢？ 今天，老师想和同学们一起走进多边形的家园去揭开多边形的内角和的奥秘。”（板书课题） 二、合作交流、探究新知 活动一：探究“任意四边形的内角和” 问题1：任意四边形的内角和是多少度？你是怎样得到的？你能找到几种方法？ 活动任务：用用尽可能多的方法探索四边形的内角和 活动要求： 1.先自己想，再小组交流。 2.然后每个小组派两名同学代表展示，并说出方法。
多边形及其内角和教学设计（二）教学设计思路 通过具体的图形来让学生更好的理解一些概念。对于多边形的内角和定理及其外角和定理要启发引导学生积极参与，一起分析、探究总结出所要的结论。通过例题来巩固这些知识点。 教学目标 知识与技能 表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形、正多边形）； 探索并说出多边形的内角和与外角和公式； 能根据多边形内角和公式与外角和公式求多边形内角的度数和多边形的边数； 进一步发展说理能力和简单的推理能力。 过程与方法 经历探索多边形内角和与外角和公式的过程，实际测量，推理。 情感态度价值观 通过探索过程进一步体会知识点之间的联系； 通过本节的学习进一步体会数学与现实生活的紧密联系。 教学重点和难点 重点是多边形的内角和定理。 难点是学会善于运用三角形的有关知识来研究多边形的问题。能够灵活运用多边形内角和与外角和解决相关问题。 教学方法 启发引导、合作探究 课时安排 2课时 教学媒体 课件：多边形及其内角和（二） 教学过程设计 （一）引入 你能从ppt的第2页中找出几个由一些线段围成的图形吗? （二）一些概念 现在我们来学习一个概念：多边形。 播放ppt第3页 学习了以上概念后我们再来看ppt第2页中的图形都可以看作是几边形呢？
播放ppt第4页 接下来我们学习多边形的一些相关概念：内角、外角、对角线、凸多边形正多边形。结合课本上的概念播放ppt5~8页来一起学习这些概念。 （三）练习 一起学习课本86页的练习 （四）小结 引导学生总结本节的知识点。 （五）板书设计 第二课时 （一）引入 播放ppt第9页 正方形、长方形的内角和都等于360°，其他四边形的内角和等于多少？ （二）探究 播放ppt10~14页 （三）例题 例1 如果一个四边形的一组对角互补，那么另一组对角有什么关系? 解：如图7.3—10，四边形ABCD中， ∠A＋∠C＝180°。 因为∠A＋∠B＋∠C＋∠D＝（4－2）×180°＝360°， 所以∠B＋∠D＝360°－（∠A＋∠C） =360°－180°=180°。 这就是说，如果四边形的一组对角互补，那么另一组对角也互补。 例2如图7.3—11，在六边形的每个顶点处各取一个外角，这些外角的和叫做六边形的外角和。六边形的外角和等于多少?
１1.３.1多边形导学案 八年级数学 主备人：吴月玉 组员:吴月玉、雷文、梁秋惠、黄爱玉、李刘花、吴福荣 课型：新授课 课时：1课时 学习目标: 1、掌握多边形、正多边形、多边形得内角、外角及多边形得对角线等数学概念。 ２、掌握多边形得对角线条数与多边形边之间得关系。 一、自学指导:阅读课本P19-20页。完成下列各题。 1、多边形得定义: 。 ２、如图,试给出：多边形得内角定义； 多边形得外角定义: 多边形得对角线定义: 3、多边形有凸多边形与凹多边形之分,如图、: 如图（2)就是凸多边形它得判断方法就是: 如图(１)就是凹多边形它得判断方法就是: 4、正多边形得定义: ５、想一想:（1)一个多边形得边都相等,它得内角一定都相等吗？ （２)一个多边形得内角都相等,它得边一定都相等吗? 从上面得两个猜想中您得到得结论: 、两者缺一不可得就是正多边形。 二、自学检测: 1、n边形有条边, 个顶点, 个内角，个外角 2、下图中,∠1就是多边形外角得就是:（） 3、课本21页练习。 4、右图就是凸多边形得就是: （) 5、如图:任意给出一个四边形、一个五边形,完成下列各题。 从四边形得一个顶点出发,可画条对角线，把四边形分成了个三角形，共有条对角线；从五边形得一个顶点出发,可画条对角线,把五边形分成了个三角形,共有条对角线。 6、试完成下表: 外角 1 (1) 1 (2) 1 A B C
7 数为_＿___条。 8、若一个多边形共有９条对角线,则这个多边形就是_____边。 三、课堂小结: 通过这节课得学习,您有什么收获？还有什么疑惑吗? 四、课堂小测:(1、2题各3分,３题４分,共１0分) 1、下列图形中,就是正多边形得就是（） Ａ直角三角形Ｂ等腰三角形 C长方形 D正方形２、过ｎ边形得一个顶点得所有对角线，把多边形分成8个三角形,则这个多边形得边数就是_＿_＿___。 3、一个多边形得对角线得条数等于它得边数得4倍,求这个多边形得边数。 １1．３.2多边形得内角与导学案 八年级数学 主备人:吴月玉 组员：吴月玉、雷文、梁秋惠、黄爱玉、李刘花、吴福荣 课型:新授课 课时:1课时 学习目标: 1.掌握多边形得内角与与外角与定理; 2.运用多边形内角与与外角与定理进行有关得计算． 一、课前知识储备: 1、三角形得内角与就是多少? 。 2、正方形、长方形得内角与就是多少？ ３、从n边形得一个顶点出发可以画___＿_条对角线,把n分成了个三角形; 二、自学指导:阅读课本P21-２3,完成下列各题。 知识点一:多边形得内角与定理
22.7多边形的内角和与外角和 学习目标： 1、掌握多边形的有关概念，会识别多边形的边、角、顶点、对角线等。 2、探索多边形的内角和定理与外角和定理，会求多边形的边数，内、外角和度数。 学习重点与难点： 重点：多边形的内角和定理与外角和定理； 难点：多边形的内角和定理推导方法的理解。 学习过程： 一、新知探究： 活动1：阅读P150完成以下问题 1、在平面内，由的线段组成的图形叫做多边形。 连结多边形不相邻两个顶点的线段叫多边形的。 2、右图是边形，有个顶点，它们分别是：； 有个角，它们分别是：； 有条边，它们又分别是：； 从点A处能画条对角线，它们分别是：。 这是一个凸多边形吗？ 活动2：多边形的内角和 将多边形分割成不重叠的三角形，求四、五、六边形的内角和，猜想n边形的内角和，完成 结论：从n边形的一个顶点出发可引条对角线，可得到个三角形。 n边形的内角和等于。
活动3：多边形的外角和 在多边形的每个顶点处，取这个多边形的一个外角，这些外角的和叫做这个多边形的外角和。思考：n边形的外角和是多少度？ 多边形的外角和定理： 二．应用新知 1.已知一个多边形，它的内角和与外角和相等，这个多边形是几边形？ 2.如图，小明从A点出发前进5m后向右转20°，再前进5m后又向右转20°，这样走n次后恰好回到点A处。这样走n次恰好回到出发点A处。 （1）小亮走出的这个n边形的每个内角是多少度，内角和是多少度？ （2）小亮走出的这个n边形的周长是多少米？ 三.巩固练习 （一）、判断题： 1、多边形的边数增加时，它的内角和也随着增加。（） 2、从n边形一个顶点出发，可以引出（n一2）条对角线，得到（n一2）个三角形。（） 3、四边形的四个内角中至少有一个角不小于直角。（） （二）、填空题： 4、一个多边形的内角和是900o，则此多边形共有个内角。 5、一个多边形从一个顶点可引对角线3条，这个多边形内角和是。 6、一个多边形的每个内角都等于135°，则这个多边形是边形。 7、四边形ABCD中：∠A：∠B：∠C：∠D=1：2：3：4，则：∠A= ；∠B= ；∠C= ；∠D= 。 8如图，一个多边形纸片按图示的剪法剪去一个内角后，得到一个内角 和为2340°的新多边形，则原多边形的边数为。 9．如图所示，根据图中的对话回答问题． 问题：(1)王强是在求几边形的内角和? (2)少加的那个内角为多少度? 四．小结：本节课你有哪些收获？
第五章平行四边形 第四节多边形的内角和与外角和（二） 【学习目标】 1、经历探索多边形的外角和公式的过程;会应用公式解决问题； 2、把未知转化为已知进行探究，发展说理能力与简单的推理能力． 【学习方法】自主探究与小组合作交流相结合． 【学习重难点】重点：多边形外角和定理. 难点：多边形的外角的定义、外角和定理． 【学习过程】 模块一预习反馈 一、学习准备： 1、n边形的内角和为．正n边形的一个内角为． 2 、多边形的外角的定义：________________________________ _ 叫做这个多边形的外角．n边形有个外角．正多边形的每一 个外角都． 3、______________________________________________________叫做这个多边 形的外角和. 4、运用多边形的内角和，来研究多边形的外角和． 四边形外角和为：；五边形外角和为：；六边形外角和为：． 多边形的外角和定理:多边形的外角和等于_______. 5、正多边形的每一个外角的度数为___________. 6、多边形的内角与相邻外角的和为 . 辨析：所有多边形的外角和不随边数的变化而变化；内角和随边数的变化而变化： 边数每增加1，内角和就增加180o.
二、教材精读： 7、例1 （长沙）下列多边形中，内角和与外角和相等得是（ ） A.四边形 B.五边形 C.六边形 D.八边形 分析：利用多边形外角和等于360o及内角和公式建立方程，解出答案. 8、一个多边形的内角和等于它的外角和的3倍，它是几边形？ 模块二 合作探究 9、求多边形的边数 例2 一个正多边形的一个内角比相邻的外角大36o，求这个正多边形的边数. 10、一个多边形的每一个外角都相等，且内角和为2880°，那么它的内角 为_________. 模块三 形成提升 1、已知多边形的内角和与某一个外角的度数总和为1350°，求多边形的边数. 2、一个多边形的每个外角都是120°，则这个多边形是_________边形. 3、一个多边形的内角和与外角和为540°，则它是 形． 4、若一个n 边形的内角都相等，且内角的度数与和它相邻的外角的度数比为 3∶1，那么，这个多边形的边数为________. 5、一个多边形最少可分割成五个三角形，则它是________边形（ ） A.8 B.7 C.6 D.5 6、一个多边形的外角和是内角和的一半，则它是边形（ ） A.7 B.6 C.5 D.4 7、一个正多边形，它的一个外角等于它的相邻的内角的 41，则这个多边形是（ ）．
《多边形的内角和》导学案 学习目标 能正确运用多边形的内角和与外角和的计算公式，解决多边形的内角与外角的问题. 一、准备练习 多边形的内角和公式__________________，外角和为___________. 二、自主学习 知识点1 多边形的内角和 1.七边形的内角和为（） A.540° B.720° C.900° D.360° 2.已知一个多边形的内角和是540°，则这个多边形是() A．四边形 B．五边形 C．六边形 D．七边形 3.如图，在四边形ABCD中，∠A=90o，则∠B+∠C+∠D=_______. 知识点2 多边形的外角和 1.四边形的外角和等于（） A.180° B.270° C.360° D.540o 2.若一个正多边形的每一个外角都等于60o，则这个多边形的边数为（） A.6 B.8 C.10 D.12 3.有一个多边形的内角和等于外角和的一半，则这个多边形是_______. 三、合作探究 探究1 如图，在五边形ABCDE中，AE∥CD,∠A=109°，∠B=121°,你能求出∠C的度数吗？请说明你的理由。 变式1 ⑴如图，剪去正方形的两个角后得到∠1，∠2，∠3，∠4，求∠1+∠2+∠3+∠4的度数. ⑵如图，在“鱼形”图案中，已知CE和DF相交于点O，若∠EOD=65o,求∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F的度数.
探究2 若一个正多边形的每个外角都等于一个内角的 ，求这个正多边形的每一个内角的度数和它的边数. 变式2 ⑴如果n 边形的每一个内角都等于与它相邻外角的2倍，则n 的值为（ ） A.3 B.4 C.5 D.6 ⑵若一个多边形的内角和与它的外角和相加等于1800o，求这个多边形是几边形？ 四、课堂演练 1.正五边形的每个外角等于（ ） A.45° B.60° C.72° D.90° 2.若多边形的边数由3增加到9，则其外角和的度数（ ） A.增加 B.减少 C.不变 D.无法确定 3.下列角的度数中，可以是某个多边形的内角和的是（ ） A.140° B.160° C.250° D.360o 4.如果一个多边形的每个内角的度数都是108o，则这个多边形是（ ） A.五边形 B.六边形 C.七边形 D.八边形 5.十边形的内角和是_______. 6.已知一个n 边形的外角和比它的内角和小720o，则n=______. 7.如图，六边形ABCDEF 的各个内角都相等，CF ∥AB,试求∠DCF 的度数. 72
11.3 多边形及其内角和 11.3.1多边形 学习目标： 1、了解多边形及有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2、区别凸多边形与凹多边形． 学习重点： 1、了解多边形及其有关概念，理解正多边形及其有关概念． 2、区别凸多边形和凹多边形． 学习难点: 多边形定义的准确理解． 课前预习 预习课本P19-21及课后练习 什么叫多边形？多边形的分类？如何认识多边形的边、角、顶点？什么是多边形的对角线？怎样算多边形的对角线？什么是正多边形？ 课内探究 探究一：1、P19页图，同学们讨论一下这些线段围成的图形有何特性？ （1）它们在同一平面内． （2）它们是由不在同一条直线上的几条线段首尾顺次相接组成的． 2、这些图形中有三角形、四边形、五边形、六边形、八边形，那么什么叫做多边形呢？你能仿照三角形的定义给多边形定义吗？ 在平面内，由一些线段首位顺次相接组成的图形叫做多边形． 如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做n边形．（一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．） 3、多边形的边、顶点、内角和外角． 多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． 4、多边形的对角线 连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做多边形的对角线． 学生画出五边形的所有对角线． 5、凸多边形与凹多边形 看投影：图形见课本P19、11、3—6、认识多边形如何分类？ 6、正多边形
由正方形的特征出发，得出正多边形的概念？各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形．P20页的图。 【拓展延伸】 1、一个正多边形的一个内角的度数比相邻外角的6倍还多12°，求这个正多边形的内角和． 2、如果两个多边形的边数之比为1：2，这两个多边形的内角之和为1440°，请你确定这两个多边形的边数． 3、用几何画板工具可以很方便地画出正五角星(如图1所示). (1) 图1中 E D C B CAD ∠+∠+∠+∠+∠ = . (2)拖动点A 到图2和图3的位置时, E D C B CAD ∠+∠+∠+∠+∠的值是否发生变化?说明你的理由. 图1 图2 图3 当堂检测 一、判断题．1、由四条线段首尾顺次相接组成的图形叫四边形．（ ） 2、由不在一直线上四条线段首尾次顺次相接组成的图形叫四边形．（ ） 3、由不在一直线上四条线段首尾顺次接组成的图形，且其中任何一条线段所在的直线、使整个图形都在这直线的同一侧，叫做四边形．（ ） 4、在同一平面内，四条线段首尾顺次连接组成的图形叫四边形．（ ） 5、连接多边形 的线段，叫做多边形的对角线． 6、多边形的任何 所在的直线，整个多边形都在这条直线的 ，这样的多边形叫凸多边形． 7、各个角 ，各条边 的多边形，叫正多边形．
多边形及其内角和 本节内容选自七年级下册第七章7.3节p84页 一、教学目标 1、明确表述多边形的有关概念（内角、外角、对角线、凸多边形、凹多边形，正多边形）。 2、探索并说出多边形的内角和公式，能根据多边形内角和公式求多边形内角的度数和多边形的边数，进一步发展说理能力和简单的推理能力。 二、教学重点 1、多边形的内角和公式及其推导过程。 2、利用多边形的内角和公式求多边形内角。 三、教学难点 1、多边形的内角和公式的推导过程 四、课时安排：一课时． 教具准备：板书，幻灯片 五、教学过程 （一）引入 你能从图7.3—1中找出几个由一些线段围成的图形吗?
（二）知识点 我们学过三角形。三角形定义：由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 给出相关概念：多边形 类似地，在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的图形叫做多边形（po1ygon）。 多边形按组成它的线段的条数分成三 角形、四边形、五边形……三角形是 最简单的多边形。如果一个多边形由 n条线段组成，那么这个多边形就叫 做n边形。 凸多边形与凹多边形 如图（1）画出四边形ABCD的任何一条边(例如CD)所在直线，整个四边形都在这条直线的同一侧，这样的四边形叫做凸四边形。而图（2）中的四边形ABCD就不是凸四边形，因为画出边CD（或BC)所在直线，整个四边形不都在这条直线的同一侧。类似的，画出多边形的任何一条边所在直线，如果整个多边形都在这条直线的同一侧，那么这个多边形就是凸多边形，本节只讨论凸多边形。 正多边形 我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等。像正方形那
样，各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做正多边形。图7.3－7是正多边形的一些例子。 特别提醒：（1）正多边形必须两个条件同时具备，①各内角都相等；②各边都相等。例如：矩形各个内角都相等，它就不是正四边形。再如：菱形各边都相等，它却不是正四边形。 多边形中的角 我们已经知道三角形有三个内角，类似多边形相邻两边组成的角叫做它的内角。如图7.3-3，∠A,∠B,∠C,∠D,∠E是五边形ABCDE的五个内角，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角，图7.3-4中的∠1是五边形ABCDE的外角。易知n边形有n个内角，有n个外角。
11．3 多边形及其内角和 11．3.1 多边形 学习目标： 1．了解多边形及有关概念． 2．理解正多边形及其有关概念． 预习 阅读教材，完成预习内容． 知识探究 1．在平面内，由一些线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做________．如果一个多边形由n条线段组成，那么这个多边形叫做________．(一个多边形由几条线段组成，就叫做几边形．) 2．相邻两边组成的角叫做____________，多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做 ____________． 3．连接多边形的不相邻的两个顶点的线段，叫做________________． 4．各个角都相等，各条边都相等的多边形叫做________． 自学反馈 1．下列图形不是凸多边形的是( ) 2．n边形有________条边，________个顶点，________个内角． 点拨：在多边形的概念中，要分清以下几个方面： (1)在平面内； (2)若干线段不在同一直线上； (3)首尾顺次相接； (4)所形成的封闭图形． 活动1小组讨论 1．请列出生活中的一些多边形，并指出其特征． 解：房屋顶是三角形，因为三角形有稳定性；螺母底面为六边形，是为了方便安装和拆卸；黑板为四边形，是为了满足教学的使用；等等． 点拨：生活中存在很多的多边形，它们的形状都是为了与生活相适应． 2．多边形的内角、外角及对角线． (1)多边形相邻两边组成的角叫做多边形的内角． (2)多边形的边与它的邻边的延长线组成的角叫做多边形的外角． (3)连接多边形不相邻的两个顶点的线段叫做多边形的对角线． (4)多边形用表示它的各顶点的大写字母来表示，表示多边形必须按顺序书写，可按顺时针或逆时针顺序． (5)正多边形各个角都相等，各条边都相等．(如下图所示)