微积分第九章微分方
程
第九章微分方程
一、教学目标及基本要求
（1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。
（2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。
（3）会用降阶法解下列方程：?Skip Record If...?。
（4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。
（5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。
（6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。
（7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。
二、本章教学内容的重点和难点
1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念；
2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法；
3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法；
4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。
三、本章教学内容的深化和拓宽：
1、分离变量法的理论根据；
2、常用的变量代换；
3、怎样列微分方程解应用题；
4、黎卡提方程；
5、全微分方程的推广；
6、二阶齐次方程；
7、高阶微分方程的补充；
8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解；
9、求线性非齐次方程的一个特解；
10、常数变易法。
本章的思考题和习题
解下列方程（第1-6题）
1、?Skip Record If...?
2、?Skip Record If...?可微
3、?Skip Record If...?
4、?Skip Record If...?
5、?Skip Record If...?
6、?Skip Record If...?
7、已知可微函数?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?；
8、已知?Skip Record If...?；
9、求与曲线族?Skip Record If...?相交成?Skip Record If...?角的曲线；
10、一容器的容积为100L，盛满盐水，含10kg的盐，现以每分钟3L的速度向容器内注入淡水冲淡盐水，又以同样的速度将盐水抽入原先盛满淡水的同样大小的另一容器内，多余的水便从容器内流出，问经过多少时间，两容器内的含盐量相等？
§9.1微分方程的基本概念
一、内容要点：
先从实例引入建立几个微分方程的模型，引入微分方程的一系列概念；
常微分方程：常微分方程的阶数、解、通解、全部解、特解、积分曲线族的定义；
二、教学要求和注意点
了解微分方程与微分方程的阶、解、通解、初始条件和特解以及积分曲线
说明1：一个微分方程加上初始条件和初值问题的解是对某实际问题两种等价的描述形式。前者强调的是运动的过程，是系统的机理；后者强调的则是运动的结果，是系统的输出。
说明2：可分离变量的微分方程虽然简单，但它是求解各种微分方程的基础，要求学生必须熟练掌握。
定义1：称含有导数或微分的方程为微分方程，并称方程种最高阶导数的阶
数为方程的阶数。
如： ?Skip Record If...?二阶方程；?Skip Record If...?一阶方程；?Skip Record
If...?三阶方程，等等
讲方程，都是为了解方程，前两个方程不好解，第三个方程好解。解之，
?Skip Record If...?，方程两边三次积分，得方程的解?Skip Record If...?
（?Skip Record If...?为任意常数）。当?Skip Record If...?时，也满足方程。可
见
?Skip Record If...?包括了所有的解的形式。则称它为通解。
定义2：称满足微分方程的函数为方程的解。若方程的解种含有相互独立的
任意常数，常数的个数恰好等于方程的阶数，则称此解为方程的通解；称不
含任意常数的解为方程的特解。
注1:通解与特解只是方程的两类解，一阶方程的解要么是通解，要么是特解注2：一阶方程的几种形式：一般形式：?Skip Record If...?，从这个方程种有可能解出?Skip Record If...?，也有可能解不出来；一阶显式方程：?Skip Record If...?；对称形式：?Skip Record If...?或?Skip Record If...?
注3：在一阶方程种，?Skip Record If...?和?Skip Record If...?的关系是等价的.
因此，有时可将?Skip Record If...?看成函数，?Skip Record If...?看做变量。
§9.2可分离变量的微分方程
一、内容要点：
可分离变量的方程及其他可化为变量可分离的方程的定义及解法。
本单元的讲课提纲：
然后再讲具体的类型与解法—可分离变量的方程与分离变量法。重点是微分方程的阶、通解与特解等概念，分离变量法。难点是利用微分方程建立数学模型关键是判别可分离变量方程的方法，以及具体积分方法。
二、教学要求和注意点
掌握可分离变量微分方程的解法
注意问题：?Skip Record If...?通常只表示一个原函数，积分常数C有时写成?Skip Record If...?
定义1：称能改写为形式：?Skip Record If...?的一阶方程为可分离变量方程。注：不是所有的方程都能这样，故可分离变量方程为一阶线性方程的特殊情况。
定理1：若?Skip Record If...?，?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?的通解为?Skip Record If...?
证：（1）先证?Skip Record If...?是方程的解。
两边对?Skip Record If...?求导，得?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?
故?Skip Record If...?是方程的解
（2）设?Skip Record If...?是方程的任一解，则?Skip Record If...?
两边关于?Skip Record If...?积分，得 ?Skip Record If...?
又 ?Skip Record If...?是?Skip Record If...?的一个原函数，?Skip Record If...?是
?Skip Record If...?的一个原函数
则?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?在?Skip Record If...?中
所以， ?Skip Record If...?为?Skip Record If...?的通解。
注1:可分离变量方程的解法：先分离变量，再两边积分，即得通解。
注2：用来确定通解中的任意常数的条件，称为方程的初始条件。
【例1】求?Skip Record If...?的通解，并求满足初始条件?Skip Record If...?的特解。
解：方程可变为?Skip Record If...?，两边积分，得?Skip Record If...?
即 ?Skip Record If...?为方程的通解。
又?Skip Record If...?，代入，得 ?Skip Record If...? ?Skip Record If...?
即满足初始条件的特解为 ?Skip Record If...?
【例2】求?Skip Record If...?的通解。
解：由?Skip Record If...?，分离变量，得?Skip Record If...?，两边积分，得
?Skip Record If...?，即为方程的隐式通解。
二、可化为齐次方程的方程
经?Skip Record If...?变换将行如?Skip Record If...?方程化为齐次方程。
【例3】求?Skip Record If...?的通解。
解：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?
令?Skip Record If...??Skip Record If...?即 ?Skip Record If...?
方程变为：?Skip Record If...?，令?Skip Record If...?代入，得
?Skip Record If...?，积分，得 ?Skip Record If...?，由 ?Skip Record If...?代回，得
通解为： ?Skip Record If...?（其中?Skip Record If...?为任意常数）
§9.3齐次方程
内容要点：
齐次方程的定义及求解公式，可化为齐次方程的定义以及解法
本单元的讲课提纲
齐次方程的判别和解法不算困难，难在寻找相应的变量代换的问题，变量代换法比较灵活，可多举一些各类型的例题，让学生多见识一些变量代换，以便学生活跃思路，积累经验。重点是齐次方程与变量代换法，难点是寻找变量代换。
作业：同步训练习题
一、齐次方程
定义1：称能改写成形式：?Skip Record If...?的微分方程为一阶齐次方程。
我们下面来看看齐次方程解的情形：
令?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，代入方程，得
?Skip Record If...?，分离变量，得?Skip Record If...?
两边积分，解出?Skip Record If...?，再将?Skip Record If...?回代，即得通解。【例1】求 ?Skip Record If...?的通解。
解：原方程可化为?Skip Record If...?，令?Skip Record If...?，即?Skip Record If...?，代入方程，得
?Skip Record If...?，化简 ?Skip Record If...?
积分，得 ?Skip Record If...?，将?Skip Record If...?回代，得通解为?Skip Record If...?
二、可化为齐次方程的方程
经?Skip Record If...?变换将行如?Skip Record If...?方程化为齐次方程。
【例4】求?Skip Record If...?的通解。
解：令?Skip Record If...?，则?Skip Record If...?
令?Skip Record If...??Skip Record If...?即 ?Skip Record If...?
方程变为：?Skip Record If...?，令?Skip Record If...?代入，得
?Skip Record If...?，积分，得 ?Skip Record If...?，由 ?Skip Record If...?代回，得通解为： ?Skip Record If...?（其中?Skip Record If...?为任意常数）
§9.4一阶线性微分方程
一、内容要点：
一阶线性微分方程的形式及求解公式，伯努利方程的形式及解法
本单元的讲课提纲
（1）讲线性非齐次的一阶方程的解法时，要交待变易常数的想法并加强练习，这对今后讲二阶线性方程和线性方程组的常数变易法是有益的。
（2）导出线性非齐次一阶方程的求通解公式以后，可顺利导出满足条件
?Skip Record If...?的特解公式，还应指出两点：第一，当?Skip Record If...?时，线性方程的解总可通过两次积分求得，第二，揭示通解结构。重点是解线性非齐次方程的公式法与常数变易法。难点是伯努利方程。关键是套求解公式或常数变易法及凑微分或令?Skip Record If...?z解伯努利方程。
二、教学要求和注意点
1、知道解一阶线性微分方程的常数变易法，并掌握一阶非齐次线性方程的通解公式。
2、知道一阶非齐次线性方程的通解为对应的齐次方程的通解和非齐次方程的一个特解之和
3、齐次方程与线性齐次方程的作用
一、一阶线性微分方程
定义1：称可转化为形式：?Skip Record If...? (1)的方程为一阶线性方程；若
?Skip Record If...?，则（1）式称为一阶线性齐次方程；?Skip Record If...?，（1）式称为一阶线性非齐次方程。
下面我们来看看方程（1）的解的情形：先看齐次方程：?Skip Record If...?（2）显然是可分离变量方程。
得?Skip Record If...?，两边积分，得 ?Skip Record If...?（3）为一阶线性齐次方程（2）的通解。
第三章 线性系统的时域分析法 3.1 引言 分析控制系统的第一步是建立模型，数学模型一旦建立，第二步 分析控制性能，分析有多种方法，主要有时域分析法，频域分析法，根轨迹法等。每种方法，各有千秋。均有他们的适用范围和对象。本章先讨论时域法。 实际上，控制系统的输入信号常常是不知的，而是随机的。很难用解析的方法表示。只有在一些特殊的情况下是预先知道的，可以用解析的方法或者曲线表示。例如，切削机床的自动控制的例子。 在分析和设计控制系统时，对各种控制系统性能得有评判、比较的依据。这个依据也许可以通过对这些系统加上各种输入信号比较它们对特定的输入信号的响应来建立。 许多设计准则就建立在这些信号的基础上，或者建立在系统对初始条件变化（无任何试验信号）的基础上，因为系统对典型试验信号的响应特性，与系统对实际输入信号的响应特性之间，存在着一定的关系；所以采用试验信号来评价系统性能是合理的。 3.1.1 典型试验信号 经常采用的试验输入信号： ① 实际系统的输入信号不可知性； ② 典型试验信号的响应与系统的实际响应，存在某种关系； ③ 电压试验信号是时间的简单函数，便于分析。 突然受到恒定输入作用或突然的扰动。如果控制系统的输入量是随时间逐步变化的函数，则斜坡时间函数是比较合适的。 （单位）阶跃函数（Step function ） 0,)(1≥t t 室温调节系统和水位调节系统 （单位）斜坡函数（Ramp function ） 速度 0,≥t t ∝ （单位）加速度函数（Acceleration function ）抛物线 0,2 12 ≥t t （单位）脉冲函数（Impulse function ） 0,)(=t t δ 正弦函数（Simusoidal function ）Asinut ，当输入作用具有周期性变化时。 通常运用阶跃函数作为典型输入作用信号，这样可在一个统一的基础上对各种控制系统的特性进行比较和研究。本章讨论系统非周期信号（Step 、Ramp 、对正弦试验信号相应，将在第五章频域分析法，第六章校正方法中讨论）作用下系统的响应。 3.1.2 动态过程和稳态过程
第一章一阶微分方程 1、1学习目标: 1、理解微分方程有关得基本概念,如微分方程、方程阶数、解、通解、初始条件、初值问题等得定义与提法、掌握处理微分方程得三种主要方法: 解析方法, 定性方法与数值方法、 2、掌握变量分离法,用变量替换将某些方程转化为变量分离方程, 掌握一阶线性方程得猜测检验法, 常数变易法与积分因子法, 灵活运用这些方法求解相应方程, 理解与掌握一阶线性方程得通解结构与性质、 3、能够大致描述给定一阶微分方程得斜率场, 通过给定得斜率场描述方程解得定性性质; 理解与掌握欧拉方法, 能够利用欧拉方法做简单得近似计算、 4、理解与掌握一阶微分方程初值问题解得存在唯一性定理, 能够利用存在唯一性定理判别方程解得存在性与唯一性并解决与之相关得问题, 了解解对初值得连续相依性与解对初值得连续性定理, 理解适定性得概念、 5、理解自治方程平衡点, 平衡解, 相线得概念, 能够画出给定自治方程得相线, 判断平衡点类型进而定性分析满足不同初始条件解得渐近行为、 6、理解与掌握一阶单参数微分方程族得分歧概念, 掌握发生分歧得条件, 理解与掌握各种分歧类型与相应得分歧图解, 能够画出给定单参数微分方程族得分歧图解, 利用分歧图解分析解得渐近行为随参数变化得状况、 7、掌握在给定得假设条件下, 建立与实际问题相应得常微分方程模型, 并能够灵活运用本章知识进行模型得各种分析、 1、2基本知识: (一)基本概念 1.什么就是微分方程: 联系着自变量、未知函数及它们得导数(或微分)间得关系式(一般就是 指等式),称之为微分方程、 2.常微分方程与偏微分方程: (1)如果在微分方程中,自变量得个数只有一个,则称这种微分方程为常微分方程,例 如, 、 (2)如果在微分方程中,自变量得个数为两个或两个以上,则称这种微分方程为偏微 分方程、例如, 、 本书在不特别指明得情况下, 所说得方程或微分方程均指常微分方程、 3.微分方程得阶数: 微分方程中出现得未知函数最高阶导数得阶数、例如, 就是二阶常微分方程; 与就是二阶偏微分方程、 4.n阶常微分方程得一般形式: , 这里就是得已知函数,而且一定含有得项;就是未知函数,就是自变量、 5.线性与非线性: (1) 如果方程得左端就是及得一次有理式,则称为n阶线性微分方程、
第九章 常微分方程（1、2） 陈建英 主编 第一节 微分方程的基本概念（1、2） 教学目的：理解微分方程、方程的阶，方程的解、通解、初始条件和特解概念。 教学重点、难点： 微分方程的概念。方程的通解与特解异同。 教学形式：多媒体教室里的讲授法 教学时间：90分钟 教学过程 一、引入新课 初等数学中就有各种各样的方程：线性方程、二次方程、高次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等。这些方程都是要把研究的问题中的已知数和未知数之间的关系找出来，列出包含一个未知数或几个未知数的一个或者多个方程式，然后求取方程的解。 方程的定义：含有未知数的的等式。它表达了未知量所必须满足的某种条件。根据对未知量所施行的数学运算的不同，我们可以将方程分成许多不同的类型来研究。 20ax bx c ++= （一元二次方程） 214211 x x x x -=++- （分式方程） = （无理方程） 对未知量x 施行的是代数运算。因此它们是代数方程。而方程 2sin3cos 3sin 20x x x -+-= （三角方程） 1272214x x x x ---++= （指数方程） 2lg(1)2lg(3)ln 20x x +-++=（对数方程） 对未知量x 所施行的是超越函数运算。因此是超越方程。 二、新授课 1。微分方程的定义： 含有未知函数、未知函数的导数与自变量之间关系的方程，称为微方程 如果未知函数是一元函数，则其满足的微分方程称为常微分方程式；如果未知函数是多元函数，其导数就是偏导数，则其所满足的微分方程式称为偏微分方程。 例如，22;d y x y x dx =+=dx 和是常微分方程dy z xy x ?=?是偏微分方程. 微分方程中未知函数的最高阶导数的阶数，称为微分方程式的阶。 一阶微分方程的一般形式为 (,,)0F x y y '=
第七章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程， 通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α -=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性 非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。
第九章 常微分方程 一．变量可分离方程及其推广 1．变量可分离的方程 （1）方程形式： ()()()()0≠=y Q y Q x P dx dy 通解() ()? ?+=C dx x P y Q dy （注：在微分方程求解中，习惯地把不定积分只求出它的一个原函数，而任意 常数另外再加） （2）方程形式：()()()()02211=+dy y N x M dx y N x M 通解()()()() C dy y N y N dx x M x M =+??1221 ()()()0,012≠≠y N x M 2．变量可分离方程的推广形式 （1）齐次方程 ?? ? ??=x y f dx dy 令 u x y =， 则()u f dx du x u dx dy =+= ()c x c x dx u u f du +=+=-?? ||ln 二．一阶线性方程及其推广 1．一阶线性齐次方程 ()0=+y x P dx dy 它也是变量可分离方程，通解()?-=dx x P Ce y ，（c 为任意常数） 2．一阶线性非齐次方程 ()()x Q y x P dx dy =+ 用常数变易法可求出通解公式 令()()?-=dx x P e x C y 代入方程求出()x C 则得 ()()()[] ?+=??-C dx e x Q e y dx x P dx x P 3．伯努利方程 ()()()1,0≠=+ααy x Q y x P dx dy 令α-=1y z 把原方程化为()()()()x Q z x P dx dz αα-=-+11 再按照一阶线性非齐次方程求解。 4．方程： ()()x y P y Q dx dy -=1可化为()()y Q x y P dy dx =+ 以y 为自变量，x 为未知函数 再按照一阶线性非齐次方程求解。 三、可降阶的高阶微分方程
习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin ' +=； 2）3 1' - =x y ； 3）y y = ' . 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为3 1 ),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界， 所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f = ),(，则???? ?? ?<-->=??,0,21,0, 21 ),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及 y y x f ??) ,(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=--=, 0)1(, 22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设2 2 ),(y x y x f -=，则4),(max ),(== ∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1 )41,1min(), min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：4 1 1≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=-=y x ?，3 1 31)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 42 11 931863])3131([0)(3471232 2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4 1 1≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 322)!12()()(h ML x x +≤-??. 取22) ,(max max ),(),(=-=??=∈∈y y y x f L R y x R y x ，故241)41()!12(24)()(322=+?≤ -x x ??.
常微分方程第二版答 案第三章
习题3—1 1． 判断下列方程在什么区域上保证初值解存在且唯一. 1）y x y sin '+=； 2）31 '-=x y ； 3）y y ='. 解 1）因为y x y x f sin ),(+=及y y x f y cos ),('=在整个xOy 平面上连续，所以在整个xOy 平面上满足存在唯一性定理的条件，因此在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2）因为3 1),(-=x y x f 除y 轴外，在整个xOy 平面上连续，0),('=y x f y 在在整个xOy 平面上有界，所以除y 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 3）设y y x f =),(，则???????<-->=??,0,21,0,21),(y y y y y y x f 故在0≠y 的任何有界闭区域上，),(y x f 及y y x f ??),(都连续，所以除x 轴外，在整个xOy 平面上初值解存在且唯一. 2． 求初值问题 ?????=--=, 0)1(,22y y x dx dy R ：1,11≤≤+y x . 的解的存在区间.并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计. 解 设22),(y x y x f -=，则4),(max ),(==∈y x f M R y x ，1,1==b a ，所以 4 1)41,1min(),min(===M b a h . 显然，方程在R 上满足解的存在唯一性定理，故过点)0,1(-的解的存在区间为：411≤ +x . 设)(x ?是方程的解，)(2x ?是第二次近似解，则 0)1()(0=-=y x ?，3 131)0(0)(3121-=-+=?-x dx x x x ?， 4211931863])3131([0)(3471232 2+-+--=--+=?-x x x x dx x x x x ?. 在区间4 11≤+x 上，)(2x ?与)(x ?的误差为 32 2)!12()()(h ML x x +≤-??.
第九章 微分方程 一、教学目标及基本要求 （1） 了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2） 掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3） 会用降阶法解下列方程：),(),,(),() (y y f y y x f y x f y n '='''=''=。 （4） 理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5） 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次 线性微分方程。 （6） 会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常 系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 （7） 会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、2)0(,)1(==+'+y x y y x 2、()[]f dx x f e e x f x x x ,)(0 2?+=可微 3、2 1222sin 22sin 1X e y x y y x ++='?+ 4、0)3(2 4=+-xydx dy x y 5、2 1)0(,1)0(,022 -='=='+''y y y x y 6、2 y y y x y '-'+'= 7、已知可微函数)(x f 满足?-=+x x f f x f x x f dx x f 12)()1(,1)()()(和求； 8、已知)(,,1)(2 1 )(10x f f x f da ax f 求可微+=?； 9、求与曲线族C y x =+2232相交成 45角的曲线；
第一章 绪论 定义：指含有未知量的等式. 代数方程：2210x x -+ = 1=，3121x x x --=+ 超越方程：sin cos 1x x +=，221x e x x =+- 以上都是一元方程，一般形式可以写成()0F x = 二元方程2210x y +-=的一般形式可以写成(,)0F x y =，同理三元方程22210 x y z ++-=等等 根据对未知量施加的运算不同进行方程的分类，高等数学的运算主要是微分和积分运算 一、引例 例1：已知一曲线通过点(1,2)，且在该曲线上任一点(,)M x y 处的切线的斜率为2x ，求这曲线的方程. 解：设所求曲线的方程为()y f x =，由题意 1d 2(1)d 2(2)x y x x y =?=???=? 由（1）得2d y x x =?，即2y x C =+ （3） 把条件“1x =时，2y =，”代入上式（3）得221 C =+，1C ∴= 把1C =代入式（3），得所求曲线方程：21y x =+ 例2：列车在平直道路上以20m/s （相当于72km/h ）的速度行驶，当制动时列车获得加速度20.4m /s -.问开始制动后需要多长时间列车才能停住，以及列车在这段时间里行驶了多少路程？ 解：设列车在开始制动后t s 时行驶了s m.根据题意，反映制动阶段列车运动规律的函数()s s t =应满足关系式 00 220d 0.4(4) d d 20(5)d 0*t t t s t s v t s ===?=-???==???=??（） 把式（4）两端积分一次，得1d 0.4d s v t C t = =-+ （6）
第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 第七章 微分方程 教学目的： 1．了解微分方程及其解、阶、通解，初始条件和特等概念。 2．熟练掌握变量可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法。 3．会解齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程，会用简单的变量代换解某些微分方程。 4． 会用降阶法解下列微分方程： ()()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 5． 理解线性微分方程解的性质及解的结构定理。 6．掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 7.求自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 8.会解欧拉方程，会解包含两个未知函数的一阶常系数线性微分方程组。 9．会解微分方程组（或方程组）解决一些简单的应用问题。 教学重点： 1、可分离的微分方程及一阶线性微分方程的解法 2、可降阶的高阶微分方程() ()n y f x =， (,)y f x y '''+和(,)y f y y '''= 3、二阶常系数齐次线性微分方程； 4、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程； 教学难点： 1、齐次微分方程、伯努利方程和全微分方程； 2、线性微分方程解的性质及解的结构定理； 3、自由项为多项式、指数函数、余弦函数，以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程的特解。 4、欧拉方程 §12. 1 微分方程的基本概念 函数是客观事物的部联系在数量方面的反映, 利用函数关系又可以对客观事物的规律性进行研究. 因此如何寻找出所需要的函数关系, 在实践中具有重要意义. 在许多问题中, 往往不能直接找出所需要的函数关系, 但是根据问题所提供的情况, 有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式. 这样的关系就是所谓微分方程. 微分方程建立以后, 对它进行研究, 找出未知函数来, 这就是解微分方程. 例1 一曲线通过点(1, 2), 且在该曲线上任一点M (x , y )处的切线的斜率为2x , 求这曲线的方程. 解 设所求曲线的方程为y =y (x ). 根据导数的几何意义, 可知未知函数y =y (x )应满足关系式(称为微分方程) x dx dy 2=. (1) 此外, 未知函数y =y (x )还应满足下列条件: x =1时, y =2, 简记为y |x =1=2. (2) 把(1)式两端积分, 得(称为微分方程的通解) ?=xdx y 2, 即y =x 2 +C , (3) 170 第9章 偏微分方程的差分方法 含有偏导数的微分方程称为偏微分方程。由于变量的增多和区域的复杂性，求偏微分方程的精确解一般是不可能的，经常采用数值方法求方程的近似解。偏微分方程的数值方法种类较多，最常用的方法是差分方法。差分方法具有格式简单，程序易于实现，计算量小等优点，特别适合于规则区域上偏微分方程的近似求解。本章将以一些典型的偏微分方程为例，介绍差分方法的基本原理和具体实现方法。 9.1椭圆型方程边值问题的差分方法 9.1.1 差分方程的建立 最典型的椭圆型方程是Poisson （泊松）方程 G y x y x f y u x u u ∈=??+??-≡?-),(),,()(2222 （9.1） G 是x ,y 平面上的有界区域，其边界Γ为分段光滑的闭曲线。当f (x ,y )≡0时，方程 （9.1）称为Laplace(拉普拉斯）方程。椭圆型方程的定解条件主要有如下三种边界条件 第一边值条件 ),(y x u α=Γ （9.2） 第二边值条件 ),(y x n u β=??Γ （9.3） 第三边值条件 ),()( y x ku n u γ=+??Γ （9.4） 这里，n 表示Γ上单位外法向，α(x,y ),β(x,y ),γ(x,y )和k (x,y )都是已知的函数，k (x,y )≥0。满足方程（9.1）和上述三种边值条件之一的光滑函数u (x ,y )称为椭圆型方程边值问题的解。 用差分方法求解偏微分方程，就是要求出精确解u (x ,y )在区域G 的一些离散节点（x i ，y i ）上的近似值u i ,j ≈(x i ，y i ）。差分方法的基本思想是，对求解区域G 做网格剖分，将偏微分方程在网格节点上离散化，导出精确解在网格节点上近似值所满足的差分方程，最终通过求解差分方程，通常为一个线性方程组，得到精确解在离散节点上的近似值。 设G ={0 第一章 初等积分法 方程对于学过中学数学的人来说是比较熟悉的，在初等数学中就有各种各样的方程，比如线性方程、二次方程、指数方程、对数方程、三角方程和方程组等等.这些方程都是要把研究的问题中的已知量和未知量之间的关系找出来，列出包含一个未知量或几个未知量的一个或者多个方程式，然后求取方程（组）的解.这里，方程（组）的解为常数. 然而在实际生活中，常常出现一些特点和以上方程完全不同的问题.比如：求物体在一定条件下运动的规律（比如某物体做匀速直线运动，速度为5，求其位移变化的规律）；求满足一定条件（比如在某曲线任意点处的斜率为该点横坐标的2倍）的曲线的方程等等. 物体运动规律、曲线方程在数学上是用函数关系来描述的，因此，这类问题就是要去寻求满足某些条件的一个或者几个未知函数.也就是说，凡是这类问题都不是简单地去求一个或者几个固定不变的数值，而是要求出一个或者几个未知的函数. 在数学上，解决上述问题也需要建立方程，不过建立的是含有未知函数自变量、未知函数及未知函数的导数的方程（比如上述两个问题建立的方程为： 5=dt ds ，x dx dy 2=） ，这类方程就叫做微分方程. 本章主要介绍微分方程的基本概念及几类简单的微分方程的解法. 1.1 微分方程的基本概念 300多年前，由牛顿(Newton,1642-1727)和莱布尼兹(Leibniz,1646-1716)所创立的微积分学，是人类科学史上划时代的重大发现.而微积分的产生和发展，又与求解微分方程问题密切相关.这是因为：微积分产生的一个重要动因来自于人们探求物质世界运动规律的需求.一般地，运动规律很难全靠实验观测认识清楚，因为人们不太可能观察到运动的全过程.然而，运动物体(变量)与它的瞬时变化率(导数)之间，通常在运动过程中按照某种己知定律存在着联系，我们容易捕捉到这种联系.而这种联系，用数学语言表达出来，其结果往往形成一个微分方程.一 常微分方程第三章测试卷 班级 姓名 学号 得分 一、 填空题（30分） 1， 则称函数为在R 上关于y 满足利普希兹条件。 2，存在唯一性定理中近似值与真正解在区间h x x ≤-0 内的误差估计 式为 3，由解关于初值的对称性，若方程满足初始条件00)(y x y =的解是唯一的，记为),,(00y x x y ?=,则成立关系式 在解的存 在范围内。 4，若函数),(y x f 以及y f ??都在区域G 内连续，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内的 。 5，若函数),(y x f 在区域G 内连续，且关于y 满足局部利普希兹条件，则方程的解),,(00y x x y ?=作为00,,y x x 的函数在它的存在范围内 的。 6, 微分方程的奇解是指 二、解答题（50分） 1， 求曲线0sin cos =-+p a y a x 的奇解。这里a 是参数，p 为固定常数。 2， 求2'1y y -=的奇解 ()1≤y 3， 求初值问题22y x dx dy -=及0)1(=-y ；1,11:≤≤+y x R 的解的存在区间，并求第二次近似解，给出在解的存在区间的误差估计。 4， 讨论21 2-=y dx dy 分别过点（ 0，0），（3,2ln -）的解的存在区间。 5， 利用克莱洛方程求p xp y 1+=的奇解，dx dy p = 三、证明题（20分） 假设函数),(y x f 于),(00y x 的邻域内是y 的不增函数，试证方程),(y x f dx dy =满足条件00)(y x y =的解于0x x ≥一侧最多只有一个。 微积分第九章微分方 程 第九章微分方程 一、教学目标及基本要求 （1）了解微分方程及其解、通解、初始条件和特解的概念。 （2）掌握变量可分离的方程和一阶线性方程的解法，会解齐次方程。 （3）会用降阶法解下列方程：?Skip Record If...?。 （4）理解二阶线性微分方程解的性质以及解的结构定理。 （5）掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法，并会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程。 （6）会求自由项多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数，以及它们的和与二阶常系数非齐次线性微分方程的特解和通解。 （7）会用微分方程解决一些简单的应用问题。 二、本章教学内容的重点和难点 1、理解和熟悉微分方程的一些基本概念； 2、掌握一阶和高阶微分方程的各种初等积分法； 3、熟悉线性方程的基础理论，掌握常系数二阶线性齐次与非齐次方程的解法； 4、会列微分方程及其始值问题去解决实际问题。 三、本章教学内容的深化和拓宽： 1、分离变量法的理论根据； 2、常用的变量代换； 3、怎样列微分方程解应用题； 4、黎卡提方程； 5、全微分方程的推广； 6、二阶齐次方程； 7、高阶微分方程的补充； 8、求线性齐次方程的另一个线性无关的解； 9、求线性非齐次方程的一个特解； 10、常数变易法。 本章的思考题和习题 解下列方程（第1-6题） 1、?Skip Record If...? 2、?Skip Record If...?可微 3、?Skip Record If...? 4、?Skip Record If...? 5、?Skip Record If...? 6、?Skip Record If...? 7、已知可微函数?Skip Record If...?满足?Skip Record If...?； 8、已知?Skip Record If...?； 9、求与曲线族?Skip Record If...?相交成?Skip Record If...?角的曲线； 嗯，很好~快乐就好~如果我的存在只能给你压力，不如放开手让彼 此解脱。让我们都能幸福着，在各自的路程快乐 第五章 微分方程模型 建立微积方程模型要对研究对象作具体分析。一般有以下三种方法：1、根据规律建模，2、用微元法建模，3、用模拟法建模。 §5.1 根据规律建模 在数学、力学物理、化学等学科中已有许多经过实践的规律和定律，如牛顿运动定律，基尔霍夫电流及电压定律，物质的放射规律，曲线的切线性质等，这些都涉及到某些函数的变化率。我们就可以根据相应的规律，列出常微分方程。下面以目标跟踪问题为例介绍。 设位于坐标原点的甲舰向位于x 轴上点()0,1A 处的乙舰发射导弹，但始终对准乙舰，如果乙舰以最大的速度0V 沿平行于y 轴的直线行驶，导弹的速度是05V ,求导弹运行的曲线。又乙舰行驶多远时，导弹将它击中? 解：设导弹轨迹为y=y(x)，经过时间t ，导弹位于P(x,y),乙舰位于点Q ),1(0t V 。由于导弹头始终对准乙舰，故此时PQ 就是曲线y(x)在点P 处的切线，因此，由于，由x y t V y --= 10' 得 y y x t V +-='0)1(， 又因为弧OP 的长度为5|AQ|，即 t V dx y x 00 2'51=+? 所以 dx y y y x x ?+=+-02 '' 151)1(， 整理得 2'' '15 1)1(y y x +=+， 并有y(0)=0,0)0(' =y ，解得 245)1(125)1(8556 54+ -+--=x x y 当x=1时，254= y 即当乙舰行到??? ??254,1处被击中，0 0245V V y t == 。 第一章 绪论 §1.1 微分方程：某些物理过程的数学模型 §1.2 基本概念 习题1.2 1．指出下面微分方程的阶数，并回答方程是否线性的： （1） y x dx dy -=24； （2）0122 2 2=+??? ??-xy dx dy dx y d ； （3）0322 =-+? ? ? ??y dx dy x dx dy ； （4）x xy dx dy dx y d x sin 352 2=+-； （5） 02cos =++x y dx dy ； （6）x e dx y d y =+??? ? ??22sin ． 解 （1）一阶线性微分方程； （2）二阶非线性微分方程； （3）一阶非线性微分方程； （4）二阶线性微分方程； （5）一阶非线性微分方程； （6）二阶非线性微分方程． 2．试验证下面函数均为方程02 2 2=+y dx y d ω的解，这里0>ω是常数． （1）x y ωcos =； （2）11(cos C x C y ω=是任意常数)； （3）x y ωsin =； （4）22(sin C x C y ω=是任意常数)； （5）2121,(sin cos C C x C x C y ωω+=是任意常数)； （6）B A B x A y ,()sin(+=ω是任意常数)． 解 （1）y x dx y d x dx dy 2222cos ,sin ωωωωω-=-=-=，所以02 2 2=+y dx y d ω，故x y ωcos =为方程的解． （2）y x C y x C y 2 2 11cos , sin ωωωωω-=-=''-='，所以0222=+y dx y d ω，故 x C y ωcos 1=为方程的解． （3）y x dx y d x dx dy 2 222sin ,cos ωωωωω-=-==，所以022 2=+y dx y d ω，故x y ωsin =为方程的解． （4）y x C y x C y 2 2 22sin , cos ωωωωω-=-=''='，所以022 2=+y dx y d ω，故x C y ωsin 2=为方程的解． （5）y x C x C y x C x C y 2222121sin cos , cos sin ωωωωωωωωω-=--=''+-='， 所以022 2=+y dx y d ω，故x C x C y ωωsin cos 21+=为方程的解． （6）y B x A y B x A y 2 2 )sin(, )cos(ωωωωω-=+-=''+='，故02 2 2=+y dx y d ω，因此)sin(B x A y +=ω为方程的解． 3．验证下列各函数是相应微分方程的解： （1）x x y sin = ，x y y x cos =+'； （2）212x C y -+=，x xy y x 2)1(2 =+'-（C 是任意常数）； （3）x Ce y =，02=+'-''y y y （C 是任意常数）； （4）x e y =，x x x e ye y e y 2212-=-+'-； （5）x y sin =，0cos sin sin 22 2 =-+-+'x x x y y y ； （6）x y 1- =，12 22++='xy y x y x ； （7）12 +=x y ，x y x y y 2)1(2 2 ++-='； 常微分方程学习活动3 第一章 初等积分法的综合练习 本课程形成性考核综合练习共3次，内容主要分别是第一章初等积分法的综合练习、第二章基本定理的综合练习、第三章和第四章的综合练习，目的是通过综合性练习作业，同学们可以检验自己的学习成果，找出掌握的薄弱知识点，重点复习，争取尽快掌握． 要求：首先请同学们下载作业附件文档并进行填写，文档填写完成后请在本次作业页面中点击“去完成”按钮进入相应网页界面完成任务，然后请将所做完的作业文档以附件的形式上传到课程上，随后老师会在课程中进行评分。 一、填空题 1．微分方程0)(4 3 ='-'+''y y y x y xy 是 二 阶微分方程． 2．初值问题00 d (,) d ()y f x y x y x y ?=???=?的解所满足的积分方程是 0 0(,)d x x y y f s y s =+? ． 3．微分方程0d )ln (d ln =-+y y x x y y 是 一阶线性非齐次微分方程 ．（就方程可积类型而言） 4．微分方程0d )2e (d e =++y y x x y y 是 全微分方程 ．（就方程可积类型而言） 5．微分方程03)(2 2 =+'+''x y y y 是 恰当导数方程 ．（就方程可积类型而言） 6．微分方程 y x x y sin d d 2=的所有常数解是 …±±==210k ，， π，k y ． 7．微分方程21d d y x y -=的常数解是 1±=y ． 8．微分方程x x y y x 122 e -=-'的通解为 ）（﹣C x x 1 +=e y ． 9．微分方程2)(21 y y x y '+ '=的通解是 22 1C Cx y += ．. 10．一阶微分方程的一个特解的图像是 二 维空间上的一条曲线． 二、计算题 1．指出下列方程的阶数，是否是线性方程： （1） 22d d x y x y += 答：一阶，非线性 高等数学复习题 第七章：常微分方程 一、选择题（本题20分，每小题2分） （1）下列微分方程中，给出通解的选项是（ ）. A. x y y '= ，y x = B. x y y '=，222x y C -= C. x y y '=- ，C y x = D. x y y '=-，222 x y C += （2）函数sin y C x =（其中C 为任意常数）是方程0y y ''+=的（ ）. A. 通解 B. 特解 C. 解 D. 不是解 （3）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （4）下列微分方程中，可分离变量的方程是（ ）. A. dy xy x dx =+ B. sin xy dy y e x dx = C. 2dy xy x dx =+ D. 22dy y x dx =+ （5）给定一阶微分方程2dy x dx =，下列结果正确的是（ ）. A. 通解为2 y Cx = B. 通过点(1,4)的特解为2 15y x =- C. 满足 1 2ydx =?的解为2 53 y x =+ D. 与直线23y x =+相切的解为2 1y x =+ （6）设()y f x =是微分方程sin x y y e '''+=的解，并且0()0f x '=，则()f x 在0x 处（ ）. A. 取极小值 B. 取极大值 C. 不取极值 D. 取最大值 （7）微分方程(2)2x y y x y '-=-的通解是（ ）. A. 2 2 x y C += B. x y C += C. 1y x =+ D. 2 2 x xy y C -+= （8）函数()y y x =的图形上点(0,2)-的切线为236x y -=，且该函数满足微分方程 6y x ''=，则此函数为（ ）. A. 2 2y x =- B. 2 32y x =+ C. 3 33260y x x --+= D. 323 y x x =+ （9）若1y 和2y 是二阶齐次线性方程()()0 y P x y Q x y '''++=的两个特解，则 第九章 常微分方程初值问题 的数值解法 在自然科学的工程技术的许多领域中，常会遇到常微分方程初值问题，但这种问题大多数情况下不存在初等形式的解析解，只能用近似方法来求解。近似解法主要有两类：一类叫做近似解析方法，它能给出解得近似表达式，例如熟知的级数解法和逐次逼近法等；另一类近似解法称为数值解法，它可以给出解在一些离散点上的近似值。数值方法便于电子计算机求解微分方程。本章讨论初值问题常用的数值解法，并介绍有关的基本理论。 假设给定一阶常微分方程的初值问题： (,),()dy f x y a x b dx y a a ?=≤≤???=? （9.1）（9.2） 其中f 为x, y 的已知函数，α为给定的初始值。 由微分方程的理论可知，如果 f (x,y )在区域a x b ≤≤， y -∞<<+∞ 内连续，且关于y 满足李普希兹(Lipschitz)条件，即存 在常数L ，使 |(,)(,)||f x y f x y L y y -≤- 对所有的a x b ≤≤及任何y ，y 均成立，则初值问题（9.1），（9.2） 有连续可微的解y (x )存在且唯一。所谓初值问题的数值解，则是问题的解y (x )在一系列点 01212...N N a x x x x x b --=<<<<<= 处的值()n y x 的近似值n y (n =0,1,…,N )。这里相邻两个节点之间的 距离1n n n h x x -=-通常称为步长，通常将步长n h 取为常数h 。 §9.1 欧拉方法与改进的欧拉方法 欧拉(Euler)方法是最简单的数值方法，由于它的精确程度较差，已不常用于实际计算。但构造这个方法的基本原理，对于构造一般的数值方法具有普遍意义，因此首先对它进行讨论。 9.1-1 欧拉方法的构造 将方程（9.1）中点n x 处的导数()n y x '用差商近似地表示为 1()() ()n n n y x y x y x h +-'≈ 即在该点有近似等式 1()() (,())n n n n y x y x f x y x h +-≈ 用近似值n y 代替()n y x ，由上式可以导出其近似值满足的差分方程： 1(,()), 0,1,...,1n n n n y y hf x y x n N +=+=- （9.3） （9.3）式称为欧拉方法的计算公式或称为欧拉公式。当初始值 0y α =给定时，利用欧拉公式就可以逐次计算出初值问题的数值 解01,,...,N y y y 。 9.1-2 后退的欧拉公式 如果在点1 n x +处用向后差商近似(9.1)式中的导数 1()() ()n n n y x y x y x h +-'≈ 即有 11 1()()(, ()) n n n n y x y x h f x y x +++≈+ 再用近似值i y 代替()i y x (,1)i n n =+，则可导出近似值满足的差分方程第七章微分方程
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