我们在解答一些数学问题时,会发现其中的一些数量关系改变后,并不影响整个问题的解答,这时我们可以考虑用一个具体的数字来替代,便问题变得简单。这种将问题中的某些对象用适当的数表示之后,再进行运算、推理、解题的方法叫做设数法。
一些百分数问题、工程问题及许多组合问题和解传统的数论问题均可用设数法解决。
常见的设数方式有:对点设数、对线段设数、对区域设数及对其他对象设数等。
[例1] 去年实验小学参加各种体育兴趣小组的同学中,女生占总数的1／5,今年本校的学生数与去年一样,为迎接2008年奥运会,全校今年参加各种体育兴趣小组的学生增加了20％,其中女生占总数的1／4。那么。今年女生参加各种体育兴趣小组的人数比去年增加百分之
[例2]如果一个三角形的底边长增加10％,底边上的高缩短10％,那么这个新三角形的面积是原来三角形面积的
分析与解答
(用设数法)设原三角形的底是4,高是2,则原三角形的面积为
[例3】某水果店到苹果产地去收购苹果,收购价为每千克0．84元,
从产地到水果店距离200千米,运费为每吨每运1千米收1．20元,如果在
运输及销售过程中的损耗是10％,商店要想实现25％的利润,零售价应是
分析与解答
假设收购苹果1000千克,则成本为:1000×0．84+l×200×1．2=1080 (元),在运输及销售过程中损耗1000×10％=100(千克),剩下1000-100 =900(千克),要想实现25％的利润,必须卖出后收回1080×(1+25％)= 1350(元),故零售价应是每千克1350÷900=1．5(元)。
[例4]有两个杯子,甲盛水,乙盛果汁,先将甲杯的水倒进乙杯,使
乙杯里的液体增加一倍,调匀；再将乙杯的果汁倒进甲杯,使甲杯的液体增加一倍,调匀；再将甲杯的果汁倒进乙杯,使乙杯内的液体增加一倍……,如此倒五次,最后乙杯里果汁占果汁水的百分之几?
思路剖析
本题中甲、乙两杯的容量均不可知,但考察题意,经过若干次的变动后,乙杯果汁与水的比例跟开始容量无关,为便于计算,可先对甲、乙杯中容器进行数字假设。
解答
设甲杯盛水量为100,乙杯盛果汁量为50。根据题意列表如下:
第一次第二次第三次第四次第五次
田乙
水 50 75 37.5 68.75 34.375 果汁 1 25 12.5 31.25 15.625 水 50 25 62.5 31.25 65.62 果汁 50 25 37.5 18.75 34.375
方向甲→乙乙→甲甲→乙乙→甲甲→乙
根据表述,第五次时,乙杯里果汁占果汁水的
[例5] 有甲、乙两筐橘子,甲筐比乙筐轻7千克,甲筐橘子卖出
乙筐橘子卖出后,两筐剩下的橘子重量相等。问原来甲、乙两筐各有多少橘子?
思路剖析
答题者看到此题后,一般会考虑使用设未知数解方程的方法求解,计算复杂且容易出错。考虑用设数法解决。因为80是5和16的最小公倍数,为使出现的数尽可能是整数,可设甲筐有橘子80(重量单位)。
解答
[例6] 一群旅游者,从A村走到B村,路线如图1所示。怎样走才
能在最短时间内到达B村?图中的数字表示走这一段路程需要的时间(单位:分)。
分析与解答
如图2所示。先把从A村到各村的最短时间标注在各村的旁边,从
左到右,一一标注。由此不难看出,按图中的粗黑线走就能在最短时间(60分钟)内从A村到B村。
[例7】两个鱼塘,每个鱼塘中都有草鱼、鲢鱼和鲤鱼。
(1)第一个鱼塘里的鱼的尾数是第二个鱼塘里鱼的尾数的
(2)第一个鱼塘里草鱼占25％,第二个鱼塘里鲢鱼占50％；
(3)鲤鱼在第一个鱼塘中所占的百分比是在第二个鱼塘中所占百分比的两倍。
把两个鱼塘的鱼合在一起,鲤鱼占28％,那么鲢鱼所占的百分比是多少?
思路剖析
本题属一个百分数问题,由题中条件可知,鲢鱼所占的百分比跟鱼塘的最初的鱼头数无关,故可用设数法求解。
假设第二个鱼塘中的鱼为3份,那么第一个鱼塘中的鱼为2份。由此知,第一个鱼塘中的草鱼为2×25％=0．5(份),第二个鱼塘中的鲢鱼有3×50％=1．5(份),两个鱼塘的鱼合在一块,鲤鱼有(2+3)x 28％=1．4 (份)。
由题中条件:鲤鱼在第一个鱼塘中所占的百分比是在第二个鱼塘中所占百分比的2倍,则可求出鲤鱼在第一个鱼塘中实际占的百分比为1．4 ÷(2+3×1／2)=40％,进而求出第一个鱼塘中鲢鱼占的百分比是1- 25％-40％=35％,即鲢鱼为2×35％=0．7(份)。解答
设第二个鱼塘中的鱼为3份,则第一个鱼塘中的鱼为2份,
依题意有:
第一个鱼塘中的草鱼:2×25％=0．5(份)
第二个鱼塘中的鲢鱼:3×50％=1．5(份)
全部鲤鱼: 5×28％=1．4(份)
第一个鱼塘中的鲤鱼实际占的百分比:1．4÷(2+3×1／2)=40％第一个鱼塘中的鲢鱼:2×(1-25％-40％)=0．7(份)
全部鲢鱼占的百分比:(0．7+1．5)÷5=44％
思路剖析’
本题可以用多种方法解决,如代数法、倒推法等。也可以使用设数法,直接提出假设性答案,再根据所得结果与题目的条件之间的差异进行调整,求出正确答案。
解答
我们可先假设这个数是12,因为能被2、3、4同时整除的最小的正数是12。则按题中所述运算可得:
而题目的条件是最后得数应该为10,是根据假设进行计算所得结果的5倍。因此所求的数应是12×5=60。
[例9】如图3所示,正方形的面积为30
平方厘米,求圆的面积。
思路剖析
一般按常规考虑,先要求正方形的边长和
圆的半径,所以要用到开平方的知识。但如果
我们假设正方形的边长为1,那就可以首先算出
圆面积是多少面积单位。
解答
假设右上图中正方形的边长为l(即以正方形的边长作为长度单位),则正方形的面积是1×1=1(面积单位),圆的面积是3．14×=0．785 (面积单位)。因为1(面积单位)=30(平方厘米),因此,这个圆的面积为:
30×0．785=23．55(平方厘米)
故圆的面积为23．55平方厘米。
点津
设数法的使用,相当于为问题增加了一个具体的条件,可以使问题变得简单得多。但对设数的具体运用,要考虑设数对象是否适合及设数的取值。一般来说,对一些比例问题等均可设数,但对一些具体的计数问题
则不适合使用设数法。同时,对设数对象取值时应尽量使计算过程简便,最好能是整数。
1．有甲、乙、丙三枚长短不相同的钉子,甲与乙长度的比是6:5,甲钉
子的钉入墙内,甲与丙钉入墙内部分之比5:4,而它们留在墙外的部分
一样长,问:甲、乙、丙的长度之比是多少?
2．某工厂一个生产小组,当每个工人在自己原岗位工作时,9小时可
完成一项生产任务。如果交换工人A和B的工作岗位,其他工人生产效
率不变时,可提前1小时完成这项生产任务；如果交换工人C和D的工作
岗位,其他工人生产效率不变时,也可提前l小时完成生产任务。问如果
同时交换A和B,C和D的工作岗位,其他工人生产效率不变时,可以提前
多少时间完成这项生产任务?
3．一件工作,甲独做要12天,乙独做要18天,丙独做要24天。这件
工作由甲先做了若干天后,然后由乙接着做,乙做的天数是甲做的天数的
3倍,再由丙接着做,丙做的天数是乙做的天数的2倍,终于做完了这件工作,问总共用了多少天?
4．有一批商品,甲店进货价(成本)比乙店进货价便宜10％。甲店按20％的利润来定价,乙店按15％的利润来定价,甲店的定价比乙店的定价
便宜11．2元。问甲店的进货价是多少元?
5．东方出版社出版的某种书,今年每册书的成本比去年增加10％。