26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
农安县合隆中学徐亚惠
一．选择题（共8小题）
1．已知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2．抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）
A．开口向下 B．对称轴是y轴C．都有最低点D．y的值随x的增大而减小
3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）
A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）
4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下 B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A．函数有最小值 B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0 6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）
A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2
7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）
A．6 B．5 C．4 D．3
8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）
A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
二．填空题（共6小题）
9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是_________．
10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是_________（填“上升”或“下降”）．
11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是_________．12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线_________．
13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是_________．
14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=_________．
三．解答题（共6小题）
15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．
16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．
（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；
（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．
18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；
（2）求sin∠OCB的值；
（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．
19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有_________个；
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．
（1）请求出该函数图象的对称轴；
（2）在坐标系内作出该函数的图象；
（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．
26.2.2二次函数y=ax2+bx+c的图像与性质
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．知二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0），那么它的图象一定不经过（）
A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限
考点：二次函数的性质．
分析：先根据题意判断出二次函数的对称轴方程，再令x=0求出y的值，进而可得出结论．
解答：解：∵二次函数y=ax2﹣2x+2（a＞0）的对称轴为直线x=﹣=﹣=＞0，
∴其顶点坐标在第一或四象限，
∵当x=0时，y=2，
∴抛物线一定经过第二象限，
∴此函数的图象一定不经过第三象限．
故选C．
点评：本题考查的是二次函数的性质，熟知二次函数的对称轴方程是解答此题的关键．
2抛物线y=2x2，y=﹣2x2，y=x2共有的性质是（）
A．开口向下B．对称轴是y轴C．都有最低点D． y的值随x的增大而减小
考点：二次函数的性质．
分析：结合抛物线的解析式和二次函数的性质，逐项判断即可．
解答：解：
∵y=2x2，y=x2开口向上，
∴A不正确，
∵y=﹣2x2，开口向下，
∴有最高点，
∴C不正确，
∵在对称轴两侧的增减性不同，
∴D不正确，
∵三个抛物线中都不含有一次项，
∴其对称轴为y轴，
∴B正确，
故选B．
点评：本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的开口方向、对称轴、最值、增减性等基础知识是解题的关键．
3．抛物线y=2x2+1的顶点坐标是（）
A．（2，1）B．（0，1）C．（1，0）D．（1，2）
考点：二次函数的性质．
分析：根据二次函数的顶点式可求得其顶点坐标．
解答：解：
∵y=2x2+1=2（x﹣0）2+1，
∴抛物线的顶点坐标为（0，1），
故选B．
点评：本题主要考查抛物线的顶点坐标，掌握顶点式方程y=a（x﹣h）2+k的顶点坐标为（h，k）是解题的关键．
4．对于二次函数y=（x﹣1）2+2的图象，下列说法正确的是（）
A．开口向下B．对称轴是x=﹣1 C．顶点坐标是（1，2）D．与x轴有两个交点
考点：二次函数的性质．
专题：常规题型．
分析：根据抛物线的性质由a=1得到图象开口向上，根据顶点式得到顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，从而可判断抛物线与x轴没有公共点．
解答：解：二次函数y=（x﹣1）2+2的图象开口向上，顶点坐标为（1，2），对称轴为直线x=1，抛物线与x轴没有公共点．
故选：C．
点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点式为y=a（x﹣）2+，的顶点坐标是（﹣，），对称轴直线x=﹣b2a，当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下．
5．二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的大致图象如图，关于该二次函数，下列说法错误的是（）
A．函数有最小值B．对称轴是直线x=C．当x＜，y随x的增大而减小D．当﹣1＜x＜2时，y＞0
考点：二次函数的性质．
专题：压轴题；数形结合．
分析：根据抛物线的开口方向，利用二次函数的性质判断A；
根据图形直接判断B；
根据对称轴结合开口方向得出函数的增减性，进而判断C；
根据图象，当﹣1＜x＜2时，抛物线落在x轴的下方，则y＜0，从而判断D．
解答：解：A、由抛物线的开口向上，可知a＞0，函数有最小值，正确，故A选项不符合题意；
B、由图象可知，对称轴为x=，正确，故B选项不符合题意；
C、因为a＞0，所以，当x＜时，y随x的增大而减小，正确，故C选项不符合题意；
D、由图象可知，当﹣1＜x＜2时，y＜0，错误，故D选项符合题意．
故选：D．
点评：本题考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是利用数形结合思想解题．
6．如图，平面直角坐标系中，点M是直线y=2与x轴之间的一个动点，且点M是抛物线y=x2+bx+c的顶点，则方程x2+bx+c=1的解的个数是（）
A．0或2 B．0或1 C．1或2 D．0，1或2
考点：二次函数的性质．
专题：数形结合；分类讨论；方程思想．
分析：分三种情况：点M的纵坐标小于1；点M的纵坐标等于1；点M的纵坐标大于1；进行讨论即可得到方程x2+bx+c=1的解的个数．
解答：解：分三种情况：
点M的纵坐标小于1，方程x2+bx+c=1的解是2个不相等的实数根；
点M的纵坐标等于1，方程x2+bx+c=1的解是2个相等的实数根；
点M的纵坐标大于1，方程x2+bx+c=1的解的个数是0．
故方程x2+bx+c=1的解的个数是0，1或2．
故选：D．
点评：考查了二次函数的性质，本题涉及分类思想和方程思想的应用．
7．已知二次函数y=a（x﹣h）2+k（a＞0），其图象过点A（0，2），B（8，3），则h的值可以是（）
A． 6 B．5 C．4 D． 3
考点：二次函数的性质．
专题：计算题．
分析：根据抛物线的顶点式得到抛物线的对称轴为直线x=h，由于所给数据都是正数，所以当对称轴在y 轴的右侧时，比较点A和点B到对称轴的距离可得到h＜4．
解答：解：∵抛物线的对称轴为直线x=h，
∴当对称轴在y轴的右侧时，A（0，2）到对称轴的距离比B（8，3）到对称轴的距离小，
∴x=h＜4．
故选：D．
点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+b x+c（a≠0）的
开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．
8．抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是（）
A．y轴B．直线x=﹣1 C．直线x=1 D．直线x=﹣3
考点：二次函数的性质．
分析：根据二次函数的顶点式y=（x﹣h）2+k，对称轴为直线x=h，得出即可．
解答：解：抛物线y=（x﹣1）2﹣3的对称轴是直线x=1．
故选：C．
点评：本题考查了二次函数的性质，解答此题时要注意抛物线的对称轴是直线，这是此题易忽略的地方．
二．填空题（共6小题）
9．如果抛物线y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，那么m的值是1．
考点：二次函数的性质．
分析：由对称轴是y轴可知一次项系数为0，可求得m的值．
解答：解：∵y=x2+（m﹣1）x﹣m+2的对称轴是y轴，
∴m﹣1=0，解得m=1，
故答案为：1．
点评：本题主要考查抛物线的对称轴，掌握抛物线的对称轴为y轴其一次项系数为0是解题的关键．
10．抛物线y=2x2﹣1在y轴右侧的部分是上升（填“上升”或“下降”）．
考点：二次函数的性质．
分析：根据抛物线解析式可求得其对称轴，结合抛物线的增减性可得到答案．
解答：解：
∵y=2x2﹣1，
∴其对称轴为y轴，且开口向上，
∴在y轴右侧，y随x增大而增大，
∴其图象在y轴右侧部分是上升，
故答案为：上升．
点评：本题主要考查二次函数的增减性，掌握开口向上的二次函数在对称轴右侧y随x的增大而增大是解题的关键．
11．已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（0，5）、B（4，5），那么此抛物线的对称轴是直线x=2．
考点：二次函数的性质．
分析：根据点A、B的纵坐标相等判断出A、B关于对称轴对称，然后列式计算即可得解．
解答：解：∵点A（0，5）、B（4，5）的纵坐标都是5相同，
∴抛物线的对称轴为直线x==2．
故答案为：直线x=2．
点评：本题考查了二次函数的性质，观察出A、B是对称点是解题的关键．
12．二次函数y=x2﹣4x﹣5的图象的对称轴是直线x=2．
考点：二次函数的性质．
分析：根据二次函数的对称轴公式列式计算即可得解．
解答：解：对称轴为直线x=﹣=﹣=2，
即直线x=2．
故答案为：x=2．
点评：本题考查了二次函数的性质，主要利用了对称轴公式，需熟记．
13．如果抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，那么a的取值范围是a＜﹣3．
考点：二次函数的性质．
分析：根据抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限可以确定不等式的开口方向，从而确定a的取值范围．解答：解：∵抛物线y=（a+3）x2﹣5不经过第一象限，
∴a+3＜0，
解得：a＜﹣3，
故答案为：a＜﹣3．
点评：考查了二次函数的性质，根据抛物线的开口方向，与y轴的交点，对称轴判断抛物线经过的象限．14．若抛物线y=2x2﹣mx﹣m的对称轴是直线x=2，则m=8．
考点：二次函数的性质．
分析：根据二次函数的对称轴公式列方程求解即可．
解答：解：由题意得，﹣=2，
解得m=8．
故答案为：8．
点评：本题考查了二次函数的性质，熟记对称轴的求法是解题的关键．
三．解答题（共6小题）
15．在同一平面内画出函数y=2x2与y=2x2+1的图象．
考点：二次函数的图象．
分析：首先利用描点法作出y=2x2的图象，然后向上移动1个单位得到y=2x2+1的图象即可；
解答：解：列表得：
﹣2 ﹣1 0 1 2
y=2x28 2 0 2 8
y=2x2+1 9 3 1 3 9
点评：本题考查了二次函数的图象，解题的关键是正确的列表、描点．
16．如图，已知二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
（1）写出该函数图象的对称轴；
（2）若将线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，试判断点A′是否为该函数图象的顶点？
考点：二次函数的性质；坐标与图形变化-旋转．
分析：（1）由于抛物线过点O（0，0），A（2，0），根据抛物线的对称性得到抛物线的对称轴为直线x=1；（2）作A′B⊥x轴与B，先根据旋转的性质得OA′=OA=2，∠A′OA=60°，再根据含30度的直角三角形三边的关系
得OB=OA′=1，A′B=OB=，则A′点的坐标为（1，），根据抛物线的顶点式可判断点A′为抛物线y=﹣
（x﹣1）2+的顶点．
解答：解：（1）∵二次函数y=a（x﹣h）2+的图象经过原点O（0，0），A（2，0）．
解得：h=1，a=﹣，
∴抛物线的对称轴为直线x=1；
（2）点A′是该函数图象的顶点．理由如下：
如图，作A′B⊥x轴于点B，
∵线段OA绕点O逆时针旋转60°到OA′，
∴OA′=OA=2，∠A′OA=60°，
在Rt△A′OB中，∠OA′B=30°，
∴OB=OA′=1，
∴A′B=OB=，
∴A′点的坐标为（1，），
∴点A′为抛物线y=﹣（x﹣1）2+的顶点．
点评：本题考查了二次函数的性质：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的顶点坐标为（﹣，），对称轴直线x=﹣，二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象具有如下性质：①当a＞0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向上，x＜﹣时，y随x的增大而减小；x＞﹣时，y随x的增大而增大；x=﹣时，y取得最小值，即顶点是抛物线的最低点．②当a＜0时，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的开口向下，x＜﹣时，y随x的增大而增大；x＞﹣时，y随x的增大而减小；x=﹣时，y取得最大值，即顶点是抛物线的最高点．也考查了旋转的性质．
17．已知抛物线y=x2﹣x﹣1．
（1）求抛物线y=x2﹣x﹣1的顶点坐标、对称轴；
（2）抛物线y=x2﹣x﹣1与x轴的交点为（m，0），求代数式m2+的值．
考点：二次函数的性质；抛物线与x轴的交点．
分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得答案；
（2）根据函数值为0，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得m的值，根据m的值，可得代数式的值．解答：解：A、y=x2﹣x﹣1=x2﹣x+﹣1﹣=（x﹣）2﹣，
顶点坐标是（，﹣），对称轴是x=；
（2）当y=0时x2﹣x﹣1=0，
解得x=，x=，
当m=时，m2+=（）2+
===3，
当m=时，m2+=（）2
=
==3，
m2+=3．
点评：本题考查了二次函数的性质，配方法的顶点式解析式，函数值为0时得一元二次方程，注意把符合条件的分别代入求值．
18．如图，已知抛物线y=x2﹣x﹣6，与x轴交于点A和B，点A在点B的左边，与y轴的交点为C．
（1）用配方法求该抛物线的顶点坐标；
（2）求sin∠OCB的值；
（3）若点P（m，m）在该抛物线上，求m的值．
考点：二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；勾股定理．
分析：（1）根据配方法，可得顶点式解析式，根据顶点式解析式，可得抛物线的顶点；
（2）根据函数值为0，可得B点坐标，根据自变量为0，可得C点坐标，根据勾股定理，可得BC的长，根据正弦的意义，可得答案；
（3）根据图象上的点的坐标满足函数解析式，可得一元二次方程，根据解一元二次方程，可得答案．
解答：解：（1）∵，
∴抛物线的顶点坐标为（，）；
（2）令x2﹣x﹣6=0，解得x1=﹣2，x2=3，
∴点B的坐标为（3，0），又点C的坐标为（0，﹣6），
∴，
∴；
（3）∵点P（m，m）在这个二次函数的图象上，
∴m2﹣m﹣6=m，
即m2﹣2m﹣6=0，
解得，．
点评：本题考查了二次函数的性质，配方法可把一般式转化成顶点式，图象上点的坐标满足函数解析式．
19．若二次函数y=a1x2+b1x+c1的图象记为C1，其顶点为A，二次函数y=a2x2+b2x+c2的图象记为C2，其顶点为B，且满足点A在C2上，点B在C1上，则称这两个二次函数互为“伴侣二次函数”．
（1）一个二次函数的“伴侣二次函数”有无数个；
（2）①求二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点；
②求以上述交点为顶点的二次函数y=x2+3x+2的“伴侣二次函数”．
（3）试探究a1与a2满足的数量关系．
考点：二次函数的性质．
专题：新定义．
分析：（1）根据伴侣二次函数的定义，可得答案；
（2）①根据函数值为0，可得函数与x轴的交点的横坐标就是，可得答案；②根据伴侣二次函数的定义，顶点坐标，可得伴侣二次函数；
（3）根据伴侣二次函数的顶点在对方的图象上，二元一次方程组，根据解方程组，可得答案．
解答：解：（1）无数；
（2）①令y=0，即x2+3x+2=0．
解得：x1=﹣1，x2=﹣2．
∴二次函数y=x2+3x+2与x轴的交点坐标为（﹣2，0），（﹣1，0）．（3分）
②∵y=x2+3x+2=（x+）2﹣∴顶点坐标为（﹣，﹣）．
设以（﹣2，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式为
y=a（x+2）2，
将x=﹣，y=﹣代入y=a（x+2）2得a=﹣1．
∴二次函数y=x2+3x+2的一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+2）2=﹣x2﹣4x﹣4，
同理可求以（﹣1，0）为顶点且经过（﹣，﹣）的抛物线的函数关系式．
即二次函数y=x2+3x+2的另一个“伴侣二次函数”为
y=﹣（x+1）2=﹣x2﹣2x﹣1；
（3）设y=a1（x+m）2+n，其顶点为（﹣m，n）；
y=a2（x+h）2+k，其顶点为（﹣h，k）．
根据“伴侣二次函数”定义可得
∴a1（﹣h+m）2=﹣a2（﹣m+h）2．
当﹣h≠m时，a1=﹣a2
当﹣h=m时，a1、a2为任意不为零的实数．
点评：本题考查了二次函数的性质，伴侣二次函数的顶点在对方的图象上是解题关键．
20．已知二次函数y=﹣x2+2x+3图象的对称轴为直线．
（1）请求出该函数图象的对称轴；
（2）在坐标系内作出该函数的图象；
（3）有一条直线过点P（1，5），若该直线与二次函数y=﹣x2+2x+3只有一个交点，请求出所有满足条件的直线的关系式．
考点：二次函数的性质；二次函数的图象．
分析：（1）根据对称轴的公式，可得答案；
（2）根据画函数图象的方法，可得抛物线的图象；
（3）根据直线与抛物线相切，可得交点是一个，可得答案．
解答：解：（1）；
（2）图象
（3）因为抛物线的对称轴是x=1，点p（1，5）
当过点p且与y轴平行的直线满足与抛物线只有一个交点
所以直线x=1为所求直线
当过点p的直线不与y轴平行时，设直线的解析式为y=kx+b，
令﹣x2+2x+3=kx+b
整理得﹣x2+（2﹣k）x+3﹣b=0由题意得△=（2﹣k）2+4（3﹣b）=0 即：k2﹣4k+16﹣4b=0
又因为y=kx+b，过点p（1，5）
所以5=k+b
所以k2﹣4=0
解得k=±2，
当k=2时，b=3；
当k=﹣2时，b=7
所以解析式为y1=2x+3，y2=﹣2x+7，
所以满足条件的直线有三条：直线x=1；y1=2x+3，y2=﹣2x+7．
点评：本题考查了二次函数的性质，a＜0时，图象开口向下，对称轴是x=﹣．