绝对值的意义及应用
绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|.
一. 绝对值的实质：
正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。
总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。
二. 绝对值的几何意义：
一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。
例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( )
A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b
(第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题)
解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0．
所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)．
三. 绝对值的性质：
1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。
2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。
3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。
4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。
四. 含绝对值问题的有效处理方法
1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0，
求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。
解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2)
根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零，
∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2
(1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4；
(2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4
2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。
例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值．
解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0
令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0
以0，2为分界点，分为三段讨论：
(1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。
(2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0
(3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0
综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0
3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。
例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。
解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2
4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算．
例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围．
解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4
它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4
由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
所以原式的解为x ≤-1
五. 有关绝对值知识的应用
1. 如果根据已知条件或题目中的隐含条件可以确定绝对值符号内的数(或代数式)为
“负”值或“非负”值，则由绝对值的定义可直接写出其结果.
例6. 设x ，y ，a 是实数，并且|x|＝1-a ，|y|＝(1-a)(a-1-a 2)，试求|x|+y+a 2+1的值等
于______．
解：显然|x|≥0，|y|≥0，
∴由|x|≥0得1-a ≥0，由|y|≥0得1-a ≤0，
∴1-a ＝0，从而x ＝0，y ＝0，a ＝1
∴原式＝|0|+0+12+1＝2
2. 如果根据已知或题目自身不能确定绝对值符号内的代数式为“负”或“非负”，就
应分别对各种情况进行讨论。讨论的方法有：
(1)直接利用绝对值的性质，去掉绝对值符号，把式子转化为不含绝对值的式子进行讨
论。
例7. 已知|a|＝3，|b|＝2，求a+b 的值。
解：∵|a|＝3，|b|＝2，
∴ a ＝3或-3，b ＝2或-2
因此a ，b 的取值应分四种情况：
a ＝3，
b ＝2或a ＝3，b ＝-2或a ＝-3，b ＝2或a ＝-3，b ＝-2，
从而易求a+b 的值分别为5，1，-1，-5
解这类问题，要正确组合，全面思考，谨防漏解。
(2)采用零点分区间法，求出绝对值的零点，把数轴分成相应的几个区间进行讨论(所
谓绝对值的零点就是使绝对值符号内的代数式等于零的字母所取值在数轴上所对应的点)。
例8. 化简：|1-3x|+|1+2x|．
解：由031=-x 和021=+x 得两个零点：31=x 和21-=x ，这两个点把数轴分成三
部分：
（1）当2
1-
（2）当3
121<≤-x 时，031>-x ，021≥+x ∴ 原式x x x -=++-=2)21()31(；
（3）当3
1≥x 时，031≤-x ，021>+x ， ∴原式＝-(1-3x)+(1+2x)＝5x ．
3. 利用绝对值的几何意义解含绝对值的方程，这样既直观，又简便。
因为|x|的几何意义是表示数轴上点x 到原点的距离，因此|x-a|的几何意义是表示点 x
到点 a 的距离．由此可知，方程 |x-a|＝k 的解是x ＝a+k 或 x ＝a-k(k ≥0)
例9. |x-2|+|x-1|+|x-3|的最小值是( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
解：设A(1)，B(2)，C(3)，P(x)，如图所示，求|x-1|+|x-2|+|x-3|的最小值，即是在
数轴上求一点P ，使AP+BP+PC 为最小，显然，当P 与B 重合，即x ＝2时，其和有最小值2，故应选(B)
4. 利用“一个实数的绝对值是一个非负数”这一性质解题，可使问题化难为易。在运
用这一性质时，常与非负数的性质：“有限个非负数的和为零时，则每一个非负数必为零”
联用。
例10. 若|m+1|+|2n+1|＝0，那么m 2003-n 4＝______．
六. 绝对值化简与求值的基本方法
例11. 若a 、b 互为相反数，cd 互为负倒数．则|a+b+cd|＝____________．(96年泰州市
初中数学竞赛)
解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1，则|a+b+cd|＝|0-1|＝1
例12. 若|x-y+2|与|x+y-1|互为相反数，则xy 的负倒数是________．(95年希望杯邀请
赛初一培训题)
解：由题设知|x-y+2|≥0，|x+y-1|≥0，但二者互为相反数，故只能x-y+2＝0，x+y-1
＝0 解得21-
=x ，23=y ，4
3-=xy ∴其负倒数是34 例13. 已知a 、b 是互为相反数，c 、d 是互为负倒数，x 的绝对值等于它的相反数的2倍，
则x 3+abcdx+a-bcd 的值是_______．(94年希望杯邀请赛初一试题)
解：由题设知a+b ＝0，cd ＝-1．又x 的绝对值等于它的相反数的2倍，
∴x ＝0，
∴原式＝03+0+a-b ·(-1)＝a+b ＝0
例14. 化简|x+1|+|x-2|
令x +1＝0，x-2＝0，得x ＝-1与x ＝2，
故可分段定正负再去符号．
(1)当x ＜-1时，
原式＝-(x+1)-(x-2)＝-2x+1；
(2)当-1≤x ＜2时，
原式＝(x+1)-(x-2)＝3；
(3)当x ≥2时，
原式＝x+1+(x-2)＝2x-1
说明：例14中没有给定字母任何条件，这种问题应先求零点，然后分区间定正负再去
绝对值符号，这种方法可归纳为：“求零点，分区间，定性质，去符号”。
例15. 设x 是实数，y ＝|x-1|+|x+1|。下列四个结论：
Ⅰ.y 没有最小值；
Ⅱ.只有一个x 使y 取到最小值；
Ⅲ.有有限多个x(不只一个)使y 取到最小值；
Ⅳ.有无穷多个x 使y 取到最小值。
其中正确的是( )．
A ．Ⅰ
B ．Ⅱ
C ．Ⅲ
D ．Ⅳ
(1993年全国初中数学竞赛试题)
解：原问题可转化为求x 取哪些值时，数轴上点x 到点1与点-1的距离之和为最小。
从数轴上可知，区间[-1，1]上的任一点x 到点1与点-1的距离之和均为2；区间[-1，
1] 之外的点x 到点1与点-1的距离之和均大于2，所以函数y ＝|x-1|+|x+1|当-1≤x ≤1
时，取得最小值2，故选(D)
七. 绝对值与非负数
我们称不是负数的有理数为非负有理数，简称非负数。当我们说x 是一个非负数时，用
数学符号表示就是x ≥0.
值得注意的是，有的同学们往往用x ＞0表示任意一个非负数，而忘掉等号！这是因为
他们错将非负数理解为负数的相反数了！尽管只是丢掉一个零，在数轴上只差一个点，但就
全体有理数而言，却是丢掉了三类有理数中的一类。
也就是说，|x|表示数轴上坐标为x 的点与原点的距离。我们看到，任何有理数的绝对
值都是一个非负数，而任何一个非负数都可表示为某数的绝对值。即对任意有理数x 有|x|
≥0，这一点至关重要。
只有牢牢掌握绝对值总是非负数并且清楚地认识到什么是非负数，才会正确地处理各种
问题。
例16. 若a 为任意实数，则下列式子中一定成立的是( )．
A ．|a|＞0
B ．|a|＞a C. a
a 1> D. 01>+a 对这个问题的分析首先要注意到绝对值都是非负数，而非负数包括零。如此就很容易淘
汰掉A 、B ，而C 需从a 的取值范围来讨论，如2
1=a ，则C 不对，至于D 有非负数的性质：“一个非负数加上一个正数，得正数”，即可知其正确。
例17. 已知a ＜0＜c ，ab ＞0，|b|＞|c|＞|a|，化简|a+c|+|b+c|-|a-b|．
解：分析这个题目的关键是确定a+c 、b+c 、a-b 的符号，根据已知可在数轴上标出a 、
b 、
c 的大致位置，如图所示：
很容易确定a+c＞0，b+c＜0，a-b＞0，由绝对值的概念，
原式＝(a+c)-(b+c)-(a-b)＝a+c-b-c-a+b＝0
用数轴上的点来表示有理数，用这样的点与原点的距离来表示有理数的绝对值，这里运用了数形结合的思想。
专项训练2 绝对值的八种常见应用 已知一个数求这个数的绝对值 1．化简： (1)|－(＋7)|； (2)－|－8|； (3)??? ?－????＋47； (4)－|－a|(a<0)． 已知一个数的绝对值求这个数 2.若|a|＝2，则a ＝________. 3．若|x|＝|y|，且x ＝－3，则y ＝________. 4．绝对值不大于3的所有整数为________． 5．若|－x|＝－(－8)，则x ＝________， 若|－x|＝|－2|，则x ＝________.
绝对值在求字母的取值范围中的应用 6．若|x|＝－x ，则x 的取值范围是________． 7．若|x －2|＝2－x ，则x 的取值范围是________． 8．如果|－2a|＝－2a ，则a 的取值范围是( ) A ．a>0 B ．a ≥0 C ．a ≤0 D ．a<0 绝对值在比较大小中的应用 9．把－(－1)，－23 ，－????－45，0，用“>”连接正确的是( ) A ．0>－(－1)>－????－45>－23 B ．0>－(－1)>－23 >－????－45 C ．－(－1)>0>－23 >－????－45 D ．－(－1)>0>－????－45>－23 绝对值的非负性在求字母值中的运用 10．若????a －12＋????b －13＋??? ?c －14＝0，求a ＋b －c 的值． 绝对值的非负性在求最值中的应用 11．根据|a|≥0这条性质，解答下列问题： (1)当a ＝________时，|a －4|有最小值，此时最小值为________； (2)当a 取何值时，|a －1|＋3有最小值？这个最小值是多少？
绝对值 学习目标: 1、理解、掌握绝对值概念.体会绝对值的作用与意义 2、掌握求一个已知数的绝对值和有理数大小比较的方法. 3、体验运用直观知识解决数学问题的成功. 学习重点：绝对值的概念 学习难点：绝对值的概念与两个负数的大小比较 教学方法：学生自主探索 教学过程 一、学前准备 问题：如下图 小红和小明从同一处O出发，分别向东、西方向行走10米，他们行走的路线（填相同或不相同），他们行走的距离（即路程远近） 二、合作探究、归纳 1、由上问题可以知道，10到原点的距离是，—10到原点的距离也是 到原点的距离等于10的数有个，它们的关系是一对 . 定义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值，记作∣a∣ 2、练习 （1）式子∣-5.7∣表示的意义是 . （2）—2的绝对值表示它离开原点的距离是个单位，记作 . （3）∣24∣= . ∣—3.1∣= ，∣—1 3 ∣= ，∣0∣= . 3、思考、交流、归纳 由绝对值的定义可知：一个正数的绝对值是；一个负数的绝对值是它的；0的绝对值是 . 用式子表示就是： 当a是正数（即a>0）时，∣a∣= ； 当a是负数（即a<0）时，∣a∣= ； 当a=0时，∣a∣= . 4、随堂练习 P11第1、2、3大题
5、阅读思考，发现新知 阅读P12，你有什么发现吗？ 在数轴上表示的两个数，右边的数总要 左边的数 也就是：（1）正数 0，负数 0，正数大于负数. （2）两个负数，绝对值大的 . 三、巩固新知，灵活应用 1、例题 P13 2、比较下列各对数的大小：—3和—5； —2.5和—∣—2.25∣ 四、小结： 本节课的收获： 你还有什么疑惑？ 五、当堂清 1．______7.3=-；______0=；______75.0=+-． 2．______31=+；______45=--；______3 2=-+． 3．______510=-+-；______5.55.6=---． 4．______的相反数是它本身，_____的绝对值是它本身，_______的绝对值是它的相反数．
绝对值的意义及应用 绝对值是初中代数中的一个重要概念，应用较为广泛．在解与绝对值有关的问题时，首先必须弄清绝对值的意义和性质。对于数x而言，它的绝对值表示为：|x|. 一. 绝对值的实质： 正实数与零的绝对值是其自身，负实数的绝对值是它的相反数，即 也就是说，|x|表示数轴上坐标为x的点与原点的距离。 总之，任何实数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，请牢牢记住这一点。 二. 绝对值的几何意义： 一个数的绝对值就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 例1. 有理数a、b、c在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A．2a+3b-c B．3b-c C．b+c D．c-b (第二届“希望杯”数学邀请赛初一试题) 解：由图形可知a＜0，c＞b＞0，且|c|＞|b|＞|a|，则a+b＞0，b-c＜0． 所以原式＝-a+b+a+b-b+c＝b+c，故应选(C)． 三. 绝对值的性质： 1. 有理数的绝对值是一个非负数，即|x|≥0，绝对值最小的数是零。 2. 任何有理数都有唯一的绝对值，并且任何一个有理数都不大于它的绝对值，即x≤|x|。 3. 已知一个数的绝对值，那么它所对应的是两个互为相反数的数。 4. 若两个数的绝对值相等，则这两个数不一定相等(显然如|6|＝|-6|，但6≠-6)，只有这两个数同号，且这两个数的绝对值相等时，这两个数才相等。 四. 含绝对值问题的有效处理方法 1. 运用绝对值概念。即根据题设条件或隐含条件，确定绝对值里代数式的正负，再利用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算。
例2. 已知：|x-2|+x-2＝0， 求：(1)x+2的最大值；(2)6-x的最小值。 解：∵|x-2|+x-2＝0，∴|x-2|＝-(x-2) 根据绝对值的概念，一个数的绝对值等于它的相反数时，这个数为负数或零， ∴x-2≤0，即x≤2，这表示x的最大值为2 (1)当x＝2时，x+2得最大值2+2＝4； (2)当x＝2时，6-x得最小值6-2＝4 2. 用绝对值为零时的值分段讨论．即对于含绝对值代数式的字母没有条件限制或限制不确切的，就需先求零点，再分区间定性质，最后去掉绝对值符号。 例3. 已知|x-2|+x与x-2+|x|互为相反数，求x的最大值． 解：由题意得(|x-2|+x)+(x-2+|x|)＝0，整理得|x-2|+|x|+2x-2＝0 令|x-2|＝0，得x＝2，令|x|＝0，得x＝0 以0，2为分界点，分为三段讨论： (1)x≥2时，原方程化为x-2+x+2x-2＝0，解得x＝1，因不在x≥2的范围内，舍去。 (2)0≤x＜2时，原方程化为2-x+x+2x-2＝0，解得x＝0 (3)x＜0时，原方程化为2-x-x+2x-2＝0，从而得x＜0 综合(1)、(2)、(3)知x≤0，所以x的最大值为0 3. 整体参与运算过程．即整体配凑，借用已知条件确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值符号进行运算。 例4. 若|a-2|＝2-a，求a的取值范围。 解：根据已知条件等式的结构特征，我们把a-2看作一个整体，那么原式变形为|a-2|＝-(a-2)，又由绝对值概念知a-2≤0，故a的取值范围是a≤2 4. 运用绝对值的几何意义．即通过观察图形确定绝对值里代数式的正负，再用绝对值定义去掉绝对值的符号进行运算． 例5. 求满足关系式|x-3|-|x+1|＝4的x的取值范围． 解：原式可化为|x-3|-|x-(-1)|＝4 它表示在数轴上点x到点3的距离与到点-1的距离的差为4 由图可知，小于等于-1的范围内的x的所有值都满足这一要求。
-1 0 1 a b 2010年七年级上数学专题--绝对值的应用 1. 有理数a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示： 化简：∣a+b ∣=_________ ∣a ∣－∣b ∣=_________ ∣a-1∣=_________ ∣1+b ∣=_________ 2、已知：b 是最小的正整数且a 、b 满足0)5(2=++-b a c ，试回答问题。 （1）请直接写出a 、b 、c 的值。 a = b = c = （2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：5211-+--+x x x （请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB 。请问，BC —AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。 3、如图,C 为线段AB 上一点，且AC=2BC ，AC 的41比BC 小5. （1）求AC 、BC 的长； （2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（t ＜10）,D 为PB 的中点,E 为PC 的中点,若CD=5 2DE,试求点P 运动时间t 的值; （3）若P 从A 点出发,以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,以 6 5 个单位/秒的速度在AB 的延长线上与P 点同向运动,运动时间t ＜30,D 为PB 的中点,F 为DQ 的中点,且PB PE 3 1 =,当P 、Q 两点运动过程中，给出下面两个结论：①DE+DF 的值不变；②|DE －DF|的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值． · · · C B A A B C
知识精讲 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值 号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 绝对值
【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相反数的两个数的绝对值相等；④没有最小的有理数，也没有绝对值最小的有理数；⑤所有的有理数都可以用数轴上的点来表示；⑥符号不同的两个数互为相反数． A ．②④⑤⑥ B ．③⑤ C ．③④⑤ D ．③⑤⑥ 【例3】如果a 的绝对值是2，那么a 是（ ） A ．2 B ．-2 C ．±2 D．12 ± 【例4】若a ＜0，则4a +7|a |等于（ ） A ．11a B ．-11a C ．-3a D ．3a 【例5】一个数与这个数的绝对值相等，那么这个数是（ ） A ．1，0 B ．正数 C ．非正数 D ．非负数 【例6】已知|x |=5，|y |=2，且xy ＞0，则x -y 的值等于（ ） A ．7或-7 B ．7或3 C ．3或-3 D ．-7或-3 【例7】若1-=x x ，则x 是（ ） A ．正数 B ．负数 C ．非负数 D ．非正数 【例8】已知：a ＞0，b ＜0，|a|＜|b|＜1，那么以下判断正确的是（ ） A ．1-b ＞-b ＞1+a ＞a B ．1+a ＞a ＞1-b ＞-b
绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b|
【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 一、基础知积： 1、几何绝对值概念----在上，一个数到的距离叫做该数的绝 对值。|a-b|表示数轴上表示a的点和表示的点 的距离 2、代数绝对值概念：---一个正数的绝对值是它的本身；一个负数的绝对值是它的相反数；零的绝对值是零，即： I a I = {a,(a > 0)0(a=0) 3、绝对值性质： (1)任何的绝对值都是大于或等于0的数，这是绝对值的非负性； (2)绝对值等于0的数只有一个，就是0。 (3)绝对值等于同一个正数的数有两个，这两个数或相等。 (4)互为相反数的两个数的绝对值相等。 (5)正数的绝对值是它本身。 (6)负数的绝对值是它的相反数。 (7)0的绝对值是0。 4、绝对值其它性质： (1)任何一个数的绝对值都不少于这个数，也不少于这个数的相反数。 即：I a I> a; I a I> -a; ⑵若I a I = I b I 则a=b 或a=-b (3)I ab I = I a I * I b I ; I a/b I = I a I / I b I (b 工0) (4) I a I 2= I a2I =a2 (5) I a I - I b I 仅供参考学习个人收集整理 绝对值几何意义应用 一、几何意义类型：0a?a?a 类型一、0：表示数轴上地点地距离；到原点 ab??b?a bb aa 地距离（或点；类型二、：表示数轴上地点到点到点地距离） )?baa?b??()?ab?(?b?b aa?地距离）：表示数轴上地点到点类型三、到点；地距离（点ax?ax ：表示数轴上地点地距离；到点类型四、)a?(?x?a?x xa?. 类型五、到点：表示数轴上地点地距离二、例题应用：4?xx?4x ，则、地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若例1.（1）=2?x. 3x?1?x?3x ，则（2）地几何意义是数轴上表示地点与表示地点之间地距离，若、?x. 15??qm若3）、如图所示数轴上四个点地位置关系，且它们表示地数分别为m、n、p、q.，（1 n?q?n，pp?m?，15m???m?8np??q?n?1，qp3 ;若，则，n?p?.则 a?b?b?c?a?cc，，ba，，如果在数轴上地对应点为A，（4）、不相等地有理数B，C. 在数轴上地位置关系B，，C 则点A a?b?9，c?d?16且a?b?c?d?25da、cb、、，求均为有理数，拓展：已知 b?a?d?c的值. ??且a?b?c?d?25.25a?b?c?a (9b?)??16?ddc???解析： ?b?9?a，c?d?16?b?a?d?c?9?16??7. 3x??x?32?x?x时，取最大值，最大）（例2.1、①当取最小值；②时，当 值为. 1 / 8 个人收集整理仅供参考学习 x?3?x?2?7x?; 利用绝对值在数轴上地几何意义得（2）、①已知， 绝对值应用（讲义） ? 课前预习 1. a 的相反数是_______，a b -的相反数是_______，a b c -+的相反数是 ________；若0a b c -+<，则a b c -+=________． 2. 已知0a c <<，0ab >，b c a <<，在下图数轴上标出b ，c 的大致位置． 3. 当a >0时，a =____，a a =____；当a <0时，a =____，a a =____． ? 知识点睛 1. 去绝对值： ①看_____，定_____；②依法则，留_____；③去括号，合并． 2. 分类讨论： ①_____________________________________________； ②_____________________________________________． 3. 绝对值的几何意义： a b -表示在数轴上数a 与数b 对应点之间的距离． ? 精讲精练 1. 小明得到了一个如图所示的数轴草图，他想知道一些式子的符号，请你帮他 完成． a -____0，a b +____0，a b -____0，b a -____0．（填“>”、“<”或“=”） a 2. 设有理数a ，b ，c 在数轴上的对应点如图所示，则b -a ____0，a +c _____0．化简2b a c a c a -+-+-=____________． 3. 设有理数a ，b 在数轴上的对应点如图所示，化简1a b a b b +---+-． 01a b 4. 已知0a c <<，0ab >，b c a >>，化简b a b c a b c -++-++． 5. 已知0c a <<，0ab <，a c b >>，化简a a c b c b a -+----． 6. 已知0a b +<，化简13a b a b +----． 7. 若15x -=，1y =，则x y -的值为__________________． 8. 若24x +=，3y =，则x y +的值为_________________． 9. 若4a =，2b =，且a b a b +=+，则a b -的值是多少？ 知识精讲 绝对值的几何意义：一个数a的绝对值就是数轴上表示数a的点与原点的距离. 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值号. ②一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a的绝对值： ① (0) 0(0) (0) a a a a a a > ? ? == ? ?-< ? ②(0) (0) a a a a a ≥ ? =? -< ? ③(0) (0) a a a a a > ? =? -≤ ? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0 a b c ++=，则0 a=，0 b=，0 c= 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-；（2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?； a a b b =(0) b≠； （4）222 |||| a a a ==； a的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a．b对应数轴上两点间的距离．【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（） A．±2 B．2 C．-2 D．4 绝对值 学生做题前请先回答以下问题 问题1：绝对值的几何意义： ①表示在数轴上，x所对应的点与_______的距离． ②表示在数轴上____________________________对应点之间的距离． ③表示____________________________对应点之间的距离． 绝对值应用（绝对值的几何意义）（北师版）一、单选题(共10道，每道10分) 1.已知，则a，b的值分别为( ) A.a=3，b=5 B.a=-3，b=5 C.a=3，b=-5 D.a=-3，b=-5 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 2.若，则ab=( ) A.0 B.3 C.-3 D.±3 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 3.若与互为相反数，则a+b=( ) A.-1 B.1 C.5 D.-5 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的非负性 4.若x为有理数，则的最小值为( ) C.3 D.5 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 5.若x为有理数，则的最小值为( ) A.1 B.3 答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 6.若x为有理数，则的最小值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 答案：B 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 7.若x为有理数，则的最小值为( ) A.2 B.3 C.4 D.5 答案：C 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：绝对值的几何意义 8.当x=____时，有最_____值，是_____．( ) A.0，小，6 B.0，大，6 C.0，小，0 D.0，大，0 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：利用绝对值的非负性求最值 9.当x=____时，有最_____值，是_____．( ) A.4，小，3 B.4，大，-3 C.4，小，-3 D.0，大，3 答案：C 模块一 绝对值的基本概念 （1）非负性：||0a ≥（补充：20a ≥）． 对应题型：绝对值的化简． 方法：判断“||”里面整体的正负性． 易错点：求一个多项式的相反数． 对应策略：求一个多项式的相反数即求多项式中每个单项式的相反数． ①a b -的相反数是a b -+； ②a b c ++的相反数是a b c ---； ③132a b -+的相反数132a b -+-． （2）双解性：||(0)a b b =≥，则a b =±． （3）绝对值的代数意义：(0)||0(0)(0)a a a a a a >?? ==??-?=? -≤? 变式结论：①若||a a =，则0a ≥； ②若||a a =-，则0a ≤． 模块二 零点分段法（目的：去无范围限定的绝对值题型） 零点：使绝对值为0的未知数值即为零点． 方法： ①寻找所有零点，并在数轴上表示； ②依据零点将数轴进行分段； ③分别根据每段未知数的范围去绝对值． 易错点：分类不明确，不会去绝对值． 化简：|1||2|x x -+-． ①零点为1，2，故将数轴分为3个部分， 即1x <，12x ≤<，2x ≥． ②当1x <时，原式23x =-+； 当12x ≤<时，原式(1)(2)1x x =---=； 当2x ≥时，原式23x =-． 模块三 几何意义 ||x 的几何意义：数轴上表示数x 的点与原点 的距离； ||x a -的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 的点之间的距离； ||||x a x b -+-的几何意义：数轴上表示数x 的点与数a 、b 两点的距离之和． 举例： ①|1|=|(1)|x x +--表示x 到1-的距离． ②|1||2|x x +++表示x 到1-和x 到2-的距离之和． ③|1||2|x x +-+表示x 到1-和x 到2-的距离之差． 基本结论：令123n a a a a ≤≤≤≤…， 123||||||+||n x a x a x a x a -+-+-+-… ． 方法：直接套用几何意义画数轴． ①当n 为奇数时，当1 2 n x a +=时取最小值； ②当n 为偶数时，当1 2 2 n n a x a +≤≤时取最小 值． 常见变形： ①|1|2|3|3|4|x x x -+-+-在34x ≤≤时取得最小值． ②()111 113|2|2|3|236x x x x -+-=-+-在2x =时取得最小值． ③|1||2|x x ---既有最小值也有最大值． 去绝对值符号的几种常用方法 解含绝对值不等式的基本思路是去掉绝对值符号，使不等式变为不含绝对值符号的一般不等式，而后，其解法与一般不等式的解法相同。因此掌握去掉绝对值符号的方法和途径是解题关键。 1．利用定义法去掉绝对值符号 根据实数含绝对值的意义，即|x |=(0)(0)x x x x ≥??-????≤? ；|x |>c (0)0(0)(0)x c x c c x c x R c <->>???≠=??∈c (c >0)来解，如|ax b +|>c (c >0)可为ax b +>c 或ax b +<－c ；|ax b +| 基本要求：借助数轴理解绝对值的意义，会求实数的绝对值 略高要求：会利用绝对值的知识解决简单的化简问题 【知识点整理】 绝对值的几何意义：一个数a 的绝对值就是数轴上表示数a 的点与原点的距离.数a 的绝对值记作a . 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. 注意：①取绝对值也是一种运算，运算符号是“”，求一个数的绝对值，就是根据性质去掉绝对值符号. ②绝对值的性质：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0. ③绝对值具有非负性，取绝对值的结果总是正数或0. ④任何一个有理数都是由两部分组成：符号和它的绝对值，如：5-符号是负号，绝对值是5. 求字母a 的绝对值： ①(0)0(0)(0)a a a a a a >??==??-?=?-≤? 利用绝对值比较两个负有理数的大小：两个负数，绝对值大的反而小. 绝对值非负性：如果若干个非负数的和为0，那么这若干个非负数都必为0. 例如：若0a b c ++=，则0a =，0b =，0c = 绝对值的其它重要性质： （1）任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即a a ≥，且a a ≥-； （2）若a b =，则a b =或a b =-； （3）ab a b =?；a a b b =(0)b ≠； （4）222||||a a a ==； a 的几何意义：在数轴上，表示这个数的点离开原点的距离． a b -的几何意义：在数轴上，表示数a ．b 对应数轴上两点间的距离． 【例题精讲】 模块一、绝对值的性质 【例1】到数轴原点的距离是2的点表示的数是（ ） A ．±2 B ．2 C ．-2 D ．4 【例2】下列说法正确的有（ ） ①有理数的绝对值一定比0大；②如果两个有理数的绝对值相等，那么这两个数相等；③互为相绝对值 绝对值的几何意义 【考纲说明】 1、 理解绝对值的几何意义，了解绝对值的表示法，会计算有理数的绝对值； 2、 能够利用数形结合思想来理解绝对值的几何意义，根据绝对值的意义及性质进行简单应用。 【趣味链接】 正式篮球比赛所用球队质量有严格的规定,下面是6个篮球的质量检测结果，用正数记超过规定质量的克数，用负数记不足规定质量的克数，检测结果为：-20，+10、+12、-8、-11 请指出那个篮球的质量好一些,并用绝对值的知识进行说明。 【知识梳理】 1、绝对值的定义：在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离称为该数的绝对值，记作|a|。 2、绝对值的性质： （1） 绝对值的非负性，可以用下式表示：|a|≥0，这是绝对值非常重要的性质； a （a ＞0） （2） |a|= 0 （a=0） （代数意义） -a (a ＜0) （3） 若|a|=a ，则a≥0；若|a|=-a ，则a≤0； （4） 任何一个数的绝对值都不小于这个数，也不小于这个数的相反数，即|a|≥a ， 且|a|≥-a ； （5） 若|a|=|b|，则a=b 或a=-b ；（几何意义） （6） |ab|=|a|·|b|；|b a |=| |||b a （b≠0）； （7） |a|2=|a 2|=a 2 ； （8） |a+b|≤|a|+|b| |a -b|≥||a|-|b|| |a|+|b|≥|a+b| |a|+|b|≥|a -b| 【经典例题】 【例1】（2011青岛）若ab<|ab|，则下列结论正确的是（ ） A.a ＜0，b ＜0 B.a ＞0，b ＜0 C.a ＜0，b ＞0 D.ab ＜0 【例2】（2011莱芜）下列各组判断中，正确的是（ ） A ．若|a|=b ，则一定有a=b B.若|a|＞|b|,则一定有a ＞b C. 若|a|＞b ，则一定有|a|＞|b| D.若|a|=b ，则一定有a 2=(-b) 2 【例3】（2011日照）有理数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，则式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c|化简结果为( ) A ．2a+3b-c B ．3b-c C ．b+c D ．c-b 【例4】（2009淮安）如果a a -=||，下列成立的是（ ） A ．0>a B ．0 绝对值(基础) 【学习目标】 1.掌握一个数的绝对值的求法与性质; 2.进一步学习使用数轴,借助数轴理解绝对值的几何意义; 3.会求一个数的绝对值,并会用绝对值比较两个负有理数的大小; 4、 理解并会熟练运用绝对值的非负性进行解题、 【要点梳理】 要点一、绝对值 1、定义:一般地,数轴上表示数a 的点与原点的距离叫做数a 的绝对值,记作|a|、 要点诠释: (1)绝对值的代数意义:一个正数的绝对值就是它本身;一个负数的绝对值就是它的相反数;0的绝对值就是0.即对于任何有理数a 都有: (2)绝对值的几何意义:一个数的绝对值就就是表示这个数的点到原点的距离,离原点的距离越远,绝对值越大;离原点的距离越近,绝对值越小. (3)一个有理数就是由符号与绝对值两个方面来确定的. 2、性质:绝对值具有非负性,即任何一个数的绝对值总就是正数或0. 要点二、有理数的大小比较 1、数轴法:在数轴上表示出这两个有理数,左边的数总比右边的数小、 如:a 与b 在数轴上的位置如图所示,则a ＜b. 2、法则比较法: 两个数比较大小,按数的性质符号分类,情况如下: 两数同号 同为正号:绝对值大的数大 同为负号:绝对值大的反而小 两数异号 正数大于负数 －数为0 正数与0:正数大于0 负数与0:负数小于0 要点诠释: 利用绝对值比较两个负数的大小的步骤:(1)分别计算两数的绝对值;(2)比较绝对值的大小;(3)判定两数的大小. 3、 作差法:设a 、b 为任意数,若a -b ＞0,则a ＞b;若a -b ＝0,则a ＝b;若a -b ＜0,a ＜b;反之成立. 4、 求商法:设a 、b 为任意正数,若1a b >,则a b >;若1a b =,则a b =;若1a b <,则a b <;反之也成立.若a 、b 为任意负数,则与上述结论相反. 5、 倒数比较法:如果两个数都大于0,那么倒数大的反而小、 【典型例题】 类型一、绝对值的概念 1.求下列各数的绝对值. 112-,-0、3,0,132??-- ??? (0)||0 (0)(0)a a a a a a >??==??- 绝对值的几何意义--实际应用问题 【知识点】 一个数的绝对值越小，距离原点越近 【练习题】 1.四只毛毛虫在数轴上的位置如下，则距离原点最近的是______ 2.一只蚂蚁在数轴上来回爬行，记录的位置分别为：-2、-1、4、-3则距离原点 最远的位置是______ 3.矿井下A、B、C三处的高度分别为-35.2m，-129.1m，-72.6m，最深的是______ （填“A、B、C”） 4.记录1、2、3号3个零件的长度，大于标准值为+，小于标准值为-，记录结 果（单位：mm）分别为+0.10、-0.07、-0.02，则最接近标准值的是______号 5.某班测量身高，超过平均身高记为正数，低于平均身高记为负数，甲、乙两 位同学的记录情况分别为+3，-5。最接近平均身高的是______（填“甲、乙”）6.某商店全年第一、第二、第三、第四季度盈亏情况（盈利为正，亏损为负） 依次是：68万元、-140万元、-95万元、145万元，则亏损最多的是第______季度（填“一、二、三、四”） 7.检验4个工件，其中超过标准质量的克数记作正数，不足标准质量的克数记 作负数。从轻重的角度看，最接近标准的工件是（） A.-2 B.-3 C.3 D.7 8.某次数学单元测试，1班第1小组4位同学的平均成绩达到80分，组长在登 记成绩时，以80分为基准，超过80分的分数登记为正数，低于80分的分数登记为负数，甲、乙、丙、丁4位同学的分数记录情况为：10、-2、5、-13。 则最接近80分的是______同学。（填“甲、乙、丙、丁”） 9.某公路养护小组若干人各自乘车沿南北方向公路巡视维修，某天早晨他们从 A地出发，约定A地以北为正方向，A地以南为负方向，他们几人当天相对与A地的行驶记录分别如下（单位：千米）：+18，+9，-2，-14，+5，-19。 当天距离A地最远的距离是______千米。 10.某市监管部门抽查一商店4个水果罐头的质量，超出标准质量记为正，不足 质量记为负，则最接近标准质量的罐头是（） A.-3 B.4 C.2 D.1 -1 0 1 a b 2010年七年级上数学专题--绝对值的应用 1. 有理数a,b 在数轴上的对应点的位置如图所示： 化简：∣a+b ∣=_________ ∣a ∣－∣b ∣=_________ ∣a-1∣=_________ ∣1+b ∣=_________ 2、已知：b 是最小的正整数且a 、b 满足0)5(2=++-b a c ，试回答问题。 （1）请直接写出a 、b 、c 的值。 a = b = c = （2）a 、b 、c 所对应的点分别为A 、B 、C ，点P 为一动点，其对应的数为x ，点P 在0到2之间运动时（即0≤x ≤2时），请化简式子：5211-+--+x x x （请写出化简过程） （3）在（1）（2）的条件下，点A 、B 、C 开始在数轴上运动，若点A 以每秒1个单位长度的速度向左运动，同时，点B 和点C 分别以每秒2个单位长度和5个单位长度的速度向右运动，假设t 秒钟过后，若点B 与点C 之间的距离表示为BC ，点A 与点B 之间的距离表示为AB 。请问，BC —AB 的值是否随着时间t 的变化而改变？若变化，请说明理由；若不变，请求其值。 3、如图,C 为线段AB 上一点，且AC=2BC ，AC 的4 1比BC 小5. （1）求AC 、BC 的长； （2）点P 从A 点出发，以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动，设运动时间为t 秒（t ＜10）,D 为PB 的中点,E 为PC 的中点,若CD=2DE,试求点P 运动时间t 的值; （3）若P 从A 点出发,以1个单位/秒的速度在线段AB 上向B 点运动,同时点Q 从B 点出发,以6 5个单位/秒的速度在AB 的延长线上与P 点同向运动,运动时间t ＜30,D 为PB 的中点,F 为DQ 的中点,且PB PE 3 1=,当P 、Q 两点运动过程中，给出下面两个结论：①DE+DF 的值不变；②|DE －DF|的值不变，其中只有一个结论是正确的，请判断正确的结论并求其值． 4．在一条长为a 米的马路AB 上，有一个男孩在玩长为b 米的滑板CD ，滑板的高度忽略不计．（不考虑调头） 如图所示，建立一个数轴，并以A 为原点． （1）当滑板的端点C 与A 重合时，试用a 、b 表示BD 的中点N 对应的数． （2）当滑板在A 、B 之间滑动时，线段AC 、BD 的中点M 和N 之间的距离是否改变呢？试说明理由． （3）当滑板从A 滑动到B 处后仍向前滑动．线段AC 、BD 的中点M 和N 之间的距离是否改变呢？试说明理由． · · · C B A A B C D M N A D N B A B C初中绝对值知识
绝对值几何意义应用
六年级绝对值应用(讲义及答案)精益版
绝对值的性质及运用
绝对值应用(绝对值的几何意义)(北师版)(含答案)
初中数学 绝对值的化简和几何意义
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