绝对值几何意义应用
一、几何意义类型：
类型一、：表示数轴上的点到原点0的距离；
类型二、：表示数轴上的点到点的距离（或点到点的距离）；
类型三、：表示数轴上的点到点的距离（点到点的距离）；
类型四、：表示数轴上的点到点的距离；
类型五、：表示数轴上的点到点的距离.
二、例题应用：
例 1.（1）、的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距
离，若=2，则
.
（2）、的几何意义是数轴上表示的点与表示的点之间的距
离，若，则
.
（3）、如图所示数轴上四个点的位置关系，且它们表示的数分别为m、n、
p、q.若，
，则;若，
则 .
（4）、不相等的有理数在数轴上的对应点为A，B，C，如果
，
则点A，B，C在数轴上的位置关系 .
拓展：已知均为有理数，，求
解析：
例 2.（1）、①当时，取最小值；②当时，取最大值，最大
值为.
（2）、①已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得;
②已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得;
③已知，利用绝对值在数轴上的几何意义得;
拓展：若，则整数的个数是 4 .
④当满足条件时，利用绝对值在数轴上的几何意义取得最小值，
这个最小值是.
由上题③图可知，，故而当时，最小值是5.
⑤若时，探究为何值，方程有解？无实数解？
档案：；<5.
特别要注意的是：当在这个范围内任取一个数时，都有.
例题拓展：①若>恒成立，则满足什么条件？答案：<5.
②若<无实数解，则满足什么条件？答案：≤5.
③若>恒成立，则满足什么条件？答案：＜.
由上图当≤时，；当≥3时，；当＜＜，
＜＜，所以≤≤.则＜.
④若<时，则满足什么条件？答案：>5.
拓展应用：已知
，求的最大值和最小值.
解析：，，
，
，，
.
（3）、当满足条件时，取最小值，这个最小值是 .
由以上图形可知：当= 1 时，，其他范围内﹥5，
故而，这个最小值是 5 .
（4）、当满足条件时，取最小值，这个最小值是.
由以上图形可知：当时，，其他范围内
﹥11，故而，这个最小值是 11 .
特别要注意的是：当在这个范围内任取一个数时，都有
.
（5）、当满足条件时，取最小值，
这个最小值是.
由以上图形可知：当= 3 时，，其他范围内
﹥13，故而
，
这个最小值是 13.
（6）、当满足条件时，
取最小值，
这个最小值是.
由以上图形可知：当时，
，其他范围内
﹥18，
故而，这个最小值是 18.
小结：有，，，…，（）个正数，且满足＜＜＜…＜ .
1.求的最小值，以及取得这个最小值
所对应的的值或范围；
答案是：当= 时，取得最小值，
这个最小值是
.
2.求的最小值，以及取得这个最小值
所对应的的值或范围；
答案是：当时，取得最小值，
这个最小值是或者
.
三、判断方程根的个数
例3、方程|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996共有（）个解．
A.．4；B．3； C．2； D．1
解：当x在－99～－1之间（包括这两个端点）取值时，由绝对值的几何意义知，|x+1|+|x+99|＝98，|x＋2|＜98．此时，|x+1|+|x+99|+|x＋2|＜1996，故|x+1|+|x+99|+|x＋2|＝1996时，x必在－99～－1之外取值，故方程有2个解，选（C）．
四、综合应用
例4、（第15届江苏省竞赛题，初一）已知|x＋2|+|1－x|＝9－|y－5|－|1+y|，求x+ y最大值与最小值．
解：原方程变形得|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1||＝9，
∵|x＋2|+|x－1|≥3，|y－5|+|y+1|≥6，而|x＋2|+|x－1|+|y－5|+|y+1|＝9，
∴|x＋2|+|x－1|＝3，|y－5|+|y+1|＝6，∴－2≤x≤1，－1≤y≤5，
故x+ y的最大值与最小值分别为6和－3．
五、练习巩固
1、若＜＜＜，问当满足条件时，
取得最小值.
2、若＜＜＜＜，问当满足条件时，
取得最小值.
3、如图所示，在一条笔直的公路上有9个村庄，期中A、B、C、D、F、G、H、K 到城市的距
离分别为3、6、10、15、17、19、20、23千米，而村庄E正好是AK的中点.现要在某个村庄建
一个活动中心，使各村到活动中心的路程之和最短，则活动中心应建在什么位置？
4、设是实数，下列四个结论：
①.没有最小值；②.只有一个使取到最小值；
③.有有限多个(不只一个)使取到最小值；
④.有无穷多个使取到最小值。
其中正确的是( )．
A．① B．② C．③ D．④
5、试求的最小值.