竭诚为您提供优质文档/双击可除a1,a2,a3是规范正交向量组, 篇一：第三讲向量组 第三讲向量组 --------------------------------------------------- 向量作为工具可以描述空间中的点、矩阵中的行或列、线性方程组中的方程等等。研究向量的线性运算[加法与数乘]、向量组线性相关性、向量组的秩[矩阵秩]与最大无关组、等价向量组等概念可以解决线性方程组的理论。 向量组是线性代数的重难点之一，概念多，内容抽象，推理逻辑性强，描述要求准确，与矩阵、方程组相互交织，可以相互转换。例如，向量组秩、最大无关组是线性方程组解的判定、结构定理的理论基础；向量组的秩和相应矩阵秩一致，是向量组与矩阵结合点，反映了向量组和矩阵的本质。 向量组主要分三大部分： ■线性表示与线性相关性：向量的线性组合和线性表示；向量组的线性表示与等价向量组；向量组的线性相关性； ■向量组的秩：向量组的最大无关组与秩的概念、性质
及求法，向量组秩与矩阵秩关系；秩与线性相关性的关系； ■向量空间：向量空间及其基、维数；向量在基下的坐标；两基间的过渡矩阵；基的规范正交化： 正交阵及其性质。 教材:第四,第五章第1节。 ----------------------------------------------------------------------------------------- 一、主要内容 1、向量及其线性运算 ----概念 ------------------------------------------ （1）n个数组成的有序数组称为n维向量；写成一行的称为行向量，写成一列的称为列向量；若干个同维行（列）向量的集合称为向量组； （2）设有向量a(a1,a2,,an),b(b1,b2,,bn),实数kR，则下列运算 ka(ka1,ka2,,kan)，ab(a1b1,a2b2,,anbn)， 称为向量的线性运算； （3）设有向量组a1,a2,,an和向量b，若存在常数 k1,k2,,kn，使得有 bk1a1k2a2knan，
《空间向量的正交分解及其坐标表示》 教学设计 杨华 燕大附中
3.1.4空间向量的正交分解及其坐标表示教学设计 一、教学任务及对象 1、教学内容分析 《空间向量的正交分解及其坐标表示》是选修2-1第三章第一节的内容，前面学生已经把平面向量及其加减和数乘运算推广到空间，本节内容从空间向量的正交分解出发，学习空间最重要的基础定理——空间向量分解定理，这个定理是立体几何数量化的基础，有了这个定理，空间结构变得简单明了，整个空间被三个不共面的向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x,y,z）建立起一一对应的关系。 2、教学对象分析 本节课授课的对象是高二年级的学生，他们已掌握了平面向量的基本原理，虽然具备一定的分析和解决问题的能力，逻辑思维也初步形成，但在把向量推广到空间中缺乏冷静、深刻，思维具有片面性、不严谨的特点，对问题解决的一般性思维过程认识比较模糊。 二、教学目标 依据课程标准，结合学生的认知发展水平和心理特征，确定本节课的教学目标如下： 1、知识与技能：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示，会在简单问题中选用空间三个不共面向量作为基底表示其他向量。 2、过程与方法：通过类比、推广等思想方法，启动观察、分析、抽象概括等思维活动，培养学生的思维能力，体会类比、推广的思想方法，对向量加深理解。 3、情感、态度与价值观：通过本节课的学习，养成积极主动思考，勇于探索，不断拓展创新的学习习惯和品质。 三、重、难点分析 重点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 难点：理解空间向量基本定理及其意义，掌握空间向量的正交分解及其坐标表示； 四、教学策略 为了突出重点、突破难点，在教学中采取了以下策略： 1．教法分析 为了充分调动学生学习的积极性，采用“学、研、导、练”模式，培养学生的创新精神，使学生在解决问题的同时，形成了方法.另外恰当的利用多媒体课件进行辅助教学，借助信息技术创设情境激发学生的学习兴趣. 2．学法分析 本节课通过类比平面向量基本定理及坐标表示，推广到空间向量，让学生体会类比、推广思想，加深对向量的理解；让学生从问题中质疑、尝试、归纳、总结、运用，培养学生发现问题、分析问题和解决问题的能力．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 课时目标 1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题.2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念.3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标． 1．空间向量基本定理 (1)设i 、j 、k 是空间三个两两垂直的向量，且有公共起点O ，那么，对于空间任一向量p ，存在一个______________，使得____________，我们称______，______，______为向量p 在i 、j 、k 上的分向量． (2)空间向量基本定理：如果三个向量a ，b ，c ________，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得________________． (3)如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么所有空间向量组成的集合就是___________．这个集合可看作是由向量a ，b ，c 生成的，我们把{a ，b ，c }叫做空间的一个________，a ，b ，c 都叫做__________．空间中任何三个________的向量都可构成空间的一个基底． 2．空间向量的坐标表示 若e 1、e 2、e 3是有公共起点O 的三个两两垂直的单位向量，我们称它们为____________________，以e 1、e 2、e 3的公共起点O 为原点，分别以e 1、e 2、e 3的方向为x 轴、y 轴、z 轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz ，那么，对于空间任意一个向量p ，由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得p ＝x e 1＋y e 2＋z e 3，把x ，y ，z 称作向量p 在单位正交基底e 1，e 2，e 3下的坐标，记作____________． 一、选择题 1．在以下3个命题中，真命题的个数是( ) ①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面； ②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 2.已知O 、A 、B 、C 为空间不共面的四点，且向量a ＝OA →＋OB →＋OC →，向量b ＝OA →＋OB →－OC →，则与a 、b 不能构成空间基底的是( ) A. OA → B ．OB → C.OC → D.OA →或OB → 3．以下四个命题中，正确的是( ) A.若OP ＝12OA →＋13 OB →，则P 、A 、B 三点共线 B ．设向量{a ，b ，c }是空间一个基底，则{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }构成空间的另一个基底 C ．|(a·b )c |＝|a|·|b|·|c | D. △ABC 是直角三角形的充要条件AB →·AC →＝0 4.设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3G ,G 1若OG ＝xOA →＋yOB →＋zOC →，则(x ，y ，z )为( ) A ．(14，14，14) B ．(34，34，34 ) C ．(13，13，13) D ．(23，23，23 ) 5．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(8,6,4)，其中a ＝i ＋j ，b ＝j ＋k ，c ＝k ＋i ，则
3. 1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标 1．能用坐标表示空间向量，掌握空间向量的坐标运算。 2．会根据向量的坐标判断两个空间向量平行。 重、难点 1．空间向量的坐标表示及坐标运算法则。 2．坐标判断两个空间向量平行。 教学过程 1．情景创设： 平面向量可用坐标表示，空间向量能用空间直角坐标表示吗？ 2．建构数学： 如图：在空间直角坐标系O xyz -中，分别取与x 轴、y 轴、z 轴方向相同的单位向量,,i j k 作为基向量，对于空间任一向量a ，由空间向量基本定理，存在唯一的有序实数组（x ，y ，z ），使a xi y j zk =++；有序实数组（x ，y ，z ）叫做向量a 的空间直角坐标系O xyz -中的坐标，记作a ＝（x ，y ，z ）。 在空间直角坐标系O －xyz 中，对于空间任意一点A （x ，y ，z ），向量OA 是确定的，容易得到 OA =xi y j zk ++。 因此，向量OA 的坐标为OA =（x ，y ，z ）。 这就是说，当空间向量a 的起点移至坐标原点时，其终点的坐标就是向量a 的坐标。 类似于平面向量的坐标运算，我们可以得到空间向量坐标运算的法则。 设a ＝（123,,a a a ），b ＝（123,,b b b ），则
a + b ＝（112233,,a b a b a b +++）， a － b ＝（112233,,a b a b a b ---）， λa ＝（123,,a a a λλλ）λ∈R 。 空间向量平行的坐标表示为 a ∥ b （a ≠0）112233,,()b a b a b a λλλλ?===∈R 。 例题分析： 例1：已知a ＝（1，－3，8），b ＝（3，10，－4），求a +b ，a －b ，3a 。 例2：已知空间四点A （－2，3，1），B （2，－5，3），C （10，0，10）和D （8，4，9），求证：四边形ABCD 是梯形。 例3：求点A （2，－3，－1）关于xOy 平面，zOx 平面及原点O 的对称点。 练习：见学案 小结： 作业：见作业纸
Gram-Schmidt 正交化方法 正射影 设欧式空间V 中向量s ααα ,,21线性无关,令 ;11αβ= 11 11 22,,ββββααβ-=; (1) 22 2231111333,,,,ββββ αββββααβ-- =; (11) 11 22221111,,,,,,--------=s s s s s s s s s ββββαββββαββββααβ . 则s βββ,,,21 均非零向量,且两两正交.再令,1 i i i ββγ= s i ,.2,1 = 则},,,{21s γγγ 为规范正交组. 将(1)重新写成i i i i i i t t βββα+++=--11,11, , s i ,,2,1 = 其中k k k i ik t βββα,,= ,,,,2,1s i = .1,,2,1-=i k {}, ,,2,1,s j i ∈? 有 ∑∑-=-=++= 1 1 1 1 ,,j k j k jk i k i k ik j i t t ββββαα()???? ? ?? ? ?? ??? ????????? ? ? =-001,000,000,0,,0,1,,,1112222111,21 j j j i i i i t t t t t t ββββββ 令??????? ? ? ?=---10 001001011,2,2,11,1,121 s s s s s s t t t t t t T
则 T T s s s s s s s s s s s s s s ??????? ? ??=????? ? ?? ? ?-----ββββββββααααααααααααααααααααααα,0 00 0,0000,0 000,,,,,,,,,,,,,1 12211/2 1 1211122 21 212111 上式左端的实方阵是s ααα,,,21 的格兰母矩阵，记为：()s G ααα,,,21 ，上式右端中 间 的 对 角 阵 是 s βββ,,,21 的Gram 矩阵.即 有:()()T G T G s s βββααα,,,,,,21/21 = 因此()()s s s s G G βββββββββααα,,,,,,det ,,,det 22112121 == 注意：对任意一个向量组，无论它是线性相关，还是线性无关，它总有Gram 矩阵（或者事先给出定义）. 例1 设s ααα,,,21 欧式空间V 中向量，则 （1）()?≠0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性无关; （2）()?=0,,,det 21s G ααα s ααα,,,21 线性相关. 证明:只证（2） )?设s ααα,,,21 线性相关，则存在一个向量，不妨设为1α,可由其余向量线性 表示: s s k k ααα++= 221给s 阶的行列式()s G ααα,,,det 21 的第i 行乘数()i k -加到 第1行，s i ,,3,2 =得 ( )s s s s s s i s i i s s i i i s i i i s k k k G αααααααααααααααααααααααααα,,,,,,,,,,,,,,,det 21 22 21 22 12 2 212 1 1121 ∑∑∑===---= 0= )?法一：由上页证明推理过程立即得证。 法二：当()0,,,det 21=s G ααα 时，()s G ααα,,,21 的行向量组线性相关，因此存在不全为零的实数12,,,s k k k ，使
23,,e e 为有公共起点O 的三个两两
点O 重合，得到向量OA =a ．由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{,,}x y z ，使得 =a __________．我们把x ，y ，z 称作向量a 在单位正交基底123,,e e e 下的坐标，记作=a __________． 注：向量的坐标由起点、终点的坐标共同决定，并不受起点位置的影响． 5．单位正交基底之间的数量积运算 （1）因为单位正交基底123,,e e e 互相垂直，所以121323?=?=?=e e e e e e __________． （2）因为123,,e e e 为单位向量，所以1122331?=?=?=e e e e e e ． 6．空间向量的坐标运算 空间向量的加法、减法、数乘及数量积运算的坐标表示都可以类似平面向量的坐标运算得到． 设123(,,)a a a =a ，123(,,)b b b =b ，则 （1）112233(,,)a b a b a b +=+++a b ， 112233(,,)a b a b a b -=---a b ， 123(,,)a a a λλλλ=a ， 112233a b a b a b ?=++a b ； （2）112233,,a b a b a b λλλλ?=?===∥a b a b ， 11223300a b a b a b ??=?++=⊥a b a b ， =?=|a |a a __________， 112233 22222 2 123123cos ,a b a b a b a a a b b b ++= ++++<>a b ； （3）在空间直角坐标系中，已知点111()A x y z ,,，222()B x y z ,,，则A ，B 两点间的距离 ||d AB == 222121212()()()x x y y z z -+-+-． 注：进行向量运算时，在能建系的情况下尽量建系，将向量运算转化为坐标运算，一般按照右手系建系．
3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示 教学目标： 掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直． 教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算． 教学难点：理解空间向量基本定理． 教学过程： 一.复习引入 平面向量基本定理及应用 二.思考分析 在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量． 问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？ 提示：能． 问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？ 提示：p＝500e1＋400e2＋15e3. 三.抽象概括 1．空间向量基本定理 定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量． 2．空间向量的正交分解及其坐标表示 (1)单位正交基底 三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底． (2)空间向量的坐标表示 以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz. 对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)． (1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底． (2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
一、n 维向量的定义及运算 一、n 维向量的定义及运算二、向量空间 二、向量空间第一节向量空间 第二节向量的正交性
一、向量空间及其维数和基 一、向量空间及其维数和基 二、向量在基下的坐标 二、向量在基下的坐标
例1 设V 是一些n 维实向量的组成的非空集合，如果V 关 于向量的加法与数乘封闭(线性运算封闭)，即 (1) ?a , b ∈V , 有a +b ∈V . (2) ?a ∈V , k ∈R , 有k a ∈V . 则称V 是一个实向量空间. 一、向量空间及其维数和基 定义1全体n 维向量的集合{(x 1, x 2, …, x n )T | x i ∈R ,i=1, 2, …, n }是一个向量空间，记为R n . 特别的 n = 1 时全体实数R 是一个向量空间; n = 3 时全体三维向量{(x 1, x 2, x 3)T |x i ∈R ,i= 1, 2, 3 } 是一个向量 空间，记为R 3. n = 2 时全体平面中的向量{(x 1, x 2 )T | x i ∈R ,i=1, 2} 是一个向量空 间，记为R 2. 注：向量空间中必含有零向量。
例3 例2而W = {(a 1, a 2, …, a n )T |}01∑==n i i a 是一向量空间. }1|),,,{(1 21∑==…=n i i T n a a a a S 不是一向量空间, 因为它关于加法与数乘均不封闭，也不含零向量.仅含一个n 维零向量0=(0, 0, …, 0)T 的集合{0}构成一 个向量空间，称为零空间.除零空间之外的所有向量空间均称为非零空间。 设V 是一个向量空间，W V , W ≠?. 如果W 关于向量的加法与数乘也封闭，则称W 是V 的子空间. 定义2若W V ，并且V W , 则称两个向量空间相等，记为W=V. ???
施密特正交化 在中，如果上的一组向量能够张成一个，那么这一组向量就称为这个子空间的一个基。Gram－Schmidt正交化提供了一种方法，能够通过这一子空间上的一个基得出子空间的一个，并可进一步求出对应的。 这种正交化方法以和命名，然而比他们更早的（Laplace）和（Cauchy）已经发现了这一方法。在李群分解中，这种方法被推广为（）。 在数值计算中，Gram－Schmidt正交化是的，计算中累积的舍入误差会使最终结果的正交性变得很差。因此在实际应用中通常使用或进行正交化。 记法 ?：为n的内积空间 ?：中的元素，可以是向量、，等等 ?：与的 ?：、……张成的 ?：在上的 基本思想 图1v在V2上投影，构造V3上的正交基β Gram-Schmidt正交化的基本想法，是利用投影原理在已有正交基的基础上构造一个新的正交基。 设。V k是V n上的k维子空间，其标准正交基为，且v不在V k上。由投影原理知，v与其在V k上的投影之差 是正交于子空间V k的，亦即β正交于V k的正交基ηi。因此只要将β单位化，即 那么{η 1,...,η k+1 }就是V k在v上扩展的子空间span{v,η 1 ,...,η k }的标准正交 基。
根据上述分析，对于向量组{v 1,...,v m }张成的空间V n，只要从其中一个向量（不 妨设为v 1）所张成的一维子空间span{v 1 }开始（注意到{v 1 }就是span{v 1 }的正交 基），重复上述扩展构造正交基的过程，就能够得到V n的一组正交基。这就是Gram-Schmidt正交化。 算法 首先需要确定扩展正交基的顺序，不妨设为。Gram-Schmidt正交化的过程如下： 这样就得到上的一组正交基，以及相应的标准正交基。 例 考察如下R n中向量的，欧氏空间上内积的定义为
第五节振型向量正交性 对多自由度系统振动问题的分析与两自由度系统没有本质上的区别。只是由于自由度上的增多导致数学上计算变得复杂多了。因此，在研究多自由度系统振动问题时，应找出一种便于分析的方法，这就是模态分析法（振型叠加法）。为此，首先讨论有关耦合与解耦的方法。 一、耦合与解耦（教材6.7和6.8） 举例说明什么是耦合与解耦。 D y 如图所示是一刚性杆AD，用刚度分别为 1 k和 2 k的弹簧支承与A、D两端。
（1） 取质心C 点的垂直位移C y 和刚性杆绕C 点的转角θ为广义坐标。则刚性杆在振动中任一瞬时的受力如图所示。由几何关系，得 12112212D A C A C D C D A l y l y y y y l l l y y l y y l l θ θ θ+?=?=-+?? ?? ? =+-??=?+? 由牛顿运动定律，的系统的振动微分方程为 121122 C A D A D my k y k y J k y l k y l θ=--?? =-? （a ） 式中m 是刚性杆AD 的质量，J 是刚性杆AD 绕质心C 的转动惯量。整理式（a ），得 ()()()()12221122 221111220 C C C my k k y k l k l J k l k l y k l k l θθθ+++-=???+-++=?? （b ） 写成矩阵的形式 12221122221111220000C C y k k k l k l y m J k l k l k l k l θθ+-???????? ??+=??????????-+????? ????? （c ） 在上式中，质量矩阵是一个对角矩阵，反映在方程组中，就是两个微分方程的第一个方程仅包含一个广义坐标的二阶导数（加速度）C y ，第二个方程仅包含另一个广义坐标的二阶导数θ，这种加速度（惯性力）之间没有耦合的情况，称之为惯性解耦。 刚度矩阵是非对角矩阵，反映在
空间向量的标准正交分解与坐标表示 【学习目标】 理解空间向量的正交分解及坐标表示 【学习重点】 单位正交基底，空间直角坐标系的概念 【学习难点】 掌握空间向量的正交分解及坐标表示 【课前预习案】 一、复习 1.平面向量基本定理：对平面上的任意一个向量P，,a b是平面上两个向量，总是存在实数对(),x y，使得向量P可以用,a b来表示，表达式为，其中,a b叫做。若a b ⊥，则称向量P正交分解。 2.平面向量的坐标表示：平面直角坐标系中，分别取x轴和y轴上的向量 =+，，,i j作为基底，对平面上任意向量a，有且只有一对实数x，y，使得a xi y j 则称有序对(),x y为向量a的，即a＝。 二、课本助读：认真阅读课本第33—34页的内容。 1.空间向量的标准正交分解与坐标表示 在给定的空间直角坐标系中，i，j，k分别为正方向上的向量，对于空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数，使得a=x i＋y j＋z k，我们把a=x i＋y j＋z k叫作a的，把i，j，k叫作。 （x，y，z）叫作空间向量a的，记作a=(x，y，z)，a=(x，y，z)叫作向量a的。
2.我们把,,a i x a j y a k z ?=?=?=分别称为向量a 在x 轴，在y 轴，在z 轴正方向上的投影。 向量的坐标等于 。 一般地，若b 0为b 的单位向量，称 为 上的投影。 3.如下图所示，问： （1）向量OP 在x 轴上的投影； （2）向量OP 在y 轴上的投影； （3）向量OP 在z 轴上的投影； 【课堂探究案】 探究一：向量的坐标表示 例1（P34例1）如图在直角坐标系中有长方体''''ABCD A B C D -,且 2,3,'5AB BC AA === (1) 写出点'C 的坐标，给出'AC 关于,,i j k 的分解式 (2) 求'AD 的坐标 探究二：向量a 在向量b 上的投影 例2（P34例2）已知单位正方体''''ABCD A B C D -，求
第一讲 Ⅰ 授课题目： §5.1 预备知识：向量的内积 Ⅱ 教学目的与要求： 1.了解向量的内积及正交向量组的概念； 1.了解把线性无关的向量组正交规范化的施密特(Smidt)方法； 2.了解正交矩阵概念及性质。 Ⅲ 教学重点与难点： 重点：正交向量组及正交矩阵 难点：施密特正交化方法 Ⅳ 讲授内容： 一、向量的内积 前面曾介绍过向量的线性运算，但在许多实际问题中，还需要考虑向量的长度等方面的度量性质.在此，作为解析几何中向量的数量积的推广，引进向量的内积运算. 定义1 设有n 维向量 ??????? ??=n x x x x 21，?????? ? ??=n y y y y 21， 令 []n x y x y x y x +++= 2211,， []y x ,称为向量x 与y 的内积. 内积是向量的一种运算，用矩阵记号表示，当x 与y 都是列向量时，有 []y x y x T =,. 内积具有下列性质（其中z y x ,,为n 维向量，λ为实数）： ① [][]x y y x ,,=； ② [][]y x y x ,,λλ=； ③ [][][]z x y x z y x ,,,+=+.
例1 设有两个四维向量??????? ??-=5121α，???? ?? ? ??--=56 03β.求[]βα,及[]αα,. 解 []3425603,-=--+-=βα []3125141,=+++=αα n 维向量的内积是数量积的一种推广，但n 维向量没有3维向量那样直观的长度和夹 角的概念，因此只能按数量积的直角坐标计算公式来推广.并且反过来，利用内积来定义 n 维向量的长度和夹角： 定义2 令x = []2 2221,n x x x x x ++= ，则x 称为n 维向量x 的长度（或范数）. 向量的长度具有下列性质： ① 非负性 当0≠x 时，0>x ，当0=x 时，0=x ； ② 齐次性 x x λλ=； ③ 三角不等式 y x y x +≤+. 向量的内积满足施瓦兹不等式 [][][]y y x x y x ,,,2 ?≤ 由此可得 [] 1 ,≤y x y x （当0y ≠x 时） 于是有下面的定义： 当0≠x ，0≠y 时， [] y ,arccos x y x =θ 称为n 维向量的夹角. 二、正交向量组 当[]0,=y x 时，称向量x 与y 正交.显然，若0=x ，则x 与任意向量都正交. 两两正交的非零向量组称为正交向量组. 定理 1 若n 维向量r ααα ,,21是一组两两正交的非零向量组，则r ααα ,,21线性无关. 证明 设有r λλλ ,,21使 02211=+++r r αλαλαλ ，