3.1.4 空间向量的正交分解及其坐标表示
教学目标：
掌握空间向量的正交分解及空间向量基本定理和坐标表示；掌握空间向量的坐标运算的规律；会根据向量的坐标，判断两个向量共线或垂直．
教学重点：空间向量基本定理、向量的坐标运算．
教学难点：理解空间向量基本定理．
教学过程：
一.复习引入
平面向量基本定理及应用
二.思考分析
在一次消防演习中，一消防官兵特别行动小组接到命令，由此往南500米，再往东400米处的某大厦5楼发生火灾．行动小组迅速赶到现场，经过1个多小时的奋战，终于将大火扑灭．火灾的发源地点是由消防官兵驻地“南500米”“东400米”“5楼”三个量确定．设e1是向南的单位向量，e2是向东的单位向量，e3是向上的单位向量．
问题1：这三个向量能作为该空间的一组基底吗？
提示：能．
问题2：若每层楼高3米，请把“发生火灾”的位置由向量p表示出来？
提示：p＝500e1＋400e2＋15e3.
三.抽象概括
1．空间向量基本定理
定理：如果三个向量a，b，c不共面，那么对空间任一向量p，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xa＋yb＋zc，其中{a，b，c}叫做空间的一个基底，a，b，c都叫做基向量．
2．空间向量的正交分解及其坐标表示
(1)单位正交基底
三个有公共起点O的两两垂直的单位向量e1，e2，e3称为单位正交基底．
(2)空间向量的坐标表示
以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以e1，e2，e3的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系Oxyz.
对于空间任意一个向量p，一定可以把它平移，使它的起点与原点O重合，得到向量OP―→＝p.由空间向量基本定理可知，存在有序实数组{x，y，z}，使得p＝xe1＋ye2＋ze3.把x，y，z称作向量p在单位正交基底e1，e2，e3下的坐标，记作p＝(x，y，z)．
(1)空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底．
(2)0与任意一个非零向量共线，与任意两个非零向量共面，所以三个向量不共面，就隐含着
它们都不是0.
(3)一个基底是指一个向量组，一个基向量是指基底中的某一个向量，二者是相关联的不同概念． 四.例题分析及练习
[例1] 若{a ，b ，c }是空间的一个基底，试判断{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }能否作为该空间的一个基底．
[思路点拨] 判断a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 是否共面，若不共面，则可作为一个基底，否则，不能作为一个基底．
[精解详析] 假设a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 共面，则存在实数λ，μ使得a ＋b ＝λ(b ＋c )＋μ(c ＋a )，∴a ＋b ＝λb ＋μa ＋(λ＋μ)c .
∵{a ，b ，c }为基底．∴a ，b ，c 不共面．
∴????
?
1＝μ，1＝λ，0＝λ＋μ.
此方程组无解，∴a ＋b ，b ＋c ，c ＋a 不共面． ∴{a ＋b ，b ＋c ，c ＋a }可以作为空间的一个基底．
[感悟体会] 判断给出的某一向量组能否作为基底，关键是要判断它们是否共面．如果从正面难以入手，可用反证法或利用一些常见的几何图形进行判断． 训练题组1
1．设x ＝a ＋b ，y ＝b ＋c ，z ＝c ＋a ，且{a ，b ，c }是空间的一个基底．给出下列向量组：
①{a ，b ，x }，②{x ，y ，z }， ③{b ，c ，z }，④{x ，y ，a ＋b ＋c }．
其中可以作为空间的基底的向量组有________个．
解析：如图所设a ＝AB u u u r ，b ＝1AA u u u r ，c ＝AD u u u r
，则x ＝1AB u u u r ，y ＝1AD u u u r ，z ＝1AC u u u r ，a ＋b ＋c ＝1AC u u u r
.由A ，B 1，D ，C 四点不共面可知向量x ，y ，z 也不共面．同理可知b ，c ，z 和x ，y ，
a ＋
b ＋
c 也不共面，可以作为空间的基底．因x ＝a ＋b ，故a ，b ，x 共面，故不能作为基底．
答案：3
2．已知{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，且OA u u r ＝e 1＋2e 2－e 3，OB u u u r ＝－3e 1＋e 2＋2e 3，OC
u u u r
＝e 1＋e 2－e 3，试判断{OA u u r ，OB u u u r ，OC u u u r
}能否作为空间的一个基底？
解：假设OA u u r ，OB u u u r ，OC u u u r 共面，由向量共面的充要条件知存在实数x ，y 使OA u u r ＝x OB u u u r
→
＋y OC u u u r
成立．
∴e 1＋2e 2－e 3＝x (－3e 1＋e 2＋2e 3)＋y (e 1＋e 2－e 3)．＝(－3x ＋y )e 1＋(x ＋y )e 2＋(2x －y )e 3. ∵{e 1，e 2，e 3}是空间的一个基底，
∴e 1，e 2，e 3不共面，∴????
?
－3x ＋y ＝1，x ＋y ＝2，2x －y ＝－1.此方程组无解，
即不存在实数x ，y 使OA u u r ＝x OB u u u r ＋y OC u u u r .∴OA u u r ，OB u u u r ，OC u u u r
不共面．
故{OA u u r ，OB u u u r ，OC u u u r
}能作为空间的一个基底.
[例2] 四棱锥P －OABC 的底面为一矩形，PO ⊥平面OABC .设OA u u r ＝a ，
OC u u u r ＝b ，OP u u u r
＝c ，E ，F 分别是PC 和PB 的中点，试用a ，b ，c 表示BF u u u r ，BE u u u r ，AE u u u r ，EF u u u r
.
[思路点拨] 结合已知和所求，画出图形，联想相关的运算法则和公式等，再对照目标及基底，将所求向量反复分拆，直到全部可以用基底表示为止．
[精解详析] 连接BO ，
则BF u u u r ＝12BP u u r ＝12(BO u u u r ＋OP u u u r )＝12(BA u u r ＋AO u u u r ＋OP u u u r )＝12(c －b －a )＝－12a －12b ＋1
2c .
BE u u u r ＝BC u u u r ＋CE u u u r ＝－a ＋12CP u u r ＝－a ＋12(CO u u u r ＋OP u u u r )＝－a －12b ＋1
2c .
AE u u u r ＝AP u u u r ＋PE u u u r ＝AO u u u r ＋OP u u u r ＋12(PO u u u r ＋OC u u u r )＝－a ＋c ＋12(－c ＋b )＝－a ＋12b ＋1
2c .
EF u u u r ＝12CB u u r ＝12OA u u r ＝12a .
[感悟体会] 用基底表示空间向量一般要用到向量的加法、减法、数乘的运算，包括平行四边形法则及三角形法则． 训练题组2
3．设O －ABC 是四面体，G 1是△ABC 的重心，G 是OG 1上的一点，且OG ＝3GG 1.若OG u u u r
＝x OA u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r
，则(x ，y ，z )为( )
A ．(14，14，14)
B ．(34，34，34)
C ．(13，13，13
)
D ．(23，23，2
3
)
解析：∵OG u u u r ＝341OG u u u r ＝34(OA u u r ＋1OG u u u r )＝34OA u u r ＋34×23[12(AB u u u r ＋AC u u u
r )]
＝34OA u u r ＋14[(OB u u u r －OA u u r )＋(OC u u u r －OA u u r )]＝14OA u u
r ＋14OB u u u r ＋14
OC u u u r ，
而OG u u u r ＝x OA u u r ＋y OB u u u r ＋z OC u u u r ，∴x ＝14，y ＝14，z ＝14
.
答案：A
4.如图，已知平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1，MA u u u r ＝－13AC u u u
r ，ND u u u r ＝131A D u u u r .设AB u u u r ＝a ，AD u u u r ＝b ，1AA u u u r
＝c ，试用a ，b ，c 表示MN u u u r .
解：连接AN ，
则MN u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r .由ABCD 是平行四边形，得AC u u u r ＝AB u u u r ＋AD u u u r
＝a ＋b ，
则MA u u u r ＝－13AC u u u r ＝－1
3(a ＋b )．又1A D u u u r ＝AD u u u r －1AA u u u r ＝b －c ，
故AN u u u r ＝AD u u u r ＋DN u u u r ＝AD u u u r －ND u u u r ＝AD u u u r －131A D u u u r ＝b －1
3
(b －c )．
故MN u u u r ＝MA u u u r ＋AN u u u r ＝－13(a ＋b )＋b －13(b －c )＝1
3
(－a ＋b ＋c ).
[例3] 已知P A 垂直于正方形ABCD 所在的平面，M ，N 分别是AB ，PC 的中点，并且P A
＝AD ＝1.在如图所示的空间直角坐标系中，求向量MN u u u r
的坐标．
[思路点拨] 把MN u u u r
写成xe 1＋ye 2＋ze 3的形式即可得向量的坐标．
[精解详析] 因为P A ＝AD ＝AB ＝1，
所以可设AB u u u r ＝e 1，AD u u u r ＝e 2，AP u u u r
＝e 3.
因为MN u u u r ＝MA u u u r ＋AP u u u r ＋PN u u u r ＝MA u u u r ＋AP u u u r ＋12
PC u u u r
＝MA u u u r ＋AP u u u r ＋12(PA u u r ＋AD u u u r ＋DC u u u r )＝－12AB u u
u r ＋AP u u u r ＋12(－AP u u u r ＋AD u u u r ＋AB u u u r )＝12
AP u u u r
＋12AD u u u r ＝12e 3＋1
2
e 2.
∴MN u u u r ＝(0，12，12
)．
[感悟体会] 用坐标表示空间向量的方法与步骤：
训练题组3
5.已知ABCD －A 1B 1C 1D 1是棱长为2的正方体，E ，F 分别为BB 1和DC 的中点，建立
如图所示的空间直角坐标系，试写出1DB u u u r ，DE uuu r ，DF uuu r
的坐标．
解：设x ，y ，z 轴的单位向量分别为e 1，e 2，e 3，其方向与各轴上的正方向相同，
则2PF u u u r ＝AC uuu r ＋AB uu u r ＋1BB u u u
r ＝2e 1＋2e 2＋2e 3， ∴1DB u u u r
＝(2,2,2)．
∵DE uuu r ＝DA uuu r ＋AB uu u r ＋BE u u u r
＝2e 1＋2e 2＋e 3， ∴DE uuu r ＝(2,2,1)．又∵DF uuu r ＝e 2，∴DF uuu r
＝(0,1,0)．
6.在直三棱柱ABO －A 1B 1O 1中，∠AOB ＝π
2
，AO ＝4，BO ＝2，AA 1＝4，D 为A 1B 1的中点．在
如图所示的空间直角坐标系中，求DO uuu r ，1A B u u u r
的坐标．
解：(1)∵DO uuu r ＝－OD uuu r ＝－(1OO u u u u r ＋1O D u u u u r )＝－[1OO u u u u r ＋12(OA u u u r ＋OB uuu r )]＝－1OO u u u u r －12OA u u u
r －
12OB uuu r ＝－4e 3－12×4e 1－1
2×2e 2＝－2e 1－e 2－4e 3，∴OD uuu r ＝(－2，－1，－4)．
(2)∵1A B u u u r ＝OB uuu r －1OA u u u r ＝OB uuu r －(OA u u u r ＋1AA u u u r )＝OB uuu r －OA u u u r －1AA u u u r
＝2e 2－4e 1－4e 3， ∴1A B u u u r
＝(－4,2，－4)．
五.课堂小结与归纳
1．三个向量不共面是三个向量构成空间一个基底的充要条件．
2．用基底可表示空间任一向量，且表示方式是唯一的，解题时要注意三角形法则和平行四边形法则的应用；若基底{a ，b ，c }为单位正交基底，可由p ＝xa ＋yb ＋zc 得到p 的坐标为(x ，y ，z )． 六.当堂训练
1．在以下三个命题中，真命题的个数是( )
①三个非零向量a ，b ，c 不能构成空间的一个基底，则a ，b ，c 共面；
②若两个非零向量a ，b 与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a ，b 共线； ③若a ，b 是两个不共线的向量，而c ＝λa ＋μb (λ，μ∈R 且λμ≠0)，则{a ，b ，c }构成空间的一个基底．
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3
解析：①正确．基底的向量必须不共面；②正确；③不对，a ，b 不共线，当c ＝λa ＋μb 时，a ，b ，c 共面，故只有①②正确．
答案：C
2．已知{a ，b ，c }是空间的一个基底，则可以与向量p ＝a ＋b ，q ＝a －b 构成基底的向量是( ) A ．a
B ．b
C ．a ＋2b
D ．a ＋2c
解析：能与p ，q 构成基底，则与p ，q 不共面． ∵a ＝p ＋q 2，b ＝p －q 2，a ＋2b ＝32p －12
q .
∴A 、B 、C 都不合题意．因为{a ，b ，c }为基底， ∴a ＋2c 与p ，q 不共面，可构成基底． 答案：D
3.如图，长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AC 与BD 的交点为M .设11A B u u u u r ＝a ，11A
D u u u u r ＝b ，1A A u u u r ＝c ，则下列向量中与1B M u u u u r
相等的向量是( )
A ．－12a ＋12b ＋c B.12a ＋12b ＋c C.12a －12b ＋c D ．－12a －1
2
b ＋c
解析：1B M u u u u r ＝11B A u u u u r ＋1A A u u u r ＋AM u u u u r
＝－11A B u u u u r ＋1A
A u u u r ＋12AC uuu r ＝－11A
B u u u u r ＋1A A u u u r ＋1211A B u u u u r ＋1211A D u u u u r ＝－12a ＋1
2b ＋c .
答案：A
4．已知点A 在基底{a ，b ，c }下的坐标为(1,2,3)，其中a ＝4i ＋j ，b ＝j ＋3k ，c ＝2k ＋i ，则点A 在基底{i ，j ，k }下的坐标为( ) A ．(7,3,12)
B ．(12,7,3)
C ．(2,4,6)
D ．(12,3,7)
解析：设O 为坐标原点，则OA u u u r
＝a ＋2b ＋3c ＝(4i ＋j )＋2(j ＋3k )＋3(2k ＋i )＝7i ＋3j ＋12k ，
∴点A 在{i ，j ，k }下的坐标为(7,3,12)． 答案：A
5．若{a ，b ，c }是空间的一个基底，且存在实数x ，y ，z 使得xa ＋yb ＋zc ＝0，则x ，y ，z 满足的条件是________．
解析：若x ≠0，则a ＝－y x b ＋z
x
c ，即a 与b ，c 共面．
由{a ，b ，c }是空间向量的一个基底，知a ，b ，c 不共面，故x ＝0，同理y ＝z ＝0. 答案：x ＝y ＝z ＝0
6．已知{e 1，e 2，e 3}为空间的一个基底，若a ＝e 1＋e 2＋e 3，b ＝e 1＋e 2－e 3，c ＝e 1－e 2＋e 3，d ＝e 1＋2e 2＋3e 3，d ＝αa ＋βb ＋γc ，则α，β，γ分别为________．
解析：∵d ＝α(e 1＋e 2＋e 3)＋β(e 1＋e 2－e 3)＋γ(e 1－e 2＋e 3)＝(α＋β＋γ)e 1＋(α＋β－γ)e 2＋(α－β＋γ)e 3＝e 1＋2e 2＋3e 3，∴????
?
α＋β＋γ＝1，α＋β－γ＝2，
α－β＋γ＝3，解得????
?
α＝52
，
β＝－1，
γ＝－12.
答案：52，－1，－1
2
7.如图所示，空间四边形OABC 中，G 是△ABC 的重心，D 为BC 的中
点，H 为OD 的中点．设OA u u u r ＝a ，OB uuu r ＝b ，OC uuu r
＝c ，试用向量a ，b ，
c 表示向量GH uuu r
.
解：GH uuu r ＝OH uuu r －OG uuu r . ∵OH uuu r ＝12OD uuu r ＝12(OB uuu r ＋OC uuu r )＝1
2
(b ＋c )，
OG uuu r ＝OA u u u r ＋AG uuu r ＝OA u u u r ＋23AD uuu r ＝OA u u u
r ＋23(OD uuu r －OA u u u r ) ＝13OA u u
u r ＋23×12(OB uuu r ＋OC uuu r )＝13a ＋13
(b ＋c )，
∴GH uuu r ＝12(b ＋c )－13a －13(b ＋c )＝－13a ＋16b ＋16c ，即GH uuu r ＝－13a ＋16b ＋16
c .
8.如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，O 为AC 的中点．
(1)化简：
1AO u u u r －12AB uu u r －12AD uuu r
；
(2)设E 是棱DD 1上的点，且DE uuu r ＝23
1DD u u u u r ，若EO uuu r ＝x AB uu u r ＋y AD uuu r
＋z 1AA u u u r ，试求x ，y ，z
的值．
解：(1)∵AB uu u r ＋AD uuu r ＝AC uuu
r ，
∴1AO u u u r －12AB uu u r －12AD uuu r ＝1AO u u u r －12(AB uu u r ＋AD uuu r
)＝1AO u u u r －12AC uuu r ＝1AO u u u r －
AO uuu r ＝1A A u u u r . (2)∵EO uuu r ＝ED uuu r ＋EO uuu r ＝231D D u u u u r ＋12DB uuu r ＝231D D u u u u r ＋12
(DA uuu r ＋AB uu u r
)
＝231A A u u u
r ＋12DA uuu r ＋12AB uu u r ＝12AB uu u r －12AD uuu r －23
1A A u u u r ， ∴x ＝12，y ＝－12，z ＝－23.
高中数学 - 空间向量及向量的应用 空间直角坐标系的原则： 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设 ， ， 空间向量的直角坐标运算： 空间两点间距离： ； 1：利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2：利用空间向量求线线角、线面角 1 ）异面直线所成角 设 分别为异面直线 的方向向量，则 则： 空间线段 的中点 M （x ，y ，z ）的坐标：
2 ）线面角 设 是直线 l 的方向向量， n 是平面的法向量，则 3 ：利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 分别为平面 的法向量，则 与 互补或相等， 操作方法： 1．空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法： 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos （ S 为原斜面面积 , S 为射影面积 , 为斜面与射影所成二面 角的平面角 ）这个公式对于斜面为三角 形 , 任意多边形都成立 . 是求二面角的好方法 .当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ,可直接应用公式 ,求出二面角的大小。 2．空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3．空间向量的应用 （1）用法向量求异面直线间的距离 2）直线与平面所成的角的范围是 [0, ] 。射影转化法 2 方法 3）二面角的范围一般是指 （0, ]，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 1）异面直线所成的角的范围 是 b F
高中数学的空间向量知识 基本内容 空间向量作为新加入的内容，在处理空间问题中具有相当的优越性，比原来处理空间问题的方法更有灵活性。 如把立体几何中的线面关系问题及求角求距离问题转化为用向量解决，如何取向量或建立空间坐标系，找到所论证的平行垂直等关系，所求的角和距离用向量怎样来表达是问题的关键．立体几何的计算和证明常常涉及到二大问题：一是位置关系，它主要包括线线垂直，线面垂直，线线平行，线面平行；二是度量问题，它主要包括点到线、点到面的距离，线线、线面所成角，面面所成角等。这里比较多的主要是用向量证明线线、线面垂直及计算线线角，而如何用向量证明线面平行，计算点到平面的距离、线面角及面面角的例题不多，起到一个抛砖引玉的作用。 以下用向量法求解的简单常识： 1、空间一点P位于平面MAB的充要条件是存在唯一的有序实数对x、y，使得PM=xPA+yPB(其中PM等为向量，由于图不方便做就如此代替，下同） 2、对空间任一点O和不共线的三点A，B，C，若：OP=xOA+yOB+zOC （其中x＋y＋z=1），则四点P、A、B、C共面． 3、利用向量证a‖b，就是分别在a，b上取向量（k∈R）． 4、利用向量证在线a⊥b，就是分别在a，b上取向量． 5、利用向量求两直线a与b的夹角，就是分别在a，b上取，求：的问题． 6、利用向量求距离就是转化成求向量的模问题：． 7、利用坐标法研究线面关系或求角和距离，关键是建立正确的空间直角坐标系，正确表达已知点的坐标． 首先该图形能建坐标系 如果能建 则先要会求面的法向量 求面的法向量的方法是 1。尽量在空中找到与面垂直的向量 2。如果找不到，那么就设n=（x,y,z） 然后因为法向量垂直于面 所以n垂直于面内两相交直线
高中数学空间向量训练题（含解析） 一．选择题 1．已知M、N分别是四面体OABC的棱OA，BC的中点，点P在线MN上，且MP=2PN，设向量=，=，=，则=（） A．++B．++C．++D．++ 2．已知=（2，﹣1，2），=（﹣1，3，﹣3），=（13，6，λ），若向量，，共面，则λ=（） A．2 B．3 C．4 D．6 3．空间中，与向量同向共线的单位向量为（） A．B．或 C． D．或 4．已知向量，且，则x的值为（） A．12 B．10 C．﹣14 D．14 5．若A，B，C不共线，对于空间任意一点O都有=++，则P，A，B，C四点（） A．不共面B．共面C．共线D．不共线 6．已知平面α的法向量是（2，3，﹣1），平面β的法向量是（4，λ，﹣2），若α∥β，则λ的值是（）
A．B．﹣6 C．6 D． 7．已知，则的最小值是（）A．B．C．D． 8．有四个命题：①若=x+y，则与、共面；②若与、共面，则=x+y；③若=x+y，则P，M，A，B共面；④若P，M，A，B共面，则=x+y．其中真命题的个数是（） A．1 B．2 C．3 D．4 9．已知向量=（2，﹣1，1），=（1，2，1），则以，为邻边的平行四边形的面积为（）A．B．C．4 D．8 10．如图所示，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，点E是棱AB的中点，则点E到平面ACD1的距离为（） A．B． C．D． 11．正方体ABCDA1B1C1D1中，直线DD1与平面A1BC1所成角的正弦值为（） A． B． C．D． 二．填空题（共5小题） 12．已知向量=（k，12，1），=（4，5，1），=（﹣k，10，1），且A、B、C三点共线，则k= ． 13．正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为1，MN是正方体内切球的直径，P为正方体表面上的动点，则?的最大值为． 14．已知点P是平行四边形ABCD所在的平面外一点，如果=（2，﹣1，﹣4），=（4，
高中数学-空间向量及向量的应用 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 设血勺乃召），氓叫?乃w ）， AB = OB-OA=（^y 2l 切—（吊丹 丑）=（乃—咛乃—丹 勺一匂） 空间向量的直角坐标运算： 设Q = 2],砌，色3 $ =1鹉毎妇则； ① 口+ b= P],曲，电 宀|俎,给禺 ?=I 角十知鬥 +為、屯 +鸟I ? ② a-b = \ a^a 2,a 21■ 诲.场岛i =（业一％ 气-如 码一為 帀 ③ 加=兄I 曲卫2，? ' = I 現珂"久卷 '（/i e 7?）； ④ 总■&= |气命4 片妇任 | = &占 + 逐血 +&並： ⑤ 口0Fe 鱼二 空三生=左或。『舌寻口[三碣‘ - 冊节 处二赵; 对? $ ⑥ 7丄匸q 口血十口曲十m 禺=0 ； 空间两点间距离:丄“ 「 1 :利用空间向量证明空间位置关系（同平面向量） 2:利用空间向量求线线角、线面角 （1）异面直线所成角Z ? gw 设Q”分别为异面直线讥的方向向量，则 则: 空间线段 的中点M （x ，y ，z ）的坐标: 空间直角坐标系的原则: 规定：一切空间向量的起点都是坐标系原点，于是，空间任意一个向量与它的终点坐标一一对应
(2) 线面角凰打殳《是直线l 的方向向量，n 是平面的法向量，则 3 :利用空间向量求二面角 其计算公式为：设 加“分别为平面G 8的法向量，则 与，剤7 互补或相等, - ? ? . m * n |( csfl i = | A>| = I 忘I * I 云I 操作方法： 1 ?空间中各种角包括：异面直线所成的角、直线与平面所成的角以及二面角。 ①棱上一点双垂线法：②面上一点三垂线法：③空间一点垂面法: 斜面面积和射影面积的关系公式： S S cos (S 为原斜面面积，S 为射影面积，为斜面与射影所成二面 角的平面角)这个公式对于斜面为三角形 ,任意多边形都成立.是求二面角的好方法.当作二面角的平面角有困难时 如果能找得斜面面积的射影面积 ，可直接应用公式，求岀二面角的大小。 2 ?空间的距离 点线距，点面距，线线距，线面距，面面距都是对应图形上两点间的最短距离 3 ?空间向量的应用 (1 )用法向量求异面直线间的距离 CQS P rris-：欧 * b (1)异面直线所成的角的范围是 (2 )直线与平面所成的角的范围是 ［0,—］。射影转 化法 2 方法 (3 )二面角的范围一般是指 (0,］，解题时要注意图形的位置和题目的要求。作二面角的平面角常有三种 b F
空间向量知识点归纳总结 知识要点。 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 3. 共线向量。 （1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量， a 平行于 b ，记作b a //。 》 （2）共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a b a b 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b 共面的条件是存在实数,x y 使 p xa yb =+。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组 ,,x y z ，使p xa yb zc =++。 若三向量,,a b c 不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。 推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使 OP xOA yOB zOC =++。 6. 空间向量的直角坐标系： ~ （1）空间直角坐标系中的坐标： （2）空间向量的直角坐标运算律： ①若123(,,)a a a a =，123(,,)b b b b =，则112233(,,)a b a b a b a b +=+++， 112233(,,)a b a b a b a b -=---，123(,,)()a a a a R λλλλλ=∈， 112233a b a b a b a b ?=++， 112233//,,()a b a b a b a b R λλλλ?===∈， 1122330a b a b a b a b ⊥?++=。 ②若111(,,)A x y z ，222(,,)B x y z ，则212121(,,)AB x x y y z z =---。 一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。 》
空间向量及其运算 【高考导航】 本节内容是高中教材新增加的内容，在近两年的高考考查中多作为解题的方法进行考查，主要是解题的方法上因引入向量得以扩展.例如2001上海5分，2002上海5分. 【学法点拨】 本节共有4个知识点：空间向量及其线性运算、共线向量与共面向量、空间向量的分解定理、两个向量的数量积.这一节是空间向量的重点，在学习本节内容时要与平面向量的知识结合起来，认识到研究的范围已由平面扩大到空间.一个向量是空间的一个平移，两个不平行向量确定的是一个平行平面集，在此基础上，把平行向量基本定理和平面向量基本定理推广到空间，得出空间直线与平面的表达式，有了这两个表达式，我们可以很方便地解决空间的共线和共面问题.空间向量基本定理是空间几何研究代数化的基础，有了这个定理，整个空间被3个不共面的基向量所确定，空间一个点或一个向量和实数组（x ，y ，z ）建立起一一对应关系，空间向量的数量积一节中，由于空间任一向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号等，都与平面向量相同. 【基础知识必备】 一、必记知识精选 1.空间向量的定义 (1)向量：在空间中具有大小和方向的量叫作向量，同向且等长的有向线段表示同一向量或相等向量. (2)向量的表示有三种形式：a ,AB ，有向线段. 2.空间向量的加法、减法及数乘运算. (1)空间向量的加法.满足三角形法则和平行四边形法则，可简记为:首尾相连，由首到尾.求空间若干个向量之和时，可通过平移将它们转化为首尾相接的向量.首尾相接的若干个向量若构成一个封闭图形，则它们的和为0，即21A A +32A A +…1A A n =0. (2)空间向量的减法.减法满足三角形法则,让减数向量与被减数向量的起点相同,差向量由减数向量的终点指向被减数向量的终点,可简记为“起点相同,指向一定”,另外要注意 -=的逆应用. (3)空间向量的数量积.注意其结果仍为一向量. 3.共线向量与共面向量的定义. (1)如果表示空间向量的有向线段在直线互相平行或重合,那么这些向量叫做共线向量或平行向量.对于空间任意两个向量a,b(b≠0),a∥b ?a=λb ,若A 、B 、P 三点共线,则对空间任意一点O ,存在实数t,使得OP =(1-t)OA +t OB ,当t=2 1 时,P 是线段AB 的中点,则中点公式为OP = 2 1 (OA +). (2)如果向量a 所在直线O A 平行于平面α或a 在α内,则记为a ∥α,平行于同一个平面的
高中数学空间向量之--平面法向量的求法及其应用 一、 平面的法向量 1、定义：如果α⊥→ a ，那么向量→ a 叫做平面α的法向量。平面α的法向量共有两大类（从方向上分），无数条。 2、平面法向量的求法 方法一(内积法):在给定的空间直角坐标系中，设平面α的法向量(,,1)n x y =[或(,1,)n x z =，或( 1,,)n y z =]，在平面α内任找两个不共线的向量,a b 。由n α⊥，得0n a ?=且0n b ?=，由此得到关于,x y 的方程组，解此方程组即可得到n 。 方法二：任何一个z y x ,,的一次次方程的图形是平面；反之，任何一个平面的方程是z y x ,,的一次方程。 0=+++D Cz By Ax )0,,(不同时为C B A ，称为平面的一般方程。其法向量),,(C B A n =→ ;若平面与3个坐 标轴的交点为),0,0(),0,,0(),0,0,(321c P b P a P ,如图所示,则平面方程为:1=++c z b y a x ,称此方程为平面的截距式方程，把它化为一般式即可求出它的法向量。 方法三(外积法): 设 , 为空间中两个不平行的非零向量，其外积→ → ?b a 为一长度等于θsin ||||→ → b a ，（θ 为 ,两者交角，且πθ<<0），而与 , 皆垂直的向量。通常我们采取「右手定则」，也就是右手四指由 的方向转为 的方向时，大拇指所指的方向规定为→→?b a 的方向,→ →→→?-=?a b b a 。 :),,,(),,,(222111则设z y x b z y x a ==→ → ??=?→ → 21y y b a ,2 1z z 21x x - ,21z z 21x x ???? 21y y （注：1、二阶行列式:c a M = cb ad d b -=；2、适合右手定则。 ） 例1、 已知，)1,2,1(),0,1,2(-==→ → b a ， 试求（1）：;→ → ?b a （2）：.→ →?a b Key: (1) )5,2,1(-=?→ → b a ;)5,2,1()2(-=?→ → a b 例2、如图1-1,在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中， 求平面AEF 的一个法向量n 。 )2,2,1(:=?=→ →→AE AF n key 法向量
高中数学：空间向量知识点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量共面的条件是存在实数使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组 叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若，，则， ，， ， ， 。 ②若，，则。
空间向量方法解立体几何 【空间向量基本定理】 例1.已知矩形ABCD，P为平面ABCD外一点，且PA⊥平面ABCD，M、N分别为PC、 PD上的点，且M分成定比2，N分PD成定比1，求满足的实数x、y、z的值。 分析;结合图形，从向量出发，利用向量运算法则不断进行分解，直到全部向量都 用、、表示出来，即可求出x、y、z的值。 如图所示，取PC的中点E，连接NE，则。 点评：选定空间不共面的三个向量作基向量，并用它们表示出指定的向量，是用向量解决立体几何问题的一项基本功，要结合已知和所求，观察图形，联想相关的运算法则和公式等，就近表示所需向量。再对照目标，将不符合目标要求的向量当作新的所需向量，如此继续下去，直到所有向量都符合目标要求为止，这就是向量的分解。有分解才有组合，组合是分解的表现形式。空间向量基本定理恰好说明，用空间三个不共面的向量组可以表示出空间任意一个向量，而且a,b,c的系数是惟一的。 【利用空间向量证明平行、垂直问题】 例2.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB于点F。 （1）证明：PA//平面EDB； （2）证明：PB⊥平面EFD； （3）求二面角C—PB—D的大小。 点评：（1）证明两条直线平行，只需证明这两条直线的方向向量是共线向量． （2）证明线面平行的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量垂直； ②证明能够在平面内找到一个向量与已知直线的方向向量共线； ③利用共面向量定理，即证明直线的方向向量与平面内的两个不共线向量是共面向量． （3）证明面面平行的方法： ①转化为线线平行、线面平行处理； ②证明这两个平面的法向量是共线向量． （4）证明线线垂直的方法是证明这两条直线的方向向量互相垂直． （5）证明线面垂直的方法： ①证明直线的方向向量与平面的法向量是共线向量；
空间向量与立体几何典型例题 一、选择题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)已知三棱柱111ABC A B C -的侧棱与底面边长都相等，1A 在底面ABC 内的射影为ABC △的中心，则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值等于（ C ） A ． 13 B C D ．23 1.解：C ．由题意知三棱锥1A ABC -为正四面体，设棱长为a ，则1AB = ，棱柱的高 1 3AO a ===（即点1B 到底面ABC 的距离），故1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为113 AO AB =. 另解：设1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 为空间向量的一组基底，1,,AB AC AA u u u r u u u r u u u r 的两两间的夹角为0 60 长度均为a ，平面ABC 的法向量为111133 OA AA AB AC =--u u u r u u u r u u u r u u u r ,11AB AB AA =+u u u r u u u r u u u r 211112,,33 OA AB a OA AB ?===u u u r u u u r u u u r u u u r 则1AB 与底面ABC 所成角的正弦值为11 1 13OA AB AO AB ?=u u u u r u u u r u u u r u u u r . 二、填空题： 1．(2008全国Ⅰ卷理)等边三角形ABC 与正方形ABDE 有一公共边AB ，二面角 C AB D -- M N ，分别是AC BC ，的中点，则EM AN ，所成角的余弦值等于 6 1 ． 1.答案： 1 6 .设2AB =，作CO ABDE ⊥面， OH AB ⊥，则CH AB ⊥，CHO ∠为二面角C AB D -- cos 1CH OH CH CHO ==?∠=，结合等边三角形ABC 与正方形ABDE 可知此四棱锥为正四棱锥，则AN EM ==11(),22AN AC AB EM AC AE =+=-u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r , 11()()22AN EM AB AC AC AE ?=+?-=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r 12 故EM AN ，所成角的余弦值1 6 AN EM AN EM ?=u u u r u u u u r u u u r u u u u r 另解：以O 为坐标原点，建立如图所示的直角坐标系， 则点(1,1,0),(1,1,0),(1,1,0),A B E C ----,
空间向量 1．理解空间向量的概念；掌握空间向量的加法、减法和数乘． 2．了解空间向量的基本定理；理解空间向量坐标的概念；掌握空间向量的坐标运算． 3．掌握空间向量的数量积的定义及其性质；掌握用直角坐标计算空间向量数量积的公式；掌握空间两 理解空间向量的夹角的概念；掌握空间向量的数量积的概念、性质和运算律；了解空间向量的数 量积的几何意义；掌握空间向量的数量积的坐标形式；能用向量的数量积判断向量的共线与垂直. 第1课时 空间向量及其运算 空间向量是平面向量的推广．在空间，任意两个向量都可以通过平移转化为平面向量．因此，空间向量的加减、数乘向量运算也是平面向量对应运算的推广．本节知识点是： 1．空间向量的概念，空间向量的加法、减法、数乘运算和数量积；(1) 向量：具有 和 的量． (2) 向量相等：方向 且长度 ．(3) 向量加法法则： ．(4) 向量减法法则： ．(5) 数乘向量法则： ．3．共线向量 (1)共线向量：表示空间向量的有向线段所在的直线互相 或 ． (2) 共线向量定理：对空间任意两个向量a 、b (b ≠0)，a ∥b 等价于存在实数λ，使 ． (3) 直线的向量参数方程：设直线l 过定点A 且平行于非零向量a ，则对于空间中任意一点O ，点P 在l 上等价于存在R t ∈，使 ． 基础过关 考纲导读 高考导航 空间向量 定义、加法、减法、数乘运算 数量积 坐标表示：夹角和距离公式 求距离 求空间角 证明平行与垂直 2．线性运算律 (1) 加法交换律：a ＋b ＝ ． (2) 加法结合律：(a ＋b )＋c ＝ ．(3) 数乘分配律：λ(a ＋b )＝ ．
课题：空间向量及其线性运算（人教A版 3.1.1+3.1.2部分内容） 教学内容解析： 本节课的教学内容选自《普通高中课程标准实验教科书·数学（选修2-1）》（人教A 版）第3章“空间向量与立体几何”第1节“空间向量及其加减运算”和第2节“空间向量的数乘运算”的部分内容。 向量是既有大小又有方向的量，既能像数一样进行运算本身又是一个“图形”所以它可以作为沟通代数和几何的桥梁在很多数学问题的解决中有着重要的应用。本章要学习的空间向量将为解决三维空间中图形的位置关系与度量问题提供一个十分有效的工具。本小节的主要内容可分为两部分一是空间向量的相关概念；二是空间向量的线性运算。空间向量为处理立体几何问题提供了新的视角，本课作为章节的起始课，是学生学习了平面向量的基础之后展开的，经历了向量及其运算由平面向空间推广的过程，既复习巩固了平面向量的有关内容，又为后面用向量解决立体几何问题做好铺垫，起到承前启后的作用。教学过程中应充分让学生类比猜想、自主探索，得出相应的法则和性质，引导学生主动学习类比、归纳、推广、化归等思想方法，提高数学素养。 学情分析： 1.学生已经学习过平面向量的概念及其相关运算，为本节空间向量及其线性运算的学习打下了坚实的知识基础。 2.学生在探究问题以及合作交流的意识等方面，发展不够均衡，尚有待加强，必须在教师一定的指导下才能进行。 教学目标： 1.知识与技能目标： （1）了解空间向量的概念； （2）掌握空间向量的加减数乘运算； （3）掌握空间向量的运算律。 2.过程与方法目标： （1）理解空间向量的概念，掌握空间向量的表示方法； （2）会用图形说明空间向量加法，减法，数乘向量及它们的运算律； （3）用空间向量的运算及运算律解决简单的立体几何问题。 3.情感态度价值观目标： （1）形成事物与事物之间普遍联系及其相互转化的辨证观点； （2）通过变式训练，提高学生对事物个性与共性之间联系的认识水平。 教学重点： 空间向量的线性运算； 教学难点： 体会类比的数学方法；（平面向量向空间向量的推广过程中学生对于其相同点与不同点的理解有一定的困难）
空间向量与立体几何 一、知识网络： 二．典例解析 题型1：空间向量的概念及性质 例1、有以下命题：①如果向量,a b 与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么,a b 的关系是不共线；②,,,O A B C 为空间四点，且向量,,OA OB OC 不构成空间的一个基底，那么点,,,O A B C 一定共面；③已知向量,,a b c 是空间的一个基底，则向量,,a b a b c +-，也是空间的一个基底。其中正确的命题是（ ）。 ()A ①② ()B ①③ ()C ②③ ()D ①②③ 题型2：空间向量的基本运算 例2、如图：在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为11C A 与11D B 的交点。若 AB a =，AD b =，1AA c =，则下列向量中与BM 相等的 向量是（ ） C1
()A 1122a b c - ++ ()B 11 22a b c ++ ()C 1122 a b c --+ ()D c b a +-21 21 例3、已知：,28)1(,0423p y n m x b p n m a +++=≠--=且p n m ,,不共面.若a ∥b ,求y x ,的值. 例4、底面为正三角形的斜棱柱ABC －A 1B 1C 1中，D 为AC 的中点，求证：AB 1∥平面C 1BD.（三）强化巩固导练 1、已知正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，点F 是侧面CDD 1C 1的中心，若1AA y AB x AD AF ++=，求x －y 的值. 2、 在平行六面体1111D C B A ABCD -中，M 为AC 与BD 的交点，若=11B A a ，=11D A b ，=A 1c ，则下列向量中 与B 1相等的向量是 ( )。A ．-2 1a ＋2 1b ＋c B ．2 1a ＋2 1b ＋c C ．2 1a -2 1b ＋c D ．-2 1a -2 1b ＋c 3、（2009四川卷理）如图，已知正三棱柱111ABC A B C -的各条棱长都相等，M 是侧 棱1CC 的中点，则异面直线1AB BM 和所成的角的大是 。 第二课时 空间向量的坐标运算 （一）、基础知识过关 （二）典型题型探析 题型1：空间向量的坐标 例1、（1）已知两个非零向量=（a 1，a 2，a 3），=（b 1，b 2，b 3），它们平行的充要条件是（ ） A. ：||=：|| B.a 1·b 1=a 2·b 2=a 3·b 3 C.a 1b 1+a 2b 2+a 3b 3=0 D.存在非零实数k ，使=k （2）已知向量=（2，4，x ），=（2，y ，2），若||=6，⊥，则x+y 的值是（ ）
高中数学-空间向量及其运算练习 基础巩固题组 (建议用时：40分钟) 一、填空题 1．在下列命题中： ①若向量a ，b 共线，则向量a ，b 所在的直线平行； ②若向量a ，b 所在的直线为异面直线，则向量a ，b 一定不共面； ③若三个向量a ，b ，c 两两共面，则向量a ，b ，c 共面； ④已知空间的三个向量a ，b ，c ，则对于空间的任意一个向量p 总存在实数x ， y ，z 使得p ＝x a ＋y b ＋z c . 其中正确命题的个数是________． 解析 a 与b 共线，a ，b 所在直线也可能重合，故①不正确；根据自由向量的意义知，空间任两向量a ，b 都共面，故②错误；三个向量a ，b ，c 中任两个一定共面，但它们三个却不一定共面，故③不正确；只有当a ，b ，c 不共面时，空间任意一向量p 才能表示为p ＝x a ＋y b ＋z c ，故④不正确，综上可知四个命题中正确的个数为0. 答案 0 2．已知a ＝(λ＋1,0,2)，b ＝(6,2μ－1,2λ)，若a ∥b ，则λ与μ的值是________． 解析 ∵a ∥b ，∴b ＝k a ，即(6,2μ－1,2λ)＝k (λ＋1,0,2)， ∴??? 6＝k λ＋1， 2μ－1＝0，2λ＝2k ， 解得??? λ＝2，μ＝1 2 或??? λ＝－3，μ＝1 2 . 答案 2，12或－3，1 2 3．(·济南月考)O 为空间任意一点，若OP →＝34OA →＋18OB →＋18OC → ，则A ，B ，C ，P 四 点________(判断是否共面)．
解析 ∵OP → ＝34OA →＋18OB →＋18OC →，且34＋18＋1 8＝1.∴P ，A ，B ，C 四点共面． 答案 共面 4．已知a ＝(－2,1,3)，b ＝(－1,2,1)，若a ⊥(a －λb )，则实数λ的值为________． 解析 由题意知a ·(a －λb )＝0，即a 2－λa ·b ＝0， ∴14－7λ＝0，∴λ＝2. 答案 145 5．A ，B ，C ，D 是空间不共面的四点，且满足AB → ·AC → ＝0，AC →·AD →＝0，AB →·AD → ＝0，M 为BC 中点，则△AMD 是________三角形(直角、钝角、锐角)． 解析 ∵M 为BC 中点，∴AM → ＝12(AB →＋AC → )． ∴AM → ·AD → ＝12(AB →＋AC → )·AD → ＝12AB →·AD →＋12AC →·AD → ＝0. ∴AM ⊥AD ，△AMD 为直角三角形． 答案 直角三角形 6．(·连云港质检)在空间直角坐标系中，已知点A (1,0,2)，B (1，－3,1)，点M 在y 轴上，且M 到A 与到B 的距离相等，则M 的坐标是________． 解析 设M (0，y,0)，则MA → ＝(1，－y,2)，MB →＝(1，－3－y,1)，由题意知|MA →|＝|MB → |，∴12＋y 2＋22＝12＋(－3－y )2＋12，解得y ＝－1，故M (0，－1,0)． 答案 (0，－1,0) 7．若三点A (1,5，－2)，B (2,4,1)，C (a,3，b ＋2)在同一条直线上，则a ＝________， b ＝________. 解析 AB → ＝(1，－1,3)，AC → ＝(a －1，－2，b ＋4)，因为三点共线，所以存在
高二数学测试题—空间向量（5） 一、选择题：（本大题共10小题，每小题5分，共50分） 1．已知A 、B 、C 三点不共线，对平面ABC 外的任一点O ，下列条件中能确定点M 与点A 、 B 、 C 一定共面的是 （ ） A ．OM ++= B ．OM --=2 C ．31 21++ = D ．3 1 3131++= 2．直三棱柱ABC —A 1B 1C 1中，若====A CC 11,,,则 （ ） A ．-+ B ．+- C ．++- D ．-+- 3．若向量λμλμλ且向量和垂直向量R b a n b a m ∈+=,(,、则)0≠μ （ ） A ．n m // B ． n m ⊥ C ．也不垂直于不平行于, D ．以上三种情况都可能 4．设向量},,{是空间一个基底，则一定可以与向量-=+=,构成空间的另 一个基底的向量是 （ ） A ． B ． C ． D ．或 5．对空间任意两个向量//),(,≠的重要条件是 （ ） A ．= B ．-= C ．λ= D ．λ= 6．已知向量b a b a 与则),2,1,1(),1,2,0(--==的夹角为 （ ） A ．0° B ．45° C ．90° D ．180° 7．设A 、B 、C 、D 是空间不共面的四点，且满足0,0,0=?=?=? 则△BCD 是 （ ） A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．不确定 8．已知的值分别为与则若μλμλλ,//),2,12,6(),2,0,1(-=+= （ ）
A ．21 , 51 B ．5，2 C ．2 1,51-- D ．-5，-2 9．已知的数量积等于与则 b a k j i b k j i a 35,2,23+-=-+= （ ） A ．-15 B ．-5 C ．-3 D ．-1 10．在棱长为1的正方体ABCD —A 1B 1C 1D 1中，M 和N 分别为A 1B 1和BB 1的中点，那么 直线AM 与CN 所成角的余弦值是 （ ） A ．5 2 - B ． 5 2 C ． 5 3 D ． 10 10 二、填空题（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 11．若A(m+1,n-1,3),B(2m,n,m-2n),c(m+3,n-3,9)三点共线，则m+n= . 12．已知A （0，2，3），B （-2，1，6），C （1，-1，5），若a AC a AB a a 则向量且,,,3||⊥⊥=的坐标为 . 13．已知b a ,是空间二向量，若b a b a b a 与则,7||,2||,3||= -==的夹角为 . 14．已知点G 是△ABC 的重心，O 是空间任一点，若的值则λλ,OG OC OB OA =++为 . 三、解答题（本大题共6题，共76分） 15．如图，M 、N 、E 、F 、G 、H 分别是四面体ABCD 中各棱的中点，若此四面体的对棱相 等，求)()2(;)1(MG NH EF GH EF +?的夹角与（12分）
§3.1 空间向量及其运算 3.1.1 空间向量的线性运算 学习目标 1.了解空间向量、向量的模、零向量、相反向量、相等向量、共线向量等的概念.2.会用平行四边形法则、三角形法则作出向量的和与差，了解向量加法的交换律和结合律.3.掌握数乘向量运算的意义及运算律． 知识点一 空间向量的概念 1．在空间中，把具有大小和方向的量叫做空间向量，向量的大小叫做向量的长度或模． 空间向量也用有向线段表示，有向线段的长度表示向量的模，向量a 的起点是A ，终点是B ，则向量a 也可记作AB →，其模记为|a |或|AB → |. 2．几类特殊的空间向量 知识点二 空间向量的加减运算及运算律 1．类似于平面向量，可以定义空间向量的加法和减法运算．
OB →＝OA →＋AB → ＝a ＋b ， CA →＝OA →－OC → ＝a －b . 2．空间向量加法交换律 a ＋b ＝b ＋a ， 空间向量加法结合律 (a ＋b )＋c ＝a ＋(b ＋c )． 知识点三 数乘向量运算 1．实数与向量的积 与平面向量一样，实数λ与空间向量a 的乘积λa 仍然是一个向量，称为向量的数乘运算，记作λa ，其长度和方向规定如下： (1)|λa |＝|λ||a |. (2)当λ>0时，λa 与向量a 方向相同；当λ<0时，λa 与向量a 方向相反；当λ＝0时，λa ＝0. 2．空间向量数乘运算满足以下运算律 (1)λ(μa )＝(λμ)a ； (2)λ(a ＋b )＝λa ＋λb . 1．若表示两个相等空间向量的有向线段的起点相同，则终点也相同．( √ ) 2．零向量没有方向．( × ) 3．两个有公共终点的向量，一定是共线向量．( × ) 4．空间向量的数乘中λ只决定向量的大小，不决定向量的方向．( × ) 题型一 空间向量的概念理解 例1 (1)下列关于空间向量的说法中正确的是( ) A ．空间向量不满足加法结合律 B ．若|a |＝|b |，则a ，b 的长度相等而方向相同或相反 C ．若向量AB →，C D →满足|AB →|＞|CD →|，则AB →＞CD → D ．相等向量其方向必相同 考点 空间向量的相关概念及其表示方法
空间向量及其运算（讲义） 知识点睛 一、空间向量的定义及定理 1． 定义：在空间中，具有大小和方向的量叫做空间向量． 2． 空间向量的有关定理及推论 （1）共线向量定理 对空间任意两个向量a ，b (b ≠0)，a ∥b 的充要条件是：存在实数λ，使__________． [扩充]对空间三点P ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明三点共线： ①PA PB λ??→ ??→ =； ②对空间任一点O ，OP OA t AB ??→??→??→ =+； ③对空间任一点O ，()1OP x OA y OB x y ??→??→??→ =++=． （2）共面向量定理 如果两个向量a ，b __________，那么向量p 与向量a ，b 共面的充要条件是：存在________的有序实数对(x ，y )，使____________． [扩充]对空间四点P ，M ，A ，B ，可通过证明下列任意一个结论成立来证明四点共面： ①MP x MA y MB ??→ ??→ ??→ =+； ②对空间任一点O ，OP OM x MA y MB ??→ ??→ ??→ ??→ =++； ③对空间任一点O ， ()1OP xOM y OA z OB x y z ??→ ??→ ??→ ??→ =++++=； ④PM ??→ ∥AB ??→ (或PA ??→ ∥MB ??→ 或PB ??→ ∥AM ??→ )． （3）空间向量基本定理 如果三个向量a ，b ，c 不共面，那么对空间任一向量p ，存在有序实数组{x ，y ，z }，使得___________________________． 其中，__________叫做空间的一个基底． 二、空间向量的线性运算 类比平面向量． 三、空间向量的坐标运算 l
空间向量与立体几何经典题型与答案 1 已知四棱锥P ABCD -的底面为直角梯形，//AB DC ,⊥=∠PA DAB ,90 底面ABCD ,且 1 2 PA AD DC === ，1AB =,M 是PB 的中点 (Ⅰ）证明：面PAD ⊥面PCD ; （Ⅱ）求AC 与PB 所成的角; （Ⅲ)求面AMC 与面BMC 所成二面角的大小 证明:以A 为坐标原点AD 长为单位长度，如图建立空间直角坐标系,则各点坐标为 1 (0,0,0),(0,2,0),(1,1,0),(1,0,0),(0,0,1),(0,1,)2 A B C D P M (Ⅰ）证明：因.,0),0,1,0(),1,0,0(DC AP DC AP DC AP ⊥=?==所以故 由题设知AD DC ⊥,且AP 与AD 是平面PAD 内的两条相交直线,由此得DC ⊥面PAD 又DC 在面 PCD 上,故面PAD ⊥面PCD （Ⅱ）解:因),1,2,0(),0,1,1(-==PB AC . 510 | |||,cos ,2,5||,2||=??>=<=?==PB AC PB AC PB AC PB AC PB AC 所以故 （Ⅲ)解:在MC 上取一点(,,)N x y z ，则存在,R ∈λ使,MC NC λ= ..2 1 ,1,1),21,0,1(),,1,1(λλ==-=∴-=---=z y x MC z y x NC 要使14 ,00,.25 AN MC AN MC x z λ⊥=-==只需即解得 ),5 2 ,1,51(),52,1,51(,. 0),5 2 ,1,51(,54=?-===?=MC BN BN AN MC AN N 有此时能使点坐标为时可知当λ ANB MC BN MC AN MC BN MC AN ∠⊥⊥=?=?所以得由.,0,0为 所求二面角的平面角
高中数学空间向量知识点 1. 空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量。 注：（1）向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量。 （2）空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示。 2. 空间向量的运算。 定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘运算如下（如图）。 ;; 运算律：⑴加法交换律： ⑵加法结合律： ⑶数乘分配律： 3. 共线向量。
（1）如果表示空间向量的有向线段所在的直线平行或重合，那么这些向量也叫做共线向量或平行向量，平行于，记作。 当我们说向量、共线（或//）时，表示、的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线。 （2）共线向量定理：空间任意两个向量、（≠），//存在实数λ，使＝λ。 4. 共面向量 （1）定义：一般地，能平移到同一平面内的向量叫做共面向量。 说明：空间任意的两向量都是共面的。 （2）共面向量定理：如果两个向量不共线，与向量 共面的条件是存在实数使。 5. 空间向量基本定理：如果三个向量不共面，那么对空间任一向量，存在一个唯一的有序实数组，使。 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底。
推论：设是不共面的四点，则对空间任一点，都存在唯一的三个有序实数，使。 6. 空间向量的直角坐标系： （1）空间直角坐标系中的坐标： 在空间直角坐标系中，对空间任一点，存在唯一的有序实数组，使，有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作，叫横坐标，叫纵坐标，叫竖坐标。 （2）若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，用表示。 （3）空间向量的直角坐标运算律： ①若，，则， ，， ， ， 。 ②若，，则。