中考查漏补缺----最短路线问题
【例题解析】
例1. 如下图，正四棱柱的底面边长为5cm ，侧棱长为8cm ，一只蚂蚁欲从正四棱柱底面上的A 点沿棱柱侧面到点C ’处吃食物，那么它需要爬行的最短路径的长是多少？
思路分析：解这类题的思路是“空间图形平面化”，把空间两点的距离转化为平面上两点间的距离，利用“两点之间线段最短”进行计算。
解：如图1，设蚂蚁爬行的路径是AEC ’（在面ADD ’A ’上爬行是一样的）。将四棱柱剪开铺平，使矩形AA ’B ’B 与BB ’C ’C 相连，连接AC ’，使E 点在AC ’上。（如图2）
)(4128
10
'
)('2
2
2
2
cm CC BC AB AC =+=++=
。
所以这只蚂蚁爬行的最短路径长为cm 412。
例2. 如图，在平面直角坐标系xO y 中，△ABC 三个顶点的坐标分别为A (－6，0)，B (6，0)， C (0，34)，延长AC 到点D ，使CD ＝2
1AC ，过D 点作DE ∥AB 交BC 的延长线于
点E ．
（1）求D 点的坐标；
（2）作C 点关于直线DE 的对称点F ，分别连结DF 、EF ，若过B 点的直线y kx b =+将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形，确定此直线的解析式；
（3）设G 为y 轴上一点，点P 从直线y ＝kx ＋b 与y 轴的交点出发，先沿y 轴到达G 点，再沿GA 到达A 点，若P 点在y 轴上运动的速度是它在直线GA 上运动速度的2倍，试确定G 点的位置，使P 点按照上述要求到达A 点所用的时间最短．（要求：简述确定G 点位置的方法，但不要求证明）
思路分析：第(1)问，利用相似三角形的知识即可解决；第(2)问
1
1
A
B
y
x
O C
E
D
是平行四边形对角线交点的任意一条直线都可将它的周长和面积平分的问题，所以连结点B 、M 即可；第(3)问， 首先是利用路程、时间与速度的关系将P 点转化为相同的速度，然后根据“化折为直：的思路，利用“点到直线的距离，垂线段最短”转化为求线段和最短问题。 解：(1)∵A (－6，0)，C (0，43)，∴OA ＝6，OC ＝43．
设DE 与y 轴交于点M ．由DE ∥AB 可得△DMC ∽△AOC ． 又AC
CD 21=
，2
1=
=
=
∴
CA
CD CO
CM OA
MD ．
∴CM ＝23，MD ＝3．
同理可得EM ＝3．∴OM ＝63． ∴D 点的坐标为(3，63)．
(2)由(1)可得点M 的坐标为(0，63)． 由DE ∥AB ，EM ＝MD ，
可得y 轴所在直线是线段ED 的垂直平分线． ∴点C 关于直线DE 的对称点F 在y 轴上．
∴ED 与CF 互相垂直平分．
∴CD ＝DF ＝FE ＝EC ．
∴四边形CDFE 为菱形，且点M 为其对称中心．作直线BM ． 设BM 与CD 、EF 分别交于点S 、点T ．可证△FTM ≌△CSM ． ∴FT ＝CS ．
∵FE ＝CD ，∴TE ＝SD ．
∵EC ＝DF ，∴TE ＋EC ＋CS ＋ST ＝SD ＋DF ＋FT ＋TS ． ∴直线BM 将四边形CDFE 分成周长相等的两个四边形． 由点B (6，0)，点M (0，63)在直线y ＝kx ＋b 上， 可得直线BM 的解析式为y ＝－3x ＋63．
(3)确定G 点位置的方法：过A 点作AH ⊥BM 于点H ，则AH 与y 轴的交点为所求的G 点．
由OB ＝6，OM ＝63，可得∠OBM ＝60°．∴∠BAH ＝30°． 在Rt △OAG 中，OG ＝AO ·tan ∠BAH ＝23．
∴G 点的坐标为(0，23)．(或G 点的位置为线段OC 的中点) 例3.如图，已知点A (-4，8)和点B (2，n )在抛物线2y ax =上． (1) 求a 的值及点B 关于x 轴对称点P 的坐标，并在x 轴上找一点Q ，使得AQ +QB 最短，求出点Q 的坐标；
4 x
2
2
A
8 -2 O
-2 -4 y 6 B C D -4
4
(2) 平移抛物线2y ax =，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，点C (-2，0)和点D (-4，0)是x 轴上的两个定点．
① 当抛物线向左平移到某个位置时，A ′C +CB ′ 最短，求此时抛物线的函数解析式；
② 当抛物线向左或向右平移时，是否存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短？若存在，求出此时抛物线的函数解析式；若不存在，请说明理由．
思路分析：本题的思路是“化折为直”，(1) 是直接利用“两点之间线段最短”，而(2)则是
先平移后再利用“两点之间线段最短”解决问题。
解： (1) 将点A (-4，8)的坐标代入2y ax =，解得12
a =．
将点B (2，n )的坐标代入2
12y x
=
，求得点B 的坐标为(2，2)，
则点B 关于x 轴对称点P 的坐标为(2，-2)． 直线AP 的解析式是5
433
y x =-+
．
令y =0，得45
x =
．即所求点Q 的坐标是(
45
，0)．
(2)① 解法1：CQ =︱-2-45
︱=
145
，
故将抛物线2
12y x
=
向左平移
145
个单位时，A ′C +CB ′最短，
此时抛物线的函数解析式为2
114()
2
5y x =+
．
解法2：设将抛物线2
12y x
=
向左平移m 个单位，则平移后A ′，B ′的坐
标分别为A ′(-4-m ，8)和B ′(2-m ，2)，点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-m ，-8)． 直线A ′′B ′的解析式为554333
y x m =
+
-
． 要使A ′C +CB ′最短，点C 应在
直线A ′′B ′上，将点C (-2，0)代入直线A ′′B ′的解析式，解得145
m =．
故将抛物线2
12y x
=
向左平移
145
个单位时A ′C +CB ′最短，此时抛物线的
函数解析式为2
114()
2
5y x =
+
．
② 左右平移抛物线2
12y x
=
，因为线段A ′B ′和CD 的长是定值，所以要使四边形A ′B ′CD 的
周长最短，只要使A ′D +CB ′最短；
第一种情况：如果将抛物线向右平移，显然有A ′D +CB ′>AD +CB ，因此不存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短．
第二种情况：设抛物线向左平移了b 个单位，则点A ′和点B ′的坐标分别为
(1) 4 x
2 2
A
8 -2 O -2 -4 y 6 B
C
D -4
4
Q P (2)① 4 x
2 2 A ′
8 -2 O -2 -4 y 6
B ′ C
D -4 4 A ′′
(第24题(2)②)
4 x
2 2 A ′
8
-2 O -2
-4 y
6
B ′ C
D -4
4 A ′′
B ′′
A ′(-4-b ，8)和
B ′(2-b ，2)．
因为CD =2，因此将点B ′向左平移2个单位得B ′′(-b ，2)， 要使A ′D +CB ′最短，只要使A ′D +DB ′′最短．
点A ′关于x 轴对称点的坐标为A ′′(-4-b ，-8)，直线A ′′B ′′的解析式为55222
y x b =
+
+．要使
A ′D +D
B ′′最短，点D 应在直线A ′′B ′′上，将点D (-4，0)代入直线A ′′B ′′的解析式，解得165
b =．故
将抛物线向左平移时，存在某个位置，使四边形A ′B ′CD 的周长最短，此时抛物线的函数解析式为2
116()
25y x =
+
【精选习题】
1. 如下图所示，圆柱形玻璃容器高18cm ，底面周长为60cm ，在外侧
距下底1cm 的点S 处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外
侧距开口处1cm 的点F 处有一苍蝇，则求蜘蛛捕获苍蝇充饥所走的最短路线的长度为__________________
2. 如下图，在圆柱形的桶外，有一只蚂蚁要从桶外的A 点爬到桶内的
B 点去寻找食物，已知A 点沿母线到桶口
C 点的距离是12厘米， B 点沿母线到桶口
D 点的距离是8厘米，而C 、D 两点之间的（桶口）弧长是15厘米．那么蚂蚁爬行的是最短路程长是____________________
3. 如图，是一个三级台阶，它的每一级的长、宽和高分别等于5cm ，3cm 和1cm ，A 和B
是这个台阶的两个相对的端点，A 点上有一只蚂蚁，想到B 点去吃可口的食物.请你想一想，这只蚂蚁从A 点出发，沿着台阶面爬到B 点，最短路程是_____________
4. 如图，一只蚂蚁从实心长方体的顶点A 出发，沿长方体的表面爬到对角顶点C 1处（三条棱长如图所示），则最短路程是_____________
5. 如图，有一圆锥形粮堆，其主视图是边长为6m 的正三角形ABC ，粮堆母线AC 的中点
P 处有一老鼠正在偷吃粮食，此时小猫正在B 处，它要沿圆锥侧面到达P 处捕捉老鼠，则小猫所经过的最短路程是__________m 。（结果不取近似值）
6. 如图，菱形ABCD 中，AB ＝2，∠BAD ＝60°，E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动
点，则PE ＋PB 的最小值是__________。
7. 如图，在△ABC 中，点A 、B 、C 的坐标分别为（x ，0）、（0，1）和（3，2），则当
△ABC 的周长最小时，x 的值为_______。 8. 如图所示，正方形A B C D 的面积为12，A B E △是等边三角形，点E 在正方形A B C D
内，在对角线A C 上有一点P ，使P D P E +的和最小，则这个最小值为__________________
A D
E P
B
C 1
A
B A 1B 1D C
D 1C 12
4
9. 已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，
则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为_____________ 10. 如图，在锐角△ABC 中，AB ＝4
2
，∠BAC ＝45°，∠BAC 的平分线交BC 于点D ，M 、N
分别是AD 和AB 上的动点，则BM+MN 的最小值是____．
11. 如图,C 为线段BD 上一动点,分别过点B 、D 作AB ⊥BD ,ED ⊥BD ,连接AC 、EC .已知
AB =5,DE =1,BD =8,设CD =x.
(1)用含x 的代数式表示AC ＋CE 的长；
(2)请问点C 满足什么条件时,AC ＋CE 的值最小?
(3)根据(2)中的规律和结论,请构图求出代数式9)12(42
2+-++x x 的最小值.
12. 已知：抛物线的对称轴为x=-1，它与x 轴交于A B ，两点，与y 轴交于点C ，其中
()30A -，、()02C -，．（1）求这条抛物线的函数表达式．
（2）已知在对称轴上存在一点P ，使得P B C △的周长最小．请求出点P 的坐标．
（3）若点D 是线段O C 上的一个动点（不与点O 、点C 重合）．过点D 作D E P C ∥交x 轴于点E ．连接PD 、P E ．设C D 的长为m ，P D E △的面积为S ．求S 与m 之间的函数关系式．试说明S 是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由．
13. 如图，已知抛物线y=x 2+bx+c 经过点（1，-5）和（-2，4）
（1）求这条抛物线的解析式．
（2）设此抛物线与直线y x =相交于点A ，B （点B 在点A 的右侧），平行于y 轴的直线
A
C
x
y
B
O
E
D C
B
A
y O x P
D B (40)A ， (02)C ， (
)
051x m m =<<
+与抛物线交于点M ，与直线y x =交于点N ，交x 轴于点P ，求
线段MN 的长（用含m 的代数式表示）．
（3）在条件（2）的情况下，连接OM 、BM ，是否存在m 的值，使△BOM 的面积S 最大？
若存在，请求出m 的值，若不存在，请说明理由．
14. 如图，在矩形O A B C 中，已知A 、C 两
点的坐标分别为(40)(02)A C ，、，，D 为O A 的中点．设点P 是A O C ∠平分线上的一个动点（不与点O 重合）．
（1）试证明：无论点P 运动到何处，P C 总与PD 相等；
（2）当点P 运动到与点B 的距离最小时，试确定过O P D 、、三点的抛物线的解析式； （3）设点E 是（2）中所确定抛物线的顶点，当点P 运动到何处时，P D E △的周长最小？求出此时点P 的坐标和P D E △的周长；
（4）设点N 是矩形O A B C 的对称中心，是否存在点P ，使90C P N ∠=°？若存在，请直接写出点P 的坐标．
x
O P
N
M
B
A
y
y =x x =m
15. 如图，已知平面直角坐标系，A ，B 两点的坐标分别为A （2，－3），B （4，－1）。 （1）若P （p ，0）是x 轴上的一个动点，则当p ＝________时，△PAB 的周长最短； （2）若C （a ，0），D （3 a ，0）是x 轴上的两个动点，则当a ＝________时，四边形ABDC 的周长最短；
（3）设M ，N 分别为x 轴和y 轴上的动点，请问：是否存在这样的点M （m ，0），N （0，n ），使四边形ABMN 的周长最短？若存在，请写出m 和n 的值；若不存在，请说明理由。
最短路线问题参考答案：
1.
34；
2. 25cm ；
3. 13cm ；
4. 5；
5. 53 ;
6.
3;
7. 1; 8.
232;
A B
x
y O
（1）
A B
x
y O
（2）
A B
x
y
O
（3）
9.
17
178;
10. 4;
11. (1)125)8(2
2+++-x x ;(2)当A 、C 、E 三点共线时,AC+CE 的值最小;(3)13.
12. 即
9)12(42
2
+-+
+x x 的最小值为13.（1）y ＝
3
2x
2
＋
3
4x －2 ;（2）点P 的坐标
为（－1，－
3
4）;（3）S ＝－
4
3m
2
＋
2
3m ，当m ＝1时，S 最大＝4
3.
13. （1）y ＝x
2
-2x －4 ，（2）MN= - m 2+3m+4;（3）当m ＝1.5时，S 最大＝
2
25.
14. (1) 略；(2) y ＝x
2
-2x ；(3) P （
3
2，0）时，三角形的最小周长为210+；(4) 存在P(2,2)
或P(
2
1，
2
1).
15. (1) 3
5
-n ,25m (3) 45 (2) ;27
==；.
B C D A L 图(3) C 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值 第2题 张村 李庄 A B B 第1题 第3题
中考数学知识点总结 一、常用数学公式 公式分类公式表达式 乘法与因式分解a2-b2=(a+b)(a-b) a3+b3=(a+b)(a2-ab+b2) a3-b3=(a-b(a2+ab+b2) 三角不等式|a+b|≤|a|+|b| |a-b|≤|a|+|b| |a|≤b<=>-b≤a≤b |a-b|≥|a|-|b| -|a|≤a≤|a| 一元二次方程的解-b+√(b2-4ac)/2a -b-√(b2-4ac)/2a 根与系数的关系X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 判别式 b2-4ac=0 注：方程有两个相等的实根 b2-4ac>0 注：方程有两个不等的实根 b2-4ac<0 注：方程没有实根，有共轭复数根 某些数列前n项和 1+2+3+4+5+6+7+8+9+…+n=n(n+1)/2 1+3+5+7+9+11+13+15+…+(2n-1)=n2 2+4+6+8+10+12+14+…+(2n)=n(n+1) 12+22+32+42+52+62+72+82+…+n2=n(n+1)(2n+1)/6 13+23+33+43+53+63+…n3=n2(n+1)2/4 1*2+2*3+3*4+4*5+5*6+6*7+…+n(n+1)=n(n+1)(n+2)/3 正弦定理a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R 注：其中R 表示三角形的外接圆半径 余弦定理b2=a2+c2-2accosB 注：角B是边a和边c的夹角 二、基本方法 1、配方法 所谓配方，就是把一个解析式利用恒等变形的方法，把其中的某些项配成一个或几个多项式正整数次幂的和形式。通过配方解决数学问题的方法叫配方法。其中，用的最多的是配成完全平方式。配方法是数学中一种重要的恒等变形的方法，它的应用十分非常广泛，在因式分解、化简根式、解方程、证明等式和不等式、求函数的极值和解析式等方面都经常用到它。 2、因式分解法 因式分解，就是把一个多项式化成几个整式乘积的形式。因式分解是恒等变形的基础，它作为数学的一个有力工具、一种数学方法在代数、几何、三角等的解题中起着重要的作用。因式分解的方法有许多，除中学课本上介绍的提取公因式法、公式法、分组分解法、十字相乘法等外，还有如利用拆项添项、求根分解、换元、待定系数等等。 3、换元法 换元法是数学中一个非常重要而且应用十分广泛的解题方法。我们通常把未知数或变数称为元，所谓换元法，就是在一个比较复杂的数学式子中，用新的变元去代替原式的一个部分或改造原来的式子，使它简化，使问题易于解决。 4、判别式法与韦达定理
A B C D A B A B L A B C D 图(2) E D A C P 图(3) D O C P 中考专题复习——路径最短问题一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B处，则它爬行的最短路径是。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L同侧有两点A、B，已知A、B到直线L的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L上找一个点P，使PA+PB的和最小。请在图中找出点P的位置，并计算PA+PB的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km和3Km，张村与李庄的水平距离为3Km，则所用水管最短长度为。四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A处，它要沿着木块侧面爬到点D处，则蚂蚁爬行的最短路径是。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A点与B点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm，底面圆周长为16cm，则所缠金丝带长度的最小值为。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A点爬到点B处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm，底面圆的周长为24cm，则蚂蚁爬行的最短路径为。 4、正方形ABCD的边长为8，M在DC上，且DM＝2，N是AC上的一动点，DN＋MN的最小值为。 第4题第5题第6题第7题 5、在菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，点E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值为。 6、如图，在△ABC中，AC＝BC＝2，∠ACB＝90°，D是BC边的中点，E是AB边上一动点，则EC＋ED的最小值为____ ___。 第2题 张村李庄 A B A B 第1题第3题 ⌒⌒⌒
20XX 年中考数学复习最后一周查漏补缺（易错题辨析） 一、数与式 1的平方根是 （ ） A ．2 B C ．2± D ． 2．2 1的倒数的相反数是 （ ） A ．－2 B ．2 C ．－2 1 D ．2 1． 3．下列根式是最简二次根式的是 （ ） A ．a 8 B ．2 2b a + C ．x 1.0 D ．5 a ． 4．下列计算哪个是正确的 （ ） A ．523=+ B ．5252=+ C ．b a b a +=+22 D ． 212221 221+=-． 5．把- （ ） A ． a B ． a - C ．－ a D ．－ a -． 6．若a +|a |=0，则22)2(a a +-等于（ ） A ．2－2a B ．2a －2 C ．－2 D ．2． 7．已知02112=-+-x x ，则122+-x x 的值 （ ） A ．1 B ．±2 1 C ．2 1 D ．－2 1． 8．计算：a 6÷a 2=__________，（－2）－4 =_________，－22=_________． 二、方程与不等式 （1）字母系数 9．不等式组2, . x x a >-??>?的解集是x a >，则a 的取值范围是 （ ） A ．2a <- B ．2a =- C ．2a >- D ．2a ≥-． 10．关于x 的方程x 2+（t －2）x +5－t =0的两个根都大于2，则t 的取值范围是______ 11．函数 y =（2m 2－5m －3）x 1 32--m m 的图象是双曲线，则m =________________． 12．已知方程组?????=+-=++-0 10 22y x a y x 的两个解为?? ?==11y y x x 和???==2 2y y x x ，且x 1，x 2是两个不等的正数，则a 的取值范围是___________________． 13．若关于x 的方程 21 =+-a x x 有解，则a 的取值范围是 （ ） A ．a ≠1 B ．a ≠－1 C ．a ≠2 D ．a ≠±1． 14．已知一元二次方程（m －1）x 2－4mx +4m －2=0有实数根，则m 的取值范围是 （ ） A ．m ≤1 B ．m ≥31且m ≠1 C ．m ≥1 D ．－1 初中数学《最短路径问题》典型题型 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P， 使得PA+PB最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据： 两点之间线段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A 关于直线“街道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于 点C，则点C就是所求的点． 三、一点在两相交直线内部 例：已知：如图A是锐角∠MON内部任意一点，在∠MON的两边 OM，ON上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM，ON于 点B、点C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周长最小 例：如图，A.B两地在一条河的两岸，现要在河上建一座桥MN，桥造在何 A·M 处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假设河的两岸是平行的直线，桥 N E 要与河垂直） 解：1.将点B 沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E ， 2.连接AE 交河对岸与点M, 则点M 为建桥的位置，MN 为所建的桥。 证明：由平移的性质，得 BN ∥EM 且BN=EM, MN=CD, BD ∥CE, BD=CE, 所以A.B 两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN, 若桥的位置建在CD 处，连接AC.CD.DB.CE, 则AB 两地的距离为： AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN, 在△ACE 中，∵AC+CE ＞AE, ∴AC+CE+MN ＞AE+MN,即AC+CD+DB ＞AM+MN+BN 所以桥的位置建在CD 处，AB 两地的路程最短。 例：如图，A 、B 是两个蓄水池，都在河流a 的同侧，为了方便灌溉作物，?要在河边建一个抽水站，将河水送到A 、B 两地，问该站建在 河边什么地方，?可使所修的渠道最短，试在图中确定该点。 作法：作点B 关于直线 a 的对称点点C,连接AC 交直线a 于点D ，则点D 为建抽水站的位置。 证明：在直线 a 上另外任取一点E ，连接AE.CE.BE.BD, ∵点B.C 关于直线 a 对称,点D.E 在直线 a 上，∴DB=DC,EB=EC, ∴AD+DB=AD+DC=AC, AE+EB=AE+EC 在△ACE 中，AE+EC ＞AC, 即 AE+EC ＞AD+DB 所以抽水站应建在河边的点D 处， 例：某班举行晚会，桌子摆成两直条(如图中的AO ，BO)，AO 桌面上摆满了桔子，OB 桌面上摆满了糖果，坐在C 处的学生小明先拿桔子再拿糖果，然后回到座位，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 作法：1.作点C 关于直线 OA 的对称点点D, 2. 作点C 关于直线 OB 的对称点点E, 3.连接DE 分别交直线OA.OB 于点M.N ， 则CM+MN+CN 最短 例：如图：C 为马厩，D 为帐篷，牧马人某一天要从马厩牵出马，先到草地边某一处牧马，再到河边饮马，然后回到帐篷，请你帮 · · C D A B E a 2019年中考物理知识点查漏补缺注重细节 2019年中考理化要如何备考？考试过程中，有哪些注意事项？对此，深圳市盐田区外国语学校物理老师于飞认为，中考物理宜从紧扣基础知识、重视专题复习、重视查漏补缺三个方面进行复习备考。深圳学而思中考研究中心宋昊勋老师也认为，由于深圳中考物理考查侧重基础知识的掌握与应用，所以对相关知识点的考查会更细致、更全面。他建议孩子们在考前把各知识点再背默梳理一遍，与笔记及考试大纲对照，重点记忆不熟的知识点。而对于中考化学的备考，学而思中考研究中心王雷老师则建议考生从“回归课 本”“反思错题”“注重细节”三个维度进行准备。 物理备考：夯实基础知识查漏补缺 深圳市盐田区外国语学校物理老师于飞认为，中考物理要从紧扣基础知识、重视专题复习、重视查漏补缺三个方面进行备考。 重视查漏补缺 在于飞看来，考生要根据自己的实际情况查找盲点查漏补缺，老师会侧重于物理解题方法的点拨指导，“但我们自己要进行知识归类、考试方法与技巧的整理（在你的错题本中充分体现），这是培养能力的最后阶段：一方面要注重自己解题能力的实际检验与强化提高，要注重老师考后的讲评，由于它的针对性和综合性，往往能给你一个从内容到方法、 到观点的深层次的提高过程；另一方面在实际积累和不断丰富着你的考试经验，还是一次心理训练。” 紧抓基础知识 “物理中考的80%以上的试题都来自于复习时的基础内容，就是难题也是建立在基础知识上，进行一些翻新与变化。因此，我们首先要做的就是夯实基础知识，紧紧抓住第一轮复习，使所学知识系统化，模糊知识清晰化；掌握物理每个考点、落实基础。在复习中，首要环节就是依据《物理中考说明》，确定中考必须掌握的知识点，把考点中所有的定理、定律、每个物理量的概念、意义、单位、相关的公式及其变形公式，要做到了然于胸。” 要注重专题复习 于飞认为，在第一轮复习后除进行必要的知识归纳外，还要结合物理知识板块的特点，对各个专题进行复习，进行各种题型分析。对一些常见题型进行归纳解析，探究规律，依靠老师归纳分析各题型的特点、思维策略和解题方法，并围绕各种题型，有针对性地练习，来提高综合运用知识的能力。在老师研究好中考的前提下，探求命题规律，把握命题的动向，这对于各科复习及应试都有着重要指导作用。 “要重视物理实验；重视物理知识在生活中的应用；注意物理研究中经常采用的研究方法，如控制变量法、类比法、等效法等。最后还要回归到课本，看物理课本中的原图、原话、 B C D A L 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 四、练习题（巩固提高） 张村 李庄 C D 图(2) 图(3) （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的 最小值为 。 第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。 6、如图，在△ABC 中，AC ＝BC ＝2，∠ACB ＝90°，D 是BC 边的中点，E 是AB 边上一动点， 则EC ＋ED 的最小值为____ ___。 第 2题 A B B 第1题 第3题 ⌒ ⌒ ⌒ 中考数学三轮易错复习：专题15最短路径问题 【例1】（2019·河南南阳一模）如图，已知一次函数y=1 2 x+2的图象与x轴、y轴交于点A、C，与反比 例函数y=k x 的图象在第一象限内交于点P，过点P作PB⊥x轴，垂足为B，且△ABP的面积为9. （1）点A的坐标为，点C的坐标为，点P的坐标为； （2）已知点Q在反比例函数y=k x 的图象上，其横坐标为6，在x轴上确定一点M，是的△PQM的周 长最小，求出点M的坐标. 【变式1-1】（2017·新野一模）已知抛物线y=ax2+bx+2经过A（﹣1，0），B（2，0），C三点．直线y=mx+ 1 2 交抛物线于A，Q两点，点P是抛物线上直线AQ上方的一个动点，作PF⊥x轴，垂足为F，交AQ于点N． （1）求抛物线的解析式； （2）如图①，当点P运动到什么位置时，线段PN=2NF，求出此时点P的坐标； （3）如图②，线段AC的垂直平分线交x轴于点E，垂足为D，点M为抛物线的顶点，在直线DE上是否存在一点G，使△CMG的周长最小？若存在，请求出点G的坐标；若不存在，请说明理由．【变式1-2】（2019·三门峡二模）已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线OM上，且OA ＝6，点D是射线OM上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE， 连接DE，设OD＝m． （1）问题发现 如图1，△CDE的形状是三角形． （2）探究证明 如图2，当6＜m＜10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值；若不存在，请说明理由． 图1 图2 强化精炼： 1.（2018·焦作一模）如图1，已知抛物线y=﹣x2+bx+c交y轴于点A（0，4），交x轴于点B（4，0），点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ，过点A作AQ⊥PQ于点Q，连接AP．（1）填空：抛物线的解析式为，点C的坐标； （2）点P在抛物线上运动，若△AQP∽△AOC，求点P的坐标； （3）如图2，当点P位于抛物线的对称轴的右侧，若将△APQ沿AP对折，点Q的对应点为点Q'，请直接写出当点Q'落在坐标轴上时点P的坐标． 图1 图2 2.（2019·中原名校大联考）如图，直线y＝﹣x+5与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y＝﹣x2+bx+c 与直线y＝﹣x+5交于B，C两点，已知点D的坐标为（0，3） （1）求抛物线的解析式； （2）点M，N分别是直线BC和x轴上的动点，则当△DMN的周长最小时，求点M，N的坐标． 2019年中考数学公式总结 圆与弧的公式： 正n边形的每个内角都等于(n-2)180/n 弧长计算公式：L=n兀R/180 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2 内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) ①两圆外离dR+r②两圆外切d=R+r③两圆相交R-rr)④两圆内切d=R-r(Rr)⑤两圆内含dr) 定理相交两圆的连心线垂直平分两圆的公共弦 定理把圆分成n(n3)：⑴依次连结各分点所得的多边形是这个圆的内接正n边形⑵经过各分点作圆的切线，以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形 定理任何正多边形都有一个外接圆和一个内切圆，这两个圆是同心圆 如果在一个顶点周围有k个正n边形的角，由于这些角的和应为360，因此k(n-2)180/n=360化为(n-2)(k-2)=4 弧长计算公式：L=n兀R/180 因式分解公式： 公式：a^3+b^3+c^3-3abc=(a+b+c)(a^2+b^2+c^2-ab-bc-ca) 平方差公式：a平方-b平方=(a+b)(a-b) 完全平方和公式：(a+b)平方=a平方+2ab+b平方 完全平方差公式：(a-b)平方=a平方-2ab+b平方 两根式： ax^2+bx+c=a[x-(-b+(b^2-4ac))/2a][x-(-b-(b^2-4ac))/2 a]两根式 立方和公式：a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2) 立方差公式：a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2) 完全立方公式：a^33a^2b+3ab^2b^3=(ab)^3. 扇形面积公式：S扇形=n兀R^2/360=LR/2146内公切线长=d-(R-r)外公切线长=d-(R+r) 一元二次方程公式与判别式： 一元二次方程的解 -b+(b2-4ac)/2a -b-(b2-4ac)/2a 根与系数的关系 X1+X2=-b/a X1*X2=c/a 注：韦达定理 中考数学知识掌握情况统计表 1（2014 福建三明）如果□,1)2 3(=-?则□内应填的实数是 （ ） A ．2 3- B ．3 2- C ． 2 3 D ． 3 2 2（2014 湖南株洲）2010年6月5日上海世博园入园参观人数约为470000人，将这个数用科学记数 法表示为4.710n ?，那么n 的值为 A ．3 B ．4 C ．5 D ．6 3（2014 浙江省温州）给出四个数0，2,一2 1 ，0.3其中最小的是( ) A ．0 B ．2 C ．一 2 1 D ．0.3 4（2014山东潍坊）如图，数轴上A 、B 两点对应的实数分别是1A 关于B 点的对称点为点 C ，则点C 所对应的实数为（ ）． A ． 1 B ．1 C ．2 D ． 1 5（2014临沂） ） A ．1 B ．1- C D 6（2014浙江金华）如果33-=-b a ，那么代数式b a 35+-的值是（ ） A ．0 B ．2 C ．5 D ．8 7（2010湖北荆州）下面计算中正确的是 A ．532= + B ．()111=-- C ． () 20102010 55=- D ． x 32x ?=x 6 8（2014山东济宁）把代数式 3 2 2 363x x y xy -+分解因式，结果正确的是 A ．(3)(3)x x y x y +- B ．2 2 3(2)x x xy y -+ C ．2 (3)x x y - D ．2 3()x x y - 9（2014浙江嘉兴）若分式 1 26 3+-x x 的值为0，则（ ） （A ）2-=x （B ）2 1- =x （C ）2 1= x （D ）2=x 10（2014江苏苏州）化简 211 a a a a --÷的结果是 A ． 1a B ．a C ．a －1 D ．1 1 a - 11（2014鄂尔多斯）如图，数轴上的点P 表示的数可能是 中考压轴专题（三）：最短路线问题 考查知识点----“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。 原型----“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路----找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直” 等变式问题考查。 以下主要对09中考“饮马问题”试题进行汇编，希望能对即将中考的同学们有所帮助。 1、（2009年达州）在边长为2㎝的正方形ABCD 中，点Q 为BC 边的中点，点P 为对角线AC 上一动点，连接PB 、PQ ，则△PBQ 周长的最小值为____________㎝（结果不取近似值）. 2、(2009年抚顺市)如图所示，正方形A B C D 的面积为12，A B E △是等边三角形，点E 在正方形A B C D 内，在对角线A C 上有一点P ，使PD PE 的和最小，则这个最小值为（ ） A ． B ． C ．3 D 3、(2009年鄂州)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，AB ⊥BC ，AD =2，BC =DC =5，点P 在BC 上移动，则当PA +PD 取最小值时，△APD 中边AP 上的高为（ ） A 、17 17 2 B 、 17 17 4 C 、 17 17 8 D 、3 （动点，作A 关于BC 的对称点A ＇，连A ＇D 交BC 于P ，涉及勾股定理，相似） 4、（2007南通）已知等腰三角形ABC 的两个顶点分别是A(0，1)、B(0，3)，第三个顶点C 在x 轴的正半轴上．关于y 轴对称的抛物线y ＝ax 2 ＋bx ＋c 经过A 、D(3，－2)、P 三点，且点P 关于直线AC 的对称点在x 轴上． (1)求直线BC 的解析式； (2)求抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的解析式及点P 的坐标； (3)设M 是y 轴上的一个动点，求PM ＋CM 的取值范围． A D E P B C 初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧 最短路径问题中,关键在于，我们善于作定点关于动点所在直线的对称点，或利用平移和展开图来处理。这对于我们解决此类问题有事半功倍的作用。理论依据：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”“立体图形展开图”。教材中的例题“饮马问题”，“造桥选址问题”“立体展开图”。考的较多的还是“饮马问题”。 知识点：“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“点关于线对称”，“线段的平移”。“饮马问题”，“造桥选址问题”。考的较多的还是“饮马问题”，出题背景变式有角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等。 解题总思路：找点关于线的对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变 式问题考查。 一、两点在一条直线异侧 例：已知：如图，A，B在直线L的两侧，在L上求一点P，使得PA+PB 最小。 解：连接AB,线段AB与直线L的交点P ，就是所求。（根据：两点之间线 段最短.） 二、两点在一条直线同侧 例：图所示，要在街道旁修建一个奶站，向居民区A、B提供牛奶，奶站应建在什么地方，才能使从A、B到它的距离之和最短． 解：只有A、C、B在一直线上时，才能使AC+BC最小．作点A关于直线“街 道”的对称点A′，然后连接A′B，交“街道”于点C，则点C就是所求的 点． 三、一点在两相交直线部 例：已知：如图A是锐角∠MON部任意一点，在∠MON的两边OM，ON 上各取一点B，C，组成三角形，使三角形周长最小. 解：分别作点A关于OM，ON的对称点A′，A″；连接A′，A″，分别交OM， ON于点B、点C，则点B、点C即为所求 分析：当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时，三角形的周 长最小 查漏补缺，踢好2009中考“临门一脚” 南京市白下区教师进修学校丁玉祥中考即将到来，如何在最后的复习冲刺阶段，抓住增值点是 每个考生和家长最关心的事。模拟考试暴露的问题尤其值得关注。 一、针对模考问题，查漏补缺抓薄弱学科 要认真、客观地对模拟考试进行分析。看看哪些题失了分，弄清失分原因。比如，是基本知识没掌握好，思维能力跟不上，还是学习态度不端正，审题不仔细，或者是学习方法、学习习惯不好。要进行全方位的剖析。因为距离中考的时间有限，要坚持“把时间用在刀刃上”。补习“瘸腿科目”，对薄弱环节进行加强分析看看哪科没考好，冷静分析丢分原因，判断该科是不是弱科。如果是，则要抓紧时间，多补薄弱学科的基础知识，避免中考时“瘸腿科目”拉分。在找出学习的薄弱环节后，要根据自己的实 际水平和学习需求，选择适合的“家教”或学科补习，但是不要 实用文档 过分依赖家教或辅导班。对于基础相对薄弱的学生，可以针对自己的弱项科目找一些基础班补习基础知识。根据作业或复习中的练习暴露的问题查漏补缺，有自己解决不了的问题，千万不要钻“牛角尖”或置之不理，可以打电话请教一下老师或同学！ 二、收集整理错题，选择中考真题适度训练 冲刺复习期间，要有针对性地进行知识复习，尽量多做历年中考真题。选择课外习题或练习卷不是越多越好，而是要针对自己薄弱点进行针对性训练。在做完一套真题试卷后，要及时核对答案，看看哪些题目丢分，弄清丢分原因。通过选择性的做中考真题，与复习配套的习题要注意精选，突出典型性、通用性，能举一反三，不轻易做重复训练，通过适当训练可了解中考命题范围、题目深浅以及相关题型。同时，平时反复易错的习题有目的地通过复印、剪贴的方式汇总，专门誊写在专用的错题本上，或用红笔做上记号，便于下一次复习。比如，物理若是客观题丢分，要认真研究该题失分的原因，在复习的过程中，遇到的问题，可 实用文档 B C D A L 中考专题复习——路径最短问题 一、具体内容包括： 蚂蚁沿正方体、长方体、圆柱、圆锥外侧面吃食问题； 线段（之和）最短问题； 二、原理： 两点之间，线段最短；垂线段最短。（构建“对称模型”实现转化） 三、例题： 例1、①如右图是一个棱长为4的正方体木块，一只蚂蚁要从木块的点A 沿木块侧面爬到点B 处，则它爬行的最短路径是 。 ②如右图是一个长方体木块，已知AB=3,BC=4,CD=2，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 例2、①如图，要在河边修建一个水泵站，分别向张村、李庄送水，水泵站修在河边什么地方可使所用的水管最短。 ②如图，直线L 同侧有两点A 、B ，已知A 、B 到直线L 的垂直距离分别为1和3，两点的水平距离为3，要在直线L 上找一个点P ，使PA+PB 的和最小。请在图中找出点P 的位置，并计算PA+PB 的最小值。 ③要在河边修建一个水泵站，向张村、李庄铺设管道送水，若张村、李庄到河边的垂直距离分别为1Km 和3Km ，张村与李庄的水平距离为3Km ，则所用水管最短长度为 。 张村 李庄 A B C D 图(2) E D A C P 图(3) D O P 四、练习题（巩固提高） （一）1、如图是一个长方体木块，已知AB=5,BC=3,CD=4，假设一只蚂蚁在点A 处，它要沿着木块侧面爬到点D 处，则蚂蚁爬行的最短路径是 。 2、现要在如图所示的圆柱体侧面A 点与B 点之间缠一条金丝带（金丝带的宽度忽略不计），圆柱体高为6cm ，底面圆周长为16cm ，则所缠金丝带长度的最小值为 。 3、如图是一个圆柱体木块，一只蚂蚁要沿圆柱体的表面从A 点爬到点B 处吃到食物，知圆柱体的高为5 cm ，底面圆的周长为24cm ，则蚂蚁爬行的最短路径为 。 4、正方形ABCD 的边长为8，M 在DC 上，且DM ＝2，N 是AC 上的一动点，DN ＋MN 的最小值为 。 第4题 第5题 第6题 第7题 5、在菱形ABCD 中，AB=2， ∠BAD=60°，点E 是AB 的中点，P 是对角线AC 上的一个动点，则PE+PB 的最小值为 。 第2题 A A B B 第1题 第3题 第11讲：轴对称 【问题概述】初中数学最值问题是每年中考必出题，更是图论研究中的一个经典算法问题，旨在寻找图（由结点和路径组成的）中两结点之间的最短路径。 【问题原型】“将军饮马”，“造桥选址”，“费马点”． 【涉及知识】“两点之间线段最短”，“垂线段最短”，“三角形三边关系”，“轴对称”，“平移”． 【出题背景】角、三角形、菱形、矩形、正方形、梯形、圆、坐标轴、抛物线等． 【解题思路】找对称点实现“折”转“直”，近两年出现“三折线”转“直”等变式问题考查．一．【十二个基本问题】 在直线l上求一点 +PB 值最小。 【问题2】作图 在直线l上求一点 A+PB 值最小． 【问题3】“将军饮马”作图 在直线l1 、l2 上分别 求点M、N，使△PMN 周长最小． 【问题 4】作图 在直线l1、l2上分别求 M 、N ，使四 PQMN的周长最小。 直线m∥ n，在m、 上分别求点M、N，使 m，且AM+MN+BN 值最小。 【问题 6】作图 在直线l上求两点M、 在左），使MN a，并使 +MN+NB 的值最小 作图 l1上求点A，在l2 B，使P A+AB值最小． 【问题 8】作图 A 为l1上一定点，B 上；A 为l1上一定点， B 为l2上一定点，在 上求点M在l1上求点N 作图 在直线l上求一点 PA－的值最小 PB 二．“一次对称”常见模型:在直线 l 上求一点 PB PA －的值最大作图 在直线 l 上求一点 PB －的值最大 .【问题 12】“费马点”作图 ABC 中每一内角都小120°，在△ABC 内求一点P ，使 P A +PB +PC 最小． 中考数学七大方法查漏补缺 一、重视构建知识网络——宏观把握数学框架 要学会构建知识网络，数学概念是构建知识网络的出发点，也是数学中考考查的重点。因此，我们要掌握好代数中的数、式、不等式、方程、函数、三角比、统计和几何中的平行线、三角形、四边形、圆的概念、分类，定义、性质和判定，并会应用这些概念去解决一些问题。 二、重视夯实数学双基——微观掌握知识技能 在复习过程中夯实数学基础，要注意知识的不断深化，注意知识之间的内在联系和关系，将新知识及时纳入已有知识体系，逐步形成和扩充知识结构系统，这样在解题时，就能由题目所提供的信息，从记忆系统中检索出有关信息，选出最佳组合信息，寻找解题途径、优化解题过程。 三、重视强化题组训练——感悟数学思想方法 除了做基础训练题、平面几何每日一题外，还可以做一些综合题，并且养成解题后反思的习惯。反思自己的思维过程，反思知识点和解题技巧，反思多种解法的优劣，反思各种方法的纵横联系。而总结出它所用到的数学思想方法，并把思想方法相近的题目编成一组，不断提炼、不断深化，做到举一反三、触类旁通。逐步学会观察、试验、分析、猜想、归纳、类比、联想等思想方法，主动地发现问题和提出问题。 四、重视建立“病例档案”——做到万无一失 准备一本数学学习“病例卡”，把平时犯的错误记下来，找出“病因”开出“处方”，并且经常地拿出来看看、想想错在哪里，为什么会错，怎么改正，这样到中考时你的数学就没有什么“病例”了。我们要在教师的指导下做一定数量的数学习题，积累解题经验、总结解题思路、形成解题思想、催生解题灵感、掌握学习方法。 五、重视常用公式技巧——做到思维敏捷 准确对经常使用的数学公式要理解来龙去脉，要进一步了解其推理过程，并对推导过程中产生的一些可能变化自行探究。对今后继续学习所必须的知识和技能，对生活实际经常用到的常识，也要进行必要的训练。例如：1-20的平方数;简单的勾股数;正三角形的面积公式以及高和边长的关系;30°、45°直角三角形三边的关系……这样做，一定能更好地掌握公式并胜过做大量习题，而且往往会有意想不到的效果。 六、重视中考动向要求——勤练解题规范速度 要把握好目前的中考动向，特别是近年来上海的中考越来越注重解题过程的规范和解答过程的完整。在此特别指出的是，有很多学生认为只要解出题目的答案就万事大吉了，其实只要是有过程的解答题，过程分比最后的答案要重要得多，不要会做而不得分。 七、重视掌握应试规律——提高考试成绩效率 有关专家曾对高考落榜生和高考佼佼者特别是一些地区的高考“状元”进行 过研究和调查，结果发现，他们的最大区别不是智力，而是应试中的心理状态。也有人曾对影响考试成功的因素进行过调查，结果发现，排在第一位的是应试中的心态，第二位的是考前状况，第三位的是学习方法，我们最重视的记忆力却排在第17位。事实上，侧重对考生素质和能力的考核已经是各类考试改革的大趋势，应试中的心态对应试的成功将日趋重要。具有良好心理状态的考生，可以较好地预防考试焦虑，较好地运筹时间，减少应试中的心理损伤。 中考数学总复习资料 代数部分 第一章：实数 基础知识点： 一、实数的分类： ?????? ???????????????????????????????????????无限不循环小数负无理数正无理数无理数数有限小数或无限循环小负分数正分数分数负整数零正整数整数有理数实数 1、有理数：任何一个有理数总可以写成 q p 的形式，其中p 、q 是互质的整数，这是有理数的重要特征。 2、无理数：初中遇到的无理数有三种：开不尽的方根，如2、34；特定结构的不限环无限小数，如1.101001000100001……；特定意义的数，如π、45sin °等。 3、判断一个实数的数性不能仅凭表面上的感觉，往往要经过整理化简后才下结论。 二、实数中的几个概念 1、相反数：只有符号不同的两个数叫做互为相反数。 （1）实数a 的相反数是 -a ； （2）a 和b 互为相反数?a+b=0 2、倒数： （1）实数a （a ≠0）的倒数是a 1；（2）a 和b 互为倒数?1=ab ；（3）注意0没有倒数 3、绝对值： （1）一个数a 的绝对值有以下三种情况： ?????-==0,0, 00, a a a a a a （2）实数的绝对值是一个非负数，从数轴上看，一个实数的绝对值，就是数轴上表示这个数的点到原点的距离。 （3）去掉绝对值符号（化简）必须要对绝对值符号里面的实数进行数性（正、负）确认，再去掉绝对值符号。 4、n 次方根 （1）平方根，算术平方根：设a ≥0，称a ±叫a 的平方根，a 叫a 的算术平方根。 （2）正数的平方根有两个，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。 （3）立方根：3a 叫实数a 的立方根。 （4）一个正数有一个正的立方根；0的立方根是0；一个负数有一个负的立方根。 三、实数与数轴 1、数轴：规定了原点、正方向、单位长度的直线称为数轴。原点、正方向、单位长度是数轴的三要素。 2、数轴上的点和实数的对应关系：数轴上的每一个点都表示一个实数，而每一个实数都可以用数轴上的唯一的点来表示。实数和数轴上的点是一一对应的关系。 四、实数大小的比较 1、在数轴上表示两个数，右边的数总比左边的数大。 2、正数大于0；负数小于0；正数大于一切负数；两个负数绝对值大的反而小。 五、实数的运算 1、加法： （1）同号两数相加，取原来的符号，并把它们的绝对值相加； （2）异号两数相加，取绝对值大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。可使用加法交换律、结合律。 2、减法： 减去一个数等于加上这个数的相反数。 3、乘法： （1）两数相乘，同号取正，异号取负，并把绝对值相乘。 中考查漏补缺英语语法之动词语法讲解 （一）动词概述 动词是表示人或事物的动作、存在、变化的词。分析95年至今的中考不难发现，动词部分主要考查学生对主动结构中各个时态的运用。一般现在时、一般过去时、一般将来时、现在进行时和现在完成时出现的概率较高。而被动语态主要是考一般现在时、一般过去时、一般将来时和情态动词的被动语态。 （二）基础知识梳理 1．动词的种类 根据其词义和其在谓语中的作用可分为实义动词、助动词和情态动词。根据其在句子中的功用可分为及物动词和不及物动词，连系动词界于两者之间。 1）实义动词：意义完全，能独立用作谓语。如：enable，watch，run，open等。 2）连系动词：是一个表示谓语关系的动词。它必须在后面接表语（通常为名词或形容词）。如：seem，look，smell，taste，sound，get，become，turn，be等。 3）助动词：本身没有词汇意义。不能单独用作谓语。在句中与实义动词一起构成各种时态、语态、语气以及否定和疑问结构。如：do，does，did等。 4）情态动词：词义不完全。在句中不能单独作谓语，只能与实义动词一起构成谓语。如：can，may，must，need，oughtto等。 2．动词的时态： 时态 常用的提示语 一般现在时 always，usually，sometimes，often，every，onceaweek，inthemorning，inDecember，inspring，onMondays等。 一般过去时 ago，justnow，before2005，yesterday，lastFriday，once，theotherday，thosedays，onceuponatime，longbefore等。 一般将来时 tomorrow，thecoming...，inthefuture，nextTuesday，intwohours，someday，soon，beforelong，thisevening等。 现在进行时 now，atthemoment，look，listen，bequite，thesedays，still等。 过去进行时 thistimeyesterday，atthattime，from9to11lastFriday，when，while等。 现在完成时 since，for，already，yet，just，inthepastfewyears/months，inthelastfewweeks/months/days等。 过去完成时 bytheendoflastterm/month/year，byyesterday，by2004，bylastMonday等。 过去将来时 大都出现在主句动词为一般过去时的宾语从句中。 有些动词所表示的动作即便在说话时正在进行，也不能用进行时。这些动词通常表示情感、想法、感觉或所属。 表示情感的动词：like，dislike，love，hate.初中数学《最短路径问题》典型题型复习
中考物理知识点查漏补缺注重细节
中考专题复习——最短路径问题(有答案)
中考数学三轮易错复习：最短路径问题(含解析)
中考数学公式总结
2015河南中考数学查漏补缺资料
中考专题：最短路径问题
初中数学[最短路径问题]典型题型及解题技巧
查漏补缺,踢好中考“临门一脚
中考专题复习最短路径问题有复习资料
中考数学最短路径问题(珍藏版纯word版)
中考数学七大方法查漏补缺
中考数学知识点总结(完整版)
中考查漏补缺英语语法之动词语法讲解
相关主题
文本预览