《最短路径问题》的反思及应用

l A 13.4课题学习 最短路径问题（第1课时）一、教学内容分析本节课是人教版八年级数学上册第十三章《轴对称》的课题学习，在学习了三角形、全等三角形及轴对称这三章后，学生全面掌握了轴对称这一特殊全等形，从而具备了解决本课问题的知识基础。

课题学习中，总共提出了两个问题，分别利用轴对称和平移解决，第1课时准备解决第一个问题。

二、教学目标分析数学来源于生活，因此，要让学生会将生活中的实际问题转化成数学问题，用数学中的图形、符号来表示生活中的实例。

同时，根据本节课的要求，能够利用轴对称来解决此类问题。

基于以上考虑，确定本节课的教学目标和重难点如下：1、能够将实际问题转化成数学问题，完成具体到抽象的转换；2、能利用轴对称解决简单的最短路径问题；3、通过具体实例感受数学来源生活、服务生活，调动学生的数学学习兴趣，培养学生的数学应用意识。

重点：利用轴对称解决两条线段和最短问题难点：如何把问题转化成“两点之间，线段最短”三、教学过程设计1、知识储备轴对称性质，跟“最短”有关的定理“两点之间，线段最短”，“点到直线的所有连线中，垂线段最短”。

如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，到河边的什么地方最近？若牧马人从A 地出发，淌过笔直的小河l 到另一边的B 地，怎样的路径最短？【设计意图】让学生回忆旧知，为解决问题准备好称手的工具。

2、问题铺垫如图，点A 、B 分别是直线l 异侧的两个点，如何在l 上找到一个点，使得这个点到点A 、B 的距离和最短？容易寻找到方法：连接AB ，与直线l 的交点即为所求，根据“两点之间，线段最短”可证l A lB'明。

【设计意图】从已有知识出发，给出一个解决问题的基础。

3、情景导入如图，牧马人从A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地，牧马人到河边的什么地方饮马，可使所走的路径最短？转换成数学问题：如图，把河边l 近似地看成一条直线，在直线l 上寻找一处点C ，使得AC+BC 的和最小。

教学设计（1）情境导入方方和圆圆要去校医院买药，他们从数学楼出发，然后沿正德路和东环路步行去校医院，路线如下图所示。

圆圆说，数学楼和校医院之间要是有条笔直的路，我们就不用走这么远了，你知道她为什么这么说吗？教师问：依据是什么?通过日常生活中的实例，引起学生兴趣，调动其学习的积极性。

荷兰教育家弗赖登尔说“数学来源于生活，也必须植根于生活”，同时新课程标准“数学教学必须从学生熟悉的生活情境和。

利用生活中的课程资源，使他们体会到数学就在身边，感唐代诗人李顾的诗《古从军行》开头两句说“白日登山望烽火,黄昏饮马傍依据：两点之间线段最短设计意图：用古诗词引入，发现文学中的数学课程资源，让学生感受到中国古典文化的魅力，对学生进行情感态度价值观的教育。

将文学内容转化为实际问题，通过实际问题建模成数学问题，让学生体会建模思想，认识到数学是刻画表达各种现象的重要方法。

由于计算机的发展，数学已不仅是一门学科，还是一门技术，增加一些小趣味，让课堂不枯燥。

那么当将军和营地在小河的同一侧时，又该如何找饮马点呢？教师问：刚才的问题和现在的问题有什么不同？学生答：一个是两点在异侧，一个是两点同侧。

教师问：那么我如何解决这个同侧问题呢？可以转化为异侧问题吗？总结思想：利用轴对称，将同侧问题转化为异侧问题。

设计意图：构建解决这类问题的数学模型，为解决后面的问题做准备。

类比思维方法是数学创造性思维中很重要的一种思维方法，法国数学家兼天文学家，普拉斯说：“即使在数学里，发现真理的主要工具也是归纳和类比。

”通过类比，总结经验。

）学以致用现在我国正加大建设农村基础设施的步伐。

如图，小河边有两个村庄A、在要在河岸边建立一个自来水厂，向两村供水。

想一想水厂建在哪里，才能使铺设管道最节省呢？关于小河边线的对称点B′，连接AB′，AB′与小河边线的交点即（学生小组合作讨论，相互交流解题经验）进一步提升学生利用已学知识解决问题的能力，逐渐加深学生思考,培养学生应用意识、创新意识、过程经验，通过这道题继续巩固本节课解题基本。

最短路径问题》评课稿都难以做到完美，但是XXX的教学水平、组织能力和激发学生兴趣的手段都非常高，使得学生在课堂中肯学、乐学。

在教学程序上，XXX首先抛出经典的将军饮马问题，引发学生的思考，抓住学生的思维节点，点拨用轴对称的知识解决，教师步步以学情为依据，做出引导，学生步步为营，渐进式逼近问题答案。

将实际问题抽象成数学图形是一种素质，将数学符号模型化是建模思想，老师注重数学思想的渗透。

探究过程中，利用三角形的三边关系对比距离大小，结果一目了然，效果显著。

教师板演示范时，作图规范，准确引导学生研究作图关键。

处理问题难点时，教师点拨到位，学生抓住问题关键点，顺利突破重难点。

紧接着XXX带领学生研究了先取糖果再拿饮料的作图，学生对轴对称的掌握程度再次熟练。

测试中，打台球问题既有多情况分析，又容易让学生陷入思维误区，老师引导学生抽象成数学问题，顺利构思解题路径。

造桥选址问题实则是动点问题的一种，教师帮助学生及时找到问题的关键点，确定主动点、被动点和定长，顺利解决了。

教学思路清晰，结构较严谨，环环相扣，过渡自然。

当然，数学是一门逻辑性较强的科目，任何好的理念和设计在实际的教学过程中总会留下一些遗憾。

比如，在本节课中，XXX没有注意到最短路径问题区别于距离相等，从题目细节到问题提法都有所不同。

另外，将将军饮马问题、学生先取糖果再拿饮料问题放在平面直角坐标系中，让学生体会平面直角坐标系这个工具的用途，以及题目千变万化的模式，最终揭示出问题万变不离其宗的原则。

最短路径问题实质上还是初一接触过的两点之间线段最短这条理论，只不过连线段是隐蔽的两点。

虽然教学过程中有一些遗憾，但是XXX的教学水平、组织能力和激发学生兴趣的手段都非常高，使得学生在课堂中认真地倾听，自由地表达，灵活地运用，整堂课如行云流水，步步流畅，充分地达到了知识的渗透，能力的培养，情感的交流，有效地训练了学生敏锐地观察力，发展了学生的思维能力，激发了学生的想象力和创造力。

《最短路径问题》教学设计一、课标分析2011版《数学课程标准》指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径..”随着现代信息技术的飞速发展;极大地推进了应用数学与数学应用的发展;使得数学几乎渗透到每一个科学领域及人们生活的方方面面..为了适应科学技术发展的需要和培养高质量、高层次科技人才;数学建模已经在大学教育中逐步开展;国内外越来越多的大学正在进行数学建模课程的教学和参加开放性的数学建模竞赛;将数学建模教学和竞赛作为高等院校的教学改革和培养高层次的科技人才的个重要方面;数学建模难度大、涉及面广;数学建模的教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高的过程..新课标强调从生产、生活等实际问题出发;引导学生运用数学知识;去解决实际问题;培养应用意识与能力..因此;数学建模是初中数学的重要任务之一;它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段..但从教学的反馈信息看;初中学生的数学建模能力普遍很弱;这与课堂教学中忽视对学生数学建模能力的培养不无关系..要想提高学生的建模能力;我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发;从社会热点问题出发;让学生直接接触数学建模;培养学生抽象能力以及运用数学知识能力..现实生活中问题是很复杂的;有些问题表面看来毫无相同之处;但抽象为数学模型;本质都是相同的;这些问题都可以用类似的方法解决..本节课的教学中注重模型归类;多题一模;训练学生归纳能力;培养学生数学建模能力..二、教材分析本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称的性质、勾股定理的基础上;引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题..它既是轴对称、勾股定理知识运用的延续;又能培养学生自主探究;学会思考;在知识与能力转化上起到桥梁作用．对于本节课的内容;青岛版教材没有独立编排;只是随着学生数学学习的不断推进;逐步添加了部分题目来逐步渗透;这也使大部分学生忽视了这一知识点..设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题;让学生直面数学模型;体会数学的本质;有利于学生系统的学习知识..学习目标：1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”;从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型;体会轴对称的“桥梁”作用..2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决;感悟转化思想.3、通过训练;提高综合运用知识的能力..教学重点：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间;线段最短”问题;学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法..教学难点：从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型..突破难点的方法：对应模型;找出本质问题..突出重点的方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点..突破难点的方法：勾股定理、线段公理和轴对称性质的灵活运用和提升是个难点;加上指导学生学会思考还在培养之中;仅靠学生是不能完成的;所以在教学中要充分运用多媒体教学手段;通过启发引导;小组讨论;例题讲解;变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识的应用和方法的提升;层层深入;逐一突破难点..三、学情分析对于九年级的学生来说;已学过一些关于空间与图形的简单推理知识;具备了一定的合情推理能力;能应用勾股定理、线段公理、轴对称的性质等知识解决简单的问题;但演绎推理的意识和能力还有待加强;思维缺乏灵活性．最短路径问题;学生在八年级已经有所接触..对于直线异侧的两点;怎样在直线上找到一点;使这一点到这两点的距离之和最小;学生很容易想到连接这两点;所连线段与直线的交点就是所求的点.但对于直线同侧的两点;如何在直线上找到一点;使这一点到这两点的距离之和最小;受已有经验和知识基础的影响;部分学生在八年级学习时很茫然;找不到解决问题的思路..进入中考复习阶段;随着一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题的出现;更是让学生感到陌生;无从下手..从平时教学反映出学生不重视学习方法;不注意归纳总结;不会思考;更不善于思考;学生学得累..所以想通过本节课引导学生学会学习;学会思考;从而使其感受到学习的快乐;提高学习的兴趣;避免死做题;以达到提高学习能力的目的．四、教学设计一创设情景相传;古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者;名叫海伦．有一天;一位将军专程拜访海伦;求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发;到一条笔直的河边饮马;然后到B地．到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短精通数学、物理学的海伦稍加思索;利用轴对称的知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学的知识解决这个问题吗学生活动学生思考教师展示问题;并观察图片;获得感性认识. 设计意图从生活中问题出发;唤起学生的学习兴趣及探索欲望. 二知识回顾1.如图所示：从A 地到B 地有三条路可供选择;选择哪条路距离最短 你的理由是什么2.你能说出轴对称的性质吗3.勾股定理..学生活动在教师的引导下回顾旧知识.. 设计意图为本节课的学习扫清知识障碍.. 三模型建构1.如图;要在燃气管道L 上修建一个泵站;分别向A 、B 两镇供气;泵站修在管道的什么地方;可使所用的输气管线最短设计意图通过一个很简单的实际问题;让学生认识到数学来源于生活;服务与生活;曾庆学生的应用意识..2.你能解决“将军饮马问题”吗 活动1：观察思考;抽象为数学问题将A ;B 两地抽象为两个点;将河l 抽象为一条直 线．活动2： 你能用自己的语言说明这个问题的意思; 并把它抽象为数学问题吗 学生活动学生尝试回答; 并互相补充;最后达成共识： 1从A 地出发;到河边l 饮马;然后到B 地；B....AlBAlFEDCBA2在河边饮马的地点有无穷多处;把这些地点与A ;B 连接起来的两条线段的长度之和;就是从A 地到饮马地点;再回到B 地的路程之和；3现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l 上的点．设P 为直线上的一个动点;上面的问题就转化为：如图;点A ;B 在直线l 的同侧;点P 是直线上的一个动点;当点P 在l 的什么位置时;PA+PB 最小强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”设计意图让学生经历观察、叙述、画图等过程;培养学生把生活问题抽象为数学问题的能力.. 活动3：尝试解决数学问题你能利用轴对称的知识解决这个问题吗学生活动学生独立思考;画图分析;并尝试回答;互相补充..教师适当提示.. 作法：1作点B 关于直线l 的对称点B ′； 2连接AB ′;与直线l 相交于点P.. 则点P 即为所求． 如图所示：学生活动在教师的引导下;积极思考;同伴交流;尝试解决实际问题..设计意图学以致用;利用轴对称知识解决问题;及时进行学法指导;引导学生进行方法规律的提炼总结.. 3.模型分析lB....Al已知直线l 和A 、B 两点;点P 是直线上的一个动点;当点P 在l 的什么位置时;PA+PB 最小 1A 、B 两点在直线异侧时：2A 、B 两点在直线同侧时：设计意图引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来的数学模型;形成认知结构;增强从复杂问题中找出基本图形的能力..四模型应用 典型例题一如图;在平面直角坐标系中;一次函数y=-2x+4的图象与x 、y 轴分别交于点A 、B 两点;OA 、AB 的中点分别为C 、D;P 为OB 上一动点;当△PCD 的周长最小时;求P 点坐标．设计意图1帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型2引导学生找出模型中已知直线L 和A 、B 两点;提高学生分析题目的能力;提升思维的层次..题组一1.如图1;在边长为1的等边三角形ABC 中;点D 是AC 的中点;AE ⊥BC;点P 是AE 上任一点;则PC+PD 的最小值为 ..2.如图2;正方形ABCD 的边长为8;M 在DC 上;且DM ＝2;N 是AC 上的一动点;DN ＋MN 的最小值为 ..l·AB·B ·lA ·图1 图2 典型例题二如图;圆柱形玻璃杯;高为12cm ;底面周长为18cm ;在杯内离杯底4cm 的点C 处有一滴蜂蜜;此时一只蚂蚁正好在杯外壁;离杯上沿4cm 与蜂蜜相对的点A 处;则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为________cm ．学生活动1将立体图形转化为平面图形..2在教师的引导下从问题的情境中逐步得出问题的本质：点A ;C 在直线L 的同侧;点P 是直线上的一个动点;当点P 在l 的什么位置时;PA+PB 最小 3综合运用数学模型和勾股定理解决问题..设计意图引导学生将立体图形转化为平面图形;利用“最短路径”数学模型来解决问题..训练学生的思维;提高分析问题的能力;培养模型思想..题组二1.如图;在棱长为1的立方体的右下角A 处有一只蚂蚁;欲从立方体的侧面爬行去吃右上角B 处的食物;问怎样爬行路径最短;最短路径是多少2.如图;圆锥的底面半径为1;母线长为4;一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发;沿圆锥侧面爬行一周再回到点B;问它爬行的最短路线是多少五反思小结 本节课我学会了……ABCBAAB· DE设计意图引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结： 1、解决上述问题运用了什么知识 知识 2、在解决问题的过程中运用了什么方法 方法3、运用上述方法的目的是什么 体现了什么样的数学思想 数学思想 六拓展提升如图;在长为5、宽为3、高为4的长方体的右下角A 处有一只蚂蚁;欲从长方体的外表面爬行去吃右上角B 处的食物;问怎样爬行路径最短;最短路径是多少设计意图思维变式训练;提升学生的思维层次;让学生学会思考;学会提问.. 五、效果分析本节课的活动设计与评测练习有利于教学目标的实现;很好的突出了重点;突破了难点..具体标志如下：1.学生能够把“将军饮马”的问题转化为数学中的“点、线”问题;并利用轴对称的性质将其转化为“两点之间线段最短”的问题..2.能够抽象出“最短路径问题”数学模型;在探索最算路径的过程中;体会轴对称的“桥梁”作用;感悟转化思想.3、能从一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的复杂题目中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型..六、观评记录 一生活情境创设本节可通过创设“将军饮马”这样一个具有思考性的故事情境;激发了学生的学习兴趣;迅速把学生引入本节课的教学问题之中;为接下来的进一步学习奠定基础;真正体现课标理念中数学活动的深入有效开展..二任务层次结构本设计将教学任务设计成若干个教学活动..除了考虑活动本身的设计之外;还充分考虑子活动之间坡度、连贯、衔接等特点;过渡自然、思路清晰;能够提供思考和发现的时间和空间..这种5层次结构帮助学生保持思维的高度集中;避免学生因活动脱节造成思路混乱；有利于呈现出高认知水平的教学任务;避免低水平的模仿和重复训练；能够根据教师构建的“脚手架”一步步完成整个“教学工程”的任务;避免形成局部效果之和远小于整体教学要求..教师上课思路清晰;目的明确；教学活动各部分时间安排合理；教学活动各部分联系比较紧密；学生能从整体上分析问题、解决问题..三数学思想方法渗透新课标中明确提到数学思想方法的显性要求..我们在平时的教学过程中经常侧重于解题训练;而忽略新内容学习中数学思想方法的训练;这靠多做题是无法实现的;学生往往学得又累又不得法..本节课数学思想方法的挖掘与呈现主要体现为：能够将新旧知识进行有效联系；学生能将一个复杂的问题转化为若干个简单的问题；教师在教学过程中经常渗透思想方法；在教师的引导下;自己基本能够独立完成新内容的学习；能够运用学过的方法找到解决新问题的思路..四数学交流的机会本节课的交流方式主要体现为：在课堂学习过程中有表达自己想法的机会；老师在课堂教学过程中注意照顾到不同层次的学生；在与同学交流的过程中能够获得启发；针对老师和同学提供的多种解题方法;能够选择适合自己的方法；教师能够进行详细深入的点评；学生主动参与学习活动;相互合作、共同探究学习问题;乐于交流分享成绩；注意力集中;学习积极主动;与老师配合默契；有数学表达的愿望；给学生交流提供充足的时间..五数学应用的深度课堂中的数学应用主要表现为：能够从生活中提炼出数学问题并加以解决；了解数学知识的来龙去脉;寻找其中与数学有关的因素；能从数学现实中主动获取知识；学生在教师的引导下发挥了学习数学的潜力；在教学中能够照顾到各个层次的学生；学生有思考问题和表现想法的机会..七、课后反思本节课我用数学故事“将军饮马”引入课题;引导学生“两点之间线段最短”和轴对称的性质逐步从生活问题中抽象概括出“最短路径问题”数学模型..让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题;再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间;线段最短”问题..在建构模型的过程中;我注重学生学习学习方法的而培养和数学思想方法的渗透；在抽象出数学模型的基础上;进一步引导学生分析模型;增强了学生的模型思想；接下来通过两个典型例题及两个对应题组的联系;更是有利于学生发现问题的实质;增强了学生从复杂的图形中发现基本图形的能力..总之;本节课的教学注重模型归类;多题一模;训练学生归纳能力;培养学生数学建模能力..在本节课的教学中;我设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景的最短路径问题;有利于学生知识的整体建构;大大提高了复习效率..在设计题组时;专门设计了备用题组;充分考虑到不同层次学生的需要;既让学有余力的学生得到充分的发展;又给解题慢的学生留下了充足的思考空间..在本节课的教学活动中;学生在教师的引导下认真倾听、积极思考、同伴互助;很好的完成了本节课的教学任务..。

最短路径问题教学设计一、课标分析2011版数学课程标准指出：“模型思想(de)建立是学生体会和理解数学与外部世界联系(de)基本途径.”随着现代信息技术(de)飞速发展,极大地推进了应用数学与数学应用(de)发展,使得数学几乎渗透到每一个科学领域及人们生活(de)方方面面.为了适应科学技术发展(de)需要和培养高质量、高层次科技人才,数学建模已经在大学教育中逐步开展,国内外越来越多(de)大学正在进行数学建模课程(de)教学和参加开放性(de)数学建模竞赛,将数学建模教学和竞赛作为高等院校(de)教学改革和培养高层次(de)科技人才(de)个重要方面,数学建模难度大、涉及面广,数学建模(de)教学本身是一个不断探索、不断创新、不断完善和提高(de)过程.新课标强调从生产、生活等实际问题出发,引导学生运用数学知识,去解决实际问题,培养应用意识与能力.因此,数学建模是初中数学(de)重要任务之一,它是培养学生应用数学(de)意识和能力(de)有效途径和强有力(de)教学手段.但从教学(de)反馈信息看,初中学生(de)数学建模能力普遍很弱,这与课堂教学中忽视对学生数学建模能力(de)培养不无关系.要想提高学生(de)建模能力,我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有(de)知识出发,从社会热点问题出发,让学生直接接触数学建模,培养学生抽象能力以及运用数学知识能力.现实生活中问题是很复杂(de),有些问题表面看来毫无相同之处,但抽象为数学模型,本质都是相同(de),这些问题都可以用类似(de)方法解决.本节课(de)教学中注重模型归类,多题一模,训练学生归纳能力,培养学生数学建模能力.二、教材分析本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称(de)性质、勾股定理(de)基础上,引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题.它既是轴对称、勾股定理知识运用(de)延续,又能培养学生自主探究,学会思考,在知识与能力转化上起到桥梁作用．对于本节课(de)内容,青岛版教材没有独立编排,只是随着学生数学学习(de)不断推进,逐步添加了部分题目来逐步渗透,这也使大部分学生忽视了这一知识点.设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景(de)最短路径问题,让学生直面数学模型,体会数学(de)本质,有利于学生系统(de)学习知识.学习目标：1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称(de)性质”,从复杂(de)图形中抽象出“最短路径”问题(de)基本数学模型,体会轴对称(de)“桥梁”作用.2.能将立体图形中(de)“最短路径问题”转化为平面图形来解决,感悟转化思想.3、通过训练,提高综合运用知识(de)能力.教学重点：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间,线段最短”问题,学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法.教学难点：从复杂(de)图形中抽象出“最短路径”问题(de)基本数学模型.突破难点(de)方法：对应模型,找出本质问题.突出重点(de)方法：通过设置问题、引导思考、探究讨论、例题讲解方式突出重点.突破难点(de)方法：勾股定理、线段公理和轴对称性质(de)灵活运用和提升是个难点,加上指导学生学会思考还在培养之中,仅靠学生是不能完成(de),所以在教学中要充分运用多媒体教学手段,通过启发引导,小组讨论,例题讲解,变式提升、归纳总结来帮助学生理解知识(de)应用和方法(de)提升,层层深入,逐一突破难点.三、学情分析对于九年级(de)学生来说,已学过一些关于空间与图形(de)简单推理知识,具备了一定(de)合情推理能力,能应用勾股定理、线段公理、轴对称(de)性质等知识解决简单(de)问题,但演绎推理(de)意识和能力还有待加强,思维缺乏灵活性．最短路径问题,学生在八年级已经有所接触.对于直线异侧(de)两点,怎样在直线上找到一点,使这一点到这两点(de)距离之和最小,学生很容易想到连接这两点,所连线段与直线(de)交点就是所求(de)点.但对于直线同侧(de)两点,如何在直线上找到一点,使这一点到这两点(de)距离之和最小,受已有经验和知识基础(de)影响,部分学生在八年级学习时很茫然,找不到解决问题(de)思路.进入中考复习阶段,随着一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景(de)最短路径问题(de)出现,更是让学生感到陌生,无从下手.从平时教学反映出学生不重视学习方法,不注意归纳总结,不会思考,更不善于思考,学生学得累.所以想通过本节课引导学生学会学习,学会思考,从而使其感受到学习(de)快乐,提高学习(de)兴趣,避免死做题,以达到提高学习能力(de)目(de)．四、教学设计（一）创设情景相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名(de)学者,名叫海伦．有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解(de)问题：从图中(de)A 地出发,到一条笔直(de)河边饮马,然后到B 地．到河边什么地方饮马可使他所走(de)路线全程最短精通数学、物理学(de)海伦稍加思索,利用轴对称(de)知识回答了这个问题．这个问题后来被称为“将军饮马问题”．你能用所学(de)知识解决这个问题吗学生活动学生思考教师展示问题,并观察图片,获得感性认识.设计意图从生活中问题出发,唤起学生(de)学习兴趣及探索欲望.（二）知识回顾1.如图所示：从A 地到B 地有三条路可供选择,选择哪条路距离最短你(de)理由是什么2.你能说出轴对称(de)性质吗3.勾股定理.学生活动在教师(de)引导下回顾旧知识.设计意图为本节课(de)学习扫清知识障碍.（三）模型建构 BAl FE D C A1.如图,要在燃气管道L 上修建一个泵站,分别向A 、B 两镇供气,泵站修在管道(de)什么地方,可使所用(de)输气管线最短设计意图通过一个很简单(de)实际问题,让学生认识到数学来源于生活,服务与生活,曾庆学生(de)应用意识.2.你能解决“将军饮马问题”吗活动1：观察思考,抽象为数学问题将A ,B 两地抽象为两个点,将河l 抽象为一条直 线．活动2： 你能用自己(de)语言说明这个问题(de)意思, 并把它抽象为数学问题吗学生活动学生尝试回答, 并互相补充,最后达成共识：（1）从A 地出发,到河边l 饮马,然后到B 地；（2）在河边饮马(de)地点有无穷多处,把这些地点与A ,B 连接起来(de)两条线段(de)长度之和,就是从A 地到饮马地点,再回到B 地(de)路程之和；（3）现在(de)问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短(de)直线l 上(de)点．设P 为直线上(de)一个动点,上面(de)问题就转化为：如图,点A ,B 在直线l (de)同侧,点P 是直线上(de)一个动点,当点P 在l (de)什么位置时,PA+PB 最小B. .Al强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”设计意图让学生经历观察、叙述、画图等过程,培养学生把生活问题抽象为数学问题(de)能力.活动3：尝试解决数学问题你能利用轴对称(de)知识解决这个问题吗学生活动学生独立思考,画图分析,并尝试回答,互相补充.教师适当提示. 作法：（1）作点B 关于直线l (de)对称点B ′；（2）连接AB ′,与直线l 相交于点P.则点P 即为所求． 如图所示：学生活动在教师(de)引导下,积极思考,同伴交流,尝试解决实际问题.设计意图学以致用,利用轴对称知识解决问题,及时进行学法指导,引导学生进行方法规律(de)提炼总结.3.模型分析lB..A l已知直线l 和A 、B 两点,点P 是直线上(de)一个动点,当点P 在l (de)什么位置时,PA+PB 最小（1）A 、B 两点在直线异侧时：（2）A 、B 两点在直线同侧时：设计意图引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来(de)数学模型,形成认知结构,增强从复杂问题中找出基本图形(de)能力.（四）模型应用典型例题（一）如图,在平面直角坐标系中,一次函数y=-2x+4(de)图象与x 、y 轴分别交于点A 、B 两点,OA 、AB(de)中点分别为C 、D,P 为OB 上一动点,当△PCD(de)周长最小时,求P 点坐标．B· l A· l·AB ·设计意图（1）帮助学生灵活(de)从复杂(de)图形中抽出基本模型（2）引导学生找出模型中已知直线L 和A 、B 两点,提高学生分析题目(de)能力,提升思维(de)层次.题组（一）1.如图1,在边长为1(de)等边三角形ABC 中,点D 是AC(de)中点,AE ⊥BC,点P 是AE 上任一点,则PC+PD(de)最小值为 .2.如图2,正方形ABCD(de)边长为8,M 在DC 上,且DM ＝2,N 是AC 上(de)一动点,DN ＋MN(de)最小值为 .图1 图2典型例题（二）如图,圆柱形玻璃杯,高为12cm ,底面周长为18cm ,在杯内离杯底4cm (de)点C 处有一滴蜂蜜,此时一只蚂蚁正好在杯外壁,离杯上沿4cm 与蜂蜜相对(de)点A 处,则蚂蚁到达蜂蜜(de)最短距离为________cm ．学生活动（1）将立体图形转化为平面图形.（2）在教师(de)引导下从问题(de)情境中逐步得出问题(de)本质：点A ,C 在直线L (de)同侧,点P 是直线上(de)一个动点,当点P 在l (de)什么位置时,PA+PB 最小 （3）综合运用数学AB ·E模型和勾股定理解决问题.设计意图引导学生将立体图形转化为平面图形,利用“最短路径”数学模型来解决问题.训练学生(de)思维,提高分析问题(de)能力,培养模型思想.题组（二）1.如图,在棱长为1(de)立方体(de)右下角A 处有一只蚂蚁,欲从立方体(de)侧面爬行去吃右上角B 处(de)食物,问怎样爬行路径最短,最短路径是多少2.如图,圆锥(de)底面半径为1,母线长为4,一只蚂蚁要从底面圆周上一点B 出发,沿圆锥侧面爬行一周再回到点B,问它爬行(de)最短路线是多少（五）反思小结 本节课我学会了……设计意图引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结：1、解决上述问题运用了什么知识（知识）2、在解决问题(de)过程中运用了什么方法（方法）3、运用上述方法(de)目(de)是什么体现了什么样(de)数学思想（数学思想）（六）拓展提升如图,在长为5、宽为3、高为4(de)长方体(de)右下角A 处有一只蚂蚁,欲从长方体(de)外表面爬行去吃右上角B 处(de)食物,问怎样爬行路径最短,最短路径是多少 AB C B A设计意图思维变式训练,提升学生(de)思维层次,让学生学会思考,学会提问.五、效果分析本节课(de)活动设计与评测练习有利于教学目标(de)实现,很好(de)突出了重点,突破了难点.具体标志如下：1.学生能够把“将军饮马”(de)问题转化为数学中(de)“点、线”问题,并利用轴对称(de)性质将其转化为“两点之间线段最短”(de)问题.2.能够抽象出“最短路径问题”数学模型,在探索最算路径(de)过程中,体会轴对称(de)“桥梁”作用,感悟转化思想.3、能从一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景(de)复杂题目中抽象出“最短路径”问题(de)基本数学模型.六、观评记录（一）生活情境创设本节可通过创设“将军饮马”这样一个具有思考性(de)故事情境,激发了学生(de)学习兴趣,迅速把学生引入本节课(de)教学问题之中,为接下来(de)进一步学习奠定基础,真正体现课标理念中数学活动(de)深入有效开展.（二）任务层次结构本设计将教学任务设计成若干个教学活动.除了考虑活动本身(de)设计之外,还充分考虑子活动之间坡度、连贯、衔接等特点,过渡自然、思路清晰,能5A够提供思考和发现(de)时间和空间.这种层次结构帮助学生保持思维(de)高度集中,避免学生因活动脱节造成思路混乱；有利于呈现出高认知水平(de)教学任务,避免低水平(de)模仿和重复训练；能够根据教师构建(de)“脚手架”一步步完成整个“教学工程”(de)任务,避免形成局部效果之和远小于整体教学要求.教师上课思路清晰,目(de)明确；教学活动各部分时间安排合理；教学活动各部分联系比较紧密；学生能从整体上分析问题、解决问题.（三）数学思想方法渗透新课标中明确提到数学思想方法(de)显性要求.我们在平时(de)教学过程中经常侧重于解题训练,而忽略新内容学习中数学思想方法(de)训练,这靠多做题是无法实现(de),学生往往学得又累又不得法.本节课数学思想方法(de)挖掘与呈现主要体现为：能够将新旧知识进行有效联系；学生能将一个复杂(de)问题转化为若干个简单(de)问题；教师在教学过程中经常渗透思想方法；在教师(de)引导下,自己基本能够独立完成新内容(de)学习；能够运用学过(de)方法找到解决新问题(de)思路.（四）数学交流(de)机会本节课(de)交流方式主要体现为：在课堂学习过程中有表达自己想法(de)机会；老师在课堂教学过程中注意照顾到不同层次(de)学生；在与同学交流(de)过程中能够获得启发；针对老师和同学提供(de)多种解题方法,能够选择适合自己(de)方法；教师能够进行详细深入(de)点评；学生主动参与学习活动,相互合作、共同探究学习问题,乐于交流分享成绩；注意力集中,学习积极主动,与老师配合默契；有数学表达(de)愿望；给学生交流提供充足(de)时间.（五）数学应用(de)深度课堂中(de)数学应用主要表现为：能够从生活中提炼出数学问题并加以解决；了解数学知识(de)来龙去脉,寻找其中与数学有关(de)因素；能从数学现实中主动获取知识；学生在教师(de)引导下发挥了学习数学(de)潜力；在教学中能够照顾到各个层次(de)学生；学生有思考问题和表现想法(de)机会.七、课后反思本节课我用数学故事“将军饮马”引入课题,引导学生“两点之间线段最短”和轴对称(de)性质逐步从生活问题中抽象概括出“最短路径问题”数学模型.让学生经历将实际问题抽象为数学问题(de)线段和最小问题,再利用轴对称将线段和最小(de)问题转化为“两点之间,线段最短”问题.在建构模型(de)过程中,我注重学生学习学习方法(de)而培养和数学思想方法(de)渗透；在抽象出数学模型(de)基础上,进一步引导学生分析模型,增强了学生(de)模型思想；接下来通过两个典型例题及两个对应题组(de)联系,更是有利于学生发现问题(de)实质,增强了学生从复杂(de)图形中发现基本图形(de)能力.总之,本节课(de)教学注重模型归类,多题一模,训练学生归纳能力,培养学生数学建模能力.在本节课(de)教学中,我设计整合了一些以三角形、四边形、圆、函数、立体图形为背景(de)最短路径问题,有利于学生知识(de)整体建构,大大提高了复习效率.在设计题组时,专门设计了备用题组,充分考虑到不同层次学生(de)需要,既让学有余力(de)学生得到充分(de)发展,又给解题慢(de)学生留下了充足(de)思考空间.在本节课(de)教学活动中,学生在教师(de)引导下认真倾听、积极思考、同伴互助,很好(de)完成了本节课(de)教学任务.。

最短路径问题——将军饮马问题及延伸湖南省永州市双牌县茶林学校熊东旭最短路径问题教学内容解析：本节课的主要内容是利用轴对称研究某些最短路径问题，最短路径问题在现实生活中经常遇到，初中阶段，主要以“两点之间，线段最短”“三角形两边之和大于第三边”为知识基础，有时还要借助轴对称、平移变换进行研究。

本节课以数学史中的一个经典故事----“将军饮马问题”为载体开展对“最短路径问题”的课题研究，让学生经历将实际问题抽象为数学的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小问题转化为“两点之间、线段最短”的问题。

教学目标设置：1、能利用轴对称解决最短路径问题。

2、在解题过程能总结出解题方法，，能进行一定的延伸。

3、体会“轴对称”的桥梁作用，感悟转化的数学思想。

教学重点难点：重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“两点之间、线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

学情分析：1、八年级学生的观察、操作、猜想能力较强，但演绎推理、归纳和运用数学意识的思想比较薄弱，自主探究和合作学习能力也需要在课堂教学中进一步引导。

此年龄段的学生具有一定的探究精神和合作意识，能在一定的亲身经历和体验中获取一定的数学新知识，但在数学的说理上还不规范，集合演绎推理能力有待加强。

2、学生已经学习过“两点之间，线段最短。

”以及“垂线段最短”。

以及刚刚学习的轴对称和垂直平分线的性质作为本节知识的基础。

教学条件分析:在初次解决问题时，学生出现了多种方法，通过测量，发现利用轴对称将同侧两点转化为异侧两点求得的线段和比较短；进而利用PPT动画演示，实验验证了结论的一般性；最后通过逻辑推理证明。

教具准备：直尺、ppt教学过程：环节教师活动学生活动设计意图一复习引入1.【问题】：看到图片，回忆如何用学过的数学知识解释这个问题？2.这样的问题，我们称为“最短路径”问题。

1、两点之间，线段最短。

2、两边之和大于第三边。

从学生已经学过的知识入手，为进一步丰富、完善知识结构做铺垫。

初中数学八年级上册《最短路径问题》教案、教学设计模板一、教学目标1.目标：能利用轴对称解决简单的最短路径问题，体会图形的变化在解决最值问题中的作用；感悟转化思想。

2.能利用轴对称将线段和最小问题转化为“连点之间，线段最短”问题；在探索最算路径的过程中，体会轴对称的“桥梁”作用，感悟转化思想。

重点：利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题。

难点：如何利用轴对称将最短路径问题转化为线段和最小问题。

二、教学过程教学内容与教师活动学生活动设计意图一、创设情景引入课题师：前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中，线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短”等的问题，我们称它们为最短路径问题．现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题，本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”．。

（板书）课题学生思考教师展示问题，并观察图片，获得感性认识。

从生活中问题出发，唤起学生的学习兴趣及探索欲望。

二、自主探究合作交流建构新知追问1：观察思考，抽象为数学问题这是一个实际问题，你打算首先做什么？活动1：思考画图、得出数学问题将A，B两地抽象为两个点，将河l抽象为一条直线．动手画直线为学生提供参与数学活动的生活情境，培养学生的把生活问题转化为数学问题的追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思，并把它抽象为数学问题吗？师生活动：学生尝试回答，并互相补充，最后达成共识：（1）从A地出发，到河边l饮马，然后到B地；（2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B连接起来的两条线段的长度之和，就是从A地到饮马地点，再回到B地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点．设C为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：当点C在l的什么位置时，AC与CB的和最小（如图）。

观察口答动手连线观察口答独立思考合作交流能力.经历观察-画图-说理等活动，感受几何的研究方法，培养学生的逻辑思考能力.达到轴对称知识的学以致用lAB ′CB强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”活动2：尝试解决数学问题问题2：如图，点A ，B 在直线l 的同侧，点C 是直线上的一个动点，当点C 在l 的什么位置时，AC 与CB 的和最小？追问1你能利用轴对称的有关知识，找到上问中符合条件的点B ′吗？B。

勾股定理最短路径教学反思本节课是公式课，探索勾股定理和利用数形结合的方法验证勾股定理。

勾股定理是在学生已经掌握了直角三角形的有关性质的基础上进行学习的，它揭示了一个三角形三条边之间的数量关系，它是解直角三角形的主要根据之一，是直角三角形的一条非常重要的性质，也是几何中最重要的定理之一，它将形与数密切联系起来，在数学的发展中起着重要的作用，在现实世界中也有着广泛的作用.由此可见，勾股定理是对直角三角形进一步的认识和理解，是后续学习的基础。

因此，本节内容在整个知识体系中起着重要的作用。

针对八年级学生的知识结构和心理特征，本节课的设计思路是引导学生‘做’数学”，选用“引导探究式”教学方法，先由浅入深，由特殊到一般地提出问题，接着引导学生通过实验操作，归纳验证，在学生的自主探究与合作交流中解决问题，这样既遵循了学生的认知规律，又充分体现了“学生是数学学习的主人、教师是数学学习的组织者、引导者与合作者”的教学理念.通过教师引导，学生动手、动脑，主动探索获取新知，进一步理解并运用归纳猜想，由特殊到一般，数形结合等数学思想方法解决问题。

同时让学生感悟到：学习任何知识的最好方法就是自己去探究。

本节课使用的教学流程就是：创设情境→唤起兴趣→明确提出问题→故事场景→辨认出新知→深入细致探究→网络信息→规律悖论→数字检验→积木效果→课堂教学应用领域→开拓提升→总结小结→整体认知等环节共六个活动去顺利完成教学任务的。

在这一过程中，使学生经历了科学知识的出现、构成和发展的过程，使学生体会至观测、悖论、概括、检验的思想和数形融合的思想，从而更好地认知勾股定理，应用领域勾股定理，发展学生应用领域数学的意识与能力，进一步增强了学生努力学习数学的心愿和信心。

本节课中的学生对用地砖铺成的地面的观察发现，计算建立在直角三角形斜边上的正方形面积，对直角三角形三边关系的发现，自我小结等，都给学生提供了充分的表达和交流的机会，发展了语言表达和概括能力，增强了合作意识。