2 圆的对称性
一、选择题（共10小题）
1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）
））（
3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少有一个点，那么⊙A的半径r的取值范围是（）
9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O 中，直径AB 把⊙O 分成上、下两个半圆，点C 是上半圆上一个动点（C 与点A 、B 不重合），过点C 作弦CD ⊥AB ，垂足为E ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，设CE=x ，AP=y ，下列图象中，最能刻画y 与x 的函数关系的图象是（ ）
10．（2013?合肥模拟）如图，
是半径为1的圆弧，△AOC 为等边三角形，D 是上的一动点，则四边形AODC
的面积s 的取值范围是（ ）
≤s ≤
＜s ≤
≤s ≤
＜s ＜
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
12．一条弦AB 分圆的直径为3cm 和7cm 两部分，弦和直径相交成60°角，则AB= _________ cm ．
13．若⊙O 的半径为13cm ，圆心O 到弦AB 的距离为5cm ，则弦AB 的长为 _________ cm ．
14．已知点P 是半径为5的⊙O 内一定点，且PO=4，则过点P 的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是 _________ ．
15．若⊙A 的半径为5，圆心A 的坐标为（3，4），点P 的坐标是（5，8），则点P 在⊙A _________ ．
16．在下图所列的图形中选出轴对称图形： _________ ．
17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是_________．18．以已知点O为圆心，可以画_________个圆．
19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=_________．
20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=_________度．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．
23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．
24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，
求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，
（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．
28．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于点H，若∠D=30°，CH=1cm，求弦AB的长．
29．已知：等腰△ABC内接于半径为6cm的⊙O，AB=AC，点O到BC的距离OD的长等于2cm．求AB的长．30．如图，在⊙O内有折线OABC，其中OA=7，AB=12，∠A=∠B=60°，求BC的长．
参考答案与试题解析
一、选择题（共10小题）
1．（2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与坐标原点O重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120°刻度线的一个端点P、Q，线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（）
），，，
×
OQ=2cm
，
）
）
AD=BD=AB=
）
3．下列说法：
①若∠1与∠2是同位角，则∠1=∠2
②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合
③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形
④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形
⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧，
B
BOC=∠AOB=AOC=，即可求出
BOC=∠AOB=，
AOC=，
，
AB=2AC=2Rsin，
5．已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作⊙A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外
AC===3
OP==5
9．（2010?昌平区一模）如图，在半径为1的⊙O中，直径AB把⊙O分成上、下两个半圆，点C是上半圆上一个动点（C与点A、B不重合），过点C作弦CD⊥AB，垂足为E，∠OCD的平分线交⊙O于点P，设CE=x，AP=y，下列图象中，最能刻画y与x的函数关系的图象是（）
B
（
10．（2013?合肥模拟）如图，是半径为1的圆弧，△AOC为等边三角形，D是上的一动点，则四边形AODC的面积s的取值范围是（）
≤s≤
B
＜s≤≤s≤＜s＜
，得其面积是；要求最大面积，只需再进一步求得三角形的面积，即是，则最大．
；
，则最大面积是+=
的取值范围是
二、填空题（共10小题）（除非特别说明，请填准确值）
11．牛牛和壮壮在沙滩上玩游戏，需要画一个圆，而他们手中没有任何工具，请你帮他们想一个办法，怎样可以得到一个圆？
12．一条弦AB分圆的直径为3cm和7cm两部分，弦和直径相交成60°角，则AB=2cm．
OM=cm
OM=
AM===
．
13．若⊙O的半径为13cm，圆心O到弦AB的距离为5cm，则弦AB的长为24cm．
14．已知点P是半径为5的⊙O内一定点，且PO=4，则过点P的所有弦中，弦长可取到的整数值共有的条数是8条．
15．若⊙A的半径为5，圆心A的坐标为（3，4），点P的坐标是（5，8），则点P在⊙A内部．AP==2
16．在下图所列的图形中选出轴对称图形：②③④⑥．
17．作圆，使这些圆都经过线段AB的两个端点A和B，这些圆的圆心所组成的图形是线段AB的垂直平分线．
18．以已知点O为圆心，可以画无数个圆．
19．如图，AB为⊙O的直径，AD∥OC，∠AOD=84°，则∠BOC=48°．
A=（
20．如图，⊙O的弦AB、半径OC延长交于点D，BD=OA，若∠AOC=105°，则∠D=25度．
三、解答题（共10小题）（选答题，不自动判卷）
21．已知：AB交⊙O于C、D，且AC=BD．请证明：OA=OB．
22．如图，AB是⊙O的直径，CD是弦，CE⊥CD交AB于E，DF⊥CD交AB于F，求证：AE=BF．
23．如图，⊙O中，AB是直径，半径CO⊥AB，D是CO的中点，DE∥AB，求证：=2．
OD=OC=
OC=OE
=2
24．已知⊙O的半径为12cm，弦AB=16cm．
（1）求圆心O到弦AB的距离；
（2）如果弦AB的长度保持不变，两个端点在圆周上滑动，那么弦AB的中点形成什么样的图形？
）解：
AB=8cm
OC===4
cm
4
cm
25．如图，△ABC的三个顶点在⊙0上，AD⊥BC，D为垂足，E是的中点，求证：∠OAE=∠EAD．（写出两种以上的证明方法）
OAB=（
∠
是
26．如图，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，已知AE=1cm，EB=5cm，∠DEB=60°，（1）求CD的长；
（2）若直线CD绕点E顺时针旋转15°，交⊙O于C、D，直接写出弦CD的长．
OH=HD=
cm
HD=
DC=2DH=2
cm
HD=（
DC=2DH=2
cm
27．已知：如图，在⊙O中，∠A=∠C，求证：AB=CD（利用三角函数证明）．
圆的对称性（1） 一、学习目标 1、经历探索圆的中心对称性及有关性质的过程 2、理解圆的中心对称性及有关性质 3、会运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 重点：理解圆的中心对称性及有关性质 难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题 二、知识准备： 1、什么是中心对称图形? 2、我们采用什么方法研究中心对称图形? 三、学习内容： 1、按照下列步骤进行小组活动： ⑴在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O ' ⑵在⊙O 和⊙O '中,分别作相等的圆心角∠AOB 、∠'''B O A ，连接AB 、''B A ⑶将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O '重合（如图） ⑷固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA '重合 在操作的过程中，你有什么发现，请与小组同学交流 _______________________________________________ 2、上面的命题反映了在同圆或等圆中，圆心角、弧、弦的关系，对于这三个量之间的关系，你还有什么思考？请与小组同学交流. 你能够用文字语言把你的发现表达出来吗? 3、圆心角、弧、弦之间的关系： 在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等 4、试一试：如图，已知⊙O 、⊙O '半径相等，AB 、CD 分别是⊙O 、⊙O '的两条弦填空： （1）若AB=CD ，则 ， （2）若AB= CD ，则 ， （3 '，则 ， 5么如何来刻画弧的大小呢？ 弧的大小：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等 例1、如图，AB 、AC 、BC 都是⊙O 的弦，∠AOC=∠BOC ∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ ’ ’ C ︵ ︵
圆的对称性 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形，利用勾股定理求解。 解： 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O中，弦AB所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB的距离OC为（） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果，则AE的长为（） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O的弦AB垂直于直径MN，C为垂足，若OA＝5cm，下面四个结论中可能成立的是（） 第5题
第8题 A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 8. 如图，∠A ＝30°，则B ＝___________。 9. 过⊙O 内一点M 的最长的弦为6cm ，最短的弦长为4cm ，则OM 的长为___________。 10. ⊙O 的半径为10cm ，弦AB ∥CD ，AB ＝12cm ，CD ＝16cm ，则AB 和CD 的距离为___________。 11. ⊙O 的直径AB 和弦CD 相交于点E ，已知AE ＝1cm ，EB ＝ 5cm ，∠DEB ＝60°， 则CD ＝___________。 三. 解答题。 12. 如图，⊙O 的直径为4cm ，弦AB 的长为，你能求出∠OAB 的度数吗？写出你的计算过程。 13. 已知，⊙O 的弦AB 垂直于直径CD ，垂足为F ，点E 在AB 上，且EA ＝EC 。 求证： 14. 如图，AB 是⊙O 的弦，AB 长为8，P 是⊙O 上一个动点（不与A 、B 重合），过点O 作OC⊥AP 于点C ，OD⊥PB 于点D ，则CD 的长是怎么变化的？请说明理由。 15. 如图，⊙O 上有三点A 、B 、C 且AB ＝AC ＝6，∠BAC ＝120°，求⊙O 的半径。 第11题
2019版九年级数学下册27.1圆的认识27.1.2圆的对称性 2导学案新版华东师大版 年级九学科数学课型新授授课人 学习内容圆的认识--圆的对称性 学习目标1、利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。 2、能运用垂径定理及其推论解决问题。 3、培养善于从实验中获取知识的科学的方法。 学习重点利用圆的轴对称性与逻辑推理得出垂径定理及其推论。 学习难点能运用垂径定理及其推论解决问题。 导学过程复备栏【温故互查】 1.圆是什么对称图形？ 2.在同圆或等圆中，圆心角，弧，弦有怎样的关系？ 【设问导读】 如图，如果在圆形纸片上任意画一条垂直于直径CD的弦AB，垂足为P，再 将纸片沿着直径CD对折，比较AP与PB，AC与CB的大小，你能发现什么 结论？ 已知，在⊙O中，CD是直径，AB是弦，CD⊥AB,垂足为P, 求证：AP=BP, AC=CB,AD=BD 证明：连结CA、CB、OA、OB,则 垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧 1、在“垂径定理：垂直于弦的直径弦，并且平分弦所对的两条”中， “垂直于弦的直径”这句话包含哪几个条件： 得到哪几个结论： 如图∵ ∴
2、 平分弦的直径弦，并且平分弦所对的两条 如图∵ ∴ 3、平分弧的直径这条弧所对的弦 如图∵ ∴ 总结：以上每个定理都包含哪几个关系：①，② ③，④，⑤ 这5个关系由其中任意2个关系，即可得出另外3个关系。 【自学检测】 1．判断正误： （1）直径是圆的对称轴．（） （2）平分弦的直线垂直于弦．（） （3）平分弦的直径垂直于弦．（） （4）弦的垂直平分线必定经过圆心。（） 2.如图，在⊙O中，⊙O的半径长为5cm，OC⊥AB于C，OC=3cm，求弦AB 的长． 【巩固训练】 4、如图，若⊙O的半径为5，弦AB长为8，求拱高CD． 【拓展延伸】 这是一个圆形的零件，你能告诉我，它的圆心的位置吗？你有什么办法？如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！
轴对称图形复习导学案 部门： xxx 时间： xxx 整理范文，仅供参考，可下载自行编辑
学科导学案 教师:学生: 年级八日期: 12-07-28 星期:时段:10:00-12:00
知识点二：轴对称 把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称。这条直线就是对称轴，两个图形中的对应点<即两个图形重合时互相重叠的点）叫做对称点。 例2：标出下列图形中的对称点 知识点三：关于某条直线成轴对称的图形的性质特征 1、成轴对称的两个图形全等．如果把一个轴对称图形沿对称轴分成两个图形，这两个图形全等，并且也是成轴对称的． 2、轴对称图形和关于直线成轴对称有什么区别和联系？ 区别： ①轴对称是指两个图形沿某直线对折能够完全重合，而轴对称图形是指一个图形的两个部分沿某直线对折能完全重合。 ②轴对称是反映两个图形的特殊位置、大小关系；轴对称图形是反映一个图形的特性。 联系： ①两部分都完全重合，都有对称轴，都有对称点。 ②如果把成轴对称的两个图形看成是一个整体，这个整体就是一个轴对称图形；如果把一个轴对称图形的两旁的部分看成两个图形，这两个部分图形就成轴对称。 常见的轴对称图形有：圆、正方形、长方形、菱形、等腰梯形、等腰三角形、等边三角形、角、线段、相交的两条直线等。
知识点四：垂直平分线的定义： 引入：如图：△ABC和△A′B′C′关于直线MN对称，点A′、B′、C′分别是点A、B、C的对称点，线段AA′、BB′、CC′与直线MN有什么关系？ <1）设AA′交对称轴MN于点P，将△ABC和△A′B′C′沿MN折叠后，点A与A′重合吗？ 于是有PA＝，∠MPA＝＝度 <2）对于其他的对应点，如点B、B′，C、C′也有类似 的情况吗？ <3）那么MN与线段AA′，BB′，CC′的连线有什么关 系呢？ 归纳：经过线段并且这条线段的直线，叫做这条线段的垂直平分线 知识点五：线段垂直平分线的性质 <1）线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的与这条线段的距离思考：反过来，如果PA＝PB，那么点P是否在线段AB的垂直平分线上？ <2）与一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的上． 例3：、如下图，AD⊥BC，BD=DC，点C在AE的垂直平分线上，AB、AC、CE的长度有什么关系？AB+BD与DE有什么关系？ 例4、△ABC中，DE是AC的垂直平分 线，AE＝3cm，△ABD的周长为13cm，求 △ABC的周长。 知识点六：轴对称的性质以及轴对称图形：
三年级数学下册轴对称图形练习题 一、填空。 1、如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形就是（），折痕所在的直线叫做（）。 2、圆的对称轴有（）条，半圆形的对称轴有（）条。 3、在对称图形中，对称轴两侧相对的点到对称轴的（）。 4、（）三角形有三条对称轴，（）三角形有一条对称轴。 5、正方形有（）条对称轴，长方形有（）条对称轴，等腰梯形有（）条对称轴。 6、如果把一个图形沿着一条直线折过来，直线两侧部分能够完全重合，那么这个图形就叫做___________，这条直线叫做________． 7、对称轴_______连结两个对称点之间的线段． 8、宋体的汉字“王”、“中”、“田”等都是轴对称图形，?请再写出三个这样的汉字：_________． 9、长方形有_____条对称轴，正方形有_____条对称轴，圆有_____条对称轴． 10、如图是一种常见的图案，这个图案有_____条对称轴，请在图上画出对称轴。
11、右图是从镜中看到的一串数字，这串数字应为（） 12、下列图形中是轴对称图形的在括号里画“√”。 二、选择题。 1、下列英文字母中，是轴对称图形的是（） A、S B、H C、P D、Q 2、下列各种图形中，不是轴对称图形的是（） 3、下图是一些国家的国旗，其中是轴对称图形的有（） 4、下列图形中：角、线段、直角三角形、等边三角形、长方形，其中一定是轴对称图形的有（） A、2个 B、3个 C、4个 D、5个
5、下列图形中，对称轴最多的是（）。 A、等边三角形 B、正方形 C、圆 D、长方形 6、下面不是轴对称图形的是（）。 A、长方形 B、平行四边形 C、圆 D、半圆 7、要使大小两个圆有无数条对称轴，应采用第（）种画法。 8、图中的图形中是常见的安全标记，其中是轴对称图形的是()
M O B A C P O B D C 新苏科版九年级数学上册2-2圆的对称性（2）导学案 【知识扫描】 1.圆既是 图形，又是 图形. 2.通过圆的轴对称性探究垂径定理： 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的（两条）弧 符号语言： ∵AB 是直径（或AB 经过圆心O ） 且AB ⊥CD ∴CP=DP ， BC= BD ，AC= AD. 3.友情提醒: ①由圆的半径、弦的一半和圆心到弦的垂线段所构成的直角三角形是解决有关圆计算问题的基本图形，经常结合垂径定理得到直角三角形，用勾股定理建立方程来解题 ②常用的辅助线:引圆的半径及过圆心作弦的垂线段(弦心距) 【基础演练】 1. 下列说法中不正确的是 ( ) A.圆是轴对称图形 B.圆的任意一条直径所在的直线都是圆的对称轴 C.圆的任一直径都是圆的对称轴 D.经过圆心的任意直线都是圆的对称轴 2.如图,⊙O 的直径CD 与弦AB 相交于点M,只要再添加一个条件: ,就可得到M 是AB 的中点.
B E D C A O E D C A O P B A O P O 3.在圆中有一条长为16cm 的弦,圆心到弦的距离为6cm,该圆的直径的长为 ________cm. 4.如图,在⊙O 中,直径AB=10.弦CD ⊥AB.垂足为E,OE=3.求弦CD 的长. 5.如图,若AB 是⊙的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，那么下列 结论中错误的是 （ ） A.CE=DE B. BC= BD C.∠BAC=∠BAD D.AC >AD 【能力提高】 6.⊙O 的半径为5，弦AB ∥CD ，若AB=6，CD=8，则弦AB 和弦CD 间的距离EF=_____________. 7.如图,⊙O 的直径为10,弦AB 的长为8,P 是AB 上的一个动点.则OP 的取值范围_____________. 第7题 第8题
C A P O D C E O A D B 3-2圆对称性练习题 一．填空题 1. 如图所示，OA 是圆O 的半径，弦CD ⊥OA 于点P ，已知OC=5，OP=3，则弦CD=____________________。 2. 如图所示，在圆O 中，AB 、AC 为互相垂直且相等的两条弦，OD ⊥AB ，OE ⊥AC ，垂足分别为D 、E ，若AC=2cm ，则圆O 的半径为____________cm 。 3. 如图所示，AB 是圆O 的直径，弦CD ⊥AB ，E 为垂足，若AB=9，BE=1，则CD=_________________。 1题 2题 3题 4. 如图所示，在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝10，AC ＝8，以AC 为直径作圆与斜边交于点P ，则BP 的长为________________。 5. 如图所示，四边形ABCD 内接于圆O ，∠BCD=120°，则∠BOD=____________度。 6. △ABC 中，∠C=90°，AB=cm 4，BC=cm 2，以点A 为圆心，以cm 5.3长为半径画圆，则点C 在圆A___________，点B 在圆A_________； 7. 圆的半径等于cm 2，圆内一条弦长23cm ，则弦的中点与弦所对弧的中点的距离等于_____________； 8. 在△ABC 中，∠C=90°，AC=BC=4cm ，D 是AB 边的中点，以点C 为圆心，4cm 为半径作圆。则A 、B 、C 、D 四点在圆内有_____________。 9. 半径为5cm 的圆O 中有一点P ，OP=4，则过P 的最短弦长_________，最长弦是__________， 二．选择题 1. 如图所示，圆O 的直径为10，弦AB 的长为6，M 是弦AB 上的一动点，则线段的OM 的长的取值范围是（ ） A. 3≤OM ≤5 B. 4≤OM ≤5 C. 3＜OM ＜5 D. 4＜OM ＜5 4题 2. 下列说法中，正确的是（ ） A. 到圆心的距离大于半径的点在圆内 B. 圆的半径垂直于圆的切线 C. 圆周角等于圆心角的一半 D. 等弧所对的圆心角相等 3. 若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于（ ） A. 45° B. 90° C. 135° D. 270° 4. 如图所示，A 、B 、C 三点在圆O 上，∠AOC=100°，则∠ABC 等于（ ） A. 140° B. 110° C. 120° D. 130°
0’ O 年级 九 班级 学科 数学 课题 3.2圆的对称性2 第 课时总 编制人 审核人 使用时间 第 周星期 使用者 课堂 流程 环节 具 体 内 容 学法 指导 学 习 目 标 学啥 我知情 重点 难点 我知晓 1、圆的旋转不变性，圆心角、弧、弦之间相等关系定理． 2、重点：利用圆的旋转不变性研究圆心角、弧、弦之间相等关系的定理． 3、难点：理解相关定理中“同圆”或“等圆”的前提条件． 请把关键词标出来 自 主 学 习 温 故 能 知 新 一、 旧知回顾 1、圆的轴对称性：圆是___________________，对称轴是 _________________________。 2、垂径定理：____________________________________。 3、垂径定理的逆定理：__________________________________。 二、新知学习： 探究一 如下图，有两个半径相同的圆，请问：它们能重合吗？如果能重合，请将它们的圆心固定在一起。 然后将其中一个圆旋 转任意一个角度，这时两个圆还重合吗 ? 利用旋转的方法我们得到：一个圆绕着它的圆心旋转任意一个角度，都能与原来的图形重合。 结论：圆是______________， 对称中心是_________。 要善于从学过的知识中找到新知识学习的根据和基础 神 木 县 第 五 中 学 导 学 案
A B C D O E 课 堂 练 习 课 堂 练 习 堂 堂 清 四、当堂检测： 1、1．下列命题中，正确的有（ ） A ．圆只有一条对称轴 B ．圆的对称轴不止一条，但只有有限条 C ．圆有无数条对称轴，每条直径都是它的对称轴 D ．圆有无数条对称轴，经过圆心的每条直线都是它的对称轴 2、如图，AB 、DE 是⊙O 的直径，弦AC ∥DE ，请指出图中相等的弧和相等的弦 3、如图，AB 、CD 、EF 都是⊙O 的直径，且∠1=∠2=∠3，弦AC 、EB 、DF 是否相等？为什么？ 课堂评价 及教后反思
圆的对称性 主要内容： 1. 圆是轴对称图形，也是中心对称图形。 经过圆心的直线是对称轴。 圆心是它的对称中心。 2. 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它们所对的弧相等，所对的弦也相等。 推论：在同一个圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等。 如图，用几何语言表示如下：⊙O中， （1）∵∠AOB＝∠A'OB' （3）∵AB＝A'B' 5. 直径垂直于弦的性质（垂径定理） 垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。 如图：几何语言 【典型例题】 例1. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，以点C为圆心，CA为半径的圆与AB、BC分别交于点D、E。求AB、AD的长。 分析：求AB较简单，求弦长AD可先求AF。 解： 例2. 如图，⊙O中，弦AB＝10cm，P是弦AB上一点，且PA ＝4cm，OP＝5cm，求⊙O的半径。 分析：⊙O中已知弦长求半径，通常作弦心距构造直角三角形， 利用勾股定理求解。 解：
第8题 例3. 如图“五段彩虹展翅飞”是某省利用国债资金修建的横跨渡江的琼洲大桥已正式通车，该桥的两边均有五个红色的圆拱，最高的圆拱的跨度为110米，拱高为22米，求这个圆拱所在圆的直径。 分析：略 解： 【模拟试题】一. 选择题。 1. ⊙O 中，弦AB 所对的弧为120°，圆的半径为2，则圆心到弦AB 的距离OC 为（ ） A. B. 1 C. D. 2. 如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为E ，如果，则AE 的 长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 3. 如图，⊙O 的弦AB 垂直于直径MN ，C 为垂足，若OA ＝5cm ，下面四个结论中可能成 立的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列命题中正确的是（ ） A. 圆只有一条对称轴 B. 平分弦的直径垂直于弦 C. 垂直于弦的直径平分这条弦 D. 相等的圆心角所对的弧相等 5. 如图，已知AD ＝BC ，则AB 与CD 的关系为（ ） A. AB ＞CD B. AB ＝CD C. AB ＜CD D. 不能确定 二. 填空题。 6. 半径为6cm 的圆中，有一条长的弦，则圆心到此弦的距离为___________cm 。 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知EF=CD=16厘米，则球的半径为 厘米． 第5题 第11题
2圆的对称性 一、选择题（共io小题） 1. （2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为4cm，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与 坐标原点0重合，零刻度线在x轴上），连接60°和120 ■刻度线的一个端点P、Q,线段PQ交y轴于点A，则点A的坐标为（） A. （-1，. 1） B. （0，. '；） C. （ :■；，0） D. （1，「；） 2 ?已知O O中，弦AB长为；.■；，OD丄AB于点D，交劣弧AB于点C，CD=1，则O O的半径是（） A . 1 B . 2 C .3 D .4 3.下列说法： ①若/ 1与/ 2是同位角, 贝U / 1 = / 2 ②等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④等腰梯形是轴对称图形，但不是中心对称图形 ⑤平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（) A . 0 B . 1 C . 2 D .3 4. （2013?邵东县模拟）O O的半径为R，若/ AOB=a，则弦AB的长为（) A . al B . 2Rsin a C . a D .Rsin a SRsin— 5 ?已知矩形ABCD的边AB=3，AD=4，如果以点A为圆心作O A，使B，C，D三点中在圆内和在圆外都至少 有个点，那么O A的半径r的取值范围是（) A . 3v r v 5 B . 3v r0 C . 4v r屿D.无法确定 6 .已知圆的半径为5cm，圆心到弦的距离为4cm，那么这条弦长是（) A . 3cm B . 6cm C . 8cm D . 1 0cm D.不能确定 7?半径为5的O0,圆心在原点O,点P (- 3，4）与O O的位置关系是（ 8?—个点到圆周的最小距离为4cm，最大距离为9cm，则该圆的半径是（A . 2.5 cm 或6.5 cm B . 2.5 cm C . 6.5 cm ) D . 5 cm 或13cm
A D Q P 5．1.1圆（第1课时） 【自主学习】 （一） 新知导学 1．圆的运动定义：把线段OP 的一个端点O ，使线段OP 绕着点O 在 旋转 ，另一端点P 运动所形成的图形叫做圆，其中点O 叫做 ，线段OP 叫做 .以O 为圆心的圆记作 . 2.圆的集合定义：圆是到 的点的集合. 3．点与圆的位置关系：如果⊙O 的半径为r ，点P 到圆心的距离为d ，那么 点P 在圆内? ； 点P 在圆上? ； 点P 在圆外? . 【合作探究】 1.如图，已知：点P 、Q ，且PQ=4cm. （1）画出下列图形： ①到点P 的距离等于2cm 的点的集合； ②到点Q 的距离等于3cm 的点的集合； (2)在所画图中，到点P 的距离等于2cm ；且到点Q 的距离等于3cm 的点有几个？请在图中将它们画出来. (3)在所画图中，到点P 的距离小于或等于2cm ；且到点Q 的距离大于或等于3cm 的点的集合是怎样的图形？把它画出来. 【自我检测】 1.到定点O 的距离为2cm 的点的集合是以 为圆心， 为半径的圆. 2.正方形的四个顶点在以 为圆心，以 为半径的圆上. 3.矩形ABCD 边AB=6cm,AD=8cm ， (1)若以A 为圆心，6cm 长为半径作⊙A ，则点B 在⊙A______，点C 在⊙A_______，点D 在 ⊙A________，AC 与BD 的交点O 在⊙A_________； (2)若作⊙A ，使B 、C 、D 三点至少有一个点在⊙A 内，至少有一点在⊙A 外，则⊙A 的半径r 的取值范围是_______. 4.一个点与定圆最近点的距离为4cm, 与最远点的距离是9cm ，则圆的半径是 5.如图，已知在⊿ABC 中，∠ACB=900 ,AC=12,AB=13,CD ⊥AB,以C 为圆心，5为半径作⊙C ， 试判断A,D,B 三点与⊙C 的位置关系 6.如左下图，一根长4米的绳子，一端拴在树上，另一端拴着 一只小狗.请画出小狗的活动区域. 7.已知：如右上图，△ABC ，试用直尺和圆规画出过A ，B ，C 三点的⊙O ． 8.△ABC 中,∠A=90°，AD⊥BC 于D ，AC=5cm ，AB=12cm ，以D 为圆心，AD 为半径作圆，则三个顶点与圆的位置关系是什么？画图说明理由. 9.如右图，(1)若点O 为⊙O 的圆心，则线段__________是圆O 的半径； 线段________是圆O 的弦，其中最长的弦是______； ______是劣弧；______是半圆． (2)若∠A =40°，则∠ABO =______，∠C =______，∠ABC =______． 10．已知：如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的弦，AB ，CD 的延长线交于E ，若AB =2DE ，∠E =18°，求∠C 及∠AOC 的度数． （一） 树 S 小狗 4m
圆的对称性（一）练习题 1．下列说法中正确的是( ) A ．等弦所对的弧相等 B ．等弧所对的弦相等 C ．圆心角相等，所对的弦相等 D ．弦相等，所对的圆心角相等 2．在 O 中，圆心角∠AOB ＝80°，圆心角∠COD ＝40°，那么下列说法中正确的是( ) A ．2A B CD = B ．2AB CD > C ．2AB C D < D ．AB ＝2CD 3．如图，C ，D 为半圆上的三等分点，则下列说法正确的有( ) ①AD =CD =BC ②∠AOD =∠DOC =∠BOC ③AD =CD =OC ④△AOD 沿OD 翻折与△C OD 重合 A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 4．若 O 内一条弦把圆周分为3∶1的两段弧，且 O 的半径为R ， 那么这条弦的长为( ) A ．R B ．2R C ．2R D ．3R 5．如图，O 是∠EPF 的平分线上的一点，以点O 为圆心的圆与 该角的两边所在直线分别交于点A ，B 和C ，D ， 则AB 与CD 的关系是( ) A ．AB ＝CD B ．AB ＞CD C ．AB ＜CD D ．无法确定 6．如图，AB ，CD 是 O 的直径，若弦DE ∥AB ， 则弦AC 与AE 的大小关系为__________． 7．如图，在 O 中弦AB =AC ，AD 是O 的直径，试判断弦BD 与CD 是否相等，并说明理由． 8．如图，在ABCD 中，以A 为圆心，以AB 为半径作圆交A D 于点F ，交BC 于点G ，BA 的延长线 交 A 于点E ，求证：EF FC = . 9．如图， AB ， CD 是 O 的弦，OC ，OD 分别交AB 于点E ，F ，且OE ＝OF ，请你来猜想一下， AC BD =吗？请加以说明．
圆的有关性质练习题 一、填空（每空2分，共30分） 1. 圆上各点到圆心的距离都等于 . 2. 圆是 对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的 ；圆又是 对称图形， 是它的对称中心. 3. 垂直于弦的直径平分 ，并且平分 ；平分弦（不是直径）的 垂 直于弦，并且平分 . 4. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距，两个圆周角中有一组 量 ，那么它们所对应的其余各组量都分别 . 5. 同弧或等弧所对的圆周角 ，都等于它所对的圆心角的 . 6. 直径所对的圆周角是 ，90°圆周角 所对的弦是 . 二、中考题精选（1～4题每题4分，5题10分，6题20分，共46分） 1.（08梅州）如图所示，圆O 的弦AB 垂直平分半径OC ．则四边形OACB 是（ ） A ．正方形 B.长方形 C ．菱形 D ．以上答案都不对 第 4题 第5题 2.（08福州）如图，AB 是⊙O 的弦，OC ⊥AB 于点C ，若AB=8cm ， OC ＝3cm ，则⊙O 的半径为 cm ． 3. (08荆门)如图，半圆的直径AB ＝ ． 4.如上图2,AB 是⊙O 的直径,弦CD ⊥AB,垂足为E,如果AB=20,CD=16, 那么线段OE 的长为【 】 A 、10 B 、8 C 、6 D 、4 5．（08山东青岛）如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB 于E ，如果AB ＝10，CD ＝8，那么AE 的长为 ． 6．（08呼伦贝尔）如图：AC ⌒ =CB ⌒ ，D,E 分别是半径OA 和OB 的中点，CD 与CE 的大小有什么关系？为什么？ 7．（08济南）已知：如图，∠PAC=30o ，在射线AC 上顺次截取AD =3cm ，DB =10cm ，以DB 为直径作⊙O 交射线AP 于E 、F 两点，求圆心O 到AP 的距离及EF 的长． 第2题 第3题 第1题 C B O E D A
1导学案新版人教版 年级九学科数学课型新授授课人学习内容圆的认识--圆的对称性 学习目标1、使学生知道圆是中心对称图形和轴对称图形，知道同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 2、能运用这些关系解决问题，培养学生善于从实验中获取知识的科学的方法。 学习重点由实验得到同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系。 学习难点运用同一个圆中，圆心角、弧、弦三者之间的关系解决问题。 导学过程复备栏【温故互查】 【设问导读】 1、要同学们画两个等圆，并把其中一个圆剪下，让两个圆的圆心重合，使得 其中一个圆绕着圆心旋转，可以发现，两个圆都是互相重合的。如果沿着任意 一条直径所在的直线折叠，圆在这条直线两旁的部分会完全重合。 由以上实验，同学们发现圆是中心对称图形吗？对称中心是哪一点？ 2、同一个圆中，相等的圆心角所对的弧、所对的弦的关系 实验1、将图形27.1.3中的扇形AOB绕点O逆时针旋转某个角度，得到图27.1.4 中的图形， 同学们可以通过比较前后两个图形，发现AOB ∠=， AB=，AB=。 实质上，AOB ∠确定了扇形AOB的大小，所以：
在同一个圆中，如果圆心角相等，那么它所对的弧相等，所对的弦相等。 3.在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角，所对的弦是否相等呢？ 在同一个圆中，如果弧相等，那么所对的圆心角 ，所对的弦 在同一个圆中，如果弦相等，那么所对的圆心角 ，圆心角所对的弧 （3）圆既是 对称图形，其对称中心是 ，具有旋转不变性； 又是 对称图形，其对称轴是 ，有 条对称轴。 【自学检测】 1、如图，在⊙O 中，AC BC =，145∠=?，求2∠的度数。 【巩固训练】 2、如图，在⊙O 中，AB ︵＝AC ︵ ，∠B ＝70°，求∠A 的度数。 3、如图，AB 是直径，BC ︵＝CD ︵＝DE ︵，∠BOC ＝40°，求∠AOE 的度数 【感谢您的阅览，下载后可自由复制或修改编辑，敬请您的关注】
2 圆的对称性 一、选择题（共 10 小题） 1．（ 2012?江宁区二模）形如半圆型的量角器直径为 4cm ，放在如图所示的平面直角坐标系中（量角器的中心与 坐标原点 O 重合，零刻度线在 x 轴上），连接 60°和 120°刻度线的一个端点 P 、Q ，线段 PQ 交 y 轴于点 A ，则点 A 的坐标为（ ） ） C ．（ ，0） D ．（1， ） 2．已知 ⊙O 中，弦 AB 长为 ，OD ⊥AB 于点 D ，交劣弧 AB 于点 C ，CD=1 ，则⊙ O 的半径是（ ） A ．1 B ．2 C ． 3 D ． 4 3．下列说法： ① 若∠1 与∠2 是同位 角， 则 ∠1=∠ 2 ② 等腰三角形的高，中线，角平分线互相重合 ③ 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 ④ 等腰梯形是轴对称图形， 但不是中心对称图形 ⑤ 平分弦的直径垂直于弦， 并且平分弦所对的两条弧， 其中正确的个数是（ ） A ．0 B ．1 C ． 2 D ． 3 4．（2013?邵东县模拟） ⊙O 的半径为 R ，若 ∠AOB= α，则弦 AB 的长为（ ） A ． B ． 2Rsin α C ． D ． Rsin α 5．已知矩形 ABCD 的边 AB=3 ，AD=4 ，如果以点 A 为圆心作 ⊙ A ，使 B ，C ，D 三点中在圆内和在圆外都至少 有一 个点，那么 ⊙ A 的半径 r 的取值范围是（ ） A ． 3 第2章圆 2．1 圆的对称性 基础题 知识点1 圆的有关概念 1．下列说法正确的是(C) A．直径是弦，弦是直径 B．过圆心的线段是直径 C．圆中最长的弦是直径 D．直径只有一条 2．下列命题中正确的有(A) ①弦是圆上任意两点之间的部分；②半径是弦；③直径是最长的弦；④弧是半圆，半圆是弧．A．1个B．2个C．3个D．4个 3．如图，已知AB是⊙O的弦，且AB＝OA，则∠AOB＝60度． 4．如图，在⊙O中，点A，O，D以及B，O，C分别都在同一条直线上． (1)图中共有几条弦？请将它们写出来； (2)请任意写出两条劣弧和两条优弧． 解：(1)2条，它们是弦AE，AD. (2)答案不唯一，如：劣弧有AC ︵，DE ︵等，优弧有ACE ︵，AEC ︵ 等． 知识点2 点与圆的位置关系 5．已知⊙O 的半径是5，点A 到圆心O 的距离是7，则点A 与⊙O 的位置关系是(C) A ．点A 在⊙O 上 B ．点A 在⊙O 内 C ．点A 在⊙O 外 D ．点A 与圆心O 重合 6．已知⊙O 的半径为6，点P 在⊙O 内，则OP 的长可能是(A) A ．5 B ．6 C ．7 D ．8 7．圆心在坐标原点，其半径为7的圆，则下列各点在圆外的是(D) A ．(3，4) B ．(4，4) C ．(4，5) D ．(4，6) 8．已知⊙O 的半径为R ，点P 到圆心O 的距离为d ，并且d ≥R ，则点P 与圆O 的位置关系是点P 在⊙O 上或⊙O 外． 9．(教材P46练习T2变式)已知⊙O 的半径为5 cm ，A 为线段OP 中点，试判断点A 与⊙O 的位置关系： (1)OP ＝6 cm ；(2)OP ＝10 cm ；(3)OP ＝14 cm. 解：(1)点A 在圆内．(2)点A 在圆上．(3)点A 在圆外． 知识点3 圆的对称性 10．下列图形中，不是轴对称图形的是(A) 学上教育 数学 学科个性化导学案 学生 教师 左老师 班主任 日期 2018/7/ 时间段 8:00-10:00 年级 八年级 课时 2小时 课题 2.2 圆的对称性（2） 课堂类型 学情分析 重点 (学习目标) 圆的对称性 难点 圆的对称性 教学辅助设备 教案 教学过程 教学内容 第2章 对称图形——圆 2.2 圆的对称性（2） 【基础提优】 1．如图，AB 是⊙O 的直径，弦CD ⊥AB ，垂足为M ，则下列结论不成立的是（ ） A ．CM=DM B ．CB ⌒=BD ⌒ C ．∠ACD=∠ADC D ．OM=MD 第1题 第2题 2．如图，⊙O 的直径AB=12，CD 是⊙O 的弦，CD ⊥AB ，垂足为P ，且BP ：AP=1：5，则CD 的长为（ ） A ．42 B ．82 C ．25 D ．45 3．如图，石拱桥的桥顶到水面的距离CD 为8 m ，桥拱半径OC 为5m ，则水面宽AB 为（ ） A ．4m B ．5m C ．6m D ．8m 第3题第4题 4．如图，已知半径OD与弦AB互相垂直，垂足为C，若AB=8cm，CD=3cm，则⊙O的半径为（） A．25 6 cm B．5cm C．4 cm D． 19 6 cm 5．如图，⊙O的半径为5，弦AB=8，M是弦AB上的动点，则OM 的长不可能为（）A．2 B．3 C．4 D．5 第5题第6题 6．如图，AB是⊙O的弦，OC⊥AB于点C．若AB=23，OC=1，则∠B= ． 7．某市某居民区一处圆形下水管道破裂，修理人员准备更换一段新管道．如图所示，污水水面宽度为60 cm，水面至管道顶的距离为10 cm，则修理人员准备更换的新管道的内径为 ． 第7题第8题 8．如图，将半径为2 cm的圆形纸片折叠后，圆弧恰好经过圆心O，则折痕AB的长为 cm． 9．如图，AB是⊙O的直径，AB=10，弦CD与AB相交于点N，∠ANC=30°，ON：AN=2：3，OM⊥CD，垂足为M． （1）求OM的长； （2）求弦CD的长． 圆的对称性测试题1（含答案） 27.1.2圆的对称性1 农安县合隆中学徐亚惠一．选择题（共8小题） 1．在同圆或等圆中，下列说法错误的是（） A．相等弦所对的弧相等 B．相等弦所对的圆心角相等 C．相等圆心角所对的弧相等 D．相等圆心角所对的弦相等 2．如图，已知⊙O的半径为13，弦AB长为24，则点O到AB的距离是（） A．6 B．5 C．4 D．3 3．已知⊙O的直径CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB=8cm，且A B⊥CD，垂足为M，则AC的长为（）A． cm B． cm C． cm或 cm D． cm或 cm 4．如图，⊙O的直径CD 垂直弦AB于点E，且CE=2，DE=8，则AB的长为（） A．2 B．4 C．6 D．8 5．如图，CD是⊙O的直径，弦AB⊥CD于E，连接BC、BD，下列结论中不一定正确的是（） A．AE=BE B． = C．OE=DE D．∠DBC=90° 6．如图，在平面直角坐标系中，⊙P的圆心坐标是（3，a）（a＞3），半径为3，函数y=x的图象被⊙P截得的弦AB的长为，则a的值是（） A．4 B． C． D． 7．已知⊙O的面积为2π，则其内接正三角形的面积为（） A．3 B．3 C． D． 8．如图，半径为3的⊙O内有一点A，OA= ，点P在⊙O上，当∠OPA最大时，PA的长等于（） A． B． C．3 D．2 二．填空题（共6小题） 9．如图，已知直线AB与⊙O相交于A、B 两点，∠OAB=30°，半径OA=2，那么弦AB= _________ ． 10．如图，⊙O的半径是5，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为P，若CD=8，则△ACD的面积是_________ ． 11．如图，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，则PA+PC 的最小值为_________ ． 12．如图，在⊙O中，CD是直径，弦AB⊥CD，垂足为E，连接BC，若AB=2 cm，∠BCD=22°30′，则⊙O 的半径为_________ cm． 13．如图，⊙O的半径是2，直线l与⊙O相交于A、B两点，M、N 是⊙O上的两个动点，且在直线l的异侧，若∠AMB=45°，则四边形MANB面积的最大值是_________ ． 14．如图，AB是⊙O的直径，BC是弦，点E是的中点，OE交BC于点D．连接AC，若BC=6，DE=1， 圆的基本性质 考点1 对称性 圆既是________①_____对称图形，又是______②________对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的____③_________。它的对称中心是_____④_______。同时圆又具有旋转不变性。 温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈及圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。 考点2 垂径定理 定理：垂直于弦的直径平分______⑤______并且平分弦所对的两条___⑥________。 常用推论：平分弦（不是直径）的直径垂直于______⑦_______，并且平分弦所对的两条_____⑧___________。 温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年基本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以及常用的辅助线的作法。在这里总结一下：（1）垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；（2）常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；（3）另外要注意答案不唯一的情况，若点的位置不确定，则要考虑优弧、劣弧的区别；（4）为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：①过圆心；②垂直于弦；③平分弦；④平分弦所对的优弧；⑤平分弦所对的劣弧； 考点3 圆心角、弧、弦之间的关系 定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧______⑨______，所对的弦也_____⑩________。 11____________，所对常用的还有：（1）在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角___○ 的弦_____○12___________。 （2）在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角____○13___________，所对的弧______○14 __________。 方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。 温馨提示：（1）上述定理中不能忽视“在同圆或等圆中”这个条件。否则，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。 （2）在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。 考点4 圆周角定理及其推论 定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角______○15__________，都等于这条弧所对的圆心角的______○16________。 推论：半圆或直径所对的圆周角是_______○17________，90°的圆周角所对的弦是______○18__________。 2020年九年级数学上册 2.2 圆的对称性导学案1（新版）苏科版(2) 学习目标： 1、理解圆的中心对称性； 2、利用圆的旋转不变性，研究圆心角、弧、弦之间相互关系定理及其简单应用； 3、通过观察、比较、操作、推理、归纳等活动，发展空间观念、推理能力及概括问题 学习重点：中心对称性及相关性质. 学习难点：运用圆心角、弧、弦之间的关系解决有关问题. 教学过程： 一、圆的中心对称性的发现 1．观察转动的摩天轮，你发现了什么？ 二、实践探索一 1．操作与探究： (1)在两张透明纸片上，分别作半径相等的⊙O 和⊙O'． (2)在⊙O 和⊙O'中，分别作相等的圆心角∠AOB 、∠A 'O'B'，连接AB 、A'B'． (3)将两张纸片叠在一起，使⊙O 与⊙O'重合. (4)固定圆心，将其中一个圆旋转某个角度，使得OA 与OA'重合．你发现了什么？请与同学交流． 2．思考与探索： (1)在同圆或等圆中，如果圆心角所对的弧相等，那么它们所对的弦相等吗？这两个圆 心角相等吗？为什么？ (2)如果圆心角所对的弦相等呢？ 实践探索二 相关概念 观察，运用探索出的结论来理解有关概念与性质． 思考交流： 1. 在同圆或等圆中，如果一个圆心角是另一个圆心角的k 倍，那么所对的弧之间有怎样的关系？ 2. 在同圆或等圆中，如果一条弧长是另一条弧长的k 倍，那么所对的圆心角之间有怎样的关系？ 例题精讲 例1 如图，AB 、AC 、BC 是⊙O 的弦，∠AOC ＝∠BOC . 问：∠ABC 与∠BAC 相等吗？为什么？ 例2 如图，在△ABC 中，∠C ＝90°， ∠B ＝28°，以C 为圆心，CA 为半径的圆交AB 于点D ，交BC 与点E ．求⌒AD 、⌒ DE 的度数． 课时练习 1．如图1，在⊙O 中⌒AC ＝⌒ BD ，∠AOB ＝50o， 求∠COD 的度数． 2．如图2，在⊙O 中，⌒AB ＝⌒ AC ，∠A ＝40o，求∠ABC 的度数.九年级数学下册第二章2.1圆的对称性练习(新版)湘教版
2.2圆的对称性2教案
圆的对称性测试题1(含答案)
圆的基本性质练习(含答案)
2020年九年级数学上册 2.2 圆的对称性导学案1(新版)苏科版(2).doc
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