第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x 的图象， 进而画出 y cosx 的图象；会用“五点法”画y sin x 和y cosx 在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x 0,2的图象，用“五点法”画y sin x 和 y cosx 在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法： 通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规 教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢？ 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象？ ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin y x =[]0,2x π∈的图像
正余弦函数的周期性 【学习目标】 1.理解周期函数，周期函数的周期和最小正周期的定义。 2.掌握正、余弦函数的周期和最小正周期，并会求一些简单三角函数的周期。 3.根据函数图像导出周期性，领会从特殊推广到一般的数学思想，体会三角函数图像所蕴涵的和谐美。 【学习重点】周期函数的定义及正、余弦函数的周期性。 【学习难点】周期函数的定义及运用定义求函数的周期。 【学案导学】 1. 请同学们画出正余弦函数的图像并观察图象的变化规律。 问题1: (1)正余弦函数的图像是按照一定规律重复出现。 (2)这个规律由诱导公式 可以说明。 (3)规律：当自变量x 的值增加2π的整数倍时，函数值就重复出现。 结论1：像这种函数，就叫做周期函数。 2. 周期函数的定义： 周期的定义： 问题2：正弦函数的周期为多少？周期中是否存在一个最小的正数？若存在，则最小的正数为多少？ 最小正周期的定义: 结论2：正弦函数是周期函数， 都是它的周期，最小正周期是 。 余弦函数是 。 问题3：（1）周期函数的周期唯一吗？ x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32π52π72πo x y 1 -1 4π-3π-2π-π2π3π4ππ-32π-52π-72π-2π-2π32 π52π72πo
（2）教材第36页练习题第1题。 （3）函数()1f x =是周期函数吗？它有最小正周期吗？ 注意：（1） （2） （3） 例1. 求下列函数的周期。 (2)sin 2,y x x R =∈ 1(3)2sin(),26 y x x R π=-∈ 问题4：你能从以上的解答过程中归纳一下这些函数的周期与解析式中哪些量有关吗？ 结论3：sin(),cos()(,,00y A x y A x A A ω?ω?ω?ω=+=+≠>为常数，，） T= 练习：教材第36页第2题 (5)cos 2y x =- (6)sin()3y x ππ=+ (7)2cos(2)(0)4 y x πωω=+> 3.求周期的常用方法：（1） （2） （3） 练习： 4.课堂小结： （1） （2） （3） 作业： 【迁移发散】 课外思考题： (1)你认为上述结论3能否推广到求一般周期函数的周期上去？ 即命题：如果函数()y f x =的周期是T ，那么函数()(0)y f x ωω=>的周期是 ? (2)求函数sin ,y x x R =∈的周期？ (3)已知函数f x （）定义域为R 且满足1f x f x +=-（）（），求函数f x （）的周期？ (1)3cos ,y x x R =∈T ω36P 346P 3.10
1.4. 2.2正、余弦函数的单调性与最值 基础知识和技能训练(九) 1．函数y ＝cos2x 在下列哪个区间上是减函数( ) A.???? ??－π4，π4 B.?????? π4，3π4 C.? ?? ???0，π2 D.???? ??π2，π 解析 ∵y ＝cos2x ， ∴2k π≤2x ≤π＋2k π(k ∈Z )， 即k π≤x ≤π 2＋k π(k ∈Z )． ∴? ?? ???k π，k π＋π2(k ∈Z )为y ＝cos2x 的单调递减区间． 而? ?? ? ??0，π2显然是上述区间中的一个． 答案 C 2．函数y ＝cos ? ????x ＋π6，x ∈??????0，π2的值域是( ) A.? ???? －32，12 B.?????? －12，32 C.???? ?? 32，1 D.? ??? ?? 12，1 解析 由0≤x ≤π2，得π6≤x ＋π6≤2π 3， ∴－12≤cos ? ????x ＋π6≤3 2，选B. 答案 B
3．设M 和m 分别表示函数y ＝1 3cos x －1的最大值和最小值，则M ＋m 等于( ) A.23 B ．－23 C ．－43 D ．－2 解析 依题意得M ＝13－1＝－23，m ＝－1 3－1 ＝－4 3，∴M ＋m ＝－2. 答案 D 4．下列关系式中正确的是( ) A ．sin11°＜cos10°＜sin168° B ．sin168°＜sin11°＜cos10° C ．sin11°＜sin168°＜cos10° D ．sin168°＜cos10°＜sin11° 解析 cos10°＝sin80°，sin168°＝sin12°. sin80°＞sin12°＞sin11°， 即cos10°＞sin168°＞sin11°. 答案 C 5．若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在区间??? ? ??0，π3上单调递增，在区间???? ?? π3，π2上单调递减，则ω＝( ) A.23 B.32
§4.8正弦、余弦函数的单调性（一） 班级 学号 姓名 一、 课堂目标： 能正确地求出正弦、余弦函数及一些简单复合函数的单调区间 二、 要点回顾： 1增函数定义回顾：如果对于属于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值x 1, x 2，当x 1
重庆市丰都实验中学校高2013级数学导学案 课题：正、余弦函数的周期 【学习目标】 掌握)sin(?ω+=x A y 的周期公式ωπ2= T 。 【重点难点】 重点：熟练用定义证明函数的周期； 难点：抽象函数周期的求法。 【课前预习】 1.正弦函数、余弦函数是周期函数？ 2.怎样从代数角度定义周期函数？ 【典型例题】 例1.求下列函数的周期。 （1）R x x y ∈=,cos 3 （2）R x x y ∈=,2sin （3）R x x y ∈-=),621 sin(2π （4）R x x y ∈-=),2 1sin( 变式：求下列函数的周期： （1）)43sin(21π-=x y （2）)2 16sin(5x y -=π（3）x y sin =（4）x y 2sin = 提问：周期函数与自变量的系数有什么关系？ 总结：)sin(?ω+=x A y 的周期ωπ2= T 。
例2.证明：x x x f cos sin )(+=的一个周期是 2π。 变式：)3cos(π -=x y 的最小正周期是 。 例 3.若函数R x x x f ∈+=),sin(2)(?ω，（其中2,0π?ω<> ）的最小正周期是π，且3)0(=f ，则ω= ，?= 。 变式练习： )6cos()(πω-=x x f 最小正周期为5π ，其中0>ω，则ω= 。 【课后作业】 1.下列函数中，周期为 2π 的是（） A 2sin x y = B x y 2sin = C 4cos x y = D x y 4cos = 2.若)35sin(3)(+=kx x f ，)0(≠k 的最小正周期不大于1，则最小正整数k = 。 3.判断函数x x x f cos sin 2)(2+=，R x ∈的周期性，如果是周期函数，最小正周期是多少？ 4. A x y π +=sin 21，（0>A ）的最小正周期为π3，则A = 。 5.设)(x f 是定义域为R ，最小正周期为π23 的函数，若{) 02(,cos )0(,sin )(<≤ -<≤=x x x x x f ππ，则)(415 π-f = 。
正余弦函数的图像与性 质周期性 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
第一课时 题目：正弦函数、余弦函数的图象 授课时间：3月25日，星期一 课型：新授课 教学目标： 理解借助单位圆中的三角函数线（正弦线）画出y sin x的图象，进而画出y cosx的图象；会用“五点法”画y sin x和y cosx在一个周期内的简图。 教学重点和难点： 重点：利用三角函数线画正弦函数x0,2的图象，用“五点法”画y sin x和y cosx在一个周期内的简图。 难点：正弦函数与余弦函数图象间的关系、图象变换。 学情分析： 学生在之前已经学了一次函数、二次函数、指数函数、对数函数和幂函数，已掌握了一些基础函数的图像和性质，并了解一些函数图像的画法。而且刚分班学生的学习动力很足，但学生分析、理解能力较差，对具体形象的事物比较感兴趣，但对学习抽象理论知识存在畏难情绪，缺乏学习主动性，因此在教学中要注意引导学生积极思考和多动手画图练习。 教学方法：通过多媒体展示正弦函数的形成，是学生更直观形象的了解正弦函数的形成，加深印象增加兴趣。并配合适当讲授法。在五点法画图中要学生动手实践，加深印象和理解。 教具、学具的准备：多媒体、直尺、圆规
教学过程： （一）知识链接 1、正弦线的概念 2、诱导公式（六） （二）情景设置 在初中和必修一的函数学习中，我们知道函数的图像为我们解决相关的函数问题提供了重要的方法和工具，那么三角函数的图像是怎样的呢 这节课让我们来共同探讨正、余弦函数的图像问题。 【设计意图】从原有知识出发，类比联想，引入问题情景，学生主动参与，积极思考 （三）课题导入 提问1、如何作正弦函数的图象 ①列表描点法： 步骤：列表、描点、连线 大家试着画出正弦函数sin =[] y x ∈的图像 xπ 0,2
《正弦、余弦函数的周期性》教案 一、教材分析： 《正弦、余弦函数的周期性》是普通高中课程标准实验教科书必修四第一章第四节第二节课，其主要内容是周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性．本节课是学生学习了诱导公式和正弦、余弦函数的图象之后，对三角函数知识的又一深入探讨．正弦、余弦函数的周期性是三角函数的一个重要性质，是研究三角函数其它性质的基础，是函数性质的重要补充．通过本课的学习不仅能进一步培养学生的数形结合能力、推理论证能力、分析问题和解决问题的能力，而且能使学生把这些认识迁移到后续的知识学习中去，为以后研究三角函数的其它性质打下基础．所以本课既是前期知识的发展，又是后续有关知识研究的前驱，起着承前启后的作用． 二、教学目标： 学情分析： 学生在知识上已经掌握了诱导公式、正弦、余弦函数图象及五点作图的方法；在能力上已经具备了一定的形象思维与抽象思维能力；在思想方法上已经具有一定的数形结合、类比、特殊到一般等数学思想．本课的教学目标： (一)知识与技能 1．理解周期函数的概念及正弦、余弦函数的周期性． 2．会求一些简单三角函数的周期. (二)过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，通过对实际背景的分析与y=sin x图形的比较、概括抽象出周期函数的概念.运用数形结合方法研究正弦函数y=sin x的周期性，通过类比研究余弦函数 y=cosx的周期性． (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力． 三、教学重点：周期函数的定义和正弦、余弦函数的周期性. 四、教学难点：周期函数定义及运用定义求函数的周期. 五、教学准备：三角板、多媒体课件 六、教学流程：
正弦函数、余弦函数的单调性教学设计 教学目标： 知识目标：能够根据正弦函数和余弦函数的单调性比较函数值的大小；能求出求形如 的单调区间及)cos()sin(?ω?ω+=+=x y x y 。 情感目标： 通过经历新知识的探索，培养学生善观察、勤思考、爱探究良好的学习品质。 能力目标： 培养学生能够灵活运用正，余弦函数图像写出单调区间，会利用单调性解决相关问题 教学重点、难点： 教学重点：用数形结合法探索正、余弦函数的单调性。 教学难点：求形如情形的单调区间当及0)cos()sin(>+=+=ω?ω?ωx y x y 。 学情分析：学生在前节课已经学习了正余弦函数的一些性质，因此在学习其单调性的时候不会太 难，考虑到本班学生的基础参差不齐，对问题的理解能力有不同，所以在教学中要照 顾全局，仔细分析，耐心讲解 教学方法：讲授法，探究法，讲练结合法 教学过程: 一、复习引入: 前面已学过正弦函数和余弦函数的图象以及它们的性质现在我们要通过正弦、余弦函数图象去研究它的另一个重要的性质——单调性。 1. 正弦函数、余弦函数的图像 2．函数的单调性定义在某区间上单调增（或单调减）的图象特征。 二、新课: （一）、正弦函数的单调性 1、探究正弦函数]23,2[sin π π-=在x y 上的单调性 (1) 让学生观察正弦函数y=sinx 的图象 启发学生思考：它有多段图象自左到右是呈现上升状态，也有多段呈下降状态，根据函数单调性知识可知它分段具有单调性，那么这里面有什么规律呢，先要找一个周期区间上的函数图象来分析研究。 引导学生分析所选用的那一个区间段的图是否最佳选择，最适合的是只有一个单调增区间和单调减区间的用这两段上的图象。（选择区间]23,2[ππ- ） (2)让学生再观察正弦函数在区间]23,2[π π-上的图象的升降情况. 提问：从图形中你发现了什么样的现象？
正余弦函数的周期性练习 一、选择题(每小题6分，共计36分) 1．函数y ＝3sin ????2x ＋π 6的最小正周期是 ( ) A ．4π B ．2π C ．π D.π 2 2．下列函数中，周期为π 2 的是 ( ) A ．y ＝sin x 2 B ．y ＝sin2x C ．y ＝cos x 4 D ．y ＝cos4x 3．函数y ＝sin(4－2x )的最小正周期是 ( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．4π 4.若0≠a ，则()π+=ax y sin 的最小正周期是（ ） A. a π B.a π C. a π 2 D. a π2 5．在函数y ＝sin|x |，y ＝|sin x |，y ＝sin ????2x ＋π3，y ＝cos ????2x ＋2π 3中，最小正周期为π的函数的个数为 ( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 6．函数y ＝??? ?sin x 2的最小正周期是 ( ) A.π 2 B ．π C ．2π D ．4π 7、下列命题中，正确的是 （ ） A 、x x x f +=sin )(是周期函数 B 、3)(=x g 是周期函数 C 、x x x h cos )(=是周期函数 D 、x x u 2sin )(=的最小正周期为π2 8、函数)6 2cos()(π π+ =x x f 的最小正周期是 （ ） A 、π B 、 2 π C 、1 D 、 2 1 9．设f (x )是定义域为R ，最小正周期为3π2 的函数，若f (x )＝????? cos x ????－π2≤x <0，sin x (0≤x <π)，则f ????－15π4的值等于 ( ) A ．1 B. 2 2 C ．0 D ．－ 22 二、填空题(每小题8分，共计24分) 10.若??? ??-=x y ωπ3cos 2的最小正周期是π4 ，则=ω ()0>ω. 11.已知()0,4sin >??? ? ?+ =ωπωx y 的最小正周期为 3 2π ，则=ω ； 12．已知函数f (x )是周期为6的奇函数，且f (－1)＝1，则f (－5)＝__________. 13．函数y ＝2cos ????π 3－ωx 的最小正周期是4π，则ω＝__________. 14．若f (x )＝4sin ? ???ωx －π 3的最小正周期不小于2，则正整数ω的最大值是__________． 三、解答题(共计40分) 15.写出下列函数的周期: (1)x y 3sin =； (2)3cos x y =； (3)??? ? ? +=34cos πx y ； (4)??? ??-= 42 1 sin 3πx y ； (5)()x y -=π31cos 2. （3）|2sin |x y = （4）7)6 21cos()32 1sin(2+--+ =π π x x y 16、已知函数)3 3sin( 5)(π+=x k x f ， （1）若周期为π3，求k 的值； （2）若周期不大于1，求自然数k 的最小值。
正、余弦函数周期性 教学目标： 1.理解周期函数、最小正周期的定义； 2.会求正、余弦函数的最小正周期。 教学重、难点：函数的周期性、最小正周期的定义。 教学过程： （一）引入： 1．问题：（1）今天是星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… （2）物理中的单摆振动、圆周运动，质点运动的规律如何呢？ 2．观察正（余）弦函数的图象总结规律： 自变量 x 2π- 32π- π- 2 π - 0 2π π 32 π 2π 函数值 sin x 1 1- 0 1 1- 正弦函数()sin f x x =性质如下： 文字语言：正弦函数值按照一定的规律不断重复地取得； 符号语言：当x 增加2k π（k Z ∈）时，总有(2)sin(2)sin ()f x k x k x f x ππ+=+==． 也即：（1）当自变量x 增加2k π时，正弦函数的值又重复出现； （2）对于定义域内的任意x ，sin(2)sin x k x π+=恒成立。 余弦函数也具有同样的性质，这种性质我们就称之为周期性。 （二）新课讲解： 1．周期函数的定义 对于函数()f x ，如果存在一个非零常数．．．．T ，使得当x 取定义域内的每一个值．．．． 时，都有()()f x T f x +=，那么函数()f x 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期。 – – π 2 π 2 π - π 5π π- 2π- 5π- O x y 1 1-
说明：（1）T 必须是常数，且不为零； （2）对周期函数来说()()f x T f x +=必须对定义域内的任意x 都成立。 【思考】 （1）对于函数sin y x =，x R ∈有2sin( )sin 6 36π ππ+ =，能否说 23 π 是它的周期？ （2）正弦函数sin y x =，x R ∈是不是周期函数，如果是，周期是多少？（2k π，k Z ∈且 0k ≠） （3）若函数()f x 的周期为T ，则kT ，* k Z ∈也是()f x 的周期吗？为什么？ （是，其原因为：()()(2)()f x f x T f x T f x kT =+=+==+L ） 2．最小正周期的定义 对于一个周期函数()f x ，如果在它所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做()f x 的最小正周期。 说明：（1）我们现在谈到三角函数周期时，如果不加特别说明，一般都是指的最小正周期； （2）从图象上可以看出sin y x =，x R ∈；cos y x =，x R ∈的最小正周期为2π； （3）【判断】：是不是所有的周期函数都有最小正周期？ （()f x c =没有最小正周期） 3．例题分析： 例1：求下列函数周期： （1）3cos y x =，x R ∈； （2）sin 2y x =，x R ∈； （3）1 2sin()2 6 y x π =- ，x R ∈． 解：（1）∵3cos(2)3cos x x π+=， ∴自变量x 只要并且至少要增加到2x π+，函数3cos y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数3cos y x =，x R ∈的周期是2π． （2）∵sin(22)sin 2()sin 2x x x ππ+=+=， ∴自变量x 只要并且至少要增加到x π+，函数sin 2y x =，x R ∈的值才能重复出现， 所以，函数sin 2y x =，x R ∈的周期是π．
1.4.2 正弦函数、余弦函数的性质——周期性 一、教学目标 (一) 知识与技能 1．认识正弦函数、余弦函数的周期性，了解正弦函数、余弦函数是描述自然界周期性变化的有力工具。 2．理解周期函数的概念与周期、最小正周期的意义，会求一些简单三角函数的周期。 (二) 过程与方法 从学生生活实际的周期现象出发，提供丰富的实际背景，让学生感受三角函数模型刻画周期现象的重要性，通过对实际背景的分析与y=sinx图形的比较、概括抽象出周期函数的概念，以问题引导学生正确理解周期函数的概念。运用数形结合方法研究正弦函数y=sinx的周期性，通过类比探讨余弦函数y=cosx的周期性。 (三)情感、态度与价值观 让学生体会数学来源于生活，体会从感性到理性的思维过程，体会数形结合的思想；让学生亲身经历数学研究的过程，享受成功的喜悦，感受数学的魅力；培养学生不断发现、探索新知识的精神以及从特殊到一般的归纳总结能力。二、教学重难点 重点：周期函数的概念以及正、余弦函数的周期性的理解 难点：周期函数的定义及运用定义求正、余弦函数的周期 三、教学方法 启发引导、问题探究与讲授相结合 四、教学手段 投影、多媒体课件等 五、学法指导 观察、联想、抽象、概括
六、教学过程设计 (一) 创设情境，引出问题 问题：今天是12月18号，星期二，则过了七天是星期几？过了十四天呢？…… 日出日落，月圆月缺，四季交替：时间24小时重复一次，星期7天重复一次，月份1年重复一次… 物理学中的单摆，弹簧振子，点的圆周运动… 课表的安排，摩天轮，钟表上的时针分针秒针，新闻联播每天播放一次… 这些现象都给我们以循环、重复的感觉，可以用“周而复始”来描述，这叫周期现象，那么函数有没有周期性呢？ 回顾“五点作图法”，作出正弦曲线，如下图所示： 从正弦曲线中我们注意到，函数x y sin =在[]0,2π-，[]ππ4,2，[]ππ6,4……时的图象与在[]π2,0的形状完全一样，只是位置不同；具体而言每隔π2图象重复出现，每隔π4图象重复出现，每隔π6图象也重复出现……这种特征体现了正弦函数的什么性质呢？ 数学中的这种周期性变化能否用一个数学式子来体现？ (二) 观察抽象，形成概念 1、从数的角度上看，引导学生探究得出结论：自变量每增加或减少一个定值，函数值就会重复出现： 3sin 23sin πππ=?? ? ??+ 4sin 24sin πππ=?? ? ??+ ()x x sin 2sin =+π，
第2课时正弦函数、余弦函数的单调性与最值 分层演练综合提升 A级基础巩固 1.使函数y=3-2cos x取得最小值时的x的集合为() A.{x|x=2kπ+π,k∈Z} B.{x|x=2kπ,k∈Z} C.x x=2kπ+π 2 ,k∈Z D.x x=2kπ-π 2 ,k∈Z 答案:B 2.已知函数y=cos x在区间(a,b)上是增函数,则y=cos x在区间(-b,-a)上是() A.增函数 B.减函数 C.增函数或减函数 D.以上都不对 答案:B 3.下列函数中,周期为π,且在区间[π 4,π 2 ]上为减函数的是() A.y=sin(2x+π 2) B.y=cos(2x+π 2 )
C.y=sin(x+π 2) D.y=cos(x+π 2 ) 答案:A 4.比较下列各组数的大小: (1)cos 150°与cos 170°; (2)sin π 5与sin(-7 5 π). 解:(1)因为90°<150°<170°<180°,且函数y=cos x在区间[π 2 ,π]上是减函数,所以cos 150°>cos 170°. (2)sin(-7 5π)=sin(-2π+3π 5 )=sin 3π 5 =sin(π-2π 5 )=sin 2π 5 . 因为0<π 5<2π 5 <π 2 ,且函数y=sin x在区间[0,π 2 ]上是增函数,所以sin π5
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